Положение входного зрачка оптической системы из двух отражающих поверхностей при изопланатической и анастигматической коррекции первичных аберраций
РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 535.317
ПОЛОЖЕНИЕ ВХОДНОГО ЗРАЧКА ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ИЗОПЛАНАТИЧЕСКОЙ И АНАСТИГМАТИЧЕСКОЙ КОРРЕКЦИИ ПЕРВИЧНЫХ АБЕРРАЦИЙ
© 2011 г.
Е. В. Ермолаева; В. А. Зверев, доктор техн. наук; И. А. Королева; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: tim_ir@rambler.ru
Показано, что в изображении, образованном оптической системой, состоящей из двух отражающих поверхностей сферической формы, при афокальном компенсаторе аберраций из двух тонких линз, расположенных в параллельных пучках лучей перед зеркальной системой, может быть достигнута не только апланатическая, но и анастигматическая (плананастигматическая) коррекция аберраций.
Ключевые слова: оптическая система, отражающая поверхность, входной зрачок, афокальный компенсатор, изображение, коррекция аберраций.
Коды OCIS: 110.0110.
Поступила в редакцию 20.01.2011.
Угловое поле изображаемого объективами Кассегрена и Грегори пространства предметов ограничено такими аберрациями, как кома, астигматизм и кривизна поверхности изображения. Если коэффициенты деформации в уравнениях несферических поверхностей принять в качестве коррекционных параметров, то получим оптическую систему объектива Ричи–Кретьена при апланатической коррекции аберраций образованного изображения. В 1935 году Ф. Росс предложил установить перед главным фокусом в сходящемся пучке лучей дополнительную афокальную линзовую систему, исправляющую кому изображения, образованного главным зеркалом пятиметрового рефлектора [1]. В 1934 году профессором В.Н. Чуриловским [2] была показана возможность компенсации сферической аберрации и комы в изображении, образованном сферическими поверхностями двухзеркальной системы, с помощью двухлинзового афокального компенсатора, расположенного в сходящемся пучке лучей. В общем случае апланатической коррекцией аберраций обладает изображение, создаваемое оптической системой, состоящей из двух отражающих поверхностей сфериче-
ской формы и афокального компенсатора аберраций из двух тонких линз, расположенных в параллельных пучках лучей перед зеркальной системой. Однако при определенном расположении компенсатора относительно зеркальной системы возможна и коррекция остаточного астигматизма изображения. Рассмотрим условия такой коррекции аберраций.
Оптическую систему из двух отражающих поверхностей сферической формы можно представить с помощью углов, образованных осевым виртуальным лучом с оптической осью, и записать в виде
α1 = 0
n1 =1
α2 = α d1 = d n2 = -1
α3 =1
n3 =1.
Первичные аберрации изображения, обра
зованного двухзеркальной системой, опреде-
лим коэффициентами [3]
SI = B0, SII = J(K0 + qB0 ), SIII = J2 (C0 + 2qK0 + q2B0 ),
где B0 = −(1/4)(1 − h2)α3 + (1/4)h2(1 − α − α2). При f′ = 1 и sI = −∞ коэффициент q = −sp, где sp − расстояние от первой поверхности оптиче-
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
25
ской системы до центра входного зрачка. Если B0 ≠ 0, то sII = 0 при
spk = K0/B0,
(1)
а sIII = 0 при
sP2A -2(K0 /B0)sPA + C0 B0 = 0.
(2)
Высота h2 = sF′ ′α3 = sF′ ′. Коэффициент центрального экранирования зрачка по диаметру kэ = h2/h1 = h2. Выразим задний фокальный отрезок sF′ ′ в масштабе расстояния между отражаю щими поверхностями как sF′ ′ = ksd. При этом
d = ký/ks.
(3)
Так как h2 = 1 − αd, то α = (1 − h2)/d = = ((1 − kэ)/kэ)ks. Полученные соотношения п озволяют преобразовать выражения, опреде-
ляющие коэффициенты B0, K0 и C0, к виду
B0
=
1 4
ký
éêëêê1
-
1
- ký ký
ks
-
(1- ký )2 ký2
ks2
-
(1- ký )4 ký4
ks3 úûùúú,(4)
K0
=-
1 2
-
1 4
ký ks
êëêêé1-
(1- ký )2 ký2
ks2
ûúùúú
ççæèç1-
1- ký ký
ks ÷÷÷÷øö,
(5)
Ñ0
=
1 ký
çççæè1
+
ký ks
÷÷÷÷öø
+
+
1 4
ký ks2
éêëêê1-
(1- ký ký2
)2
ks2
ùúúúûçæççè1-
1- ký ký
ks
÷÷ö÷ø÷.
