Анализ и параметрический синтез оптических систем зеркально-линзового концентрического объектива

РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УДК 535.318
АНАЛИЗ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВОГО КОНЦЕНТРИЧЕСКОГО ОБЪЕКТИВА

© 2012 г. В. А. Зверев, доктор техн. наук; А. С. Ковалева; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: post_vaz@rambler.ru

Представлен анализ аберрационных свойств зеркальных и зеркально-линзовых оптических систем, состоящих из концентрических поверхностей объектива, и метод их параметрического синтеза.

Ключевые слова: апланатический зеркально-линзовый объектив, концентрический объектив, плоскость наилучшей установки.

Коды OCIS: 200.0200, 220.0220

Поступила в редакцию 25.04.2011

Объектив Шмидта был первым в ряду катадиоптрических (зеркально-линзовых) объективов, созданных в первой половине XX века [1]. Входной зрачок оптической системы, состоящей из одной отражающей поверхности сферической формы, Бернгард Шмидт поместил в плоскости, проходящей через центр кривизны поверхности. Дополнив отражающую поверхность плоскопараллельной пластинкой, он совместил вторую по ходу луча поверхность пластинки с плоскостью входного зрачка. Путем деформации этой поверхности была компенсирована сферическая аберрация изображения, образованного отражающей поверхностью. В результате такого построения оптической системы была решена задача создания апланатического зеркально-линзового объектива астрономического телескопа. Вполне очевидно, что поверхность образованного изображения в этом случае будет иметь форму сферы, радиус кривизны которой равен фокусному расстоянию системы, а расстояние от входного зрачка до отражающей поверхности (длина системы) равно двойному фокусному расстоянию. Длину системы можно сократить примерно вдвое, если отражающую поверхность заменить системой из двух концентрических отражающих поверхностей. Изображение, образованное та-

кой системой, занимает положение, удобное для размещения фотоприемного устройства. Если для компенсации остаточной сферической аберрации изображения применить пластинку с деформированной поверхностью, вершина которой расположена в центре кривизны поверхностей, то такую систему можно рассматривать как модификацию системы Шмидта. Однако оптическая система, состоящая из концентрических поверхностей, обладает и собственными коррекционными возможностями. Исследование свойств концентрических оптических систем представлено в трудах ряда авторов второй половины прошлого века [2–7]. Результаты этих исследований позволяют разработать инженерный метод проектирования подобных систем. Решению этой задачи и посвящена предлагаемая работа авторов.
Обратимся к рис. 1, на котором показан путь действительного луча через преломляющую поверхность сферической формы. На этом рисунке NiC = ri; Pi  точка пересечения падающего на поверхность луча или его продолжения с нормалью к нему, опущенной из центра кривизны поверхности, Pi  точка пересечения преломленного на поверхности луча или его продолжения с нормалью к нему из центра кривизны той же поверхности. Обо-

“Оптический журнал”, 79, 1, 2012

3

Аi –i

n –iNi
Оi

n –i
i

Pi Pi
C

Рис. 1. Путь луча через сферическую поверхность раздела двух сред.

значим CPi = mi, CPi = mi = CPi + 1 = mi + 1. Из треугольников, показанных на рис. 1, сле-

дует, что угол

i = i - i = i¢ - i¢,

(1)

где i¢ - угол, образованный преломленным лучом с оптической осью (на рис. 1 не показан).
Выражение (1) удобно представить в виде

i¢ - i = i¢ - i.

(2)

Тогда для оптической системы из k концен-
трических поверхностей в точке C поверхно-
стей будем иметь 1¢ - 1 = 1¢ - 1, ............................. i¢ - i = i¢ - i, ............................. k¢ - k = k¢ - k.
Сложив левые и правые части этих выраже-
ний и учитывая, что i = i = 1, получаем

или

åi=k
k¢ - 1 = (i¢ - i ),
i=1
å åi=k i=k
k¢ = 1 + i¢ - i.
i=1 i=1

(3) (4)

В соответствии с рис. 1 синус угла падения луча на i-ю преломляющую поверхность равен

sini = -mi/ri,

(5)

а синус угла преломления

sin i¢ = -mi+1/ri.

