Движение верхнего звена рабочего инструмента станка для полирования
УДК 681.7.02
ДВИЖЕНИЕ ВЕРХНЕГО ЗВЕНА РАБОЧЕГО ИНСТРУМЕНТА СТАНКА ДЛЯ ПОЛИРОВАНИЯ
© 2011 г. А. Кордеро-Дáвилa*, доктор физ. наук; Б. А. Мартинес Иривас*, магистр наук; В. Г. Кабрера Пелаэс**, доктор физ. наук; Х. Гонсалес Гарсия***, доктор физ. наук; Э. Пино Мота*, доктор физ. наук; И. Леал Кабрера****, доктор физ. наук
**** Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México **** Universidad Politécnica de Tlaxcala, Tepeyanco, Tlaxcala, México **** Universidad Tecnológica de la Mixteca, Huajuapan de León, Oaxaca, México **** Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica, Tonantzintla, Puebla, México **** Е-mail: acordero@fcmf.buap.mx
Разработана математическая модель движения верхнего звена рабочего инструмента полировального станка, позволяющая установить функциональную зависимость положения и скорости центра инструмента от амплитуды осциллирующих перемещений верхнего звена.
Ключевые слова: шлифовка, полировка, математическая модель движения инструмента.
Коды OCIS: 220.5450, 220.4610, 220.0220.
Поступила в редакцию 02.12.2010.
I. Введение
Промышленные станки для полирования выпускаются, в основном, двух типов: А и В. У станков типа А (рис. 1) верхнее звено рабочего инструмента станка практически прямое, а у станков типа B (рис. 2) оно согнуто почти на 90°.
В научно-технической литературе угловое движение верхнего звена рабочего инструмента принято рассматривать как простое гармоническое движение, хотя при этом не приводятся никакие основания для такого рассмотрения. Исключением является лишь работа Донг Данг Ву [1]. В разделе II выведена формула, которая связывает эксцентричности движения станка с угловым движением верхнего звена его рабочего инструмента, и показано, что данная формула является решением уравнения второй степени и что знак корня определяет тип машины (А или В). В разделе III сначала выводятся условия, а затем уравнения для угловых крайних значений, с помощью которых определены максимальная амплитуда колебаний и смещение от центра как функция, зависящая от эксцентричности. С помощью графиков показано, что линейная зависимость является лишь приблизительной. В заключение представлены выводы.
II. Движение в промышленном станке для полирования
Модель, с помощью которой можно прогно-
зировать износ h в какой-то точке стекла за ин-
тервал времени (0, τ), была предложена Престо-
ном [2] и характеризуется зависимостью
τ
h = ∫ Apvdt, 0
(1)
где A – технологическая постоянная, p – давле-
ние инструмента на стекло, v – их относитель-
ная скорость. Чтобы рассчитать v, проводится
следующий кинематический анализ.
На рис. 3 для сравнения приведены схемы
полировальных машин обоих типов. Центр ин-
струмента ОСН периодически колеблется вокруг неподвижной точки ОВН. Через другую неподвижную точку ОМЕ, связанную с точкой ОВН зависимостью
b = (bx, by ),
(2)
проходит ось вращения двигателя эксцентрич-
ности. Существуют две подвижные оси: ось
эксцентричности (проходит через точку ОЕН) и ось смещения (проходит через точку ОDH) этого инструмента. Точка OEH осуществляет едино-
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
55
ОDН d
ОEH fe
ОME
b
ОBН
ОСН
Рис. 1. Фотография и схема полировальной машины типа А. Нижние индексы при О (ось) означают следующее: СН – центр рабочего инструмента, ВН – верхнее звено рабочего инструмента, МЕ – двигатель эксцентричности, ЕН – децентрировка рабочего инструмента.
ОME e
b ОEH f
ОBН
d ОDН
Рис. 2. Фотография и схема полировальной машины типа В. 56
ОСН “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
Y Тип А
ОDH d
ОВН
ОЕН fe
ОME bf
d ОDH
х Тип В
ОСН
Рис. 3. Сравнение полировальных машин
типа А и В.
образное круговое движение вокруг ОМЕ с фиксированным радиусом |e| c угловой скоростью
ωOH в соответствии с уравнением
(ex, ey ) = e [cos(ωOH t), sin(ωOH t)].
