ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ДВИГАТЕЛЯМИ-МАХОВИКАМИ
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА …
3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 681.532.8
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ДВИГАТЕЛЯМИ-МАХОВИКАМИ
И.Е. Овчинников, А.В. Лагун
Рассматривается динамика одноосной системы ориентации космического летательного аппарата с помощью маховой массы, приводимой во вращение управляемым вентильным двигателем. Изучаются режимы при отсутствии внешнего возмущающего момента, действующего на аппарат, и при наличии длительного действующего момента малой величины. Ключевые слова: космический летательный аппарат, система ориентации, двигатель-маховик, вентильный двигатель.
Введение
В большинстве случаев после вывода на орбиту космических летательных аппаратов (КЛА) или искусственных спутников Земли (ИСЗ) требуется ориентация одной из их конструктивных осей на некоторый объект в космическом пространстве (Солнце, Звезда, планета) или по вертикали к Земле. Такая ориентация должна поддерживаться многие месяцы и даже годы, в силу чего встает задача экономии затрат энергии, необходимой для поддерживания заданного направления оси аппарата, отработки внешних возмущений или переориентации оси на другое направление.
Для решения подобных задач наилучшие результаты зачастую дают электрические двигатели-маховики, для питания которых электрическая энергия обеспечивается солнечными батареями, устанавливаемыми на КЛА [1]. Рассмотрим динамику двигателей-маховиков с целью исследования возможности применения для такой задачи вентильного двигателя.
Уравнения динамики двигателя-маховика в системе ориентации КЛА
Принцип осуществления ориентации или управляемого поворота КЛА основыва-
ется на законе сохранения момента количества движения системы тел спутник (КЛА)–
двигатель-маховик. Если предположить, что на такую систему тел не действуют внеш-
ние моменты, что хорошо оправдывается для условий свободного тела в космическом
пространстве, то закон сохранения момента количества движения для случая плоского
вращательного движения относительно некоторой оси формулируется в виде [2]
Ja ⋅ ωa + J м ⋅ Ωм = Ja ⋅ ωa (0) + J м ⋅ Ωм (0) = const .
(1)
Здесь Ja , J м − моменты инерции КЛА и ротора-маховика двигателя; ωa , Ωм – со-
ответственно их угловые скорости; ωa (0), Ωм (0) – начальные значения угловых ско-
ростей, которые в частном случае могут быть равны нулю. Произведения Ja ⋅ ωa и
J м ⋅ Ωм называются моментами количества движения КЛА и маховика соответственно.
Из выражения (1) видно, что любое изменение скорости движения ΔΩм приводит
к изменению скорости КЛА (или спутника) Δωa , но в противоположном направлении и
в соотношении, определяемом моментами инерции. Если Δωa = ωa − ωa (0) ,
48 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
И.Е. Овчинников, А.В. Лагун
ΔΩм = Ωм − Ωм (0) ,
то
с
учетом
уравнения
динамики
двигателя
J
м
⋅
ΔΩ м Δt
= Mд
из
(1)
имеем
Δωa
=
−
Jì Ja
⋅ ΔΩì
=
−
1 Ja
⋅
Mä
⋅
Δt
.
(2)
Таким образом, управляя скоростью ωa за счет изменения скорости двигателя
Ωм или момента двигателя M д , в соответствии с (1) или (2) можно управлять некото-
рой угловой координатой КЛА α = ∫ ωa dt . Схематически такая «плоская» задача пред-
ставлена на рис. 1, а, где двигатель-маховик ДМх размещен внутри спутника А , при-
чем статор двигателя неподвижно закреплен в корпусе А .
