Аберрационный синтез оптических систем, предназначенных для преобразования лазерных пучков 200.0200, 220.0220.
УДК 535.317
Аберрационный синтез оптических систем, предназначенных для преобразования лазерных пучков
© 2011 г.
П. А. Носов; В. Ю. Павлов; И. И. Пахомов, доктор техн. наук; А. Ф. Ширанков, канд. техн. наук
НУК Радиоэлектроники, лазерной и медицинской техники МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва Е-mail: pan.bmstu@gmail.com
Изложена методика аберрационного синтеза лазерных оптических систем с малыми волновыми аберрациями для сохранения подобия полей при преобразовании многомодовых лазерных пучков. Минимизация волновых аберраций лазерных оптических систем основана на выявленной связи ее конструктивных параметров с коэффициентами разложения волновой аберрации. Приведены примеры автоматизированного синтеза лазерных оптических систем, иллюстрирующие эффективность и высокое быстродействие предложенного алгоритма.
Ключевые слова: лазерная оптика, лазерное излучение, лучевой пакет, лазерная оптическая система, аберрационный синтез, методика и алгоритм синтеза.
Коды OCIS: 080.2720, 140.0140, 140.3430.
Поступила в редакцию 25.01.2011.
Введение
Пространственные параметры пучка лазера не всегда соответствуют требуемым для решения практической задачи. Для получения требуемых параметров применяют лазерные оптические системы (ЛОС), которые рассчитывают с учетом конкретных особенностей распространения и преобразования лазерных пучков [1, 2].
Известно [1, 2], что в параксиальной области преобразование лазерного пучка ЛОС сводится к простому масштабированию распределения амплитуды поля. При наличии аберраций и сильного диафрагмирования пучков на оправах ЛОС подобие пучков на входе и выходе нару шается. Поэтому сохранить подобие полей м ожно с помощью ЛОС, обладающей минимальными волновыми аберрациями и допустимым диафрагмированием пучка на ее оправах.
Методика аберрационного синтеза ЛОС для моды TEM00, а также рекомендации по выбору величины ее диафрагмирования детально изложены в фундаментальной работе [2] и ее переводе [3]. Нерешенной осталась задача разработки метода аберрационного синтеза ЛОС для преобразования многомодовых лазерных пучков. Актуальность этой задачи особо подчеркивается тем, что известные методы и программы расчета оптических систем в принципе ее не решают.
Поэтому целью статьи является разработка методики аберрационного синтеза ЛОС различного назначения (фокусировка, согласование или коллимация лазерного излучения) для п реобразования многомодового пучка с сохранением такого же характера амплитуднофазового распределения выходного поля, как у входного пучка.
Настоящая статья базируется на результатах работ [2–6] и является развитием рассмотренных в них вопросов.
1. Особенности разработки лазерных оптических систем
Лазерное излучение отличается когерентностью и имеет особые свойства, не присущие излучению классических источников (тепловых, люминесцентных) [1, 2]. Пространственная когерентность лазерного излучения характеризуется наличием ближней зоны конечной длины, размер которой определяется параметром конфокальности пучка zк (для некогерентного излучения zк = 0). Кроме того, амплитуда поля в поперечном сечении лазерного пучка не является постоянной. Несмотря на это, часто при расчете оптических систем источник лазерного излучения представляют в виде протяженного излучателя, из каждой точки которого исходит сферический волновой фронт. Однако при таком подходе не учитываются
34 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
особенности лазерного излучения. Это может привести к значительному отклонению расчетных и действительных параметров выходного лазерного пучка и к недопустимым искажениям амплитудно-фазового распределения поля. Учет указанных свойств лазерного излучения на всех этапах разработки ЛОС позволяет существенно повысить технические характеристики лазерных оптико-электронных приборов.
Для разработки ЛОС должны быть известны следующие данные (см. рис. 1):
•• полный набор параметров, характеризующий входной пучок: длина волны излучения λ; параметр конфокальности zк, диаметр пучка в сечении перетяжки 2hp, угловая расходимость 2θ, параметр M2, модовый состав излучения, положение сечения перетяжки пучка с учетом оптической схемы резонатора и конструкции лазера, причем пространственные параметры лазерного пучка удовлетворяют инварианту [1, 2];
•• требуемые пространственные параметры выходного пучка (zк′ , 2hp′, 2θ′, sp′) и допустимая волновая аберрация ЛОС (ΔWдоп);
•• продольные и поперечные габаритные ограничения, предъявляемые к ЛОС;
•• другие данные, определяемые спецификой задачи.
Здесь важно еще раз отметить, что известные методы расчета оптических систем для классических источников излучения и используемые для этого программы Zemax, Code V, Oslo, Synopsys, WinDEMOS не учитывают простран-
ственную когерентность лазерного излучения и их нельзя применять для разработки современных лазерных оптико-электронных приборов.
2. Расчет функции волновой аберрации ЛОС
Вносимые оптической системой в преобра
зуемый лазерный пучок фазовые искажения
оценивают функцией волновой аберрации. Со-
гласно теории оптических систем функция
волновой аберрации описывает отклонение
волнового фронта реального пучка от идеаль
ного на выходе оптической системы.
В данной работе предлагается определять
функцию волновой аберрации между волно-
выми фронтами лазерного пучка до и после
линзового компонента, считая его идеальным.
Т огда за счет ее малого значения подынтеграль-
ная функция дифракционного интеграла ста
новится более гладкой, а погрешность и время
его вычисления значительно уменьшаются.
Для осесимметричного компонента реаль-
ной толщины (или всей ЛОС) функция вол-
новой аберрации в системе координат Oqξ′η′ζ′ (см. рис. 1) имеет вид [6]
( )W
(ξ¢,
η¢)=
-
h¢2 2f ¢
χ + αh¢2 + βh¢4 + γh¢6
,
h¢2 = ξ¢2 + η¢2,
(1)
где f′ – заднее фокусное расстояние линзового компонента (или всей ЛОС); χ, α, β, γ – коэф
1q y
x z
OF
–R Ф O1
HH
Oq RФ
F
2hp 2hp
–zp –sF –sp
sp
Рис. 1. Преобразование лазерного пучка оптической системой. F и F′ – передний и задний фокусы ЛОС; H, H′ – главные точки ЛОС; sF – передний фокальный отрезок ЛОС, zp – смещение плоскости перетяжки входного пучка относительно переднего фокуса ЛОС, sp – удаление плоскости перетяжки входного пучка относительно первой поверхности ЛОС, sp′ – положение сечения перетяжки выходного пучка относительно последней поверхности ЛОС, Oxyz – система координат в плоскости входной перетяжки;
O1ξηζ и Oqξ′η′ζ′ – системы координат с началом в вершине 1-й и q-й поверхностей ЛОС, RΦ и RΦ′ – радиусы кривизны волновых фронтов пучка на входе и выходе ЛОС.
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
35
фициенты разложения функции волновой а беррации, определяющие дефокусировку плоскости анализа (χ), аберрацию 3-го порядка (α) и аберрации высших порядков (β – 5-го, γ – 7-го).
Соотношение (1) позволяет найти связь коэффициентов разложения функции волновой аберрации с ее максимальным Wmax и минимальным Wmin значениями и перепадом ΔW = = Wmax – Wmin.
Остановимся на вопросе расчета функции волновой аберрации ЛОС. Поскольку волновой фронт всех поперечных мод совпадает [2, 7], то для расчета функции волновой аберрации можно воспользоваться методом лучевых пакетов, который хорошо себя зарекомендовал для основной моды TEM00 [2]. В этом методе лаз ерный пучок представляется в виде совокупности лучевых пакетов, каждый из которых описывает часть пучка на определенном уровне плотности мощности. Лучевой пакет образует семейство лучей с направляющими векторами v1 или v2 в системе координат Oxyz (см. рис. 1):
v1,
2
=
ïïìíïïîρρ220
çæççè
xz zê
±
y÷ö÷÷÷ø;
ρ20 ρ2
ççæçè
yz zê
y÷ö÷÷÷ø;
zê ïüïïþïý,
(2)
где x, y, z – координаты произвольной точки наблюдения лазерного пучка; ρ = x2 + y2 – расстояние от точки наблюдения в пучке до оси пучка; ρ0 – размер пучка в сечении перетяжки (z = 0), соответствующий тому же уровню плотности мощности, что и точка наблюдения (x, y, z).
Представленные в работе [2] координаты направляющих векторов лучей лучевого пакета отличаются от таковых в (2). Однако формулы (2) позволяют описывать преобразование лазерного пучка не только в параксиальном, но и в реальном приближении, т. е. для ЛОС с конечными апертурами.
Функция волновой аберрации определяется через оптическую длину хода луча между входным и выходным фронтами (см. рис. 1), а расчет хода лучей лучевого пакета через ЛОС проводится по известным алгоритмам (см., например, [8])
W(ρ0 )= L(ρ0 )- L(0),
где L(ρ0) – оптическая длина хода луча, соответствующего определенному уровню плотности мощности; L(0) – оптическая длина хода луча, соответствующего осевому уровню плотности мощности.
При нахождении функции волновой аберра-
ции всей ЛОС или ее отдельного компонента,
а также его светового диаметра необходимо учи-
тывать модовый состав преобразуемого лазер-
ного пучка. Так, световой диаметр компонента рассчитываем по формуле Dñâ = KD M2 D00, где KD – коэффициент необходимого превышения светового диаметра компонента над диа-
метром лазерного пучка на нем [5, 6]; параметр M2 поперечной моды TEMmn, определяемый методом моментов [9]; D00 – диаметр огибающей пучка основной моды на компоненте, опре-
деленный по стандартному уровню плотности мощности 1/e2. Световые диаметры компонен-
тов ЛОС однозначно определяют область зада-
ния функции волновой аберрации и, следова-
тельно, максимальную высоту луча лучевого
пакета, при которой он распространяется через
ЛОС без виньетирования.
