Математическая модель регенеративного теплоутилизатора
УДК 621.515
Математическая модель регенеративного теплоутилизатора
Соболь Е.В. john-stud-spb@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий,
факультет КТ и К, кафедра кондиционирования воздуха
В данной статье описана математическая модель регенеративного теплоутилизатора: получены зависимости для нахождения коэффициента теплоотдачи, дифференциальные уравнения для расчета процессов тепломассопереноса. Представлено описание программного модуля для решения уравнений и получения коэффициентов регенерации и аккумуляции.
Ключевые слова: коэффициент теплоотдачи, процессы тепломассопереноса, программный модуль.
В последнее время рост стоимости энергетических ресурсов и повышение требований к качеству жизни существенно обострили проблему сокращения затрат на отопление и вентиляцию бытовых и производственных помещений. Одним из решений данной задачи является использование локальных систем вентиляции с утилизацией теплоты удаляемого из помещения воздуха. Важная роль в таких системах отведена регенеративному теплоутилизатору.
На рис. 1 изображен регенеративный теплоутилизатор с указанием направления движения теплоносителя. Движение воздуха попеременно осуществляется в обоих направлениях. Во всех каналах регенератора происходят одинаковые процессы теплообмена, поэтому можно рассматривать единичный канал (рис. 2). Процесс теплообмена в канале насадки является установившимся. Температура поверхности канала изменяется по длине насадки и по времени.
Примем следующие допущения: - регенератор теплоизолирован, поэтому потери тепла из насадки в окружаю-
щую среду отсутствуют; - теплообмен в насадке происходит без конденсации паров влажного воздуха; - теплофизические свойства регенератора и воздуха постоянны; - время прохождения воздуха через регенератор намного меньше, чем время
цикла.
1
Рис. 1. Конструкция стационарного регенеративного теплоутилизатора (1 — корпус регенератора; 2 — изоляционная фольга; 3 — вентилятор;
4 — теплоизоляция; 5 — регенеративная насадка).
Рис. 2. Сечение канала насадки регенеративного теплоутилизатора.
На рис. 2 изображен единичный канал насадки. Здесь: I и II — торцевые сечения насадки; Gак — расход воздуха на этапе аккумуляции (передача теплоты удаляемого воздуха насадке); Gрег — расход воздуха на этапе регенерации (передача теплоты от насадки к приточному воздуху); Tin — температура большего потенциала; Tout — температура меньшего потенциала; L — длина насадки. Расход воздуха через единичный канал насадки определяется как общий расход воздуха, отнесенный к общему количеству каналов насадки. Толщина стенки канала равна половине стенки между смежными каналами.
2
На рис. 3 приведены зависимости изменения температуры поступаемого и удаляемого воздуха в торцевых сечениях канала I и II от времени [2]. Здесь τак — время процесса аккумуляции теплоты насадкой; τрег — время процесса отдачи теплоты от насадки воздуху.
Рис. 3. Изменение температуры поступаемого и удаляемого воздуха в торцевых сечениях канала в зависимости от времени.
Рассмотрим изменение температуры воздуха в торцевом сечении канала I
за один период цикла. За период цикла будем принимать: τц = τак + τрег. За вре-
мя первого полупериода τак температура в канале сечения I постоянна и равна
внутренней температуре помещения. Через полупериод происходит изменение
направления движения воздуха и в течение времени τрег температура в сечении
изменяется по кривой, представленной на графике. После этого температура
воздуха скачком изменяется на первоначальное состояние. Далее циклы повто-
ряются.
Подобным образом происходит изменение температуры воздуха в торце-
вом сечении канала II.
Площади заштрихованных участков диаграммы пропорциональны теплоте
аккумулированной насадкой — Qак и регенерированной теплоте — Qрег.
Q ак
= Qрег ;
(1)
3
τрег
∫Q = рег
TIdτ − τTout рег ;
0
(2)
τ
ак
∫Q ак
= Tinτ ак
−
TIIdτ .