(6)

В соответствии с законом преломления ni + 1sini = nisini. При этом

sini¢ = (ni /ni+1) sini = -nimi/(ni+1ri). (7)

Из выражений (6) и (7) следует инвариант

вида

nimi = ni+1mi+1.

(8)

Таким образом, каждый луч, падающий в
точку Ni поверхности, или его продолжение касаются окружности с центром в точке C,
радиус кривизны которой

mi¢= mi+1 = nimi/ni+1.

(9)

При 1 = 0 фокусное расстояние рассматриваемой системы равно

f ¢= m/sin¢= m1/sink¢ .

(10)

При m1  0 фокусное расстояние f  f0 . Заметим, что в рассматриваемом случае глав-
ные плоскости совмещены и проходят через
центр кривизны поверхностей системы. При этом фокусное расстояние f0 системы равно расстоянию от центра кривизны поверхностей
до осевой точки образованного изображения.
Поэтому можно считать, что продольная сфе-
рическая аберрация изображения, образован-
ная системой концентрических поверхностей, равна s  f  f0 . Дифференцируя выражение (10) и заменяя дифференциалы конечными разностями, получаем f  s = (/sin2)m cos. Здесь m = const. Тогда поперечная сфе-
рическая аберрация определится выражением g = stg = f, где  = 0  . При этом сферическая аберрация в угловой мере (или
угловая сферическая аберрация [6]) определится отношением  = g/f.
Применив формулы (5), (6), (7) и (8), формулу (4) при 1 = 0 можно представить в виде

åi=k
k¢ = arcsin[n1m1/(niri )]i=1 åi=k
- arcsin ëén1m1/(ni+1ri )ûù.
i=1

(11)

В соответствии с формулой (10) угол

k = arcsin(m1/f). При малой величине x угол arcsinx = x. В рассматриваемом случае при

малой величине m (m  0) величина f = f0 . Полагая в формуле (11) величину m малой,

получаем

å0

=

1 f0¢

= n1

i=k i=1

1 ri

æççççèn1i

-1 ni+1

öø÷÷÷÷.

(12)

Функцию arcsinx можно представить степенным рядом вида

4 “Оптический журнал”, 79, 1, 2012

arcsin

x

=

x

+

1 6

x3

+

3 40

x5

+

5 112

x7

+

...

.

Ограничиваясь при разложении в степенной

ряд членами не выше седьмого порядка, форму-

лу (11) можно представить в виде

åk¢ = n1m1

i=k i=1

1 ri

ççççæè

1 ni

-

1 ni+1

÷÷ö÷ø÷

+

1 6

n13m13

´

å åi=k
´
i=1

1 ri3

ççèæçç

1 ni3

-

1 ni3+1

øö÷÷÷÷÷

+

3 40

n15m15

i=k i=1

1 ri5

æèççççn1i5

-

1 ni5+1

øö÷÷÷÷÷

+

å+

5 112

n17m17

i=k i=1

1 ri7

æççççèn1i7

-

1 ni7+1

÷÷ö÷ø÷÷.

(13)

В этом выражении

ån1m1

i=k i=1

1 ri

æççççè

1 ni

-

1 ni+1

öø÷÷÷÷

=

m1 f0¢

= sink¢ 0.

