Линзакон: непараксиальные эффекты
УДК 535.42 ЛИНЗАКОН: НЕПАРАКСИАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ
© 2011 г. С. Н. Хонина*,**, доктор физ.-мат. наук, профессор; Н. Л. Казанский*,**, доктор физ.-мат. наук, профессор; А. В. Устинов*; С. Г. Волотовский*
** Институт систем обработки изображений РАН, г. Самара
** Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева, ** г. Самара
** Е-mail: khonina@smr.ru, kazansky@smr.ru, andr@smr.ru, sv@smr.ru
В работе с использованием интегрального преобразования Рэлея–Зоммерфельда первого типа и разложения по плоским волнам исследованы непараксиальные явления, возникающие при совмещении оптических элементов (на примере линзакона) даже с низкой числовой апертурой. При использовании в тандеме высокоапертурных оптических элементов также учитывался вклад различных компонент векторного поля. На основе проведенных исследований показано, что в случае радиальной поляризации дополнение линзы аксиконом позволяет существенно усилить вклад продольной составляющей и преодолеть в суммарной интенсивности дифракционный предел альтернативным к кольцевому диафрагмированию способом.
Ключевые слова: линзакон, бинарный аксикон, острая фокусировка, размер ф окального пятна, глубина поля, радиальная поляризация, дифракционный предел.
Коды OCIS: 050.1380, 050.1970, 050.6624
Поступила в редакцию 20.01.2011
Введение
В работе В.П. Коронкевича с соавторами [1] рассмотрена круговая зонная пластинка, фазовая функция которой является суперпозицией сферической и конической поверхностей. Если освещать такой элемент расходящейся сферической волной, то происходит полная или частичная компенсация сферической составляющей. При полной компенсации будет формироваться бесселевый пучок, обычно производимый коническим аксиконом. При частичной компенсации, в зависимости от того, сходящийся или расходящийся сферический фронт добавляется к коническому, формируется либо слаборасходящийся, либо сходящийся бесселевый пучок. Степень расходимости освещающей сферической волны варьировалась в [1] за счет смещения источника излучения из фокальной плоскости ближе или дальше от оптического элемента.
В работе [2] в рамках параксиальной модели был рассмотрен эффект существенного уменьшения размера центрального светового пятна при совмещении собирающей линзы с акси-
коном и освещении их ограниченной плоской волной. Использование тандема из оптических элементов с низкой числовой апертурой при водит к увеличению общей числовой апертуры и возникновению непараксиальных явлений.
Таким образом, для анализа этих явлений требуется более точная, непараксиальная модель. Кроме того, при использовании в линзаконе высокоапертурных оптических элементов необходимо учитывать векторный характер электромагнитного излучения.
В данной работе выполнено сравнительное исследование линзакона с использованием параксиальной, скалярной непараксиальной и векторной непараксиальной моделей на основе интегрального преобразования Рэлея– Зоммерфельда первого типа [3] и разложения по плоским волнам [4]. В первом случае для вычисления интегралов был использован специально разработанный быстрый алгоритм [5], а во втором – для выполнения преобразования Фурье от осесимметричных функций было п рименено преобразование Ханкеля.
Известно, что непараксиальная интегральная теория Рэлея–Зоммерфельда позволяет по-
44 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
лучать корректные результаты на расстоянии всего нескольких длин волн от входной плоскости [6, 7]. В данной работе также рассмотрено действие микролинзакона, состоящего из высокоапертурных оптических элементов, в ближней зоне дифракции при линейной и радиальной поляризации освещающего пучка.
(а)
(б)
Описание линзакона в рамках параксиальной модели
При освещении сферической линзы с фокусным расстоянием f плоским пучком, ограниченным круглой диафрагмой радиуса R, в фокальной плоскости линзы формируется картина Эйри [8], размер центрального свето вого пятна которой определяется выражением
ρlens
=
0,61 NA
λ,
(1)
где λ – длина волны освещающего излучения, а NA – числовая апертура линзы.
Числовую апертуру дифракционных линз можно оценить из выражения
NA
dl
=
sin
êéêëarctg
èçççæ
R f
÷ö÷÷øùúûú
n,
(2)
где n – показатель преломления оптической среды.
С другой стороны, линейный аксикон
τax (r) = exp(-ikα0r ),
(3)
где k = 2π/λ – волновое число, формирует б есселевый пучок [9], радиус центрального пятна которого в свободном пространстве
ρax
=
2,405 kα0
=
0,38 α0
λ,
(4)
где параметр α0 определяет угол сходимости лучей от аксикона к оптической оси и фактически равен числовой апертуре аксикона
NAax = α0.
(5)
Максимальное расстояние сохранения без-
дифракционного распространения сформиро-
ванного бесселевого пучка
zmaxax = R α-0 2 -1.
(6)
Аналогичные результаты можно получить при использовании бинарного аксикона
Рис. 1. Фазовые распределения радиуса R = 20λ для линзы с фокусом f = 20λ (а) и би-
нарного аксикона с α0 = 0,5 (б).
τbin (r) = arg éëJ0(kα0r )ûù,
(7)
где J0(x) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Для достижения минимального дифракци-
онного предела в свободном пространстве пере-
численные выше элементы должны обладать
предельной числовой апертурой.
Однако если рассмотреть тандем из двух
оптических элементов (рис. 1), в частности, та-
кой как линзакон [1], то сформировать фокаль-
ное пятно, близкое к дифракционному пределу,
можно с помощью более “слабой” оптики [2].
