Например, Бобцов

Особенности кинетики иммерсионного просветления биологической ткани

ОПТИЧЕСКОЕ МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ И ТЕХНОЛОГИЯ

УДК 535.361; 610.849.19; 618.723
ОСОБЕННОСТИ КИНЕТИКИ ИММЕРСИОННОГО ПРОСВЕТЛЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ТКАНИ

© 2013 г.

Е. С. Букарева*, аспирант; Г. В. Симоненко*, доктор физ.-мат. наук; В. В. Тучин,*,**,*** доктор физ.-мат. наук *** Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского (СГУ), г. Саратов *** Институт проблем точной механики и управления РАН, г. Саратов *** Университет Оулу, г. Оулу, Финляндия *** E-mail: simonenko@optics.sgu.ru

Предложена модель, адекватно описывающая поведение оптических характеристик биологических образцов при их иммерсионном просветлении. Показано, что наличие осцилляций в кинетике иммерсионного просветления образца связано с фибриллярной структурой ткани. Исследовано влияние геометрических параметров образца биоткани на кинетику процесса иммерсионного просветления биоткани.

Ключевые слова: оптические свойства, иммерсионное просветление, модель биоткани.

Коды OSIC: 170.0170, 170.3660.

Поступила в редакцию 13.07.2012.

Введение
Биологические ткани относятся к сильно рассеивающим средам, которым свойственны все эффекты, имеющие место в мутных системах [1, 2]. Известно, что мутность дисперсной физической системы может быть изменена при использовании иммерсионного эффекта, заключающегося в выравнивании показателей преломления рассеивателей и окружающего их вещества. Одним из важных направлений современной биомедицинской оптики является развитие методов зондирования биотканей излучением видимого и ближнего ИК диапазонов, позволяющих осуществлять визуализацию ее внутренней структуры [1]. Большинство биотканей являются сильно рассеивающими, поэтому для повышения контраста изображения и увеличения глубины зондирования в оптической томографии используют метод введения иммерсионных жидкостей в  образец [1–4]. Поэтому актуальным является детальное исследование кинетики процесса иммерсионного просветления раз-

личных типов биотканей таких как мышечная ткань, склера, соединительная ткань, хрящевая ткань. Ранее было обнаружено, что кинетика иммерсионного просветления имеет немонотонный характер [3, 5], но объяснение этому явлению в полной мере не дано. Заметим, что немонотонный характер кинетики иммерсионного просветления биоткани выражается в наличии осцилляций в  зависимости пропускания образца от времени иммерсионного просветления. В связи с этим целью настоящей статьи является решение следующих задач:
–– объяснение наличия осцилляций в зависимости пропускания образца биоткани от времени иммерсионного просветления;
–– построения физической модели кинетики процесса иммерсионного просветления биоткани, которая хотя бы качественно будет описывать это явление;
–– исследование влияния физических параметров образца биоткани (размеров структурных элементов биоткани таких как длина фибрилл, их диаметр и межфибриллярное рас-

64 “Оптический журнал”, 80, 2, 2013

стояние) на кинетику иммерсионного просветления биоткани.
В настоящей работе предложена модель, которая описывает эффект осцилляций просветления, а также представлены результаты математического моделирования кинетики иммерсионного просветления различных типов биотканей в зависимости от ряда физических параметров.

Математическая модель

Математическая модель строится в два этапа. На первом этапе вычисляется пространственно-временное распределение концентрации иммерсионной жидкости в биологическом образце, на втором этапе вычисляется (на  основе данных, полученных при решении предыдущей задачи) пропускание коллимированного пучка света сквозь образец.
Для решения задачи о диффузии иммерсионной жидкости в образец биоткани используем простую диффузионную модель, в которой учитывается различие скоростей диффузии иммерсионной жидкости в поперечном и продольном направлении. Пусть C – концентрация иммерсионной жидкости, которая теперь зависит от времени (t) и трех пространственных координат x (в  глубину образца), y (поперек ­образца) и z (вдоль образца). Уравнение диф­ фузии с тремя пространственными переменными имеет вид

