Гидродинамические особенности течения газонаполненных напитков в кольцевом канале при розливе
УДК 621.047:621.926
Гидродинамические особенности течения газонаполненных напитков в кольцевом
канале при розливе
Лунев К.Н., Алексеев Г.В., gva2003@rambler.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Серьезные проблемы в совершенствовании производства газонаполненных напитков с точки зрения повышения ресурсосбережения создает стадия их розлива. С одной стороны, неконтролируемые скорость и газосодержание приводит к несанкционированному повышению давления и «выплескам» напитков. С другой стороны, заведомо заниженные скорости розлива уменьшают производительность процесса. Одним из путей преодоления существующих проблем является автоматическое отслеживание скачков избыточного давления за счет совершенствования разливочного устройства.
Ключевые слова: розлив газонаполненных напитков, избыточное давление квадратичная область гидравлического сопротивления.
В промышленной практике широко распространен случай изотермического движения несжимаемой жидкости в кольцевом зазоре между двумя концентрическими трубами. Такая задача возникает, например, при розливе шампанского, пива и других газонаполненных жидкостей.
Рис.1 Движение жидкости в кольцевом зазоре между двумя концентрическими трубами.
1
Рассмотрим модель разливочного устройства в виде двух концентрически
размещенных цилиндров.
На некотором расстоянии bR от оси цилиндров будет наблюдаться макси-
мальная скорость движения модельной среды. Движение ее восходящего пото-
ка в кольцевом пространстве может быть описано уравнением в цилиндриче-
ских координатах:
1 ⋅ dp = d 2 w + 1 ⋅ dw µ dx dr 2 r dr
или
1 r
⋅
d dr
⋅
r
⋅
dp dr
=
1 µ
⋅
dp dx
=
const
.
(1)
Распределение скоростей и сил внутреннего трения в кольцевом сечении
можно определить интегрированием уравнения (1):
( ) ( ) ( )(2πLτ )r − (2πrLτ )r+∆r + 2πr∆rρw2 z=0 − 2πr∆rρw2 z=L − 2πr∆rLρg + 2πr∆r p − pL = 0 . (2)
Для несжимаемой жидкости её скорость wz при z = 0 и при z = L одинакова, следовательно, третий и четвёртый члены уравнения можно исключить. Со-
кратив уравнение на 2πL∆r, при стремлении ∆r к нулю получим:
lim
∆r
→0
(rτ
)r
+∆r − ∆r
(rτ
)r
=
p0
− pL L
.
(3)
Левая часть уравнения (3) представляет собой первую производную, по-
этому представим ее в виде
d (rτ ) = p0 − pL r ,
dr L
(4)
где p0 = pL + ρgh , поскольку силы давления и тяжести действуют в противоположных направлениях.
Интегрируя уравнение (4), получим:
τ = p0 − pL r + C1 .
2L r
(5)
Расстояние от оси, на котором скорость потока будет максимальна, r = bR,
тогда при τ = 0 константа C1 = 12 (p0 − pL )× (bR)2 / L и уравнение (5) примет вид
τ
=
( p0
− pL 2L
)R
r R
−b
R .
r
(6)
Поскольку τ = −µ dwz dr , распределение скорости будет описываться урав-
нением
dwz dr
=
−
(
p0
− pL 2µL
)R
r R
− b2
R r
.
(7)
2
После интегрирования последнего соотношения имеем:
wz
=
− (p0
− pL )R2
4µL
r R
2
− 2b2
ln
r R
+
C
2
.
(8)
Для определения константы интегрирования C2 учтём граничные условия:
wz = 0 при r=aR; wz = 0 при r = R.
(9)
После чего получим уравнения
( )0 = − (p0
0 = − (p0
− pL )R2
4µL
− pL )R2
4µL
a 2 − 2b2
(1+ C2 )
ln a + C2
,
(10)
откуда
b2
=
1− a2
2ln(1 a)
и
C2
= −1.
Окончательно профиль скоростей при ламинарном движении потока
в кольцевом зазоре определяется соотношением:
wz
=
( p0
− pL )R2
4µL
1
−
r 2 R
+
1− a2
ln(1 a
)
ln
r
R
.
(11)
Профиль напряжений в этом случае описывается уравнением
τ
=
∆p 2L
R
r
R
−
1− a2
2ln(1 a)
r
R
.
(12)
В предельном случае при a = 0 уравнение (11) превращается в известное уравнение описывающее течение ньютоновской жидкости в цилиндрической трубе. Средняя скорость жидкости в кольцевом зазоре может быть определена
следующим образом:
2π R
∫ ∫w ∫ ∫ср
=
wz rdrdθ
0 aR 2π R
rdrdθ
=
∆pR 2 8µL
1− a4
1
−
a
2
−
1− a2
ln(1 a
)
.