В параксиальном приближении комплекс-
ная функция пропускания линзакона имеет
вид
τlx
(r
)
=
exp
êêëéê-ikçæèçççα0r
+
r2 2f
÷÷øö÷÷ûúúúù
(8)
и для описания распространения поля в свободном пространстве может быть использовано преобразование Френеля для осесимметричных функций
F(ρ,
z)
=
k iz
exp(ikz)´
ò´
expæççèçç
ikρ2 2z
÷÷÷ö÷ø
¥
τ(r)
expèæçççç
ikr 2 2z
øö÷÷÷÷J0æççèç
krρ z
ö÷÷ø÷rdr.
0
(9)
Методом стационарной фазы в [2] было получено, что линзакон (8) формирует масштабно уменьшающийся бесселевый пучок, интенсивность которого
Ilx
(ρ,
z)
2π zα0
ççæèç
αf -0fzz÷÷÷øö3
J02ççæèç
kα0f f -z
ρ÷÷ø÷ö
=
= η(z)J02[β(z)ρ].
(10)
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
45
Расстояние самовоспроизведения бесселевого пучка (10)
zmlxax = R
1
(NAlx
)2
-1
£
zmaxax
(11)
будет меньше, чем для аксикона, участвующего в тандеме.
В рамках параксиальной модели можно с читать, что числовые апертуры линзы и аксикона при их совмещении складываются. Тогда числовая апертура линзакона
NAlx = NAdl + NAax.
(12)
Минимальный радиус центрального светово-
го пятна достигается в конце отрезка масштаб-
ного самовоспроизведения
ρmlxin
=
0,38 NAlx
λ£
ρax .
(13)
и в общем случае он будет меньшего размера, чем фокальное пятно, формируемое каждым из элементов тандема по отдельности. Исходя из выражения (12), можно достичь размера ц ентрального светового пятна (13) в 2 раза меньше, чем для одиночного аксикона (4).
Однако в свободном пространстве числовая апертура для распространяющихся волн не может быть больше единицы. Поэтому выражение (12) для среды с показателем преломления n записывается в виде
NAlx = ìïïîïïínN,ANsuAms=umN>And.l + NAax, NAsum £ n, (14)
Микролинзакон в рамках непараксиальной скалярной модели
Рассмотрим микролинзакон радиусом R = = 20λ, составленный из сферической линзы с фокусным расстоянием f = 60λ (NAdl ≈ 0,33) и бинарного аксикона (7) с NAax = α0 = 0,25.
В этом случае для идеальной линзы можно получить фокальное пятно радиусом ρlens ≈ 1,85λ, а для аксикона – центральное световое пятно радиусом ρax ≈ 1,5λ, сохраняющееся на расстоянии до zmaxax ≈ 77λ.
В рамках параксиальной модели линзакон формирует масштабно уменьшающуюся на отрезке самовоспроизведения zmlxax≈ 28λ картину, минимальный размер центрального светового пятна которой должен соответствовать линейному аксикону с увеличенной числовой апертурой (NAlx ≈ 0,58) ρmlxin ≈ 0,65λ.
Параксиальная модель оптической системы, рассмотренной в предыдущем разделе, будет давать неверные результаты вблизи плоскости микролинзакона.
С другой стороны, непараксиальная модель, основанная на теории Рэлея–Зоммерфельда, работает достаточно корректно на очень близких расстояниях − вплоть до нескольких длин волн [6, 7].
Интегральное преобразование Рэлея–Зоммерфельда первого типа [3] в декартовых координатах имеет вид
E(u, v, z) =
òò=
-
z 2π
E0(x,
y)
eikl l2
èçççæik
-
1l ø÷÷÷ö
dxdy,
Σ
(15)
где E0(x, y) – входное поле,
l = (u - x)2 + (v - y)2 + z2 ,
Σ – область входной плоскости, в которой задано входное поле. При вычислении интеграла (15) в данной р аботе был применен быстрый алгоритм, описанный в [5]. Для вычисления поля на очень близких расстояниях можно использовать разложение по плоским волнам [4]
E(u, v, z) =
( )ò ò ò ò=
-
i λ2
¥ -¥
E0(x, y)ïîïïíìïï-¥¥
exp ikz 1- ξ2- η2 ´
´ exp(ik[ξ(u - x) + η(v - y)])dξdηïýïïïþïïüdxdy.
(16)
В случае, когда входное поле может быть представлено в виде радиально-вихревой функции
E0 (x, y) = E0 (r, j) = P(r)exp(imj),
(17)
выражение (16) можно упростить:
E(ρ, θ, z) =
ò ò=
σ0
ik2exp(imθ)
0
çæçççèç
R 0
P(r )Jm (kσr )rdr øö÷÷÷÷÷´
( )´exp ikz 1-σ2 Jm(kσρ)σdσ,
(18)
где R – радиус входного поля, а σ0 £ 1 для р аспространяющихся волн.
В табл. 1 приведены результаты вычислений при следующих параметрах: R = 20λ, f = 60λ, α0 = 0,25, для подинтегральных функций использовали дискретность 20 отсчетов на длину
46 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
Таблица 1. Действие линзакона в рамках непараксиальной скалярной модели
Линза, f = 60l
Аксикон, a0 = 0,25
Линзакон
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
47
волны, а фокальная область радиусом 5λ имела дискретность 10 отсчетов на длину волны. Продольное распределение интенсивности вычислялось в диапазоне z ∈ [1λ, 100λ]. На графиках осевое распределение, полученное в рамках непараксиальной модели, показано сплошной линией для результатов, полученных с помощью выражения (15), и пунктирной − для результатов, полученных с помощью выражения (18).
