Оптические схемы измерения формы трехмерных объектов методом проекции полос
ИКОНИКА – НАУКА ОБ ИЗОБРАЖЕНИИ
УДК 53.082.54
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ИЗМЕРЕНИЯ ФОРМЫ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ МЕТОДОМ ПРОЕКЦИИ ПОЛОС
© 2011 г. Г. Н. Вишняков, доктор техн. наук; К. Е. Лощилов Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений, Москва Е-mail: vish@vniiofi.ru loshchilov@vniiofi.ru
В рамках геометрической оптики проведен анализ четырех основных вариантов оптической схемы освещения объекта структурированным светом и регистрации его изображения для измерения формы трехмерных объектов. Показано, что только два варианта оптической схемы позволяют использовать алгоритмы расшифровки интерферограмм для реконструкции топограмм поверхности объекта.
Ключевые слова: проекция полос, оптическая триангуляция, профилометрия, топограмма.
Коды OCIS: 120.6650
Поступила в редакцию 15.06.2010
При решении различных задач проектирования, дизайна, безопасности, промышленного контроля, метрологии требуются данные о геометрической форме и размерах объектов в трехмерном пространстве. Одними из самых распространенных бесконтактных методов получения данных о форме трехмерных объектов являются методы, основанные на оптической триангуляции [1, 2].
Принцип действия любого бесконтактного профилометра, в основе которого лежит метод оптической триангуляции, заключается в проецировании на объект точки, линии или системы полос и регистрации полученного изображения объекта. Причем направления проецирования и регистрации изображения составляют некоторый угол, за счет чего возможно получить данные о высоте объекта.
Простейшими устройствами такого типа являются профилометры, которые проецируют на объект точку или линию. При этом данные о высоте объекта получаются, соответственно, только в этой точке или вдоль линии. Для получения всей топограммы поверхности необходимо сканирование объекта. Это является основным недостатком сканирующих профилометров, так как для измерения всей поверхности объекта требуется значительное время. Другим недостатком является сложность конструкции сканирующего узла.
При измерении динамических объектов, как правило, применяют профилометры, в которых для освещения используется структурированный свет в виде системы параллельных черно-белых, полутоновых или цветных полос. Информация о высоте (глубине) объекта в этом случае заключена в деформации системы полос. Для извлечения этой информации требуются математические выражения, связывающие поперечные отклонения полос с высотой объекта, которые зависят от геометрии оптической схемы.
В настоящей работе в рамках геометрической оптики рассмотрены четыре варианта оптической схемы освещения объекта структурированным светом и регистрации его изображения. Их объединяет то, что источник освещения и регистратор изображения находятся на одном расстоянии от некоторой базовой плоскости, на которой находится объект. Различие заключается в оптических схемах проецирующего и регистрирующего каналов. Показано, что только два варианта оптической схемы позволяют использовать алгоритмы расшифровки интерферограмм для реконструкции топограмм поверхности объекта.
Возможны следующие варианты: 1. Освещение и регистрация изображения объекта в параллельных пучках. 2. Освещение и регистрация изображения объекта в конусных пучках.
42 “Оптический журнал”, 78, 2, 2011
3. Освещение объекта в конусных пучках, а регистрация изображения объекта в параллельных пучках.
4. Освещение объекта в параллельных пучках, а регистрация изображения объекта в конусных пучках.
Здесь предполагается, что в схемах с конусными пучками используются обычные объективы, а в схемах с параллельными пучками – афокальные или телескопические оптические системы, состоящие из двух объективов с общей фокальной плоскостью.
Далее приведены варианты оптических схем освещения объекта и регистрации его изображения. Для каждого варианта оптической схемы выведены формулы, связывающие отклонение полос с высотой объекта.
СХЕМА 1 Геометрия оптической схемы освещения объекта структурированным светом и регистрации его изображения в конусных пучках показана на рис. 1. Здесь и далее предполагаем, что центры входных зрачков объективов источника освещения O″ и регистратора O′ расположены на одном расстоянии l от плоскости XY (ось Y перпендикулярна плоскости рисунка) и на расстоянии d друг от друга. Оптические оси освещающего и регистрирующего каналов расположены под углом θ относительно друг друга. Выберем из конуса лучей, исходящих из точки O′′, произвольный луч O″B. Первые измерения проводят без объекта, показанного на рис. 1 в виде дуги. Считаем, что объект на-
x′ B′ A′
O′′ d O′
h l
Z C
A xBx
O
X
Рис. 1. Схема освещения объекта структурированным светом и регистрации изображения объекта в конусных пучках.
