Новый метод решения краевой задачи Дирихле для продольного обтека-ния тонкого тела вращения идеальной жидкостью.
УДК-532.51
Новый метод решения краевой задачи Дирихле для продольного обтекания тонкого тела вращения идеальной жидкостью.
Л.Н. Корниенко, Е.И. Якушенко Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и
пищевых технологий
Анализируется краевая задача Дирихле для осесимметричного продольного обтекания идеальной жидкостью тонкого тела вращения. Получено необходимое для решения уравнение движения жидкости. Найдено его фундаментальное решение. Задача Дирихле сведена к интегральному уравнению Фредгольма 1 рода, которое решено.
Ключевые слова: уравнение движения идеальной жидкости, фундаментальное решение, тонкое тело вращения, продольное обтекание, интегральное уравнение, краевая задача Дирихле, решение, поле коэффициента гидродинамического давления.
Подробное изложение вопросов, связанных с аэродинамикой тонких тел без учета и с учетом сжимаемости потока дали Ф.И.Франкль и Е.А.Карпович в своей книге [1]. После выхода в свет этой книги опубликовано большое число работ по теории обтекания тонких тел, в том числе с использованием методов возмущений жидкости [2, 3]. Основные результаты исследований в этой области систематически изложены в обзорной статье Г.Г.Черного “Теория сверхзвуковых течений жидкости” [4].
В настоящей работе предложен новый метод решения рассматриваемой задачи с использованием интегрального уравнения типа Фредгольма 1 рода для краевой задачи Дирихле, которое решено.
Первоначально получим такое дифференциальное уравнение движения жидкости, при котором можно упростить решение.
1. Осесимметричное течение жидкости. Воспользуемся условиями сплошности и отсутствия вихрей в потоке в цилиндрической системе координат [5]:
divV 0;
z z0
(1.1)
rot V 0; z
z0
(1.2)
Для их преобразования используем подстановку Л.И.Седова [6]
z cos sin
(1.3)
Здесь z , – проекции вектора скорости жидкости на цилиндрические
zоси и , соответственно; – модуль V ; – угол между вектором скоро-
zсти V и осью симметрии ;
z, – определяет поле углов наклона к
zоси касательных к линиям тока.
После подстановки и преобразований можно записать
divV 0; sin
ln sin
rotV 0; ln sin cos z
cos
ln cos sin
.
zz
ln cos sin
.
z
Из этой системы уравнений найдем дифференциальные зависимости между ln и .
Для краткости записей и упрощения преобразований воспользуемся
определителями второго порядка и следующими обозначениями:
ln
;
ln z
z z;
z
(1.4)
В результате получим
2
sin
cos sin
z z
sin cos
,
sin cos
z z
cos sin
.
(1.5)
При решении этой системы уравнений воспользуемся двумя известны-
ми свойствами определителей:
Свойство I
h
a c
b d
a c
hb hd
,
Свойство II
ab cd
ae cf
a c
b d
e f
.
Для получения первого решения с учетом свойства I, умножим (1.5) на
cos , а (1.6) на sin . Результат сложим почленно. С учетом свойства II
получим
sin cos
1 0
z z
0 1
.
С учетом (1.4) из последнего уравнения будем иметь
sin cos
ln . z
(1.6)
Для получения второго решения умножим (1.5) на sin , а (1.6) на
cos . После аналогичных преобразований найдем
sin 2
0 1
z z
01.
или
sin2 ln
.
z
(1.7)
3
Дифференцируя (1.7) по , а (1.8) по z и вычитая из первого второе, с
учетом sin2
1 1 cos2 , запишем 2
1 2
sin 2
z
1 2
cos2
0.
(1.8)
Выражение (1.9) является нелинейным уравнением эллиптического типа. Его точное решение в [7] отсутствует.
Для возможности его дальнейшего использования линеаризируем (1.9) при малых углах , при справедливости равенств
sin 2 2 ; cos2 1. С учетом (1.10) из (1.9) найдем искомое уравнение.