(3)
С другой стороны, позиция ODH относительно OBH описывается уравнением
(dx, dy ) = d [cosα, sinα],
(4)
где α = α(t) – неизвестное. Из рис. 1 и 2 видно,
что
b +e−d = f,
(5)
где вектор f направлен от ODH к OEH. Для определения значений α(t) используем тот факт,
что расстояние |f| постоянно, поэтому после подстановки (2), (3) и (4) в (5) получаем
f2 =[bx + ecos(ωOHt) −d cosα]2+
+ ⎡⎣⎢by + esin(ωOHt) −dsinα⎥⎦⎤2.
(6)
Как видно из этого уравнения, α(t) представляет собой неизвестную величину. После нескольких простых преобразований уравнение (6) можно переписать как
b2 + e2 + d2− f2 + 2(bxex + byey ) − − 2d cosα(bx + ex ) −2dsinα(by + ey ) = 0.
(7)
Из уравнения (7) можно исключить cosα и пере-
писать его в виде
( )4d2 ⎡⎢⎣(bx + ex )2 + by + ey 2 ⎤⎦⎥ sin2α − − 4gd(by + ey )sinα + g2−4d2(bx + ex )2 = 0,
(8)
где
( )g = b2 + e2 + d2− f2 + 2 bxex + byey .
(9)
Решив уравнение (8), получим
sin
α
=
g(by
+
ey
)
±
(bx + ex ) 2d ⎣⎡⎢(bx
4d2 ⎢⎣⎡(bx +ex )2 + (by +ex )2 + (by + ey )2 ⎤⎥⎦
+
ey
)2
⎥⎦⎤
−
g2
.
В результате аналогичной процедуры находим
cos α
=
g(bx
+
ex
)
∓
(by + ey ) 2d ⎡⎣⎢(bx
4d2 ⎡⎣⎢(bx + ex )2 + (by + ex )2 + (by + ey )2 ⎦⎥⎤
+
ey
)2
⎦⎥⎤
−
g2
.
(10) (11)
Формулы (10) и (11) используются для расчета (dx, dy) с помощю уравнения (4), а именно
(dx, dy )
=
d de
⎣⎡g(bx
+
ex )
∓
(by
+ ey )rz,
g(bx + ex ) ± (by + ey )rz ⎤⎦,
(12)
где
( )rz = 4d2 ⎢⎣⎡(bx + ex )2 + by + ey 2 ⎦⎥⎤ − g2
(13)
и
de = 2d ⎣⎡⎢(bx + ex )2 +(by + ey )2 ⎤⎥⎦.
(14)
Для станка типа А (см. рис. 3) выбираются
верхние знаки из уравнения (12), для станка
типа В – нижние знаки.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
57
Это объясняется тем, что в итоге найденное решение соответствует точкам пересечения двух кругов, что может быть сверено с результатами Донг Данг Ву и др. [1].
Для построения зависимости угла α от времени при разных значениях эксцентриситета e (рис. 4) были использованы фиксированные параметры полировальной машины типа А: d = 38 см, b = 62,01 см, f = 40,5 см.
Видно, что по мере того как растет e и увеличивается амплитуда колебания, можно также наблюдать постепенное смещение вправо верхних максимумов, в то время как минимумы остаются неизменными.
Уравнение (12) позволяет определить скорость колебаний в центре инструмента:
•
dx
=
de
⎢⎣⎡⎢g
e•x
+
g• (bx
+
ex
)⎤⎦⎥⎥ ∓ ⎣⎡⎢⎢(bx
de2
+
ex
)r•z
+
e•x
rz
⎦⎥⎥⎤
•
de
,
(15)
( )•
dy
=
de
⎣⎢⎡⎢g
e•y
+
g• (by
+
ey
)⎥⎥⎦⎤ ± ⎣⎢⎡⎢ de2
by
+
ey
r•z
+
e•y
rz
⎥⎥⎦⎤
•
de
,
(16)
где
⎡⎢⎣⎢e•x,e•y ⎥⎥⎦⎤ = eωOH [−sin ωOHt, cosωOHt],
(17)
•
g
=
2bx
e•x
+
2by
e•y
,
(18)
r•z
=
4d2
⎢⎣⎡⎢(bx
+
ex
) e•x
+ (by rz
+
ey
) e• y
⎤⎦⎥⎥
−
g
•
g
.