Результаты численного моделирования в рамках параксиальной модели (9) вполне согласуются с приведенными в предыдущем разделе рассуждениями. При этом корректные результаты получаются уже на расстоянии 30λ от оптического элемента, хотя условие параксиальности выполняется при z >> 28λ. Продольные картины распространения наглядно показывают, как происходит перераспределение энергии на оптической оси.
При использовании непараксиальных моделей (15) и (18) полученные результаты практически совпадают на всей области рассмотрения и близки к предсказанным параксиальной моделью. Но размеры центрального светового пятна для линзакона оказываются больше (ρlmxin ≈ 0,81λ вместо ρlmxin ≈ 0,65λ), а расстояние масштабного самовоспроизведения − несколько меньше (zmlxax ≈ 23λ вместо zmlxax ≈ 28λ).
Высокоапертурный микролинзакон в рамках непараксиальной векторной модели
При увеличении числовых апертур, участвующих в тандеме оптических элементов до предельных значений (NA = 1), параксиальная теория предсказывает уменьшение радиуса центрального пятна до ρmlxin ≈ 0,19λ [2]. Однако при этих параметрах параксиальная модель характеризуется существенными погрешностями. Скалярная непараксиальная модель также будет давать некорректные результаты вблизи оптического элемента, так как в этой области необходимо учитывать векторный характер электромагнитного излучения.
В отличие от скалярного варианта электрическое поле описывается тремя компонентами Ex(x, y, z), Ey(x, y, z), Ez(x, y, z). Интегральная теорема Рэлея–Зоммерфельда первого типа (15) в векторной форме записывается следующим образом [10, 11]
Ex (u, v, z) =
òò=
-
z 2π
E0x(x,
y)
eikl l2
èçççæik
-
1l ÷÷ø÷ö
dxdy,
Σ
Ey (u, v, z) =
òò=
-
z 2π
Σ
E0y(x,
y)
eikl l2
çèçæçik
-
1l ÷÷ø÷ö
dxdy,
(19)
Ez (u, v, z) =
òò=
-
1 2π
éêëE0x (x, y)(u - x) - E0y (x, y)(y -v)ùúû´
Σ
´
eikl l2
ççèçæik
-
1l ÷÷ø÷ödxdy,
где E0x(x, y) и E0y(x, y) – комплексные амплитуды x- и y-компонент входного поля, z-компонента предполагается нулевой за счет выбора системы координат. Вычисление выражений (19) выполнялось с использованием б ыстрого алгоритма, описанного в [5].
На рис. 2 и в табл. 2 приведены результаты вычислений при следующих параметрах: R = 20λ, f = 20λ (NAdl ≈ 0,71), α0 = 0,5 для линейной x-поляризации и радиальной поляризации. В подинтегральных функциях (19) использовалась дискретность в 20 отсчетов на длину волны, а в выходном распределении – 10 отсчетов на длину волны. На рис. 2 показаны продольное и поперечное распределения (радиусом 1,5λ, негатив), формируемые линзаконом для линейной x-поляризации, а в табл. 2 – аналогичные результаты для радиальной поляризации. В табл. 2 показаны поперечные распределения меньшего радиуса – 1,25λ, так как в этом случае картина получается более компактная. На графиках поперечного распределения сплошная линия соответствует суммарной интиеннтсеинвсниовснтоистиEп2р=одEоxль2н+ойEzк2о,мпаопнуеннктытирEнzа2я. –
Как видно из рис. 2 и табл. 2 при острой ф окусировке распределение интенсивности пучка, формируемого линзаконом, сильно зависит от поляризации освещающего поля.
Для линейной поляризации поперечное сечение общей интенсивности пучка перестает быть симметричным из-за существенного вклада продольной составляющей и выглядит с плющенным. При этом по вертикальной оси удается преодолеть дифракционный предел, равный 0,51λ.
Если же освещающее поле имеет радиальную поляризацию, то распределение общей
48 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
Продольная интенсивность
Распределение интенсивности в плоскости z = 4l
Рис. 2. Действие линзакона при линейной Х-поляризации. Таблица 2. Действие линзакона при радиальной поляризации
Продольная интенсивность Поперечная интенсивность в плоскости z = 20l
Поперечная интенсивность в плоскости z = 25l
Поперечная интенсивность в плоскости z = 4l
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
49
интенсивности имеет осевую симметрию и еще меньший размер центрального светового пятна (FWHM = 0,46λ для общей интенсивности). Из табл. 2 следует, что основной вклад в осевую область вносит продольная компонента векторного поля, и уширение размера центрального светового пятна происходит из-за вклада поперечных компонент.
В рамках параксиальной скалярной теории для линзы (NAdl ≈ 0,71) по формуле (1) р адиус фокального пятна ρlens ≈ 0,86λ, однако в векторной непараксиальной модели близкий радиус фокального пятна получается только для продольной компоненты ( ρlzens ≈ 0,7λ, FWHM = 0,62λ), для общей же интенсивности происходит существенное уширение изза вклада поперечных компонент (FWHM = = 1,48λ).