аб Рис. 1. Расположение электрических двигателей-маховиков в системе ориентации КЛА:
а – одноосная система, б – трехосная система
Появление скорости двигателя-маховика в направлении ωмx приводит к появле-
нию скорости спутника ωax , но в противоположном направлении, что соответствует
закону сохранения момента количества движения (1). В действительности задача дви-
жения может оказаться много сложней, поскольку КЛА представляет собой твердое те-
ло, поворачивающееся в процессе ориентации относительно точки, связанной с цен-
тром масс. Движение твердого тела относительно точки описывается уравнениями Эй-
лера [2], которые для нашего случая применительно к одной из осей имеют вид
( ) ∑Jax
⋅
d ωax dt
+
Jaz − Jay
⋅ ωay ⋅ ωaz =
Mx ,
(3)
∑ M x = −M дx + M вх ,
где ωax , ωay , ωaz – угловые скорости аппарата относительно соответствующих осей;
∑Jax , Jay , Jaz – моменты инерции аппарата относительно тех же осей; M x – сумма мо-
ментов, действующих относительно оси x ; M дх – электромагнитный момент двигателя ДМ , расположенного по оси x аппарата А (рис. 1, б); M вх – внешний возмущающий момент, действующий на корпус аппарата по оси x . Управление моментами двигателя
M дх , M дy , M дz в функции координат рассогласования осей x, y, z от требуемого поло-
жения, их производных и интегралов от рассогласования позволяет обеспечить задачу трехосной ориентации космического летательного аппарата. Знак «минус» обусловлен
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
49
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА …
тем, что учитывается момент, прикладываемый к статору двигателя, т.е. к корпусу ап-
парата А .
В случае, когда моменты инерции Jax = Jay = Jaz , что имеет, например, место для
однородного тела сферической формы, нелинейное уравнение с перекрестными связя-
ми (3) распадается на три независимых уравнения. Именно этот случай и будет иссле-
дован далее. Для оси x , таким образом, получим уравнение динамики для корпуса ап-
парата
J ax
⋅
d 2α dt
=
−M дх
+
M вх
и уравнение динамики для ротора-маховика двигателя
dα dt
= ωax ,
J
м
⋅
dΩ dt
м
= M дх .
Подставив одно уравнение в другое и затем интегрируя, получаем:
J ax
⋅
dα dt
+
Jм
⋅Ωм
=
M вх
⋅t
+
Hx
(0)
,
(4)
где H x (0) = Jax ⋅ ωax (0) + J м ⋅ Ωм (0) – начальные значения суммарного момента количе-
ства движения. Уравнение (4) позволяет исследовать возможные условия ориентации
при начальном рассогласовании α0 : 1) H (0) = 0 , M в = 0 ; 2) H x (0) = Jax ⋅ ωax (0) ≠ 0 ,
M в = 0 ; 3) H (0) = 0 , M в ≠ 0 .
При длительном функционировании системы ориентации к двигателю-маховику
предъявляется ряд требований, среди которых – малая масса и высокая надежность
двигателя, малые потери холостого хода, высокий удельный момент на единицу массы
двигателя. Наилучшим образом данному комплексу требований отвечает вентильный
двигатель [3] с возбуждением от редкоземельных постоянных магнитов, регулировоч-
ные характеристики которого и будут использованы при дальнейшем рассмотрении.
Моделирование динамики одноосной системы ориентации КЛА с вентильным двигателем-маховиком
Момент двигателя с учетом только первой гармоники питающего напряжения можно представить выражением [3]
( )Mдх
≈
3⋅ 3 2⋅π
⋅ ⎡⎢C / ⎣
⋅U
−
3⋅ π
3
⋅
C/
2
⋅Ωм
⎤ ⎥ ⎦
⋅
R12
+
R1 0, 3 ⋅
X12
,
(5)
где U − регулируемое напряжение в звене постоянного тока, R1 , X1 − активное и индук-
тивное сопротивление фазы, причем
X1
=
3 2
⋅
p
⋅
L1
⋅Ωм
,
L1 − собственная индуктивность
фазы, p − число пар полюсов, C / = p ⋅ k01 ⋅ w1 ⋅ Ф , k01 ⋅ w1 – эффективное число витков фазы, Ф – рабочий поток на пару полюсов.