3. Условия проведения аберрационного синтеза линзового компонента
В теории и практике вычислительной оптики для аппроксимации функции волновой аберрации широко применяют ее разложение по системе ортогональных полиномов (например, Цернике [10], Чебышева [2] и др.) или степенных функций. В нашем случае удобно использовать полиномы Чебышева.
Запишем выражение (1) через полиномы Чебышева Tn*(x) [11]:
W(ξ¢, η¢)= C0 + C1T1*ççèæh¢2 ÷ø÷ö+
+ C2T2*çæèçh¢2 ÷ø÷ö+ C3T3*èæççh¢2 ÷øö÷+ C4T4*æèççh¢2 ö÷ø÷,
(3)
C0
=
1 2
æçèççχ
+
3 4
α
+
5 8
β
+
35 64
γö÷÷÷ø,
C1
=
χ
+
α
+
15 16
β
+
7 8
γ,
C2
=
α
+
3 2
β
+
7 4
γ,
C3 = β + 2γ,
C4 = γ,
χ
=
-
hm2 ax 2f ¢
χ,
α
=
-
hm4 ax 2f ¢
α,
β
=
-
hm6 ax 2f ¢
β,
γ
=-
hm8 ax 2f ¢
γ.
Здесь h¢= h¢/hmax – нормированная высота на выходной опорной поверхности, 2hmax – световой диаметр линзового компонента (или ЛОС), χ, α , β, γ – приведенные аберрационные коэффициенты линзового компонента (или ЛОС),
36 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
Tn*(x) – смещенные полиномы Чебышева пер вого рода, наименее уклоняющиеся от нуля в промежутке [0; +1] [11]. Последние можно представить в виде
T1*(x) = x -1/2, T2*(x) = x2 - x +1/8, T3*(x) = x3 -(3/2)x2 + (9/16)x -1/32, T4*(x) = x4 -2x3 + (5/4)x2 -(1/4)x +1/128, max T1*(x) =1/2, max T2*(x) =1/8,
max T3*(x) =1/32, max T4*(x) =1/128,
где max Tn*(x) – значение наибольшего уклонения от нуля полинома Чебышева Tn*(x) в промежутке [0; +1].
Согласно (3) коэффициенты Cj (j = 0, 1, …, 4) разложения волновой аберрации по полиномам Чебышева определяются аберрациями 3-го и высших порядков традиционного степенного ряда (1). Теория полиномов Чебышева позволяет для произвольной оптической системы указать процентное содержание аберраций любого порядка в каждом слагаемом выражения (3) (см. табл. 1). Из таблицы видно, что наибольшая часть аберраций ЛОС сосредоточена в члене C1T1*çæçèh¢2 ÷÷øö. Первые два члена разложения (3) содержат подавляющую часть всех аберраций ЛОС: более 87% аберраций 3-го порядка, 78% – 5-го порядка и 71% – 7-го порядка. Тогда при малом C1 ЛОС хорошо корригирована и первые два члена разложения (3) описывают ее суммарную волновую аберрацию. Поэтому для синтеза ЛОС с малой волновой аберрацией вместо наложения условия на равенство нулю всех коэффициентов Cj (j = 0, 1, …, 4) достаточно потребовать равенства нулю только одного:
Таблица 1. Доля аберраций 3-го и высших порядков, входящих в слагаемые выражения (3)
Слагаемое
3-го порядка
Доля аберраций
5-го порядка
7-го порядка
C0 3/8 (37,5%) 5/16 (31,2%) 35/128 (27,3%) C1T1*ççæèh¢2öø÷÷÷ 1/2 (50,0%) 15/32 (46,9%) 7/16 (43,8%)
C2T2*çèçæh¢2÷ö÷÷ø 1/8 (12,5%) 3/16 (18,8%) 7/32 (21,9%)
C3T3* èççæh¢2 ö÷÷ø÷
–
1/32 (3,1%) 1/16 (6,2%)
C4T4* çèçæh¢2 ÷÷÷öø
–
– 1/128 (0,8%)
C1
=
χ
+
α
+
15 16
β
+
7 8
γ
=
0.
(4)
Фокусное расстояние синтезированного лин-
зового компонента реальной толщины должно
соответствовать значению, полученному при
габаритном синтезе ЛОС. Это условие может
быть записано через оптические силы “толсто-
го” Φ = 1/f′ и “тонкого” Φ0 = 1/f0′ компонентов в виде
Φ = Φ0 + ∆Φd = (1+ ∆Φd/Φ0)Φ0 = pΦ0, (5)
где ΔΦd и p – заранее неизвестные добавка к оптической силе и параметр, учитывающие влияние конечной толщины линзового компонента.
Как правило, после синтеза ЛОС с компонентами конечной толщины значение C1 может несколько отличаться от нуля, но должно быть малым и лежать внутри допустимого диапазона [–C1доп; C1доп]. Значение C1доп определяет разработчик ЛОС, исходя из допустимых искажений пучка на выходе синтезированной ЛОС [6]. Указанное требование |C1| ≤ C1доп в сочетании с требованием ΔW ≤ ΔWдоп обеспечивают синтез ЛОС с минимальными волновыми аберрациями.
4. Методика определения исходной схемы компонента ЛОС
Как правило, базовыми компонентами большинства ЛОС являются одиночная линза и двухлинзовый склеенный объектив, а их сочетание позволяет реализовать многокомпонентные ЛОС произвольной сложности.
Определение конструктивных параметров линзового компонента ЛОС включает несколько этапов. На первом этапе синтеза линзовый компонент считается тонким и поэтому можно записать аналитические формулы для аберрационных коэффициентов χ, α, β, γ. Условия (4) и (5) позволяют
–– для выбранной марки стекла одиночной линзы найти радиусы кривизны преломляющих поверхностей r1 и r2,
–– для выбранных марок стекол линз объектива определить радиусы кривизны преломляю щих поверхностей r1, r2, r3.
По найденным радиусам кривизны из конструктивных соображений определяют толщину компонента [8] (см. рис. 2).
На втором этапе рассчитывают –– функцию волновой аберрации, ее максимальное Wmax и минимальное Wmin значения и ΔW = Wmax – Wmin,
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
37
(а) –r 2
n r1
(б)
–r 2 –r 3
n1
n2 r1
D D
dл dл1 dл2
Рис. 2. Компоненты ЛОС в виде одиночной
линзы (а) и двухлинзового склеенного объек-
тива (б). r – радиус кривизны преломляющей
поверхности щина линзы
линзового по оси, n
компонента, dл – тол– показатель прелом-
ления, D – полный диаметр линзового компо-
нента.
–– коэффициент C1. Найденные значения сравнивают с допустимыми (соответственно ΔWдоп и [–C1доп; C1доп]), задаваемыми разработчиком ЛОС. Рассмотрим сначала методику синтеза двухлинзового склеенного объектива, а затем – одиночной линзы как частного случая двухлинзового склеенного объектива при одинаковых показателях преломления его линз.
4.1. Синтез двухлинзового склеенного объектива
Для двухлинзового тонкого склеенного объектива коэффициенты χ, α, β, γ определяются следующими выражениями:
χ = 0, α = α1Φ01 + α2Φ02 , Φ0
β = β1Φ01 + β2Φ02 , Φ0
γ = γ1Φ01 + γ2Φ02 , Φ0
(6)
αl
=
1 4
ççæèççç
ρ3l - ρ3l+1 ρl - ρl+1
-
ρΦ¢3, ρΦ¢ ,
l+1 l+1
- ρ3Φ, l - ρΦ, l
÷÷ø÷ö÷÷÷,
βl
=
1 8
çèççççæ
ρ5l - ρ5l+1 ρl - ρl+1
-
ρΦ¢5, l+1 ρΦ¢ , l+1
- ρ5Φ, l - ρΦ, l
ø÷÷÷÷÷÷ö,
γl
=
5 64
æçççççè
ρ7l ρl
- ρ7l+1 - ρl+1
-
ρΦ¢7, l+1 - ρ7Φ, l ρΦ¢ , l+1 - ρΦ, l
÷ö÷÷÷ø÷÷,
l =1, 2,
Φ0 = Φ01 + Φ02,
ρΦ, 1
=
zê2
sp +
s2p
,
ρΦ¢ , 2 = ρΦ, 1 + Φ01, ρΦ¢ , 3 = ρΦ, 1 + Φ0,
(7)
где Φ01 = (n1 – 1)(ρ1 – ρ2), Φ02 = (n2 – 1)(ρ2 – ρ3) – оптические силы тонких линз склеенного объектива; n1, n2 – показатели преломления линз объектива; ρq = 1/rq, (q = 1, 2, 3) – кривизна преломляющих поверхностей объектива; ρΦ, 1 и ρΦ, 2 – кривизна волновых фронтов пучка на входе 1-й и 2-й линз объектива; ρ′Φ, 2 – кривизна волнового фронта пучка на выходе первой тонкой линзы; ρ′Φ, 3 – кривизна волнового фронта пучка на выходе тонкой двухлинзовой склейки. В выражениях (7) величины кривизны волновых фронтов пучка приведены согласно правилу знаков в оптике.