(6)
Пусть ks = −kэ. Тогда при kэ = 0, т. е. в том случае, когда изображение, создаваемое первой поверхностью, расположено в плоскости, проходящей через вершину второй поверхности, коэффициенты B0 = 1/4, K0 = −1/2, C0 = 1. При этом spk = sPA = −2, что и следовало ожидать.
Конструктивно вполне приемлем вариант объектива при ks = −1, т. е. в том случае, когда изображение, создаваемое двухзеркальной системой, расположено в плоскости, проходящей через вершину первой поверхности. В этом случае выражения (4), (5) и (6) принимают следующий вид:
B0
=
1 4
-
(1- ký )2 4ký
êéëêê1-
(1- ký )2 ký2
úûùúú,
(7)
K0
=
-
1 2
-
1 - 2ký 4ký2
,
(8)
C0
=
-1
-
1 - 6ký 4ký2
.
(9)
Пусть, например, kэ = 0,3. Тогда B0 = 2,065, K0 = −1,611, C0 = 1,222. При этом в соответствии с формулой (1) расстояние spk = −0,780. Решив уравнение (2), получаем sPA1 = −0,65, sPA2 = −0,910.
По формулам (7), (8) и (9) в случае центрального экранирования зрачка по диаметру (0 ≤ kэ ≤ 1) вычисляем значения коэффициентов B0, K0 и C0. Подставив вычисленные значения коэффициентов в формулы (1) и (2), находим соответствующие значения spk, sPA1 и sPA2. К ривая зависимости spk = spk(kэ) представлена на рис. 1, а кривые зависимостей sPA1 = sPA1(kэ) и sPA2 = sPA2(kэ) – на рис. 2.
Если входной зрачок (апертурную диафрагму) расположить на расстоянии spk от первой
spk
0
– 0,5
0,2 0,4 0,6 0,8 kэ
– 1
– 1,5
– 2
Рис. 1. Кривая зависимости положения входного зрачка от коэффициента центрального экранирования при изопланатической коррекции аберраций.
sPA
0 – 0,5
– 1 – 1,5
– 2
0,1 0,2
0,3 0,4
kэ
Рис. 2. Кривая зависимости положения входного зрачка от коэффициента центрального
экранирования при анастигматической кор-
рекции аберраций.
26 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
поверхности оптической системы, то получим изопланатическую коррекцию аберраций созданного изображения. Поместив, например, во входном зрачке несферическую поверхность пластинки (пластинку Шмидта), позволяющую компенсировать остаточную сферическую аберрацию [4], получим оптическую систему с апланатической коррекцией аберраций созданного ею изображения.
Если тонкий двухлинзовый афокальный компенсатор остаточных сферической аберрации и комы расположить на расстоянии sPA1 или sPA2 от первой поверхности оптической системы, то получим принципиальную возможность рассчитать оптическую систему, формирующую изображение, свободное не только от сферической аберрации и комы, но и от астигматизма. Оптическую схему такой системы можно представить в виде, показанном на рис. 3.
Оптическая сила афокального компенсатора из двух тонких линз – ϕk = ϕk1 + ϕk2 = 0. При этом астигматизм изображения, созданного компенсатором, будет отсутствовать. Тогда коэффициенты, определяющие остаточные аберрации изображения, будут определяться как
SIΣ = SIk + SIЗС = SIk + B0, SIIΣ = SIIk + SII3C = SIIk − K0 + sPAB0,
SIIIΣ = 0.
Положив SIΣ = 0 и SIIΣ = 0, получаем
SIk = -B0,
(10)
SIIk = K0 - sPA B0.
(11)
Оптическую систему компенсатора с помощью углов αi можно записать в виде
α1 = 0 α2 = α3 = αk α4 = α5 = 0
d1k = 0 d2k = 0 d3k = 0
n1 = 1 n2 = n n3 = 1 n4 = n n5 =1.
Расстояние от компенсатора до первой поверхности зеркальной системы dk = −sPA. В соответствии с формулой (3) при ks = −1 расстояние между отражающими поверхностями зеркальной системы d = −kэ. При этом конструктивным ограничением построения рассматриваемой оптической системы является очевидное условие dk > kэ. Используя кривые, представленные
k
F
d 0
–d = kэ dк = –sPA
Рис. 3. Схема двухзеркального объективаанастигмата (плананастигмата) с афокальным
компенсатором аберраций широкого пучка
лучей.