(1.9)
1 2 0.
(1.10)
Равенство (1.11) отличается от уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат тем, что в уравнении Лапласа отсутствует слагаемое вида
2.
2. Фундаментальное решение. Преобразуем (1.11) с помощью подстановки
n (2.1) После преобразований запишем
2n 1 1
n2 1 2 0.
(2.2)
Его можно существенно упростить (при n 1), то есть привести к виду
1 0,
(2.3)
где .
(2.4)
Такое уравнение совпадает с уравнением для функции тока при осе-
симметричном течении идеальной жидкости в цилиндрической системе ко-
4
ординат [5]. Его фундаментальное решение определяется следующим выражением
q 4
1
z z2 2
(2.5)
Здесь q – интенсивность особенности. С учетом (2.4) преобразуем уравнение (2.5)
q 4
1
z z2 2
(2.6)
Легко проверить, что это фундаментальное решение для (1.11) удовлетворяет следующим граничным условиям на бесконечности
lim z, lim z,
z
0 0
(2.7)
С учетом (2.7) фундаментальное решение (2,5) позволяет найти выра-
жение интегрального уравнения для краевых условий на образующей r r z
поверхности обтекаемого тела вращения, где r z его радиус.
На поверхности тела вращения линия тока совпадает с образующей
r r z его поверхности. Очевидно, что в этом случае должны выполняться
следующие краевые условия на самой образующей:
z r z; rz ;
z r zrz; a b ra rb 0
(2.8)
3. Краевое интегральное уравнение. Из (2.5) следует, что интегральное уравнение для краевых условий (2.8) можно записать в виде [5]
z
1
b
q t dt
b
qt z
t dt
,
4a
a z t 2 r2 z
(3.1)
где b a – длина тонкого тела; z и r z – известные функции; q t – необходимо определить, как распределена интенсивность по оси симмет-
5
ричности z . Для того, чтобы получить аналитическое решение интегрального уравнения (3.1), его следует упростить, используя условие для тонкого тела. В этом случае можно перенести краевые условия с образующей поверхности на ось симметрии z .
В результате получим
z
1
b
q t dt
bqt z
t dt .
4a
a zt
(3.2)
Это равенство является интегральным уравнением Фредгольма 1 рода с
ядром вида
K z,t 1 z t , zt
аналитическое решение которого можно найти. 4. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1 рода. Если продифференцировать по переменной z уравнение (3.2), получим равенство
z
1
d
b
q t dt
d b q t z t dt .
4 dz a
dz a z t
(4.1)
Здесь
d
b
q t dt
0 – как производная от постоянной величины.
dz a
С учетом [8] и особенностей второго интеграла (4.1) запишем
b q t z t dt a zt
z
lim q t dt 0a
z
lim 0a
qt z z
t dt t
b
lim 0z
qt z t
t dt z
zz
z
lim q t dt q t dt lim q t dt.
0a b
0z
Откуда найдем
b q t z t dt
zz
q t dt q t dt
a zt
a
b
(4.2)
Подставим (4.2) в (4.1). После дифференцирования (4.2) получим иско-
мое решение уравнения (3.2)
z
1 2
q
z
6
или
qz 2 z,
(4.3)
где z r z r z известная функция.
При известной интенсивности q z 2 z поле углов наклона каса-
тельных к линиям тока в жидкости обтекающей данное тело будет опреде-
ляться выражением
z,
1b
b
t dt
t z t dt ,
2a
a z t2
2
где первый интеграл с учетом (2.8) равен нулю.
В этом случае запишем последнее уравнение следующим образом
z, 1 b t z t dt .
2 a z t2
2
(4.4)
Из (4.4) видно, что z, удовлетворяет нулевым граничным услови-
ям на бесконечности при z
и при
, учитывая (2.8).