Уравнение напряжения U , подаваемого на двигатель, запишем в форме
•
∫U = k1 ⋅ Δα + k2 ⋅ Δα+ k3 ⋅ Δα dt ,
(6)
где ошибка Δα = α − α0 (рис. 1, а). Выражения (4), (5), (6) образуют следующую систему уравнений:
50 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
И.Е. Овчинников, А.В. Лагун
( )Jax
⋅
d 2Δα dt 2
=
−
3⋅ 3 2⋅π
⋅ ⎢⎡C / ⎣
⋅U
−
3⋅ π
3
⋅
C/
2
⎤ ⋅Ωм ⎥⋅
⎦
R12
R1 + 0,3⋅
X12
+
M вх ,
•
∫U = k1 ⋅ Δα + k2 ⋅ Δα + k3 ⋅ Δα dt ,
(7)
( )J
м
⋅
dΩ dt
м
=
3⋅ 2⋅
3 π
⋅
⎡⎢C / ⎣
⋅U
−
3⋅ π
3
⋅
C/
2
⋅Ωм
⎤ ⎥ ⎦
⋅
R12
+
R1 0, 3 ⋅
X12
.
Использование интеграла от ошибки позволит обеспечить астатизм системы, т.е.
отсутствие установившейся ошибки по окончании переходного процесса ориентации.
Структурная схема системы, соответствующей уравнениям (7), представлена на рис. 2,
а. В зависимости от рассматриваемого варианта мы будем полагать в структурной схе-
ме: 1) H (0) = 0 , M в = 0 ; 2) H (0) ≠ 0 , M в = 0 ; 3) H (0) = 0 , M в ≠ 0 . Моделирование сис-
темы дифференциальных уравнений (7), имеющих нелинейность относительно Ωм ,
обусловленную характеристикой момента двигателя M дх (5), было проведено при сле-
дующих исходных данных: Ф = 1,15⋅10−3 Вб , R1 = 0, 0353 Ом , L1 = 9,15⋅10−5 Гн , p = 3 , w1 = 36 , k1 = 100 В рад , k2 = 200 В ⋅ с рад , k3 = 0,1 В рад ⋅ с , J м = 33,1 кг ⋅ м2 ,
Jа = 2385 кг ⋅ м2 , α0 = 0,5 рад . Максимальное напряжение в звене постоянного тока
двигателя Umax = 100 В, скорость идеального холостого хода двигателя
Ω0хх = 100
рад с
.
а
бвг
Рис. 2. Структурная схема (а) и переходный процесс одноосной ориентации с двигателем-маховиком по углу ошибки (б), по скорости аппарата (в), по скорости маховика (г)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
51
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА …
Результаты моделирования представлены на рис. 2, б–г. Из рисунков видно, что
переходный процесс заканчивается приблизительно через 40 с, причем, как и следовало
ожидать, в установившемся режиме скорость аппарата
dα dt
и скорость
двигателя-
маховика Ωм равны нулю, поскольку начальное значение момента количества движения было нулевым:
H x (0) = Jax ⋅ ωax (0) + J м ⋅ Ωм (0) = 0 .
Второе условие применительно к уравнению (3) было сформулировано для на-
чальных условиях по углу рассогласования и угловой скорости аппарата в виде
α0 = 0,5 рад ,
dα (0) dt
= 0,58 рад с
.
Возмущающий
момент
M вх
предполагался равным
нулю. Все остальные данные были приняты, как и в предыдущем примере. Результаты
моделирования представлены на рис. 3.
абв
Рис. 3. Переходный процесс при наличии начального угла рассогласования и начальной угловой скорости аппарата: а – для угла ошибки, б – для скорости
аппарата, в – для скорости маховика
В отличие от предыдущего случая, установившаяся скорость маховика отлична от
нуля (рис. 3, в), поскольку в соответствии с законом сохранения момента количества
движения (3) при
M вх = 0
⎜⎛ ⎝
dα dt
⎟⎞ ⎠∞
=
0,
(Ωм )∞
=
H x (0) ,
Jм
т.е.