Для двухлинзового склеенного объектива выполнение условий (4) и (5) с учетом (6) и (7) приводит к уравнению 7-й степени. Это уравнение относительно кривизны первой преломляющей поверхности имеет вид
a7ρ17 + a6ρ16 + a5ρ15 + a4ρ14 + + a3ρ13 + a2ρ12 + a1ρ1 + a0 = 0,
(8)
( )a7
=
cγn1¢
(ΦNd )4
1- N6
,
a6
=
-7
cγ sN 6
(ΦNd )4
,
( )a5
=
cβn1¢
(ΦNd )2
1- N4
-
21 (ΦcNγ sd2
N5
)4 n2¢
,
a4
=
-5
cβsN4
(ΦNd )2
-
35
cγ s3 N 4
(ΦNd )4 n2¢2
,
( )a3 = n1¢
1- N2
-10
cβs2
(ΦNd
N3
)2 n2¢
-
35
cγ s4 N 3
(ΦNd )4 n2¢3
,
a2
=
-3sN2
-10
cβ s3 N 2
(n2¢ΦNd )2
-
21(nc2¢γΦs5NNd2)4
,
a1
=
-3n1¢
èæçççns2¢
÷÷öø÷÷2-
5
cβ s4 N
(ΦNd )2 n2¢3
-7
cγ s6 N
(ΦNd )4 n2¢5
,
a0
=
ρ3Φ,1
-çèççæρΦ,1
+
Φ p
÷ø÷÷ö÷3+
δnρ23
- n2¢
çèççæ
s n2¢
÷ø÷÷÷ö3
+
+ cβ
(ΦNd
)2
êéêëêρ5Φ,1
-æçççèρΦ,1
+
Φ p
ö÷÷÷÷ø5+
δnρ25
- n2¢
æçççèns2¢
ö÷÷÷÷ø5
ùúúúû
+
+ cγ
(ΦNd
)4
ëêêéêρ7Φ,1
-æçççèρΦ,1
+
Φ p
÷÷÷÷øö7
+ δnρ72
-
n2¢
çèççæ
s n2¢
÷÷÷ø÷ö7
ûúúúù.
Здесь Nd = 1/(2hmaxΦ) – диафрагменное число линзового компонента, а остальные величины
определяются следующим образом:
38 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
n1¢ = n1 -1,
n2¢ = n2 -1,
s
=
δnρ2
-
Φ p
,
δn = n2 -n1,
N
=
n1¢ n2¢
,
cβ
=
15 128
,
cγ
=
35 2048
.
Коэффициенты уравнения (8) определяются параметрами входного пучка, оптической силой линзового компонента, его диафрагменным числом и показателями преломления стекол. Кроме того, коэффициенты уравнения зависят от двух неопределенных параметров: p и кривизны поверхности склейки ρ2. Варьируя значения p и ρ2, получаем различные решения. Действительные корни уравнения используем для расчета кривизны последней преломляющей поверхности склейки
ρ3
=
n1¢ρ1 + n2¢
s
.
По найденным значениям кривизны пре
ломляющих поверхностей рассчитываем их радиусы rq = 1/ρq, q = 1, 2, 3.
Решение уравнения (8) можно найти только
с использованием вычислительной техники.
С другой стороны, если диафрагменное число
объектива считать большим, то можно пренебречь членами с 1/N2d и 1/Nd4. Это означает, что радиусы кривизны определяются из условия
устранения аберраций третьего порядка (коэффициент α = 0). В этом случае уравнение (8) приводится к кубическому:
( )n1¢ 1- N2 ρ13 -3sN2ρ12 -3n1¢ ççæèçns2¢ öø÷÷÷÷2 ρ1 +
+
ρ3Φ,
1
-æçççèρΦ,
1
+
Φ p
÷÷ö÷÷ø3
+
δnρ23
-
n2¢
æççèç
s n2¢
ö÷÷ø÷÷3
=
0.
(9)
Исследование уравнения (9) позволяет выделить несколько частных случаев его решения, которые приведены в табл. 2.
Из анализа формул табл. 2 видно, что имеются случаи, когда кривизна преломляющих поверхностей определяется оптической силой двухлинзового склеенного объектива.
4.2. Синтез одиночной линзы
В случае одиночной тонкой линзы в уравнении (8) надо считать показатели преломления одинаковыми, т. е. n1 = n2 = n, где n – показатель преломления материала линзы, а в коэффициентах уравнения (8) необходимо принять N = 1, s = –Φ/p, n′1 = n′2 = n′ = n – 1. В результате получаем уравнение 6-й степени. Коэффициенты этого уравнения зависят только от одного неопределенного параметра – p. Действитель-
Таблица 2. Частные случаи определения кривизны поверхностей двухлинзового склеенного объектива
№ ρ1 Φ
1 pn1¢
ρ2
n2¢ δn
ρ3
( )-
3
t +(Φ/p)3 n1¢2
n1¢ 2-3N + N2
ρ3
t +(Φ/p)3 n1¢2
3 n2¢ ëêé1-(n2¢ /δn)2úùû
δn n2¢
ρ2
( )- 3
t
+(Φ/p)3 δn2
n1¢ 1- N2
2
ρ3
( )N
Φ pδn
Nρ1 t +(Φ/p)3 δn2
3 n2¢ 1- N-2
3
-
3
t +(Φ/p)3 n2¢2
n1¢ êëé1-(n1¢ δn)2úûù
-
δn n1¢
ρ2
-
n1¢ δn
ρ1
( )3
n2¢
t +(Φ/p)3 n2¢2
2-3N-1 + N-2
( )Примечание: в таблице использовано обозначение t = ρ3Φ,1 - ρΦ,1 + Φ/p 3.
-
Φ pn2¢
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
39
ные корни уравнения используем для расчета кривизны второй преломляющей поверхности одиночной линзы
ρ2
=
ρ1 -
Φ pn¢
.
Определив кривизну преломляющих поверхностей, рассчитываем их радиусы rq = 1/ρq, q = 1, 2.
Как и в случае двухлинзовой склейки, целесообразно найти исходную схему одиночной линзы, исходя их условия устранения аберраций третьего порядка. Ее можно получить из уравнения (9). В случае одиночной линзы уравнение (9) сводится к квадратному
ρ12
-
Φ pn¢
ρ1 -
Φ2 3 p2
çççæè1-
1 n¢2
ö÷÷÷ø-
-
ρΦ,
1
ççæèçρΦ,
1
+
Φ p
÷÷÷øö÷
=
0.
(10)
При выбранном показателе преломления n аберрационный синтез линзы можно провести для ограниченного диапазона значений ее фо-
3n¢ + 3(1-n¢2 )
кусного расстояния: f ¢ρΦ,1 £-
6 pn¢
3n¢ - 3(1-n¢2 )
или f ¢ρΦ,1 ³ -
6 pn¢
. Для заданного
f′ показатель преломления материала линзы
должен быть больше критического значения
( ) ( )nтпор³ео1лд+онмаéëêê1ли+езн3ипя2овpnеf=р¢ρх1Φн,+1о+сéëê1т1+ей23ùúúû-сpи1f/¢н2ρ.тΦе,Е1зислpрfио¢вρапΦн,о1нк+оай1заûùúлт-еи1л/н2ь,-
зы будет плоской.
Таким образом, условие аберрационного
синтеза (4) представлено в виде алгебраическо-
го уравнения, вид которого определяется типом
линзового компонента – одиночная линза или
двухлинзовая склейка. Это уравнение может
иметь либо бесчисленное множество решений,
либо ни одного. В первом случае для поиска
лучшего решения вводят целевую функцию,
вид и значения параметров которой опреде-
ляются требованиями к допустимой волновой
аберрации и технологичностью ЛОС. Во вто-
ром случае для получения решения можно из-
менить исходные данные (например, марки
стекол или тип линзового компонента) и по-
вторить все этапы аберрационного синтеза (см.
раздел 5 статьи). Если и в этом случае не удалось
найти решение, то необходимо перейти к преды
дущему этапу синтеза ЛОС – габаритному син-
тезу [2, 5] – либо согласовать с заказчиком технич еское задание с измененными данными и провести для них расчет ЛОС заново.
5. Алгоритм аберрационного синтеза многокомпонентной ЛОС
Аберрационный синтез многокомпонентной ЛОС проводится покомпонентно, причем при синтезе последующей части системы учитываются аберрации, вносимые ее предыдущей частью. Синтез каждого текущего компонента ЛОС проводим по приведенной ниже схеме.
1. Задаем параметры входного пучка, параметры ЛОС после габаритного синтеза (фокусные расстояния линзовых компонентов и их положение относительно друг друга), тип каждого линзового компонента (одиночная линза/ двухлинзовый склеенный объектив) и показатель преломления выбранной марки стекла, продольное увеличение каждого линзового компонента и всей ЛОС [2, 3], габаритные ограничения ЛОС, максимальное допустимое зна- чение функции волновой аберрации ΔWдоп и диапазон [–C1доп; C1доп].
2. Для каждого линзового компонента ЛОС: 2.1. По параксиальным параметрам лазерного пучка и из технологических соображений определяем световой Dсв и полный D диаметры, а также минимально допустимый радиус кривизны преломляющих поверхностей rmin.
2.2. Задаем в цикле p Î[ pmin; pmax ] (для одиночной линзы) и p Î[ pmin; pmax ] и ρ2 Î[-1/rmin; 1/rmin ] (для двухлинзового скле-
енного объектива) и решаем соответствующее типу линзового компонента ЛОС уравнение.
2.3. Для каждого действительного корня уравнения:
2.3.1. Определяем радиусы преломляющих поверхностей линзового компонента и рассчитываем по ним его толщину с учетом минимально допустимой толщины на краю и на оси линзы.
2.3.2. Приводим конструктивные параметры линзового компонента к тем, при которых обеспечивается его требуемое фокусное расстояние (редуцирование компонента).
2.3.3. Сравниваем полученные конструктивные параметры (толщина на оси и на краю, радиусы кривизны поверхностей) с допустимыми.
2.3.4. Для обеспечения продольного увеличения компонента выдерживаем размерную цепь осевых расстояний тонкой и толстой систем с контролем налезания элементов.
40 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
2.3.5. Рассчитываем функцию волновой аберрации синтезированной части ЛОС и находим ее максимальное Wmax и минимальное Wmin значения. Полученные значения Wmax и Wmin используем для расчета ΔW = Wmax – Wmin, которое сравниваем с допустимым значением ΔWдоп. Если ΔW > ΔWдоп то синтезированный линзовый компонент не удовлетворяет заданн ому критерию, поэтому переходим к следующему шагу цикла. При ΔW ≤ ΔWдоп, синтезированный линзовый компонент удовлетворяет заданному критерию. В этом случае аппроксимируем функцию волновой аберрации полин омом вида (1), т. е. определяем его коэффициенты разложения. По найденным коэффициентам разложения χ, α, β, γ, световому диаметру линзового компонента Dсв = 2hmax и его фокусному расстоянию f′ рассчитываем коэффициент C1 и оцениваем его принадлежность заданному диапазону [–C1доп; C1доп]. Если он принадлежит диапазону, то переходим к следующему этапу синтеза. В противном случае переходим к следующему шагу цикла.
