Восстановление профиля лазерного пучка на основе измерения его мощности в последовательности полос 090.0090.
ИКОНИКА – НАУКА ОБ ИЗОБРАЖЕНИИ
УДК 535.36
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА НА ОСНОВЕ ИЗМЕРЕНИЯ ЕГО МОЩНОСТИ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛОС
© 2011 г.
С. А. Варенцова, канд. физ.-мат. наук; В. А. Трофимов, доктор физ.-мат. наук Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва Е-mail: vatro@cs.msu.su
Предложен метод восстановления зашумленного и идеального профилей интенсивности лазерного пучка, основанный на использовании последовательности интегральных измерений мощности лазерного излучения, приходящегося на полосу заданной ширины в данном направлении. Для пространственно двумерной области предложенный метод позволяет получить высокоточное восстановление разнообразных профилей пучка с множеством локальных максимумов различной амплитуды и разными локальными распределениями. Показана возможность уменьшения числа измерений, необходимых для достижения требуемой точности восстановления, за счет увеличения ширины измерительных полос и их частичного пространственного перекрытия. Продемонстрирована возможность подавления шума в распределении интенсивности, амплитуда которого не превышает 10% от максимальной интенсивности пучка. Рассматриваемый подход может быть применен к задачам томографии и проблеме распознавания образов.
Ключевые слова: терагерцовое излучение, лазерный пучок, восстановление профиля интенсивности, интегральные измерения мощности, SVD-метод.
Коды OCIS: 120.4290, 110.4500.
Поступила в редакцию 14.12.2010.
Введение
Как известно, для многих практических приложений, основанных на применении лазерного излучения, необходимо использовать оптическое излучение с определенными формой импульса и профилем пучка. Измерение данных характеристик в физических экспериментах в ряде случаев (например для излучения терагерцового диапазона) является достаточно трудной задачей. В оптическом диапазоне длин волн для этих целей используются автокорреляционные функции, пространственное преобразование Фурье, различные нелинейные процессы, а также в последнее время находят применение различные реализации методов акустической и оптической томографии [1–4]. Применительно к измерению профиля интенсивности мощного лазерного излучения метод оптической томографии использовался в [4] для восстановления распределения интенсивности, обладающего двумя максимумами. Восстановление проводилось с помощью итерационных томографиче-
ских алгоритмов. В [5–7] продемонстрировано восстановление (компьютерная визуализация или просто визуализация) пространственного распределения интенсивности пучка, обладающего аксиальной симметрией. При этом профиль пучка мог иметь произвольное число локальных максимумов. В [6, 7] также показана возможность восстановления профилей общего вида с небольшим количеством максимумов (до трех). Следует подчеркнуть, что визуализация распределения интенсивности производилась нами на основе SVD-метода1, который первоначально был применен для задач терагерцовой time-domain спектроскопии [5, 7–9]. Заметим, что в данной области спектроскопии долгое время отсутствовали эффективные м етоды решения этой практически важной задачи. Согласно [10] у наиболее распространенных алгоритмов, используемых для обработки результатов физических экспериментов, существуют недостатки, которые иногда приводят
1 SVD-метод – метод сингулярного разложения матрицы (method of Singular Value Decomposition).
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
53
к абсурдным результатам. Один из способов решения этой задачи реализован в [11] на основе “оконного” преобразования Фурье [12], здесь же он продемонстрирован экспериментально. Однако этот метод требует больших вычислительных и временны′ х затрат, так как для получения динамики спектральных линий необходимо проводить измерения (обработку) для каждой линии отдельно. Устранить этот существенный для практики недостаток удалось в упомянутых выше работах [5–9], где показана возможность по одной серии измерений интегральных характеристик лазерного импульса (отклика среды) восстановить его форму и получить информацию о динамике всего спектра или нескольких спектральных линий сразу, что особенно важно для бурно развивающейся в настоящее время терагерцовой спектроскопии [13–22].
В данной работе описывается реализация метода оптической томографии восстановления профиля пучка, основанная на интегральных измерениях их характеристик в разнонаправленных полосах на основе SVD-метода. В отличие от [5–7], ниже анализируется возможность визуализации пространственного распределения интенсивности лазерного излучения общего вида с несколькими локальными максимумами с различной интенсивностью, распределения с несимметричным пространственным профилем, а также зашумленного распределения. Предлагаемый метод, на наш взгляд, более прост в реализации и эффективен по сравнению с разрабатываемыми матрицами фирмы Spiricon [23]. Он также может быть применен как для слабых терагерцовых лазеров, так и для мощных лазеров, рассмат риваемых в [24], где визуализация его пространственного распределения интенсивности осуществляется с помощью нелинейного пре образования частоты.