(19)
В следующем разделе будет получено условие для углового экстремума перемещения
верхнего звена рабочего инструмента полиро-
вального станка. Уравнение (12) используется для расчета
положения центра инструмента и, следовательно, позволяет определить, находится ли какая-
нибудь точка стекла в контакте с инструментом, с помощью неравенства [3]
Xn an
+
Ym bm
≤1,
(20)
где a и b определяют размеры инструмента, а m и n – форму (см. рис. 5).
Известные инструменты
1 22
0 00
–1 –1 0
–2 –2
1
–1 0 1
–1 0
1
n=m=2
n=m=2 n=m=1
a=b=1
a=1
a=1
b=2
b=2
22
, рад
0,4
Колебание края верхнего звена
0,2
0
– 0,2
– 0,4
0 2 4 6 8 t, c Рис. 4. Зависимость угла α от времени при разных значениях e.
58
y, см
00
x, см
–2 –1
0
1
n = m = 1/2
a=1
b=2
–2 –1
0
1
n = m = 100
a=1
b=2
Неизвестные инструменты
22
2
00
0
–2 –1
0
1
n=2
m=1
a=1
b=2
–2 –1 0 1
n=2 m = 1/2 a=1 b=2
–2 –1
0
n=2
m=8
a=1
b=2
1
Рис. 5. Размеры и формы некоторых полирующих инструментов, полученные из уравнения (15).
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
III. Условие для экстремальных значений углового перемещения верхнего звена рабочего инструментa полировального станка
Расположив на прямой линии точки ОМЕ, ОЕН и ОDH, оператор экспериментальным путем получает экстремальную траекторию движения верхнего звена рабочего инструмента станка. Затем он настраивает угол децентровки, перемещая точку ODH на полукруге этого звена, для определения на стекле области, которая будет подвергаться обработке шлифованием.
Авторам этой статьи неизвестно никакого математического доказательства описанных выше эмпирических условий для нахождения экстремальной траектории движения инструмента, поэтому в этом разделе будут выведены условия, на которых она основана.
Для получения условия крайнего углового движения верхнего звена рабочего инструмента достаточно продифференцировать по времени и приравнять нулю уравнение (10) или (11). Однако из-за громоздкости таких вычислений мы следуем другим путем, а именно берем производную по времени обоих членов уравнения (7), получая при этом следующее выражение:
⎜⎜⎜⎜⎝⎛bx
dex dt
+ by
dey dt
⎟⎟⎟⎟⎞⎠−d ⎢⎢⎣⎡cosα
dex dt
−
− (bx + ex )sinα
dα dt
+ sinα
dey dt
+
+
(by
+
ey
)
cosα
dα dt
⎦⎤⎥⎥
=
0.
(21)
Поскольку в экстремумах движения dα/dt = 0, уравнение (21) принимает вид
⎜⎝⎜⎜⎜⎛bx
dex dt
+ by
dey dt
⎠⎟⎟⎟⎞⎟−d ⎣⎢⎢⎡cosα
dex dt
+
sinα
dey dt
⎦⎥⎥⎤
=
0.
(22)
Заменяя производные, полученные из уравнения (3), и перегруппировывая слагаемые, получаем
ex ey
=
bx by
− dx − dy
,
(23)
где (dx, dy) определяются из уравнения (4). Наконец, используя уравнение (5), получаем
(fx − ex, fy − ey )= (bx −dx, by −dy ),
(24)
а после подстановки в (23) –
или
ex ey
=
fx fy
− ex − ey
ex (fy − ey )− ey(fx − ex )= 0.
(25) (26)
Учитывая, что e и f находятся в одной плоскости, уравнение (26) может быть записано как
и так как то
e×(f − e) = 0 e×e = 0, e×f = 0.
(27) (28) (29)
Отсюда мы пришли к выводу, что e и f параллельны при экстремуме углового движения.
IV. Расчет значений углового экстремума
Воспользуемся условием параллельности e и f при экстремуме для расчета экстремальных значений углов. Уравнение (5) может быть переписано как
b −d = (f ± e)eˆ,
(30)
где знак + или – в скобках определяет максимум или минимум. Возводя во вторую степень оба члена уравнения (30), получим
b2 + d2−2b·d = (f ± e)2.
