Термооптическая аберрация положения изображения в зеркальных телескопах
РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 621.373.526
ТЕРМООПТИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ В ЗЕРКАЛЬНЫХ ТЕЛЕСКОПАХ
© 2013 г. Ю. В. Баева, аспирантка; Е. В. Лаповок, аспирант; С. И. Ханков, доктор техн. наук СПбНИУ ИТМО, Санкт-Петербург Е-mail: yul.bayo@yandex.ru
Получено аналитическое описание зависимости термоаберрации положения телескопов Грегори и Кессегрена в виде суммы составляющих, вносимых тепловым режимом каждого элемента телескопа. На конкретном примере изложена методика определения допустимых диапазонов изменения температур корпуса телескопа и платформы крепления главного зеркала, в пределах которых обеспечивается термостабильность телескопа в стационарном тепловом режиме.
Ключевые слова: космический телескоп, система обеспечения теплового режима, тепловой режим, термоаберрация.
Коды OCIS: 120.4640, 120.0280, 350.1246, 350.6050, 350.6090.
Поступила в редакцию 01.10.2012.
1. Введение
Изменение теплового режима телескопа приводит к развитию термоаберраций разного типа. Среди них следует выделить термонаведенное смещение положения фокальной плоскости, или термоаберрацию положения [1]. Ее учет важен, поскольку ее компенсация не всегда возможна. При этом термонаведенная сферическая аберрация хотя и неустранима, но всегда много меньше термоаберрации положения для длиннофокусных телескопов [2].
Целью данных исследований является получение единого аналитического описания зависимости термоаберрации положения от составляющих (компонентов термоаберраций), вносимых тепловым режимом каждого элемента телескопа, и на этой основе решение задачи определения требований к допустимому диапазону изменения температур элементов термостабильного телескопа. Актуальность решения этой задачи определяется необходимостью учета вклада каждого фактора для разработки рекомендаций по методам обеспечения термостабильности телескопа на основе минимизации термоаберрации положения.
Для телескопов Грегори и Кессегрена величина термонаведенного смещения фокальной плоскости была определена нами в виде зависимостей от температурных неравномерностей в главном зеркале [3], а также описана через термоаберрацию температурного уровня телескопа и термоаберрации температурной неоднородности между элементами телескопа [4]. Однако в последнем случае зеркала принимались изотермичными.
2. Общие соотношения для расчетов термоаберрации положения
В результате преобразований аналитических формул получено единое аналитическое описание термоаберрации положения, включающее термоаберрацию температурной неравномерности в главном зеркале, компоненты термоаберраций температурной неоднородности, в которой температурный уровень главного зеркала задается его минимальной температурой, а термоаберрация температурного уровня определяется перегревом корпуса телескопа. Эта аналитическая зависимость имеет вид
30 “Оптический журнал”, 80, 3, 2013
f = Bmjj + Bmi + Bss + Dt,
i =1, 2, j = x, r,
x =1+ n, n = Rm /b, r = (1+ )/4, D = Bm + Bs - Bt, s = s - t,
s = Ts -T0, s = Ts -T0, t = Tt -T0,
(1)
где i – разность минимальной температуры главного зеркала и температуры корпуса теле-
скопа, j – перепад температур в главном зеркале, s – перегрев вторичного зеркала относительно корпуса телескопа, s и t – соответственно перегревы вторичного зеркала
и корпуса телескопа относительно начальной
(номинальной) температуры T0; Ts и Tt – соответственно температуры вторичного зеркала
и корпуса, Rm – параксиальный радиус главного зеркала, b – толщина зеркала (для длин-
нофокусного зеркала ввиду малой стрелы про-
гиба принимается среднее значение толщины),
– коэффициент Пуассона материала главного
зеркала, индексы m и s означают главное и вто-
ричное зеркало соответственно, t – корпус,
r и x – цилиндрические координаты.
Коэффициенты Bi [м/K] определяются по формулам
Bm = m
Rm 2
c2,
Bs = s2ac,
Bt = tLc2, ñ = (1+ e)/(1- e),
(2)
где L – расстояние между зеркалами, а – большая полуось эллипса (для рабочей поверхности вторичного зеркала в телескопе Грегори) или гиперболы (в телескопе Кессегрена), e – эксцентриситет эллипса или гиперболы в уравнении профиля поверхности вторичного зеркала, i – коэффициент линейного расширения i-го элемента.
При теплоотводе от тыльной поверхности главного зеркала возникает перепад температур по толщине зеркала. Эту ситуацию будем кратко описывать терминами “осевой теплоотвод” и “осевой температурный перепад”. При этом в формуле (1) реализуются условия i = 1, j = x. В результате получим
1 = x - t = qx/kx - t, x = m - x = qxb/,
(3)
где x – перегрев тыльной поверхности зеркала относительно корпуса телескопа (минималь-
ный перегрев); x – перепад температур по толщине главного зеркала; m – среднеповерхностный перегрев рабочей поверхности зерка-
ла; qx – удельный тепловой поток, проходящий вдоль оси зеркала, который при абсолютной теплоизоляции боковой поверхности зеркала равен поглощенному рабочей поверхностью удельному потоку qm; kx – контактный коэффициент теплообмена на тыльной поверхности зеркала, характеризующий интенсивность теплоотвода к узлу крепления; – коэффициент теплопроводности материала зеркала.
При теплоотводе от боковой поверхности главного зеркала возникает перепад температур по радиусу зеркала. Эту ситуацию будем кратко описывать терминами “радиальный теплоотвод” и “радиальный температурный перепад”. При этом в формуле (1) реализуются условия i = 2, j = r. В результате получим
2
=
r 2
- t
=
qr r 4bkr
- t,
r
=
qr r2 4b
,
(4)
где r = Tr – T0 – перегрев боковой поверхности главного зеркала относительно начальной температуры T0, r – перепад температур по радиусу зеркала, qr – удельный тепловой поток, проходящий в направлении радиуса зеркала,
который при абсолютной теплоизоляции тыль-
ной поверхности зеркала равен поглощенному
рабочей поверхностью удельному потоку qm; kr – контактный коэффициент теплообмена на боковой поверхности зеркала, характеризую-
щий интенсивность теплоотвода к узлу крепле-
ния; r – внешний радиус главного зеркала.
