Интерферометр Тваймана, качество волнового фронта которого определяется только ошибками поверхностей его оптических элементов
УДК 535.31
Интерферометр Тваймана, качество волнового фронта которого определяется только ошибками поверхностей его оптических элементов
© 2011 г. В. С. Доладугина, доктор техн. наук
Для интерферометра Тваймана, укомплектованного коллиматорным объективом очень высокого качества и изготовленной из высокооднородного по показателю преломления стекла разделительной пластиной (Δn = 1×10–6), выведено уравнение, позволяющее предсказывать результат интерференции и управлять им в желаемом направлении, если заранее известны величины и знаки ошибок поверхностей интерферометра. Если величины и знаки ошибок удовлетворяют полученному уравнению, волновой фронт интерферометра будет плоским.
Ключевые слова: интерферометр Твайвана, качество волнового фронта.
Коды OCIS: 120.3180.
Поступила в редакцию 23.03.2011.
Для оценки качества стекла по однородности показателя преломления широкое применение получили интерференционные методы его контроля. Как правило, это дорогие методы, требующие как специальной подготовки контролируемых объектов, так и высокой квалификации измерителей.
В СССР для основной номенклатуры оптических стекол каталога [1] были разработаны и внедрены на всех заводах дешевые неинтерференционные методики, обеспечивающие погрешность измерений, сопоставимую с погрешностью интерференционных методов контроля, т. е. (1–2)×10–6.
Эти методики представлены в Государственном [2] и Отраслевом [3] стандартах, в заводской технической документации, опубликованы в ряде работ (см., например, [4]).
Точность неинтерференционной методики была подтверждена при использовании заготовок из оптических стекол [1] диаметром до 700 мм и толщиной до 100 мм при изготовлении крупногабаритных объективов космического назначения.
Однако кроме оптических стекол, приведенных в [1], для различных оптических систем используются и другие материалы. Например, разные марки кварцевых стекол, изготавливаемых при использовании нескольких несовпадающих технологий, разные марки оптических керамик, ситаллы, органические стекла, различные кристаллы, а также могут использо-
ваться вновь создаваемые материалы и новые марки оптических стекол с новыми эксплуатационными свойствами.
Для оценки однородности показателя преломления в перечисленных материалах без интерференционных средств контроля не обойтись. Среди интерферометров для указанных целей часто используется неавтоматизированный интерферометр Тваймана. К достоинствам этого прибора следует отнести двойной проход световой волны через испытуемый объект, что в два раза повышает точность измерений, а к недостаткам – необходимость изготавливать разделительные пластины из высокооднородного по показателю преломления стекла.
Выше уже отмечалось, что существующие в РФ технологии как варки, так и отжига оптических стекол при использовании для контроля однородности показателя преломления неинтерференционных методик обеспечивают изготовление стеклянных пластин из супероднородного стекла.
В настоящей статье рассматривается вопрос о погрешностях и способе их корректировки в интерферометре Тваймана, укомплектованном высококачественным коллиматорным объективом и разделительной пластиной из такого однородного по показателю преломления стекла. В таком интерферометре качество волнового фронта определяется в основном крупно масштабными ошибками поверхностей его оптических элементов, т. е. ошибками поверх-
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
91
ностей двух зеркал и двух поверхностей разделительной пластины.
Расчет влияния ошибок поверхностей оптических элементов интерферометра Тваймана на качество его волнового фронта предпринят с целью получения уравнения, обеспечивающего научно обоснованную организацию процесса обработки поверхностей оптических элементов интерферометра и позволяющего заранее предсказать результат интерференции.
Методика сводится к геометрическому расчету луча, идущего через интерферометр.
Для этого представим, что имеются два интерферометра: один идеальный, т. е. такой, у которого поверхности суть плоскости и интерференционная картина представляет собою систему равноотстоящих друг от друга прямых полос, и реальный интерферометр, у которого наблюдаемая интерференционная картина деформирована вследствие имеющихся отступлений поверхностей от плоскости и наличия неоднородности показателя преломления в разделительной пластине. Для простоты представим себе, что ошибки у всех поверхностей оптических деталей в реальном интерферометре имеют выпуклую форму, т. е., как их принято называть, ошибки в виде “бугра”, а неоднородности показателя преломления в стеклянных делительных пластинах у двух таких интерферометров отсутствуют.
