Влияние эмиссии электронов на нагрев металлов фемтосекундными лазерными импульсами
УДК 538.971
ВЛИЯНИЕ ЭМИССИИ ЭЛЕКТРОНОВ НА НАГРЕВ МЕТАЛЛОВ ФЕМТОСЕКУНДНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ
© 2011 г. Е. Б. Яковлев, доктор техн. наук; О. Н. Сергаева; В. В. Свирина Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
Е-mail: yak@lastech.ifmo.ru
Проведено исследование взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с металлами с учетом электронной, фото- и термоэмиссии, вызывающих кулоновский взрыв из-за накопления избыточного положительного заряда на поверхности мишени и генерации электрического поля. Установлено, что эмиссия оказывает слабое влияние на теплофизические и оптические свойства твердых тел и поэтому ее можно не учитывать при анализе нагрева металлов фемтосекундными лазерными импульсами.
Ключевые слова: лазерное нагревание, ультракороткие импульсы, электронная фото- и термоэмиссия, кулоновсий взрыв, численное моделирование.
Коды OCIS: 320.2250, 320.7130, 190.4180, 000.3866 Поступила в редакцию 14.02.2011
В связи с развитием лазерных технологий возрастает интерес к процессам, происходящим при воздействии сверхкоротких лазерных импульсов на вещество [1–5]. Однако экспериментальные исследования и аналитическое описание таких процессов вызывают трудности. В такой ситуации большие возможности открывает применение численных методов на базе современной вычислительной техники. В данной работе основное внимание уделено расчету температуры при действии лазерного излучения на вещество. При численном моделировании было учтено, что значительное влияние на динамику температуры оказывает эмиссия электронов, в процессе которой электроны уносят часть энергии, запасенной в электронном газе, и в результате на нагревание решетки идет меньшая энергия.
Так как длительность воздействия при нагревании металлов фемтосекундными лазер ными импульсами значительно меньше времени электрон-ионной релаксации, для расчета температуры необходимо использовать двухтемпературную модель, учитывающую перегрев электронной подсистемы относительно фононной. Энергия излучения сначала поглощается свободными электронами и затем передается ионам за счет соударений. Поэтому кристаллическая решетка нагревается уже после окончания импульса.
На рис. 1 приведена схема взаимодействия фемтосекундного лазерного излучения с металлом. При нагревании металлов происходит диффузия свободных электронов из глубины материала к поверхности, а затем их эмиссия. Эмитируемые “горячие” электроны уносят часть энергии, запасенной в электронной подсистеме, тем самым уменьшая ее температуру,
Лазерное излучение
Поглощение энергии свободными электронами
Многофотонное поглощение e
Нагревание электронов
Te
Передача энергии от электронов решетке
Термоэлектронная
эмиссия nTh
Фотоэлектронная
эмиссия nPh
Нагревание решетки
Ti
Генерация электрического поля
Е
Плавление
Кулоновский взрыв
Eth
Рис. 1. Взаимодействие лазерного излучения с веществом.
24 “Оптический журнал”, 78, 8, 2011
и в конечном итоге температуру тела в целом. Одновременно с этим изменение концентрации электронов в приповерхностной области приводит к изменению оптических характеристик материала. Толщина эмиссионного слоя ограничена длиной свободного пробега электронов, а также зависит от концентрации элект ронов и коэффициента эмиссии.
Температуру материала при нагревании импульсом фемтосекундной длительности можно определить решая систему, состоящую из уравнений теплопроводности для электронов и фононов (решетки) и уравнения, описывающего изменение концентрации электронов во времени. Уравнения теплопроводности описывают транспорт энергии внутри материала. При расчете динамики концентрации свободных носителей учитывается их диффузия, эмиссия с поверхности и изменение оптических свойств металла.
При нагревании тонких пленок диаметр пучка лазерного излучения (100 мкм) намного больше оптической глубины проникновения (100 нм) и глубины проникновения электронов (~ 100 нм), следовательно, процесс нагревания можно описать с помощью одномерной модели.