весь
начальный
момент
ко-
личества движения, обусловленный начальной скоростью аппарата,
J
ax
⋅
dα dt
(
0
)
=
Hx (0) ,
по
окончании
переходного
процесса
«перекачивается»
в
момент
количества движения маховика:
Jм
⋅(Ωм
)∞
=
J ax
⋅
dα dt
(0)
.
Рассмотрим последний случай для уравнения (3), когда на аппарат действует не-
который малый возмущающий момент M вх , а начальные условия по угловой скорости
аппарата – нулевые. Величина момента принята равной Mв = 10−3 Н ⋅ м . Результат мо-
делирования представлен на рис. 4.
52 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
И.Е. Овчинников, А.В. Лагун
а бв Рис. 4. Переходный процесс при наличии начального угла рассогласования и возмущающего момента: а – для угла рассогласования, б – для скорости аппарата,
в – для скорости маховика
На рис. 4, а, и 4, б, также как и в случае рис. 2, б, и 2, в, угловая скорость аппарата
dα в конце переходного процесса приходит к нулевому значению. Однако скорость dt
маховика Ωм медленно возрастает, что можно наблюдать за сравнительно продолжи-
тельное время. Это объясняется тем, что по окончании процесса ориентации, когда уг-
ловая скорость аппарата
dα dt
равна нулю, двигатель должен создавать электромагнит-
ный момент, равный и встречно направленный к внешнему моменту M в , действующе-
му на корпус КЛА. Этот момент создается за счет подаваемого на двигатель нарастаю-
∫щего сигнала вида Δα∞ dt , где Δα∞ – установившееся значение ошибки, которая в си-
лу малости (0,001) на рис. 4, а, не видна. Под действием этого весьма малого электро-
магнитного момента ротор двигателя с маховиком будет постепенно разгоняться. Раз-
гон может осуществляться вплоть до скорости холостого хода двигателя. Это, в свою
очередь, означает, что время непрерывного «парирования» внешнего возмущающего
момента с помощью электромагнитного момента двигателя-маховика будет равно
tmax
=
J м ⋅ Ωм хх Мв
.
Для
нашего
случая
время
составит
tmax
=
33,1⋅ 418 10−3 ⋅ 3600
=
3843
час
.
После
разгона до скорости холостого хода двигатель должен быть остановлен, а момент коли-
чества движения и соответственно угловая скорость КЛА, приобретенная в связи с
этим, в соответствии с законом сохранения момента количества движения составят
⎛ dα ⎞ ⎝⎜ dt ⎠⎟max
=
−
Jм
⋅ Ωм хх J ax
.
Чтобы процесс ориентации двигателем-маховиком мог быть возобновлен, следует
«разгрузить» аппарат импульсом реактивного момента, создаваемого специальными
микрореактивными разгрузочными двигателями, причем импульс разгрузочного мо-
мента должен быть равен
Mp
⋅tp
=
J ax
⋅ ⎜⎛ ⎝
dα dt
⎞⎟ ⎠ max
,
где M p − разгрузочный момент, t p − время действия разгрузочного момента.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
53
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА …
Заключение
Показано, что вентильный двигатель-маховик является эффективным средством управления угловым положением космического летательного аппарата. Сигнал управления напряжением, подаваемым на двигатель, состоящий из трех компонентов (отклонение по углу, производная отклонения, интеграл от отклонения), позволяет обеспечить приемлемое качество переходного процесса и астатизм системы при наличии начальной угловой скорости объекта. Постоянный внешний возмущающий момент, действующий на корпус КЛА, приводит в установившемся режиме к появлению малой ошибки Δα и плавному разгону двигателя-маховика, а время поддержания заданной ориентации становится ограниченным и зависящим от величины максимального кинетического момента двигателя J м ⋅ Ωмхх и величины возмущающего момента.
Литература
1. Петров В.П., Сочивко А.А. Искусственные спутники Земли и погода. – Л.: Гидрометеоиздат, 1961.
2. Аппель П. Теоретическая механика. – М.: Физматгиз, 1960.
3. Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе. –
СПб: Корона-Век, 2006.