На рис. 1 изображен ход лучей в двух таких интерферометрах. Пунктирные линии относятся к идеальному интерферометру, сплошные – к реальному. Чтобы оценить влияние ошибок поверхностей, нужно найти дополнительную разность хода, которую вносят эти ошибки. Для этого необходимо из результата интерференции реального интерферометра вычесть результат интерференции идеального.
Обратимся к рис. 2 и введем следующие обозначения:
–– I1 и I2 – лучи реального и идеального интерферометров соответственно, идущие к зеркалу 6;
–– II1 и II2 – лучи реального и идеального интерферометров соответственно, идущие к зеркалу 5;
–– δинт – разность хода, которая возникает в результате ошибок поверхностей реального интерферометра;
––а1 = 0,5N1 и а2 = 0,5N2 – ошибки поверхностей делительной пластины без покрытия и с покрытием соответственно; а3 = 0,5N3 и а4 = 0,5N4 – ошибки поверхности зеркал 6 и 5
соответственно, где N1, N2, N3 и N4 – результаты определений ошибок методом пробного стекла;
–– Δ1 и Δ2 – разности хода в нескомпенсированных интерферометрах, соответственно реального и идеального.
Приняв такие обозначения, можно написать, что
δинт = Δ1 – Δ2. В свою очередь Δ1 = L(I1) – L(II1), а Δ2 = L(I2) – – L(II2), где L(I1) – оптическая длина пути луча I1, L(II1) – луча (II1), L(I2) – луча (I2) и L(II2) – луча (II2).
Тогда можно написать, что
δинт = [L(I1) – L(II1)] – [L(I2) –
(1)
– L(II2)] = [L(I1) – L(I2)] – [L(II1) – L(II2)].
Из уравнения следует, что для того чтобы определить влияние ошибок, нужно найти разности оптических длин путей или разности хода между лучами I и лучами II в реальном и идеальном интерферометрах и из первой разности хода вычесть вторую.
При расчете учитываются только те участки, на которых возникает разность хода. Обозначим эти участки следующим образом:
–– δ1 – разность хода, возникшая при входе лучей I1, I2, II1, II2 в интерферометры в результате имеющейся ошибки а1 на первой поверхности разделительной пластины реального интерферометра;
6
3 5
Рис. 1. Схема совмещенных интерферометров: пунктирные линии относятся к идеальному,
сплошные – к реальному интерферометрам.
Пояснения в тексте.
92 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
6
3 5
Рис. 2. Обозначения ошибок поверхностей реального интерферометра, разностей хода, которые возни кают при прохождении лучей через разделительную пластину и при отражении от двух зеркал.
–– δ2 – разность хода, которая образуется при отражении лучей I1 и I2 от вторых поверхностей разделительных пластин реального и идеального интерферометров в результате имеющейся ошибки а2 на 2-й поверхности пластины реального интерферометра;
–– δ3 – разность хода, возникшая от ошибки а1 при выходе лучей I1 и I2 из делительных пластин интерферометров;
–– δ4 – разность хода из-за ошибки а3, которую имеет зеркало 6 реального интерферометра; ошибок δ4 две: одна до отражения от зеркала 6, вторая – после отражения от зеркала 6;
–– δ5 – разность хода от ошибки а1 при входе лучей I1 и I2 в разделительные пластины после отражения от зеркала 6, причем δ5 = δ3;
–– δ6 – разность хода, которая возникает от ошибки а2 при выходе лучей I1 и I2 из делительных пластин после отражения от зеркала 6.
После таких обозначений можно написать, что Δ1 = [L(I1) – L(I2)] = δ1 + δ2 + δ3 + δ4 + δ4 + δ5 + δ6,
но так как δ3 = δ5, то
Δ1 = [L(I1) – L(I2)] = δ1 + δ2 + 2δ3 + 2δ4 + δ6. (2)
Теперь введем обозначения для разностей хода по пути, соответствующему пути лучей II1 и II2.