Температуру тела при нагревании фемтосекундными лазерными импульсами можно вычислить при решении системы уравнений, состоящей из уравнений теплопроводности для электронов и решетки:
ce
(Te, ne )¶¶Tte
-
¶ ¶x
èæçççλTe
(Te, ne
)¶¶Txe
÷ø÷ö÷ =
= -kei (Te, ne )(Te -Ti )+ qν,
ci
¶Ti ¶t
-
¶ ¶x
æççèçλTi
¶Ti ¶x
÷÷÷öø =
kei
(Te,
ne )(Te -Ti
),
(1)
где qν – поглощенная плотность мощности лазерного излучения.
С начальными и граничными условиями:
-λTe (Te, ne )¶¶Txe
= -λTi
x=0
¶Ti ¶x
= 0,
x=0
Te t=0 = Ti t=0 = Tn,
где Tn – начальная температура и уравнения, описывающего изменение концентрации
электронов:
¶n ¶t
=
D
¶2n ¶x2
,
(2)
с начальными и граничными условиями:
ne t=0 = n0, где n0 = 1023 см–3,
ne x=xmax = n0,
D
¶n ¶x
x=0
=
-νe,
где
νe = νTe h + νPe h,
νTe h = BT2exp(AB /(kbT))exp(x/le )/qe – скорость
термоэмиссии электронов, где В – коэффициент Ричардсона (120 A/cм2K2), АВ – работа выхода электронов, le – длина свободного пробега электронов, qe – заряд электрона.
При расчете фотоэмиссии считаем, что все
свободные электроны, участвующие в много
фотонном процессе и достигшие поверхности
без потери энергии, покидают металл. Для
трехфотонного поглощения имеем:
¥
òνePh = σ3J3exp(-x/le )dx 0
– скорость фотоэмиссии электронов (см3/с),
σ3 – сечение трехфотонного поглощения. В литературе значений сечений многофо-
тонного поглощения для металлов найти не
удалось, поэтому мы использовали следующий
способ оценки их значений. Сечение однофо-
тонного поглощения σ1 для металлов может быть определено при известных коэффициен-
те поглощения α и концентрации свободных
электронов n как σ1 = α/n. Оценивая время жизни на виртуальном уровне τ0 ~ 10–16 с [3], можно определить концентрацию электро-
нов на первом виртуальном уровне n1 = nσ1τ0J. Считая сечение поглощения возбужденных электронов равным σ1, получим σ2 = σ12nτ0. Рассуждая аналогично, придем к σ3 = σ13nτ02. Для m-фотонного поглощения σm = σ1mnτ0m – 1.
При расчете динамики концентрации сво-
бодных носителей учитываются зависимости
теплофизических [4] и оптических свойств ма-
териала от температуры и концентрации элек-
тронов: электронная теплоемкость ce = 3nkb/2, теплопроводность электронов λTe = νe2τeece/3, коэффициент теплообмена между электрона-
ми и решеткой kei = ce/trel, скорость электро-
нов νe = (3kbT/me ), длина свободного пробега
электронов le = (1/neσ 2). Зависимость коэф-
фициента поглощения от концентрации сво
“Оптический журнал”, 78, 8, 2011
25
q, Вт/см2
1 1014 8 1013 6 1013 4 1013 2 1013
0
(а) 5
0,05 t, пс 0,1
1 T, K 2 3 8000 4
6000
4000
Te, K
50000 40000 30000
20000
2000
10000
0 0,15
0
Te, K
54000
53000 52000 51000 50000
0,12
(б) 1 2
0,13 0,14 t, пс
Рис. 2. Зависимости температуры с учетом эмиссии и без нее от времени. Форма импульса q = = qmexp(–(t – tm)2/t2m1), tm = 100 фс, tm1 = 50 фс, максимальная плотность мощности qm = 5×1014 Вт/см2, T (3), T (1) – температуры решетки и электронов без учета эмиссии; T emis (2), Teemis (4) – то же с учетом эмиссии (а); увеличенный участок зависимости электронной температуры с учетом эмиссии (2) и без нее (1)от времени (б); (5) – лазерный импульс.