0 aR
Откуда объёмный расход:
( ) ( ) ( )V = w f сек ср
= w πК 2 1− a2 ср
=
π∆pR 4
1−
a4
8µL
−
1− a
ln(1
2
a
2
)
.
(13) (14)
Развивая использованный подход, рассмотрим режим турбулентного дви-
жения жидкости, реализуемый при перетекании модельной среды в ёмкость. С этой целью на первом этапе определим распределение скорости течения,
3
а затем число Рейнольдса соответствующее интересующей нас области тече-
ния.
Известно, что при Re < 105 для турбулентного режима движения коэффици-
ент сопротивления λ зависит от числа Рейнольдса и от эффективной высоты
выступов, а при Re > 105 λ зависит только от шероховатости и носит название
квадратичной области сопротивления.
Подставляя
в
формулу
Re
=
ρ
wd э
значение Re=105 , оценим величину ско-
µ
рости движения среды соответствующее этому числу
w=
Re µ ρd
э
=
1051.3 ⋅10−3 1.035 ⋅103 ⋅ 4 ⋅10
−3
= 31.3
(м/с).
В рассматриваемом случае скорость определим по формуле (13), рассчи-
тывая число Рейнольдса и оценивая соответствующий ему режим течения:
2π R
∫ ∫w ∫ ∫ср
=
wz rdrdθ
0 aR 2π R
rdrdθ
=
∆pR 2 8µL
1 1
− −
a4 a2
−
1− a2
ln(1 a
)
=
0 aR
=
(2.2 − 2)105
8 ⋅1.3 ⋅10−3
⋅ 0.022 ⋅ 0.14
1
−
0.84
1 − 0.82
−
1 − 0.8
ln
1 0
/
2
8
= 146.64
(м/с)
Re = 4.7 ⋅105 , и, следовательно, рассматриваемому режиму движения соот-
ветствует область квадратичного гидравлического сопротивления.
H
а)
H
б)
Рис. 2. Графическое отображение зависимости для средней скорости движения жидкости в кольцевом зазоре.
4
Гидродинамические особенности рассматриваемого процесса проанализируем графически на (рис.2а). Одновременно построим соответствующий график линий уровня (рис.2б). Для построения зависимостей приняты исходные данные наблюдаемые в эксперименте:
µ = 1,3⋅10−3; p2 = 2,3; R = 0,2; L = 0,02 . По оси x откладывали “Р” — давление в баке розлива, по оси y — показания “а”, коэффициента соответствия внешнего и внутренних диаметров кольцевого канала, по оси z — “w”, скорость истечения жидкости. Аналогичные результаты можно получить интегрированием уравнений движения для установившегося течения несжимаемой жидкости в щели (канале) между двумя плоскими параллельными стенками. Рассмотрим канал, расположенный горизонтально, шириною 2у0, неограниченно простирающийся в направлении оси z (рис. 3а). Движение потока направлено по оси x причем рассматриваемый участок расположен достаточно далеко от входа и выхода канала.
а) б)
Рис. 3. Движение потока в вертикально направленном канале. а — течение в горизонтальном канале; б — течение потока в вертикально направленном канале.
Для одномерного потока wy и wz равны нулю и уравнение неразрывности можно записать следующим образом:
дwx дx = 0 .
Уравнение Навье-Стокса примет вид
др дх
=
ρgx
+
µ
д2 wx дy 2
+
д 2 wx дz 2
.
(15) (16)
Для канала расположенного горизонтально, массовая сила ρg x = 0 ; кроме
того, поскольку wx не зависит от z (канал неограниченно простирается в на-
правлении оси z), то д2wx дz 2 = 0 и уравнение (16) упростится:
дp дх
=
µ
д 2 wx дy 2
.
(17)
5
Ширина канала мала по сравнению с его протяженностью, поэтому
др/ду = 0 и др дz = 0 , откуда следует, что др дх = dp dx . Так как wx и д2w дy2
не зависят от x, то значение градиента скоростного давления dp/dx во всех точ-
ках канала будет постоянным. Следовательно, можно записать:
dp dx
=µ
д 2 wx дy 2
= const .
(18)
После интегрирования получим:
1 µ
dp dx
=
1 y
дwx дy
+ C1 .
(19)
Константа интегрирования С1 = 0, так как дw дy = 0 при у = 0. В результате
второго интегрирования запишем:
( )w = 1 dp 2µ dx
y2 − y02
+ C2 .