–– δ1 – разность хода от ошибки а1 при входе лучей II1 и II2 в разделительные пластины интерферометров;
–– δ7 – разность хода от ошибки а2 при выходе лучей II1 и II2 из делительных пластин по направлению к зеркалу 5;
–– δ8 – разность хода от ошибки а4, которую имеет зеркало 5 реального интерферометра; ошибок δ8 две: одна до отражения от зеркала 5, вторая – после отражения от зеркала 5;
–– δ9 – разность хода от ошибки а2 при отражении лучей II1 и II2 от разделительных пластин.
Тогда
Δ2 = [L(II1) – (L(II2)] = δ1 + δ7 + 2δ8 + δ9. (3)
Подставляя (2) и (3) в уравнение (1), получим
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
93
или
δинт = Δ1 – Δ2 = δ1 + δ2 +2δ3 + + 2δ4 + δ6 – δ1 – δ7 – 2δ8 – δ9.
δинт = δ2 + 2δ3 + 2δ4 + δ6 – δ7 – 2δ8 – δ9. (4)
Все разности хода в уравнении (4) были рассчитаны, в том числе и δ1, которая хотя в уравнение (4) не входит, но при расчетах остальных разностей хода от δ2 до δ9 приходилось ссылаться на некоторые уравнения из расчета δ1.
Расчеты для всех разностей хода вследствие их громоздкости не приводятся. Однако чтобы продемонстрировать предложенную методику расчетов, в качестве примеров ограничимся расчетами, например, разностей хода для δ1 и δ2.
Для расчета разности хода δ1 обратимся к рис. 3, где в более крупном масштабе изображен участок оптической схемы, на котором возникает разность хода δ1.
Из рис. 3 видно, что падающий на разделительную пластину 3 луч М′М до точки М идет без разности хода. Попадая в точку М, лежащую на поверхности разделительной пластины реального интерферометра с ошибкой а1, луч М′М преломится и пойдет по направлению МN, которое определяется уравнением sini = ncтsinr, где i = 45° – угол падения, а пст – показатель преломления стекла (примем пст = 1,5). Ход луча М′М для идеального интерферометра отличается тем, что его преломление начнется после того, как он достигнет точки K. Прелом-
ление будет определяться тем же уравнением sini = nстsinr.
Разность хода δ1, которая возникнет в рассматриваемом случае, определится как δ1 = nст МN–MК, где
MN = МКcоs(i – r), a MК = а1/cоsi.
Значит
δ1 = nста1cos(i – r)/cosi – a1/cosi = = a1/cosr (nстcosicosr + nстsinisinr – 1) = = a1/cosi(ncтcosicosr + sin2i – sin2i – cos2i)
или
δ1 = а1(пстcosr – cosi).
(5)
Для определения разности хода δ2 обратимся к рис. 4, на котором в более крупном масштабе изображен участок схемы с ошибкой а2.
Из рис. 4 видно, что δ2 = пст(АБ + БД); БД = БМ + МД, т. е.
δ2 = пст(АБ + БМ + МД), где
АБ = БК – АК, а БК = а2/cоsr и АК = КСsinr,
КС (рис. 4) = К′К (рис. 3), а К′К = РК – РК′
(тоже из рис. 3)
РК = а1tgi и РК′ = a1tgr, т. е. КС = а1(tgi – tgr), откуда АБ = а2/cosr – a1(tgi – tgr)sinr.
Рис. 3. Участок схемы на поверхности (без п окрытия) разделительной пластины, на которой при входе лучей I1 и I2 в разделительную пластину из-за ошибки “а1” возникает разность хода “δ1”.
94
Рис. 4. Участок схемы на поверхности (с покрытием) разделительной пластины, на которой при отражении лучей I1 и I2 из-за ошибки “а2” возникает разность хода “δ2”.
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
Определим БД. БМ = КБ = а2cosr, а МД = МСsinr; теперь МС = КС – КМ,
и приведем это уравнение к виду δинт = 2а1(1,5×0,882 – 0,707) + 2а2×1,5×0,882 +
КМ = 2КО = 2а2tgr.