Формула (1) включает четыре слагаемых,
описывающих основные компоненты общей
термоаберрации: термоаберрация температурной неравномер-
ности в главном зеркале (Bmjj); этот компонент может быть значим при осевом теплоот-
воде, поскольку обычно реализуется условие n >> 1 и x n; неравномерность нагрева вторичного зеркала обычно мала и малозначима;
термоаберрация температурной неоднородности (Bmi и Bss); составляющая Bss мала, так как обычно выполняются условия
Вs < Вm и Вs < Вt, но неустранима, что связано с конечной суммарной тепловой проводи-
мостью пилонов, которыми вторичное зеркало крепится к корпусу; составляющая Bmi целиком зависит от идеальности контакта – вели-
чины kx или kr; термоаберрация температурного уров-
ня, которую можно определить как величину
термооптической аберрации положения изо-
бражения, вызванной изменением температу-
ры телескопа относительно номинальной при
“Оптический журнал”, 80, 3, 2013
31
условии сохранения его изотермичности, то есть при сохранении равномерного распределения температур в зеркалах и равенства температур зеркал температуре корпуса. Этот компонент Dt определяется уровнем температуры корпуса и обычно в значительной степени определяет величину термоаберрации положения. Неравномерность нагрева корпуса сравнительно легко может быть учтена, однако не имеет особого значения, поскольку она не влияет на ход лучей между зеркалами, а температурное расширение корпуса определяется его средней температурой.
Методика определения преимущественного направления теплоотвода основывается на оценке величин kx и kr из анализа конструкции крепления зеркала. Если такая оценка затруднена, необходимо провести расчеты термоаберраций по исходной формуле (1) для двух вариантов – только для осевого и только для радиального теплоотвода. Тот вариант, который показывает значительно большую величину f, фактически и имеет место в данной конструкции телескопа. Если проведенные для двух вариантов расчеты дают сопоставимые результаты, то необходимо решать задачу в двумерной постановке, что требует использования численных методов расчета.
3. Влияние температур корпуса телескопа и платформы крепления главного зеркала на характеристики
теплового режима
Одна из типичных задач тепловых и термоаберрационных расчетов формулируется следующим образом: определить допустимые диапазоны изменения температур корпуса телескопа и некоторых конструктивных элементов, например платформы крепления главного зеркала, в пределах которых обеспечивается термостабильность телескопа. Критерием термостабильности выбирается допустимое смещение фокальной плоскости. Решение такой задачи позволяет на начальных стадиях теплового проектирования определить облик и требования к характеристикам системы обеспечения теплового режима (СОТР) телескопа.
Проведем анализ на примере частного, но типичного случая крепления главного зеркала тыльной поверхностью к платформе (модель осевого теплоотвода).
Важно отметить, что в формуле для расчетов термоаберрации положения перегрев
главного зеркала относительно корпуса может
вычисляться независимо от того, крепится ли
зеркало к самому корпусу или к отделенной от
него платформе.
Рассмотрим в упрощенной постановке за-
дачу определения требований к рабочим тем-
пературам корпуса телескопа и платформы,
а также к величине контактного коэффициен-
та теплообмена между тыльной поверхностью
зеркала и платформой с целью определения
диапазонов изменения этих величин, в преде-
лах которых термоаберрация положения не
выйдет за допустимые пределы. Эта область
определяет границы термостабильного состоя-
ния телескопа.
В тепловой модели рассматриваемого теле-
скопа принимаем, что тепловой контакт меж-
ду главным зеркалом и корпусом отсутствует.
При этом теплообмен между ними происходит
за счет излучения, а между вторичным зерка-
лом и корпусом – контактным способом через
пилоны. Главное зеркало крепится к платфор-
ме, не имеющей тепловой связи с корпусом.
Дальнейшие расчеты будем проводить для
телескопа, осуществляющего дистанционное
зондирование Земли. Для наглядности анализа
ограничимся случаем стационарного теплового
режима.
Процесс стационарного теплообмена зерка-
ла с корпусом и платформой можно описать
в виде эквивалентной тепловой цепи (рис. 1).
На рис. 1 qt и qm – части общего теплового потока qx, поглощаемого рабочей поверхностью главного зеркала; 0 – перегрев платформы, kt – коэффициент теплообмена излучением зеркала с корпусом, km – эффективный коэффициент теплопередачи теплопроводностью от
рабочей поверхности зеркала к тыльной.
В тепловой цепи коэффициенты теплообме-
на kt и km определяются по формулам
kt = 0,227ïæçççè1T0H0øö÷÷÷3,
km
=
b
,
(5)
где п – приведенная степень черноты системы главное зеркало–корпус, – коэффициент
облученности корпуса зеркалом.
t kt
m km x kx 0
qt qx qm
Рис. 1. Схема эквивалентной тепловой цепи для главного зеркала.
32 “Оптический журнал”, 80, 3, 2013
Тепловой поток qx разделяется на две части и распространяется в левую qt и правую qm часть цепи:
qx = qt + qm.
(6)
Тепловая цепь рассчитывается из системы уравнений
ïïïíïïïïïîìïqqqmmx -==qkkmmx (=(kxmt-(-m0x-).),t ),
Из решения системы (7) следует
x
=
G
êéêë
qx km
+
Nt t
+ (1 +
Nt )Nx0 úûúù,
1 =
m - x
=
GNx
êêëé
qx km
+
Nt (t
- 0)ûúùú,
(7)
(8) (9)
qm = GNx êëéqx + kt (t - 0 )úûù.
(10)
В формулах (8)–(10) введены обозначения
G = (Nt + Nx + Nt Nx )-1,
Nt = kt /km, Nx = kx /km.
(11)
Из (8) можно получить условие равенства нулю перегрева тыльной поверхности главного зеркала (x = 0) при
t
= -kx
çæçèç
1 kt
+
1 km
öø÷÷÷÷0 -
qx kt
.
(12)
Из (9) можно получить условие отсутствия температурного перепада по толщине зеркала (1 = 0, а также и qm = 0) при
t
=
0
-
qx kt
.