на рис. 2, находим отрезок sPA, соответствующий требуемому значению коэффициента kэ. Раскрыв выражения, определяющие коэффи-
циенты SIK и SIIK, получаем
( )( )SIK = n/ (n -1)2 ´
(12)
´éëê(1+ 2n)α2k (α4 - α2) -(2 + n)αk (α24 - α22)ùûú,
SIIK = ((1+ n)αk (α4 - α2))/(n -1). (13)
Подставив полученные выражения в фор
мулы (10) и (11), получаем систему двух урав-
нений с двумя неизвестными α2 и α4
( )(2 + n)αk α24 - α22 ( )-(1+ 2n)α2k (α4 - α2 )= (n -1)2/n B0,
(14)
αk (α4 - α2) = (n -1/n +1)(K0 - sPA B0 ). (15)
В этих уравнениях углы α2 и α4 определяют “прогиб” линз и, по сути, являются коррекционными параметрами афокального компенсатора. Угол αk определяет оптическую силу линз компенсатора. Следовательно, чем больше угол αk, тем больше оптическая сила линз, а соответственно, тем выше их относительное отверстие, что может привести к появлению трудно устранимых аберраций более высокого, чем третий, порядка, т. е. может привести к неудовлетворительному качеству созданного изображения. С другой стороны, при малом угле αk линзы компенсатора обладают малой оптической силой. При этом для достижения требуемого коррекционного эффекта линзы должны обладать большим “прогибом”, т. е. будут обладать весьма крутыми поверхностями,
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
27
***
что также определяет возможность появления аберраций более высокого порядка. Поэтому для достижения наилучшей коррекции аберраций принято принимать αk = 0,3–0,5. При выбранном значении αk уравнения (14) и (15) образуют систему уравнений, решив которую, находим величины α2 и α4, а следовательно,
и требуемые для коррекции аберраций пара метры линз.
Окончательная коррекция аберраций осуществляется путем оптимизации параметров с помощью специальных программ автоматизированного расчета оптических систем, например программы “САРО”.
*****
Литература
1. Михельсон Н.Н. Оптические телескопы. Теория и конструкция. М.: Наука, 1976. 512 с.
2. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.
3. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002. 218 с.
4. Грамматин А.П., Демидова Е.А., Зверев В.А., Романова Г.Э. Аберрационные свойства оптической системы из двух отражающих поверхностей сферической формы с компенсатором // Оптический журнал. 2004. Т. 71. № 4. С. 11–15.
28 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
УДК 535.317
ПОЛОЖЕНИЕ ВХОДНОГО ЗРАЧКА ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ИЗОПЛАНАТИЧЕСКОЙ И АНАСТИГМАТИЧЕСКОЙ КОРРЕКЦИИ ПЕРВИЧНЫХ АБЕРРАЦИЙ
© 2011 г.
Е. В. Ермолаева; В. А. Зверев, доктор техн. наук; И. А. Королева; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: tim_ir@rambler.ru
Показано, что в изображении, образованном оптической системой, состоящей из двух отражающих поверхностей сферической формы, при афокальном компенсаторе аберраций из двух тонких линз, расположенных в параллельных пучках лучей перед зеркальной системой, может быть достигнута не только апланатическая, но и анастигматическая (плананастигматическая) коррекция аберраций.
Ключевые слова: оптическая система, отражающая поверхность, входной зрачок, афокальный компенсатор, изображение, коррекция аберраций.
Коды OCIS: 110.0110.
Поступила в редакцию 20.01.2011.
Угловое поле изображаемого объективами Кассегрена и Грегори пространства предметов ограничено такими аберрациями, как кома, астигматизм и кривизна поверхности изображения. Если коэффициенты деформации в уравнениях несферических поверхностей принять в качестве коррекционных параметров, то получим оптическую систему объектива Ричи–Кретьена при апланатической коррекции аберраций образованного изображения. В 1935 году Ф. Росс предложил установить перед главным фокусом в сходящемся пучке лучей дополнительную афокальную линзовую систему, исправляющую кому изображения, образованного главным зеркалом пятиметрового рефлектора [1]. В 1934 году профессором В.Н. Чуриловским [2] была показана возможность компенсации сферической аберрации и комы в изображении, образованном сферическими поверхностями двухзеркальной системы, с помощью двухлинзового афокального компенсатора, расположенного в сходящемся пучке лучей. В общем случае апланатической коррекцией аберраций обладает изображение, создаваемое оптической системой, состоящей из двух отражающих поверхностей сфериче-
ской формы и афокального компенсатора аберраций из двух тонких линз, расположенных в параллельных пучках лучей перед зеркальной системой. Однако при определенном расположении компенсатора относительно зеркальной системы возможна и коррекция остаточного астигматизма изображения. Рассмотрим условия такой коррекции аберраций.