5. Величина коэффициента гидродинамического давления на поверхно-
сти обтекаемого тела.
Для определения поля гидродинамического давления вокруг обтекае-
мого тела и на его поверхности воспользуемся уравнениями (1.7) и (1.8) при
малой величине угла , которые в этом случае примут вид
ln z
(5.1)
ln z (5.2)
Используя (4.4) найдем производную z
z
,z
1 b t dt
2 a z t2
2 12
1 b t z t 2dt
2 a z t2
2 32
(5.3)
Подставим (5.3) в (5.1) и результат проинтегрируем по переменной .
Получим
7
ln
1b 2a
d 1b z 2a t z t 2dt
t dt
d 2z
d 2z
t
2
3 2
t 2 12 Cz
(5.4)
После вычисления неопределенных интегралов и упрощений в (5.4) будем иметь
ln
1b 2a 2
t dt z t 2 12
Cz
(5.5)
Определим значение функции C z .
Для этого найдем производную
ln z
из (5.5), выражения
ис
использованием (4.4), которые будут равны
ln z
1b 2a
t z t dt 2 z t 2 32
Cz
(5.6)
1 b t z t dt 1 b t z t dt
2
2 a
2
z t 2 12 2 a 2
z t 2 32
(5.7)
1b
2
2 a
t z t dt 2 z t 2 12
(5.8)
Подставим (5.6), (5.7) и (5.8) в уравнение (5.2). После сокращений определим, что
C z 0,
т.е. C z C1 const.
(5.9)
Так как C1 произвольная постоянная, будем полагать, что
C1 ln
(5.10)
Подставим (5.10), с учетом (5.9), в (5.5). После преобразования найдем
выражение
exp
1b 2a 2
t dt z t 2 12
,
(5.11)
8
которое определяет поле скоростей в осесимметричном потоке жидкости. Для определения значений коэффициента гидродинамического давле-
ния p в жидкости воспользуемся его известным выражением [9]
p1
2
(5.12)
Подставим в последнее уравнение равенство (5.11) и запишем
p 1 exp
b a2
t dt z t 2 12
,
(5.13)
где t r t 2 r t r t .
При определении распределения коэффициента давления ps вдоль обтекаемой поверхности в уравнении (5.13) нужно выполнить условие r z . Окончательно найдем
ps 1 exp
b
a r2 z
t dt z t 2 12
,
(5.14)
где в пределах интегрирования добавляется малая величина ввиду того, что r a , r b .
6. Заключение. Решение (5.134) является достаточно общим. С его помощью можно, например, исследовать обтекание идеальной жидкостью тонкого слабо гофрированного тела и т.д.
Используя полученные результаты, можно так же определить поле линий тока и поле гидродинамического давления в потоке обтекающем тонкое тело вращения.
9
Список литературы. 1.Франкль Ф.И., Карпович Е.А. Газодинамика тонких тел. М.;Л. ГИТТЛ, 1948.176 с. 2.Ван-Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 312 с. 3.Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 276 с. 4.Черный Г.Г. Теория сверхзвуковых течений газа. //В кн. Механика в СССР за 50 лет. Т.2/ М.: Наука, 1970. 5.Кочин Н.С., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч.1. М.: ГИТТЛ, 1955. 560 с. 6.Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 444 с. 7.Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики. Точные решения. Справочник. М.: ФМЛ, 2002. 432 с. 8.Полянин А.Д., Манжиров А.В. В.Ф. Справочник по интегральным уравнениям. М.: ФМЛ, 2003. 608 с. 9.Федяевский К.К., Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. Л.: Судостроение, 1968. 568 с. Лев Николаевич Корниенко. 198261, СПб., пр. Ветеранов, д. 105, кв. 162 д.т. (812) 759-98-28, моб. 8-921-390-13-94 д.т.н., профессор кафедры теоретической механики СПб ГУН и ПТ р.т. (812) 575-69-07, электронный адрес отсутствует
Евгений Иванович Якушенко. 19660_,
10
Новый метод решения краевой задачи Дирихле для продольного обтекания тонкого тела вращения идеальной жидкостью.