+ а2/0,882(0,957 + 0,291) – 2а3 +2а4 =
Тогда
= 1,232а1 + 2,646а2 +1,415а2 – 2а3 + 2а4 =
МД = [а1(tgi – tgr) – 2a2tgr]sinr.
= 1,232а1 + 4,061а2 – 2аз + 2а4.
Теперь можно определить
В итоге получаем
δ2 = nст[a2/соѕr – a1(tgi – tgr)sinr + a2/сosr +
δинт ≈ +1,2а1 + 4,1а2 – 2а3 + 2а4. (8)
+ a1(tgi – tgr)sinr – 2a2tgrsinr] = nст(2a2/сosr – – 2a2sin2r/сosr) = nст2а2сosr.
Формула (8) описывает влияние ошибок поверхностей оптических элементов интерферометра, которые имеют выпуклую форму. Если ошибки поверхностей будут вогнутой формы,
В результате получаем
знаки в (8) меняются на обратные. В обобщен-
δ2 = 2a2nстсosr.
(6)
ном виде формула (8) может быть переписана в виде
Выпишем остальные рассчитанные разности
хода:
δ3 = а1(nстсosr – сosi), δ4 = –2a3,
δинт ≈ ±1,2а1 ± 4,1а2 – 2а3 ± 2а4, (9)
где верхние знаки относятся к ошибкам выпуклой формы, нижние – вогнутой. Значения ко-
δ5 = a1(nстсоsr – соsi), δ6 = а2(nстcosr – cosi),
эффициентов в формуле (9) уточняются, если заранее известен показатель преломления nст оптического стекла разделительной пластины
δ7 = a2(nстcоsr – cosi),
для линии “е” спектра ртути. Из формулы (9) следует
δ8 = –2a4, δ9 = –a2/cosr[cos(i – r) + sin(i – r)]. Подставив в уравнение (4) рассчитанные
1) влияние ошибки первой (без отражающего покрытия) поверхности разделительной пластины а1 увеличивается в 1,2 раза, а второй поверхности (с отражающем покрытием) –
р азности хода δ2, δ3, δ4, δ6, δ7, δ8, δ9, получим δинт = 2a2nстcosr +2a1(nстcosr – cosi) – 2a3 +
в 4,1 раза; 2) влияние ошибок зеркал может быть све
дено к нулю, если они одинаковы по величине
+ a2(nстcosr – cosi) – a2(nстcosr – cosi) + 2a4 +
и знаку; 3) чтобы скомпенсировать влияние оши-
+ a2/cosr[cos(i – r) + sin(i – r)],
бок поверхностей разделительной пластины, нужно, чтобы они были разного знака и что-
или δинт = 2а1(nстcosr – cosi) + 2a2nстcosr + (7) + a2/cosr[cos(i – r) + sin(i – r) – 2a3 + 2a4.
бы ошибка а1 была в 4,1/1,2 = 3,4 раза больше ошибки а2;
4) зная ошибки всех элементов оптической схемы, можно заранее предвидеть результат интерференции и управлять им в нужном на-
Подставим в уравнение (7) численные значения правлении.
известных величин
Разумеется, сделанные выводы можно рас-
nстsinr = sini, i = 45°, nст = 1,5, sinr = = 0,707/1,5 = 0,471,
пространить на погрешность реального интерферометра Тваймена до тех пор, пока речь идет о наблюдениях волнового фронта с точностью,
r = 28,099°, (i – r) = 16,901°, cos28,099° = 0,882, cos16,901° = 0,957,
не превышающей 0,1λ. При более высоких точностях начнет сказываться неоднородность даже специально изготовленной резделитель-
sin16,901° = 0,291, cos45° = 0,707
ной пластины.
*****
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
95
Литература
1. Бесцветное оптическое стекло СССР. Каталог / под ред. Г.Т. Петровского. М., 1990. 2. ГОСТ 3514-76 “Стекло оптическое бесцветное. Технические условия”. 3. ОСТ 3-1195-72 “Стекло оптическое. Методы определения волновой аберрации по двойному лучепрелом
лению”. 4. Доладугина В.С. Методика оценки деформации волнового фронта при контроле однородности крупногаба-
ритных заготовок оптических стекол // Оптический журнал. 2003. Т. 70. № 2. С. 64–68.