0
(3)
Рассмотрим выделенный элемент насадки длиной ∆z (Рис. 4). Для участка
канала ∆z составим уравнение теплового баланса для воздуха за время ∆τ.
Рис. 4. Выделенный участок канала длиной ∆z.
Количество теплоты в выделенном элементарном объеме в начальный
(предыдущий) момент времени:
( )Q1
=
1 2
TВ(
k −1) (i)
+
TВ(
k −1) ( i +1)
cВ ρВ s∆z
.
(4)
Количество теплоты в элементарном объеме через время ∆τ :
( )Q2
=
1 2
TВ( k( i))
+
TВ(
k) (i +1)
cВ ρВ s∆z
.
(5)
Теплота воздушного потока, поступившая в контрольный объем:
Q3
=
GTВ(
k) (i)
cВ
∆τ
.
(6)
4
Теплота воздушного потока, вышедшего из контрольного объема:
Q4
=
GT (k ) В (i+1)
cВ
∆τ
.
Количество теплоты участвующее в теплообмене с насадкой:
Q5
=
pα∆z∆τ
T (k) В (i )
+ T (k) В (i+1) 2
−
T (k) Н (i)
+ T (k) Н (i+1) 2
.
(7) (8)
Здесь: TВ — температура воздуха; TН — температура насадки; s — площадь проходного сечения канала; ρВ — плотность воздуха; p — периметр проходного сечения канала; α — коэффициент теплоотдачи.
Примем, что положительными являются процессы, приводящие к уменьшению теплосодержания контрольного объема. Тогда уравнение теплового баланса имеет вид
Q4 − Q3 + Q5 = Q1 − Q2 ;
( ) ( )τT − T(k) В ( i +1)
(k) В(i)
GcВ∆
+ T − T(k ) В(i+1 2)
(k ) Н (i+1 2)
pα∆z∆τ =
( ) ρ=
T − T(k ) В(i+1 2)
(k −1) В(i+1 2)
сВ
В s∆z
(9)
Пусть ∆z → 0 и ∆τ → 0 , тогда в любом сечении воздушного канала процесс
тепломассопереноса описывается дифференциальным уравнением
GcВ
∂TВ ∂z
+ cВρВs
∂TВ ∂τ
+
pα
(TВ
− TН
)
=
0
.
(10)
Для решения дифференциального уравнения (10) необходимо задать крае-
вые условия.
В качестве граничного условия зададим температуру воздуха на входе в
канал
TВ( z=0)
=
Tin
Tout
if if
G = Gак G = Gрег
.
(11)
Так как при номинальном режиме работы регенератора тепловые процессы
имеют циклический установившийся характер и не зависят от исходного тепло-
вого состояния, начальные условия могут задаваться в произвольной форме.
Для определенности примем, что при τ = 0 температура воздуха в канале
линейно изменяется от Tin до Tout , тогда начальное условие имеет вид
( )TВ(τ =0) = Tin −
Tin − Tout L
z
.
(12)
5
Составим уравнение тепломассопереноса для элементарного объема на-
садки.
Количество теплоты в элементарном объеме насадки в начальный (преды-
дущий) момент времени
( )Q6
=
1 2
TН(k(i−)1) + TН(k(i−+11))
cН ρН sН ∆z
.
(13)
Количество теплоты в элементарном объеме насадки через время ∆τ
( )Q7
=
1 2
TН(k(i)) + TН(k(i)+1)
cН ρН sН ∆z
.
(14)
Теплота, поступившая в элементарный объем насадки вследствие тепло-
проводности
Q8
=
λН sН ∆τ
T (k) Н (i)
+ T (k) Н (i−1)
∆z
.
(15)
Теплота, вышедшая из элементарного объема насадки вследствие тепло-
проводности
Q9
= λН sН ∆τ
T + T(k ) Н (i+1)
(k) Н (i)
∆z
.
(16)
Теплота, участвующая в теплообмене с воздухом
Q10 = −Q5 .