Л.Н. Корниенко, Е.И. Якушенко Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и
пищевых технологий
Анализируется краевая задача Дирихле для осесимметричного продольного обтекания идеальной жидкостью тонкого тела вращения. Получено необходимое для решения уравнение движения жидкости. Найдено его фундаментальное решение. Задача Дирихле сведена к интегральному уравнению Фредгольма 1 рода, которое решено.
Ключевые слова: уравнение движения идеальной жидкости, фундаментальное решение, тонкое тело вращения, продольное обтекание, интегральное уравнение, краевая задача Дирихле, решение, поле коэффициента гидродинамического давления.
Подробное изложение вопросов, связанных с аэродинамикой тонких тел без учета и с учетом сжимаемости потока дали Ф.И.Франкль и Е.А.Карпович в своей книге [1]. После выхода в свет этой книги опубликовано большое число работ по теории обтекания тонких тел, в том числе с использованием методов возмущений жидкости [2, 3]. Основные результаты исследований в этой области систематически изложены в обзорной статье Г.Г.Черного “Теория сверхзвуковых течений жидкости” [4].
В настоящей работе предложен новый метод решения рассматриваемой задачи с использованием интегрального уравнения типа Фредгольма 1 рода для краевой задачи Дирихле, которое решено.
Первоначально получим такое дифференциальное уравнение движения жидкости, при котором можно упростить решение.
1. Осесимметричное течение жидкости. Воспользуемся условиями сплошности и отсутствия вихрей в потоке в цилиндрической системе координат [5]:
divV 0;
z z0
(1.1)
rot V 0; z
z0
(1.2)
Для их преобразования используем подстановку Л.И.Седова [6]
z cos sin
(1.3)
Здесь z , – проекции вектора скорости жидкости на цилиндрические
zоси и , соответственно; – модуль V ; – угол между вектором скоро-
zсти V и осью симметрии ;
z, – определяет поле углов наклона к
zоси касательных к линиям тока.
После подстановки и преобразований можно записать
divV 0; sin
ln sin
rotV 0; ln sin cos z
cos
ln cos sin
.
zz
ln cos sin
.
z
Из этой системы уравнений найдем дифференциальные зависимости между ln и .
Для краткости записей и упрощения преобразований воспользуемся
определителями второго порядка и следующими обозначениями:
ln
;
ln z
z z;
z
(1.4)
В результате получим
2
sin
cos sin
z z
sin cos
,
sin cos
z z
cos sin
.
(1.5)
При решении этой системы уравнений воспользуемся двумя известны-
ми свойствами определителей:
Свойство I
h
a c
b d
a c
hb hd
,
Свойство II
ab cd
ae cf
a c
b d
e f
.
Для получения первого решения с учетом свойства I, умножим (1.5) на
cos , а (1.6) на sin . Результат сложим почленно. С учетом свойства II
получим
sin cos
1 0
z z
0 1
.
С учетом (1.4) из последнего уравнения будем иметь
sin cos
ln . z
(1.6)
Для получения второго решения умножим (1.5) на sin , а (1.6) на
cos . После аналогичных преобразований найдем
sin 2
0 1
z z
01.
или
sin2 ln
.
z
(1.7)
3
Дифференцируя (1.7) по , а (1.8) по z и вычитая из первого второе, с
учетом sin2
1 1 cos2 , запишем 2
1 2
sin 2
z
1 2
cos2
0.
(1.8)
Выражение (1.9) является нелинейным уравнением эллиптического типа. Его точное решение в [7] отсутствует.
Для возможности его дальнейшего использования линеаризируем (1.9) при малых углах , при справедливости равенств
sin 2 2 ; cos2 1. С учетом (1.10) из (1.9) найдем искомое уравнение.