Овчинников Игорь Евгеньевич Лагун Антон Владимирович
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, ludimit@yandex.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, lagunanton@yandex.ru
54 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 681.532.8
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ДВИГАТЕЛЯМИ-МАХОВИКАМИ
И.Е. Овчинников, А.В. Лагун
Рассматривается динамика одноосной системы ориентации космического летательного аппарата с помощью маховой массы, приводимой во вращение управляемым вентильным двигателем. Изучаются режимы при отсутствии внешнего возмущающего момента, действующего на аппарат, и при наличии длительного действующего момента малой величины. Ключевые слова: космический летательный аппарат, система ориентации, двигатель-маховик, вентильный двигатель.
Введение
В большинстве случаев после вывода на орбиту космических летательных аппаратов (КЛА) или искусственных спутников Земли (ИСЗ) требуется ориентация одной из их конструктивных осей на некоторый объект в космическом пространстве (Солнце, Звезда, планета) или по вертикали к Земле. Такая ориентация должна поддерживаться многие месяцы и даже годы, в силу чего встает задача экономии затрат энергии, необходимой для поддерживания заданного направления оси аппарата, отработки внешних возмущений или переориентации оси на другое направление.
Для решения подобных задач наилучшие результаты зачастую дают электрические двигатели-маховики, для питания которых электрическая энергия обеспечивается солнечными батареями, устанавливаемыми на КЛА [1]. Рассмотрим динамику двигателей-маховиков с целью исследования возможности применения для такой задачи вентильного двигателя.
Уравнения динамики двигателя-маховика в системе ориентации КЛА
Принцип осуществления ориентации или управляемого поворота КЛА основыва-
ется на законе сохранения момента количества движения системы тел спутник (КЛА)–
двигатель-маховик. Если предположить, что на такую систему тел не действуют внеш-
ние моменты, что хорошо оправдывается для условий свободного тела в космическом
пространстве, то закон сохранения момента количества движения для случая плоского
вращательного движения относительно некоторой оси формулируется в виде [2]
Ja ⋅ ωa + J м ⋅ Ωм = Ja ⋅ ωa (0) + J м ⋅ Ωм (0) = const .
(1)
Здесь Ja , J м − моменты инерции КЛА и ротора-маховика двигателя; ωa , Ωм – со-
ответственно их угловые скорости; ωa (0), Ωм (0) – начальные значения угловых ско-
ростей, которые в частном случае могут быть равны нулю. Произведения Ja ⋅ ωa и
J м ⋅ Ωм называются моментами количества движения КЛА и маховика соответственно.
Из выражения (1) видно, что любое изменение скорости движения ΔΩм приводит
к изменению скорости КЛА (или спутника) Δωa , но в противоположном направлении и
в соотношении, определяемом моментами инерции. Если Δωa = ωa − ωa (0) ,
48 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
И.Е. Овчинников, А.В. Лагун
ΔΩм = Ωм − Ωм (0) ,
то
с
учетом
уравнения
динамики
двигателя
J
м
⋅
ΔΩ м Δt
= Mд
из
(1)
имеем
Δωa
=
−
Jì Ja
⋅ ΔΩì
=
−
1 Ja
⋅
Mä
⋅
Δt
.
(2)
Таким образом, управляя скоростью ωa за счет изменения скорости двигателя
Ωм или момента двигателя M д , в соответствии с (1) или (2) можно управлять некото-
рой угловой координатой КЛА α = ∫ ωa dt . Схематически такая «плоская» задача пред-
ставлена на рис. 1, а, где двигатель-маховик ДМх размещен внутри спутника А , при-
чем статор двигателя неподвижно закреплен в корпусе А .
