Решение задачи диффузии в мембране применительно к разделению эмульсий.
Решение задачи диффузии в мембране применительно к разделению эмульсий.
Вороненко Б.А., Пеленко В.В., Поляков С.В.
Поставлена и решена аналитически краевая задача диффузии, описывающая механизм баромембранного разделения компонентов эмульсий
в технологическом процессе производства крема кондитерского
Ключевые слова: математическое описание, диффузия, мембрана, микрофильтрация, эмульсия, пермеат, дисперсная фаза
Эмульсии - это системы, состоящие из двух несмешивающихся жидких фаз, одна из которых диспергирована в другой. Различают эмульсии прямого типа – «масло в воде» и обратного типа – «вода в масле». Концентрация дисперсной фазы в жидкостях может варьироваться от очень малой (капельки свободно плавают в дисперсионной среде) до очень большой – 95 – 99% (дисперсионная среда составляет только тонкие прослойки между капельками) [1].
Наиболее перспективный метод разделения эмульсий, особенно тонкодисперсных - микрофильтрация [2 - 4]. С еѐ помощью можно повысить содержание эмульгированного масла в водной эмульсии с 1 – 10 до 90%, получая в пермеате практически чистую воду [3].
Для прогнозирования процессов разделения эмульсий, выбора оптимальных условий проведения этих процессов необходимы соответствующие математические описания.
Количественное описание диффузионных процессов, происходящих в мембране – технологической перегородке, обеспечивающих из-за своих свойств селективной проницаемости разделение веществ в основном без
химических превращений – базируется на трѐх основных подходах: статистическом, термодинамическом и феноменологическом [5].
На основе феноменологического подхода некоторые задачи поставлены и решены Н.И. Николаевым [5]. В настоящей работе рассмотрена диффузионная краевая задача, дополняющая исследования автора [5].
Через плоскую мембрану определенных размеров (толщиной L и площадью S) из ограниченного объема V, содержащего вещество концентрации Со, диффундирует это вещество в объѐм с постоянной концентрацией Сс.
Предполагается, что диффузионные потоки с торцов мембраны отсутствуют.
Математическое описание исследуемого процесса заключается в решении одномерного уравнения нестационарной диффузии
; (0 L, τ
(1)
при следующих начальных и граничных условиях: С( ,0) = 0;
(2)
(3)
С(L,τ) = Cc = const
(4)
Здесь (2) – начальное условие, заключающееся в том, что в момент
начала процесса плоская мембрана не содержит диффундирующего
вещества.
Граничное условие (3) показывает, что интенсивность изменения
концентрации диффундирующего вещества на границе мембраны с объемом
V вызывает поток массы диффундирующего вещества внутрь мембраны.
Граничное условие первого рода (4) отражает тот факт, что
продиффундированное через мембрану вещество поступает в достаточно
большой объем, не изменяющее концентрации этого вещества Сс, либо быстро отводится от мембраны.
Решение краевой задачи диффузии (1) – (4) методом интегрального преобразования Лапласа приводит к следующему выражению для распределения концентрации диффундирующего вещества в мембране:
, (5)
где µn – последовательные положительные корни характеристического уравнения
ctgµ = -
(6)
Усреднение по объему безразмерной концентрации (X, Fi) по формуле
приводит к выражению для массы поглощаемого мембраной диффундирующего вещества:
(7)
(8)
Для малых значений Fi решение (5) мало удобно. Наиболее пригодное для малых значений Fi решение получено в следующем виде:
(9)
где erfcZ = 1 – erfZ =
,
erfZ =
, - функция ошибок Гаусса (табулирована).
Обозначения С=С(x, τ) – концентрация вещества, диффундирующего в мембране;
- безразмерная концентрация;
СС – концентрация среды, в которую поступает продиффундированное через мембрану вещество; х – текущая координата; L – толщина мембраны; τ – время; D– коэффициент молекулярной диффузии; V – объем; S – площадь плоской мембраны;
- число Фика (диффузионный критерий Фика);
– безразмерная координата, 0
Вороненко Б.А., Пеленко В.В., Поляков С.В.