(13)
Из соотношения (12) следует, что при больших значениях kx и при 0 > 0 условие (12) выполняется при весьма больших отрицатель-
ных величинах перегрева корпуса, что влечет
за собой большую отрицательную термоабер-
рацию температурного уровня. Однако если
задать требования термостабилизации корпуса телескопа, т. е. t = 0, из (12) с учетом обычно выполняемого неравенства km >> kt можно получить
0 = -qx/kx.
(14)
Условие (14) совместно с условиями t = 0 и x = 0 обеспечивают минимальную термо-
аберрацию температурного уровня и темпера-
турной неоднородности. Вместе с тем, при 1 = 0 и t = 0, как сле-
дует из (13), должно выполняться равенство
0
=
qx kt
.
(15)
В результате подходы к минимизации термоаберрации температурной неоднородности и температурной неравномерности в главном зеркале находятся в противоречии, поскольку в первом случае перегрев платформы должен быть отрицательным, а во втором – положительным. Это противоречие необходимо разрешать на основе количественных расчетов вклада каждого из компонентов в общую термоаберрацию положения.
Величина s = Ts – 293 определяется из уравнения
st(Ts – Tt) + ssSsTs4 = Ps,
(16)
где st – проводимость между корпусом и вторичным зеркалом, Ps – поглощенный вторичным зеркалом лучистый тепловой поток, = 5,6710–8 Вт/м2 K4 – постоянная Стефа-
на–Больцмана, s – коэффициент облученности между вторичным зеркалом и космосом,
s и Ss – коэффициент черноты и площадь поверхности вторичного зеркала соответственно.
4. Исходные параметры для расчета
В дальнейших расчетах принимались следующие значения параметров:
а) параметры оптической системы соответствуют конкретному телескопу Кессегрена и равны:
Rm = 1,21 м, a = 0,11 м, е = 2,763, L = = 378 мм, m = s = 1,510–7 K–1, t = 10–6 K–1, b = 0,03 м, n = 40,33, диаметр входного зрачка d = 350 мм, фокусное расстояние f = = 1670 мм, относительное отверстие оптической системы A = d/f = 0,21, значения коэффициентов в формуле (1) в мкм/K равны: Вm = 0,413, Вs = –0,07, Вt = 1,72, D = –1,377;
б) теплофизические параметры имеют следующие значения:
Потоки, поглощенные главным и вторичным зеркалами при нахождении телескопа на освещенном Солнцем участке траектории, составляют Pm = 0,2 Вт, Ps = 1,86 Вт; удельный тепловой поток, поглощенный главным зеркалом, – qx = 2 Вт/м2, поглощенный вторичным зеркалом – 81,75 Вт/м2; теплопроводность си-
“Оптический журнал”, 80, 3, 2013
33
талла (материал главного и вторичного зеркал) = 1,2 Вт/м K; приведенная степень черноты п = 0,047, коэффициент облученности главного зеркала корпусом = 0,82, начальная температура всех элементов телескопа Т0 = 293 K; для вторичного зеркала st = 0,0178 Вт/K, s = = 0,16, s = 0,85.
В результате вычислений получили следующие значения параметров: kt = 0,22 Вт/м2 K; km = = 40 Вт/м2 K; Nt = 0,0055. При kх = 0,01 Вт/м2 K получим Nx = 0,00025, G = 173,6, а при kх = = 100 Вт/м2 K – Nx = 2,5 и G = 0,379.
5. Расчет термоаберрации положения и ее составляющих
Результаты расчетов суммарной термодеформации положения при различных величинах t, 0 и kх представлены в таблице. Как видно из данных этой таблицы, при хорошем тепловом контакте зеркала с платформой (при kх = 100 Вт/м2 K) и при крайних противоположных значениях перегревов корпуса телескопа и платформы (t = –20 K и 0 = 20 K, а также t = 20 K и 0 = –20 K) суммарная термоаберрация превышает допустимое значение ±33 мкм. В остальных ситуациях термоаберрация остается в допустимых пределах.
Зависимости составляющих (или компонентов) термоаберрации положения от перегрева платформы при крайних значениях kх = 0,01 Вт/м2 K и kх = 100 Вт/м2 K представлены на рис. 2–4 для трех значений перегрева корпуса.
Из этих рисунков можно сделать следующие выводы: для телескопа с данными параметрами составляющие термоаберрации можно разделить на значимые и малозначимые, а точ-
Зависимость термоаберрации положения от пере-
гревов корпуса t и платформы 0 и коэффициента контактного теплообмена kx
t, K
Термоаберрация, мкм 0, K kx = 0,01 Вт/м2 K kx = 100 Вт/м2 K
–20 30
27,1
–20 20
30,5
39,9
–20 5,1
–3,7
0 20
5,7
9
–20 –26,3
–41,3
20 20
–25,8
–28,6
нее, на способные в определенных условиях внести весомый вклад в термоаберрацию положения (первая группа) и неспособные оказать сколь-нибудь существенное влияние (вторая группа).
К первой группе относятся термоаберрация температурного уровня – четвертый компонент в формуле (1) и термоаберрация температур-
fi, мкм
25 4
20
6
15
10
62
01 5
3
–50
–20 –15 –10 –5 0 5 10 20 0, K
Рис. 2. Зависимости вклада составляющих в термонаведенное смещение фокальной плоскости от перегрева платформы при перегреве корпуса t = –20 K. 1 – первый компонент при kx = 0,01, 2 – второй компонент при kx = 0,01, 3 – третий компонент при kx = 0,01 и kx = 100, 4 – четвертый компонент при kx = 0,01 и kx = 100; 5 – первый компонент при kx = 100, 6 – второй компонент при kx = 100.
fi, мкм
8
6
42
2
01 4
–2
–4
5 3
–6
6
–8
–10–20 –15 –10 –5
0
5 10 20 0, K
Рис. 3. Зависимости вклада составляющих
в термонаведенное смещение фокальной пло-
скости от перегрева платформы при перегреве
корпуса t = 0 K. Обозначения кривых 1–6 – те же, что в подписи к рис. 2.