Проведенные расчеты показали высокую точность восстановления профиля и возможность подавления осциллирующих шумов, возникающих при измерениях интенсивности в физическом эксперименте. Как было отмечено выше, аналогичная задача решалась в [4] для лазерного излучения с длиной волны, близкой к видимому диапазону, с помощью программного пакета, в основе которого лежат метод фурье-синтеза и итерационный алгоритм Гершберга [25]. Однако на данный момент этот метод не позволяет достичь точности, сравнимой с результатами, изложенными в настоящей работе.
SVD-восстановление профиля пучка
Поскольку методика восстановления временно′й формы импульса по серии его интегральных измерений обсуждалась в [5–9] и в данной работе она обобщается на проблему визуализации произвольного профиля интенсивности пучка, то далее лишь кратко опишем применяемый метод.
Пусть І = f(x, y) – неизвестный профиль интенсивности, который требуется определить в пространственной области Ω = [x1, x2]×[y1, y2], заданной в декартовых координатах. В качестве интегрального измерения di = di(ρ, j), где i = 1, …, N – порядковый номер измерения, р ассмотрим мощность лазерного пучка, проходящего через полосу Pi(ρ, j), образованную двумя параллельными прямыми y1i , 2 = kix + b1i , 2 на плоскости (x, y). В настоящей работе положение полосы полностью определяется двумя параметрами: расстоянием ρ от начала координат до середины полосы и углом j между нормалью к полосе и осью ox в плоскости (x, y). Отметим, что именно так ставится задача и рентгеновской компьютерной томографии [26]. Нами рассматривается случай, когда расстояние между прямыми y1i ,2 (ширина полосы) постоянно и равно H.
Обозначим через Si(ρ, j) площадь пересечения полосы Pi с областью Ω. Тогда для измерения с номером i имеем интегральное уравнение Радона вдоль полосы Pi
di(ρ, ϕ) = òò I(x, y)ds. Si(ρ, ϕ)
(1)
Отметим, что существует большое количество устойчивых методов решения задачи (1) (см. [27–29]), которые успешно реализованы в рентгеновских компьютерных томографах, исследующих внутреннюю, т. е. трехмерную, структуру объекта. Однако рассматриваемая нами задача (1) является задачей восстановления двумерной поверхности и предлагаемый метод ее решения является, на наш взгляд, б олее простым в реализации и не требует зна чительных вычислительных затрат.
Для восстановления поверхности f(x, y) вводим в области Ω равномерную по каждому из направлений сетку ω с шагами hx = (x2 – x1)/L, hy = (y2 – y )/M, где L, M – число шагов по x и y соответственно. Далее аппроксимируем интегралы di(ρ, j) на сетке ω какой-либо квад ратурной формулой для двойных интегралов
54 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
(см., например, [30]). В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений
d = Af
(2)
с матрицей A размера N×K, где N – число интегральных измерений мощности оптического излучения, K = (L + 1)(M + 1) – число точек двумерной сетки ω, в которых восстанавливается распределение интенсивности f(x, y), f = (f1, …, fK)T – вектор неизвестных значений восстанавливаемой функции f(x, y). Таким образом, в каждой i-й строке матрицы A (i = 1, …, N) записаны коэффициенты квадратурной формулы, аппроксимирующей двойной интеграл (1) на пересечении полосы Pi с областью Ω. Для того чтобы в системе линейных алгебраических уравнений (2) матрица A имела двумерную, а вектор f – одномерную структуру, двумерные элементы, заданные в области Ω, были перенумерованы в одномерные по правилу: элементу с номером (l, m) однозначно ставился в соответствие одномерный элемент с номером ((m – 1)(L + 1) + l), l = 1, …, L + 1, m = 1, …, M + 1.
Следует подчеркнуть, что нами рассматривался случай, когда число интегральных измерений N было меньше числа точек сетки K, в которых восстанавливается функция f(x, y).