бодных электронов: α(n) = (α/nn)n, где nn – начальная концентрация свободных электронов.
Эмиссия электронов приводит к накоплению положительного заряда на поверхности металла и к возникновению электрического поля. Для расчета электрического поля, создаваемого в результате нарушения квазинейтральности в облученной области, решается уравнение [5]:
¶E ¶x
=
(qe
/(εε0
))(ni
-
ne
).
(3)
Поле, возникшее вследствие разделения за-
рядов, может достигать значений, превышаю-
щих энергию связи атомов, что и приводит к ку-
лоновскому взрыву. Для определения н ачала
кулоновского взрыва электрическое поле (3) сравнивается с критической напряженностью, необходимой для удаления атома из мишени:
Eth x=0 = 2Λatn0 /(εε0 ),
(4)
где n0 – концентрация атомов, см–3, Λat = = 2,951 Дж/атом – теплота сублимации, ε –
относительная диэлектрическая проницаемость металла, ε0 = 8,854×10–14 – электрическая постоянная, Ф/см.
Для численного решения уравнения тепло-
проводности и уравнения, описывающего из
менение концентрации электронов, представ-
ляющих собой нестационарные дифференци-
альные уравнения в частных производных,
был выбран метод разностной аппроксимации.
Для расчета значений температуры и концен-
трации использовалась разностная схема. Не-
смотря на достаточно высокую скорость расчета благодаря использованию явных формул, данная схема обладает серьезным недостатком – необходимо выполнение условия устойчивости, накладывающего ограничение на величину шагов разбиений по координате и времени.
Здесь приведены результаты расчета для серебра, форма импульса q = qmexp(–(t – tm)2/t2m1), tm = 100 фс, tm1 = 50 фс, АВ = 4,28 эВ. При ћw = 1,55 эВ поглощение трехфотонное. Расчет проводился до момента начала кулоновского взрыва, когда возникшее из-за разделения зарядов электрическое поле превышает пороговое значение, необходимое для отрыва атомов. Для сравнения проведено моделирование нагревания без учета эмиссии, но с учетом зависимостей характеристик материала от температуры.
Из рис. 2 видно, что температура электронов и решетки растут, но не достигают максимума в течение импульса. Различие температур, рассчитанных с учетом эмиссии и без нее невелико и в момент начала кулоновского взрыва t = 0,15 пс (Teemission – Te) ≈ 290 K (рис. 2б), (T emission – T) ≈ 60 K.
На рис. 3 показано изменение полной концентрации свободных электронов, а также количество электронов, вылетающих за счет фото- и термоэмиссии. На начальном этапе действия импульса преобладает фотоэмиссия, которая по форме близка к форме импульса (отличия вызваны нелинейностью эффектов), но температура электронов быстро увеличивается, а вместе с ней и термоэлектронная эмис-
26 “Оптический журнал”, 78, 8, 2011
q, Вт/см2
1,2 1014 1 1014 8 1013
N, см–3 1023
neph, см–3
nteh, см–3
1
1
1,5 1013
6,0 1017
43
0,998
1,0 1013
4,0 1017
6 1013 4 1013
2
0,996
5,0 1012
2,0 1017
2 1013 0
0,05 t, пс 0,1
0,994 0,15
0 0
Рис. 3. Зависимость концентрации электронов (1) и концентраций эмитируемых за счет фото- (neph) (2) и термоэмиссии (nteh) (3) электронов от времени. Форма импульса q = qmexp(–(t – tm)2/t2m1), tm = 100 фс, tm1 = 50 фс (4).
q, Вт/см2
N, см–3 1023
neph, см–3
neth, см–3
4 1013 3 1013 2 1013
4
1 2
1
3
0,999
0,998
5 1011 4 1011 3 1011
3 1017 2 1017
1 1013
0,997 0,996
2 1011 1 1011
1 1017
0
0,1 t, пс
0,2
00
Рис. 4. Зависимость концентрации электронов (1) и концентраций эмитируемых за счет фото- (npeh) (2) и термоэмиссии (nteh) (3) электронов от времени. Форма импульса q = qm(t/tm)exp(–t/tm), tm = 100 фс (4).