34 “Оптический журнал”, 80, 3, 2013
fi, мкм 2
0
–5 3
1
5
–10
6
–15
–20
–25
4
–30 –20 –15 –10 –5
0
5 10 20 0, K
Рис. 4. Зависимости вклада составляющих
в термонаведенное смещение фокальной пло-
скости от перегрева платформы при перегреве
корпуса t = 20 K. Обозначения кривых 1–6 – те же, что в подписи к рис. 2.
ной неоднородности главного зеркала – второй
компонент в формуле (1). Термоаберрация
температурного уровня, как и следовало ожи-
дать, велика при значительном перегреве корпуса телескопа (линии 4 на рис. 2 и рис. 4). В случае отрицательного перегрева t = –20 K этот компонент имеет положительный знак (линия 4 на рис. 2), а при положительном перегреве t = 20 K его знак отрицательный (линия 4 на рис. 4). Это объясняется тем, что коэффициент D в формуле (1) при заданных
значениях параметров телескопа отрицательный, а именно D = –1,377 мкм/K. Физически
это означает, что при повышении температуры
корпуса относительно номинального рабочего
значения (при нагреве) корпус расширяется,
расстояние от главного зеркала до вторичного
увеличивается, что и приводит к уменьшению
заднего отрезка (фокус телескопа уменьшает-
ся). При охлаждении корпуса происходит об-
ратный процесс.
Термоаберрация температурной неодно-
родности главного зеркала значима при его
хорошем тепловом контакте с платформой (при kх 100 Вт/м2 K) – линия 6 на всех трех рисунках. При этом она всегда возрастает с ростом перегрева платформы от t = –20 K до t = 20 K. При отрицательном перегреве корпуса (t = –20 K) этот компонент положительный на всем диапазоне изменения 0, а при t = –20 K– отрицательный. Он равен нулю при 0 = t = –20 K и при 0 = t = 20 K,
что соответствует результатам анализа баланса тепловых потоков в тепловой цепи на рис. 1. В случае, когда t и 0 равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, абсолютные значения второго компонента при kх = 100 Вт/м2 K равны. При t = –20 K и 0 = 20 K вклад второго компонента равен +17 мкм, а при t = 20 K и 0 = = –20 K – –17 мкм.
Ко второй группе малозначимых компонентов при заданных параметрах телескопа относятся термоаберрация температурного уровня вторичного зеркала (это обусловлено низким значением коэффициента Вs: |Вs| = 0,17 Вm, |Вs| = 0,04Вt и Вs = 0,05D), а также термоаберрации температурной неравномерности в главном зеркале (что объясняется весьма большой тепловой проводимостью зеркала в осевом направлении при km = 40 Вт/м2 K). Указанные компоненты малы независимо от значения величин t, 0, kх.
Отдельного анализа заслуживают данные рис. 3. Из него видно, что при t = 0 = 0 остается один, хотя и малый, но принципиально неустранимый компонент – термоаберрация температурной неоднородности вторичного зеркала (линия 3). Термоаберрация температурной неоднородности для главного зеркала заметна только при kх = 0,01 Вт/м2 K, а термоаберрация температурной неравномерности, наоборот – при kх = 100 Вт/м2 K.
6. Выводы
Полученное аналитическое описание термоаберрации положения вида (1) для телескопов Грегори и Кессегрена позволяет анализировать вклад отдельных составляющих в суммарную термоаберрацию: термоаберрации температурной неравномерности в главном зеркале при осевом и радиальном теплоотводе, термоаберрации температурной неоднородности между элементами телескопа и термоаберрации температурного уровня.
Полученные формулы (1)–(4) и (8)–(11) положены в основу методики определения требований к допустимому диапазону изменений температур корпуса телескопа и к устройству крепления главного зеркала (платформы), а также к качеству теплового контакта между зеркалом и платформой. Это позволяет на начальной стадии проектирования определять требования к СОТР, обеспечивающей требуемые уровни термостатирования.
“Оптический журнал”, 80, 3, 2013
35
Простые соотношения (14) и (15) показывают, что требования к минимизации перегрева тыльной поверхности главного зеркала и температурного перепада по его оси находятся в противоречии. Это подтверждается данными исследований телескопа Кессегрена с конкретными параметрами, представленными на рис. 2–4.
К неустранимым составляющим термоаберрации относятся термоаберрация температурного уровня вторичного зеркала, а также одна из термоаберраций – температурная неоднородность для главного зеркала при малых kx или термоаберрация температурной неравномерности в этом зеркале при больших kx. В рассмотренном случае эти компоненты термоаберрации малозначимы.
Термоаберрация температурного уровня при рассмотренных значениях параметров телескопа может быть велика и ее знак противопо-
ложен знаку приращения температуры (перегрева) корпуса. Необходимо отметить, что это полностью определяется знаком коэффициента D в формуле (1). Абсолютная величина этого коэффициента зависит от параметров оптической схемы. Для телескопа Грегори коэффициент Bs, входящий в D, положителен, причем его величина может быть достаточно большой, что приведет к снижению значимости компонента термоаберрации температурного уровня.
Полученные аналитические формулы составляют основу метода выбора параметров телескопов, определяющих его устойчивость к термонаведенной термоаберрации положения, определения требований к облику и параметрам СОТР, обеспечивающим в совокупности термостабильность телескопа. Такая методика может быть применима не только к телескопам Грегори и Кессегрена, но и к системам Ричи–Кретьена.
*****
ЛИТЕРАТУРА
1. Волосов Д.С. Фотографическая оптика. М.: Искусство, 1971.
2. Абдусаматов Х.И., Лаповок Е.В., Ханков С.И. Методы обеспечения термостабильности космического телескопа – солнечного лимбографа. СПб.: Изд. Политехнического университета, 2008. 194 с.
3. Лаповок Е.В., Ханков С.И. Аналитическая методика расчета термоаберраций зеркального телескопа с учетом температурных градиентов в главном зеркале // Труды Оптического общества им. Д.С. Рождественского. VIII Международная конференция “Прикладная оптика – 2008” том 1. С. 139–142.
4. Абдусаматов Х.И., Богоявленский А.И., Лаповок Е.В, Ханков С.И. Исследование термостабильности зеркального телескопа – солнечного лимбографа в режиме непрерывного наблюдения за Солнцем // Оптический журнал. 2009. Т. 76. № 5. С. 51–59.