96 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
Интерферометр Тваймана, качество волнового фронта которого определяется только ошибками поверхностей его оптических элементов
© 2011 г. В. С. Доладугина, доктор техн. наук
Для интерферометра Тваймана, укомплектованного коллиматорным объективом очень высокого качества и изготовленной из высокооднородного по показателю преломления стекла разделительной пластиной (Δn = 1×10–6), выведено уравнение, позволяющее предсказывать результат интерференции и управлять им в желаемом направлении, если заранее известны величины и знаки ошибок поверхностей интерферометра. Если величины и знаки ошибок удовлетворяют полученному уравнению, волновой фронт интерферометра будет плоским.
Ключевые слова: интерферометр Твайвана, качество волнового фронта.
Коды OCIS: 120.3180.
Поступила в редакцию 23.03.2011.
Для оценки качества стекла по однородности показателя преломления широкое применение получили интерференционные методы его контроля. Как правило, это дорогие методы, требующие как специальной подготовки контролируемых объектов, так и высокой квалификации измерителей.
В СССР для основной номенклатуры оптических стекол каталога [1] были разработаны и внедрены на всех заводах дешевые неинтерференционные методики, обеспечивающие погрешность измерений, сопоставимую с погрешностью интерференционных методов контроля, т. е. (1–2)×10–6.
Эти методики представлены в Государственном [2] и Отраслевом [3] стандартах, в заводской технической документации, опубликованы в ряде работ (см., например, [4]).
Точность неинтерференционной методики была подтверждена при использовании заготовок из оптических стекол [1] диаметром до 700 мм и толщиной до 100 мм при изготовлении крупногабаритных объективов космического назначения.
Однако кроме оптических стекол, приведенных в [1], для различных оптических систем используются и другие материалы. Например, разные марки кварцевых стекол, изготавливаемых при использовании нескольких несовпадающих технологий, разные марки оптических керамик, ситаллы, органические стекла, различные кристаллы, а также могут использо-
ваться вновь создаваемые материалы и новые марки оптических стекол с новыми эксплуатационными свойствами.
Для оценки однородности показателя преломления в перечисленных материалах без интерференционных средств контроля не обойтись. Среди интерферометров для указанных целей часто используется неавтоматизированный интерферометр Тваймана. К достоинствам этого прибора следует отнести двойной проход световой волны через испытуемый объект, что в два раза повышает точность измерений, а к недостаткам – необходимость изготавливать разделительные пластины из высокооднородного по показателю преломления стекла.
Выше уже отмечалось, что существующие в РФ технологии как варки, так и отжига оптических стекол при использовании для контроля однородности показателя преломления неинтерференционных методик обеспечивают изготовление стеклянных пластин из супероднородного стекла.
В настоящей статье рассматривается вопрос о погрешностях и способе их корректировки в интерферометре Тваймана, укомплектованном высококачественным коллиматорным объективом и разделительной пластиной из такого однородного по показателю преломления стекла. В таком интерферометре качество волнового фронта определяется в основном крупно масштабными ошибками поверхностей его оптических элементов, т. е. ошибками поверх-
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
91
ностей двух зеркал и двух поверхностей разделительной пластины.
Расчет влияния ошибок поверхностей оптических элементов интерферометра Тваймана на качество его волнового фронта предпринят с целью получения уравнения, обеспечивающего научно обоснованную организацию процесса обработки поверхностей оптических элементов интерферометра и позволяющего заранее предсказать результат интерференции.
Методика сводится к геометрическому расчету луча, идущего через интерферометр.
Для этого представим, что имеются два интерферометра: один идеальный, т. е. такой, у которого поверхности суть плоскости и интерференционная картина представляет собою систему равноотстоящих друг от друга прямых полос, и реальный интерферометр, у которого наблюдаемая интерференционная картина деформирована вследствие имеющихся отступлений поверхностей от плоскости и наличия неоднородности показателя преломления в разделительной пластине. Для простоты представим себе, что ошибки у всех поверхностей оптических деталей в реальном интерферометре имеют выпуклую форму, т. е., как их принято называть, ошибки в виде “бугра”, а неоднородности показателя преломления в стеклянных делительных пластинах у двух таких интерферометров отсутствуют.