¶C(x, y, ¶t

z,

t)

=

n

x

(x,

y,

z)

¶2C(x, y, ¶x2

z,

t)

+

+

ny

(x,

y,

z)

¶2C(x, y, ¶y2

z,

t)

+

+

nz

(x,

y,

z)

¶2C(x, y, ¶y2

z,

t)

,

(1)

где nx, ny, nz  – скорости диффузии иммерсионной жидкости по соответствующим координатам. Пусть при t  =  0 начальное условие задано в виде

C(x, y, z, 0) = j(x, y, z),

(2)

где j(x, y, z)  – поверхностное распределение иммерсионной жидкости в начальный момент времени в месте введения просветляющего агента.
В данной модели рассматривается нестационарная неоднородная анизотропная диффузия иммерсионной жидкости в образец биоткани. Предположим, что иммерсионная жидкость

Z Y
X

b0

a0 a0

j0 l0

Рис. 1. Геометрия модели.

d0

может поступать в образец с одной стороны со всей поверхности или только в центре образца, а область поступления имеет форму прямоугольника (поверхность образца) или круга с  постоянной концентрацией. Систему представим в виде цилиндрических включений (коллаген), расположенных в базовом веществе. Размеры включений: l0  – длина, d0  – диаметр, a0  – расстояние между включениями по оси X или Y, b0 – расстояние по оси Z, j – угол отклонения включения от оси Z, задаваемый произвольно для каждого конкретного включения (рис.  1). Максимально возможное отклонение от оси является входным параметром. Для подсчета скорости диффузии рассчитывается вероятность p того, что диффузия в данной точке пойдет в том или ином направлении. Внутри коллагеновых волокон вероятность берется близкой к нулю, поскольку их плотность оказывается более высокой по сравнению с межколлагеновым пространством и молекулярная диффузия затруднена. Если в расчетной точке находится базовое вещество, и по направлению движения также находится базовое вещество, то вероятность берется близкой к единице. Если за базовым веществом следует коллаген, то вероятность может изменяться от 0,2 до 0,8. Коэффициенты диффузии по каждому направлению пересчитываются в каждой точке. В  зависимости от координаты коэффициент диффузии домножается на p.
Будем решать уравнение (1), используя метод сеток [6], считая скорости по оси x и по оси y постоянными или заданными в известной аналитической форме. Для этого введем сетку с  ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов, для чего проведем 4 семейства плоскостей: xi =  ih1 (i  =  0,  1,  …), yi =  jh2 (j  =  0,  1,  …), zm  =  jh3 (m  =  0,  1,  …), tk  =  kh4 (k  =  0,  1,  …),

“Оптический журнал”, 80, 2, 2013

65

где h1 – шаг по оси x, h2 –шаг по оси y, h3 –шаг по оси z, h4  – шаг по оси t. Значение сеточной функции в узлах (xi, yj,  zm, tk) обозначим символом ckijm. Используя данные значения, построим разностные схемы для уравнения (1).
Для решения этого уравнения используем явную схему решения [6]. Для этого аппроксимируем в (1) вторые производные отношениями конечных разностей. Получаем следующее сеточное уравнение:

cikj+m1- cikjm h4

= nx

cik+1,jm -2cikjm + cik-1,jm h12

+

+ ny

cik,j+1,m -2cikjm + cik,j-1,m h22

+

+

nz

cikj,m+1 - 2cikjm h32

+

cikj,m-1

.

(3)

Это уравнение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции на каждом слое. На нулевом слое решение находится из начального условия (2), представленного в виде

ci0jm = j(xi, yi, zm ).