2.4. Рассчитываем целевую функцию и проводим селекцию результатов синтеза.
После синтеза последнего компонента разработчик может провести контрольный расчет параметров лазерного пучка на выходе синтезированной ЛОС.
Поскольку распределение поля многомодового пучка представляет суперпозицию нескольких поперечных типов колебаний [9], то в этом случае достаточно провести аберрационный синтез ЛОС для моды самого высокого порядка, присутствующей в многомодовом пучке. Поэтому разработанный алгоритм применим для аберрационного синтеза ЛОС, преобразующих как одномодовый, так и многомодовый лазерные пучки.
Описанный алгоритм был реализован в виде программы на языке С#, с использованием которой выполняется аберрационный синтез лазерных оптических систем любого назначения.
6. Примеры применения разработанного алгоритма аберрационного синтеза ЛОС
Пример 1. Требуется разработать ЛОС, для которой заданы:
длина волны лазерного излучения λ = = 632,8 нм,
идеальная мода TEM00 (M2 = 1,0), параметр конфокальности входного пучка zк = 2,0 м,
параметр конфокальности выходного пучка zк′ = 100,0 мкм,
диапазон удалений сечения перетяжки выходного пучка относительно ЛОС d′ = 10,0– 15,0 мм,
диапазон расстояний между сечениями перетяжки входного и выходного пучков L = 40– 50 мм,
допустимое значение функции волновой аберрации согласно критерию Марешаля [8] ΔWдоп ≤ 0,07λ, а |C1| ≤ 0,2λ.
Поскольку коэффициент продольного уве личения ЛОС αΓ = zк′ /zк = 5×10–5, то она является фокусирующей. Используя методику габаритного синтеза работы [5], получаем, что для формирования пучка с требуемым zк′ можно использовать однокомпонентную ЛОС со следующими параметрами (обозначения см. на рис. 3а): d = 35,856 мм, f′ = 14,143 мм, d′ = 14,144 мм.
Проведем аберрационный синтез ЛОС, которая обеспечивает малые дифракционные искажения поля и выполнение критерия по ΔW. Для выполнения первого требования при расчете светового диаметра компонента выберем значение коэффициента KD = 3,0.
Рассмотрим реализацию ЛОС в виде одиночной линзы и двухлинзовой склейки. Результаты аберрационного синтеза одиночной линзы показали, что она не удовлетворяет критерию по допустимому значению функции волновой аберрации. В случае синтеза ЛОС в виде двухлинзового склеенного объектива значения функции волновой аберрация лежат в требуемых пределах. Его конструктивные параметры приведены в табл. 3, а световой и полный диаметры имеют значения: Dсв = = 3,81 мм, D = 4,0 мм.
Таблица 3. Конструктивные параметры однокомпонентной фокусирующей ЛОС
r, мм
d, мм
n, мм
7,613
–sp = 35,21
1
3,16
1,5147 (К8)
–6,356
1,36
1,7497 (ТФ5)
–17,866
s′p = 11,76
1
f′ = 14,143 мм, αΓ = 5×10–5
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
41
zк F
(а) f
HH
zк F
Db Db1
Db2
(б) f2
f1
zк
F1 H1 H1 F1 F2
H2 H2
F2
zк
–f d
L
f d
–f1 f1
–f2 d d12
L
f2 d
Рис. 3. Схема однокомпонентной (а) и двухкомпонентной (б) тонких ЛОС. f и f′ – переднее и заднее фокусные расстояния линзового компонента, d – расстояние от сечения перетяжки входного пучка
до ЛОС, d′ – расстояние от ЛОС до сечения перетяжки выходного пучка, d12 – расстояние между компонентами, L – расстояние между сечениями перетяжки входного и выходного пучков, Db – диаметр пучка на компоненте.
На рис. 4а представлена зависимость функции волновой аберрации синтезированного линзового компонента от высоты луча лазерного пучка на поверхности выходного волнового фронта. Разница максимального и минимального значений функции волновой аберрации составляет ΔW = 0,032λ, а коэффициент C1 = 0,15λ. Следовательно, синтезированный двухлинзовый склеенный объектив удовлетворяет заданному критерию по допустимому значению функции волновой аберрации и коэффициенту C1.
Пример 2. Необходимо разработать ЛОС, для которой заданы:
длина волны лазерного излучения λ = = 1064 нм,
идеальная мода эрмито-гаусса TEM11 (M2 = = 3,0),
параметр конфокальности входного пучка zк = 10,0 мм,
параметр конфокальности выходного пучка z′к = 10,0 м,
диапазон удалений сечения перетяжки входного пучка относительно ЛОС d = 10,0– 20,0 мм,
диапазон расстояний между сечениями перетяжки входного и выходного пучков L = = –1,4 …–1,1 м,
42
2
h , мм
1,5
(а)
1
0,5
0 – 0,02 – 0,01
0
0,01 0,02
(б) W,
6
h , мм
4,5
3 1,5
0
– 0,002 0
0,002 0,004 0,006
W,
Рис. 4. Зависимости функции волновой аберрации ЛОС от высоты луча лазерного пучка на поверхности выходного волнового фронта. а – фокусирующая ЛОС (пример 1), б – кол лимирующая ЛОС (пример 2).
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
Таблица 4. Конструктивные параметры двухкомпонентной коллимирующей ЛОС
r, мм
d, мм
n, мм
–2,770
–sp = 14,97
1
0,50
1,5062 (К8)
31,11
65,02
1
105,19
1,73
1,7275 (ТФ5)
36,11
2,24
1,5062 (К8)
–38,06 –sp′ = 1,27×103
f′ = 382,21 мм, αΓ = 1000,0
1
допустимое значение функции волновой аберрации согласно критерию Марешаля ΔWдоп ≤ 0,07λ, а |C1| ≤ 0,2λ.
В данном случае требуется рассчитать коллимирующую ЛОС (αΓ = 1000,0). Получить требуемый выходной пучок с заданными габаритными ограничениями можно только с помощью двухкомпонентной ЛОС. После габаритного синтеза [5] получаем следующие параметры двухкомпонентной ЛОС (обозначения см. на рис. 3б): d = 15,0 мм, f1′ = –5,0 мм, d12 = 67,254 мм, f2′ = 71,321 мм, d′ = –1,268 м.
Определяем конструктивные параметры линзовых компонентов ЛОС. Результаты аберрационного синтеза ЛОС, в которой первый компонент – одиночная линза, а второй – двухлинзовая склейка, приведены в табл. 4. Для
расчета световых диаметров компонентов синтезированной ЛОС примем значение коэффициента KD = 2,0. В результате получаем такие значения световых и полных диаметров: Dсв1 = 0,55 мм, D1 = 1,0 мм; Dсв2 = 9,69 мм, D2 = 10,0 мм.
На рис. 4б представлена зависимость функции волновой аберрации двухкомпонентной коллимирующей ЛОС от высоты луча лазерного пучка на поверхности выходного волнового фронта. Для этой ЛОС ΔW = 5,5×10–3λ, а C1 = 2,9×10–3λ. Следовательно, синтезиро ванная двухкомпонентная ЛОС удовлетворяет заданному критерию по допустимому значению функции волновой аберрации и коэффи циенту C1.
Заключение
Предложены универсальная методика и алгоритм синтеза ЛОС с минимальными волно выми аберрациями для многомодовых лазерных пучков. На основе расчета базовых компонентов они позволяют синтезировать многокомпонентные ЛОС с произвольным знаком оптической силы как компонентов, так и отдельных линз, входящих в их состав. Покомпонентный алгоритм аберрационного расчета ЛОС позволяет при синтезе текущего компонента учитывать аберрации синтезированной части, включая компоненты с уже известными конструктивными параметрами.
Методика учитывает особенности лазерного излучения и применима для расчета всех типов ЛОС (фокусирующие, согласующие или коллимирующие системы) для решения различных практических задач. Примеры синтеза лазерных оптических систем различного типа показали высокую скорость и эффективность приведенного алгоритма.
*****
Литература
1. Пахомов И.И., Рожков О.В., Рождествин В.Н. Оптико-электронные квантовые приборы: Учеб. пособие для вузов / Под. ред. Пахомова И.И. М.: Радио и связь, 1982. 456 с.
2. Пахомов И.И., Цибуля А.Б. Расчет оптических систем лазерных приборов. М.: Радио и связь, 1986. 152 с.
3. Pakhomov I.I., Tsibulya A.B. Computational Methods for Laser Optical System Design // J. of Soviet Laser Research (translated from russian). New York, 1988. V. 9. № 3. P. 321–430.
4. Ширанков А.Ф. О методологии проектирования лазерных оптических систем // Тр. Междунар. конфер. “Прикладная оптика-2008”. СПб., 2008. Т. 3. С. 160–164.
5. Аниканов А.Г., Пахомов И.И., Ширанков А.Ф. Структурный синтез лазерных оптических систем при о граничениях их параметров // Оптический журнал. 2010. Т. 77. № 2. С. 30–36.
6. Пахомов И.И., Ширанков А.Ф., Носов П.А. Описание, расчет и анализ искажений многомодовых лазерных пучков // Оптический журнал. 2010. Т. 77. № 2. С. 37–43.
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
43
7. Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 320 с. 8. Русинов М.М., Грамматин А.П., Иванов П.Д. Вычислительная оптика: Справочник / Под. ред. Руси
нова М.М. М.: Изд. ЛКИ, 2008. 423 с. 9. Звелто O. Принципы лазеров. СПб.: Изд. “Лань”, 2008. 720 с. 10. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. / Под ред. Г.П. Мотулевич. М.: Наука, 1970. 856 с. 11. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1983. 384 с.
