Определение топографии двулучепреломления в кристаллах флюорита и исследование его влияния на качество изображения проекционных фотолитографических систем
РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 681.7.055.4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ топографии двулучепреломления в кристаллах флюорита и исследование его влияния на качество изображения проекционных фотолитографических систем
© 2011 г.
М. А. Ган, доктор техн. наук; Е. А. Никулина, магистр
НПК “Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова”, Санкт-Петербург
Е-mail: mikhail.gan@gmail.com; katerina.nikulina@gmail.com
Рассмотрена установка для измерения характеристик остаточного двулучепреломления крупногабаритных оптических кристаллов флюорита методом скрещенных поляроидов. Приведена математическая модель предложенного метода. Анализируется функция рассеяния точки, описывающая влияние двулучепреломления на качество изображения.
Ключевые слова: двулучепреломление, поляризация, аберрации, функция рассеяния точки.
Коды OCIS: 110.2960, 110.3000, 220.4840
Поступила в редакцию 09.03.2011
Оптическое стекло, а также кубические кристаллы, такие как флюорит, являются изотропными веществами. В процессе изготовления заготовок за счет ряда технологических факторов, таких, например, как неравномерное охлаждение после нагрева или механическая обработка, возникает анизотропия материала, вызывающая появление двулучепреломления при прохождении света через среду [1].
Остаточное двулучепреломление характеризуется величиной разности хода между обыкновенным и необыкновенным лучами, которая определяется разностью соответствующих показателей преломления и ориентацией, определяющей направление главной оси в данной т очке.
Высокий уровень остаточного двулучепреломления материала оптической детали вызывает появление наведенных аберраций световых лучей, которые особенно нежелательны в системах формирования изображений.
Количественная оценка двулучепреломления является важным этапом производственного контроля. Однако существующие и доступные методы контроля не удовлетворяют требованиям, которые предъявляются в нанофотолитографии. В частности, при контро-
ле з аготовок, используемых для изготовления линз проекционного фотолитографического объектива, возникает необходимость оценки двулучепреломления крупногабаритных деталей с высоким разрешением. Контроль двулучепреломления традиционно производится в одной или нескольких точках образца, либо проводится усреднение [2]. Данные о распределении двулучепреломления по объему заготовки могут помочь анализировать остаточные напряжения в материале и выбрать для изготовления оптических деталей области, имеющие приемлемый уровень двулучепре ломления.
Для исследования топографии двулучепреломления крупногабаритных заготовок с высоким разрешением была разработана установка, схема которой показана на рис. 1.
43
56
21 Рис. 1. Схема установки. Пояснение в тексте.
20 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
Пучок лучей от источника 1, находящегося вблизи центра кривизны сферического зеркала 4, проходит через поляризатор 2 и стано
вится плоско поляризованным. Проходя через исследуемый образец 3, установленный вплотную к сферическому зеркалу 4, свет преобра зуется в эллиптически поляризованный. При-
чем параметры эллиптичности будут зависеть от угла поворота поляризатора 2, а также от
в еличины и ориентации остаточного двулучепреломления в образце 3. Далее излучение проходит через анализатор 5 и регистрируется фотокамерой. Объектив фотокамеры 6 сфоку-
сирован на образец, а сама фотокамера распо-
лагается в плоскости, сопряженной с источни-
ком света относительно зеркала. Поляризатор и анализатор закреплены во вращающихся оправах.
Для определения величины угла двулуче-
преломления фиксируется серия снимков при
различных углах поворота поляризатора и анализатора. Анализируя полученные снимки независимо для каждой точки образца, получают зависимость интенсивности от углов разворота
поляризатора и анализатора, а также от вели-
чины и угла двулучепреломления. Зная вели-
чину разворота поляризатора и анализатора, можно вычислить характеристики двулучепреломления.
Обратимся к математической модели дан
ного метода. Интенсивность излучения, по
падающего на один пиксел цифровой фото камеры
I(θ A,
θp
)
=
I0 2
ççæèçcos2
(θ
A
-
θp
)
-
-
sin
2(ψ
-
θ
p
)
sin
2(ψ
-
θ
A
)
sin2
δ 2
÷÷ö÷ø,
(1)
где I0 – интенсивность источника света, δ – разность фаз между обыкновенным и необык-
новенным лучами, ψ – угол ориентации главной оси исследуемой пластины, θр и θA – углы разворота поляризатора и анализатора относительно вертикальной оси [3].