(31)
Если мы принимаем
c2 = b2 + d2−(f ± e)2,
(32)
то можно записать
c2 = 2(bxdcosη + bydsinη),
(33)
где η – угол d с осью х. Заменив sin2η = 1 –cos2η, после некоторых алгебраических преобразований приходим к выражению
4b2d2cos2η−4bxdc2cosη + c4 −4by2d2 = 0. (34)
Выражение (34) представляет собой квадратичное уравнение cosη, решением которого является
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
59
cosη
=
bx c2
±
by 4b2d2 − 2b2d
c4
.
(35)
Следуя аналогичной процедуре, находим выражение для sinη:
sinη
=
byc2
±
bx 4b2d2 2b2d
−
c4
.
(36)
Особенно важен случай, когда η (назовем его
ηB) является углом, который образует вектор d с вектором b (прямая ОВН – ОМЕ). В этом случае by = 0, bx = b и, следовательно, уравнения (35) и (36) можно преобразовать и представить как
cosηB
=
b2
+
d2 − (f 2bd
±
e)2
,
(37)
± sinηB =
4b2d2
−
⎣⎢⎡b2 + d2 2bd
− (f
±
e)2
⎥⎦⎤2
.
(38)
Здесь мы сделали замену выражения (32) на c2,
где максимальное или минимальное значение
cosηB определяется знаком + или – при e. С другой стороны, тип машины зависит от
знака квадратного корня sinηB в уравнении (38). Поэтому к этим двум видам машин применим
один и тот же анализ.
Уравнения (37) и (38) являются выражения-
ми, которые позволяют нам определить экстре-
мальные значения перемещения инструмента
в полировальной промышленной машине.
С помощью уравнения (37) проанализируем
среднюю точку А0 и амплитуду А1 угловых колебаний и определим их следующим образом:
A
0
=
cos−1
⎡⎢⎢⎣⎢
b2
+
d2 − (f 2bd
+
e)2
⎤⎥⎥⎥⎦
+ 2
cos−1
⎡⎣⎢⎢⎢
b2
+
d2 − (f 2bd
−
e)2
⎤⎦⎥⎥⎥
(39)
и
A1
=
cos−1
⎡⎢⎢⎢⎣
b2
+
d2 − (f 2bd
+
e)2
⎤⎦⎥⎥⎥
−
cos−1
⎡⎣⎢⎢⎢
b2
+
d2 − (f 2bd
−
e)2
⎤⎥⎥⎥⎦
.
(40)
В расчетах будут использованы фиксированные параметры полировальной машины типа А: d = 38 см, b = 62,01 см, f = 40,5 см. На рис. 6 приведена зависимость изменения А0 от эксцентриситета e, из которой следует, что первая центральная точка имеет место при e = 0. Если необходимо, чтобы верхнее звено рабочего ин-
A0
30
Колебание края верхнего звена
струмента с новой амплитудой колебания двигалось вокруг того же углового положения, то при изменении e надо скорректировать и точку ОDH. Кроме того, видно, что зависимость между А0 и e не является линейной, что особенно заметно при больших значениях e. Аналогичная картина имеет место и в зависимости А1 от e (рис. 7).
A1 Колебание края верхнего звена
0,4 20
0,2 10
0
0 5 10 15 e Рис. 6. Зависимость A0 от эксцентриситета e.
60
0
0 5 10 15 e Рис. 7. Зависимость угловой амплитуды A1 от эксцентриситета.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
V. Выводы
В работе приведен способ нахождения экстремальных значений угловых перемещений верхнего звена рабочего инструмента станка для полирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Woo Dang Dong, Putilin E.S., Rudin Ya.V. Modelling the Velocity and Trajectory of the Relative
Motion of a Zone of a Workpiece During Surface Lapping // The Optical Society of America. 2003. V. 70. P. 573–575.
2. Preston F.W. Theory and Design of Plate Glass Polishing Machines // Journal of the Society of Glass Technology. 1927. V. XI. Р. 214–255.
3. Leal Cabrera I., Cordero-Dávila A. González García J. Analytical and numerical classification of wear profiles produced with oscillating tools of different shapes // Opt. Engin. 2009. V. 48 № 10. P. 103401(1)–103401(9).