(20)
При y = y0 скорость w = 0 и константа интегрирования С2 = 0. Поскольку y2 < y02 уравнение (20) обычно представляют в виде
( )w
=
1 2µ
dp dx
y02 − y2
.
(21)
При у = 0 скорость w = w , отсюда макс
w
=
w макс
1
−
y y0
2
(22)
или
w
w макс
= 1− (y
y0 )2 .
(23)
Аналогично можно решить задачу для вертикально направленного канала
длиной L, шириной 2y0 и глубиной H (рис. 3б)
wz
=
dp dz
y02 2µ
1
−
x y0
2
(24)
или
wz
=
p0 − L
p
y02 2µ
1
−
x y0
2
.
(25)
Приведенные решения анализируемой задачи позволяют рассмотреть ее
относительно области, в которой коэффициент сопротивления зависит только
от эффективной высоты выступов на поверхности дозирующей емкости, обра-
щенной к жидкости.
6
В этом случае проследим зависимость объёмного расхода и газосодержа-
ния продукта от шероховатости труб «e», иначе от эффективной высоты высту-
пов на внутренней поверхности трубы.
Из формулы (14) эту зависимость можно выразить, представив ∆p через
уравнение Дарси-Вейсбаха:
∆p = λ l ρw2ср ,
d2
(26)
где λ — коэффициент сопротивления.
Подставив в уравнение (26) значение ∆p l = w 8µ R2 , согласно уравнению ср
( )w ср
=
V сек
πR 2
=−
dp dx 8µ
R2
=
w макс 2
имеем:
λ
=
2d ρw2 ср
8µw ср R2
=
32µ .
ρw R ср
(27)
Обозначив
R
=
d/2
и
w dρ ср
=
Re
,
получим
закон
сопротивления
при
лами-
нарном движении в круглой цилиндрической трубе с гладкой внутренней по-
верхностью:
λ = 64 / Re .
(28)
При турбулентном режиме (Re > Re ) движения жидкости в трубе следует кр
учитывать длину начального участка. По данным Никурадзе, L = (25 ÷ 40)d ; по нач
данным
Кирстена,
L нач
=
(50 ÷100)d
.
В ламинарном подслое скорость жидкости мала, пульсации скорости прак-
тически отсутствуют, но вследствие прилипания жидкости к обтекаемым стен-
кам имеют место очень большие поперечные градиенты скорости, которые вы-
зывают значительные напряжения силы трения. В турбулентном ядре уравне-
ния движения заменяют зависимости между осреднёнными величинами и ищут
их решения, используя параметры, описывающие мгновенное состояние дви-
жения потока.
Осреднение скорости обычно проводят по времени:
или по площади сечения потока
∫ϖ
=
1
τ 0 +τ1
wdτ
τ 0 τ1
(29)
∫w ср
=
1 S
wdS .
Таким образом, в случае турбулентного режима движения закон распреде-
ления скорости может быть получен только на основании анализа эксперимен-
7
тальных данных. Между ламинарным подслоем и турбулентным ядром нахо-
дится переходная зона, для которой одинаково важны и молекулярная вязкость
и турбулентность.
В ламинарном подслое распределение скоростей можно считать линей-
ным:
w w =r δ лл
(30)
где r — расстояние от оси трубы (в направлении, перпендикулярном стенке);
δ — толщина ламинарного подслоя (порядка 1 мм). л
В турбулентном ядре распределение осреднённых скоростей в пределах
изменения значений критерия Рейнольдса от 104 до 105 хорошо описывается
степенной зависимостью:
1
ϖ = 1 − r n ,
ϖ R макс
(31)
где n зависит от величины критерия Re и в рассматриваемых пределах может
быть принято равным 7 (по экспериментальным данным).
Таким образом, приближённо для турбулентного течения
ϖ ϖ = 4 5. макс
(32)
При решении задач, связанных с определением режима транспортирования
жидкостей или газов в трубопроводах, обычно пользуются зависимостью меж-
ду отношением w w и значением критерия Рейнольдса ср макс
w = 0.817ϖ . ср макс
Для определения коэффициента сопротивления λ при турбулентном ре-
жиме движения в пределах изменения значений критерия Re от 4 ⋅103 ÷105
для гидравлически гладких труб можно пользоваться формулой Блазиуса:
λ
=
0.316
/
Re
1 4
.
(33)
Более точная зависимость (для больших значений Re) между коэффициен-
том сопротивления λ и режимом движения может быть получена при исполь-
зовании логарифмического закона распределения скоростей. При выводе лога-
рифмического профиля Re → ∞ , поскольку пренебрегают молекулярной вязко-
стью µ по сравнению с вязкостью при турбулентном течениии µT . Для значений Re > 105 коэффициент сопротивления можно рассчитать
по формуле:
( )1 λ = 2 lg Re λ − 0.8 .