(4)

Таким образом, решая систему уравнений  (3) с начальными условиями (4) получаем пространственно-временную зависимость концентрации иммерсионной жидкости в образце.
На втором этапе на основе пространственно-временного распределения концентрации иммерсионной жидкости в образце биоткани производится вычисление пропускания T коллимированного пучка света сквозь образец. Вычисления производятся по схеме, подробно описанной в работе [7].

Результаты и обсуждение
В настоящей работе рассматривается трехмерная модель иммерсионного просветления биоткани, так как одномерная модель имеет следующие недостатки: 1)  в рамках одномерной модели диффузии просветляющего вещества в биоткани для объяснения немонотонного поведения пропускания в зависимости от времени просветления кроме процесса диффузии необходимо привлекать и другие физические механизмы, которые могли бы происходить в  биоткани, но не известны; 2)  определяя коэффициенты диффузии просветляющей жидкости в биоткани в рамках одномерной моде-

ли возможно занижение значений скоростей диффузии, так как в трехмерном случае всегда необходимо время на диффузию жидкости в трех направлениях, а в одномерном случае считается, что диффузия происходит только вглубь образца. Поэтому одномерная модель не может использоваться для корректного описания процесса диффузии просветляющей жидкости в биоткани. Рассмотрим две возможные трехмерные модели структуры биоткани. Первая модель  – модель А характеризуется хаотическим расположением коллагеновых волокон в биоткани. При этом, как было описано в предыдущем разделе, модель характеризуется диаметром коллагена, длинной и такими величинами как среднее расстояние между волокнами и средний угол отклонения волокон от некоторого выбранного направления. Вторая модель – модель Б характеризуется периодическим расположением волокон. В  этом случае модель также описывается такими же параметрами, но коллаген внутри биоткани расположен в  виде периодической структуры. На рис.  2 представлены результаты моделирования кинетики иммерсионного просветления биоткани для обеих моделей. Как видно из рисунка, зависимости пропускания от времени просветления T = T(t) имеют осцилляции, наличие которых, как показали наши расчеты, связано с волокнистой структурой биоткани. Анализ этого рисунка показывает, что в периодической структуре процесс просветления идет быстрее, чем в биоткани с хаотической ориентацией волокон коллагена. Кроме этого для периодической структуры биоткани осцилляции в зависимости пропускания биоткани от времени просветления наблюдаются на этапе насыщения, в то время как для биоткани с  хаотической ориентацией волокон коллагена осцилляции на такой же зависимости наблюдаются на всем участке кривой. Глубина осцилляций зависимости T  = =  T(t) для обоих случаев максимальна для тонких срезов биоткани и практически равна нулю для толстых образцов. Как показывает моделирование, осцилляции зависимости T  =  T(t) возникают только для случая, когда скорость диффузии вглубь образца равна или меньше чем скорости диффузии в двух других направлениях, и глубина модуляции осцилляций максимальна для случая, когда скорость диффузии вглубь образца существенно ниже, чем в поперечных направлениях. В  случае, когда скорость диффузии вглубь образца превышает скорость диффузии в поперечных на-

66 “Оптический журнал”, 80, 2, 2013

Пропускание

0,065 0,055 0,045

1 2

0,035

0,025 0 20 40 60 80 100 120
Время, с
Рис. 2. Кинетика иммерсионного просветления биоткани. 1  – периодическая структура, 2 – хаотическая структура.

правлениях, осцилляции в зависимости пропускания биоткани от времени просветления не возникают. Кроме этого, глубина модуляции осцилляций при соосном положении источника иммерсионной жидкости и приемника излучения максимальна и убывает при удалении приемника от этого положения.
Геометрические параметры биоткани (диаметр волокна d, межволоконное расстояние a0 и b0, длина волокна l0) слабо влияют на глубину осцилляций в кинетике процесса просветления, в то же время, оказывая существенное влияние на контраст изображения при просветлении биоткани и уровни пропускания в  состоянии насыщения при просветлении. Кроме этого существенное влияние параметры биоткани оказывают на скорость просветления образцов, но это вопрос отдельного исследования, которому будет посвящена другая статья. Это относится как к модели А, так и к модели Б. Заметим, что биоткани в большинстве своем по строению ближе к модели А, поэтому дальнейшее рассмотрение оптических свойств биоткани мы будем описывать с помощью модели А.
Рассмотрим влияние геометрических параметров биоткани на оптические характеристики кинетики иммерсионного просветления образцов, в качестве которых мы рассмотрим контраст изображения при просветлении и уровень пропускания в состоянии насыщения. Под уровнем пропускания образца в состоянии насыщения Tmax понимается значение пропускания образца для бесконечно большого момента времени при иммерсионном просветлении.