На рис. 1 изображен ход лучей в двух таких интерферометрах. Пунктирные линии относятся к идеальному интерферометру, сплошные – к реальному. Чтобы оценить влияние ошибок поверхностей, нужно найти дополнительную разность хода, которую вносят эти ошибки. Для этого необходимо из результата интерференции реального интерферометра вычесть результат интерференции идеального.
Обратимся к рис. 2 и введем следующие обозначения:
–– I1 и I2 – лучи реального и идеального интерферометров соответственно, идущие к зеркалу 6;
–– II1 и II2 – лучи реального и идеального интерферометров соответственно, идущие к зеркалу 5;
–– δинт – разность хода, которая возникает в результате ошибок поверхностей реального интерферометра;
––а1 = 0,5N1 и а2 = 0,5N2 – ошибки поверхностей делительной пластины без покрытия и с покрытием соответственно; а3 = 0,5N3 и а4 = 0,5N4 – ошибки поверхности зеркал 6 и 5
соответственно, где N1, N2, N3 и N4 – результаты определений ошибок методом пробного стекла;
–– Δ1 и Δ2 – разности хода в нескомпенсированных интерферометрах, соответственно реального и идеального.
Приняв такие обозначения, можно написать, что
δинт = Δ1 – Δ2. В свою очередь Δ1 = L(I1) – L(II1), а Δ2 = L(I2) – – L(II2), где L(I1) – оптическая длина пути луча I1, L(II1) – луча (II1), L(I2) – луча (I2) и L(II2) – луча (II2).
Тогда можно написать, что
δинт = [L(I1) – L(II1)] – [L(I2) –
(1)
– L(II2)] = [L(I1) – L(I2)] – [L(II1) – L(II2)].
Из уравнения следует, что для того чтобы определить влияние ошибок, нужно найти разности оптических длин путей или разности хода между лучами I и лучами II в реальном и идеальном интерферометрах и из первой разности хода вычесть вторую.
При расчете учитываются только те участки, на которых возникает разность хода. Обозначим эти участки следующим образом:
–– δ1 – разность хода, возникшая при входе лучей I1, I2, II1, II2 в интерферометры в результате имеющейся ошибки а1 на первой поверхности разделительной пластины реального интерферометра;
6
3 5
Рис. 1. Схема совмещенных интерферометров: пунктирные линии относятся к идеальному,
сплошные – к реальному интерферометрам.
Пояснения в тексте.
92 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011
6
3 5
Рис. 2. Обозначения ошибок поверхностей реального интерферометра, разностей хода, которые возни кают при прохождении лучей через разделительную пластину и при отражении от двух зеркал.
–– δ2 – разность хода, которая образуется при отражении лучей I1 и I2 от вторых поверхностей разделительных пластин реального и идеального интерферометров в результате имеющейся ошибки а2 на 2-й поверхности пластины реального интерферометра;
–– δ3 – разность хода, возникшая от ошибки а1 при выходе лучей I1 и I2 из делительных пластин интерферометров;
–– δ4 – разность хода из-за ошибки а3, которую имеет зеркало 6 реального интерферометра; ошибок δ4 две: одна до отражения от зеркала 6, вторая – после отражения от зеркала 6;
–– δ5 – разность хода от ошибки а1 при входе лучей I1 и I2 в разделительные пластины после отражения от зеркала 6, причем δ5 = δ3;
–– δ6 – разность хода, которая возникает от ошибки а2 при выходе лучей I1 и I2 из делительных пластин после отражения от зеркала 6.
После таких обозначений можно написать, что Δ1 = [L(I1) – L(I2)] = δ1 + δ2 + δ3 + δ4 + δ4 + δ5 + δ6,
но так как δ3 = δ5, то
Δ1 = [L(I1) – L(I2)] = δ1 + δ2 + 2δ3 + 2δ4 + δ6. (2)
Теперь введем обозначения для разностей хода по пути, соответствующему пути лучей II1 и II2.