Для аксикона (NAax ≈ 0,5) радиус центрального светового пятна должен быть ρax » 0,76λ и сохраняться по формуле (6) до расстояния zmaxax ≈ 35λ. Из табл. 2 видно, что в рамках более точной модели это расстояние несколько меньше. Предсказанный радиус центрального светового пятна имеет только z-компонента (ρazx ≈ 0,75λ, FWHM = 0,67λ). Общая интенсивность существенно уширена из-за вклада по перечных компонент (FWHM = 1,6λ).
Для линзакона в этом случае (NAlx = = NAdl + NAax > 1) использовать формулу (11) невозможно, а приближенное выражение zmlxax ≈ ≈ R/NAlx ≈ 16λ дает явно завышенную оценку – в табл. 2 это значение примерно в 4 раза меньше. Минимальный размер центрального светового пятна по формуле (13) ρlmxin ≈ 0,38λ, но даже для продольной компоненты он оказывается несколько больше предсказанного: (ρlzx ≈ ≈ 0,44λ, FWHM = 0,41λ). Очень важным является и факт мощного усиления продольной компоненты – как видно из табл. 2, вклад поперечных компонент мал и общая интенсивность практически не изменяется (FWHM = = 0,46λ), позволяя преодолеть дифракционный предел.
В работе [12] было показано, что при острой фокусировке радиально-поляризованного излучения использование узкой кольцевой диафрагмы, пропускающей только переферийные лучи, позволяет максимизировать вклад продольной компоненты в общую интенсивность. Однако в этом случае теряется большая часть энергии освещающего пучка. Заметим, что при использовании линзакона происходит полноапертурное формирование осевого светового
отрезка, состоящего преимущественно из продольной компоненты.
Как видно из табл. 2, высокоапертурный м икролинзакон формирует компактную фокаль ную область, интенсивность в которой даже выше, чем у использованной в тандеме линзы.
Заключение
В работе проведено непараксиальное исследование микролинзаконов, состоящих из низкоапертурных и высокоапертурных оптических элементов.
Тандем из линзы и бинарного аксикона с низкой числовой апертурой приводит к увеличению общей числовой апертуры и возникновению непараксиальных явлений. В работе эти явления численно исследованы на основе применения непараксиального интегрального преобразования Рэлея–Зоммерфельда первого типа и разложения по плоским волнам. Результаты непараксиального моделирования для микроаксикона двумя способами практически совпали даже на расстоянии нескольких длин волн от входной плоскости и были близки к предсказанным параксиальной моделью на удалении примерно на размер входной апертуры. При этом размеры центрального светового пятна для линзакона оказались больше, а расстояние масштабного самовоспроизведения − несколько меньше предсказанных.
При моделировании действия высокоапертурных оптических элементов в линзаконе необходимо учитывать векторный характер электромагнитного излучения. Результаты векторного моделирования показали существенное отличие от предсказаний параксиальной модели, связанное с вкладом различных компонент векторного поля.
В случае радиальной поляризации микролинзакон позволяет существенно усилить только одну (продольную) составляющую и пре одолеть в общей интенсивности дифракционный предел. В частности, при использовании линзы радиусом 20λ с фокусом 20λ и бинарного аксикона с периодом 2λ на расстоянии 4λ от плоскости оптического элемента формируется центральное световое пятно с FWHM = 0,46λ и интенсивностью, превышающей уровень, который получается в фокусе отдельной линзы из тандема.
Таким образом, дополнение линзы аксиконом является полноапертурным и альтернативным к кольцевому диафрагмированию способом уси-
50 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
ления продольной составляющей векторного электрического поля при острой фокусировке радиально-поляризованного излучения.
Работа выполнена при поддержке российскоамериканской программы “Фундаментальные
исследования и высшее образование” (грант CRDF PG080141), грантов РФФИ №№ 10-0700109-а, 10-07-00438-а, 10-07-00553-а и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ № НШ7414.2010.9.
* * * * *
Литература
1. Koronkevich V.P., Mikhaltsova I.A., Churin E.G., and Yurlov Yu.I. Lensacon // Аppl. Opt. 1993. V. 34(25). P. 5761–5772.
2. Хонина С.Н., Волотовский С.Г. Фраксикон – дифракционный оптический элемент с конической фокальной областью // Компьютерная оптика. 2009. Т. 33. № 4. С. 401–411.
3. Born M. and Wolf E. Principles of Optics, 7th ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1999. 952 p.
4. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1979. 384 с.
5. Устинов А.В. Быстрый способ вычисления интеграла Рэлея–Зоммерфельда первого типа // Компьютерная оптика. 2009. Т. 33. № 4. С. 412–419.
6. Totzeck M. Validity of the scalar Kirchhoff and Rayleigh-Sommerfeld diffraction theories in the near field of small phase objects // J. Opt. Soc. Am. A. 1991. V. 8. № 1. P. 27–32.
7. Tsoy V.I., Melnikov L.A. The use of Kirchhoff approach for the calculation of the near field amplitudes of electromagnetic field // Optics Communications. 2005. V. 256. P. 1–9.
8. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику / пер. с англ. М.: Мир, 1970. 364 с.
9. McLeod J.H. The axicon: a new type of optical element // J. Opt. Soc. Am. 1954. 44. P. 592–597.
10. Zhao Z., Duan K., Lu B. Focusing and diffraction by an optical lens and a small circular aperture // Optik. 2006. V. 117. P. 253–256.
11. Ковалев А.А., Котляр В.В. Непараксиальное распространение векторного гауссова оптического вихря с начальной радиальной поляризацией // Компьютерная оптика. 2009. Т. 33. № 3. С. 226–232.