q, Вт/см2
1,0 1014 8 1013 6 1013 4 1013 2 1013
0
4 2
3
1 0,05 t, пс 0,1
1
N, см–3 1023
6 108
E, Вт/см2
0,998
0,996
0,994 0,15
4 108 2 108 0
Рис. 5. Зависимость электрического поля E (1), возникающего вслед-
ствие эмиссии электронов от времени. Пороговое значение поля Eth (2) соответствует началу кулоновского взрыва. Форма импульса (3), концентрация электронов (4).
сия, которая начинает преобладать над фото эмиссией.
На рис. 3–5 приведены временные зависимости концентрации электронов при различных формах импульса. Максимальная фотоэмиссия соответствует максимальной плотности мощ-
ности. Видно, что форма импульса существенным образом влияет на динамику процессов. Градиент концентрации электронов приводит к возникновению электрического поля, которое растет и достигает порогового значения, начинается кулоновский взрыв.
“Оптический журнал”, 78, 8, 2011
27
***
tCE, пс
0,4 0,3 0,2 0,1
0
2 1015
4 1015
6 1015 8 1015 q, Вт/см2
Рис. 6. Зависимость времени начала кулоновско-
го взрыва от плотности мощности лазерного из-
лучения. Форма tm = 100 фс.
импульса
q = qm(t/tm)exp(–t/tm),
На рис. 6 показана зависимость времени начала кулоновского взрыва от плотности мощности лазерного излучения, видно, что зависимость нелинейна.
Заключение
В работе проведен анализ влияния эмиссии электронов на процессы нагревания и разрушения металлов, предложена методика оценки сечений многофотонного поглощения в металлах, показано, что эмиссия оказывает слабое влияние на теплофизические и оптические свойства металла и, следовательно, на динамику температуры, поэтому ее можно не учитывать при анализе нагревания металлов фемтосекундным лазерным импульсом.
Полученные результаты показывают, что к моменту возникновения кулоновского взрыва достигаются такие высокие температуры, при которых анализ следует проводить на основе модели, учитывающей состояние вещества [6, 7].
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 09-02-00932-а, 09-02-01065-а, 10-02-00208-а и государственного контракта № П1134.
*****
Литература
1. Rethfeld B., Kaiser A., Vicanek M., Simon G. Ultrafast dynamics of nonequilibrium electrons in metals under femtosecond laser irradiation // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. P. 214303–214313.
2. Rethfeld B., Kaiser A., Vicanek M., Simonc G. Nonequilibrium electron and phonon dynamics in solids absorbing a subpicosecond laser pulse // Proc. of SPIE. 2001. V. 4423. P. 250–261.
3. Делоне Н.Б. Многофотонные процессы. Cоросовский образовательный журнал. 1996. № 3. С. 75–81.
4. Tsai Hai-Lung, Jiang Lan Fundamentals of energy cascade during ultrashort laser-material interactions // Proc. of SPIE. 2005. V. 5713. P. 343–357.
5. Bulgakova N.M., Rosenfeld A., Ehrentraut L., Stoian R., Hertel I.V. Modeling of electron dynamics in laserirradiated solids: Progress achieved through a continuum approach and future prospects // Proc. of SPIE. 2007. V. 6732. P. 673208–673223.
6. Anisimov S.I., Inogamov N.A.,·Petrov Y.V., Khokhlov V.A., Zhakhovskii V.V., Nishihara K., Agranat M.B., Ashitkov S.I., Komarov P.S. Thresholds for front-side ablation and rear-side spallation of metal foil irradiated by femtosecond laser pulse // Appl Phys A. 2008. V. 92. P. 797–801.
7. Upadhyay A.K., Inogamov N.A., Rethfeld B., Urbassek H.M. Ablation by ultrashort laser pulses: Atomistic and thermodynamic analysis of the processes at the ablation threshold // Phys. Rev. B. 2008. V. 78. P. 045437-1– 045437-10.