При скрещенном положении поляризатора и анализатора (θр = θ, θA = θ + π/2) зависимость интенсивности от угла их поворота имеет вид
I(θ) = A(1+ cos [4(Ψ - θ)])/2,
(2)
где
A
=
I0 2
sin2
èçççæ 2δ ÷÷ø÷ö
– амплитуда функции.
Таким образом, при полном повороте поля-
ризаторов от 0 до 2π интенсивность будет 4 раза
проходить через минимальное и максимальное
значения. Амплитуда функции характеризует ся разностью фаз между обыкновенным и не обыкновенным лучами, а также интенсивностью источника I0. Если интенсивность источн ика известна заранее, можно вычислить разность фаз δ, а следовательно, и разность хода ∆
δ = 2arcsinççæççè
A I0
÷÷öø÷÷.
(3)
Углы разворота поляризаторов, при кото-
рых функция I(θ) максимальна, соответствуют
углу ориентации главной оси пластины ψ, который можно определить только с крат-
ностью π/4. Для получения фазы и амплитуды функции
I(θ), полученной в результате измерений, мож-
но воспользоваться разложением функции в
ряд Фурье. Поскольку функция I(θ) определена
на интервале (0; 2π), для разложения функции в ряд можно использовать формулы Эйлера–
Фурье. При разложении в ряд Эйлера–Фурье,
аппроксимированная функция будет иметь вид
I(θ) = a0 + a4cos4θ + b4sin4θ,
(4)
где a0, a4, b4 – соответствующие коэффициенты ряда Фурье.
Все члены разложения, кроме a0, a4, b4, можно отбросить, так как из вида аппроксими-
руемой функции (2) известно, что период рас-
сматриваемой гармонической функции равен
π/2. Сопоставляя выражения (2) и (4), ампли
туду и фазу искомой функции можно вы-
числить следующим образом
A = 2 a42 + b42 , ψ = (arctg(b4/a4))/4. (5)
Для определения величины двулучепре ломления, как следует из формулы (3), необходимо знать и величину модуляции интенсив ности источника. Ни одна фотокамера не обладает д остаточным диапазоном чувствительности, который необходим для того, чтобы в одном и том же режиме получать снимки распределения интенсивности при параллельном и скрещенном положениях поляризатора и анализатора. Следовательно, напрямую измерить величину модуляции интенсивности источника в описанной схеме невозможно.
Таким образом, мы можем измерять интенсивность света только при углах поворота поляризатора по отношению к анализатору близких к 90°. В работе для этих целей мы использовали камеру типа Canon E60.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
21
(а) (б) (в)
Рис. 2. Распределение волновых аберраций по зрачку (СКО составило 0,174) (а); карта распределения двулучепреломления (0–4 нм/см), размер каждого крестика соответствует величине двулучепрелом-
ления в данной точке, а его поворот – углу (б); функция рассеяния точки (центральный максимум
0,697) (в).
Зависимость интенсивности от угла поворота без учета двулучепреломления в образце представляется как
I(θ) = Iô + I0 cos2 (θ- θ0) =
=
Iô
+
I0 2
(1
-
cos2(θ
-
θ0
)),
(6)
где θ – угол между осями поляризатора и анализатора, θ0 – угол минимальной интенсив ности, Iф – фоновая интенсивность, I0 – интенсивность источника света.
Для определения I0 проведем серию изме рений с малыми углами поворота, затем аппрок-
симируем полученные данные. Минимум полученной функции определяет фоновую интен сивность и угол, при котором интенсивность
минимальна.
I0
=
2(I(θ) - Iô ) 1- cos(2(θ0 - θ))
.
(7)
Измерив описанным способом характеристики двулучепреломления образца, можно оценить его влияние на качество изображения,
рассчитав функцию рассеяния точки (ФРТ).
Учитывая распределение оптической раз-
ности хода между обыкновенным и необыкновенным лучом по зрачку δ(x, y) и распределение ориентации главных осей ψ(x, y), м атрица Джонса [4] зрачковой функции при нимает вид
P
=
êêéë
P11 P21
P12 P22
ùúúû
,
(8)
где
P11 =[cos(δ/2) + isin(δ/2)cos2ψ]P0, P22 =[cos(δ/2) - isin(δ/2)cos2ψ]P0,
P12 = P21 = isin(δ/2)cos2ψP0,
P0 = aexp(ikW).