(17)
Здесь: cН — теплоемкость материала насадки; ρН — плотность материала
насадки; sН — площадь поперечного сечения насадки; λН — теплопроводность
материала насадки.
Уравнение теплового баланса для элементарного объема насадки имеет
вид
Q9 − Q8 − Q10 = Q6 − Q7 ;
( )T − 2T + T(k) Н (i+1)
(k) Н (i)
(k) Н (i−1)
( )∆z
λН сН ∆τ +
T − T(k ) Н (i+1 2)
(k)
В(i+1 2)
pα∆z∆τ =
( )=
TН(k(i)+1
2)
−
TН(k(
−1)
i +1
2)
cН ρН sН ∆z .
(18)
Если ∆z → 0 и ∆τ → 0 , то уравнение примет вид
λH cH
∂ 2TH ∂z 2
+ pα (TН
− TВ ) + cН ρН sН
TН ∂τ
=0
.
(19)
6
Для решения дифференциального уравнения (19) необходимо сформули-
ровать краевые условия. В допущениях было принято, что насадка теплоизоли-
рована, поэтому граничные условия можно представить в виде
∂TH ∂z
z =0
=
0;
∂TH ∂z
z = L
=
0
.
(20)
Начальное условие для уравнения (19) аналогично начальному условию
для уравнения (10)
( )TH (τ =0) = Tin −
Tin − Tout L
z
.
(21)
Для решения дифференциального уравнения (10) необходимо знать коэф-
фициент теплоотдачи α . Методика расчета коэффициента теплоотдачи была
взята из литературного источника [1]
α
=
Nu ⋅ λ d
,
э
(22)
где dэ — эквивалентный диаметр канала; λ – коэффициент теплопроводности воздуха; Nu – число Нуссельта.
В качестве определяющего размера используется эквивалентный диаметр
d э
=
4f П
,
(23)
где f — площадь поперечного сечения канала; П – смоченный периметр.
Для определения расчетного уравнения числа Нуссельта необходимо знать
режим движения воздуха в канале насадки. Найдем число Рейнольдса по сле-
дующей зависимости
Re
=
ρν d э η
,
(24)
где
ρ
–
плотность
воздуха,
ρ
= 1.2кг
/
3
м
;
υ
–
характерная
скорость
воздуха;
η
–
динамическая вязкость воздуха, η = 1.82⋅10−5 Н ⋅ с / м2 .
Для ламинарного режима движения воздуха, когда число Рейнольдса ле-
жит в пределах Re < 2 000. При таком режиме движения можно выделить вяз-
костной и вязкостно-гравитационный режимы. Они определяются через число
Релея:
Ra = Gr ⋅ Pr ,
(25)
где Gr — число Грасгофа, Pr — число Прандтля.
7
Число Прандтля для воздуха
Pr = 0.713.
Число Грасгофа
(26)
Gr
=
g
β
d
3 э
(tc
ν2
− t0 )
,
(27)
где g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с²; tc — температура поверхности теплообмена; t0 — температура теплоносителя; β — температурный ко-
эффициент объёмного расширения теплоносителя, ν — коэффициент кинема-
тической вязкости.
β
=
1 273 + t0
.
(28)
При условии Ra < 3⋅105 преобладает вязкостной режим и уравнения для
числа Нуссельта имеет вид
Nu
= 1.55(Pe
⋅
d вн
/
l
)
1 3
ε
l
,
(29)
где Pe — число Пекле, l — длина трубы, εl — коэффициент, учитывающий из-
менение коэффициента теплоотдачи по длине трубы.
εl
= 1+ 0.01
l
Re /d
вн
23
.
(30)
При условии Ra > 8⋅105 преобладает вязкостно-гравитационный режим и уравнение для числа Нуссельта имеет вид
Nu = 0,15Pe0,33Ra ε0,1 l ,
(31)
где Pe — число Пекле; Ra — число Релея; εl — поправочный коэффициент,
учитывающий изменение коэффициента теплоотдачи по длине канала.