Поставлена и решена аналитически краевая задача диффузии, описывающая механизм баромембранного разделения компонентов эмульсий
в технологическом процессе производства крема кондитерского
Ключевые слова: математическое описание, диффузия, мембрана, микрофильтрация, эмульсия, пермеат, дисперсная фаза
Эмульсии - это системы, состоящие из двух несмешивающихся жидких фаз, одна из которых диспергирована в другой. Различают эмульсии прямого типа – «масло в воде» и обратного типа – «вода в масле». Концентрация дисперсной фазы в жидкостях может варьироваться от очень малой (капельки свободно плавают в дисперсионной среде) до очень большой – 95 – 99% (дисперсионная среда составляет только тонкие прослойки между капельками) [1].
Наиболее перспективный метод разделения эмульсий, особенно тонкодисперсных - микрофильтрация [2 - 4]. С еѐ помощью можно повысить содержание эмульгированного масла в водной эмульсии с 1 – 10 до 90%, получая в пермеате практически чистую воду [3].
Для прогнозирования процессов разделения эмульсий, выбора оптимальных условий проведения этих процессов необходимы соответствующие математические описания.
Количественное описание диффузионных процессов, происходящих в мембране – технологической перегородке, обеспечивающих из-за своих свойств селективной проницаемости разделение веществ в основном без
химических превращений – базируется на трѐх основных подходах: статистическом, термодинамическом и феноменологическом [5].
На основе феноменологического подхода некоторые задачи поставлены и решены Н.И. Николаевым [5]. В настоящей работе рассмотрена диффузионная краевая задача, дополняющая исследования автора [5].
Через плоскую мембрану определенных размеров (толщиной L и площадью S) из ограниченного объема V, содержащего вещество концентрации Со, диффундирует это вещество в объѐм с постоянной концентрацией Сс.
Предполагается, что диффузионные потоки с торцов мембраны отсутствуют.
Математическое описание исследуемого процесса заключается в решении одномерного уравнения нестационарной диффузии
; (0 L, τ
(1)
при следующих начальных и граничных условиях: С( ,0) = 0;
(2)
(3)
С(L,τ) = Cc = const
(4)
Здесь (2) – начальное условие, заключающееся в том, что в момент
начала процесса плоская мембрана не содержит диффундирующего
вещества.
Граничное условие (3) показывает, что интенсивность изменения
концентрации диффундирующего вещества на границе мембраны с объемом
V вызывает поток массы диффундирующего вещества внутрь мембраны.
Граничное условие первого рода (4) отражает тот факт, что
продиффундированное через мембрану вещество поступает в достаточно
большой объем, не изменяющее концентрации этого вещества Сс, либо быстро отводится от мембраны.
Решение краевой задачи диффузии (1) – (4) методом интегрального преобразования Лапласа приводит к следующему выражению для распределения концентрации диффундирующего вещества в мембране:
, (5)
где µn – последовательные положительные корни характеристического уравнения
ctgµ = -
(6)
Усреднение по объему безразмерной концентрации (X, Fi) по формуле
приводит к выражению для массы поглощаемого мембраной диффундирующего вещества:
(7)
(8)
Для малых значений Fi решение (5) мало удобно. Наиболее пригодное для малых значений Fi решение получено в следующем виде:
(9)
где erfcZ = 1 – erfZ =
,
erfZ =
, - функция ошибок Гаусса (табулирована).
Обозначения С=С(x, τ) – концентрация вещества, диффундирующего в мембране;
- безразмерная концентрация;
СС – концентрация среды, в которую поступает продиффундированное через мембрану вещество; х – текущая координата; L – толщина мембраны; τ – время; D– коэффициент молекулярной диффузии; V – объем; S – площадь плоской мембраны;
- число Фика (диффузионный критерий Фика);
– безразмерная координата, 0