44 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
Аберрационный синтез оптических систем, предназначенных для преобразования лазерных пучков
© 2011 г.
П. А. Носов; В. Ю. Павлов; И. И. Пахомов, доктор техн. наук; А. Ф. Ширанков, канд. техн. наук
НУК Радиоэлектроники, лазерной и медицинской техники МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва Е-mail: pan.bmstu@gmail.com
Изложена методика аберрационного синтеза лазерных оптических систем с малыми волновыми аберрациями для сохранения подобия полей при преобразовании многомодовых лазерных пучков. Минимизация волновых аберраций лазерных оптических систем основана на выявленной связи ее конструктивных параметров с коэффициентами разложения волновой аберрации. Приведены примеры автоматизированного синтеза лазерных оптических систем, иллюстрирующие эффективность и высокое быстродействие предложенного алгоритма.
Ключевые слова: лазерная оптика, лазерное излучение, лучевой пакет, лазерная оптическая система, аберрационный синтез, методика и алгоритм синтеза.
Коды OCIS: 080.2720, 140.0140, 140.3430.
Поступила в редакцию 25.01.2011.
Введение
Пространственные параметры пучка лазера не всегда соответствуют требуемым для решения практической задачи. Для получения требуемых параметров применяют лазерные оптические системы (ЛОС), которые рассчитывают с учетом конкретных особенностей распространения и преобразования лазерных пучков [1, 2].
Известно [1, 2], что в параксиальной области преобразование лазерного пучка ЛОС сводится к простому масштабированию распределения амплитуды поля. При наличии аберраций и сильного диафрагмирования пучков на оправах ЛОС подобие пучков на входе и выходе нару шается. Поэтому сохранить подобие полей м ожно с помощью ЛОС, обладающей минимальными волновыми аберрациями и допустимым диафрагмированием пучка на ее оправах.
Методика аберрационного синтеза ЛОС для моды TEM00, а также рекомендации по выбору величины ее диафрагмирования детально изложены в фундаментальной работе [2] и ее переводе [3]. Нерешенной осталась задача разработки метода аберрационного синтеза ЛОС для преобразования многомодовых лазерных пучков. Актуальность этой задачи особо подчеркивается тем, что известные методы и программы расчета оптических систем в принципе ее не решают.
Поэтому целью статьи является разработка методики аберрационного синтеза ЛОС различного назначения (фокусировка, согласование или коллимация лазерного излучения) для п реобразования многомодового пучка с сохранением такого же характера амплитуднофазового распределения выходного поля, как у входного пучка.
Настоящая статья базируется на результатах работ [2–6] и является развитием рассмотренных в них вопросов.
1. Особенности разработки лазерных оптических систем
Лазерное излучение отличается когерентностью и имеет особые свойства, не присущие излучению классических источников (тепловых, люминесцентных) [1, 2]. Пространственная когерентность лазерного излучения характеризуется наличием ближней зоны конечной длины, размер которой определяется параметром конфокальности пучка zк (для некогерентного излучения zк = 0). Кроме того, амплитуда поля в поперечном сечении лазерного пучка не является постоянной. Несмотря на это, часто при расчете оптических систем источник лазерного излучения представляют в виде протяженного излучателя, из каждой точки которого исходит сферический волновой фронт. Однако при таком подходе не учитываются
34 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
особенности лазерного излучения. Это может привести к значительному отклонению расчетных и действительных параметров выходного лазерного пучка и к недопустимым искажениям амплитудно-фазового распределения поля. Учет указанных свойств лазерного излучения на всех этапах разработки ЛОС позволяет существенно повысить технические характеристики лазерных оптико-электронных приборов.
Для разработки ЛОС должны быть известны следующие данные (см. рис. 1):
•• полный набор параметров, характеризующий входной пучок: длина волны излучения λ; параметр конфокальности zк, диаметр пучка в сечении перетяжки 2hp, угловая расходимость 2θ, параметр M2, модовый состав излучения, положение сечения перетяжки пучка с учетом оптической схемы резонатора и конструкции лазера, причем пространственные параметры лазерного пучка удовлетворяют инварианту [1, 2];
•• требуемые пространственные параметры выходного пучка (zк′ , 2hp′, 2θ′, sp′) и допустимая волновая аберрация ЛОС (ΔWдоп);
•• продольные и поперечные габаритные ограничения, предъявляемые к ЛОС;
•• другие данные, определяемые спецификой задачи.
Здесь важно еще раз отметить, что известные методы расчета оптических систем для классических источников излучения и используемые для этого программы Zemax, Code V, Oslo, Synopsys, WinDEMOS не учитывают простран-
ственную когерентность лазерного излучения и их нельзя применять для разработки современных лазерных оптико-электронных приборов.
2. Расчет функции волновой аберрации ЛОС
Вносимые оптической системой в преобра
зуемый лазерный пучок фазовые искажения
оценивают функцией волновой аберрации. Со-
гласно теории оптических систем функция
волновой аберрации описывает отклонение
волнового фронта реального пучка от идеаль
ного на выходе оптической системы.
В данной работе предлагается определять
функцию волновой аберрации между волно-
выми фронтами лазерного пучка до и после
линзового компонента, считая его идеальным.
Т огда за счет ее малого значения подынтеграль-
ная функция дифракционного интеграла ста
новится более гладкой, а погрешность и время
его вычисления значительно уменьшаются.
Для осесимметричного компонента реаль-
ной толщины (или всей ЛОС) функция вол-
новой аберрации в системе координат Oqξ′η′ζ′ (см. рис. 1) имеет вид [6]
( )W
(ξ¢,
η¢)=
-
h¢2 2f ¢
χ + αh¢2 + βh¢4 + γh¢6
,
h¢2 = ξ¢2 + η¢2,
(1)
где f′ – заднее фокусное расстояние линзового компонента (или всей ЛОС); χ, α, β, γ – коэф
1q y
x z
OF
–R Ф O1
HH
Oq RФ
F
2hp 2hp
–zp –sF –sp
sp
Рис. 1. Преобразование лазерного пучка оптической системой. F и F′ – передний и задний фокусы ЛОС; H, H′ – главные точки ЛОС; sF – передний фокальный отрезок ЛОС, zp – смещение плоскости перетяжки входного пучка относительно переднего фокуса ЛОС, sp – удаление плоскости перетяжки входного пучка относительно первой поверхности ЛОС, sp′ – положение сечения перетяжки выходного пучка относительно последней поверхности ЛОС, Oxyz – система координат в плоскости входной перетяжки;
O1ξηζ и Oqξ′η′ζ′ – системы координат с началом в вершине 1-й и q-й поверхностей ЛОС, RΦ и RΦ′ – радиусы кривизны волновых фронтов пучка на входе и выходе ЛОС.
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
35
фициенты разложения функции волновой а беррации, определяющие дефокусировку плоскости анализа (χ), аберрацию 3-го порядка (α) и аберрации высших порядков (β – 5-го, γ – 7-го).
Соотношение (1) позволяет найти связь коэффициентов разложения функции волновой аберрации с ее максимальным Wmax и минимальным Wmin значениями и перепадом ΔW = = Wmax – Wmin.
Остановимся на вопросе расчета функции волновой аберрации ЛОС. Поскольку волновой фронт всех поперечных мод совпадает [2, 7], то для расчета функции волновой аберрации можно воспользоваться методом лучевых пакетов, который хорошо себя зарекомендовал для основной моды TEM00 [2]. В этом методе лаз ерный пучок представляется в виде совокупности лучевых пакетов, каждый из которых описывает часть пучка на определенном уровне плотности мощности. Лучевой пакет образует семейство лучей с направляющими векторами v1 или v2 в системе координат Oxyz (см. рис. 1):
v1,
2
=
ïïìíïïîρρ220
çæççè
xz zê
±
y÷ö÷÷÷ø;
ρ20 ρ2
ççæçè
yz zê
y÷ö÷÷÷ø;
zê ïüïïþïý,
(2)
где x, y, z – координаты произвольной точки наблюдения лазерного пучка; ρ = x2 + y2 – расстояние от точки наблюдения в пучке до оси пучка; ρ0 – размер пучка в сечении перетяжки (z = 0), соответствующий тому же уровню плотности мощности, что и точка наблюдения (x, y, z).
Представленные в работе [2] координаты направляющих векторов лучей лучевого пакета отличаются от таковых в (2). Однако формулы (2) позволяют описывать преобразование лазерного пучка не только в параксиальном, но и в реальном приближении, т. е. для ЛОС с конечными апертурами.
Функция волновой аберрации определяется через оптическую длину хода луча между входным и выходным фронтами (см. рис. 1), а расчет хода лучей лучевого пакета через ЛОС проводится по известным алгоритмам (см., например, [8])
W(ρ0 )= L(ρ0 )- L(0),
где L(ρ0) – оптическая длина хода луча, соответствующего определенному уровню плотности мощности; L(0) – оптическая длина хода луча, соответствующего осевому уровню плотности мощности.
При нахождении функции волновой аберра-
ции всей ЛОС или ее отдельного компонента,
а также его светового диаметра необходимо учи-
тывать модовый состав преобразуемого лазер-
ного пучка. Так, световой диаметр компонента рассчитываем по формуле Dñâ = KD M2 D00, где KD – коэффициент необходимого превышения светового диаметра компонента над диа-
метром лазерного пучка на нем [5, 6]; параметр M2 поперечной моды TEMmn, определяемый методом моментов [9]; D00 – диаметр огибающей пучка основной моды на компоненте, опре-
деленный по стандартному уровню плотности мощности 1/e2. Световые диаметры компонен-
тов ЛОС однозначно определяют область зада-
ния функции волновой аберрации и, следова-
тельно, максимальную высоту луча лучевого
пакета, при которой он распространяется через
ЛОС без виньетирования.