ходится на некоторой плоскости ХY, которая называется базовой. Предполагаем, что объект и базовая плоскость являются диффузноотражающими поверхностями, поэтому луч O″B, попадая на базовую плоскость XY, создает светящуюся точку В. Объектив O′ формирует изображение данной точки на светочувствительной площадке регистратора в точке B′. При наличии объекта луч O″B создает на его поверхности другую светящуюся точку C. Изображение данной точки на чувствительной площадке регистратора сместится на Δx′ в точку A′. Отсюда видно, что информация о высоте h точки C относительно базовой плоскости содержится в поперечном смещении ее изображения. В этом заключается суть метода триангуляции.
Выведем выражение, связывающее высоту объекта h в точке C с размером отрезка Δx′ = B′A′.
Из подобия треугольников O″O′С и ABC следует
Δx h
=
l
d −h
.
(1)
Тогда высота объекта h будет
h
=
d/l
Δx + Δx/l
.
(2)
Из треугольника OO′O″ следует
tgθ = d/l.
(3)
Подставляя выражение (3) в выражение (2), получим
h
=
tgθ
Δx + Δx/l
.
(4)
Из подобия треугольников ABO′ и A′B′O′ следует
Δx = βΔx′,
(5)
где β является фактически коэффициентом увеличения оптической системы.
Таким образом, окончательная формула для высоты объекта при схеме освещения объекта и регистрации его изображения в конусных пучках будет представлена в следующем виде:
h
=
tgθ
βΔx′ + βΔx′/l
.
(6)
СХЕМА 2 Геометрия оптической схемы освещения объекта структурированным светом и регистра-
“Оптический журнал”, 78, 2, 2011
43
d A′
B′
x′ O O′
h l
Z
C
A BO xx
X
Рис. 2. Схема освещения объекта структурированным светом и регистрации изображения объекта в параллельных пучках.
ции изображения объекта в параллельных пучках показана на рис. 2.
Схема формирования структурированной картины на поверхности объекта и ее регистрации аналогична схеме в конусных пучках, описанной выше.
Из треугольника ABC следует
tgθ = Δx/h.
(7)
Так как Δx = Δx′, то окончательная формула для высоты объекта при схеме освещения объекта и регистрации его изображения в параллельных пучках будет рассчитываться как
h = Δx′/tgθ.
(8)
СХЕМА 3 Геометрия оптической схемы освещения объекта структурированным светом в конусных пучках и регистрации изображения объекта в параллельных пучках показана на рис. 3. Схема формирования структурированной картины на поверхности объекта и ее регистрации аналогична схемам, описанным выше. Из треугольника ABC следует
h = Δx/tgϕ.
(9)
Из треугольника BDO″ следует
tgϕ = (d − x)/l.
(10)
Подставляя выражение (10) в выражение (9), получим высоту объекта
h
=
Δx d/l − x/l
.
(11)
Из треугольника OO′O″ следует
tgθ = d/l.
(12)
Так как Δx = Δx′, то окончательная форму-
ла для высоты объекта при схеме освещения
объекта в конусных пучках и регистрации его
изображения в параллельных пучках примет
следующий вид:
h
=
Δx′ tgθ− x/l
.
(13)
СХЕМА 4 Геометрия оптической схемы освещения объекта структурированным светом в параллельных пучках и регистрации изображения объекта в конусных пучках показана на рис. 4. Схема формирования структурированной картины на поверхности объекта и ее регистрации аналогична схемам, описанным выше. Из подобия треугольников DCO′ и ABC следует
Δx h
=
d+x l−h
.
(14)
Тогда высота объекта будет
h
=
d/l
+
Δx x/l +
Δx/l
.
(15)
Из подобия треугольников ABO′ и A′B′O′ следует
d A′ B′
x′ O′′ O′
h l
Z C
D
AB O
X
xx
Рис. 3. Схема освещения объекта структурированным светом в конусных пучках и регистрации изображения объекта в параллельных пучках.
44 “Оптический журнал”, 78, 2, 2011
x D
O′′
x′ B′ A′
dO
h l
Z C
A BO xx
X
Рис. 4. Схема освещения объекта структурированным светом в параллельных пучках и регистрации изображения объекта в конусных пучках.
