Структура поля сферической волны в окрестности фокуса
УДК 535.1 534.2 537.87
СТРУКТУРА ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В ОКРЕСТНОСТИ ФОКУСА
© 2012 г. М. В. Лукашова, канд. физ.-мат. наук; Ю. А. Толмачев, доктор физ.-мат. наук Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург Е-mail: yurii.tolmach@rambler.ru, frolen-maria@yandex.ru
Представлены элементы теории и результаты анализа пространственного распределения характеристик поля в окрестности фокуса для входного импульса в виде гармонического колебания с гауссовой огибающей. Параметры сигнала варьируются от ультракороткого до квазимонохроматического импульса. Демонстрируется развитие во времени входного импульса и краевой волны. Показано, что при эффективном числе колебаний более 3–5 структура поля в фокальной плоскости приближается к таковой для монохроматической волны.
Ключевые слова: дельта-функция, импульсный отклик, ультракороткий импульс, структура поля в фокусе.
Коды OCIS: 320.0320, 050.1960, 110.1650, 110.6915, 110.7170
Поступила в редакцию 07.04.2011
Введение
Интенсивно развивающиеся в последние десятилетия исследования нелинейного преобразования волнового поля различными оптическими (в широком смысле слова) системами не могут и не должны заслонять совершенствование методов описания линейного взаимодействия. Нелинейность материалов, проявляющаяся в полях высокой интенсивности, приводит к серьезной модификации пространственно-временной структуры волновых полей, однако, первым этапом подобного исследования, по нашему мнению, должен быть ее анализ именно в линейном приближении. Такой анализ позволяет указать положение областей концентрации энергии волн, требующих особого внимания при проведении более глубоких и детальных расчетов. Проблема особенно остро стоит сегодня, когда в физике и технике во все больших масштабах используются волновые процессы регулярного и псевдослучайного типа с очень широким спектром.
Свойство линейности оптической системы позволяет представить падающую на нее волну в виде суммы более простых составляющих, отдельно изучить трансформацию каждого компонента при взаимодействии с исследуемой системой и сложить затем полученные
отклики. Традиционно используется разложение входного сигнала на монохроматические волны [1], которое является удачным для квазимонохроматических процессов, но теряет свою привлекательность при изучении ультракоротких импульсов. Между тем, и в акустике, и в оптике при решении множества научных и технических задач используются генераторы ультракоротких импульсов, формирующие сигналы, состоящие из одного или нескольких колебаний. Прямой перенос понятий, сформировавшихся в оптике квазимонохроматических процессов, возможен, но он оказывается малопродуктивным из-за громоздкости сопутствующих математических преобразований, подобно замене умножения многократным сложением.
На протяжении последних 20 лет мы развиваем заложенный еще в 1961 году [1] метод, когда пространственно-временное распределение поля волны исследуется с помощью представления об идеальном сигнале в виде дельта-импульса (r, t) = (t -r/c). Если воздействие оптической системы на входной сигнал описывается линейным оператором L{...} и если в некоторой точке пространства Р найден импульсный отклик V(P, t) этой системы V(P, t) = L{(t)}, то ее реакцию на любой физически осуществимый сигнал (t) можно вычислить как свертку
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
15
(P, t) = L{(t)} = V (P, t) Ä (t),
(1)
где символом обозначена операция свертки. Описанный прием хорошо известен в тео-
рии линейных операторов и используется во многих разделах физики, в том числе в радиофизике и электродинамике. Работы [2–4] иллюстрируют удобство и простоту импульсного метода в применении к решению классических задач оптики. Относительно малая доступность статьи [5] и диссертационной работы [6], в которых техника соответствующих вычислений была описана подробно, требует остановиться на особенностях решения задачи о дифракции сходящейся сферической волны на круглом отверстии.
Фокусировка электромагнитных волн в рамках импульсного метода
Рассматривалась задача о прохождении сферической сходящейся волны сквозь круглое отверстие. Для удобства вычислений можно считать, что отверстие расположено в сферическом экране (рис. 1), т. е. исследуется дифракция сферической сходящейся волны на отверстии радиуса а в сферическом экране радиуса R, центр сферы принят за начало координат. В рамках импульсного метода на первом этапе необходимо найти реакцию этой системы на сферический сходящийся дельта-импульс вида
Vsph
(,
t)
=
R
æèçççt
-
R
- c
÷÷ö÷ø,
(2)
где – текущий радиус волны. Начало отсчета времени выбрано так, что при t = 0 = R, т. е. импульс достигает поверхности экрана и, соответственно, границ отверстия.