12. Dorn R., Quabis S., Leuchs G. Sharper focus for a radially polarized light beam // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. P. 233901.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
51
© 2011 г. С. Н. Хонина*,**, доктор физ.-мат. наук, профессор; Н. Л. Казанский*,**, доктор физ.-мат. наук, профессор; А. В. Устинов*; С. Г. Волотовский*
** Институт систем обработки изображений РАН, г. Самара
** Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева, ** г. Самара
** Е-mail: khonina@smr.ru, kazansky@smr.ru, andr@smr.ru, sv@smr.ru
В работе с использованием интегрального преобразования Рэлея–Зоммерфельда первого типа и разложения по плоским волнам исследованы непараксиальные явления, возникающие при совмещении оптических элементов (на примере линзакона) даже с низкой числовой апертурой. При использовании в тандеме высокоапертурных оптических элементов также учитывался вклад различных компонент векторного поля. На основе проведенных исследований показано, что в случае радиальной поляризации дополнение линзы аксиконом позволяет существенно усилить вклад продольной составляющей и преодолеть в суммарной интенсивности дифракционный предел альтернативным к кольцевому диафрагмированию способом.
Ключевые слова: линзакон, бинарный аксикон, острая фокусировка, размер ф окального пятна, глубина поля, радиальная поляризация, дифракционный предел.
Коды OCIS: 050.1380, 050.1970, 050.6624
Поступила в редакцию 20.01.2011
Введение
В работе В.П. Коронкевича с соавторами [1] рассмотрена круговая зонная пластинка, фазовая функция которой является суперпозицией сферической и конической поверхностей. Если освещать такой элемент расходящейся сферической волной, то происходит полная или частичная компенсация сферической составляющей. При полной компенсации будет формироваться бесселевый пучок, обычно производимый коническим аксиконом. При частичной компенсации, в зависимости от того, сходящийся или расходящийся сферический фронт добавляется к коническому, формируется либо слаборасходящийся, либо сходящийся бесселевый пучок. Степень расходимости освещающей сферической волны варьировалась в [1] за счет смещения источника излучения из фокальной плоскости ближе или дальше от оптического элемента.
В работе [2] в рамках параксиальной модели был рассмотрен эффект существенного уменьшения размера центрального светового пятна при совмещении собирающей линзы с акси-
коном и освещении их ограниченной плоской волной. Использование тандема из оптических элементов с низкой числовой апертурой при водит к увеличению общей числовой апертуры и возникновению непараксиальных явлений.
Таким образом, для анализа этих явлений требуется более точная, непараксиальная модель. Кроме того, при использовании в линзаконе высокоапертурных оптических элементов необходимо учитывать векторный характер электромагнитного излучения.
В данной работе выполнено сравнительное исследование линзакона с использованием параксиальной, скалярной непараксиальной и векторной непараксиальной моделей на основе интегрального преобразования Рэлея– Зоммерфельда первого типа [3] и разложения по плоским волнам [4]. В первом случае для вычисления интегралов был использован специально разработанный быстрый алгоритм [5], а во втором – для выполнения преобразования Фурье от осесимметричных функций было п рименено преобразование Ханкеля.
Известно, что непараксиальная интегральная теория Рэлея–Зоммерфельда позволяет по-
44 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
лучать корректные результаты на расстоянии всего нескольких длин волн от входной плоскости [6, 7]. В данной работе также рассмотрено действие микролинзакона, состоящего из высокоапертурных оптических элементов, в ближней зоне дифракции при линейной и радиальной поляризации освещающего пучка.
(а)
(б)
Описание линзакона в рамках параксиальной модели
При освещении сферической линзы с фокусным расстоянием f плоским пучком, ограниченным круглой диафрагмой радиуса R, в фокальной плоскости линзы формируется картина Эйри [8], размер центрального свето вого пятна которой определяется выражением
ρlens
=
0,61 NA
λ,
(1)
где λ – длина волны освещающего излучения, а NA – числовая апертура линзы.
Числовую апертуру дифракционных линз можно оценить из выражения
NA
dl
=
sin
êéêëarctg
èçççæ
R f
÷ö÷÷øùúûú
n,
(2)
где n – показатель преломления оптической среды.
С другой стороны, линейный аксикон
τax (r) = exp(-ikα0r ),
(3)
где k = 2π/λ – волновое число, формирует б есселевый пучок [9], радиус центрального пятна которого в свободном пространстве
ρax
=
2,405 kα0
=
0,38 α0
λ,
(4)
где параметр α0 определяет угол сходимости лучей от аксикона к оптической оси и фактически равен числовой апертуре аксикона
NAax = α0.
(5)
Максимальное расстояние сохранения без-
дифракционного распространения сформиро-
ванного бесселевого пучка
zmaxax = R α-0 2 -1.
(6)
Аналогичные результаты можно получить при использовании бинарного аксикона
Рис. 1. Фазовые распределения радиуса R = 20λ для линзы с фокусом f = 20λ (а) и би-
нарного аксикона с α0 = 0,5 (б).
τbin (r) = arg éëJ0(kα0r )ûù,
(7)
где J0(x) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Для достижения минимального дифракци-
онного предела в свободном пространстве пере-
численные выше элементы должны обладать
предельной числовой апертурой.
Однако если рассмотреть тандем из двух
оптических элементов (рис. 1), в частности, та-
кой как линзакон [1], то сформировать фокаль-
ное пятно, близкое к дифракционному пределу,
можно с помощью более “слабой” оптики [2].