Систему уравнений (2) будем решать методом сингулярного разложения матрицы линейного оператора [31, 32]) совместно со стандартной регуляризацией Тихонова [33], т. е. искать вектор f0, минимизирующий следующий функционал:
Fα
(f0
)
=
min
f
(||d
-
Af||22
+
α
||f
||2
),
(3)
где α > 0 – параметр тихоновской регуляризации. Нетрудно показать, что если A = UQVT –
сингулярное разложение матрицы A, то реше-
ние f0 задачи (3) находится по формуле
f0 = VQαUTd,
(4)
где Qα – диагональная матрица с элементами qαi = qi/(q2i + α), qi – сингулярные числа матрицы A.
Проведенные компьютерные эксперимен-
ты показали, что использование стандартного
регуляризирующего функционала Тихонова с
параметром α, изменяющимся от 10–6 до 10–3,
не влияло на устойчивость решения и не при-
водило к какому-либо увеличению точности
восстановления, т. е. не вело к росту устойчиво-
сти алгоритма. Поэтому применять данный вид
регуляризации в рассматриваемом классе задач нецелесообразно. Для устойчивого восстановления профиля пучка с высокой точностью в приведенном выше алгоритме (3)–(4) достаточно использовать только сингулярное разложение матрицы системы с соответствующим выбором сингулярных чисел.
Заметим, что при проведении визуализации распределения интенсивности лазерного излучения измерительные полосы должны частично пересекаться. На практике данные измерения могут осуществляться, например, с помощью либо оптических волокон для излучения видимого диапазона (одна из возможных схем установки для получения проекций сечения пучка мощного лазера описана в [4]), либо с оответствующих полупроводниковых пластин для терагерцового излучения.
Восстановление незашумленных модельных профилей интенсивности
На рис. 1, 2 приведены примеры SVD-вос становления нескольких профилей интенсивности, которые задавались аналитически, и для них проводилось вычисление соответствующих интегралов. Рассматривались следующие п рофили пучка:
f1(x, y) = exp(-(0,5x)2 - y2),
(5.1)
f2 (x, y) = exp(-(x -2)2 -(0,5y)2),
(5.2)
f3 (x, y) = exp(-(x -2)2 - y2) + + 2exp(-(x + 2)2 - y2),
(5.3)
f4 (x, y) = exp(-(x -2)2 -(y + 2)2) + +1,5exp(-(x -2)2 -(y -2)2) +
+ 2exp(-(x + 2)2 - y2),
(5.4)
f5 (x, y) = 0,5exp(-(0,5x)2 -(1,5y)2) +
+ 0,5exp(-(1,5x)2 -(0,5y)2),
(5.5)
f6 (x, y) = F(x)exp(-y2),
F(x)
=
ïìïîïíïïeexxpp((--(x02,)5,xx)2 2. Как было установлено при компьютерном моделировании, невыполнение этого условия (K/N ≤ 2) при проведении SVD-восстановления приво дило к сильной вычислительной неустойчивости, не устраняемой в рамках данного подхода. Обсуждение влияния числа измерений и ширины полос проводится ниже.
Для контроля восстановления профиля пучка вычислялась относительная погрешность
δi = ||fi - fiSVD||C/||fi ||C,
где fiSVD – SVD-восстановленная поверхность, а fi – одно из записанных выше пространственных распределений. Так, на рис. 1а, 1в–1е δi не превышает 2%, а на рис. 1б поверхность восстановлена с относительной погрешностью не более 1%. Это говорит о высокой точности восстановления при сравнительно небольшом (по сравнению с числом узлов сетки) числе интегральных измерений. Соответствующая погрешность метода [4] при реконструкции формы пучка составляет 23% (рис. 3 статьи [4]) и, как отмечают авторы работы, нуждается в существенной доработке.
Принципиальным является ответ на вопрос о возможности изменения числа измерений без снижения качества визуализации профиля пучка, а также об оптимальной стратегии расположения полос (этот вопрос требует отдельного рассмотрения). Как уже упоминалось выше, положение полосы определяется двумя параметрами: расстоянием ρ от начала координат до середины полосы и углом j между нормалью к полосе и осью ox в плоскости (x, y).
Изменение положения полосы происходило на регулярной измерительной сетке ωρ, j с шагами hρ = 0,5(xe – xb)/KR и hj = 2π/KF, где KR и KF – число шагов по радиусу-вектору и по углу соответственно. Значения KR и KF выбирались из условия K/N > 2, где N = KR•KF + 1 – число измерений. Отметим, что для заданного профиля fi и заданной ширины полосы H значение относительной погрешности восстановления δi, как правило, было минимальным при KR Tr (а) и сохранения при H
УДК 535.36
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА НА ОСНОВЕ ИЗМЕРЕНИЯ ЕГО МОЩНОСТИ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛОС
© 2011 г.