В  этом случае образец биоткани в начальный момент времени характеризуется минимальным пропусканием Tmin. Тогда контраст изображения K в этом случае вычисляется как

K

=

Tmax Tmin

.

Для выяснения влияния геометрических раз-

меров структурных элементов биоткани на ки-

нетику процесса просветления образца следует

разделить между собой два фактора, которые

определяют рассеяние света в неоднородной

среде. Первый – размер неоднородности струк-

турного элемента, и второй  – различие пока-

зателей преломления структурных элементов.

В  процессе иммерсионного просветления био-

ткани размер структурных элементов образца

оказывает сильное влияние на значение показателя преломления базового вещества и наша

задача исследовать это влияние. Пропускание

биоткани определяется коэффициентом осла-

бления, который в общем случае является сум-

мой коэффициентов поглощения и рассеяния

среды. Для зондирования биоткани использу-

ются источники с длиной волны, соответству-

ющей красному диапазону видимого спектра

или ближнему ИК диапазону, где поглощение

света чрезвычайно мало [2]. Поэтому в даль-

нейшем будем считать, что поглощение в среде

отсутствует и коэффициент ослабления света

в среде равен коэффициенту рассеяния ms. Тогда коэффициент ослабления однородного слоя

биоткани, находящегося в точке с координатами (х, у, z) в момент времени t имеет вид [10]

ms (x, y, z, t) = n(y, l)×r2(m(x, y, z, t)2-1)2´

´ççççæè (m(x,

y,

2 z, t)2

+1)2

+1÷÷÷÷÷øö,

m(x, y, z, t) = nc/ni (x, y, z, t), ni (x, y, z, t) = (1- C(x, y, z, t))×nb +
+ C(x, y, z, t)×nim,

(5)

где n(y, l)  – коэффициент пропорционально-

сти, который зависит от объемной доли рассеи-

вателей y (в  нашем случае y  =  0,3), r  – радиус

эффективной рассеивающей частицы, nc  – показатель преломления коллагеновых волокон,

nb  – показатель преломления базового вещества, nim  – показатель преломления иммерсионной жидкости, l  – длина волны света, ni  – коэффициент преломления базового вещества

при просветлении.