3. Условия проведения аберрационного синтеза линзового компонента
В теории и практике вычислительной оптики для аппроксимации функции волновой аберрации широко применяют ее разложение по системе ортогональных полиномов (например, Цернике [10], Чебышева [2] и др.) или степенных функций. В нашем случае удобно использовать полиномы Чебышева.
Запишем выражение (1) через полиномы Чебышева Tn*(x) [11]:
W(ξ¢, η¢)= C0 + C1T1*ççèæh¢2 ÷ø÷ö+
+ C2T2*çæèçh¢2 ÷ø÷ö+ C3T3*èæççh¢2 ÷øö÷+ C4T4*æèççh¢2 ö÷ø÷,
(3)
C0
=
1 2
æçèççχ
+
3 4
α
+
5 8
β
+
35 64
γö÷÷÷ø,
C1
=
χ
+
α
+
15 16
β
+
7 8
γ,
C2
=
α
+
3 2
β
+
7 4
γ,
C3 = β + 2γ,
C4 = γ,
χ
=
-
hm2 ax 2f ¢
χ,
α
=
-
hm4 ax 2f ¢
α,
β
=
-
hm6 ax 2f ¢
β,
γ
=-
hm8 ax 2f ¢
γ.
Здесь h¢= h¢/hmax – нормированная высота на выходной опорной поверхности, 2hmax – световой диаметр линзового компонента (или ЛОС), χ, α , β, γ – приведенные аберрационные коэффициенты линзового компонента (или ЛОС),
36 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
Tn*(x) – смещенные полиномы Чебышева пер вого рода, наименее уклоняющиеся от нуля в промежутке [0; +1] [11]. Последние можно представить в виде
T1*(x) = x -1/2, T2*(x) = x2 - x +1/8, T3*(x) = x3 -(3/2)x2 + (9/16)x -1/32, T4*(x) = x4 -2x3 + (5/4)x2 -(1/4)x +1/128, max T1*(x) =1/2, max T2*(x) =1/8,
max T3*(x) =1/32, max T4*(x) =1/128,
где max Tn*(x) – значение наибольшего уклонения от нуля полинома Чебышева Tn*(x) в промежутке [0; +1].
Согласно (3) коэффициенты Cj (j = 0, 1, …, 4) разложения волновой аберрации по полиномам Чебышева определяются аберрациями 3-го и высших порядков традиционного степенного ряда (1). Теория полиномов Чебышева позволяет для произвольной оптической системы указать процентное содержание аберраций любого порядка в каждом слагаемом выражения (3) (см. табл. 1). Из таблицы видно, что наибольшая часть аберраций ЛОС сосредоточена в члене C1T1*çæçèh¢2 ÷÷øö. Первые два члена разложения (3) содержат подавляющую часть всех аберраций ЛОС: более 87% аберраций 3-го порядка, 78% – 5-го порядка и 71% – 7-го порядка. Тогда при малом C1 ЛОС хорошо корригирована и первые два члена разложения (3) описывают ее суммарную волновую аберрацию. Поэтому для синтеза ЛОС с малой волновой аберрацией вместо наложения условия на равенство нулю всех коэффициентов Cj (j = 0, 1, …, 4) достаточно потребовать равенства нулю только одного:
Таблица 1. Доля аберраций 3-го и высших порядков, входящих в слагаемые выражения (3)
Слагаемое
3-го порядка
Доля аберраций
5-го порядка
7-го порядка
C0 3/8 (37,5%) 5/16 (31,2%) 35/128 (27,3%) C1T1*ççæèh¢2öø÷÷÷ 1/2 (50,0%) 15/32 (46,9%) 7/16 (43,8%)
C2T2*çèçæh¢2÷ö÷÷ø 1/8 (12,5%) 3/16 (18,8%) 7/32 (21,9%)
C3T3* èççæh¢2 ö÷÷ø÷
–
1/32 (3,1%) 1/16 (6,2%)
C4T4* çèçæh¢2 ÷÷÷öø
–
– 1/128 (0,8%)
C1
=
χ
+
α
+
15 16
β
+
7 8
γ
=
0.
(4)
Фокусное расстояние синтезированного лин-
зового компонента реальной толщины должно
соответствовать значению, полученному при
габаритном синтезе ЛОС. Это условие может
быть записано через оптические силы “толсто-
го” Φ = 1/f′ и “тонкого” Φ0 = 1/f0′ компонентов в виде
Φ = Φ0 + ∆Φd = (1+ ∆Φd/Φ0)Φ0 = pΦ0, (5)
где ΔΦd и p – заранее неизвестные добавка к оптической силе и параметр, учитывающие влияние конечной толщины линзового компонента.
Как правило, после синтеза ЛОС с компонентами конечной толщины значение C1 может несколько отличаться от нуля, но должно быть малым и лежать внутри допустимого диапазона [–C1доп; C1доп]. Значение C1доп определяет разработчик ЛОС, исходя из допустимых искажений пучка на выходе синтезированной ЛОС [6]. Указанное требование |C1| ≤ C1доп в сочетании с требованием ΔW ≤ ΔWдоп обеспечивают синтез ЛОС с минимальными волновыми аберрациями.
4. Методика определения исходной схемы компонента ЛОС
Как правило, базовыми компонентами большинства ЛОС являются одиночная линза и двухлинзовый склеенный объектив, а их сочетание позволяет реализовать многокомпонентные ЛОС произвольной сложности.
Определение конструктивных параметров линзового компонента ЛОС включает несколько этапов. На первом этапе синтеза линзовый компонент считается тонким и поэтому можно записать аналитические формулы для аберрационных коэффициентов χ, α, β, γ. Условия (4) и (5) позволяют
–– для выбранной марки стекла одиночной линзы найти радиусы кривизны преломляющих поверхностей r1 и r2,
–– для выбранных марок стекол линз объектива определить радиусы кривизны преломляю щих поверхностей r1, r2, r3.
По найденным радиусам кривизны из конструктивных соображений определяют толщину компонента [8] (см. рис. 2).
На втором этапе рассчитывают –– функцию волновой аберрации, ее максимальное Wmax и минимальное Wmin значения и ΔW = Wmax – Wmin,
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
37
(а) –r 2
n r1
(б)
–r 2 –r 3
n1
n2 r1
D D
dл dл1 dл2
Рис. 2. Компоненты ЛОС в виде одиночной
линзы (а) и двухлинзового склеенного объек-
тива (б). r – радиус кривизны преломляющей
поверхности щина линзы
линзового по оси, n
компонента, dл – тол– показатель прелом-
ления, D – полный диаметр линзового компо-
нента.
–– коэффициент C1. Найденные значения сравнивают с допустимыми (соответственно ΔWдоп и [–C1доп; C1доп]), задаваемыми разработчиком ЛОС. Рассмотрим сначала методику синтеза двухлинзового склеенного объектива, а затем – одиночной линзы как частного случая двухлинзового склеенного объектива при одинаковых показателях преломления его линз.
4.1. Синтез двухлинзового склеенного объектива
Для двухлинзового тонкого склеенного объектива коэффициенты χ, α, β, γ определяются следующими выражениями:
χ = 0, α = α1Φ01 + α2Φ02 , Φ0
β = β1Φ01 + β2Φ02 , Φ0
γ = γ1Φ01 + γ2Φ02 , Φ0
(6)
αl
=
1 4
ççæèççç
ρ3l - ρ3l+1 ρl - ρl+1
-
ρΦ¢3, ρΦ¢ ,
l+1 l+1
- ρ3Φ, l - ρΦ, l
÷÷ø÷ö÷÷÷,
βl
=
1 8
çèççççæ
ρ5l - ρ5l+1 ρl - ρl+1
-
ρΦ¢5, l+1 ρΦ¢ , l+1
- ρ5Φ, l - ρΦ, l
ø÷÷÷÷÷÷ö,
γl
=
5 64
æçççççè
ρ7l ρl
- ρ7l+1 - ρl+1
-
ρΦ¢7, l+1 - ρ7Φ, l ρΦ¢ , l+1 - ρΦ, l
÷ö÷÷÷ø÷÷,
l =1, 2,
Φ0 = Φ01 + Φ02,
ρΦ, 1
=
zê2
sp +
s2p
,
ρΦ¢ , 2 = ρΦ, 1 + Φ01, ρΦ¢ , 3 = ρΦ, 1 + Φ0,
(7)
где Φ01 = (n1 – 1)(ρ1 – ρ2), Φ02 = (n2 – 1)(ρ2 – ρ3) – оптические силы тонких линз склеенного объектива; n1, n2 – показатели преломления линз объектива; ρq = 1/rq, (q = 1, 2, 3) – кривизна преломляющих поверхностей объектива; ρΦ, 1 и ρΦ, 2 – кривизна волновых фронтов пучка на входе 1-й и 2-й линз объектива; ρ′Φ, 2 – кривизна волнового фронта пучка на выходе первой тонкой линзы; ρ′Φ, 3 – кривизна волнового фронта пучка на выходе тонкой двухлинзовой склейки. В выражениях (7) величины кривизны волновых фронтов пучка приведены согласно правилу знаков в оптике.