(34)
8
Исследованиями Никурадзе, Шиллера и других учёных установлено,
что коэффициент сопротивления λ в значительной степени зависит также
и от шероховатости труб:
λ = f (Re,e) ,
(35)
где е — эффективная высота выступов на внутренней поверхности трубы.
Обычно для характеристики шероховатости используют так называемую отно-
сительную шероховатость e/d или d/e (где d — диаметр трубы).
Если высота выступов e в трубе меньше толщины ламинарного подслоя δ ,
то шероховатость стенок не влияет на величину коэффициента сопротивления
λ при турбулентном режиме движения потока. При большой высоте выступов
(e>δ ) турбулентность потока увеличивается, и сопротивление возрастает.
Для равномерно зернистой шероховатости стенку трубы можно принимать
гидравлически гладкой в тех случаях, когда относительная шероховатость
меньше предельного значения
(e / d ) = 17.85 Re−0,875 . пр
При ламинарном режиме движения влияние шероховатости стенок трубы
на сопротивление очень незначительно и им обычно пренебрегают.
В переходной области от ламинарного к турбулентному режиму величина
относительной шероховатости почти не оказывает влияние на коэффициент со-
противления λ
Re = w dρ / µ . ср
Область, в которой коэффициент λ зависит только от относительной ше-
роховатости и не зависит от Re, носит название области квадратичной зависи-
мости сопротивления от скорости потока ( )∆p; w2ср .
Приведенные выше законы сопротивления справедливы как для труб
с круглым сечением, так и с некруглым, если в критерий Рейнольдса ввести
вместо диаметра трубы d эквивалентный или гидравлический диаметр d , равэ
ный учетверённому гидравлическому радиусу.
Так, например, для сечения межтрубного пространства дозирующей емко-
сти типа «труба в трубе» эквивалентный диаметр
( )d э
=
4π D 2 − d 2
4π (D + d )
=D−d .
Чтобы проследить зависимость объёмного расхода и газосодержания
от шероховатости поверхности внутренних стенок дозатора следует рассматри-
вать область развитой турбулентности или область квадратичной зависимости.
9
В области квадратичной зависимости, течение жидкости описывается
уравнением Прандтля-Никурадзе
λ
=
1 1.14 + 2 lg
d
2
.
k
(36)
Зависимость газосодержания от шероховатости внутренней поверхности
можно вычислить при помощи формулы (37)
ε Г′
=
p′′ε Г ″
p′′ε
″
Г
+
p′ε н″
,
(37)
где ε Г′ — объёмная доля газа в жидкости или газосодержание разлитого напит-
ка в ёмкость, ε Г ″ — объёмная доля газа в жидкости или газосодержание жидко-
сти в баке розлива, ε ″ — объёмная доля жидкой фазы в двух фазной смеси н
в баке розлива p′ — соответственно давление в баке и в бутылке при розливе.
Далее, если представить p′ = p′′ − ∆p , где ∆p — определяется с учётом ко-
эффициента сопротивления λ , то
∆p = λ l ρw2ср ,
d2
а λ в свою очередь определяется по формуле (36).
(38)
Приведенные рассуждения позволяют проследить зависимость газосодер-
жания, а, следовательно, и качества продукта, от внутренней шероховатости
стенок разливочного устройства.
Записанные соотношения устанавливают зависимость влияния шерохова-
тости внутренней поверхности цилиндрической части дозатора на объёмный
расход (точность дозирования).
Список литературы
1. Алексеев Г.В., Лунев К.Н. Возможности совершенствования процесса и аппарата для розлива газонаполненной жидкости. Электронный научный журнал. — Процессы и аппараты пищевых производств, 2009, №1, www.openmechanics.com/journals
2. Гидромеханические процессы химической технологии. Романков П.Г. 1982. Л., химия, 3 изд. 287 с.
3. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. 2005 г., 544 с.
4. Хьюитт Д., Холл-Тейлор Н. Кольцевые двухфазные течения. Пер. с англ., М., Энергия, 1974.
10
Hydrodynamic features of flow in gas-filled drinks in an annular channel at bottling
Lunyov K.N., Alexeyev G.V.
Saint-Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
From the standpoint of resource-saving, serious problems for improvement of manufacture of gas-filled drinks arise at the stage of bottling. On one hand, uncontrolled speed and gas content result in unapproved pressure rising and drinks “splashing”. On the other hand – deliberately understated speeds of bottling slow down process productivity. One way to overcome the existing problems is automatic monitoring overpressure jumps owing to perfection of filling devices.