При этом k0 = arcsin(m1/f0) = m1/f0 + (1/6) (m1/f0)3 + (3/40)(m1/f0 )5 + (5/112)(m1/f0 )7. Отсюда находим m1/f0 = k0  (1/6)(m1/f0 )3  (3/40) (m1/f0 )5  (5/112)(m1/f0 )7. Полученные соотношения позволяют выражение (13) представить

в виде

¢=

k¢ 0

-

k¢

=

1 6

m13 f0¢3

-

å-

1 6

n13m13

i=k i=1

1 ri3

çæçççè

1 ni3

-

1 ni3+1

öø÷÷÷÷÷

+

3 40

m15 f0¢5

-

å-

3 40

n15m15

i=k i=1

1 ri5

èæçççç

1 ni5

-

1 ni5+1

÷÷÷÷÷øö

+

5 112

m17 f0¢7

-

å-

5 112

n17m17

i=k i=1

1 ri7

èççæçç

1 ni7

-

1 ni7+1

÷÷ø÷ö÷÷.

(14)

Применим полученные соотношения для

расчета зеркально-линзового объектива, со-

стоящего из концентрического мениска и двух

концентрических отражающих поверхностей:

вогнутой и выпуклой при общем центре кри-

визны всех поверхностей, как показано на

рис. 2. Показатели преломления сред, разде-

ляемых поверхностями оптической системы

объектива, равны n1 = n3 =  n4 = n5 = 1, n2 = n. Выражение (12), определяющее оптическую

силу системы, в рассматриваемом случае при-

нимает вид

0

=

n

n-1çèçæç

1 r1

-

1 r2

÷÷÷ø÷ö

+

2èççæç

1 r3

-

1 r4

÷÷ø÷÷ö.

(15)

Положение поверхности изображения относительно вершины первой по ходу луча от-

Вх. зр. C

 F

f
Рис. 2. Оптическая система концентрического объектива кассегреновского типа с мениском.

ражающей поверхности определяется соотношением фокусного расстояния системы и радиуса кривизны отражающей поверхности. Это соотношение можно записать как r3 = kSf0 , где коэффициент kS < 0 выбирается из конструктивных соображений. При kS = 1 осевая точка поверхности изображения будет совмещена с осевой точкой (с вершиной) первой отражающей поверхности. Положение мениска относительно системы отражающих поверхностей выбирается из конструктивных соображений при условии требуемой коррекции аберраций. Для этого взаимосвязь радиусов кривизны второй отражающей поверхности и второй поверхности мениска удобно определить соотношением r4 = kRr2, где коэффициент kR  1. При kR = 1 поверхности должны быть совмещены. Эта задача конструктивно и технологически решается нанесением отражающего покрытия на центральную зону второй поверхности мениска.
Выражая конструктивные параметры в масштабе фокусного расстояния системы, принимаем 0 = 1. Тогда, учитывая принятые соотношения, выражение (15) можно преобразовать в следующее:

1 r1

=

n n -1

kS -2 kS

+

n(kR + 2)- kR
(n -1)kRr2

.

(16)

Подставив принятые соотношения и соотношение (16) в выражение (14), при  = 0 получаем уравнение седьмой степени относительно r2. В первом приближении величину r2 можно определить, если в выражении (14) отбросить все члены в степени выше третьей, т. е. решив уравнение

“Оптический журнал”, 79, 1, 2012

5

( )a3 + A r23 + 3a2br22 + 3ab2r2 + b3 - B = 0, (17)

где

a

=

n n -1

kS kS

2

,

A

=

n3 n3 -1

2 kS3

,

b

=

n(kR
(n

+ 2)-
-1)kR

kR

,

( )n3 ( )B =

2 + kR3 n3 -1

- kR3 kR3

.

Полученное в результате этого значение

r2 можно уточнить путем применения выражения (14) в итерационной формуле вида

xj + 1 = xj  f(xj)/f(xj). Однако задачу оптимальной коррекции аберраций можно решить по-

следовательным изменением величины r2. При этом для сохранения фокусного расстоя-

ния (масштаба изображения) неизменным

должно быть изменение кривизны первой и

четвертой поверхностей системы. Малое значе-

ние требуемого изменения кривизны поверх-

ностей определяет возможность применения

упрощенного выражения взаимосвязи величин

изменения r1 и r2. Дифференцируя для этого выражение (16) и заменяя дифференциалы

конечными разностями, получаем

r1

=

n(2 + kR ) (n -1)kR

kR

r12 r22

r2.