–– δ1 – разность хода от ошибки а1 при входе лучей II1 и II2 в разделительные пластины интерферометров;
–– δ7 – разность хода от ошибки а2 при выходе лучей II1 и II2 из делительных пластин по направлению к зеркалу 5;
–– δ8 – разность хода от ошибки а4, которую имеет зеркало 5 реального интерферометра; ошибок δ8 две: одна до отражения от зеркала 5, вторая – после отражения от зеркала 5;
–– δ9 – разность хода от ошибки а2 при отражении лучей II1 и II2 от разделительных пластин.
Тогда
Δ2 = [L(II1) – (L(II2)] = δ1 + δ7 + 2δ8 + δ9. (3)
Подставляя (2) и (3) в уравнение (1), получим
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
93
или
δинт = Δ1 – Δ2 = δ1 + δ2 +2δ3 + + 2δ4 + δ6 – δ1 – δ7 – 2δ8 – δ9.
δинт = δ2 + 2δ3 + 2δ4 + δ6 – δ7 – 2δ8 – δ9. (4)
Все разности хода в уравнении (4) были рассчитаны, в том числе и δ1, которая хотя в уравнение (4) не входит, но при расчетах остальных разностей хода от δ2 до δ9 приходилось ссылаться на некоторые уравнения из расчета δ1.
Расчеты для всех разностей хода вследствие их громоздкости не приводятся. Однако чтобы продемонстрировать предложенную методику расчетов, в качестве примеров ограничимся расчетами, например, разностей хода для δ1 и δ2.
Для расчета разности хода δ1 обратимся к рис. 3, где в более крупном масштабе изображен участок оптической схемы, на котором возникает разность хода δ1.
Из рис. 3 видно, что падающий на разделительную пластину 3 луч М′М до точки М идет без разности хода. Попадая в точку М, лежащую на поверхности разделительной пластины реального интерферометра с ошибкой а1, луч М′М преломится и пойдет по направлению МN, которое определяется уравнением sini = ncтsinr, где i = 45° – угол падения, а пст – показатель преломления стекла (примем пст = 1,5). Ход луча М′М для идеального интерферометра отличается тем, что его преломление начнется после того, как он достигнет точки K. Прелом-
ление будет определяться тем же уравнением sini = nстsinr.
Разность хода δ1, которая возникнет в рассматриваемом случае, определится как δ1 = nст МN–MК, где
MN = МКcоs(i – r), a MК = а1/cоsi.
Значит
δ1 = nста1cos(i – r)/cosi – a1/cosi = = a1/cosr (nстcosicosr + nстsinisinr – 1) = = a1/cosi(ncтcosicosr + sin2i – sin2i – cos2i)
или
δ1 = а1(пстcosr – cosi).
(5)
Для определения разности хода δ2 обратимся к рис. 4, на котором в более крупном масштабе изображен участок схемы с ошибкой а2.
Из рис. 4 видно, что δ2 = пст(АБ + БД); БД = БМ + МД, т. е.
δ2 = пст(АБ + БМ + МД), где
АБ = БК – АК, а БК = а2/cоsr и АК = КСsinr,
КС (рис. 4) = К′К (рис. 3), а К′К = РК – РК′
(тоже из рис. 3)
РК = а1tgi и РК′ = a1tgr, т. е. КС = а1(tgi – tgr), откуда АБ = а2/cosr – a1(tgi – tgr)sinr.
Рис. 3. Участок схемы на поверхности (без п окрытия) разделительной пластины, на которой при входе лучей I1 и I2 в разделительную пластину из-за ошибки “а1” возникает разность хода “δ1”.
94
Рис. 4. Участок схемы на поверхности (с покрытием) разделительной пластины, на которой при отражении лучей I1 и I2 из-за ошибки “а2” возникает разность хода “δ2”.
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
Определим БД. БМ = КБ = а2cosr, а МД = МСsinr; теперь МС = КС – КМ,
и приведем это уравнение к виду δинт = 2а1(1,5×0,882 – 0,707) + 2а2×1,5×0,882 +
КМ = 2КО = 2а2tgr.
+ а2/0,882(0,957 + 0,291) – 2а3 +2а4 =
Тогда
= 1,232а1 + 2,646а2 +1,415а2 – 2а3 + 2а4 =
МД = [а1(tgi – tgr) – 2a2tgr]sinr.