Keywords: gas-filled drinks bottling, excess pressure, quadratic realm of hydraulic resistance.
11
Гидродинамические особенности течения газонаполненных напитков в кольцевом
канале при розливе
Лунев К.Н., Алексеев Г.В., gva2003@rambler.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Серьезные проблемы в совершенствовании производства газонаполненных напитков с точки зрения повышения ресурсосбережения создает стадия их розлива. С одной стороны, неконтролируемые скорость и газосодержание приводит к несанкционированному повышению давления и «выплескам» напитков. С другой стороны, заведомо заниженные скорости розлива уменьшают производительность процесса. Одним из путей преодоления существующих проблем является автоматическое отслеживание скачков избыточного давления за счет совершенствования разливочного устройства.
Ключевые слова: розлив газонаполненных напитков, избыточное давление квадратичная область гидравлического сопротивления.
В промышленной практике широко распространен случай изотермического движения несжимаемой жидкости в кольцевом зазоре между двумя концентрическими трубами. Такая задача возникает, например, при розливе шампанского, пива и других газонаполненных жидкостей.
Рис.1 Движение жидкости в кольцевом зазоре между двумя концентрическими трубами.
1
Рассмотрим модель разливочного устройства в виде двух концентрически
размещенных цилиндров.
На некотором расстоянии bR от оси цилиндров будет наблюдаться макси-
мальная скорость движения модельной среды. Движение ее восходящего пото-
ка в кольцевом пространстве может быть описано уравнением в цилиндриче-
ских координатах:
1 ⋅ dp = d 2 w + 1 ⋅ dw µ dx dr 2 r dr
или
1 r
⋅
d dr
⋅
r
⋅
dp dr
=
1 µ
⋅
dp dx
=
const
.
(1)
Распределение скоростей и сил внутреннего трения в кольцевом сечении
можно определить интегрированием уравнения (1):
( ) ( ) ( )(2πLτ )r − (2πrLτ )r+∆r + 2πr∆rρw2 z=0 − 2πr∆rρw2 z=L − 2πr∆rLρg + 2πr∆r p − pL = 0 . (2)
Для несжимаемой жидкости её скорость wz при z = 0 и при z = L одинакова, следовательно, третий и четвёртый члены уравнения можно исключить. Со-
кратив уравнение на 2πL∆r, при стремлении ∆r к нулю получим:
lim
∆r
→0
(rτ
)r
+∆r − ∆r
(rτ
)r
=
p0
− pL L
.
(3)
Левая часть уравнения (3) представляет собой первую производную, по-
этому представим ее в виде
d (rτ ) = p0 − pL r ,
dr L
(4)
где p0 = pL + ρgh , поскольку силы давления и тяжести действуют в противоположных направлениях.
Интегрируя уравнение (4), получим:
τ = p0 − pL r + C1 .
2L r
(5)
Расстояние от оси, на котором скорость потока будет максимальна, r = bR,
тогда при τ = 0 константа C1 = 12 (p0 − pL )× (bR)2 / L и уравнение (5) примет вид
τ
=
( p0
− pL 2L
)R
r R
−b
R .
r
(6)
Поскольку τ = −µ dwz dr , распределение скорости будет описываться урав-
нением
dwz dr
=
−
(
p0
− pL 2µL
)R
r R
− b2
R r
.
(7)
2
После интегрирования последнего соотношения имеем:
wz
=
− (p0
− pL )R2
4µL
r R
2
− 2b2
ln
r R
+
C
2
.
(8)
Для определения константы интегрирования C2 учтём граничные условия:
wz = 0 при r=aR; wz = 0 при r = R.
(9)
После чего получим уравнения
( )0 = − (p0
0 = − (p0
− pL )R2
4µL
− pL )R2
4µL
a 2 − 2b2
(1+ C2 )
ln a + C2
,
(10)
откуда
b2
=
1− a2
2ln(1 a)
и
C2
= −1.
Окончательно профиль скоростей при ламинарном движении потока
в кольцевом зазоре определяется соотношением:
wz
=
( p0
− pL )R2
4µL
1
−
r 2 R
+
1− a2
ln(1 a
)
ln
r
R
.
(11)
Профиль напряжений в этом случае описывается уравнением
τ
=
∆p 2L
R
r
R
−
1− a2
2ln(1 a)
r
R
.
(12)
В предельном случае при a = 0 уравнение (11) превращается в известное уравнение описывающее течение ньютоновской жидкости в цилиндрической трубе. Средняя скорость жидкости в кольцевом зазоре может быть определена
следующим образом:
2π R
∫ ∫w ∫ ∫ср
=
wz rdrdθ
0 aR 2π R
rdrdθ
=
∆pR 2 8µL
1− a4
1
−
a
2
−
1− a2
ln(1 a
)
.