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
61
ДВИЖЕНИЕ ВЕРХНЕГО ЗВЕНА РАБОЧЕГО ИНСТРУМЕНТА СТАНКА ДЛЯ ПОЛИРОВАНИЯ
© 2011 г. А. Кордеро-Дáвилa*, доктор физ. наук; Б. А. Мартинес Иривас*, магистр наук; В. Г. Кабрера Пелаэс**, доктор физ. наук; Х. Гонсалес Гарсия***, доктор физ. наук; Э. Пино Мота*, доктор физ. наук; И. Леал Кабрера****, доктор физ. наук
**** Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México **** Universidad Politécnica de Tlaxcala, Tepeyanco, Tlaxcala, México **** Universidad Tecnológica de la Mixteca, Huajuapan de León, Oaxaca, México **** Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica, Tonantzintla, Puebla, México **** Е-mail: acordero@fcmf.buap.mx
Разработана математическая модель движения верхнего звена рабочего инструмента полировального станка, позволяющая установить функциональную зависимость положения и скорости центра инструмента от амплитуды осциллирующих перемещений верхнего звена.
Ключевые слова: шлифовка, полировка, математическая модель движения инструмента.
Коды OCIS: 220.5450, 220.4610, 220.0220.
Поступила в редакцию 02.12.2010.
I. Введение
Промышленные станки для полирования выпускаются, в основном, двух типов: А и В. У станков типа А (рис. 1) верхнее звено рабочего инструмента станка практически прямое, а у станков типа B (рис. 2) оно согнуто почти на 90°.
В научно-технической литературе угловое движение верхнего звена рабочего инструмента принято рассматривать как простое гармоническое движение, хотя при этом не приводятся никакие основания для такого рассмотрения. Исключением является лишь работа Донг Данг Ву [1]. В разделе II выведена формула, которая связывает эксцентричности движения станка с угловым движением верхнего звена его рабочего инструмента, и показано, что данная формула является решением уравнения второй степени и что знак корня определяет тип машины (А или В). В разделе III сначала выводятся условия, а затем уравнения для угловых крайних значений, с помощью которых определены максимальная амплитуда колебаний и смещение от центра как функция, зависящая от эксцентричности. С помощью графиков показано, что линейная зависимость является лишь приблизительной. В заключение представлены выводы.
II. Движение в промышленном станке для полирования
Модель, с помощью которой можно прогно-
зировать износ h в какой-то точке стекла за ин-
тервал времени (0, τ), была предложена Престо-
ном [2] и характеризуется зависимостью
τ
h = ∫ Apvdt, 0
(1)
где A – технологическая постоянная, p – давле-
ние инструмента на стекло, v – их относитель-
ная скорость. Чтобы рассчитать v, проводится
следующий кинематический анализ.
На рис. 3 для сравнения приведены схемы
полировальных машин обоих типов. Центр ин-
струмента ОСН периодически колеблется вокруг неподвижной точки ОВН. Через другую неподвижную точку ОМЕ, связанную с точкой ОВН зависимостью
b = (bx, by ),
(2)
проходит ось вращения двигателя эксцентрич-
ности. Существуют две подвижные оси: ось
эксцентричности (проходит через точку ОЕН) и ось смещения (проходит через точку ОDH) этого инструмента. Точка OEH осуществляет едино-
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
55
ОDН d
ОEH fe
ОME
b
ОBН
ОСН
Рис. 1. Фотография и схема полировальной машины типа А. Нижние индексы при О (ось) означают следующее: СН – центр рабочего инструмента, ВН – верхнее звено рабочего инструмента, МЕ – двигатель эксцентричности, ЕН – децентрировка рабочего инструмента.
ОME e
b ОEH f
ОBН
d ОDН
Рис. 2. Фотография и схема полировальной машины типа В. 56
ОСН “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
Y Тип А
ОDH d
ОВН
ОЕН fe
ОME bf
d ОDH
х Тип В
ОСН
Рис. 3. Сравнение полировальных машин
типа А и В.
образное круговое движение вокруг ОМЕ с фиксированным радиусом |e| c угловой скоростью
ωOH в соответствии с уравнением
(ex, ey ) = e [cos(ωOH t), sin(ωOH t)].