С. А. Варенцова, канд. физ.-мат. наук; В. А. Трофимов, доктор физ.-мат. наук Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва Е-mail: vatro@cs.msu.su
Предложен метод восстановления зашумленного и идеального профилей интенсивности лазерного пучка, основанный на использовании последовательности интегральных измерений мощности лазерного излучения, приходящегося на полосу заданной ширины в данном направлении. Для пространственно двумерной области предложенный метод позволяет получить высокоточное восстановление разнообразных профилей пучка с множеством локальных максимумов различной амплитуды и разными локальными распределениями. Показана возможность уменьшения числа измерений, необходимых для достижения требуемой точности восстановления, за счет увеличения ширины измерительных полос и их частичного пространственного перекрытия. Продемонстрирована возможность подавления шума в распределении интенсивности, амплитуда которого не превышает 10% от максимальной интенсивности пучка. Рассматриваемый подход может быть применен к задачам томографии и проблеме распознавания образов.
Ключевые слова: терагерцовое излучение, лазерный пучок, восстановление профиля интенсивности, интегральные измерения мощности, SVD-метод.
Коды OCIS: 120.4290, 110.4500.
Поступила в редакцию 14.12.2010.
Введение
Как известно, для многих практических приложений, основанных на применении лазерного излучения, необходимо использовать оптическое излучение с определенными формой импульса и профилем пучка. Измерение данных характеристик в физических экспериментах в ряде случаев (например для излучения терагерцового диапазона) является достаточно трудной задачей. В оптическом диапазоне длин волн для этих целей используются автокорреляционные функции, пространственное преобразование Фурье, различные нелинейные процессы, а также в последнее время находят применение различные реализации методов акустической и оптической томографии [1–4]. Применительно к измерению профиля интенсивности мощного лазерного излучения метод оптической томографии использовался в [4] для восстановления распределения интенсивности, обладающего двумя максимумами. Восстановление проводилось с помощью итерационных томографиче-
ских алгоритмов. В [5–7] продемонстрировано восстановление (компьютерная визуализация или просто визуализация) пространственного распределения интенсивности пучка, обладающего аксиальной симметрией. При этом профиль пучка мог иметь произвольное число локальных максимумов. В [6, 7] также показана возможность восстановления профилей общего вида с небольшим количеством максимумов (до трех). Следует подчеркнуть, что визуализация распределения интенсивности производилась нами на основе SVD-метода1, который первоначально был применен для задач терагерцовой time-domain спектроскопии [5, 7–9]. Заметим, что в данной области спектроскопии долгое время отсутствовали эффективные м етоды решения этой практически важной задачи. Согласно [10] у наиболее распространенных алгоритмов, используемых для обработки результатов физических экспериментов, существуют недостатки, которые иногда приводят
1 SVD-метод – метод сингулярного разложения матрицы (method of Singular Value Decomposition).
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
53
к абсурдным результатам. Один из способов решения этой задачи реализован в [11] на основе “оконного” преобразования Фурье [12], здесь же он продемонстрирован экспериментально. Однако этот метод требует больших вычислительных и временны′ х затрат, так как для получения динамики спектральных линий необходимо проводить измерения (обработку) для каждой линии отдельно. Устранить этот существенный для практики недостаток удалось в упомянутых выше работах [5–9], где показана возможность по одной серии измерений интегральных характеристик лазерного импульса (отклика среды) восстановить его форму и получить информацию о динамике всего спектра или нескольких спектральных линий сразу, что особенно важно для бурно развивающейся в настоящее время терагерцовой спектроскопии [13–22].
В данной работе описывается реализация метода оптической томографии восстановления профиля пучка, основанная на интегральных измерениях их характеристик в разнонаправленных полосах на основе SVD-метода. В отличие от [5–7], ниже анализируется возможность визуализации пространственного распределения интенсивности лазерного излучения общего вида с несколькими локальными максимумами с различной интенсивностью, распределения с несимметричным пространственным профилем, а также зашумленного распределения. Предлагаемый метод, на наш взгляд, более прост в реализации и эффективен по сравнению с разрабатываемыми матрицами фирмы Spiricon [23]. Он также может быть применен как для слабых терагерцовых лазеров, так и для мощных лазеров, рассмат риваемых в [24], где визуализация его пространственного распределения интенсивности осуществляется с помощью нелинейного пре образования частоты.