Число Пекле
Pe
=
C
p
ρν
d э
χ
,
(32)
где Сp — теплоемкость при постоянном давлении, Сp = 1005 Дж / (кг ⋅ К ) ; χ — коэффициент теплопроводности воздуха, χ = 0,0257Вт / (м ⋅ К ) .
Для турбулентного режима движения теплоносителя, при числе Рейнольдса Re > 10 000 расчетное уравнение имеет вид
Nu = 0, 021Re0,8 Pr0,43 εl ,
(33)
8
где Pr — число Прандтля. При переходном движении воздуха 2 000 < Re < 10 000 используют урав-
нение для турбулентного режима, вводя в них поправочный множитель εпер, зависящий от значения числа Рейнольдса.
Таким образом, тепловой расчет процессов тепломассопереноса в канале регенеративного теплообменника сводится к совместному решению дифференциальных уравнений (10), (19) с краевыми условиями (11), (12) и (20), (21).
Для решения дифференциальных уравнений был применен метод разностных аналогов. Производные в уравнении (10) заменим на отношение конечных разностей. Для внутренних узлов применим интерполяцию по двум точкам, для крайнего узла применим интерполяцию по трем точкам. Это обеспечит одинаковую погрешность расчета. После подстановки в дифференциальное уравнение (10) получим уравнение для узлов пространственной и временной сеток. Подобным образом получаются уравнения для решения дифференциального уравнения (19).
Таким образом, расчет сводится к решению на каждом временном слое системы состоящей из (2n) линейных алгебраических уравнений.
В матричной форме система линейных алгебраических уравнений имеет вид
A T =b.
(34)
где A квадратная матрица коэффициентов размером 2n× 2n ; T — вектор-
столбец искомых температур размером 2n; b — вектор-столбец коэффициентов вычисляемых по результатам расчета предыдущего временного слоя размером 2n.
Матрица A является разреженной, число элементов отличных от нуля в
любой ее строке не больше четырех. Полученная система уравнений решалась
методом Гаусса с учетом разреженности матрицы. Интегралы, входящие в ус-
ловие (1) решались по методу трапеций.
Коэффициент аккумуляции теплоты:
∫ ( )K ак
= Tinτ ак
−
τT dτак k
0n
Tin
− Tout
τ
ак .
(35)
Коэффициент регенерации теплоты:
∫ ( )K = рег
T dττ рег k
0n
− Toutτ рег
/
Tin − Tout
τ
рег .
(36)
Результатом построения модели была разработка программы в среде Visual
Basic (Рис. 5). Для выполнения расчета необходимо задать геометрию насадки,
9
теплофизические характеристики материала насадки и теплоносителя и параметры работы регенератора. Результатом расчета в программе являются коэффициент теплоотдачи и коэффициенты аккумуляции и регенерации, а также температурные поля по временным слоям. При описанных ранее допущениях коэффициенты регенерации и аккумуляции должны быть равны. Температурные поля по временным слоям показывают характер теплообмена в каждом сечении насадки. Эта программа будет полезна для изучения теплообмена в насадке и дальнейшего совершенствования конструкции регенеративного теплоутилизатора.
Рис. 5. Интерфейс программы расчета теплообмена в регенеративном теплоутилизаторе.
10
Список литературы
1. Бараненко А.В., Бухарин Н.Н., Пекарев В.И., Сакун И.А., Тимофеевский Л.С. Холодильные машины. – Санкт-Петербург, 1997.
2. Васильев В.А., Гаврилов А.И., Каменецкий К.К., Соболь Е.В. Параметрическое исследование регенеративного теплообменника.// Вестник МАХ, 2010, №1.
Mathematical model of a regenerative heat exchanger
Sobol E.V. john-stud-spb@mail.ru
St.-Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
The present paper describes a mathematical model of a regenerative heat exchanger: there are developed dependences for determination of heat transfer coefficient, differential equations to calculate heat and mass transfer. A program module to solve equations and estimate regeneration and accumulation coefficients are shown.