0 aR
Откуда объёмный расход:
( ) ( ) ( )V = w f сек ср
= w πК 2 1− a2 ср
=
π∆pR 4
1−
a4
8µL
−
1− a
ln(1
2
a
2
)
.
(13) (14)
Развивая использованный подход, рассмотрим режим турбулентного дви-
жения жидкости, реализуемый при перетекании модельной среды в ёмкость. С этой целью на первом этапе определим распределение скорости течения,
3
а затем число Рейнольдса соответствующее интересующей нас области тече-
ния.
Известно, что при Re < 105 для турбулентного режима движения коэффици-
ент сопротивления λ зависит от числа Рейнольдса и от эффективной высоты
выступов, а при Re > 105 λ зависит только от шероховатости и носит название
квадратичной области сопротивления.
Подставляя
в
формулу
Re
=
ρ
wd э
значение Re=105 , оценим величину ско-
µ
рости движения среды соответствующее этому числу
w=
Re µ ρd
э
=
1051.3 ⋅10−3 1.035 ⋅103 ⋅ 4 ⋅10
−3
= 31.3
(м/с).
В рассматриваемом случае скорость определим по формуле (13), рассчи-
тывая число Рейнольдса и оценивая соответствующий ему режим течения:
2π R
∫ ∫w ∫ ∫ср
=
wz rdrdθ
0 aR 2π R
rdrdθ
=
∆pR 2 8µL
1 1
− −
a4 a2
−
1− a2
ln(1 a
)
=
0 aR
=
(2.2 − 2)105
8 ⋅1.3 ⋅10−3
⋅ 0.022 ⋅ 0.14
1
−
0.84
1 − 0.82
−
1 − 0.8
ln
1 0
/
2
8
= 146.64
(м/с)
Re = 4.7 ⋅105 , и, следовательно, рассматриваемому режиму движения соот-
ветствует область квадратичного гидравлического сопротивления.
H
а)
H
б)
Рис. 2. Графическое отображение зависимости для средней скорости движения жидкости в кольцевом зазоре.
4
Гидродинамические особенности рассматриваемого процесса проанализируем графически на (рис.2а). Одновременно построим соответствующий график линий уровня (рис.2б). Для построения зависимостей приняты исходные данные наблюдаемые в эксперименте:
µ = 1,3⋅10−3; p2 = 2,3; R = 0,2; L = 0,02 . По оси x откладывали “Р” — давление в баке розлива, по оси y — показания “а”, коэффициента соответствия внешнего и внутренних диаметров кольцевого канала, по оси z — “w”, скорость истечения жидкости. Аналогичные результаты можно получить интегрированием уравнений движения для установившегося течения несжимаемой жидкости в щели (канале) между двумя плоскими параллельными стенками. Рассмотрим канал, расположенный горизонтально, шириною 2у0, неограниченно простирающийся в направлении оси z (рис. 3а). Движение потока направлено по оси x причем рассматриваемый участок расположен достаточно далеко от входа и выхода канала.
а) б)
Рис. 3. Движение потока в вертикально направленном канале. а — течение в горизонтальном канале; б — течение потока в вертикально направленном канале.
Для одномерного потока wy и wz равны нулю и уравнение неразрывности можно записать следующим образом:
дwx дx = 0 .
Уравнение Навье-Стокса примет вид
др дх
=
ρgx
+
µ
д2 wx дy 2
+
д 2 wx дz 2
.
(15) (16)
Для канала расположенного горизонтально, массовая сила ρg x = 0 ; кроме
того, поскольку wx не зависит от z (канал неограниченно простирается в на-
правлении оси z), то д2wx дz 2 = 0 и уравнение (16) упростится:
дp дх
=
µ
д 2 wx дy 2
.
(17)
5
Ширина канала мала по сравнению с его протяженностью, поэтому
др/ду = 0 и др дz = 0 , откуда следует, что др дх = dp dx . Так как wx и д2w дy2
не зависят от x, то значение градиента скоростного давления dp/dx во всех точ-
ках канала будет постоянным. Следовательно, можно записать:
dp dx
=µ
д 2 wx дy 2
= const .
(18)
После интегрирования получим:
1 µ
dp dx
=
1 y
дwx дy
+ C1 .
(19)
Константа интегрирования С1 = 0, так как дw дy = 0 при у = 0. В результате
второго интегрирования запишем:
( )w = 1 dp 2µ dx
y2 − y02
+ C2 .
(20)
При y = y0 скорость w = 0 и константа интегрирования С2 = 0. Поскольку y2 < y02 уравнение (20) обычно представляют в виде
( )w
=
1 2µ
dp dx
y02 − y2
.