Здесь а – распределение пропускания по зрачку, W – распределение волновых аберраций [5]. Физический смысл зрачковых функций, входящих в матрицу Джонса, следующий: P11 – соответствует ФРТ, формируемой оптической системой, расположенной между скрещенными анализатором и поляризатором, а P22 – при повороте анализатора и поляризатора на 90°, P12 – соответствует оптической системе, расположенной между скрещенными анализатором и поляризатором. При неполяризованном освещении объекта после соответствующей перегруппировки членов легко получить ФРТ в виде некогерентной суперпозиции ФРТ, сформированных зрачковыми функциями
P1 = cos(δ/2)P0,
P2 = sin(δ/2)cos2ψP0,
(9)
P3 = sin(δ/2)sin2ψP0.
Предложенная методика реализована в виде программного комплекса, который обслужи-
22 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
вает управление описанной установкой, обрабатывает измеренные данные и рассчитывает ФРТ по полученным распределениям, а также позволяет генерировать изображения, полу чаемые в измерительной схеме при заданных распределениях величины и угла двулучепреломления.
В качестве примера рассмотрим результат исследования образца флюорита диаметром 195 мм. Образец был забракован для примене-
ния в объективе из-за своей неоднородности, но, при этом, наглядно показал влияние двулучепреломления. На рис. 2а приведено распределение волновых аберраций, на рис. 2б представлена измеренная карта распределения двулучепреломления (величина которого достигала 4 нм/см), полученная ФРТ с учетом этих двух факторов показана на рис. 2в. Центральный максимум ФРТ без учета двулучепреломления составил 0,731, с учетом – 0,697.
* * * * *
Литература
1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики // М.: Наука, 1973. 720 с. 2. Шубников А.В. Оптическая кристаллография // М.: Изд-во АН СССР, 1950. 237 с. 3. Шерклифф У. Поляризованный свет // М.: Мир, 1965. 163 с. 4. Аззам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет // М.: Мир, 1981. 39 с. 5. Ган М.А., Устинов С.И. Моделирование на ЭВМ двумерных изображений тест-объектов с учетом реальных
аберраций оптических систем // Труды ГОИ. 1982. Т. 51. В. 185. 28 с.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
23
УДК 681.7.055.4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ топографии двулучепреломления в кристаллах флюорита и исследование его влияния на качество изображения проекционных фотолитографических систем
© 2011 г.
М. А. Ган, доктор техн. наук; Е. А. Никулина, магистр
НПК “Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова”, Санкт-Петербург
Е-mail: mikhail.gan@gmail.com; katerina.nikulina@gmail.com
Рассмотрена установка для измерения характеристик остаточного двулучепреломления крупногабаритных оптических кристаллов флюорита методом скрещенных поляроидов. Приведена математическая модель предложенного метода. Анализируется функция рассеяния точки, описывающая влияние двулучепреломления на качество изображения.
Ключевые слова: двулучепреломление, поляризация, аберрации, функция рассеяния точки.
Коды OCIS: 110.2960, 110.3000, 220.4840
Поступила в редакцию 09.03.2011
Оптическое стекло, а также кубические кристаллы, такие как флюорит, являются изотропными веществами. В процессе изготовления заготовок за счет ряда технологических факторов, таких, например, как неравномерное охлаждение после нагрева или механическая обработка, возникает анизотропия материала, вызывающая появление двулучепреломления при прохождении света через среду [1].
Остаточное двулучепреломление характеризуется величиной разности хода между обыкновенным и необыкновенным лучами, которая определяется разностью соответствующих показателей преломления и ориентацией, определяющей направление главной оси в данной т очке.
Высокий уровень остаточного двулучепреломления материала оптической детали вызывает появление наведенных аберраций световых лучей, которые особенно нежелательны в системах формирования изображений.
Количественная оценка двулучепреломления является важным этапом производственного контроля. Однако существующие и доступные методы контроля не удовлетворяют требованиям, которые предъявляются в нанофотолитографии. В частности, при контро-
ле з аготовок, используемых для изготовления линз проекционного фотолитографического объектива, возникает необходимость оценки двулучепреломления крупногабаритных деталей с высоким разрешением. Контроль двулучепреломления традиционно производится в одной или нескольких точках образца, либо проводится усреднение [2]. Данные о распределении двулучепреломления по объему заготовки могут помочь анализировать остаточные напряжения в материале и выбрать для изготовления оптических деталей области, имеющие приемлемый уровень двулучепре ломления.