При вычислении импульсного отклика системы в произвольной точке наблюдения P пространства внутри сферы применялась теорема Кирхгофа, которая позволяет выразить поле в точке P через поле и его производную по нормали на поверхности S сферического экрана
V (P, t) =
òò=
1 4
íïïîïìï[]
¶ ¶n
ççèçæ1r
ø÷÷÷ö-
1 cr
¶r ¶n
êëéê
¶ ¶t
úùûú
-
1 r
êêéë
¶ ¶n
úùúûïïïýþüïdS.
S
(3)
Здесь r – расстояние от точки наблюдения P до текущей точки интегрирования на сфере. Значение электромагнитного поля на поверхности экрана есть нуль в тех точках, где при-
(t)
R l1
x
a P F
l2
Z Z
Рис. 1. Сферический сходящийся импульс (t) дифрагирует на круглом отверстии в сферическом экране. Точка наблюдения P выбрана произвольно внутри сферы.
сутствует экран, и описывается соотношением (2) в точках отверстия. В квадратные скобки заключены величины, взятые в момент времени (t – r/c). Подчеркнем, что теорема Кирхгофа верна только в том случае, когда размер отверстия a гораздо больше максимальной длины волны в исходном волновом пакете, однако детальные расчеты, представленные М.К. Лебедевым на конференции Days on Diffraction в 2004 году, показали, что влияние длинноволновых компонентов поля импульса (2) невелико вплоть до расстояний порядка десятых долей радиуса отверстия.
Чтобы определить электромагнитную волну в точке P, требуется применить теорему Кирхгофа последовательно к каждой составляющей векторов напряженности электрического и магнитного полей. Обычно измеряется только интенсивность световой волны, поэтому в большинстве случаев световое поле достаточно выразить через некоторую скалярную функцию (P, t) такую, что квадрат модуля этой функции равен интенсивности световой волны
(P, t)
2=
c 4
E(P, t)H(P, t)
.
В нашей работе используется именно скалярный подход. Выражения (2), (3) и последующие, выведенные на их основе, записаны в формулировке для скалярных (в том числе акустических) волн.
Интеграл (3) для входного сигнала вида (2) был вычислен в работах [3, 5, 6]. Таким обра-
16 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
зом, был найден импульсный отклик круглого отверстия на сферическую сходящуюся дельтаволну. При этом, если в [3] был детально проанализирован сигнал только на оси симметрии системы, то в [5, 6] была изучена структура поля во всей сфере. Полученное решение распадалось на сумму двух компонентов: “проходящая” волна и “краевая”. Хотелось бы подчеркнуть, что если обычно в научной литературе говорится о том, что решение задачи Кирхгофа “можно представить” в виде суперпозиции проходящей и краевой волн, то в используемом нами приближении -волн решение всегда содержит два таких компонента.
Первый из них отличен от нуля только в области, освещенной в приближении геометрической оптики и совпадает по форме с (2), т. е. в освещенной области присутствует проходящая волна. Во всей области тени соответствующее слагаемое обращается в нуль.
Во всем пространстве сферы существует ограниченная в пространстве и времени краевая волна. Время, в течение которого соответствующий сигнал отличен от нуля, определяется расстоянием от точки наблюдения до самой близкой и самой дальней по отношению к ней точки круглого отверстия. Сигнал, соответствующий краевой волне, описывается соотношением
Vedge
(P,
t)
=
-
cR
´
´ (cos - coscos ) ´ sin2sin2-(cos - coscos)2
´
[(t - l1/c) - (t -
(ct - R + x)(R + x
-l2 /cct))].
(4)
Здесь
cos =
R2 + x2 - c2t2 2Rx ,
апертурный
угол
от-
верстия обозначен через , расстояния от точ-
ки наблюдения до ближней и дальней границ
отверстия равны l1 и l2, угол между направлением из фокуса на центр отверстия (направле-
нием оси симметрии) и на точку наблюдения
есть , расстояние от фокуса до точки наблю-
дения равно х (pис. 1). Координаты точки на-
блюдения (x, ) заданы в полярной системе
координат, величина x положительна в любой
точке внутри сферы. Символом обозначена
функция Хэвисайда:
(x)
=
îïìïïíï01,,
x ³ 0, x < 0.
Границы области, освещенной краевой вол-
ной, движутся в пространстве со скоростью с,
образуя расширяющийся тор. Распределение
амплитуды поля внутри тороидальной поверх-
ности со временем сжимается к оболочке, что
позволяет приближенно описывать его при
больших временах односторонней -функцией.