В параксиальном приближении комплекс-
ная функция пропускания линзакона имеет
вид
τlx
(r
)
=
exp
êêëéê-ikçæèçççα0r
+
r2 2f
÷÷øö÷÷ûúúúù
(8)
и для описания распространения поля в свободном пространстве может быть использовано преобразование Френеля для осесимметричных функций
F(ρ,
z)
=
k iz
exp(ikz)´
ò´
expæççèçç
ikρ2 2z
÷÷÷ö÷ø
¥
τ(r)
expèæçççç
ikr 2 2z
øö÷÷÷÷J0æççèç
krρ z
ö÷÷ø÷rdr.
0
(9)
Методом стационарной фазы в [2] было получено, что линзакон (8) формирует масштабно уменьшающийся бесселевый пучок, интенсивность которого
Ilx
(ρ,
z)
2π zα0
ççæèç
αf -0fzz÷÷÷øö3
J02ççæèç
kα0f f -z
ρ÷÷ø÷ö
=
= η(z)J02[β(z)ρ].
(10)
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
45
Расстояние самовоспроизведения бесселевого пучка (10)
zmlxax = R
1
(NAlx
)2
-1
£
zmaxax
(11)
будет меньше, чем для аксикона, участвующего в тандеме.
В рамках параксиальной модели можно с читать, что числовые апертуры линзы и аксикона при их совмещении складываются. Тогда числовая апертура линзакона
NAlx = NAdl + NAax.
(12)
Минимальный радиус центрального светово-
го пятна достигается в конце отрезка масштаб-
ного самовоспроизведения
ρmlxin
=
0,38 NAlx
λ£
ρax .
(13)
и в общем случае он будет меньшего размера, чем фокальное пятно, формируемое каждым из элементов тандема по отдельности. Исходя из выражения (12), можно достичь размера ц ентрального светового пятна (13) в 2 раза меньше, чем для одиночного аксикона (4).
Однако в свободном пространстве числовая апертура для распространяющихся волн не может быть больше единицы. Поэтому выражение (12) для среды с показателем преломления n записывается в виде
NAlx = ìïïîïïínN,ANsuAms=umN>And.l + NAax, NAsum £ n, (14)
Микролинзакон в рамках непараксиальной скалярной модели
Рассмотрим микролинзакон радиусом R = = 20λ, составленный из сферической линзы с фокусным расстоянием f = 60λ (NAdl ≈ 0,33) и бинарного аксикона (7) с NAax = α0 = 0,25.
В этом случае для идеальной линзы можно получить фокальное пятно радиусом ρlens ≈ 1,85λ, а для аксикона – центральное световое пятно радиусом ρax ≈ 1,5λ, сохраняющееся на расстоянии до zmaxax ≈ 77λ.
В рамках параксиальной модели линзакон формирует масштабно уменьшающуюся на отрезке самовоспроизведения zmlxax≈ 28λ картину, минимальный размер центрального светового пятна которой должен соответствовать линейному аксикону с увеличенной числовой апертурой (NAlx ≈ 0,58) ρmlxin ≈ 0,65λ.
Параксиальная модель оптической системы, рассмотренной в предыдущем разделе, будет давать неверные результаты вблизи плоскости микролинзакона.
С другой стороны, непараксиальная модель, основанная на теории Рэлея–Зоммерфельда, работает достаточно корректно на очень близких расстояниях − вплоть до нескольких длин волн [6, 7].
Интегральное преобразование Рэлея–Зоммерфельда первого типа [3] в декартовых координатах имеет вид
E(u, v, z) =
òò=
-
z 2π
E0(x,
y)
eikl l2
èçççæik
-
1l ø÷÷÷ö
dxdy,
Σ
(15)
где E0(x, y) – входное поле,
l = (u - x)2 + (v - y)2 + z2 ,
Σ – область входной плоскости, в которой задано входное поле. При вычислении интеграла (15) в данной р аботе был применен быстрый алгоритм, описанный в [5]. Для вычисления поля на очень близких расстояниях можно использовать разложение по плоским волнам [4]
E(u, v, z) =
( )ò ò ò ò=
-
i λ2
¥ -¥
E0(x, y)ïîïïíìïï-¥¥
exp ikz 1- ξ2- η2 ´
´ exp(ik[ξ(u - x) + η(v - y)])dξdηïýïïïþïïüdxdy.
(16)
В случае, когда входное поле может быть представлено в виде радиально-вихревой функции
E0 (x, y) = E0 (r, j) = P(r)exp(imj),
(17)
выражение (16) можно упростить:
E(ρ, θ, z) =
ò ò=
σ0
ik2exp(imθ)
0
çæçççèç
R 0
P(r )Jm (kσr )rdr øö÷÷÷÷÷´
( )´exp ikz 1-σ2 Jm(kσρ)σdσ,
(18)
где R – радиус входного поля, а σ0 £ 1 для р аспространяющихся волн.
В табл. 1 приведены результаты вычислений при следующих параметрах: R = 20λ, f = 60λ, α0 = 0,25, для подинтегральных функций использовали дискретность 20 отсчетов на длину
46 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
Таблица 1. Действие линзакона в рамках непараксиальной скалярной модели
Линза, f = 60l
Аксикон, a0 = 0,25
Линзакон
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
47
волны, а фокальная область радиусом 5λ имела дискретность 10 отсчетов на длину волны. Продольное распределение интенсивности вычислялось в диапазоне z ∈ [1λ, 100λ]. На графиках осевое распределение, полученное в рамках непараксиальной модели, показано сплошной линией для результатов, полученных с помощью выражения (15), и пунктирной − для результатов, полученных с помощью выражения (18).