Для исследования топографии двулучепреломления крупногабаритных заготовок с высоким разрешением была разработана установка, схема которой показана на рис. 1.
43
56
21 Рис. 1. Схема установки. Пояснение в тексте.
20 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
Пучок лучей от источника 1, находящегося вблизи центра кривизны сферического зеркала 4, проходит через поляризатор 2 и стано
вится плоско поляризованным. Проходя через исследуемый образец 3, установленный вплотную к сферическому зеркалу 4, свет преобра зуется в эллиптически поляризованный. При-
чем параметры эллиптичности будут зависеть от угла поворота поляризатора 2, а также от
в еличины и ориентации остаточного двулучепреломления в образце 3. Далее излучение проходит через анализатор 5 и регистрируется фотокамерой. Объектив фотокамеры 6 сфоку-
сирован на образец, а сама фотокамера распо-
лагается в плоскости, сопряженной с источни-
ком света относительно зеркала. Поляризатор и анализатор закреплены во вращающихся оправах.
Для определения величины угла двулуче-
преломления фиксируется серия снимков при
различных углах поворота поляризатора и анализатора. Анализируя полученные снимки независимо для каждой точки образца, получают зависимость интенсивности от углов разворота
поляризатора и анализатора, а также от вели-
чины и угла двулучепреломления. Зная вели-
чину разворота поляризатора и анализатора, можно вычислить характеристики двулучепреломления.
Обратимся к математической модели дан
ного метода. Интенсивность излучения, по
падающего на один пиксел цифровой фото камеры
I(θ A,
θp
)
=
I0 2
ççæèçcos2
(θ
A
-
θp
)
-
-
sin
2(ψ
-
θ
p
)
sin
2(ψ
-
θ
A
)
sin2
δ 2
÷÷ö÷ø,
(1)
где I0 – интенсивность источника света, δ – разность фаз между обыкновенным и необык-
новенным лучами, ψ – угол ориентации главной оси исследуемой пластины, θр и θA – углы разворота поляризатора и анализатора относительно вертикальной оси [3].
При скрещенном положении поляризатора и анализатора (θр = θ, θA = θ + π/2) зависимость интенсивности от угла их поворота имеет вид
I(θ) = A(1+ cos [4(Ψ - θ)])/2,
(2)
где
A
=
I0 2
sin2
èçççæ 2δ ÷÷ø÷ö
– амплитуда функции.
Таким образом, при полном повороте поля-
ризаторов от 0 до 2π интенсивность будет 4 раза
проходить через минимальное и максимальное
значения. Амплитуда функции характеризует ся разностью фаз между обыкновенным и не обыкновенным лучами, а также интенсивностью источника I0. Если интенсивность источн ика известна заранее, можно вычислить разность фаз δ, а следовательно, и разность хода ∆
δ = 2arcsinççæççè
A I0
÷÷öø÷÷.
(3)
Углы разворота поляризаторов, при кото-
рых функция I(θ) максимальна, соответствуют
углу ориентации главной оси пластины ψ, который можно определить только с крат-
ностью π/4. Для получения фазы и амплитуды функции
I(θ), полученной в результате измерений, мож-
но воспользоваться разложением функции в
ряд Фурье. Поскольку функция I(θ) определена
на интервале (0; 2π), для разложения функции в ряд можно использовать формулы Эйлера–
Фурье. При разложении в ряд Эйлера–Фурье,
аппроксимированная функция будет иметь вид
I(θ) = a0 + a4cos4θ + b4sin4θ,
(4)
где a0, a4, b4 – соответствующие коэффициенты ряда Фурье.
Все члены разложения, кроме a0, a4, b4, можно отбросить, так как из вида аппроксими-
руемой функции (2) известно, что период рас-
сматриваемой гармонической функции равен
π/2. Сопоставляя выражения (2) и (4), ампли
туду и фазу искомой функции можно вы-
числить следующим образом
A = 2 a42 + b42 , ψ = (arctg(b4/a4))/4. (5)
Для определения величины двулучепре ломления, как следует из формулы (3), необходимо знать и величину модуляции интенсив ности источника. Ни одна фотокамера не обладает д остаточным диапазоном чувствительности, который необходим для того, чтобы в одном и том же режиме получать снимки распределения интенсивности при параллельном и скрещенном положениях поляризатора и анализатора. Следовательно, напрямую измерить величину модуляции интенсивности источника в описанной схеме невозможно.