аб Рис. 1. Расположение электрических двигателей-маховиков в системе ориентации КЛА:
а – одноосная система, б – трехосная система
Появление скорости двигателя-маховика в направлении ωмx приводит к появле-
нию скорости спутника ωax , но в противоположном направлении, что соответствует
закону сохранения момента количества движения (1). В действительности задача дви-
жения может оказаться много сложней, поскольку КЛА представляет собой твердое те-
ло, поворачивающееся в процессе ориентации относительно точки, связанной с цен-
тром масс. Движение твердого тела относительно точки описывается уравнениями Эй-
лера [2], которые для нашего случая применительно к одной из осей имеют вид
( ) ∑Jax
⋅
d ωax dt
+
Jaz − Jay
⋅ ωay ⋅ ωaz =
Mx ,
(3)
∑ M x = −M дx + M вх ,
где ωax , ωay , ωaz – угловые скорости аппарата относительно соответствующих осей;
∑Jax , Jay , Jaz – моменты инерции аппарата относительно тех же осей; M x – сумма мо-
ментов, действующих относительно оси x ; M дх – электромагнитный момент двигателя ДМ , расположенного по оси x аппарата А (рис. 1, б); M вх – внешний возмущающий момент, действующий на корпус аппарата по оси x . Управление моментами двигателя
M дх , M дy , M дz в функции координат рассогласования осей x, y, z от требуемого поло-
жения, их производных и интегралов от рассогласования позволяет обеспечить задачу трехосной ориентации космического летательного аппарата. Знак «минус» обусловлен
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
49
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА …
тем, что учитывается момент, прикладываемый к статору двигателя, т.е. к корпусу ап-
парата А .
В случае, когда моменты инерции Jax = Jay = Jaz , что имеет, например, место для
однородного тела сферической формы, нелинейное уравнение с перекрестными связя-
ми (3) распадается на три независимых уравнения. Именно этот случай и будет иссле-
дован далее. Для оси x , таким образом, получим уравнение динамики для корпуса ап-
парата
J ax
⋅
d 2α dt
=
−M дх
+
M вх
и уравнение динамики для ротора-маховика двигателя
dα dt
= ωax ,
J
м
⋅
dΩ dt
м
= M дх .
Подставив одно уравнение в другое и затем интегрируя, получаем:
J ax
⋅
dα dt
+
Jм
⋅Ωм
=
M вх
⋅t
+
Hx
(0)
,
(4)
где H x (0) = Jax ⋅ ωax (0) + J м ⋅ Ωм (0) – начальные значения суммарного момента количе-
ства движения. Уравнение (4) позволяет исследовать возможные условия ориентации
при начальном рассогласовании α0 : 1) H (0) = 0 , M в = 0 ; 2) H x (0) = Jax ⋅ ωax (0) ≠ 0 ,
M в = 0 ; 3) H (0) = 0 , M в ≠ 0 .
При длительном функционировании системы ориентации к двигателю-маховику
предъявляется ряд требований, среди которых – малая масса и высокая надежность
двигателя, малые потери холостого хода, высокий удельный момент на единицу массы
двигателя. Наилучшим образом данному комплексу требований отвечает вентильный
двигатель [3] с возбуждением от редкоземельных постоянных магнитов, регулировоч-
ные характеристики которого и будут использованы при дальнейшем рассмотрении.
Моделирование динамики одноосной системы ориентации КЛА с вентильным двигателем-маховиком
Момент двигателя с учетом только первой гармоники питающего напряжения можно представить выражением [3]
( )Mдх
≈
3⋅ 3 2⋅π
⋅ ⎡⎢C / ⎣
⋅U
−
3⋅ π
3
⋅
C/
2
⋅Ωм
⎤ ⎥ ⎦
⋅
R12
+
R1 0, 3 ⋅
X12
,
(5)
где U − регулируемое напряжение в звене постоянного тока, R1 , X1 − активное и индук-
тивное сопротивление фазы, причем
X1
=
3 2
⋅
p
⋅
L1
⋅Ωм
,
L1 − собственная индуктивность
фазы, p − число пар полюсов, C / = p ⋅ k01 ⋅ w1 ⋅ Ф , k01 ⋅ w1 – эффективное число витков фазы, Ф – рабочий поток на пару полюсов.