(18)

Взаимосвязь изменения величин r4 и r2 определяется выражением r4 = kRr2.
Важным параметром зеркальных и зеркаль-
но-линзовых оптических систем является
коэффициент центрального экранирования
зрачка kЭ для осевого пучка лучей по его диаметру. В рассматриваемом случае kЭ = sF /f0 = = (f0 + r4)/f0 . При f0 = 1

kÝ = 1+ r4 = 1+ kRr2.

(19)

В концентрическом объективе, схема которого представлена на рис. 3, отражающая поверхность совмещена с центральной зоной первой поверхности мениска. При этом лучи трижды проходят через мениск, что естественным образом усиливает его коррекционные возможности. В соответствии с рис. 3 радиусы r1 = r5, r2 = r4 = r6. И в этом случае положение осевой точки изображения относительно осевой точки (вершины) первой по ходу луча отражающей поверхности определим соотношением r3 = kSf0 . Кроме того, показатели преломления разделяемых сред n1 = n3 =  n4 = n7 = 1, n2 = n5 = n6 = n. При этом выражение (12),

определяющее оптическую силу системы,
принимает вид 0 = [(n  3)/nr1]  3[(n  1)/ nr2] + 20/kS. При 0 = 1 имеем

1 r1

=

n n-3

kS -2 kS

+

n -1 n-3

3 r2

.

(20)

Дальнейшая последовательность парамет-

рического синтеза рассматриваемой системы

та же, что и в предыдущем случае.

Оптическая сила оптической системы, со-

стоящей из двух концентрических отражаю-

щих поверхностей, в соответствии с выраже-

нием (12) равна 0 = 2(1/r1  1/r2). Положив r1 = kSf0 , при f0 = 1 получаем r2 = 2kS/(2  kS). Отсюда следует, что выбором коэффициента kS полностью определяются конструктивные па-

раметры двухзеркальной системы.

Сферическая аберрация образованного изо-

бражения в волновой мере определяется выра-

жением

ê¢ ð
W = ò (s¢- ¢)sin¢d¢,

(21)

0

где s  продольная сферическая аберрация,

  смещение так называемой плоскости наи-

лучшей установки относительно плоскости па-

раксиального изображения. В этом выражении

удобно продольные величины заменить попереч-

ными, равными g = stg, g0 = tg. При этом выражение (21) принимает вид

sinê¢ ð
W = ò (g¢- g0¢ )dsin¢. 0

(22)

Представив зависимость поперечной сферической аберрации от задней числовой апер-

Вх. зр. C

F

f
Рис. 3. Оптическая система концентрического менискового объектива кассегреновского типа.

6 “Оптический журнал”, 79, 1, 2012

туры в виде степенного ряда g = a3sin3 + + a5sin5 + …, получаем

W

=

1 4

a3sin4¢

+

1 6

a5sin6¢

+

( )+- ¢ 1- 1-sin2¢ .

(23)

Положив для крайнего луча W(sinк р) = 0, находим

( )¢ = 1+ 1-sin2ê¢ ð ´

´æçççè

1 4

a3

sin2ê¢ ð

+

1 6

a5

sin4ê¢ ð

+öø÷÷÷.

При

dW d sin ¢

=

0

из выражения (22) следует, что g(sin0) – – g(sin0) = 0, т. е. a3sin30 + a5 sin50 + … – – tg0 = 0. Решив это уравнение, находим значение числовой апертуры sin0 , при котором волновая аберрация, определяемая выражением (23), принимает экстремальное значение.
Предположим, что во входном зрачке системы расположена плоскопараллельная пластинка, которая может играть роль защитного стекла. При этом сферическую аберрацию в образованном изображении можно компенсировать деформацией второй поверхности пластинки, как показано на рис. 4. Пусть начало O системы координат xyz расположено в центре кривизны отражающих поверхностей и совпадает с осевой точкой второй поверхности пластинки. Ось z направлена вдоль оптической оси зеркальной системы слева направо. При