(1.9)
1 2 0.
(1.10)
Равенство (1.11) отличается от уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат тем, что в уравнении Лапласа отсутствует слагаемое вида
2.
2. Фундаментальное решение. Преобразуем (1.11) с помощью подстановки
n (2.1) После преобразований запишем
2n 1 1
n2 1 2 0.
(2.2)
Его можно существенно упростить (при n 1), то есть привести к виду
1 0,
(2.3)
где .
(2.4)
Такое уравнение совпадает с уравнением для функции тока при осе-
симметричном течении идеальной жидкости в цилиндрической системе ко-
4
ординат [5]. Его фундаментальное решение определяется следующим выражением
q 4
1
z z2 2
(2.5)
Здесь q – интенсивность особенности. С учетом (2.4) преобразуем уравнение (2.5)
q 4
1
z z2 2
(2.6)
Легко проверить, что это фундаментальное решение для (1.11) удовлетворяет следующим граничным условиям на бесконечности
lim z, lim z,
z
0 0
(2.7)
С учетом (2.7) фундаментальное решение (2,5) позволяет найти выра-
жение интегрального уравнения для краевых условий на образующей r r z
поверхности обтекаемого тела вращения, где r z его радиус.
На поверхности тела вращения линия тока совпадает с образующей
r r z его поверхности. Очевидно, что в этом случае должны выполняться
следующие краевые условия на самой образующей:
z r z; rz ;
z r zrz; a b ra rb 0
(2.8)
3. Краевое интегральное уравнение. Из (2.5) следует, что интегральное уравнение для краевых условий (2.8) можно записать в виде [5]
z
1
b
q t dt
b
qt z
t dt
,
4a
a z t 2 r2 z
(3.1)
где b a – длина тонкого тела; z и r z – известные функции; q t – необходимо определить, как распределена интенсивность по оси симмет-
5
ричности z . Для того, чтобы получить аналитическое решение интегрального уравнения (3.1), его следует упростить, используя условие для тонкого тела. В этом случае можно перенести краевые условия с образующей поверхности на ось симметрии z .
В результате получим
z
1
b
q t dt
bqt z
t dt .
4a
a zt
(3.2)
Это равенство является интегральным уравнением Фредгольма 1 рода с
ядром вида
K z,t 1 z t , zt
аналитическое решение которого можно найти. 4. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1 рода. Если продифференцировать по переменной z уравнение (3.2), получим равенство
z
1
d
b
q t dt
d b q t z t dt .
4 dz a
dz a z t
(4.1)
Здесь
d
b
q t dt
0 – как производная от постоянной величины.
dz a
С учетом [8] и особенностей второго интеграла (4.1) запишем
b q t z t dt a zt
z
lim q t dt 0a
z
lim 0a
qt z z
t dt t
b
lim 0z
qt z t
t dt z
zz
z
lim q t dt q t dt lim q t dt.
0a b
0z
Откуда найдем
b q t z t dt
zz
q t dt q t dt
a zt
a
b
(4.2)
Подставим (4.2) в (4.1). После дифференцирования (4.2) получим иско-
мое решение уравнения (3.2)
z
1 2
q
z
6
или
qz 2 z,
(4.3)
где z r z r z известная функция.
При известной интенсивности q z 2 z поле углов наклона каса-
тельных к линиям тока в жидкости обтекающей данное тело будет опреде-
ляться выражением
z,
1b
b
t dt
t z t dt ,
2a
a z t2
2
где первый интеграл с учетом (2.8) равен нулю.
В этом случае запишем последнее уравнение следующим образом
z, 1 b t z t dt .
2 a z t2
2
(4.4)
Из (4.4) видно, что z, удовлетворяет нулевым граничным услови-
ям на бесконечности при z
и при
, учитывая (2.8).
5. Величина коэффициента гидродинамического давления на поверхно-
сти обтекаемого тела.