Для двухлинзового склеенного объектива выполнение условий (4) и (5) с учетом (6) и (7) приводит к уравнению 7-й степени. Это уравнение относительно кривизны первой преломляющей поверхности имеет вид
a7ρ17 + a6ρ16 + a5ρ15 + a4ρ14 + + a3ρ13 + a2ρ12 + a1ρ1 + a0 = 0,
(8)
( )a7
=
cγn1¢
(ΦNd )4
1- N6
,
a6
=
-7
cγ sN 6
(ΦNd )4
,
( )a5
=
cβn1¢
(ΦNd )2
1- N4
-
21 (ΦcNγ sd2
N5
)4 n2¢
,
a4
=
-5
cβsN4
(ΦNd )2
-
35
cγ s3 N 4
(ΦNd )4 n2¢2
,
( )a3 = n1¢
1- N2
-10
cβs2
(ΦNd
N3
)2 n2¢
-
35
cγ s4 N 3
(ΦNd )4 n2¢3
,
a2
=
-3sN2
-10
cβ s3 N 2
(n2¢ΦNd )2
-
21(nc2¢γΦs5NNd2)4
,
a1
=
-3n1¢
èæçççns2¢
÷÷öø÷÷2-
5
cβ s4 N
(ΦNd )2 n2¢3
-7
cγ s6 N
(ΦNd )4 n2¢5
,
a0
=
ρ3Φ,1
-çèççæρΦ,1
+
Φ p
÷ø÷÷ö÷3+
δnρ23
- n2¢
çèççæ
s n2¢
÷ø÷÷÷ö3
+
+ cβ
(ΦNd
)2
êéêëêρ5Φ,1
-æçççèρΦ,1
+
Φ p
ö÷÷÷÷ø5+
δnρ25
- n2¢
æçççèns2¢
ö÷÷÷÷ø5
ùúúúû
+
+ cγ
(ΦNd
)4
ëêêéêρ7Φ,1
-æçççèρΦ,1
+
Φ p
÷÷÷÷øö7
+ δnρ72
-
n2¢
çèççæ
s n2¢
÷÷÷ø÷ö7
ûúúúù.
Здесь Nd = 1/(2hmaxΦ) – диафрагменное число линзового компонента, а остальные величины
определяются следующим образом:
38 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
n1¢ = n1 -1,
n2¢ = n2 -1,
s
=
δnρ2
-
Φ p
,
δn = n2 -n1,
N
=
n1¢ n2¢
,
cβ
=
15 128
,
cγ
=
35 2048
.
Коэффициенты уравнения (8) определяются параметрами входного пучка, оптической силой линзового компонента, его диафрагменным числом и показателями преломления стекол. Кроме того, коэффициенты уравнения зависят от двух неопределенных параметров: p и кривизны поверхности склейки ρ2. Варьируя значения p и ρ2, получаем различные решения. Действительные корни уравнения используем для расчета кривизны последней преломляющей поверхности склейки
ρ3
=
n1¢ρ1 + n2¢
s
.
По найденным значениям кривизны пре
ломляющих поверхностей рассчитываем их радиусы rq = 1/ρq, q = 1, 2, 3.
Решение уравнения (8) можно найти только
с использованием вычислительной техники.
С другой стороны, если диафрагменное число
объектива считать большим, то можно пренебречь членами с 1/N2d и 1/Nd4. Это означает, что радиусы кривизны определяются из условия
устранения аберраций третьего порядка (коэффициент α = 0). В этом случае уравнение (8) приводится к кубическому:
( )n1¢ 1- N2 ρ13 -3sN2ρ12 -3n1¢ ççæèçns2¢ öø÷÷÷÷2 ρ1 +
+
ρ3Φ,
1
-æçççèρΦ,
1
+
Φ p
÷÷ö÷÷ø3
+
δnρ23
-
n2¢
æççèç
s n2¢
ö÷÷ø÷÷3
=
0.
(9)
Исследование уравнения (9) позволяет выделить несколько частных случаев его решения, которые приведены в табл. 2.
Из анализа формул табл. 2 видно, что имеются случаи, когда кривизна преломляющих поверхностей определяется оптической силой двухлинзового склеенного объектива.
4.2. Синтез одиночной линзы
В случае одиночной тонкой линзы в уравнении (8) надо считать показатели преломления одинаковыми, т. е. n1 = n2 = n, где n – показатель преломления материала линзы, а в коэффициентах уравнения (8) необходимо принять N = 1, s = –Φ/p, n′1 = n′2 = n′ = n – 1. В результате получаем уравнение 6-й степени. Коэффициенты этого уравнения зависят только от одного неопределенного параметра – p. Действитель-
Таблица 2. Частные случаи определения кривизны поверхностей двухлинзового склеенного объектива
№ ρ1 Φ
1 pn1¢
ρ2
n2¢ δn
ρ3
( )-
3
t +(Φ/p)3 n1¢2
n1¢ 2-3N + N2
ρ3
t +(Φ/p)3 n1¢2
3 n2¢ ëêé1-(n2¢ /δn)2úùû
δn n2¢
ρ2
( )- 3
t
+(Φ/p)3 δn2
n1¢ 1- N2
2
ρ3
( )N
Φ pδn
Nρ1 t +(Φ/p)3 δn2
3 n2¢ 1- N-2
3
-
3
t +(Φ/p)3 n2¢2
n1¢ êëé1-(n1¢ δn)2úûù
-
δn n1¢
ρ2
-
n1¢ δn
ρ1
( )3
n2¢
t +(Φ/p)3 n2¢2
2-3N-1 + N-2
( )Примечание: в таблице использовано обозначение t = ρ3Φ,1 - ρΦ,1 + Φ/p 3.
-
Φ pn2¢
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
39
ные корни уравнения используем для расчета кривизны второй преломляющей поверхности одиночной линзы
ρ2
=
ρ1 -
Φ pn¢
.
Определив кривизну преломляющих поверхностей, рассчитываем их радиусы rq = 1/ρq, q = 1, 2.
Как и в случае двухлинзовой склейки, целесообразно найти исходную схему одиночной линзы, исходя их условия устранения аберраций третьего порядка. Ее можно получить из уравнения (9). В случае одиночной линзы уравнение (9) сводится к квадратному
ρ12
-
Φ pn¢
ρ1 -
Φ2 3 p2
çççæè1-
1 n¢2
ö÷÷÷ø-
-
ρΦ,
1
ççæèçρΦ,
1
+
Φ p
÷÷÷øö÷
=
0.
(10)
При выбранном показателе преломления n аберрационный синтез линзы можно провести для ограниченного диапазона значений ее фо-
3n¢ + 3(1-n¢2 )
кусного расстояния: f ¢ρΦ,1 £-
6 pn¢
3n¢ - 3(1-n¢2 )
или f ¢ρΦ,1 ³ -
6 pn¢
. Для заданного
f′ показатель преломления материала линзы
должен быть больше критического значения
( ) ( )nтпор³ео1лд+онмаéëêê1ли+езн3ипя2овpnеf=р¢ρх1Φн,+1о+сéëê1т1+ей23ùúúû-сpи1f/¢н2ρ.тΦе,Е1зислpрfио¢вρапΦн,о1нк+оай1заûùúлт-еи1л/н2ь,-
зы будет плоской.
Таким образом, условие аберрационного
синтеза (4) представлено в виде алгебраическо-
го уравнения, вид которого определяется типом
линзового компонента – одиночная линза или
двухлинзовая склейка. Это уравнение может
иметь либо бесчисленное множество решений,
либо ни одного. В первом случае для поиска
лучшего решения вводят целевую функцию,
вид и значения параметров которой опреде-
ляются требованиями к допустимой волновой
аберрации и технологичностью ЛОС. Во вто-
ром случае для получения решения можно из-
менить исходные данные (например, марки
стекол или тип линзового компонента) и по-
вторить все этапы аберрационного синтеза (см.
раздел 5 статьи). Если и в этом случае не удалось
найти решение, то необходимо перейти к преды
дущему этапу синтеза ЛОС – габаритному син-
тезу [2, 5] – либо согласовать с заказчиком технич еское задание с измененными данными и провести для них расчет ЛОС заново.
5. Алгоритм аберрационного синтеза многокомпонентной ЛОС
Аберрационный синтез многокомпонентной ЛОС проводится покомпонентно, причем при синтезе последующей части системы учитываются аберрации, вносимые ее предыдущей частью. Синтез каждого текущего компонента ЛОС проводим по приведенной ниже схеме.
1. Задаем параметры входного пучка, параметры ЛОС после габаритного синтеза (фокусные расстояния линзовых компонентов и их положение относительно друг друга), тип каждого линзового компонента (одиночная линза/ двухлинзовый склеенный объектив) и показатель преломления выбранной марки стекла, продольное увеличение каждого линзового компонента и всей ЛОС [2, 3], габаритные ограничения ЛОС, максимальное допустимое зна- чение функции волновой аберрации ΔWдоп и диапазон [–C1доп; C1доп].
2. Для каждого линзового компонента ЛОС: 2.1. По параксиальным параметрам лазерного пучка и из технологических соображений определяем световой Dсв и полный D диаметры, а также минимально допустимый радиус кривизны преломляющих поверхностей rmin.
2.2. Задаем в цикле p Î[ pmin; pmax ] (для одиночной линзы) и p Î[ pmin; pmax ] и ρ2 Î[-1/rmin; 1/rmin ] (для двухлинзового скле-
енного объектива) и решаем соответствующее типу линзового компонента ЛОС уравнение.
2.3. Для каждого действительного корня уравнения:
2.3.1. Определяем радиусы преломляющих поверхностей линзового компонента и рассчитываем по ним его толщину с учетом минимально допустимой толщины на краю и на оси линзы.
2.3.2. Приводим конструктивные параметры линзового компонента к тем, при которых обеспечивается его требуемое фокусное расстояние (редуцирование компонента).
2.3.3. Сравниваем полученные конструктивные параметры (толщина на оси и на краю, радиусы кривизны поверхностей) с допустимыми.
2.3.4. Для обеспечения продольного увеличения компонента выдерживаем размерную цепь осевых расстояний тонкой и толстой систем с контролем налезания элементов.
40 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
2.3.5. Рассчитываем функцию волновой аберрации синтезированной части ЛОС и находим ее максимальное Wmax и минимальное Wmin значения. Полученные значения Wmax и Wmin используем для расчета ΔW = Wmax – Wmin, которое сравниваем с допустимым значением ΔWдоп. Если ΔW > ΔWдоп то синтезированный линзовый компонент не удовлетворяет заданн ому критерию, поэтому переходим к следующему шагу цикла. При ΔW ≤ ΔWдоп, синтезированный линзовый компонент удовлетворяет заданному критерию. В этом случае аппроксимируем функцию волновой аберрации полин омом вида (1), т. е. определяем его коэффициенты разложения. По найденным коэффициентам разложения χ, α, β, γ, световому диаметру линзового компонента Dсв = 2hmax и его фокусному расстоянию f′ рассчитываем коэффициент C1 и оцениваем его принадлежность заданному диапазону [–C1доп; C1доп]. Если он принадлежит диапазону, то переходим к следующему этапу синтеза. В противном случае переходим к следующему шагу цикла.