28 “Оптический журнал”, 78, 8, 2011
ВЛИЯНИЕ ЭМИССИИ ЭЛЕКТРОНОВ НА НАГРЕВ МЕТАЛЛОВ ФЕМТОСЕКУНДНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ
© 2011 г. Е. Б. Яковлев, доктор техн. наук; О. Н. Сергаева; В. В. Свирина Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
Е-mail: yak@lastech.ifmo.ru
Проведено исследование взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с металлами с учетом электронной, фото- и термоэмиссии, вызывающих кулоновский взрыв из-за накопления избыточного положительного заряда на поверхности мишени и генерации электрического поля. Установлено, что эмиссия оказывает слабое влияние на теплофизические и оптические свойства твердых тел и поэтому ее можно не учитывать при анализе нагрева металлов фемтосекундными лазерными импульсами.
Ключевые слова: лазерное нагревание, ультракороткие импульсы, электронная фото- и термоэмиссия, кулоновсий взрыв, численное моделирование.
Коды OCIS: 320.2250, 320.7130, 190.4180, 000.3866 Поступила в редакцию 14.02.2011
В связи с развитием лазерных технологий возрастает интерес к процессам, происходящим при воздействии сверхкоротких лазерных импульсов на вещество [1–5]. Однако экспериментальные исследования и аналитическое описание таких процессов вызывают трудности. В такой ситуации большие возможности открывает применение численных методов на базе современной вычислительной техники. В данной работе основное внимание уделено расчету температуры при действии лазерного излучения на вещество. При численном моделировании было учтено, что значительное влияние на динамику температуры оказывает эмиссия электронов, в процессе которой электроны уносят часть энергии, запасенной в электронном газе, и в результате на нагревание решетки идет меньшая энергия.
Так как длительность воздействия при нагревании металлов фемтосекундными лазер ными импульсами значительно меньше времени электрон-ионной релаксации, для расчета температуры необходимо использовать двухтемпературную модель, учитывающую перегрев электронной подсистемы относительно фононной. Энергия излучения сначала поглощается свободными электронами и затем передается ионам за счет соударений. Поэтому кристаллическая решетка нагревается уже после окончания импульса.
На рис. 1 приведена схема взаимодействия фемтосекундного лазерного излучения с металлом. При нагревании металлов происходит диффузия свободных электронов из глубины материала к поверхности, а затем их эмиссия. Эмитируемые “горячие” электроны уносят часть энергии, запасенной в электронной подсистеме, тем самым уменьшая ее температуру,
Лазерное излучение
Поглощение энергии свободными электронами
Многофотонное поглощение e
Нагревание электронов
Te
Передача энергии от электронов решетке
Термоэлектронная
эмиссия nTh
Фотоэлектронная
эмиссия nPh
Нагревание решетки
Ti
Генерация электрического поля
Е
Плавление
Кулоновский взрыв
Eth
Рис. 1. Взаимодействие лазерного излучения с веществом.
24 “Оптический журнал”, 78, 8, 2011
и в конечном итоге температуру тела в целом. Одновременно с этим изменение концентрации электронов в приповерхностной области приводит к изменению оптических характеристик материала. Толщина эмиссионного слоя ограничена длиной свободного пробега электронов, а также зависит от концентрации элект ронов и коэффициента эмиссии.
Температуру материала при нагревании импульсом фемтосекундной длительности можно определить решая систему, состоящую из уравнений теплопроводности для электронов и фононов (решетки) и уравнения, описывающего изменение концентрации электронов во времени. Уравнения теплопроводности описывают транспорт энергии внутри материала. При расчете динамики концентрации свободных носителей учитывается их диффузия, эмиссия с поверхности и изменение оптических свойств металла.
При нагревании тонких пленок диаметр пучка лазерного излучения (100 мкм) намного больше оптической глубины проникновения (100 нм) и глубины проникновения электронов (~ 100 нм), следовательно, процесс нагревания можно описать с помощью одномерной модели.