Для определения поля гидродинамического давления вокруг обтекае-
мого тела и на его поверхности воспользуемся уравнениями (1.7) и (1.8) при
малой величине угла , которые в этом случае примут вид
ln z
(5.1)
ln z (5.2)
Используя (4.4) найдем производную z
z
,z
1 b t dt
2 a z t2
2 12
1 b t z t 2dt
2 a z t2
2 32
(5.3)
Подставим (5.3) в (5.1) и результат проинтегрируем по переменной .
Получим
7
ln
1b 2a
d 1b z 2a t z t 2dt
t dt
d 2z
d 2z
t
2
3 2
t 2 12 Cz
(5.4)
После вычисления неопределенных интегралов и упрощений в (5.4) будем иметь
ln
1b 2a 2
t dt z t 2 12
Cz
(5.5)
Определим значение функции C z .
Для этого найдем производную
ln z
из (5.5), выражения
ис
использованием (4.4), которые будут равны
ln z
1b 2a
t z t dt 2 z t 2 32
Cz
(5.6)
1 b t z t dt 1 b t z t dt
2
2 a
2
z t 2 12 2 a 2
z t 2 32
(5.7)
1b
2
2 a
t z t dt 2 z t 2 12
(5.8)
Подставим (5.6), (5.7) и (5.8) в уравнение (5.2). После сокращений определим, что
C z 0,
т.е. C z C1 const.
(5.9)
Так как C1 произвольная постоянная, будем полагать, что
C1 ln
(5.10)
Подставим (5.10), с учетом (5.9), в (5.5). После преобразования найдем
выражение
exp
1b 2a 2
t dt z t 2 12
,
(5.11)
8
которое определяет поле скоростей в осесимметричном потоке жидкости. Для определения значений коэффициента гидродинамического давле-
ния p в жидкости воспользуемся его известным выражением [9]
p1
2
(5.12)
Подставим в последнее уравнение равенство (5.11) и запишем
p 1 exp
b a2
t dt z t 2 12
,
(5.13)
где t r t 2 r t r t .
При определении распределения коэффициента давления ps вдоль обтекаемой поверхности в уравнении (5.13) нужно выполнить условие r z . Окончательно найдем
ps 1 exp
b
a r2 z
t dt z t 2 12
,
(5.14)
где в пределах интегрирования добавляется малая величина ввиду того, что r a , r b .
6. Заключение. Решение (5.134) является достаточно общим. С его помощью можно, например, исследовать обтекание идеальной жидкостью тонкого слабо гофрированного тела и т.д.
Используя полученные результаты, можно так же определить поле линий тока и поле гидродинамического давления в потоке обтекающем тонкое тело вращения.
9
Список литературы. 1.Франкль Ф.И., Карпович Е.А. Газодинамика тонких тел. М.;Л. ГИТТЛ, 1948.176 с. 2.Ван-Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 312 с. 3.Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 276 с. 4.Черный Г.Г. Теория сверхзвуковых течений газа. //В кн. Механика в СССР за 50 лет. Т.2/ М.: Наука, 1970. 5.Кочин Н.С., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч.1. М.: ГИТТЛ, 1955. 560 с. 6.Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 444 с. 7.Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики. Точные решения. Справочник. М.: ФМЛ, 2002. 432 с. 8.Полянин А.Д., Манжиров А.В. В.Ф. Справочник по интегральным уравнениям. М.: ФМЛ, 2003. 608 с. 9.Федяевский К.К., Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. Л.: Судостроение, 1968. 568 с. Лев Николаевич Корниенко. 198261, СПб., пр. Ветеранов, д. 105, кв. 162 д.т. (812) 759-98-28, моб. 8-921-390-13-94 д.т.н., профессор кафедры теоретической механики СПб ГУН и ПТ р.т. (812) 575-69-07, электронный адрес отсутствует
Евгений Иванович Якушенко. 19660_,
10