Keywords: heat emission coefficient, heat emission processes, program module.
11
Математическая модель регенеративного теплоутилизатора
Соболь Е.В. john-stud-spb@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий,
факультет КТ и К, кафедра кондиционирования воздуха
В данной статье описана математическая модель регенеративного теплоутилизатора: получены зависимости для нахождения коэффициента теплоотдачи, дифференциальные уравнения для расчета процессов тепломассопереноса. Представлено описание программного модуля для решения уравнений и получения коэффициентов регенерации и аккумуляции.
Ключевые слова: коэффициент теплоотдачи, процессы тепломассопереноса, программный модуль.
В последнее время рост стоимости энергетических ресурсов и повышение требований к качеству жизни существенно обострили проблему сокращения затрат на отопление и вентиляцию бытовых и производственных помещений. Одним из решений данной задачи является использование локальных систем вентиляции с утилизацией теплоты удаляемого из помещения воздуха. Важная роль в таких системах отведена регенеративному теплоутилизатору.
На рис. 1 изображен регенеративный теплоутилизатор с указанием направления движения теплоносителя. Движение воздуха попеременно осуществляется в обоих направлениях. Во всех каналах регенератора происходят одинаковые процессы теплообмена, поэтому можно рассматривать единичный канал (рис. 2). Процесс теплообмена в канале насадки является установившимся. Температура поверхности канала изменяется по длине насадки и по времени.
Примем следующие допущения: - регенератор теплоизолирован, поэтому потери тепла из насадки в окружаю-
щую среду отсутствуют; - теплообмен в насадке происходит без конденсации паров влажного воздуха; - теплофизические свойства регенератора и воздуха постоянны; - время прохождения воздуха через регенератор намного меньше, чем время
цикла.
1
Рис. 1. Конструкция стационарного регенеративного теплоутилизатора (1 — корпус регенератора; 2 — изоляционная фольга; 3 — вентилятор;
4 — теплоизоляция; 5 — регенеративная насадка).
Рис. 2. Сечение канала насадки регенеративного теплоутилизатора.
На рис. 2 изображен единичный канал насадки. Здесь: I и II — торцевые сечения насадки; Gак — расход воздуха на этапе аккумуляции (передача теплоты удаляемого воздуха насадке); Gрег — расход воздуха на этапе регенерации (передача теплоты от насадки к приточному воздуху); Tin — температура большего потенциала; Tout — температура меньшего потенциала; L — длина насадки. Расход воздуха через единичный канал насадки определяется как общий расход воздуха, отнесенный к общему количеству каналов насадки. Толщина стенки канала равна половине стенки между смежными каналами.
2
На рис. 3 приведены зависимости изменения температуры поступаемого и удаляемого воздуха в торцевых сечениях канала I и II от времени [2]. Здесь τак — время процесса аккумуляции теплоты насадкой; τрег — время процесса отдачи теплоты от насадки воздуху.
Рис. 3. Изменение температуры поступаемого и удаляемого воздуха в торцевых сечениях канала в зависимости от времени.
Рассмотрим изменение температуры воздуха в торцевом сечении канала I
за один период цикла. За период цикла будем принимать: τц = τак + τрег. За вре-
мя первого полупериода τак температура в канале сечения I постоянна и равна
внутренней температуре помещения. Через полупериод происходит изменение
направления движения воздуха и в течение времени τрег температура в сечении
изменяется по кривой, представленной на графике. После этого температура
воздуха скачком изменяется на первоначальное состояние. Далее циклы повто-
ряются.
Подобным образом происходит изменение температуры воздуха в торце-
вом сечении канала II.
Площади заштрихованных участков диаграммы пропорциональны теплоте
аккумулированной насадкой — Qак и регенерированной теплоте — Qрег.
Q ак
= Qрег ;
(1)
3
τрег
∫Q = рег
TIdτ − τTout рег ;
0
(2)
τ
ак
∫Q ак
= Tinτ ак
−
TIIdτ .