36 “Оптический журнал”, 80, 3, 2013
УДК 621.373.526
ТЕРМООПТИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ В ЗЕРКАЛЬНЫХ ТЕЛЕСКОПАХ
© 2013 г. Ю. В. Баева, аспирантка; Е. В. Лаповок, аспирант; С. И. Ханков, доктор техн. наук СПбНИУ ИТМО, Санкт-Петербург Е-mail: yul.bayo@yandex.ru
Получено аналитическое описание зависимости термоаберрации положения телескопов Грегори и Кессегрена в виде суммы составляющих, вносимых тепловым режимом каждого элемента телескопа. На конкретном примере изложена методика определения допустимых диапазонов изменения температур корпуса телескопа и платформы крепления главного зеркала, в пределах которых обеспечивается термостабильность телескопа в стационарном тепловом режиме.
Ключевые слова: космический телескоп, система обеспечения теплового режима, тепловой режим, термоаберрация.
Коды OCIS: 120.4640, 120.0280, 350.1246, 350.6050, 350.6090.
Поступила в редакцию 01.10.2012.
1. Введение
Изменение теплового режима телескопа приводит к развитию термоаберраций разного типа. Среди них следует выделить термонаведенное смещение положения фокальной плоскости, или термоаберрацию положения [1]. Ее учет важен, поскольку ее компенсация не всегда возможна. При этом термонаведенная сферическая аберрация хотя и неустранима, но всегда много меньше термоаберрации положения для длиннофокусных телескопов [2].
Целью данных исследований является получение единого аналитического описания зависимости термоаберрации положения от составляющих (компонентов термоаберраций), вносимых тепловым режимом каждого элемента телескопа, и на этой основе решение задачи определения требований к допустимому диапазону изменения температур элементов термостабильного телескопа. Актуальность решения этой задачи определяется необходимостью учета вклада каждого фактора для разработки рекомендаций по методам обеспечения термостабильности телескопа на основе минимизации термоаберрации положения.
Для телескопов Грегори и Кессегрена величина термонаведенного смещения фокальной плоскости была определена нами в виде зависимостей от температурных неравномерностей в главном зеркале [3], а также описана через термоаберрацию температурного уровня телескопа и термоаберрации температурной неоднородности между элементами телескопа [4]. Однако в последнем случае зеркала принимались изотермичными.
2. Общие соотношения для расчетов термоаберрации положения
В результате преобразований аналитических формул получено единое аналитическое описание термоаберрации положения, включающее термоаберрацию температурной неравномерности в главном зеркале, компоненты термоаберраций температурной неоднородности, в которой температурный уровень главного зеркала задается его минимальной температурой, а термоаберрация температурного уровня определяется перегревом корпуса телескопа. Эта аналитическая зависимость имеет вид
30 “Оптический журнал”, 80, 3, 2013
f = Bmjj + Bmi + Bss + Dt,
i =1, 2, j = x, r,
x =1+ n, n = Rm /b, r = (1+ )/4, D = Bm + Bs - Bt, s = s - t,
s = Ts -T0, s = Ts -T0, t = Tt -T0,
(1)
где i – разность минимальной температуры главного зеркала и температуры корпуса теле-
скопа, j – перепад температур в главном зеркале, s – перегрев вторичного зеркала относительно корпуса телескопа, s и t – соответственно перегревы вторичного зеркала
и корпуса телескопа относительно начальной
(номинальной) температуры T0; Ts и Tt – соответственно температуры вторичного зеркала
и корпуса, Rm – параксиальный радиус главного зеркала, b – толщина зеркала (для длин-
нофокусного зеркала ввиду малой стрелы про-
гиба принимается среднее значение толщины),
– коэффициент Пуассона материала главного
зеркала, индексы m и s означают главное и вто-
ричное зеркало соответственно, t – корпус,
r и x – цилиндрические координаты.
Коэффициенты Bi [м/K] определяются по формулам
Bm = m
Rm 2
c2,
Bs = s2ac,
Bt = tLc2, ñ = (1+ e)/(1- e),
(2)
где L – расстояние между зеркалами, а – большая полуось эллипса (для рабочей поверхности вторичного зеркала в телескопе Грегори) или гиперболы (в телескопе Кессегрена), e – эксцентриситет эллипса или гиперболы в уравнении профиля поверхности вторичного зеркала, i – коэффициент линейного расширения i-го элемента.
При теплоотводе от тыльной поверхности главного зеркала возникает перепад температур по толщине зеркала. Эту ситуацию будем кратко описывать терминами “осевой теплоотвод” и “осевой температурный перепад”. При этом в формуле (1) реализуются условия i = 1, j = x. В результате получим
1 = x - t = qx/kx - t, x = m - x = qxb/,
(3)
где x – перегрев тыльной поверхности зеркала относительно корпуса телескопа (минималь-
ный перегрев); x – перепад температур по толщине главного зеркала; m – среднеповерхностный перегрев рабочей поверхности зерка-
ла; qx – удельный тепловой поток, проходящий вдоль оси зеркала, который при абсолютной теплоизоляции боковой поверхности зеркала равен поглощенному рабочей поверхностью удельному потоку qm; kx – контактный коэффициент теплообмена на тыльной поверхности зеркала, характеризующий интенсивность теплоотвода к узлу крепления; – коэффициент теплопроводности материала зеркала.
При теплоотводе от боковой поверхности главного зеркала возникает перепад температур по радиусу зеркала. Эту ситуацию будем кратко описывать терминами “радиальный теплоотвод” и “радиальный температурный перепад”. При этом в формуле (1) реализуются условия i = 2, j = r. В результате получим
2
=
r 2
- t
=
qr r 4bkr
- t,
r
=
qr r2 4b
,
(4)
где r = Tr – T0 – перегрев боковой поверхности главного зеркала относительно начальной температуры T0, r – перепад температур по радиусу зеркала, qr – удельный тепловой поток, проходящий в направлении радиуса зеркала,
который при абсолютной теплоизоляции тыль-
ной поверхности зеркала равен поглощенному
рабочей поверхностью удельному потоку qm; kr – контактный коэффициент теплообмена на боковой поверхности зеркала, характеризую-
щий интенсивность теплоотвода к узлу крепле-
ния; r – внешний радиус главного зеркала.