= 1,232а1 + 4,061а2 – 2аз + 2а4.
Теперь можно определить
В итоге получаем
δ2 = nст[a2/соѕr – a1(tgi – tgr)sinr + a2/сosr +
δинт ≈ +1,2а1 + 4,1а2 – 2а3 + 2а4. (8)
+ a1(tgi – tgr)sinr – 2a2tgrsinr] = nст(2a2/сosr – – 2a2sin2r/сosr) = nст2а2сosr.
Формула (8) описывает влияние ошибок поверхностей оптических элементов интерферометра, которые имеют выпуклую форму. Если ошибки поверхностей будут вогнутой формы,
В результате получаем
знаки в (8) меняются на обратные. В обобщен-
δ2 = 2a2nстсosr.
(6)
ном виде формула (8) может быть переписана в виде
Выпишем остальные рассчитанные разности
хода:
δ3 = а1(nстсosr – сosi), δ4 = –2a3,
δинт ≈ ±1,2а1 ± 4,1а2 – 2а3 ± 2а4, (9)
где верхние знаки относятся к ошибкам выпуклой формы, нижние – вогнутой. Значения ко-
δ5 = a1(nстсоsr – соsi), δ6 = а2(nстcosr – cosi),
эффициентов в формуле (9) уточняются, если заранее известен показатель преломления nст оптического стекла разделительной пластины
δ7 = a2(nстcоsr – cosi),
для линии “е” спектра ртути. Из формулы (9) следует
δ8 = –2a4, δ9 = –a2/cosr[cos(i – r) + sin(i – r)]. Подставив в уравнение (4) рассчитанные
1) влияние ошибки первой (без отражающего покрытия) поверхности разделительной пластины а1 увеличивается в 1,2 раза, а второй поверхности (с отражающем покрытием) –
р азности хода δ2, δ3, δ4, δ6, δ7, δ8, δ9, получим δинт = 2a2nстcosr +2a1(nстcosr – cosi) – 2a3 +
в 4,1 раза; 2) влияние ошибок зеркал может быть све
дено к нулю, если они одинаковы по величине
+ a2(nстcosr – cosi) – a2(nстcosr – cosi) + 2a4 +
и знаку; 3) чтобы скомпенсировать влияние оши-
+ a2/cosr[cos(i – r) + sin(i – r)],
бок поверхностей разделительной пластины, нужно, чтобы они были разного знака и что-
или δинт = 2а1(nстcosr – cosi) + 2a2nстcosr + (7) + a2/cosr[cos(i – r) + sin(i – r) – 2a3 + 2a4.
бы ошибка а1 была в 4,1/1,2 = 3,4 раза больше ошибки а2;
4) зная ошибки всех элементов оптической схемы, можно заранее предвидеть результат интерференции и управлять им в нужном на-
Подставим в уравнение (7) численные значения правлении.
известных величин
Разумеется, сделанные выводы можно рас-
nстsinr = sini, i = 45°, nст = 1,5, sinr = = 0,707/1,5 = 0,471,
пространить на погрешность реального интерферометра Тваймена до тех пор, пока речь идет о наблюдениях волнового фронта с точностью,
r = 28,099°, (i – r) = 16,901°, cos28,099° = 0,882, cos16,901° = 0,957,
не превышающей 0,1λ. При более высоких точностях начнет сказываться неоднородность даже специально изготовленной резделитель-
sin16,901° = 0,291, cos45° = 0,707
ной пластины.
*****
“Оптический журнал”, 78, 9, 2011
95
Литература
1. Бесцветное оптическое стекло СССР. Каталог / под ред. Г.Т. Петровского. М., 1990. 2. ГОСТ 3514-76 “Стекло оптическое бесцветное. Технические условия”. 3. ОСТ 3-1195-72 “Стекло оптическое. Методы определения волновой аберрации по двойному лучепрелом
лению”. 4. Доладугина В.С. Методика оценки деформации волнового фронта при контроле однородности крупногаба-
ритных заготовок оптических стекол // Оптический журнал. 2003. Т. 70. № 2. С. 64–68.
96 “Оптический журнал”, 78, 9, 2011