0
(3)
Рассмотрим выделенный элемент насадки длиной ∆z (Рис. 4). Для участка
канала ∆z составим уравнение теплового баланса для воздуха за время ∆τ.
Рис. 4. Выделенный участок канала длиной ∆z.
Количество теплоты в выделенном элементарном объеме в начальный
(предыдущий) момент времени:
( )Q1
=
1 2
TВ(
k −1) (i)
+
TВ(
k −1) ( i +1)
cВ ρВ s∆z
.
(4)
Количество теплоты в элементарном объеме через время ∆τ :
( )Q2
=
1 2
TВ( k( i))
+
TВ(
k) (i +1)
cВ ρВ s∆z
.
(5)
Теплота воздушного потока, поступившая в контрольный объем:
Q3
=
GTВ(
k) (i)
cВ
∆τ
.
(6)
4
Теплота воздушного потока, вышедшего из контрольного объема:
Q4
=
GT (k ) В (i+1)
cВ
∆τ
.
Количество теплоты участвующее в теплообмене с насадкой:
Q5
=
pα∆z∆τ
T (k) В (i )
+ T (k) В (i+1) 2
−
T (k) Н (i)
+ T (k) Н (i+1) 2
.
(7) (8)
Здесь: TВ — температура воздуха; TН — температура насадки; s — площадь проходного сечения канала; ρВ — плотность воздуха; p — периметр проходного сечения канала; α — коэффициент теплоотдачи.
Примем, что положительными являются процессы, приводящие к уменьшению теплосодержания контрольного объема. Тогда уравнение теплового баланса имеет вид
Q4 − Q3 + Q5 = Q1 − Q2 ;
( ) ( )τT − T(k) В ( i +1)
(k) В(i)
GcВ∆
+ T − T(k ) В(i+1 2)
(k ) Н (i+1 2)
pα∆z∆τ =
( ) ρ=
T − T(k ) В(i+1 2)
(k −1) В(i+1 2)
сВ
В s∆z
(9)
Пусть ∆z → 0 и ∆τ → 0 , тогда в любом сечении воздушного канала процесс
тепломассопереноса описывается дифференциальным уравнением
GcВ
∂TВ ∂z
+ cВρВs
∂TВ ∂τ
+
pα
(TВ
− TН
)
=
0
.
(10)
Для решения дифференциального уравнения (10) необходимо задать крае-
вые условия.
В качестве граничного условия зададим температуру воздуха на входе в
канал
TВ( z=0)
=
Tin
Tout
if if
G = Gак G = Gрег
.
(11)
Так как при номинальном режиме работы регенератора тепловые процессы
имеют циклический установившийся характер и не зависят от исходного тепло-
вого состояния, начальные условия могут задаваться в произвольной форме.
Для определенности примем, что при τ = 0 температура воздуха в канале
линейно изменяется от Tin до Tout , тогда начальное условие имеет вид
( )TВ(τ =0) = Tin −
Tin − Tout L
z
.
(12)
5
Составим уравнение тепломассопереноса для элементарного объема на-
садки.
Количество теплоты в элементарном объеме насадки в начальный (преды-
дущий) момент времени
( )Q6
=
1 2
TН(k(i−)1) + TН(k(i−+11))
cН ρН sН ∆z
.
(13)
Количество теплоты в элементарном объеме насадки через время ∆τ
( )Q7
=
1 2
TН(k(i)) + TН(k(i)+1)
cН ρН sН ∆z
.
(14)
Теплота, поступившая в элементарный объем насадки вследствие тепло-
проводности
Q8
=
λН sН ∆τ
T (k) Н (i)
+ T (k) Н (i−1)
∆z
.
(15)
Теплота, вышедшая из элементарного объема насадки вследствие тепло-
проводности
Q9
= λН sН ∆τ
T + T(k ) Н (i+1)
(k) Н (i)
∆z
.
(16)
Теплота, участвующая в теплообмене с воздухом
Q10 = −Q5 .