Температуру тела при нагревании фемтосекундными лазерными импульсами можно вычислить при решении системы уравнений, состоящей из уравнений теплопроводности для электронов и решетки:
ce
(Te, ne )¶¶Tte
-
¶ ¶x
èæçççλTe
(Te, ne
)¶¶Txe
÷ø÷ö÷ =
= -kei (Te, ne )(Te -Ti )+ qν,
ci
¶Ti ¶t
-
¶ ¶x
æççèçλTi
¶Ti ¶x
÷÷÷öø =
kei
(Te,
ne )(Te -Ti
),
(1)
где qν – поглощенная плотность мощности лазерного излучения.
С начальными и граничными условиями:
-λTe (Te, ne )¶¶Txe
= -λTi
x=0
¶Ti ¶x
= 0,
x=0
Te t=0 = Ti t=0 = Tn,
где Tn – начальная температура и уравнения, описывающего изменение концентрации
электронов:
¶n ¶t
=
D
¶2n ¶x2
,
(2)
с начальными и граничными условиями:
ne t=0 = n0, где n0 = 1023 см–3,
ne x=xmax = n0,
D
¶n ¶x
x=0
=
-νe,
где
νe = νTe h + νPe h,
νTe h = BT2exp(AB /(kbT))exp(x/le )/qe – скорость
термоэмиссии электронов, где В – коэффициент Ричардсона (120 A/cм2K2), АВ – работа выхода электронов, le – длина свободного пробега электронов, qe – заряд электрона.
При расчете фотоэмиссии считаем, что все
свободные электроны, участвующие в много
фотонном процессе и достигшие поверхности
без потери энергии, покидают металл. Для
трехфотонного поглощения имеем:
¥
òνePh = σ3J3exp(-x/le )dx 0
– скорость фотоэмиссии электронов (см3/с),
σ3 – сечение трехфотонного поглощения. В литературе значений сечений многофо-
тонного поглощения для металлов найти не
удалось, поэтому мы использовали следующий
способ оценки их значений. Сечение однофо-
тонного поглощения σ1 для металлов может быть определено при известных коэффициен-
те поглощения α и концентрации свободных
электронов n как σ1 = α/n. Оценивая время жизни на виртуальном уровне τ0 ~ 10–16 с [3], можно определить концентрацию электро-
нов на первом виртуальном уровне n1 = nσ1τ0J. Считая сечение поглощения возбужденных электронов равным σ1, получим σ2 = σ12nτ0. Рассуждая аналогично, придем к σ3 = σ13nτ02. Для m-фотонного поглощения σm = σ1mnτ0m – 1.
При расчете динамики концентрации сво-
бодных носителей учитываются зависимости
теплофизических [4] и оптических свойств ма-
териала от температуры и концентрации элек-
тронов: электронная теплоемкость ce = 3nkb/2, теплопроводность электронов λTe = νe2τeece/3, коэффициент теплообмена между электрона-
ми и решеткой kei = ce/trel, скорость электро-
нов νe = (3kbT/me ), длина свободного пробега
электронов le = (1/neσ 2). Зависимость коэф-
фициента поглощения от концентрации сво
“Оптический журнал”, 78, 8, 2011
25
q, Вт/см2
1 1014 8 1013 6 1013 4 1013 2 1013
0
(а) 5
0,05 t, пс 0,1
1 T, K 2 3 8000 4
6000
4000
Te, K
50000 40000 30000
20000
2000
10000
0 0,15
0
Te, K
54000
53000 52000 51000 50000
0,12
(б) 1 2
0,13 0,14 t, пс
Рис. 2. Зависимости температуры с учетом эмиссии и без нее от времени. Форма импульса q = = qmexp(–(t – tm)2/t2m1), tm = 100 фс, tm1 = 50 фс, максимальная плотность мощности qm = 5×1014 Вт/см2, T (3), T (1) – температуры решетки и электронов без учета эмиссии; T emis (2), Teemis (4) – то же с учетом эмиссии (а); увеличенный участок зависимости электронной температуры с учетом эмиссии (2) и без нее (1)от времени (б); (5) – лазерный импульс.