Δx = βΔx′.
(16)
Из треугольника OO′O″ следует tgθ = d/l.
(17)
С учетом выражений (16) и (17) окончатель-
ная формула для высоты объекта при схеме
освещения объекта в параллельных пучках и
регистрации его изображения в конусных пуч-
ках примет окончательный вид
h
=
tgθ
+
βΔx′ x/l + βΔx′/l
.
(18)
Из формул для высоты объекта (6), (8), (13) и (18) следует, что в схемах 3 и 4 смещение полосы на объекте зависит от ее координаты х в плоскости XY, поэтому для этих схем необходимо каким-либо образом маркировать полосы (например, цветом, прерывистыми или пунктирными линиями и др.). Для автоматической расшифровки системы таких полос необходимы алгоритмы распознавания полос и вычисления отклонения полос от своего первоначального положения. Это во многом усложняет задачу обработки регистрируемых изображений и измерения поверхности объекта в целом.
Лишь в схемах 1 и 2 высота h независима от координаты полосы x, а зависит только от сдвига полосы. Что это дает для практики? При освещении объекта структурированным светом искаженная система полос на изобра-
жении объекта напоминает интерферограмму, полученную в полосах конечной ширины. Распределение фазы такой интерферограммы несет информацию о высоте объекта. В том случае, когда нет зависимости от координаты полосы, можно использовать хорошо разработанные алгоритмы автоматической расшифровки интерферограмм. При этом фаза интерферограммы ϕ(x, y) связана с отклонением полос Δx следующим соотношением:
ϕ(x, y) = 2πΔx/p,
(19)
где p – период решетки на базовой плоскости. Полученные выводы можно проиллюстриро-
вать наглядно следующим примером. Известно, что прообразом метода проекции полос был муаровый метод [3]. С современной точки зрения можно сказать, что муаровый метод является аналогом интерферометрии в полосах бесконечной ширины, так как муаровые полосы представляют собой изолинии равной высоты объекта. В методе же проекции полос информация о высоте объекта закодирована в величине отклонения полос, т. е. данный метод является аналогом интерферометрии в полосах конечной ширины.
Если на рисунке (см., например, рис. 5а, 5б) отобразить в виде прямых линий лучи проекционного и отображающего каналов, соответствующие светлым или темным штрихам решетки, то получившаяся картина пересечений лучей напоминает муаровую картину. Причем поверхность равной фазы проходит через точки пересечения лучей проекционного и отображающего каналов. На рис. 5а и 5б эти точки лежат на горизонтальных прямых, параллельных базовой линии. Расстояние между базовой линией и этими прямыми, по аналогии с интерферометрией в полосах бесконечной ширины, можно принять за эффективную длину волны, эквивалентную длине волны света в интерферометрии.
Из рис. 5а следует, что для схемы проекции и отображения полос в параллельных пучках эта эффективная длина волны λэфф не зависит от координат x, y, z и равна
λýôô = p/tgθ,
(20)
где p – период решетки на базовой плоскости, θ – угол между направлениями проецирования и отображения.
В схеме проекции и отображения полос в конусных пучках (рис. 5б) эффективная длина
волны также постоянна для поперечных коор-
“Оптический журнал”, 78, 2, 2011
45
(а) (б) (в)
(д) (г)
Рис. 5. Поверхности постоянной фазы в схеме освещения объекта структурированным светом и регистрации изображения объекта в параллельных пучках (а), в конусных пучках (б), в конусных пучках при различных высотах осветителя и регистратора относительно базовой плоскости (в), в схеме освещения объекта структурированным светом в конусных пучках и регистрации изображения объекта в параллельных пучках (г), в схеме освещения объекта структурированным светом в параллельных пучках и регистрации изображения объекта в конусных пучках (д).
динат x, y, но уже зависит от продольной координаты z. Но главная особенность данной схемы состоит в том, что поверхности равной фазы также параллельны базовой плоскости, как и в предыдущем случае. Это означает, что все точки в плоскости (x, y) могут обрабатываться одинаково. В отличие от схемы в параллельных пучках, из рис. 5б видно, что масштаб изображения меняется в зависимости от высоты z, поэтому для восстановления истинной картины необходима операция трансформации координат по законам проективной оптики.