Формула (1) включает четыре слагаемых,
описывающих основные компоненты общей
термоаберрации: термоаберрация температурной неравномер-
ности в главном зеркале (Bmjj); этот компонент может быть значим при осевом теплоот-
воде, поскольку обычно реализуется условие n >> 1 и x n; неравномерность нагрева вторичного зеркала обычно мала и малозначима;
термоаберрация температурной неоднородности (Bmi и Bss); составляющая Bss мала, так как обычно выполняются условия
Вs < Вm и Вs < Вt, но неустранима, что связано с конечной суммарной тепловой проводи-
мостью пилонов, которыми вторичное зеркало крепится к корпусу; составляющая Bmi целиком зависит от идеальности контакта – вели-
чины kx или kr; термоаберрация температурного уров-
ня, которую можно определить как величину
термооптической аберрации положения изо-
бражения, вызванной изменением температу-
ры телескопа относительно номинальной при
“Оптический журнал”, 80, 3, 2013
31
условии сохранения его изотермичности, то есть при сохранении равномерного распределения температур в зеркалах и равенства температур зеркал температуре корпуса. Этот компонент Dt определяется уровнем температуры корпуса и обычно в значительной степени определяет величину термоаберрации положения. Неравномерность нагрева корпуса сравнительно легко может быть учтена, однако не имеет особого значения, поскольку она не влияет на ход лучей между зеркалами, а температурное расширение корпуса определяется его средней температурой.
Методика определения преимущественного направления теплоотвода основывается на оценке величин kx и kr из анализа конструкции крепления зеркала. Если такая оценка затруднена, необходимо провести расчеты термоаберраций по исходной формуле (1) для двух вариантов – только для осевого и только для радиального теплоотвода. Тот вариант, который показывает значительно большую величину f, фактически и имеет место в данной конструкции телескопа. Если проведенные для двух вариантов расчеты дают сопоставимые результаты, то необходимо решать задачу в двумерной постановке, что требует использования численных методов расчета.
3. Влияние температур корпуса телескопа и платформы крепления главного зеркала на характеристики
теплового режима
Одна из типичных задач тепловых и термоаберрационных расчетов формулируется следующим образом: определить допустимые диапазоны изменения температур корпуса телескопа и некоторых конструктивных элементов, например платформы крепления главного зеркала, в пределах которых обеспечивается термостабильность телескопа. Критерием термостабильности выбирается допустимое смещение фокальной плоскости. Решение такой задачи позволяет на начальных стадиях теплового проектирования определить облик и требования к характеристикам системы обеспечения теплового режима (СОТР) телескопа.
Проведем анализ на примере частного, но типичного случая крепления главного зеркала тыльной поверхностью к платформе (модель осевого теплоотвода).
Важно отметить, что в формуле для расчетов термоаберрации положения перегрев
главного зеркала относительно корпуса может
вычисляться независимо от того, крепится ли
зеркало к самому корпусу или к отделенной от
него платформе.
Рассмотрим в упрощенной постановке за-
дачу определения требований к рабочим тем-
пературам корпуса телескопа и платформы,
а также к величине контактного коэффициен-
та теплообмена между тыльной поверхностью
зеркала и платформой с целью определения
диапазонов изменения этих величин, в преде-
лах которых термоаберрация положения не
выйдет за допустимые пределы. Эта область
определяет границы термостабильного состоя-
ния телескопа.
В тепловой модели рассматриваемого теле-
скопа принимаем, что тепловой контакт меж-
ду главным зеркалом и корпусом отсутствует.
При этом теплообмен между ними происходит
за счет излучения, а между вторичным зерка-
лом и корпусом – контактным способом через
пилоны. Главное зеркало крепится к платфор-
ме, не имеющей тепловой связи с корпусом.
Дальнейшие расчеты будем проводить для
телескопа, осуществляющего дистанционное
зондирование Земли. Для наглядности анализа
ограничимся случаем стационарного теплового
режима.
Процесс стационарного теплообмена зерка-
ла с корпусом и платформой можно описать
в виде эквивалентной тепловой цепи (рис. 1).
На рис. 1 qt и qm – части общего теплового потока qx, поглощаемого рабочей поверхностью главного зеркала; 0 – перегрев платформы, kt – коэффициент теплообмена излучением зеркала с корпусом, km – эффективный коэффициент теплопередачи теплопроводностью от
рабочей поверхности зеркала к тыльной.
В тепловой цепи коэффициенты теплообме-
на kt и km определяются по формулам
kt = 0,227ïæçççè1T0H0øö÷÷÷3,
km
=
b
,
(5)
где п – приведенная степень черноты системы главное зеркало–корпус, – коэффициент
облученности корпуса зеркалом.
t kt
m km x kx 0
qt qx qm
Рис. 1. Схема эквивалентной тепловой цепи для главного зеркала.
32 “Оптический журнал”, 80, 3, 2013
Тепловой поток qx разделяется на две части и распространяется в левую qt и правую qm часть цепи:
qx = qt + qm.
(6)
Тепловая цепь рассчитывается из системы уравнений
ïïïíïïïïïîìïqqqmmx -==qkkmmx (=(kxmt-(-m0x-).),t ),
Из решения системы (7) следует
x
=
G
êéêë
qx km
+
Nt t
+ (1 +
Nt )Nx0 úûúù,
1 =
m - x
=
GNx
êêëé
qx km
+
Nt (t
- 0)ûúùú,
(7)
(8) (9)
qm = GNx êëéqx + kt (t - 0 )úûù.
(10)
В формулах (8)–(10) введены обозначения
G = (Nt + Nx + Nt Nx )-1,
Nt = kt /km, Nx = kx /km.
(11)
Из (8) можно получить условие равенства нулю перегрева тыльной поверхности главного зеркала (x = 0) при
t
= -kx
çæçèç
1 kt
+
1 km
öø÷÷÷÷0 -
qx kt
.
(12)
Из (9) можно получить условие отсутствия температурного перепада по толщине зеркала (1 = 0, а также и qm = 0) при
t
=
0
-
qx kt
.