(17)
Здесь: cН — теплоемкость материала насадки; ρН — плотность материала
насадки; sН — площадь поперечного сечения насадки; λН — теплопроводность
материала насадки.
Уравнение теплового баланса для элементарного объема насадки имеет
вид
Q9 − Q8 − Q10 = Q6 − Q7 ;
( )T − 2T + T(k) Н (i+1)
(k) Н (i)
(k) Н (i−1)
( )∆z
λН сН ∆τ +
T − T(k ) Н (i+1 2)
(k)
В(i+1 2)
pα∆z∆τ =
( )=
TН(k(i)+1
2)
−
TН(k(
−1)
i +1
2)
cН ρН sН ∆z .
(18)
Если ∆z → 0 и ∆τ → 0 , то уравнение примет вид
λH cH
∂ 2TH ∂z 2
+ pα (TН
− TВ ) + cН ρН sН
TН ∂τ
=0
.
(19)
6
Для решения дифференциального уравнения (19) необходимо сформули-
ровать краевые условия. В допущениях было принято, что насадка теплоизоли-
рована, поэтому граничные условия можно представить в виде
∂TH ∂z
z =0
=
0;
∂TH ∂z
z = L
=
0
.
(20)
Начальное условие для уравнения (19) аналогично начальному условию
для уравнения (10)
( )TH (τ =0) = Tin −
Tin − Tout L
z
.
(21)
Для решения дифференциального уравнения (10) необходимо знать коэф-
фициент теплоотдачи α . Методика расчета коэффициента теплоотдачи была
взята из литературного источника [1]
α
=
Nu ⋅ λ d
,
э
(22)
где dэ — эквивалентный диаметр канала; λ – коэффициент теплопроводности воздуха; Nu – число Нуссельта.
В качестве определяющего размера используется эквивалентный диаметр
d э
=
4f П
,
(23)
где f — площадь поперечного сечения канала; П – смоченный периметр.
Для определения расчетного уравнения числа Нуссельта необходимо знать
режим движения воздуха в канале насадки. Найдем число Рейнольдса по сле-
дующей зависимости
Re
=
ρν d э η
,
(24)
где
ρ
–
плотность
воздуха,
ρ
= 1.2кг
/
3
м
;
υ
–
характерная
скорость
воздуха;
η
–
динамическая вязкость воздуха, η = 1.82⋅10−5 Н ⋅ с / м2 .
Для ламинарного режима движения воздуха, когда число Рейнольдса ле-
жит в пределах Re < 2 000. При таком режиме движения можно выделить вяз-
костной и вязкостно-гравитационный режимы. Они определяются через число
Релея:
Ra = Gr ⋅ Pr ,
(25)
где Gr — число Грасгофа, Pr — число Прандтля.
7
Число Прандтля для воздуха
Pr = 0.713.
Число Грасгофа
(26)
Gr
=
g
β
d
3 э
(tc
ν2
− t0 )
,
(27)
где g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с²; tc — температура поверхности теплообмена; t0 — температура теплоносителя; β — температурный ко-
эффициент объёмного расширения теплоносителя, ν — коэффициент кинема-
тической вязкости.
β
=
1 273 + t0
.
(28)
При условии Ra < 3⋅105 преобладает вязкостной режим и уравнения для
числа Нуссельта имеет вид
Nu
= 1.55(Pe
⋅
d вн
/
l
)
1 3
ε
l
,
(29)
где Pe — число Пекле, l — длина трубы, εl — коэффициент, учитывающий из-
менение коэффициента теплоотдачи по длине трубы.
εl
= 1+ 0.01
l
Re /d
вн
23
.
(30)
При условии Ra > 8⋅105 преобладает вязкостно-гравитационный режим и уравнение для числа Нуссельта имеет вид
Nu = 0,15Pe0,33Ra ε0,1 l ,
(31)
где Pe — число Пекле; Ra — число Релея; εl — поправочный коэффициент,
учитывающий изменение коэффициента теплоотдачи по длине канала.