Здесь же отметим, что в схеме с конусными пучками очень важно, чтобы центры входных зрачков объективов проекционного и отображающего каналов находились на одном расстоянии от базовой плоскости. Если это условие не
выполняется, то, как видно из рис. 5в, изолинии постоянной фазы становятся изогнутыми и эффективная длина волны зависит не только от координаты z, но и от (x, y).
Аналогичная картина с изогнутыми линиями равной фазы возникает и для двух оставшихся схем проекции и наблюдения полос, изображенных на рис. 5г, 5д.
Таким образом, только в схемах в параллельных и конусных пучках (рис. 5а и 5б) поверхности равной фазы представляют собой плоскости, параллельные базовой плоскости. Во всех остальных случаях на рис. 5в, 5г и 5д поверхность постоянной фазы не является плоскостью, что усложняет преобразование фазы в высоту при реконструкции формы поверхности трехмерного объекта. При таком распреде-
46 “Оптический журнал”, 78, 2, 2011
лении фазы требуется сложная процедура калибровки оптической системы для построения зависимости высоты объекта от фазы.
Самым простым случаем при преобразовании фазы в высоту является оптическая схема в параллельных пучках на рис. 5а, так как распределение фазы вдоль оси Z является линейным. Линейное распределение фазы позволяет использовать измерения фазы только в двух определенных по высоте точках для получения масштабных коэффициентов перевода радиан в единицы длины.
В оптической схеме в конусных пучках на рис. 5б распределение фазы вдоль оси Z является нелинейным, поэтому процедура калибровки усложняется, так как для построения зависимости высоты объекта от фазы требуется измерение фазы в нескольких определенных по высоте точках.
Если высота объекта превышает эффективную длину волны, то необходима операция сшивки фазы. Поэтому приведенный анализ можно также применять для выбора параметров оптической схемы, при которой можно проводить измерения без сшивки фазы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Takeda M., Mutoh K. Fourier transforms profilometry for the automatic measurement of 3D object shapes // Appl. Opt. 1983. V. 22(24). P. 3977– 3982.
2. Su X., Chen W. Fourier transforms profilometry: a riview // Optics and Lasers in Engineering. 2001. V. 35. P. 263–284.
3. Вест Ч. Голографическая интерферометрия: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 504 с.
“Оптический журнал”, 78, 2, 2011
47
УДК 53.082.54
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ИЗМЕРЕНИЯ ФОРМЫ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ МЕТОДОМ ПРОЕКЦИИ ПОЛОС
© 2011 г. Г. Н. Вишняков, доктор техн. наук; К. Е. Лощилов Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений, Москва Е-mail: vish@vniiofi.ru loshchilov@vniiofi.ru
В рамках геометрической оптики проведен анализ четырех основных вариантов оптической схемы освещения объекта структурированным светом и регистрации его изображения для измерения формы трехмерных объектов. Показано, что только два варианта оптической схемы позволяют использовать алгоритмы расшифровки интерферограмм для реконструкции топограмм поверхности объекта.
Ключевые слова: проекция полос, оптическая триангуляция, профилометрия, топограмма.
Коды OCIS: 120.6650
Поступила в редакцию 15.06.2010
При решении различных задач проектирования, дизайна, безопасности, промышленного контроля, метрологии требуются данные о геометрической форме и размерах объектов в трехмерном пространстве. Одними из самых распространенных бесконтактных методов получения данных о форме трехмерных объектов являются методы, основанные на оптической триангуляции [1, 2].
Принцип действия любого бесконтактного профилометра, в основе которого лежит метод оптической триангуляции, заключается в проецировании на объект точки, линии или системы полос и регистрации полученного изображения объекта. Причем направления проецирования и регистрации изображения составляют некоторый угол, за счет чего возможно получить данные о высоте объекта.
Простейшими устройствами такого типа являются профилометры, которые проецируют на объект точку или линию. При этом данные о высоте объекта получаются, соответственно, только в этой точке или вдоль линии. Для получения всей топограммы поверхности необходимо сканирование объекта. Это является основным недостатком сканирующих профилометров, так как для измерения всей поверхности объекта требуется значительное время. Другим недостатком является сложность конструкции сканирующего узла.
При измерении динамических объектов, как правило, применяют профилометры, в которых для освещения используется структурированный свет в виде системы параллельных черно-белых, полутоновых или цветных полос. Информация о высоте (глубине) объекта в этом случае заключена в деформации системы полос. Для извлечения этой информации требуются математические выражения, связывающие поперечные отклонения полос с высотой объекта, которые зависят от геометрии оптической схемы.