Таким образом, мы можем измерять интенсивность света только при углах поворота поляризатора по отношению к анализатору близких к 90°. В работе для этих целей мы использовали камеру типа Canon E60.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
21
(а) (б) (в)
Рис. 2. Распределение волновых аберраций по зрачку (СКО составило 0,174) (а); карта распределения двулучепреломления (0–4 нм/см), размер каждого крестика соответствует величине двулучепрелом-
ления в данной точке, а его поворот – углу (б); функция рассеяния точки (центральный максимум
0,697) (в).
Зависимость интенсивности от угла поворота без учета двулучепреломления в образце представляется как
I(θ) = Iô + I0 cos2 (θ- θ0) =
=
Iô
+
I0 2
(1
-
cos2(θ
-
θ0
)),
(6)
где θ – угол между осями поляризатора и анализатора, θ0 – угол минимальной интенсив ности, Iф – фоновая интенсивность, I0 – интенсивность источника света.
Для определения I0 проведем серию изме рений с малыми углами поворота, затем аппрок-
симируем полученные данные. Минимум полученной функции определяет фоновую интен сивность и угол, при котором интенсивность
минимальна.
I0
=
2(I(θ) - Iô ) 1- cos(2(θ0 - θ))
.
(7)
Измерив описанным способом характеристики двулучепреломления образца, можно оценить его влияние на качество изображения,
рассчитав функцию рассеяния точки (ФРТ).
Учитывая распределение оптической раз-
ности хода между обыкновенным и необыкновенным лучом по зрачку δ(x, y) и распределение ориентации главных осей ψ(x, y), м атрица Джонса [4] зрачковой функции при нимает вид
P
=
êêéë
P11 P21
P12 P22
ùúúû
,
(8)
где
P11 =[cos(δ/2) + isin(δ/2)cos2ψ]P0, P22 =[cos(δ/2) - isin(δ/2)cos2ψ]P0,
P12 = P21 = isin(δ/2)cos2ψP0,
P0 = aexp(ikW).
Здесь а – распределение пропускания по зрачку, W – распределение волновых аберраций [5]. Физический смысл зрачковых функций, входящих в матрицу Джонса, следующий: P11 – соответствует ФРТ, формируемой оптической системой, расположенной между скрещенными анализатором и поляризатором, а P22 – при повороте анализатора и поляризатора на 90°, P12 – соответствует оптической системе, расположенной между скрещенными анализатором и поляризатором. При неполяризованном освещении объекта после соответствующей перегруппировки членов легко получить ФРТ в виде некогерентной суперпозиции ФРТ, сформированных зрачковыми функциями
P1 = cos(δ/2)P0,
P2 = sin(δ/2)cos2ψP0,
(9)
P3 = sin(δ/2)sin2ψP0.
Предложенная методика реализована в виде программного комплекса, который обслужи-
22 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
вает управление описанной установкой, обрабатывает измеренные данные и рассчитывает ФРТ по полученным распределениям, а также позволяет генерировать изображения, полу чаемые в измерительной схеме при заданных распределениях величины и угла двулучепреломления.
В качестве примера рассмотрим результат исследования образца флюорита диаметром 195 мм. Образец был забракован для примене-
ния в объективе из-за своей неоднородности, но, при этом, наглядно показал влияние двулучепреломления. На рис. 2а приведено распределение волновых аберраций, на рис. 2б представлена измеренная карта распределения двулучепреломления (величина которого достигала 4 нм/см), полученная ФРТ с учетом этих двух факторов показана на рис. 2в. Центральный максимум ФРТ без учета двулучепреломления составил 0,731, с учетом – 0,697.
* * * * *
Литература
1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики // М.: Наука, 1973. 720 с. 2. Шубников А.В. Оптическая кристаллография // М.: Изд-во АН СССР, 1950. 237 с. 3. Шерклифф У. Поляризованный свет // М.: Мир, 1965. 163 с. 4. Аззам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет // М.: Мир, 1981. 39 с. 5. Ган М.А., Устинов С.И. Моделирование на ЭВМ двумерных изображений тест-объектов с учетом реальных
аберраций оптических систем // Труды ГОИ. 1982. Т. 51. В. 185. 28 с.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
23