бодных электронов: α(n) = (α/nn)n, где nn – начальная концентрация свободных электронов.
Эмиссия электронов приводит к накоплению положительного заряда на поверхности металла и к возникновению электрического поля. Для расчета электрического поля, создаваемого в результате нарушения квазинейтральности в облученной области, решается уравнение [5]:
¶E ¶x
=
(qe
/(εε0
))(ni
-
ne
).
(3)
Поле, возникшее вследствие разделения за-
рядов, может достигать значений, превышаю-
щих энергию связи атомов, что и приводит к ку-
лоновскому взрыву. Для определения н ачала
кулоновского взрыва электрическое поле (3) сравнивается с критической напряженностью, необходимой для удаления атома из мишени:
Eth x=0 = 2Λatn0 /(εε0 ),
(4)
где n0 – концентрация атомов, см–3, Λat = = 2,951 Дж/атом – теплота сублимации, ε –
относительная диэлектрическая проницаемость металла, ε0 = 8,854×10–14 – электрическая постоянная, Ф/см.
Для численного решения уравнения тепло-
проводности и уравнения, описывающего из
менение концентрации электронов, представ-
ляющих собой нестационарные дифференци-
альные уравнения в частных производных,
был выбран метод разностной аппроксимации.
Для расчета значений температуры и концен-
трации использовалась разностная схема. Не-
смотря на достаточно высокую скорость расчета благодаря использованию явных формул, данная схема обладает серьезным недостатком – необходимо выполнение условия устойчивости, накладывающего ограничение на величину шагов разбиений по координате и времени.
Здесь приведены результаты расчета для серебра, форма импульса q = qmexp(–(t – tm)2/t2m1), tm = 100 фс, tm1 = 50 фс, АВ = 4,28 эВ. При ћw = 1,55 эВ поглощение трехфотонное. Расчет проводился до момента начала кулоновского взрыва, когда возникшее из-за разделения зарядов электрическое поле превышает пороговое значение, необходимое для отрыва атомов. Для сравнения проведено моделирование нагревания без учета эмиссии, но с учетом зависимостей характеристик материала от температуры.
Из рис. 2 видно, что температура электронов и решетки растут, но не достигают максимума в течение импульса. Различие температур, рассчитанных с учетом эмиссии и без нее невелико и в момент начала кулоновского взрыва t = 0,15 пс (Teemission – Te) ≈ 290 K (рис. 2б), (T emission – T) ≈ 60 K.
На рис. 3 показано изменение полной концентрации свободных электронов, а также количество электронов, вылетающих за счет фото- и термоэмиссии. На начальном этапе действия импульса преобладает фотоэмиссия, которая по форме близка к форме импульса (отличия вызваны нелинейностью эффектов), но температура электронов быстро увеличивается, а вместе с ней и термоэлектронная эмис-
26 “Оптический журнал”, 78, 8, 2011
q, Вт/см2
1,2 1014 1 1014 8 1013
N, см–3 1023
neph, см–3
nteh, см–3
1
1
1,5 1013
6,0 1017
43
0,998
1,0 1013
4,0 1017
6 1013 4 1013
2
0,996
5,0 1012
2,0 1017
2 1013 0
0,05 t, пс 0,1
0,994 0,15
0 0
Рис. 3. Зависимость концентрации электронов (1) и концентраций эмитируемых за счет фото- (neph) (2) и термоэмиссии (nteh) (3) электронов от времени. Форма импульса q = qmexp(–(t – tm)2/t2m1), tm = 100 фс, tm1 = 50 фс (4).
q, Вт/см2
N, см–3 1023
neph, см–3
neth, см–3
4 1013 3 1013 2 1013
4
1 2
1
3
0,999
0,998
5 1011 4 1011 3 1011
3 1017 2 1017
1 1013
0,997 0,996
2 1011 1 1011
1 1017
0
0,1 t, пс
0,2
00
Рис. 4. Зависимость концентрации электронов (1) и концентраций эмитируемых за счет фото- (npeh) (2) и термоэмиссии (nteh) (3) электронов от времени. Форма импульса q = qm(t/tm)exp(–t/tm), tm = 100 фс (4).
q, Вт/см2
1,0 1014 8 1013 6 1013 4 1013 2 1013
0
4 2
3
1 0,05 t, пс 0,1
1
N, см–3 1023
6 108
E, Вт/см2
0,998
0,996
0,994 0,15
4 108 2 108 0
Рис. 5. Зависимость электрического поля E (1), возникающего вслед-
ствие эмиссии электронов от времени. Пороговое значение поля Eth (2) соответствует началу кулоновского взрыва. Форма импульса (3), концентрация электронов (4).