(3)
С другой стороны, позиция ODH относительно OBH описывается уравнением
(dx, dy ) = d [cosα, sinα],
(4)
где α = α(t) – неизвестное. Из рис. 1 и 2 видно,
что
b +e−d = f,
(5)
где вектор f направлен от ODH к OEH. Для определения значений α(t) используем тот факт,
что расстояние |f| постоянно, поэтому после подстановки (2), (3) и (4) в (5) получаем
f2 =[bx + ecos(ωOHt) −d cosα]2+
+ ⎡⎣⎢by + esin(ωOHt) −dsinα⎥⎦⎤2.
(6)
Как видно из этого уравнения, α(t) представляет собой неизвестную величину. После нескольких простых преобразований уравнение (6) можно переписать как
b2 + e2 + d2− f2 + 2(bxex + byey ) − − 2d cosα(bx + ex ) −2dsinα(by + ey ) = 0.
(7)
Из уравнения (7) можно исключить cosα и пере-
писать его в виде
( )4d2 ⎡⎢⎣(bx + ex )2 + by + ey 2 ⎤⎦⎥ sin2α − − 4gd(by + ey )sinα + g2−4d2(bx + ex )2 = 0,
(8)
где
( )g = b2 + e2 + d2− f2 + 2 bxex + byey .
(9)
Решив уравнение (8), получим
sin
α
=
g(by
+
ey
)
±
(bx + ex ) 2d ⎣⎡⎢(bx
4d2 ⎢⎣⎡(bx +ex )2 + (by +ex )2 + (by + ey )2 ⎤⎥⎦
+
ey
)2
⎥⎦⎤
−
g2
.
В результате аналогичной процедуры находим
cos α
=
g(bx
+
ex
)
∓
(by + ey ) 2d ⎡⎣⎢(bx
4d2 ⎡⎣⎢(bx + ex )2 + (by + ex )2 + (by + ey )2 ⎦⎥⎤
+
ey
)2
⎦⎥⎤
−
g2
.
(10) (11)
Формулы (10) и (11) используются для расчета (dx, dy) с помощю уравнения (4), а именно
(dx, dy )
=
d de
⎣⎡g(bx
+
ex )
∓
(by
+ ey )rz,
g(bx + ex ) ± (by + ey )rz ⎤⎦,
(12)
где
( )rz = 4d2 ⎢⎣⎡(bx + ex )2 + by + ey 2 ⎦⎥⎤ − g2
(13)
и
de = 2d ⎣⎡⎢(bx + ex )2 +(by + ey )2 ⎤⎥⎦.
(14)
Для станка типа А (см. рис. 3) выбираются
верхние знаки из уравнения (12), для станка
типа В – нижние знаки.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
57
Это объясняется тем, что в итоге найденное решение соответствует точкам пересечения двух кругов, что может быть сверено с результатами Донг Данг Ву и др. [1].
Для построения зависимости угла α от времени при разных значениях эксцентриситета e (рис. 4) были использованы фиксированные параметры полировальной машины типа А: d = 38 см, b = 62,01 см, f = 40,5 см.
Видно, что по мере того как растет e и увеличивается амплитуда колебания, можно также наблюдать постепенное смещение вправо верхних максимумов, в то время как минимумы остаются неизменными.
Уравнение (12) позволяет определить скорость колебаний в центре инструмента:
•
dx
=
de
⎢⎣⎡⎢g
e•x
+
g• (bx
+
ex
)⎤⎦⎥⎥ ∓ ⎣⎡⎢⎢(bx
de2
+
ex
)r•z
+
e•x
rz
⎦⎥⎥⎤
•
de
,
(15)
( )•
dy
=
de
⎣⎢⎡⎢g
e•y
+
g• (by
+
ey
)⎥⎥⎦⎤ ± ⎣⎢⎡⎢ de2
by
+
ey
r•z
+
e•y
rz
⎥⎥⎦⎤
•
de
,
(16)
где
⎡⎢⎣⎢e•x,e•y ⎥⎥⎦⎤ = eωOH [−sin ωOHt, cosωOHt],
(17)
•
g
=
2bx
e•x
+
2by
e•y
,
(18)
r•z
=
4d2
⎢⎣⎡⎢(bx
+
ex
) e•x
+ (by rz
+
ey
) e• y
⎤⎦⎥⎥
−
g
•
g
.