Выражение (5) можно использовать при вы-

полнении следующих условий: в ходе взаимо-

“Оптический журнал”, 80, 2, 2013

67

действия биоткани с иммерсионной жидкостью размер рассеивателей не изменяется, что подтверждается данными, приведенными в работе [11]; биоткани характеризуются плотной упаковкой, что учитывается фактором упаковки рассеивателей [10, 12]; биоткань представляет собой систему диэлектрических цилиндров, расположенных параллельно друг другу [10]. Как видно из выражения (5) коэффициент рассеяния зависит явным образом: от геометрических размеров структурных элементов (размерная составляющая (r,  y)), от соотношения показателей преломления базового вещества в  условиях иммерсионного просветления и показателя преломления коллагена (иммерсионная составляющая m(x,  y,  z,  t)). Для кинетики иммерсионного просветления биоткани наиболее важным фактором является зависимость ms  =  m(x,  y,  z,  t), то есть иммерсионная составляющая.
Для того чтобы выяснить вклад только иммерсионной составляющей в зависимость контраста изображения при просветлении от геометрических параметров биоткани, предположим, что коэффициент рассеяния биоткани зависит только от изменения коэффициента преломления базового вещества ni (см. выражение (5)) при просветлении и не зависит от изменения геометрических характеристик биоткани. В  расчетах в качестве исходных значений для геометрических параметров биоткани были взяты данные, приведенные в работе  [13], и относительно средних значений этих параметров производилась вариация изменяемого параметра.
На рис.  3 представлена зависимость контраста изображения при просветлении биоткани от длины коллагенового волокна. На  этом рисунке в качестве варьируемого параметра выступает отношение l  =  l0/l0′ (l′0  – среднее значение длины волокна коллагена [13], l0  – текущее значение длины волокна коллагена). Как видно из этого рисунка, контраст изображения с ростом длины волокна коллагена падает, но с  другой стороны, как показывает расчет, пропускание в состоянии насыщения, при таком же изменении аргумента возрастает. Такое ­поведение K при изменении длины волокна объясняется тем, при малых значениях l на единицу объема приходится большее число рассеивателей. Поэтому уровни пропускания Tmin и  Tmax минимальны, но одновременно с  этим при малых l процесс иммерсионного просветления более эффективен, что и приво-

K
7

6

5

4

3

2

10,6

0,8 1

1,2 1,4

l

Рис. 3. Зависимость контраста изображения при иммерсионном просветлении биоткани от
длины волокна коллагена.

K
4
3
2
1
0 0,5 1 1,5 a 2 2,5 3 3,5 Рис. 4. Зависимость контраста изображения при иммерсионном просветлении биоткани от расстояния между волокнами коллагена по X или Y.

дит к максимальному контрасту изображения при иммерсионном просветлении.
В противоположность этому зависимость контраста изображения при просветлении от плотности упаковки коллагена (расстояния между волокнами по X или Y) имеет обратную зависимость (рис.  4). Под плотностью упаковки мы понимаем расстояние между волокнами коллагена по глубине образца. На рис.  4 в  качестве независимой координаты выступает отношение a  =  a0/a′0 (a0′   – среднее значение расстояния между волокнами коллагена [13], a0  – текущее значение расстояния между волокнами коллагена). Это объясняется тем, что при более плотной упаковке коллагена (малая величина a) значения пропускания в состоянии насыщения имеют меньшую величину,

68 “Оптический журнал”, 80, 2, 2013

чем при менее плотной упаковке. Это объясняется тем, что при плотной упаковке волокна процесс иммерсионного просветления механически более затруднен, чем в случае разреженной системы волокон. По сравнению с другими параметрами межволоконное расстояние b0 по оси Z оказывает малое влияние на процесс ­иммерсионного просветления.
Такой же вид имеет зависимость контраста изображения от угла разориентации волокон коллагена j0 (рис. 5). Под углом разориентации волокон коллагена понимается средний угол ориентации волокна относительно некоторого выбранного направления. Например, нулевой угол разориентации означает, что все волокна коллагена ориентированы вдоль одного направления, а значение угла j0  =  90° означает, что волокна коллагена равновероятно распределены по направлению от 0° до 90°. Объяснение вида зависимости K  =  K(j0) сводится к сле­ дующему. При любых значениях j0 пропускание в  начальный момент времени Tmin одинаково, но процесс диффузии идет легче в случае хаотической ориентации волокон коллагена и поэтому значения пропускания в состоянии насыщения Tmax для j0  =  90° больше, чем Tmax для j0 = 0°. Поэтому в процессе иммерсионного просветления контраст изображения минимален при малой разориентации волокон коллагена и максимален при максимальной разориентации. Однако изменения контраста изображения при этом невелики.
Заключение
В работе предложена трехмерная модель, описывающая кинетику иммерсионного просветления биоткани с учетом ее коллагеновой структуры. В  результате выполненных исследований показано, что кинетика иммерсионного просветления биоткани имеет осциллирующий характер, который определяется волокнистым строением биоткани. Глубина модуляции осцилляций в зависимости T  =  T(t) максимальна для тонких срезов биоткани и  практически равна нулю для толстых об-