(13)
Из соотношения (12) следует, что при больших значениях kx и при 0 > 0 условие (12) выполняется при весьма больших отрицатель-
ных величинах перегрева корпуса, что влечет
за собой большую отрицательную термоабер-
рацию температурного уровня. Однако если
задать требования термостабилизации корпуса телескопа, т. е. t = 0, из (12) с учетом обычно выполняемого неравенства km >> kt можно получить
0 = -qx/kx.
(14)
Условие (14) совместно с условиями t = 0 и x = 0 обеспечивают минимальную термо-
аберрацию температурного уровня и темпера-
турной неоднородности. Вместе с тем, при 1 = 0 и t = 0, как сле-
дует из (13), должно выполняться равенство
0
=
qx kt
.
(15)
В результате подходы к минимизации термоаберрации температурной неоднородности и температурной неравномерности в главном зеркале находятся в противоречии, поскольку в первом случае перегрев платформы должен быть отрицательным, а во втором – положительным. Это противоречие необходимо разрешать на основе количественных расчетов вклада каждого из компонентов в общую термоаберрацию положения.
Величина s = Ts – 293 определяется из уравнения
st(Ts – Tt) + ssSsTs4 = Ps,
(16)
где st – проводимость между корпусом и вторичным зеркалом, Ps – поглощенный вторичным зеркалом лучистый тепловой поток, = 5,6710–8 Вт/м2 K4 – постоянная Стефа-
на–Больцмана, s – коэффициент облученности между вторичным зеркалом и космосом,
s и Ss – коэффициент черноты и площадь поверхности вторичного зеркала соответственно.
4. Исходные параметры для расчета
В дальнейших расчетах принимались следующие значения параметров:
а) параметры оптической системы соответствуют конкретному телескопу Кессегрена и равны:
Rm = 1,21 м, a = 0,11 м, е = 2,763, L = = 378 мм, m = s = 1,510–7 K–1, t = 10–6 K–1, b = 0,03 м, n = 40,33, диаметр входного зрачка d = 350 мм, фокусное расстояние f = = 1670 мм, относительное отверстие оптической системы A = d/f = 0,21, значения коэффициентов в формуле (1) в мкм/K равны: Вm = 0,413, Вs = –0,07, Вt = 1,72, D = –1,377;
б) теплофизические параметры имеют следующие значения:
Потоки, поглощенные главным и вторичным зеркалами при нахождении телескопа на освещенном Солнцем участке траектории, составляют Pm = 0,2 Вт, Ps = 1,86 Вт; удельный тепловой поток, поглощенный главным зеркалом, – qx = 2 Вт/м2, поглощенный вторичным зеркалом – 81,75 Вт/м2; теплопроводность си-
“Оптический журнал”, 80, 3, 2013
33
талла (материал главного и вторичного зеркал) = 1,2 Вт/м K; приведенная степень черноты п = 0,047, коэффициент облученности главного зеркала корпусом = 0,82, начальная температура всех элементов телескопа Т0 = 293 K; для вторичного зеркала st = 0,0178 Вт/K, s = = 0,16, s = 0,85.
В результате вычислений получили следующие значения параметров: kt = 0,22 Вт/м2 K; km = = 40 Вт/м2 K; Nt = 0,0055. При kх = 0,01 Вт/м2 K получим Nx = 0,00025, G = 173,6, а при kх = = 100 Вт/м2 K – Nx = 2,5 и G = 0,379.
5. Расчет термоаберрации положения и ее составляющих
Результаты расчетов суммарной термодеформации положения при различных величинах t, 0 и kх представлены в таблице. Как видно из данных этой таблицы, при хорошем тепловом контакте зеркала с платформой (при kх = 100 Вт/м2 K) и при крайних противоположных значениях перегревов корпуса телескопа и платформы (t = –20 K и 0 = 20 K, а также t = 20 K и 0 = –20 K) суммарная термоаберрация превышает допустимое значение ±33 мкм. В остальных ситуациях термоаберрация остается в допустимых пределах.
Зависимости составляющих (или компонентов) термоаберрации положения от перегрева платформы при крайних значениях kх = 0,01 Вт/м2 K и kх = 100 Вт/м2 K представлены на рис. 2–4 для трех значений перегрева корпуса.
Из этих рисунков можно сделать следующие выводы: для телескопа с данными параметрами составляющие термоаберрации можно разделить на значимые и малозначимые, а точ-
Зависимость термоаберрации положения от пере-
гревов корпуса t и платформы 0 и коэффициента контактного теплообмена kx
t, K
Термоаберрация, мкм 0, K kx = 0,01 Вт/м2 K kx = 100 Вт/м2 K
–20 30
27,1
–20 20
30,5
39,9
–20 5,1
–3,7
0 20
5,7
9
–20 –26,3
–41,3
20 20
–25,8
–28,6
нее, на способные в определенных условиях внести весомый вклад в термоаберрацию положения (первая группа) и неспособные оказать сколь-нибудь существенное влияние (вторая группа).
К первой группе относятся термоаберрация температурного уровня – четвертый компонент в формуле (1) и термоаберрация температур-
fi, мкм
25 4
20
6
15
10
62
01 5
3
–50
–20 –15 –10 –5 0 5 10 20 0, K
Рис. 2. Зависимости вклада составляющих в термонаведенное смещение фокальной плоскости от перегрева платформы при перегреве корпуса t = –20 K. 1 – первый компонент при kx = 0,01, 2 – второй компонент при kx = 0,01, 3 – третий компонент при kx = 0,01 и kx = 100, 4 – четвертый компонент при kx = 0,01 и kx = 100; 5 – первый компонент при kx = 100, 6 – второй компонент при kx = 100.
fi, мкм
8
6
42
2
01 4
–2
–4
5 3
–6
6
–8
–10–20 –15 –10 –5
0
5 10 20 0, K
Рис. 3. Зависимости вклада составляющих
в термонаведенное смещение фокальной пло-
скости от перегрева платформы при перегреве
корпуса t = 0 K. Обозначения кривых 1–6 – те же, что в подписи к рис. 2.
34 “Оптический журнал”, 80, 3, 2013
fi, мкм 2
0
–5 3
1
5
–10
6
–15
–20
–25
4
–30 –20 –15 –10 –5
0
5 10 20 0, K
Рис. 4. Зависимости вклада составляющих
в термонаведенное смещение фокальной пло-
скости от перегрева платформы при перегреве
корпуса t = 20 K. Обозначения кривых 1–6 – те же, что в подписи к рис. 2.