Уравнение напряжения U , подаваемого на двигатель, запишем в форме
•
∫U = k1 ⋅ Δα + k2 ⋅ Δα+ k3 ⋅ Δα dt ,
(6)
где ошибка Δα = α − α0 (рис. 1, а). Выражения (4), (5), (6) образуют следующую систему уравнений:
50 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
И.Е. Овчинников, А.В. Лагун
( )Jax
⋅
d 2Δα dt 2
=
−
3⋅ 3 2⋅π
⋅ ⎢⎡C / ⎣
⋅U
−
3⋅ π
3
⋅
C/
2
⎤ ⋅Ωм ⎥⋅
⎦
R12
R1 + 0,3⋅
X12
+
M вх ,
•
∫U = k1 ⋅ Δα + k2 ⋅ Δα + k3 ⋅ Δα dt ,
(7)
( )J
м
⋅
dΩ dt
м
=
3⋅ 2⋅
3 π
⋅
⎡⎢C / ⎣
⋅U
−
3⋅ π
3
⋅
C/
2
⋅Ωм
⎤ ⎥ ⎦
⋅
R12
+
R1 0, 3 ⋅
X12
.
Использование интеграла от ошибки позволит обеспечить астатизм системы, т.е.
отсутствие установившейся ошибки по окончании переходного процесса ориентации.
Структурная схема системы, соответствующей уравнениям (7), представлена на рис. 2,
а. В зависимости от рассматриваемого варианта мы будем полагать в структурной схе-
ме: 1) H (0) = 0 , M в = 0 ; 2) H (0) ≠ 0 , M в = 0 ; 3) H (0) = 0 , M в ≠ 0 . Моделирование сис-
темы дифференциальных уравнений (7), имеющих нелинейность относительно Ωм ,
обусловленную характеристикой момента двигателя M дх (5), было проведено при сле-
дующих исходных данных: Ф = 1,15⋅10−3 Вб , R1 = 0, 0353 Ом , L1 = 9,15⋅10−5 Гн , p = 3 , w1 = 36 , k1 = 100 В рад , k2 = 200 В ⋅ с рад , k3 = 0,1 В рад ⋅ с , J м = 33,1 кг ⋅ м2 ,
Jа = 2385 кг ⋅ м2 , α0 = 0,5 рад . Максимальное напряжение в звене постоянного тока
двигателя Umax = 100 В, скорость идеального холостого хода двигателя
Ω0хх = 100
рад с
.
а
бвг
Рис. 2. Структурная схема (а) и переходный процесс одноосной ориентации с двигателем-маховиком по углу ошибки (б), по скорости аппарата (в), по скорости маховика (г)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
51
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА …
Результаты моделирования представлены на рис. 2, б–г. Из рисунков видно, что
переходный процесс заканчивается приблизительно через 40 с, причем, как и следовало
ожидать, в установившемся режиме скорость аппарата
dα dt
и скорость
двигателя-
маховика Ωм равны нулю, поскольку начальное значение момента количества движения было нулевым:
H x (0) = Jax ⋅ ωax (0) + J м ⋅ Ωм (0) = 0 .
Второе условие применительно к уравнению (3) было сформулировано для на-
чальных условиях по углу рассогласования и угловой скорости аппарата в виде
α0 = 0,5 рад ,
dα (0) dt
= 0,58 рад с
.
Возмущающий
момент
M вх
предполагался равным
нулю. Все остальные данные были приняты, как и в предыдущем примере. Результаты
моделирования представлены на рис. 3.
абв
Рис. 3. Переходный процесс при наличии начального угла рассогласования и начальной угловой скорости аппарата: а – для угла ошибки, б – для скорости
аппарата, в – для скорости маховика
В отличие от предыдущего случая, установившаяся скорость маховика отлична от
нуля (рис. 3, в), поскольку в соответствии с законом сохранения момента количества
движения (3) при
M вх = 0
⎜⎛ ⎝
dα dt
⎟⎞ ⎠∞
=
0,
(Ωм )∞
=
H x (0) ,
Jм
т.е.
весь
начальный
момент
ко-
личества движения, обусловленный начальной скоростью аппарата,
J
ax
⋅
dα dt
(
0
)
=
Hx (0) ,
по
окончании
переходного
процесса
«перекачивается»
в
момент
количества движения маховика:
Jм
⋅(Ωм
)∞
=
J ax
⋅
dα dt
(0)
.