Проведенные расчеты показали высокую точность восстановления профиля и возможность подавления осциллирующих шумов, возникающих при измерениях интенсивности в физическом эксперименте. Как было отмечено выше, аналогичная задача решалась в [4] для лазерного излучения с длиной волны, близкой к видимому диапазону, с помощью программного пакета, в основе которого лежат метод фурье-синтеза и итерационный алгоритм Гершберга [25]. Однако на данный момент этот метод не позволяет достичь точности, сравнимой с результатами, изложенными в настоящей работе.
SVD-восстановление профиля пучка
Поскольку методика восстановления временно′й формы импульса по серии его интегральных измерений обсуждалась в [5–9] и в данной работе она обобщается на проблему визуализации произвольного профиля интенсивности пучка, то далее лишь кратко опишем применяемый метод.
Пусть І = f(x, y) – неизвестный профиль интенсивности, который требуется определить в пространственной области Ω = [x1, x2]×[y1, y2], заданной в декартовых координатах. В качестве интегрального измерения di = di(ρ, j), где i = 1, …, N – порядковый номер измерения, р ассмотрим мощность лазерного пучка, проходящего через полосу Pi(ρ, j), образованную двумя параллельными прямыми y1i , 2 = kix + b1i , 2 на плоскости (x, y). В настоящей работе положение полосы полностью определяется двумя параметрами: расстоянием ρ от начала координат до середины полосы и углом j между нормалью к полосе и осью ox в плоскости (x, y). Отметим, что именно так ставится задача и рентгеновской компьютерной томографии [26]. Нами рассматривается случай, когда расстояние между прямыми y1i ,2 (ширина полосы) постоянно и равно H.
Обозначим через Si(ρ, j) площадь пересечения полосы Pi с областью Ω. Тогда для измерения с номером i имеем интегральное уравнение Радона вдоль полосы Pi
di(ρ, ϕ) = òò I(x, y)ds. Si(ρ, ϕ)
(1)
Отметим, что существует большое количество устойчивых методов решения задачи (1) (см. [27–29]), которые успешно реализованы в рентгеновских компьютерных томографах, исследующих внутреннюю, т. е. трехмерную, структуру объекта. Однако рассматриваемая нами задача (1) является задачей восстановления двумерной поверхности и предлагаемый метод ее решения является, на наш взгляд, б олее простым в реализации и не требует зна чительных вычислительных затрат.
Для восстановления поверхности f(x, y) вводим в области Ω равномерную по каждому из направлений сетку ω с шагами hx = (x2 – x1)/L, hy = (y2 – y )/M, где L, M – число шагов по x и y соответственно. Далее аппроксимируем интегралы di(ρ, j) на сетке ω какой-либо квад ратурной формулой для двойных интегралов
54 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
(см., например, [30]). В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений
d = Af
(2)
с матрицей A размера N×K, где N – число интегральных измерений мощности оптического излучения, K = (L + 1)(M + 1) – число точек двумерной сетки ω, в которых восстанавливается распределение интенсивности f(x, y), f = (f1, …, fK)T – вектор неизвестных значений восстанавливаемой функции f(x, y). Таким образом, в каждой i-й строке матрицы A (i = 1, …, N) записаны коэффициенты квадратурной формулы, аппроксимирующей двойной интеграл (1) на пересечении полосы Pi с областью Ω. Для того чтобы в системе линейных алгебраических уравнений (2) матрица A имела двумерную, а вектор f – одномерную структуру, двумерные элементы, заданные в области Ω, были перенумерованы в одномерные по правилу: элементу с номером (l, m) однозначно ставился в соответствие одномерный элемент с номером ((m – 1)(L + 1) + l), l = 1, …, L + 1, m = 1, …, M + 1.
Следует подчеркнуть, что нами рассматривался случай, когда число интегральных измерений N было меньше числа точек сетки K, в которых восстанавливается функция f(x, y).