В настоящей работе в рамках геометрической оптики рассмотрены четыре варианта оптической схемы освещения объекта структурированным светом и регистрации его изображения. Их объединяет то, что источник освещения и регистратор изображения находятся на одном расстоянии от некоторой базовой плоскости, на которой находится объект. Различие заключается в оптических схемах проецирующего и регистрирующего каналов. Показано, что только два варианта оптической схемы позволяют использовать алгоритмы расшифровки интерферограмм для реконструкции топограмм поверхности объекта.
Возможны следующие варианты: 1. Освещение и регистрация изображения объекта в параллельных пучках. 2. Освещение и регистрация изображения объекта в конусных пучках.
42 “Оптический журнал”, 78, 2, 2011
3. Освещение объекта в конусных пучках, а регистрация изображения объекта в параллельных пучках.
4. Освещение объекта в параллельных пучках, а регистрация изображения объекта в конусных пучках.
Здесь предполагается, что в схемах с конусными пучками используются обычные объективы, а в схемах с параллельными пучками – афокальные или телескопические оптические системы, состоящие из двух объективов с общей фокальной плоскостью.
Далее приведены варианты оптических схем освещения объекта и регистрации его изображения. Для каждого варианта оптической схемы выведены формулы, связывающие отклонение полос с высотой объекта.
СХЕМА 1 Геометрия оптической схемы освещения объекта структурированным светом и регистрации его изображения в конусных пучках показана на рис. 1. Здесь и далее предполагаем, что центры входных зрачков объективов источника освещения O″ и регистратора O′ расположены на одном расстоянии l от плоскости XY (ось Y перпендикулярна плоскости рисунка) и на расстоянии d друг от друга. Оптические оси освещающего и регистрирующего каналов расположены под углом θ относительно друг друга. Выберем из конуса лучей, исходящих из точки O′′, произвольный луч O″B. Первые измерения проводят без объекта, показанного на рис. 1 в виде дуги. Считаем, что объект на-
x′ B′ A′
O′′ d O′
h l
Z C
A xBx
O
X
Рис. 1. Схема освещения объекта структурированным светом и регистрации изображения объекта в конусных пучках.
ходится на некоторой плоскости ХY, которая называется базовой. Предполагаем, что объект и базовая плоскость являются диффузноотражающими поверхностями, поэтому луч O″B, попадая на базовую плоскость XY, создает светящуюся точку В. Объектив O′ формирует изображение данной точки на светочувствительной площадке регистратора в точке B′. При наличии объекта луч O″B создает на его поверхности другую светящуюся точку C. Изображение данной точки на чувствительной площадке регистратора сместится на Δx′ в точку A′. Отсюда видно, что информация о высоте h точки C относительно базовой плоскости содержится в поперечном смещении ее изображения. В этом заключается суть метода триангуляции.
Выведем выражение, связывающее высоту объекта h в точке C с размером отрезка Δx′ = B′A′.
Из подобия треугольников O″O′С и ABC следует
Δx h
=
l
d −h
.
(1)
Тогда высота объекта h будет
h
=
d/l
Δx + Δx/l
.
(2)
Из треугольника OO′O″ следует
tgθ = d/l.
(3)
Подставляя выражение (3) в выражение (2), получим
h
=
tgθ
Δx + Δx/l
.
(4)
Из подобия треугольников ABO′ и A′B′O′ следует
Δx = βΔx′,
(5)
где β является фактически коэффициентом увеличения оптической системы.
Таким образом, окончательная формула для высоты объекта при схеме освещения объекта и регистрации его изображения в конусных пучках будет представлена в следующем виде:
h
=
tgθ
βΔx′ + βΔx′/l
.
(6)
СХЕМА 2 Геометрия оптической схемы освещения объекта структурированным светом и регистра-
“Оптический журнал”, 78, 2, 2011
43
d A′
B′
x′ O O′
h l
Z
C
A BO xx
X
Рис. 2. Схема освещения объекта структурированным светом и регистрации изображения объекта в параллельных пучках.
ции изображения объекта в параллельных пучках показана на рис. 2.
Схема формирования структурированной картины на поверхности объекта и ее регистрации аналогична схеме в конусных пучках, описанной выше.