этом осевая деформация Wk плоского волнового фронта, падающего на несферическую по-
верхность пластинки, определяется координа-
той z поверхности и равна [8]

Wk = (1-n)z,

(24)

где n  показатель преломления материала пла-

стинки. В общем случае для оптимальной кор-

рекции сферической аберрации в изображении,

образованном рассматриваемой зеркальной си-

стемой, правая часть уравнения несферической

поверхности должна содержать три члена с не-

равными нулю коэффициентами [9]

z = [1/(2r0)]y2 + ay4 + by6.

(25)

Характер коррекции остаточной волновой сферической аберрации определяет следующие три условия, которым должно удовлетворять уравнение (25) несферической поверхности.
При yкр = mкр координата zкр = 0, а следовательно, в соответствии с уравнением (25) должно выполняться условие

bmê4ð + amê2ð +1/2r0 = 0.

(26)

При y0 = m0 должно выполняться условие

dz dy

=

1 1-

n

dW dm

= 0.

При этом в соответствии с уравнением (25) имеем

6bm04 + 4am02 +1/r0 = 0.

(27)

Кроме того, при y0 = m0 экстремальное значение деформации плоского волнового фронта,

вносимой несферической поверхностью, должно быть равно экстремальному значению остаточной волновой сферической аберрации. Это условие определяется выражением

Вх. зр.

N

О2 

F О1

–d f
Рис. 4. Оптическая система концентрического объектива кассегреновского типа с пластинкой Шмидта.

zextr =

Wextr 1-n

=

m02 2r0

+ am04

+ bm06.

(28)

Решив систему линейных уравнений (26),

(27) и (28), находим значения радиуса кривиз-

ны r0 в вершине несферической поверхности и коэффициентов a и b. Несферическая поверх-

ность пластинки, форма которой определяется

принятым характером коррекции остаточной

сферической аберрации изображения, облада-

ет достаточно хорошей коррекцией хроматиче-

ской аберрации положения. В результате по-

лучаем оптическую систему с апланатической

и ахроматической коррекцией аберраций обра-

зованного изображения.

* ****

“Оптический журнал”, 79, 1, 2012

7

ЛИТЕРАТУРА
1. Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. Л.: Машиностроение, 1968. 312 с. 2. Романова Л.В. О возможности исправления аберраций в концентрических оптических системах на основа-
нии рассмотрения хода действительного луча // ЛИТМО. Сб. статей “Расчет и исследование в оптическом приборостроении”. 1956. В. 19. С. 31–36. 3. Романова Л.В. Концентрический зеркально-линзовый объектив с двумя отражениями // ЛИТМО. Сб. статей “Оптическое приборостроение”. 1958. В. 27. С. 61–65. 4. Герцбергер М. Современная геометрическая оптика: Пер. с англ. / Под ред. Гальперна Д.Ю. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 487 с. 5. Зверев В.А. Оптическая система из двух зеркальных поверхностей // ОМП. 1968. № 10. С. 24–29. 6. Попов Г.М. Концентрические оптические системы и их применение в оптическом приборостроении. М.: Наука, 1969. 135 с. 7. Гаврилюк А.В., Зверев В.А. Параметрический синтез концентрической оптической системы из двух отражающих поверхностей // Оптический журнал. 1995. № 8. С. 44–48. 8. Погарев Г.В. Юстировка оптических приборов. Л.: Машиностроение, 1982. 237 с. 9. Грамматин А.П., Демидова Е.А., Зверев В.А., Романова Г.Э. Аберрационные свойства оптической системы из двух отражающих поверхностей сферической формы с компенсатором // Оптический журнал. 2004. Т. 71. № 4. С. 11–15.
8 “Оптический журнал”, 79, 1, 2012