Результаты численного моделирования в рамках параксиальной модели (9) вполне согласуются с приведенными в предыдущем разделе рассуждениями. При этом корректные результаты получаются уже на расстоянии 30λ от оптического элемента, хотя условие параксиальности выполняется при z >> 28λ. Продольные картины распространения наглядно показывают, как происходит перераспределение энергии на оптической оси.
При использовании непараксиальных моделей (15) и (18) полученные результаты практически совпадают на всей области рассмотрения и близки к предсказанным параксиальной моделью. Но размеры центрального светового пятна для линзакона оказываются больше (ρlmxin ≈ 0,81λ вместо ρlmxin ≈ 0,65λ), а расстояние масштабного самовоспроизведения − несколько меньше (zmlxax ≈ 23λ вместо zmlxax ≈ 28λ).
Высокоапертурный микролинзакон в рамках непараксиальной векторной модели
При увеличении числовых апертур, участвующих в тандеме оптических элементов до предельных значений (NA = 1), параксиальная теория предсказывает уменьшение радиуса центрального пятна до ρmlxin ≈ 0,19λ [2]. Однако при этих параметрах параксиальная модель характеризуется существенными погрешностями. Скалярная непараксиальная модель также будет давать некорректные результаты вблизи оптического элемента, так как в этой области необходимо учитывать векторный характер электромагнитного излучения.
В отличие от скалярного варианта электрическое поле описывается тремя компонентами Ex(x, y, z), Ey(x, y, z), Ez(x, y, z). Интегральная теорема Рэлея–Зоммерфельда первого типа (15) в векторной форме записывается следующим образом [10, 11]
Ex (u, v, z) =
òò=
-
z 2π
E0x(x,
y)
eikl l2
èçççæik
-
1l ÷÷ø÷ö
dxdy,
Σ
Ey (u, v, z) =
òò=
-
z 2π
Σ
E0y(x,
y)
eikl l2
çèçæçik
-
1l ÷÷ø÷ö
dxdy,
(19)
Ez (u, v, z) =
òò=
-
1 2π
éêëE0x (x, y)(u - x) - E0y (x, y)(y -v)ùúû´
Σ
´
eikl l2
ççèçæik
-
1l ÷÷ø÷ödxdy,
где E0x(x, y) и E0y(x, y) – комплексные амплитуды x- и y-компонент входного поля, z-компонента предполагается нулевой за счет выбора системы координат. Вычисление выражений (19) выполнялось с использованием б ыстрого алгоритма, описанного в [5].
На рис. 2 и в табл. 2 приведены результаты вычислений при следующих параметрах: R = 20λ, f = 20λ (NAdl ≈ 0,71), α0 = 0,5 для линейной x-поляризации и радиальной поляризации. В подинтегральных функциях (19) использовалась дискретность в 20 отсчетов на длину волны, а в выходном распределении – 10 отсчетов на длину волны. На рис. 2 показаны продольное и поперечное распределения (радиусом 1,5λ, негатив), формируемые линзаконом для линейной x-поляризации, а в табл. 2 – аналогичные результаты для радиальной поляризации. В табл. 2 показаны поперечные распределения меньшего радиуса – 1,25λ, так как в этом случае картина получается более компактная. На графиках поперечного распределения сплошная линия соответствует суммарной интиеннтсеинвсниовснтоистиEп2р=одEоxль2н+ойEzк2о,мпаопнуеннктытирEнzа2я. –
Как видно из рис. 2 и табл. 2 при острой ф окусировке распределение интенсивности пучка, формируемого линзаконом, сильно зависит от поляризации освещающего поля.
Для линейной поляризации поперечное сечение общей интенсивности пучка перестает быть симметричным из-за существенного вклада продольной составляющей и выглядит с плющенным. При этом по вертикальной оси удается преодолеть дифракционный предел, равный 0,51λ.
Если же освещающее поле имеет радиальную поляризацию, то распределение общей
48 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
Продольная интенсивность
Распределение интенсивности в плоскости z = 4l
Рис. 2. Действие линзакона при линейной Х-поляризации. Таблица 2. Действие линзакона при радиальной поляризации
Продольная интенсивность Поперечная интенсивность в плоскости z = 20l
Поперечная интенсивность в плоскости z = 25l
Поперечная интенсивность в плоскости z = 4l
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
49
интенсивности имеет осевую симметрию и еще меньший размер центрального светового пятна (FWHM = 0,46λ для общей интенсивности). Из табл. 2 следует, что основной вклад в осевую область вносит продольная компонента векторного поля, и уширение размера центрального светового пятна происходит из-за вклада поперечных компонент.
В рамках параксиальной скалярной теории для линзы (NAdl ≈ 0,71) по формуле (1) р адиус фокального пятна ρlens ≈ 0,86λ, однако в векторной непараксиальной модели близкий радиус фокального пятна получается только для продольной компоненты ( ρlzens ≈ 0,7λ, FWHM = 0,62λ), для общей же интенсивности происходит существенное уширение изза вклада поперечных компонент (FWHM = = 1,48λ).
Для аксикона (NAax ≈ 0,5) радиус центрального светового пятна должен быть ρax » 0,76λ и сохраняться по формуле (6) до расстояния zmaxax ≈ 35λ. Из табл. 2 видно, что в рамках более точной модели это расстояние несколько меньше. Предсказанный радиус центрального светового пятна имеет только z-компонента (ρazx ≈ 0,75λ, FWHM = 0,67λ). Общая интенсивность существенно уширена из-за вклада по перечных компонент (FWHM = 1,6λ).