Из треугольника ABC следует
tgθ = Δx/h.
(7)
Так как Δx = Δx′, то окончательная формула для высоты объекта при схеме освещения объекта и регистрации его изображения в параллельных пучках будет рассчитываться как
h = Δx′/tgθ.
(8)
СХЕМА 3 Геометрия оптической схемы освещения объекта структурированным светом в конусных пучках и регистрации изображения объекта в параллельных пучках показана на рис. 3. Схема формирования структурированной картины на поверхности объекта и ее регистрации аналогична схемам, описанным выше. Из треугольника ABC следует
h = Δx/tgϕ.
(9)
Из треугольника BDO″ следует
tgϕ = (d − x)/l.
(10)
Подставляя выражение (10) в выражение (9), получим высоту объекта
h
=
Δx d/l − x/l
.
(11)
Из треугольника OO′O″ следует
tgθ = d/l.
(12)
Так как Δx = Δx′, то окончательная форму-
ла для высоты объекта при схеме освещения
объекта в конусных пучках и регистрации его
изображения в параллельных пучках примет
следующий вид:
h
=
Δx′ tgθ− x/l
.
(13)
СХЕМА 4 Геометрия оптической схемы освещения объекта структурированным светом в параллельных пучках и регистрации изображения объекта в конусных пучках показана на рис. 4. Схема формирования структурированной картины на поверхности объекта и ее регистрации аналогична схемам, описанным выше. Из подобия треугольников DCO′ и ABC следует
Δx h
=
d+x l−h
.
(14)
Тогда высота объекта будет
h
=
d/l
+
Δx x/l +
Δx/l
.
(15)
Из подобия треугольников ABO′ и A′B′O′ следует
d A′ B′
x′ O′′ O′
h l
Z C
D
AB O
X
xx
Рис. 3. Схема освещения объекта структурированным светом в конусных пучках и регистрации изображения объекта в параллельных пучках.
44 “Оптический журнал”, 78, 2, 2011
x D
O′′
x′ B′ A′
dO
h l
Z C
A BO xx
X
Рис. 4. Схема освещения объекта структурированным светом в параллельных пучках и регистрации изображения объекта в конусных пучках.
Δx = βΔx′.
(16)
Из треугольника OO′O″ следует tgθ = d/l.
(17)
С учетом выражений (16) и (17) окончатель-
ная формула для высоты объекта при схеме
освещения объекта в параллельных пучках и
регистрации его изображения в конусных пуч-
ках примет окончательный вид
h
=
tgθ
+
βΔx′ x/l + βΔx′/l
.
(18)
Из формул для высоты объекта (6), (8), (13) и (18) следует, что в схемах 3 и 4 смещение полосы на объекте зависит от ее координаты х в плоскости XY, поэтому для этих схем необходимо каким-либо образом маркировать полосы (например, цветом, прерывистыми или пунктирными линиями и др.). Для автоматической расшифровки системы таких полос необходимы алгоритмы распознавания полос и вычисления отклонения полос от своего первоначального положения. Это во многом усложняет задачу обработки регистрируемых изображений и измерения поверхности объекта в целом.
Лишь в схемах 1 и 2 высота h независима от координаты полосы x, а зависит только от сдвига полосы. Что это дает для практики? При освещении объекта структурированным светом искаженная система полос на изобра-
жении объекта напоминает интерферограмму, полученную в полосах конечной ширины. Распределение фазы такой интерферограммы несет информацию о высоте объекта. В том случае, когда нет зависимости от координаты полосы, можно использовать хорошо разработанные алгоритмы автоматической расшифровки интерферограмм. При этом фаза интерферограммы ϕ(x, y) связана с отклонением полос Δx следующим соотношением:
ϕ(x, y) = 2πΔx/p,
(19)
где p – период решетки на базовой плоскости. Полученные выводы можно проиллюстриро-
вать наглядно следующим примером. Известно, что прообразом метода проекции полос был муаровый метод [3]. С современной точки зрения можно сказать, что муаровый метод является аналогом интерферометрии в полосах бесконечной ширины, так как муаровые полосы представляют собой изолинии равной высоты объекта. В методе же проекции полос информация о высоте объекта закодирована в величине отклонения полос, т. е. данный метод является аналогом интерферометрии в полосах конечной ширины.