ной неоднородности главного зеркала – второй
компонент в формуле (1). Термоаберрация
температурного уровня, как и следовало ожи-
дать, велика при значительном перегреве корпуса телескопа (линии 4 на рис. 2 и рис. 4). В случае отрицательного перегрева t = –20 K этот компонент имеет положительный знак (линия 4 на рис. 2), а при положительном перегреве t = 20 K его знак отрицательный (линия 4 на рис. 4). Это объясняется тем, что коэффициент D в формуле (1) при заданных
значениях параметров телескопа отрицательный, а именно D = –1,377 мкм/K. Физически
это означает, что при повышении температуры
корпуса относительно номинального рабочего
значения (при нагреве) корпус расширяется,
расстояние от главного зеркала до вторичного
увеличивается, что и приводит к уменьшению
заднего отрезка (фокус телескопа уменьшает-
ся). При охлаждении корпуса происходит об-
ратный процесс.
Термоаберрация температурной неодно-
родности главного зеркала значима при его
хорошем тепловом контакте с платформой (при kх 100 Вт/м2 K) – линия 6 на всех трех рисунках. При этом она всегда возрастает с ростом перегрева платформы от t = –20 K до t = 20 K. При отрицательном перегреве корпуса (t = –20 K) этот компонент положительный на всем диапазоне изменения 0, а при t = –20 K– отрицательный. Он равен нулю при 0 = t = –20 K и при 0 = t = 20 K,
что соответствует результатам анализа баланса тепловых потоков в тепловой цепи на рис. 1. В случае, когда t и 0 равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, абсолютные значения второго компонента при kх = 100 Вт/м2 K равны. При t = –20 K и 0 = 20 K вклад второго компонента равен +17 мкм, а при t = 20 K и 0 = = –20 K – –17 мкм.
Ко второй группе малозначимых компонентов при заданных параметрах телескопа относятся термоаберрация температурного уровня вторичного зеркала (это обусловлено низким значением коэффициента Вs: |Вs| = 0,17 Вm, |Вs| = 0,04Вt и Вs = 0,05D), а также термоаберрации температурной неравномерности в главном зеркале (что объясняется весьма большой тепловой проводимостью зеркала в осевом направлении при km = 40 Вт/м2 K). Указанные компоненты малы независимо от значения величин t, 0, kх.
Отдельного анализа заслуживают данные рис. 3. Из него видно, что при t = 0 = 0 остается один, хотя и малый, но принципиально неустранимый компонент – термоаберрация температурной неоднородности вторичного зеркала (линия 3). Термоаберрация температурной неоднородности для главного зеркала заметна только при kх = 0,01 Вт/м2 K, а термоаберрация температурной неравномерности, наоборот – при kх = 100 Вт/м2 K.
6. Выводы
Полученное аналитическое описание термоаберрации положения вида (1) для телескопов Грегори и Кессегрена позволяет анализировать вклад отдельных составляющих в суммарную термоаберрацию: термоаберрации температурной неравномерности в главном зеркале при осевом и радиальном теплоотводе, термоаберрации температурной неоднородности между элементами телескопа и термоаберрации температурного уровня.
Полученные формулы (1)–(4) и (8)–(11) положены в основу методики определения требований к допустимому диапазону изменений температур корпуса телескопа и к устройству крепления главного зеркала (платформы), а также к качеству теплового контакта между зеркалом и платформой. Это позволяет на начальной стадии проектирования определять требования к СОТР, обеспечивающей требуемые уровни термостатирования.
“Оптический журнал”, 80, 3, 2013
35
Простые соотношения (14) и (15) показывают, что требования к минимизации перегрева тыльной поверхности главного зеркала и температурного перепада по его оси находятся в противоречии. Это подтверждается данными исследований телескопа Кессегрена с конкретными параметрами, представленными на рис. 2–4.
К неустранимым составляющим термоаберрации относятся термоаберрация температурного уровня вторичного зеркала, а также одна из термоаберраций – температурная неоднородность для главного зеркала при малых kx или термоаберрация температурной неравномерности в этом зеркале при больших kx. В рассмотренном случае эти компоненты термоаберрации малозначимы.
Термоаберрация температурного уровня при рассмотренных значениях параметров телескопа может быть велика и ее знак противопо-
ложен знаку приращения температуры (перегрева) корпуса. Необходимо отметить, что это полностью определяется знаком коэффициента D в формуле (1). Абсолютная величина этого коэффициента зависит от параметров оптической схемы. Для телескопа Грегори коэффициент Bs, входящий в D, положителен, причем его величина может быть достаточно большой, что приведет к снижению значимости компонента термоаберрации температурного уровня.
Полученные аналитические формулы составляют основу метода выбора параметров телескопов, определяющих его устойчивость к термонаведенной термоаберрации положения, определения требований к облику и параметрам СОТР, обеспечивающим в совокупности термостабильность телескопа. Такая методика может быть применима не только к телескопам Грегори и Кессегрена, но и к системам Ричи–Кретьена.
*****
ЛИТЕРАТУРА
1. Волосов Д.С. Фотографическая оптика. М.: Искусство, 1971.
2. Абдусаматов Х.И., Лаповок Е.В., Ханков С.И. Методы обеспечения термостабильности космического телескопа – солнечного лимбографа. СПб.: Изд. Политехнического университета, 2008. 194 с.
3. Лаповок Е.В., Ханков С.И. Аналитическая методика расчета термоаберраций зеркального телескопа с учетом температурных градиентов в главном зеркале // Труды Оптического общества им. Д.С. Рождественского. VIII Международная конференция “Прикладная оптика – 2008” том 1. С. 139–142.
4. Абдусаматов Х.И., Богоявленский А.И., Лаповок Е.В, Ханков С.И. Исследование термостабильности зеркального телескопа – солнечного лимбографа в режиме непрерывного наблюдения за Солнцем // Оптический журнал. 2009. Т. 76. № 5. С. 51–59.
36 “Оптический журнал”, 80, 3, 2013