(21)
При у = 0 скорость w = w , отсюда макс
w
=
w макс
1
−
y y0
2
(22)
или
w
w макс
= 1− (y
y0 )2 .
(23)
Аналогично можно решить задачу для вертикально направленного канала
длиной L, шириной 2y0 и глубиной H (рис. 3б)
wz
=
dp dz
y02 2µ
1
−
x y0
2
(24)
или
wz
=
p0 − L
p
y02 2µ
1
−
x y0
2
.
(25)
Приведенные решения анализируемой задачи позволяют рассмотреть ее
относительно области, в которой коэффициент сопротивления зависит только
от эффективной высоты выступов на поверхности дозирующей емкости, обра-
щенной к жидкости.
6
В этом случае проследим зависимость объёмного расхода и газосодержа-
ния продукта от шероховатости труб «e», иначе от эффективной высоты высту-
пов на внутренней поверхности трубы.
Из формулы (14) эту зависимость можно выразить, представив ∆p через
уравнение Дарси-Вейсбаха:
∆p = λ l ρw2ср ,
d2
(26)
где λ — коэффициент сопротивления.
Подставив в уравнение (26) значение ∆p l = w 8µ R2 , согласно уравнению ср
( )w ср
=
V сек
πR 2
=−
dp dx 8µ
R2
=
w макс 2
имеем:
λ
=
2d ρw2 ср
8µw ср R2
=
32µ .
ρw R ср
(27)
Обозначив
R
=
d/2
и
w dρ ср
=
Re
,
получим
закон
сопротивления
при
лами-
нарном движении в круглой цилиндрической трубе с гладкой внутренней по-
верхностью:
λ = 64 / Re .
(28)
При турбулентном режиме (Re > Re ) движения жидкости в трубе следует кр
учитывать длину начального участка. По данным Никурадзе, L = (25 ÷ 40)d ; по нач
данным
Кирстена,
L нач
=
(50 ÷100)d
.
В ламинарном подслое скорость жидкости мала, пульсации скорости прак-
тически отсутствуют, но вследствие прилипания жидкости к обтекаемым стен-
кам имеют место очень большие поперечные градиенты скорости, которые вы-
зывают значительные напряжения силы трения. В турбулентном ядре уравне-
ния движения заменяют зависимости между осреднёнными величинами и ищут
их решения, используя параметры, описывающие мгновенное состояние дви-
жения потока.
Осреднение скорости обычно проводят по времени:
или по площади сечения потока
∫ϖ
=
1
τ 0 +τ1
wdτ
τ 0 τ1
(29)
∫w ср
=
1 S
wdS .
Таким образом, в случае турбулентного режима движения закон распреде-
ления скорости может быть получен только на основании анализа эксперимен-
7
тальных данных. Между ламинарным подслоем и турбулентным ядром нахо-
дится переходная зона, для которой одинаково важны и молекулярная вязкость
и турбулентность.
В ламинарном подслое распределение скоростей можно считать линей-
ным:
w w =r δ лл
(30)
где r — расстояние от оси трубы (в направлении, перпендикулярном стенке);
δ — толщина ламинарного подслоя (порядка 1 мм). л
В турбулентном ядре распределение осреднённых скоростей в пределах
изменения значений критерия Рейнольдса от 104 до 105 хорошо описывается
степенной зависимостью:
1
ϖ = 1 − r n ,
ϖ R макс
(31)
где n зависит от величины критерия Re и в рассматриваемых пределах может
быть принято равным 7 (по экспериментальным данным).
Таким образом, приближённо для турбулентного течения
ϖ ϖ = 4 5. макс
(32)
При решении задач, связанных с определением режима транспортирования
жидкостей или газов в трубопроводах, обычно пользуются зависимостью меж-
ду отношением w w и значением критерия Рейнольдса ср макс
w = 0.817ϖ . ср макс
Для определения коэффициента сопротивления λ при турбулентном ре-
жиме движения в пределах изменения значений критерия Re от 4 ⋅103 ÷105
для гидравлически гладких труб можно пользоваться формулой Блазиуса:
λ
=
0.316
/
Re
1 4
.
(33)
Более точная зависимость (для больших значений Re) между коэффициен-
том сопротивления λ и режимом движения может быть получена при исполь-
зовании логарифмического закона распределения скоростей. При выводе лога-
рифмического профиля Re → ∞ , поскольку пренебрегают молекулярной вязко-
стью µ по сравнению с вязкостью при турбулентном течениии µT . Для значений Re > 105 коэффициент сопротивления можно рассчитать
по формуле:
( )1 λ = 2 lg Re λ − 0.8 .