2.4. Рассчитываем целевую функцию и проводим селекцию результатов синтеза.
После синтеза последнего компонента разработчик может провести контрольный расчет параметров лазерного пучка на выходе синтезированной ЛОС.
Поскольку распределение поля многомодового пучка представляет суперпозицию нескольких поперечных типов колебаний [9], то в этом случае достаточно провести аберрационный синтез ЛОС для моды самого высокого порядка, присутствующей в многомодовом пучке. Поэтому разработанный алгоритм применим для аберрационного синтеза ЛОС, преобразующих как одномодовый, так и многомодовый лазерные пучки.
Описанный алгоритм был реализован в виде программы на языке С#, с использованием которой выполняется аберрационный синтез лазерных оптических систем любого назначения.
6. Примеры применения разработанного алгоритма аберрационного синтеза ЛОС
Пример 1. Требуется разработать ЛОС, для которой заданы:
длина волны лазерного излучения λ = = 632,8 нм,
идеальная мода TEM00 (M2 = 1,0), параметр конфокальности входного пучка zк = 2,0 м,
параметр конфокальности выходного пучка zк′ = 100,0 мкм,
диапазон удалений сечения перетяжки выходного пучка относительно ЛОС d′ = 10,0– 15,0 мм,
диапазон расстояний между сечениями перетяжки входного и выходного пучков L = 40– 50 мм,
допустимое значение функции волновой аберрации согласно критерию Марешаля [8] ΔWдоп ≤ 0,07λ, а |C1| ≤ 0,2λ.
Поскольку коэффициент продольного уве личения ЛОС αΓ = zк′ /zк = 5×10–5, то она является фокусирующей. Используя методику габаритного синтеза работы [5], получаем, что для формирования пучка с требуемым zк′ можно использовать однокомпонентную ЛОС со следующими параметрами (обозначения см. на рис. 3а): d = 35,856 мм, f′ = 14,143 мм, d′ = 14,144 мм.
Проведем аберрационный синтез ЛОС, которая обеспечивает малые дифракционные искажения поля и выполнение критерия по ΔW. Для выполнения первого требования при расчете светового диаметра компонента выберем значение коэффициента KD = 3,0.
Рассмотрим реализацию ЛОС в виде одиночной линзы и двухлинзовой склейки. Результаты аберрационного синтеза одиночной линзы показали, что она не удовлетворяет критерию по допустимому значению функции волновой аберрации. В случае синтеза ЛОС в виде двухлинзового склеенного объектива значения функции волновой аберрация лежат в требуемых пределах. Его конструктивные параметры приведены в табл. 3, а световой и полный диаметры имеют значения: Dсв = = 3,81 мм, D = 4,0 мм.
Таблица 3. Конструктивные параметры однокомпонентной фокусирующей ЛОС
r, мм
d, мм
n, мм
7,613
–sp = 35,21
1
3,16
1,5147 (К8)
–6,356
1,36
1,7497 (ТФ5)
–17,866
s′p = 11,76
1
f′ = 14,143 мм, αΓ = 5×10–5
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
41
zк F
(а) f
HH
zк F
Db Db1
Db2
(б) f2
f1
zк
F1 H1 H1 F1 F2
H2 H2
F2
zк
–f d
L
f d
–f1 f1
–f2 d d12
L
f2 d
Рис. 3. Схема однокомпонентной (а) и двухкомпонентной (б) тонких ЛОС. f и f′ – переднее и заднее фокусные расстояния линзового компонента, d – расстояние от сечения перетяжки входного пучка
до ЛОС, d′ – расстояние от ЛОС до сечения перетяжки выходного пучка, d12 – расстояние между компонентами, L – расстояние между сечениями перетяжки входного и выходного пучков, Db – диаметр пучка на компоненте.
На рис. 4а представлена зависимость функции волновой аберрации синтезированного линзового компонента от высоты луча лазерного пучка на поверхности выходного волнового фронта. Разница максимального и минимального значений функции волновой аберрации составляет ΔW = 0,032λ, а коэффициент C1 = 0,15λ. Следовательно, синтезированный двухлинзовый склеенный объектив удовлетворяет заданному критерию по допустимому значению функции волновой аберрации и коэффициенту C1.
Пример 2. Необходимо разработать ЛОС, для которой заданы:
длина волны лазерного излучения λ = = 1064 нм,
идеальная мода эрмито-гаусса TEM11 (M2 = = 3,0),
параметр конфокальности входного пучка zк = 10,0 мм,
параметр конфокальности выходного пучка z′к = 10,0 м,
диапазон удалений сечения перетяжки входного пучка относительно ЛОС d = 10,0– 20,0 мм,
диапазон расстояний между сечениями перетяжки входного и выходного пучков L = = –1,4 …–1,1 м,
42
2
h , мм
1,5
(а)
1
0,5
0 – 0,02 – 0,01
0
0,01 0,02
(б) W,
6
h , мм
4,5
3 1,5
0
– 0,002 0
0,002 0,004 0,006
W,
Рис. 4. Зависимости функции волновой аберрации ЛОС от высоты луча лазерного пучка на поверхности выходного волнового фронта. а – фокусирующая ЛОС (пример 1), б – кол лимирующая ЛОС (пример 2).
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
Таблица 4. Конструктивные параметры двухкомпонентной коллимирующей ЛОС
r, мм
d, мм
n, мм
–2,770
–sp = 14,97
1
0,50
1,5062 (К8)
31,11
65,02
1
105,19
1,73
1,7275 (ТФ5)
36,11
2,24
1,5062 (К8)
–38,06 –sp′ = 1,27×103
f′ = 382,21 мм, αΓ = 1000,0
1
допустимое значение функции волновой аберрации согласно критерию Марешаля ΔWдоп ≤ 0,07λ, а |C1| ≤ 0,2λ.
В данном случае требуется рассчитать коллимирующую ЛОС (αΓ = 1000,0). Получить требуемый выходной пучок с заданными габаритными ограничениями можно только с помощью двухкомпонентной ЛОС. После габаритного синтеза [5] получаем следующие параметры двухкомпонентной ЛОС (обозначения см. на рис. 3б): d = 15,0 мм, f1′ = –5,0 мм, d12 = 67,254 мм, f2′ = 71,321 мм, d′ = –1,268 м.
Определяем конструктивные параметры линзовых компонентов ЛОС. Результаты аберрационного синтеза ЛОС, в которой первый компонент – одиночная линза, а второй – двухлинзовая склейка, приведены в табл. 4. Для
расчета световых диаметров компонентов синтезированной ЛОС примем значение коэффициента KD = 2,0. В результате получаем такие значения световых и полных диаметров: Dсв1 = 0,55 мм, D1 = 1,0 мм; Dсв2 = 9,69 мм, D2 = 10,0 мм.
На рис. 4б представлена зависимость функции волновой аберрации двухкомпонентной коллимирующей ЛОС от высоты луча лазерного пучка на поверхности выходного волнового фронта. Для этой ЛОС ΔW = 5,5×10–3λ, а C1 = 2,9×10–3λ. Следовательно, синтезиро ванная двухкомпонентная ЛОС удовлетворяет заданному критерию по допустимому значению функции волновой аберрации и коэффи циенту C1.
Заключение
Предложены универсальная методика и алгоритм синтеза ЛОС с минимальными волно выми аберрациями для многомодовых лазерных пучков. На основе расчета базовых компонентов они позволяют синтезировать многокомпонентные ЛОС с произвольным знаком оптической силы как компонентов, так и отдельных линз, входящих в их состав. Покомпонентный алгоритм аберрационного расчета ЛОС позволяет при синтезе текущего компонента учитывать аберрации синтезированной части, включая компоненты с уже известными конструктивными параметрами.
Методика учитывает особенности лазерного излучения и применима для расчета всех типов ЛОС (фокусирующие, согласующие или коллимирующие системы) для решения различных практических задач. Примеры синтеза лазерных оптических систем различного типа показали высокую скорость и эффективность приведенного алгоритма.
*****
Литература
1. Пахомов И.И., Рожков О.В., Рождествин В.Н. Оптико-электронные квантовые приборы: Учеб. пособие для вузов / Под. ред. Пахомова И.И. М.: Радио и связь, 1982. 456 с.
2. Пахомов И.И., Цибуля А.Б. Расчет оптических систем лазерных приборов. М.: Радио и связь, 1986. 152 с.
3. Pakhomov I.I., Tsibulya A.B. Computational Methods for Laser Optical System Design // J. of Soviet Laser Research (translated from russian). New York, 1988. V. 9. № 3. P. 321–430.
4. Ширанков А.Ф. О методологии проектирования лазерных оптических систем // Тр. Междунар. конфер. “Прикладная оптика-2008”. СПб., 2008. Т. 3. С. 160–164.
5. Аниканов А.Г., Пахомов И.И., Ширанков А.Ф. Структурный синтез лазерных оптических систем при о граничениях их параметров // Оптический журнал. 2010. Т. 77. № 2. С. 30–36.
6. Пахомов И.И., Ширанков А.Ф., Носов П.А. Описание, расчет и анализ искажений многомодовых лазерных пучков // Оптический журнал. 2010. Т. 77. № 2. С. 37–43.
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
43
7. Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 320 с. 8. Русинов М.М., Грамматин А.П., Иванов П.Д. Вычислительная оптика: Справочник / Под. ред. Руси
нова М.М. М.: Изд. ЛКИ, 2008. 423 с. 9. Звелто O. Принципы лазеров. СПб.: Изд. “Лань”, 2008. 720 с. 10. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. / Под ред. Г.П. Мотулевич. М.: Наука, 1970. 856 с. 11. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1983. 384 с.
44 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011