Если на рисунке (см., например, рис. 5а, 5б) отобразить в виде прямых линий лучи проекционного и отображающего каналов, соответствующие светлым или темным штрихам решетки, то получившаяся картина пересечений лучей напоминает муаровую картину. Причем поверхность равной фазы проходит через точки пересечения лучей проекционного и отображающего каналов. На рис. 5а и 5б эти точки лежат на горизонтальных прямых, параллельных базовой линии. Расстояние между базовой линией и этими прямыми, по аналогии с интерферометрией в полосах бесконечной ширины, можно принять за эффективную длину волны, эквивалентную длине волны света в интерферометрии.
Из рис. 5а следует, что для схемы проекции и отображения полос в параллельных пучках эта эффективная длина волны λэфф не зависит от координат x, y, z и равна
λýôô = p/tgθ,
(20)
где p – период решетки на базовой плоскости, θ – угол между направлениями проецирования и отображения.
В схеме проекции и отображения полос в конусных пучках (рис. 5б) эффективная длина
волны также постоянна для поперечных коор-
“Оптический журнал”, 78, 2, 2011
45
(а) (б) (в)
(д) (г)
Рис. 5. Поверхности постоянной фазы в схеме освещения объекта структурированным светом и регистрации изображения объекта в параллельных пучках (а), в конусных пучках (б), в конусных пучках при различных высотах осветителя и регистратора относительно базовой плоскости (в), в схеме освещения объекта структурированным светом в конусных пучках и регистрации изображения объекта в параллельных пучках (г), в схеме освещения объекта структурированным светом в параллельных пучках и регистрации изображения объекта в конусных пучках (д).
динат x, y, но уже зависит от продольной координаты z. Но главная особенность данной схемы состоит в том, что поверхности равной фазы также параллельны базовой плоскости, как и в предыдущем случае. Это означает, что все точки в плоскости (x, y) могут обрабатываться одинаково. В отличие от схемы в параллельных пучках, из рис. 5б видно, что масштаб изображения меняется в зависимости от высоты z, поэтому для восстановления истинной картины необходима операция трансформации координат по законам проективной оптики.
Здесь же отметим, что в схеме с конусными пучками очень важно, чтобы центры входных зрачков объективов проекционного и отображающего каналов находились на одном расстоянии от базовой плоскости. Если это условие не
выполняется, то, как видно из рис. 5в, изолинии постоянной фазы становятся изогнутыми и эффективная длина волны зависит не только от координаты z, но и от (x, y).
Аналогичная картина с изогнутыми линиями равной фазы возникает и для двух оставшихся схем проекции и наблюдения полос, изображенных на рис. 5г, 5д.
Таким образом, только в схемах в параллельных и конусных пучках (рис. 5а и 5б) поверхности равной фазы представляют собой плоскости, параллельные базовой плоскости. Во всех остальных случаях на рис. 5в, 5г и 5д поверхность постоянной фазы не является плоскостью, что усложняет преобразование фазы в высоту при реконструкции формы поверхности трехмерного объекта. При таком распреде-
46 “Оптический журнал”, 78, 2, 2011
лении фазы требуется сложная процедура калибровки оптической системы для построения зависимости высоты объекта от фазы.
Самым простым случаем при преобразовании фазы в высоту является оптическая схема в параллельных пучках на рис. 5а, так как распределение фазы вдоль оси Z является линейным. Линейное распределение фазы позволяет использовать измерения фазы только в двух определенных по высоте точках для получения масштабных коэффициентов перевода радиан в единицы длины.
В оптической схеме в конусных пучках на рис. 5б распределение фазы вдоль оси Z является нелинейным, поэтому процедура калибровки усложняется, так как для построения зависимости высоты объекта от фазы требуется измерение фазы в нескольких определенных по высоте точках.
Если высота объекта превышает эффективную длину волны, то необходима операция сшивки фазы. Поэтому приведенный анализ можно также применять для выбора параметров оптической схемы, при которой можно проводить измерения без сшивки фазы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Takeda M., Mutoh K. Fourier transforms profilometry for the automatic measurement of 3D object shapes // Appl. Opt. 1983. V. 22(24). P. 3977– 3982.
2. Su X., Chen W. Fourier transforms profilometry: a riview // Optics and Lasers in Engineering. 2001. V. 35. P. 263–284.
3. Вест Ч. Голографическая интерферометрия: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 504 с.
“Оптический журнал”, 78, 2, 2011
47