(34)
8
Исследованиями Никурадзе, Шиллера и других учёных установлено,
что коэффициент сопротивления λ в значительной степени зависит также
и от шероховатости труб:
λ = f (Re,e) ,
(35)
где е — эффективная высота выступов на внутренней поверхности трубы.
Обычно для характеристики шероховатости используют так называемую отно-
сительную шероховатость e/d или d/e (где d — диаметр трубы).
Если высота выступов e в трубе меньше толщины ламинарного подслоя δ ,
то шероховатость стенок не влияет на величину коэффициента сопротивления
λ при турбулентном режиме движения потока. При большой высоте выступов
(e>δ ) турбулентность потока увеличивается, и сопротивление возрастает.
Для равномерно зернистой шероховатости стенку трубы можно принимать
гидравлически гладкой в тех случаях, когда относительная шероховатость
меньше предельного значения
(e / d ) = 17.85 Re−0,875 . пр
При ламинарном режиме движения влияние шероховатости стенок трубы
на сопротивление очень незначительно и им обычно пренебрегают.
В переходной области от ламинарного к турбулентному режиму величина
относительной шероховатости почти не оказывает влияние на коэффициент со-
противления λ
Re = w dρ / µ . ср
Область, в которой коэффициент λ зависит только от относительной ше-
роховатости и не зависит от Re, носит название области квадратичной зависи-
мости сопротивления от скорости потока ( )∆p; w2ср .
Приведенные выше законы сопротивления справедливы как для труб
с круглым сечением, так и с некруглым, если в критерий Рейнольдса ввести
вместо диаметра трубы d эквивалентный или гидравлический диаметр d , равэ
ный учетверённому гидравлическому радиусу.
Так, например, для сечения межтрубного пространства дозирующей емко-
сти типа «труба в трубе» эквивалентный диаметр
( )d э
=
4π D 2 − d 2
4π (D + d )
=D−d .
Чтобы проследить зависимость объёмного расхода и газосодержания
от шероховатости поверхности внутренних стенок дозатора следует рассматри-
вать область развитой турбулентности или область квадратичной зависимости.
9
В области квадратичной зависимости, течение жидкости описывается
уравнением Прандтля-Никурадзе
λ
=
1 1.14 + 2 lg
d
2
.
k
(36)
Зависимость газосодержания от шероховатости внутренней поверхности
можно вычислить при помощи формулы (37)
ε Г′
=
p′′ε Г ″
p′′ε
″
Г
+
p′ε н″
,
(37)
где ε Г′ — объёмная доля газа в жидкости или газосодержание разлитого напит-
ка в ёмкость, ε Г ″ — объёмная доля газа в жидкости или газосодержание жидко-
сти в баке розлива, ε ″ — объёмная доля жидкой фазы в двух фазной смеси н
в баке розлива p′ — соответственно давление в баке и в бутылке при розливе.
Далее, если представить p′ = p′′ − ∆p , где ∆p — определяется с учётом ко-
эффициента сопротивления λ , то
∆p = λ l ρw2ср ,
d2
а λ в свою очередь определяется по формуле (36).
(38)
Приведенные рассуждения позволяют проследить зависимость газосодер-
жания, а, следовательно, и качества продукта, от внутренней шероховатости
стенок разливочного устройства.
Записанные соотношения устанавливают зависимость влияния шерохова-
тости внутренней поверхности цилиндрической части дозатора на объёмный
расход (точность дозирования).
Список литературы
1. Алексеев Г.В., Лунев К.Н. Возможности совершенствования процесса и аппарата для розлива газонаполненной жидкости. Электронный научный журнал. — Процессы и аппараты пищевых производств, 2009, №1, www.openmechanics.com/journals
2. Гидромеханические процессы химической технологии. Романков П.Г. 1982. Л., химия, 3 изд. 287 с.
3. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. 2005 г., 544 с.
4. Хьюитт Д., Холл-Тейлор Н. Кольцевые двухфазные течения. Пер. с англ., М., Энергия, 1974.
10
Hydrodynamic features of flow in gas-filled drinks in an annular channel at bottling
Lunyov K.N., Alexeyev G.V.
Saint-Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
From the standpoint of resource-saving, serious problems for improvement of manufacture of gas-filled drinks arise at the stage of bottling. On one hand, uncontrolled speed and gas content result in unapproved pressure rising and drinks “splashing”. On the other hand – deliberately understated speeds of bottling slow down process productivity. One way to overcome the existing problems is automatic monitoring overpressure jumps owing to perfection of filling devices.
Keywords: gas-filled drinks bottling, excess pressure, quadratic realm of hydraulic resistance.
11