Рассмотрим последний случай для уравнения (3), когда на аппарат действует не-
который малый возмущающий момент M вх , а начальные условия по угловой скорости
аппарата – нулевые. Величина момента принята равной Mв = 10−3 Н ⋅ м . Результат мо-
делирования представлен на рис. 4.
52 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
И.Е. Овчинников, А.В. Лагун
а бв Рис. 4. Переходный процесс при наличии начального угла рассогласования и возмущающего момента: а – для угла рассогласования, б – для скорости аппарата,
в – для скорости маховика
На рис. 4, а, и 4, б, также как и в случае рис. 2, б, и 2, в, угловая скорость аппарата
dα в конце переходного процесса приходит к нулевому значению. Однако скорость dt
маховика Ωм медленно возрастает, что можно наблюдать за сравнительно продолжи-
тельное время. Это объясняется тем, что по окончании процесса ориентации, когда уг-
ловая скорость аппарата
dα dt
равна нулю, двигатель должен создавать электромагнит-
ный момент, равный и встречно направленный к внешнему моменту M в , действующе-
му на корпус КЛА. Этот момент создается за счет подаваемого на двигатель нарастаю-
∫щего сигнала вида Δα∞ dt , где Δα∞ – установившееся значение ошибки, которая в си-
лу малости (0,001) на рис. 4, а, не видна. Под действием этого весьма малого электро-
магнитного момента ротор двигателя с маховиком будет постепенно разгоняться. Раз-
гон может осуществляться вплоть до скорости холостого хода двигателя. Это, в свою
очередь, означает, что время непрерывного «парирования» внешнего возмущающего
момента с помощью электромагнитного момента двигателя-маховика будет равно
tmax
=
J м ⋅ Ωм хх Мв
.
Для
нашего
случая
время
составит
tmax
=
33,1⋅ 418 10−3 ⋅ 3600
=
3843
час
.
После
разгона до скорости холостого хода двигатель должен быть остановлен, а момент коли-
чества движения и соответственно угловая скорость КЛА, приобретенная в связи с
этим, в соответствии с законом сохранения момента количества движения составят
⎛ dα ⎞ ⎝⎜ dt ⎠⎟max
=
−
Jм
⋅ Ωм хх J ax
.
Чтобы процесс ориентации двигателем-маховиком мог быть возобновлен, следует
«разгрузить» аппарат импульсом реактивного момента, создаваемого специальными
микрореактивными разгрузочными двигателями, причем импульс разгрузочного мо-
мента должен быть равен
Mp
⋅tp
=
J ax
⋅ ⎜⎛ ⎝
dα dt
⎞⎟ ⎠ max
,
где M p − разгрузочный момент, t p − время действия разгрузочного момента.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)
53
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА …
Заключение
Показано, что вентильный двигатель-маховик является эффективным средством управления угловым положением космического летательного аппарата. Сигнал управления напряжением, подаваемым на двигатель, состоящий из трех компонентов (отклонение по углу, производная отклонения, интеграл от отклонения), позволяет обеспечить приемлемое качество переходного процесса и астатизм системы при наличии начальной угловой скорости объекта. Постоянный внешний возмущающий момент, действующий на корпус КЛА, приводит в установившемся режиме к появлению малой ошибки Δα и плавному разгону двигателя-маховика, а время поддержания заданной ориентации становится ограниченным и зависящим от величины максимального кинетического момента двигателя J м ⋅ Ωмхх и величины возмущающего момента.
Литература
1. Петров В.П., Сочивко А.А. Искусственные спутники Земли и погода. – Л.: Гидрометеоиздат, 1961.
2. Аппель П. Теоретическая механика. – М.: Физматгиз, 1960.
3. Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе. –
СПб: Корона-Век, 2006.
Овчинников Игорь Евгеньевич Лагун Антон Владимирович
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, ludimit@yandex.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, lagunanton@yandex.ru
54 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 5(63)