(19)
В следующем разделе будет получено условие для углового экстремума перемещения
верхнего звена рабочего инструмента полиро-
вального станка. Уравнение (12) используется для расчета
положения центра инструмента и, следовательно, позволяет определить, находится ли какая-
нибудь точка стекла в контакте с инструментом, с помощью неравенства [3]
Xn an
+
Ym bm
≤1,
(20)
где a и b определяют размеры инструмента, а m и n – форму (см. рис. 5).
Известные инструменты
1 22
0 00
–1 –1 0
–2 –2
1
–1 0 1
–1 0
1
n=m=2
n=m=2 n=m=1
a=b=1
a=1
a=1
b=2
b=2
22
, рад
0,4
Колебание края верхнего звена
0,2
0
– 0,2
– 0,4
0 2 4 6 8 t, c Рис. 4. Зависимость угла α от времени при разных значениях e.
58
y, см
00
x, см
–2 –1
0
1
n = m = 1/2
a=1
b=2
–2 –1
0
1
n = m = 100
a=1
b=2
Неизвестные инструменты
22
2
00
0
–2 –1
0
1
n=2
m=1
a=1
b=2
–2 –1 0 1
n=2 m = 1/2 a=1 b=2
–2 –1
0
n=2
m=8
a=1
b=2
1
Рис. 5. Размеры и формы некоторых полирующих инструментов, полученные из уравнения (15).
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
III. Условие для экстремальных значений углового перемещения верхнего звена рабочего инструментa полировального станка
Расположив на прямой линии точки ОМЕ, ОЕН и ОDH, оператор экспериментальным путем получает экстремальную траекторию движения верхнего звена рабочего инструмента станка. Затем он настраивает угол децентровки, перемещая точку ODH на полукруге этого звена, для определения на стекле области, которая будет подвергаться обработке шлифованием.
Авторам этой статьи неизвестно никакого математического доказательства описанных выше эмпирических условий для нахождения экстремальной траектории движения инструмента, поэтому в этом разделе будут выведены условия, на которых она основана.
Для получения условия крайнего углового движения верхнего звена рабочего инструмента достаточно продифференцировать по времени и приравнять нулю уравнение (10) или (11). Однако из-за громоздкости таких вычислений мы следуем другим путем, а именно берем производную по времени обоих членов уравнения (7), получая при этом следующее выражение:
⎜⎜⎜⎜⎝⎛bx
dex dt
+ by
dey dt
⎟⎟⎟⎟⎞⎠−d ⎢⎢⎣⎡cosα
dex dt
−
− (bx + ex )sinα
dα dt
+ sinα
dey dt
+
+
(by
+
ey
)
cosα
dα dt
⎦⎤⎥⎥
=
0.
(21)
Поскольку в экстремумах движения dα/dt = 0, уравнение (21) принимает вид
⎜⎝⎜⎜⎜⎛bx
dex dt
+ by
dey dt
⎠⎟⎟⎟⎞⎟−d ⎣⎢⎢⎡cosα
dex dt
+
sinα
dey dt
⎦⎥⎥⎤
=
0.
(22)
Заменяя производные, полученные из уравнения (3), и перегруппировывая слагаемые, получаем
ex ey
=
bx by
− dx − dy
,
(23)
где (dx, dy) определяются из уравнения (4). Наконец, используя уравнение (5), получаем
(fx − ex, fy − ey )= (bx −dx, by −dy ),
(24)
а после подстановки в (23) –
или
ex ey
=
fx fy
− ex − ey
ex (fy − ey )− ey(fx − ex )= 0.
(25) (26)
Учитывая, что e и f находятся в одной плоскости, уравнение (26) может быть записано как
и так как то
e×(f − e) = 0 e×e = 0, e×f = 0.
(27) (28) (29)
Отсюда мы пришли к выводу, что e и f параллельны при экстремуме углового движения.
IV. Расчет значений углового экстремума
Воспользуемся условием параллельности e и f при экстремуме для расчета экстремальных значений углов. Уравнение (5) может быть переписано как
b −d = (f ± e)eˆ,
(30)
где знак + или – в скобках определяет максимум или минимум. Возводя во вторую степень оба члена уравнения (30), получим
b2 + d2−2b·d = (f ± e)2.