На оси симметрии FZ системы распределение
поля краевой волны имеет особенность: поле
стягивается в точку, движущуюся вдоль оси со
скоростью больше с. Эта точка догоняет про-
ходящую волну в фокусе и за фокусом перего-
няет ее. Указанная особенность аналогична от-
меченной в [7, 8] для краевых волн в системах,
обладающих явно выраженной простой сим-
метрией.
Таким образом, полный импульсный отклик
круглого отверстия на сходящуюся сфериче-
скую волну в освещенной области имеет вид
(в области тени, как уже говорилось, слагаемое Vsph = 0)
V
(P,
t)
=
Vsph
(P,
t)
+
Vedge
(P,
t)
=
R
çæçèçt
-
R
c
øö÷÷÷
-
- cR
(cos - coscos )
´
sin2sin2-(cos - coscos)2
(5)
´
[(t - l1/c) - (t -
(ct - R + x)(R + x
-l2 /cct))].
Введя время t~, отсчитанное от момента прохода волны через фокус, импульсный отклик вблизи F на оси симметрии системы можно представить приближенно в простой форме
V
(x,
t)
»
R x
êêëéçèççæt
+
x c
÷÷÷øö-
çèçæçt
+
x c/ cos
÷ø÷ö÷÷úûúù.
Отметим, что за точкой фокуса изменяется знак как проходящей, так и краевой волны. В самой точке F формируется сигнал вида
V
(F)
=
a2 2cR
t¢
(t).
(6)
Фокусировка гармонического колебания, имеющего гауссову огибающую во времени
В соответствии с (1), если требуется исследовать фокусировку произвольного входного сигнала, то для вычисления амплитуды поля в окрестности фокуса тонкой линзы достаточно найти свертку импульсного отклика (5) и выбранного входного сигнала. Например, свертка импульсного отклика (5) с монохромати-
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
17
4
0,001 0,001
0,002 0,001
2
0,001
0,9 0,7
0
0,002
0,005
0,01
0,015
0,02 0,03
0,05 0,3 0,2 0,1
2
0,01
0,001
4
0,005 0,015
0,03
6
0,005 0,01
0,005
0,01 0,005
0,001
8
0,02 0,005 0,01
u
Рис. 2. Линии постоянной интенсивности
в окрестности фокуса линзы (1/4 меридио-
нальной плоскости). Цифры на линиях ука-
зывают долю от интенсивности в центре.
Черные линии – результат нашего расчета,
бледные линии – расчет с помощью функций
Ломмеля. Пунктир – граница свет–тень.
Вдоль осей отложены
и
=
2
æççèç
a R
÷÷÷öø
x2 + y2 .
величины:
u
=
2
æçèçç
a R
øö÷÷÷2z
ческой волной приводит к давно известным в
оптике результатам, относящимся к прохож-
дению монохроматических волн сквозь тонкую
линзу. При этом для точек наблюдения на оси
симметрии системы удается получить экви-
валентные выражения в аналитическом виде,
а вне оси симметрии системы результаты со-
впадают в пределах погрешности численного
расчета (pис. 2).
Одной из наиболее простых моделей реаль-
ного ультракороткого импульса является гар-
моническое колебание с гауссовой огибающей
1
(t)
=
expæççèçç-
t2 2
ö÷÷÷ø÷cosæççèç2
t T
ö÷÷ø÷.
(7)
Применение подобной модели не вполне
корректно, так как “площадь” соответствую-
щего сигнала отлична от нуля (она обращается
в нуль только в дискретных точках по ), что
невозможно, исходя из физических соображе-
ний, однако, при 0 она обеспечивает пере-
ход к -функции.
Пользуясь общепринятым в оптике форма-
лизмом, для расчетов удобнее представить ис-
ходный сигнал 1(t) в виде
2
(t)
=
expèççççæ-
t2 2
÷ø÷÷÷öexpçèçæçi2
t T
÷÷øö÷.
(8)
Используя 2(t) в качестве входного сигнала и выполнив все необходимые вычисления,
достаточно будет рассмотреть вещественную часть результирующего отклика 2(P, t), что-
бы определить искомую скалярную амплитуду световой волны в любой момент времени t в произвольной точке наблюдения P:
Re[2(P, t)]= 1(P, t). Вторая, мнимая, со-
ставляющая полученного решения описывает скорость изменения сигнала, информация о которой совершенно необходима при расчете энергетических характеристик поля [9]. Разработанная нами программа позволяет найти в любой точке пространства внутри сферы амплитуду скалярной волны 1(P, t), величину
A(P, t) = Re2 [2(P, t)]+ Im2 [2(P, t)], пропор-
циональную огибающей полученного сигнала
¥
и экспозицию E(P) = ò A2(P, t)dt (использова-¥
лось усреднение по 50-ти периодам Т). Результаты расчетов показали, что пространственное распределение экспозиции, качественно, повторяет распределение амплитуды A(P), поэтому мы не приводим соответствующие иллюстрации.