Оптическую систему из двух отражающих поверхностей сферической формы можно представить с помощью углов, образованных осевым виртуальным лучом с оптической осью, и записать в виде
α1 = 0
n1 =1
α2 = α d1 = d n2 = -1
α3 =1
n3 =1.
Первичные аберрации изображения, обра
зованного двухзеркальной системой, опреде-
лим коэффициентами [3]
SI = B0, SII = J(K0 + qB0 ), SIII = J2 (C0 + 2qK0 + q2B0 ),
где B0 = −(1/4)(1 − h2)α3 + (1/4)h2(1 − α − α2). При f′ = 1 и sI = −∞ коэффициент q = −sp, где sp − расстояние от первой поверхности оптиче-
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
25
ской системы до центра входного зрачка. Если B0 ≠ 0, то sII = 0 при
spk = K0/B0,
(1)
а sIII = 0 при
sP2A -2(K0 /B0)sPA + C0 B0 = 0.
(2)
Высота h2 = sF′ ′α3 = sF′ ′. Коэффициент центрального экранирования зрачка по диаметру kэ = h2/h1 = h2. Выразим задний фокальный отрезок sF′ ′ в масштабе расстояния между отражаю щими поверхностями как sF′ ′ = ksd. При этом
d = ký/ks.
(3)
Так как h2 = 1 − αd, то α = (1 − h2)/d = = ((1 − kэ)/kэ)ks. Полученные соотношения п озволяют преобразовать выражения, опреде-
ляющие коэффициенты B0, K0 и C0, к виду
B0
=
1 4
ký
éêëêê1
-
1
- ký ký
ks
-
(1- ký )2 ký2
ks2
-
(1- ký )4 ký4
ks3 úûùúú,(4)
K0
=-
1 2
-
1 4
ký ks
êëêêé1-
(1- ký )2 ký2
ks2
ûúùúú
ççæèç1-
1- ký ký
ks ÷÷÷÷øö,
(5)
Ñ0
=
1 ký
çççæè1
+
ký ks
÷÷÷÷öø
+
+
1 4
ký ks2
éêëêê1-
(1- ký ký2
)2
ks2
ùúúúûçæççè1-
1- ký ký
ks
÷÷ö÷ø÷.
(6)
Пусть ks = −kэ. Тогда при kэ = 0, т. е. в том случае, когда изображение, создаваемое первой поверхностью, расположено в плоскости, проходящей через вершину второй поверхности, коэффициенты B0 = 1/4, K0 = −1/2, C0 = 1. При этом spk = sPA = −2, что и следовало ожидать.
Конструктивно вполне приемлем вариант объектива при ks = −1, т. е. в том случае, когда изображение, создаваемое двухзеркальной системой, расположено в плоскости, проходящей через вершину первой поверхности. В этом случае выражения (4), (5) и (6) принимают следующий вид:
B0
=
1 4
-
(1- ký )2 4ký
êéëêê1-
(1- ký )2 ký2
úûùúú,
(7)
K0
=
-
1 2
-
1 - 2ký 4ký2
,
(8)
C0
=
-1
-
1 - 6ký 4ký2
.
(9)
Пусть, например, kэ = 0,3. Тогда B0 = 2,065, K0 = −1,611, C0 = 1,222. При этом в соответствии с формулой (1) расстояние spk = −0,780. Решив уравнение (2), получаем sPA1 = −0,65, sPA2 = −0,910.
По формулам (7), (8) и (9) в случае центрального экранирования зрачка по диаметру (0 ≤ kэ ≤ 1) вычисляем значения коэффициентов B0, K0 и C0. Подставив вычисленные значения коэффициентов в формулы (1) и (2), находим соответствующие значения spk, sPA1 и sPA2. К ривая зависимости spk = spk(kэ) представлена на рис. 1, а кривые зависимостей sPA1 = sPA1(kэ) и sPA2 = sPA2(kэ) – на рис. 2.
Если входной зрачок (апертурную диафрагму) расположить на расстоянии spk от первой
spk
0
– 0,5
0,2 0,4 0,6 0,8 kэ
– 1
– 1,5
– 2
Рис. 1. Кривая зависимости положения входного зрачка от коэффициента центрального экранирования при изопланатической коррекции аберраций.
sPA
0 – 0,5
– 1 – 1,5
– 2
0,1 0,2
0,3 0,4
kэ
Рис. 2. Кривая зависимости положения входного зрачка от коэффициента центрального
экранирования при анастигматической кор-
рекции аберраций.