сия, которая начинает преобладать над фото эмиссией.
На рис. 3–5 приведены временные зависимости концентрации электронов при различных формах импульса. Максимальная фотоэмиссия соответствует максимальной плотности мощ-
ности. Видно, что форма импульса существенным образом влияет на динамику процессов. Градиент концентрации электронов приводит к возникновению электрического поля, которое растет и достигает порогового значения, начинается кулоновский взрыв.
“Оптический журнал”, 78, 8, 2011
27
***
tCE, пс
0,4 0,3 0,2 0,1
0
2 1015
4 1015
6 1015 8 1015 q, Вт/см2
Рис. 6. Зависимость времени начала кулоновско-
го взрыва от плотности мощности лазерного из-
лучения. Форма tm = 100 фс.
импульса
q = qm(t/tm)exp(–t/tm),
На рис. 6 показана зависимость времени начала кулоновского взрыва от плотности мощности лазерного излучения, видно, что зависимость нелинейна.
Заключение
В работе проведен анализ влияния эмиссии электронов на процессы нагревания и разрушения металлов, предложена методика оценки сечений многофотонного поглощения в металлах, показано, что эмиссия оказывает слабое влияние на теплофизические и оптические свойства металла и, следовательно, на динамику температуры, поэтому ее можно не учитывать при анализе нагревания металлов фемтосекундным лазерным импульсом.
Полученные результаты показывают, что к моменту возникновения кулоновского взрыва достигаются такие высокие температуры, при которых анализ следует проводить на основе модели, учитывающей состояние вещества [6, 7].
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 09-02-00932-а, 09-02-01065-а, 10-02-00208-а и государственного контракта № П1134.
*****
Литература
1. Rethfeld B., Kaiser A., Vicanek M., Simon G. Ultrafast dynamics of nonequilibrium electrons in metals under femtosecond laser irradiation // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. P. 214303–214313.
2. Rethfeld B., Kaiser A., Vicanek M., Simonc G. Nonequilibrium electron and phonon dynamics in solids absorbing a subpicosecond laser pulse // Proc. of SPIE. 2001. V. 4423. P. 250–261.
3. Делоне Н.Б. Многофотонные процессы. Cоросовский образовательный журнал. 1996. № 3. С. 75–81.
4. Tsai Hai-Lung, Jiang Lan Fundamentals of energy cascade during ultrashort laser-material interactions // Proc. of SPIE. 2005. V. 5713. P. 343–357.
5. Bulgakova N.M., Rosenfeld A., Ehrentraut L., Stoian R., Hertel I.V. Modeling of electron dynamics in laserirradiated solids: Progress achieved through a continuum approach and future prospects // Proc. of SPIE. 2007. V. 6732. P. 673208–673223.
6. Anisimov S.I., Inogamov N.A.,·Petrov Y.V., Khokhlov V.A., Zhakhovskii V.V., Nishihara K., Agranat M.B., Ashitkov S.I., Komarov P.S. Thresholds for front-side ablation and rear-side spallation of metal foil irradiated by femtosecond laser pulse // Appl Phys A. 2008. V. 92. P. 797–801.
7. Upadhyay A.K., Inogamov N.A., Rethfeld B., Urbassek H.M. Ablation by ultrashort laser pulses: Atomistic and thermodynamic analysis of the processes at the ablation threshold // Phys. Rev. B. 2008. V. 78. P. 045437-1– 045437-10.
28 “Оптический журнал”, 78, 8, 2011