Систему уравнений (2) будем решать методом сингулярного разложения матрицы линейного оператора [31, 32]) совместно со стандартной регуляризацией Тихонова [33], т. е. искать вектор f0, минимизирующий следующий функционал:
Fα
(f0
)
=
min
f
(||d
-
Af||22
+
α
||f
||2
),
(3)
где α > 0 – параметр тихоновской регуляризации. Нетрудно показать, что если A = UQVT –
сингулярное разложение матрицы A, то реше-
ние f0 задачи (3) находится по формуле
f0 = VQαUTd,
(4)
где Qα – диагональная матрица с элементами qαi = qi/(q2i + α), qi – сингулярные числа матрицы A.
Проведенные компьютерные эксперимен-
ты показали, что использование стандартного
регуляризирующего функционала Тихонова с
параметром α, изменяющимся от 10–6 до 10–3,
не влияло на устойчивость решения и не при-
водило к какому-либо увеличению точности
восстановления, т. е. не вело к росту устойчиво-
сти алгоритма. Поэтому применять данный вид
регуляризации в рассматриваемом классе задач нецелесообразно. Для устойчивого восстановления профиля пучка с высокой точностью в приведенном выше алгоритме (3)–(4) достаточно использовать только сингулярное разложение матрицы системы с соответствующим выбором сингулярных чисел.
Заметим, что при проведении визуализации распределения интенсивности лазерного излучения измерительные полосы должны частично пересекаться. На практике данные измерения могут осуществляться, например, с помощью либо оптических волокон для излучения видимого диапазона (одна из возможных схем установки для получения проекций сечения пучка мощного лазера описана в [4]), либо с оответствующих полупроводниковых пластин для терагерцового излучения.
Восстановление незашумленных модельных профилей интенсивности
На рис. 1, 2 приведены примеры SVD-вос становления нескольких профилей интенсивности, которые задавались аналитически, и для них проводилось вычисление соответствующих интегралов. Рассматривались следующие п рофили пучка:
f1(x, y) = exp(-(0,5x)2 - y2),
(5.1)
f2 (x, y) = exp(-(x -2)2 -(0,5y)2),
(5.2)
f3 (x, y) = exp(-(x -2)2 - y2) + + 2exp(-(x + 2)2 - y2),
(5.3)
f4 (x, y) = exp(-(x -2)2 -(y + 2)2) + +1,5exp(-(x -2)2 -(y -2)2) +
+ 2exp(-(x + 2)2 - y2),
(5.4)
f5 (x, y) = 0,5exp(-(0,5x)2 -(1,5y)2) +
+ 0,5exp(-(1,5x)2 -(0,5y)2),
(5.5)
f6 (x, y) = F(x)exp(-y2),
F(x)
=
ïìïîïíïïeexxpp((--(x02,)5,xx)2 2. Как было установлено при компьютерном моделировании, невыполнение этого условия (K/N ≤ 2) при проведении SVD-восстановления приво дило к сильной вычислительной неустойчивости, не устраняемой в рамках данного подхода. Обсуждение влияния числа измерений и ширины полос проводится ниже.
Для контроля восстановления профиля пучка вычислялась относительная погрешность
δi = ||fi - fiSVD||C/||fi ||C,
где fiSVD – SVD-восстановленная поверхность, а fi – одно из записанных выше пространственных распределений. Так, на рис. 1а, 1в–1е δi не превышает 2%, а на рис. 1б поверхность восстановлена с относительной погрешностью не более 1%. Это говорит о высокой точности восстановления при сравнительно небольшом (по сравнению с числом узлов сетки) числе интегральных измерений. Соответствующая погрешность метода [4] при реконструкции формы пучка составляет 23% (рис. 3 статьи [4]) и, как отмечают авторы работы, нуждается в существенной доработке.
Принципиальным является ответ на вопрос о возможности изменения числа измерений без снижения качества визуализации профиля пучка, а также об оптимальной стратегии расположения полос (этот вопрос требует отдельного рассмотрения). Как уже упоминалось выше, положение полосы определяется двумя параметрами: расстоянием ρ от начала координат до середины полосы и углом j между нормалью к полосе и осью ox в плоскости (x, y).
Изменение положения полосы происходило на регулярной измерительной сетке ωρ, j с шагами hρ = 0,5(xe – xb)/KR и hj = 2π/KF, где KR и KF – число шагов по радиусу-вектору и по углу соответственно. Значения KR и KF выбирались из условия K/N > 2, где N = KR•KF + 1 – число измерений. Отметим, что для заданного профиля fi и заданной ширины полосы H значение относительной погрешности восстановления δi, как правило, было минимальным при KR Tr (а) и сохранения при H