Число Пекле
Pe
=
C
p
ρν
d э
χ
,
(32)
где Сp — теплоемкость при постоянном давлении, Сp = 1005 Дж / (кг ⋅ К ) ; χ — коэффициент теплопроводности воздуха, χ = 0,0257Вт / (м ⋅ К ) .
Для турбулентного режима движения теплоносителя, при числе Рейнольдса Re > 10 000 расчетное уравнение имеет вид
Nu = 0, 021Re0,8 Pr0,43 εl ,
(33)
8
где Pr — число Прандтля. При переходном движении воздуха 2 000 < Re < 10 000 используют урав-
нение для турбулентного режима, вводя в них поправочный множитель εпер, зависящий от значения числа Рейнольдса.
Таким образом, тепловой расчет процессов тепломассопереноса в канале регенеративного теплообменника сводится к совместному решению дифференциальных уравнений (10), (19) с краевыми условиями (11), (12) и (20), (21).
Для решения дифференциальных уравнений был применен метод разностных аналогов. Производные в уравнении (10) заменим на отношение конечных разностей. Для внутренних узлов применим интерполяцию по двум точкам, для крайнего узла применим интерполяцию по трем точкам. Это обеспечит одинаковую погрешность расчета. После подстановки в дифференциальное уравнение (10) получим уравнение для узлов пространственной и временной сеток. Подобным образом получаются уравнения для решения дифференциального уравнения (19).
Таким образом, расчет сводится к решению на каждом временном слое системы состоящей из (2n) линейных алгебраических уравнений.
В матричной форме система линейных алгебраических уравнений имеет вид
A T =b.
(34)
где A квадратная матрица коэффициентов размером 2n× 2n ; T — вектор-
столбец искомых температур размером 2n; b — вектор-столбец коэффициентов вычисляемых по результатам расчета предыдущего временного слоя размером 2n.
Матрица A является разреженной, число элементов отличных от нуля в
любой ее строке не больше четырех. Полученная система уравнений решалась
методом Гаусса с учетом разреженности матрицы. Интегралы, входящие в ус-
ловие (1) решались по методу трапеций.
Коэффициент аккумуляции теплоты:
∫ ( )K ак
= Tinτ ак
−
τT dτак k
0n
Tin
− Tout
τ
ак .
(35)
Коэффициент регенерации теплоты:
∫ ( )K = рег
T dττ рег k
0n
− Toutτ рег
/
Tin − Tout
τ
рег .
(36)
Результатом построения модели была разработка программы в среде Visual
Basic (Рис. 5). Для выполнения расчета необходимо задать геометрию насадки,
9
теплофизические характеристики материала насадки и теплоносителя и параметры работы регенератора. Результатом расчета в программе являются коэффициент теплоотдачи и коэффициенты аккумуляции и регенерации, а также температурные поля по временным слоям. При описанных ранее допущениях коэффициенты регенерации и аккумуляции должны быть равны. Температурные поля по временным слоям показывают характер теплообмена в каждом сечении насадки. Эта программа будет полезна для изучения теплообмена в насадке и дальнейшего совершенствования конструкции регенеративного теплоутилизатора.
Рис. 5. Интерфейс программы расчета теплообмена в регенеративном теплоутилизаторе.
10
Список литературы
1. Бараненко А.В., Бухарин Н.Н., Пекарев В.И., Сакун И.А., Тимофеевский Л.С. Холодильные машины. – Санкт-Петербург, 1997.
2. Васильев В.А., Гаврилов А.И., Каменецкий К.К., Соболь Е.В. Параметрическое исследование регенеративного теплообменника.// Вестник МАХ, 2010, №1.
Mathematical model of a regenerative heat exchanger
Sobol E.V. john-stud-spb@mail.ru
St.-Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
The present paper describes a mathematical model of a regenerative heat exchanger: there are developed dependences for determination of heat transfer coefficient, differential equations to calculate heat and mass transfer. A program module to solve equations and estimate regeneration and accumulation coefficients are shown.
Keywords: heat emission coefficient, heat emission processes, program module.
11