K
2,6
2,4
2,2
20 40 j0, град 60 80 Рис. 5. Зависимость контраста изображения при иммерсионном просветлении биоткани от среднего угла ориентации коллагена.
разцов. Осцилляции в кинетике иммерсионного просветления возникают только для случая, когда скорость диффузии в глубь образца равна или меньше чем скорости диффузии в двух других направлениях. При этом глубина модуляции осцилляций стремится к максимуму, когда скорость диффузии вглубь образца оказывается существенно ниже, чем в поперечных направлениях. Глубина модуляции зависит и  от взаимного расположения источника иммерсионной жидкости и приемника излучения и  максимальна при их соосном положении. Установлено, что существенное влияние на контраст изображения при иммерсионном просветлении биоткани оказывают такие геометрические параметры образца как длина волокон коллагена, плотность их упаковки и угол разориентации волокон коллагена.
Работа выполнена при частичной поддержке следующими грантами: Президента РФ НШ-1177.2012.2, РФФИ 11-02-00560а,224014 PHOTONICS4LIFE, FP7-ICT-2007-2, 1.4.09 Минобразнауки РФ, госконтрактами РФ 02.740.11.0770, 02.740.11.0879 и  11.519.11.2035, а также FiDiPro, TEKES Program, Finland (40111/11) и SCOPES EC, Uzb/Switz/RF.

*   *   *   *   *

ЛИТЕРАТУРА
1. Chance B., Liu H., Kitai T. еt al. Effects of solutes on optical properties of biological materials: models, cells and tissues // Anal. Biochem. 1995. V. 227. P. 351–362.
2. Оптическая биомедицинская диагностика. Под редакцией В.В. Тучина Т. 1 //М.: Физматлит. 2007. 560 c.

“Оптический журнал”, 80, 2, 2013

69

3. Тучин В.В., Башкатов А.Н., Генина Э.А и др. In vivo исследование динамики иммерсионного просветления кожи человека // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. № 12. С. 10–14.
4. Зимняков Д.А., Тучин В.В. Оптическая томография тканей // Квантовая электроника. 2002. Т. 32. № 10. С. 849–867.
5. Симоненко Г.В., Папаев А.В., Малинова Л.И. и др. Использование оптических методов исследования диффузии веществ в различных биологических тканях // Вестник АИН. 2007. № 3. С. 448–455.
6. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1974. 532 c. 7. Симоненко Г.В., Кириллова Е.С., Тучин В.В. Математическая модель подавления рассеяния лазерного из-
лучения в биотканях с помощью метода иммерсионного просветления // Успехи современной радиоэлектроники. 2008. № 9. С. 48–53. 8. Huang Y., Meek K.M. Swelling studies on the cornea and sclera: the effects of pH and ionic strength // Biophys. J. 1999. V. 77. P. 1655–1665. 9. Schmitt J.M., Kumar G. Optical scattering properties of soft tissue: a discrete particle model // Appl. Opt. 1998. V. 37. № 13. P. 2788–2797. 10. Башкатов А.Н. Управление оптическими свойствами биотканей при воздействии на них осмотически а­ ктивными иммерсионными жидкостями: Дисс. канд. физ.-мат. наук / Сарат. ун-т, Саратов, 2002. 11. Huang Y., Meek K.M. Swelling studies on the cornea and sclera: the effects of pH and ionic strength // Biophys. J. 1999. V. 77. P. 1655–1665. 12. Schmitt J.M., Kumar G. Optical scattering properties of soft tissue: a discrete particle model // Appl. Opt. 1998. V. 37. № 13. P. 2788–2797. 13. Алмазов И.В., Сутулов Л.С. Атлас по гистологии и эмбриологии. М.: Медицина, 1978. 544 с.
70 “Оптический журнал”, 80, 2, 2013