26 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
поверхности оптической системы, то получим изопланатическую коррекцию аберраций созданного изображения. Поместив, например, во входном зрачке несферическую поверхность пластинки (пластинку Шмидта), позволяющую компенсировать остаточную сферическую аберрацию [4], получим оптическую систему с апланатической коррекцией аберраций созданного ею изображения.
Если тонкий двухлинзовый афокальный компенсатор остаточных сферической аберрации и комы расположить на расстоянии sPA1 или sPA2 от первой поверхности оптической системы, то получим принципиальную возможность рассчитать оптическую систему, формирующую изображение, свободное не только от сферической аберрации и комы, но и от астигматизма. Оптическую схему такой системы можно представить в виде, показанном на рис. 3.
Оптическая сила афокального компенсатора из двух тонких линз – ϕk = ϕk1 + ϕk2 = 0. При этом астигматизм изображения, созданного компенсатором, будет отсутствовать. Тогда коэффициенты, определяющие остаточные аберрации изображения, будут определяться как
SIΣ = SIk + SIЗС = SIk + B0, SIIΣ = SIIk + SII3C = SIIk − K0 + sPAB0,
SIIIΣ = 0.
Положив SIΣ = 0 и SIIΣ = 0, получаем
SIk = -B0,
(10)
SIIk = K0 - sPA B0.
(11)
Оптическую систему компенсатора с помощью углов αi можно записать в виде
α1 = 0 α2 = α3 = αk α4 = α5 = 0
d1k = 0 d2k = 0 d3k = 0
n1 = 1 n2 = n n3 = 1 n4 = n n5 =1.
Расстояние от компенсатора до первой поверхности зеркальной системы dk = −sPA. В соответствии с формулой (3) при ks = −1 расстояние между отражающими поверхностями зеркальной системы d = −kэ. При этом конструктивным ограничением построения рассматриваемой оптической системы является очевидное условие dk > kэ. Используя кривые, представленные
k
F
d 0
–d = kэ dк = –sPA
Рис. 3. Схема двухзеркального объективаанастигмата (плананастигмата) с афокальным
компенсатором аберраций широкого пучка
лучей.
на рис. 2, находим отрезок sPA, соответствующий требуемому значению коэффициента kэ. Раскрыв выражения, определяющие коэффи-
циенты SIK и SIIK, получаем
( )( )SIK = n/ (n -1)2 ´
(12)
´éëê(1+ 2n)α2k (α4 - α2) -(2 + n)αk (α24 - α22)ùûú,
SIIK = ((1+ n)αk (α4 - α2))/(n -1). (13)
Подставив полученные выражения в фор
мулы (10) и (11), получаем систему двух урав-
нений с двумя неизвестными α2 и α4
( )(2 + n)αk α24 - α22 ( )-(1+ 2n)α2k (α4 - α2 )= (n -1)2/n B0,
(14)
αk (α4 - α2) = (n -1/n +1)(K0 - sPA B0 ). (15)
В этих уравнениях углы α2 и α4 определяют “прогиб” линз и, по сути, являются коррекционными параметрами афокального компенсатора. Угол αk определяет оптическую силу линз компенсатора. Следовательно, чем больше угол αk, тем больше оптическая сила линз, а соответственно, тем выше их относительное отверстие, что может привести к появлению трудно устранимых аберраций более высокого, чем третий, порядка, т. е. может привести к неудовлетворительному качеству созданного изображения. С другой стороны, при малом угле αk линзы компенсатора обладают малой оптической силой. При этом для достижения требуемого коррекционного эффекта линзы должны обладать большим “прогибом”, т. е. будут обладать весьма крутыми поверхностями,
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
27
***
что также определяет возможность появления аберраций более высокого порядка. Поэтому для достижения наилучшей коррекции аберраций принято принимать αk = 0,3–0,5. При выбранном значении αk уравнения (14) и (15) образуют систему уравнений, решив которую, находим величины α2 и α4, а следовательно,
и требуемые для коррекции аберраций пара метры линз.
Окончательная коррекция аберраций осуществляется путем оптимизации параметров с помощью специальных программ автоматизированного расчета оптических систем, например программы “САРО”.
*****
Литература
1. Михельсон Н.Н. Оптические телескопы. Теория и конструкция. М.: Наука, 1976. 512 с.
2. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.
3. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002. 218 с.
4. Грамматин А.П., Демидова Е.А., Зверев В.А., Романова Г.Э. Аберрационные свойства оптической системы из двух отражающих поверхностей сферической формы с компенсатором // Оптический журнал. 2004. Т. 71. № 4. С. 11–15.
28 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011