Для линзакона в этом случае (NAlx = = NAdl + NAax > 1) использовать формулу (11) невозможно, а приближенное выражение zmlxax ≈ ≈ R/NAlx ≈ 16λ дает явно завышенную оценку – в табл. 2 это значение примерно в 4 раза меньше. Минимальный размер центрального светового пятна по формуле (13) ρlmxin ≈ 0,38λ, но даже для продольной компоненты он оказывается несколько больше предсказанного: (ρlzx ≈ ≈ 0,44λ, FWHM = 0,41λ). Очень важным является и факт мощного усиления продольной компоненты – как видно из табл. 2, вклад поперечных компонент мал и общая интенсивность практически не изменяется (FWHM = = 0,46λ), позволяя преодолеть дифракционный предел.
В работе [12] было показано, что при острой фокусировке радиально-поляризованного излучения использование узкой кольцевой диафрагмы, пропускающей только переферийные лучи, позволяет максимизировать вклад продольной компоненты в общую интенсивность. Однако в этом случае теряется большая часть энергии освещающего пучка. Заметим, что при использовании линзакона происходит полноапертурное формирование осевого светового
отрезка, состоящего преимущественно из продольной компоненты.
Как видно из табл. 2, высокоапертурный м икролинзакон формирует компактную фокаль ную область, интенсивность в которой даже выше, чем у использованной в тандеме линзы.
Заключение
В работе проведено непараксиальное исследование микролинзаконов, состоящих из низкоапертурных и высокоапертурных оптических элементов.
Тандем из линзы и бинарного аксикона с низкой числовой апертурой приводит к увеличению общей числовой апертуры и возникновению непараксиальных явлений. В работе эти явления численно исследованы на основе применения непараксиального интегрального преобразования Рэлея–Зоммерфельда первого типа и разложения по плоским волнам. Результаты непараксиального моделирования для микроаксикона двумя способами практически совпали даже на расстоянии нескольких длин волн от входной плоскости и были близки к предсказанным параксиальной моделью на удалении примерно на размер входной апертуры. При этом размеры центрального светового пятна для линзакона оказались больше, а расстояние масштабного самовоспроизведения − несколько меньше предсказанных.
При моделировании действия высокоапертурных оптических элементов в линзаконе необходимо учитывать векторный характер электромагнитного излучения. Результаты векторного моделирования показали существенное отличие от предсказаний параксиальной модели, связанное с вкладом различных компонент векторного поля.
В случае радиальной поляризации микролинзакон позволяет существенно усилить только одну (продольную) составляющую и пре одолеть в общей интенсивности дифракционный предел. В частности, при использовании линзы радиусом 20λ с фокусом 20λ и бинарного аксикона с периодом 2λ на расстоянии 4λ от плоскости оптического элемента формируется центральное световое пятно с FWHM = 0,46λ и интенсивностью, превышающей уровень, который получается в фокусе отдельной линзы из тандема.
Таким образом, дополнение линзы аксиконом является полноапертурным и альтернативным к кольцевому диафрагмированию способом уси-
50 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
ления продольной составляющей векторного электрического поля при острой фокусировке радиально-поляризованного излучения.
Работа выполнена при поддержке российскоамериканской программы “Фундаментальные
исследования и высшее образование” (грант CRDF PG080141), грантов РФФИ №№ 10-0700109-а, 10-07-00438-а, 10-07-00553-а и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ № НШ7414.2010.9.
* * * * *
Литература
1. Koronkevich V.P., Mikhaltsova I.A., Churin E.G., and Yurlov Yu.I. Lensacon // Аppl. Opt. 1993. V. 34(25). P. 5761–5772.
2. Хонина С.Н., Волотовский С.Г. Фраксикон – дифракционный оптический элемент с конической фокальной областью // Компьютерная оптика. 2009. Т. 33. № 4. С. 401–411.
3. Born M. and Wolf E. Principles of Optics, 7th ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1999. 952 p.
4. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1979. 384 с.
5. Устинов А.В. Быстрый способ вычисления интеграла Рэлея–Зоммерфельда первого типа // Компьютерная оптика. 2009. Т. 33. № 4. С. 412–419.
6. Totzeck M. Validity of the scalar Kirchhoff and Rayleigh-Sommerfeld diffraction theories in the near field of small phase objects // J. Opt. Soc. Am. A. 1991. V. 8. № 1. P. 27–32.
7. Tsoy V.I., Melnikov L.A. The use of Kirchhoff approach for the calculation of the near field amplitudes of electromagnetic field // Optics Communications. 2005. V. 256. P. 1–9.
8. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику / пер. с англ. М.: Мир, 1970. 364 с.
9. McLeod J.H. The axicon: a new type of optical element // J. Opt. Soc. Am. 1954. 44. P. 592–597.
10. Zhao Z., Duan K., Lu B. Focusing and diffraction by an optical lens and a small circular aperture // Optik. 2006. V. 117. P. 253–256.
11. Ковалев А.А., Котляр В.В. Непараксиальное распространение векторного гауссова оптического вихря с начальной радиальной поляризацией // Компьютерная оптика. 2009. Т. 33. № 3. С. 226–232.
12. Dorn R., Quabis S., Leuchs G. Sharper focus for a radially polarized light beam // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. P. 233901.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
51