(31)
Если мы принимаем
c2 = b2 + d2−(f ± e)2,
(32)
то можно записать
c2 = 2(bxdcosη + bydsinη),
(33)
где η – угол d с осью х. Заменив sin2η = 1 –cos2η, после некоторых алгебраических преобразований приходим к выражению
4b2d2cos2η−4bxdc2cosη + c4 −4by2d2 = 0. (34)
Выражение (34) представляет собой квадратичное уравнение cosη, решением которого является
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
59
cosη
=
bx c2
±
by 4b2d2 − 2b2d
c4
.
(35)
Следуя аналогичной процедуре, находим выражение для sinη:
sinη
=
byc2
±
bx 4b2d2 2b2d
−
c4
.
(36)
Особенно важен случай, когда η (назовем его
ηB) является углом, который образует вектор d с вектором b (прямая ОВН – ОМЕ). В этом случае by = 0, bx = b и, следовательно, уравнения (35) и (36) можно преобразовать и представить как
cosηB
=
b2
+
d2 − (f 2bd
±
e)2
,
(37)
± sinηB =
4b2d2
−
⎣⎢⎡b2 + d2 2bd
− (f
±
e)2
⎥⎦⎤2
.
(38)
Здесь мы сделали замену выражения (32) на c2,
где максимальное или минимальное значение
cosηB определяется знаком + или – при e. С другой стороны, тип машины зависит от
знака квадратного корня sinηB в уравнении (38). Поэтому к этим двум видам машин применим
один и тот же анализ.
Уравнения (37) и (38) являются выражения-
ми, которые позволяют нам определить экстре-
мальные значения перемещения инструмента
в полировальной промышленной машине.
С помощью уравнения (37) проанализируем
среднюю точку А0 и амплитуду А1 угловых колебаний и определим их следующим образом:
A
0
=
cos−1
⎡⎢⎢⎣⎢
b2
+
d2 − (f 2bd
+
e)2
⎤⎥⎥⎥⎦
+ 2
cos−1
⎡⎣⎢⎢⎢
b2
+
d2 − (f 2bd
−
e)2
⎤⎦⎥⎥⎥
(39)
и
A1
=
cos−1
⎡⎢⎢⎢⎣
b2
+
d2 − (f 2bd
+
e)2
⎤⎦⎥⎥⎥
−
cos−1
⎡⎣⎢⎢⎢
b2
+
d2 − (f 2bd
−
e)2
⎤⎥⎥⎥⎦
.
(40)
В расчетах будут использованы фиксированные параметры полировальной машины типа А: d = 38 см, b = 62,01 см, f = 40,5 см. На рис. 6 приведена зависимость изменения А0 от эксцентриситета e, из которой следует, что первая центральная точка имеет место при e = 0. Если необходимо, чтобы верхнее звено рабочего ин-
A0
30
Колебание края верхнего звена
струмента с новой амплитудой колебания двигалось вокруг того же углового положения, то при изменении e надо скорректировать и точку ОDH. Кроме того, видно, что зависимость между А0 и e не является линейной, что особенно заметно при больших значениях e. Аналогичная картина имеет место и в зависимости А1 от e (рис. 7).
A1 Колебание края верхнего звена
0,4 20
0,2 10
0
0 5 10 15 e Рис. 6. Зависимость A0 от эксцентриситета e.
60
0
0 5 10 15 e Рис. 7. Зависимость угловой амплитуды A1 от эксцентриситета.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
V. Выводы
В работе приведен способ нахождения экстремальных значений угловых перемещений верхнего звена рабочего инструмента станка для полирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Woo Dang Dong, Putilin E.S., Rudin Ya.V. Modelling the Velocity and Trajectory of the Relative
Motion of a Zone of a Workpiece During Surface Lapping // The Optical Society of America. 2003. V. 70. P. 573–575.
2. Preston F.W. Theory and Design of Plate Glass Polishing Machines // Journal of the Society of Glass Technology. 1927. V. XI. Р. 214–255.
3. Leal Cabrera I., Cordero-Dávila A. González García J. Analytical and numerical classification of wear profiles produced with oscillating tools of different shapes // Opt. Engin. 2009. V. 48 № 10. P. 103401(1)–103401(9).
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
61