Итак, входным сигналом является сигнал 2(t), свертка функции 2(t) с импульсным откликом (5) вычислялась средствами пакета Mathematica. Был построен ряд 3Dизображений, на которых плоскость OXY есть меридиональная плоскость (плоскость, которая проходит через центр отверстия и точку фокуса, вдоль вертикальной оси откладывались значения скалярной амплитуды 1(t) светового поля, либо значения A(P, t) и E(P). Поскольку импульсный отклик (5) описывается только элементарными алгебраическими функциями (чем он весьма выгодно отличается от известных представлений реакции любой оптической системы на монохроматическую волну), свертка функции 2(t) с импульсным откликом вычисляется быстро (на обычном персональном компьютере построение одного 3D-распределения происходит не более чем за 5 минут).
На pис. 3 приводится серия кадров, иллюстрирующая развитие во времени волны (7) при значении параметра = 0,2, моделирующем -импульс. Показано сечение сферы меридиональной плоскостью, содержащей ось симметрии. Волна распространяется слева – к центру. Угловая апертура входного отверстия 0,707 соответствует углу 45, хорошо видимому на рисунке. Рис. 3а демонстрирует начальную стадию входа импульсной волны и зарождение тороидальной краевой волны. Детальный анализ пространственного распре-
18 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
(а) (б) (в)
0,00,51,0 10 10
01 23
2 0 –2
10
00
0
–10 –10
–10
0 10
–10 0
10
–10 0
–10 10
Рис. 3. Движение ультракороткого импульса внутри сферы с круглым отверстием, апертурный угол которого равен 45, показано распределение величины А(Р). а – вход волны внутрь сферы, начало формирования краевых волн, б – образование -импульса краевой волны, догоняющего падающую волну, в – формирование расходящейся сферической волны из падающей сходящейся и отрыв краевого -импульса от падающего в окрестности оси симметрии.
деления амплитуды этой волны показывает, что по мере приближения к границе свет–тень со стороны тени она стремится к 1/2 от амплитуды падающей, то же происходит и при аналогичном движении в освещенной области, но знак краевой волны здесь противоположен знаку падающей. Амплитуда краевой волны уменьшается приблизительно обратнопропорционально расстоянию от границы свет–тень.
На следующем кадре хорошо видно образование самопересечения тора, приводящего к формированию на оси -импульса краевой волны. Таких точек две, вторая движется в направлении противоположном направлению распространения волны и на рис. 3б она уже вышла за пределы сферы. Появление двух таких особенностей следует и из развитой в [7] модели образования цилиндрических краевых волн при дифракции -волны на щели. Заметим, что амплитуда соответствующего импульса быстро спадает с ростом расстояния от центра как вследствие увеличения угла дифракции, так и из-за убывания амплитуды обратнопропорционально расстоянию от центра сферы. Суммарная амплитуда волн в “догоняющем” пересечении растет по мере приближения к фокусу и сравнивается в нем с амплитудой падающей волны, имея противоположный ей знак. Результатом является формирование в точке фокуса первой производной по времени от входящего сигнала.
Выше отмечалось, что -импульс краевой волны перемещается в пространстве со скоростью больше скорости света. На pис. 3в показана стадия, когда импульс прошел точку фокуса. Хорошо видно, что краевая волна теперь опережает падающую. Знак и падающей волны (после фокуса – расходящейся), и краевой на оси меняется на противоположный (рисунок это не отражает, так как показывает модуль амплитуды).
Рис. 4 иллюстрирует ситуацию в окрестности фокуса для момента времени t = R/c и показывает, что вещественная часть свертки (8) с (5) – амплитуда волны – действительно описывается первой производной по времени. Непосредственно в F амплитуда поля равна нулю. В то же время, скорость изменения амплитуды – мнимая часть (8) – имеет в ней максимум (pис. 4б). Энергетическая характеристика волны – величина А(F) – как и следовало ожидать, имеет в точке фокуса максимум (pис. 4в).
Простота приведенных на pис. 3 и 4 иллюстраций не должна вводить в заблуждение. При переходе к более сложным формам падающей волны картина дифракции резко усложняется, но разработанное программное обеспечение “справляется” с подобными задачами за то же самое время, как и в случае = 0,2. В качестве примера на pис. 5 показано распределение в окрестности фокуса поля сигнала (8) при = 2. Это значение взято для ил-
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
19
1000 0
–1000
(а)
10 5 0
2000
1000
0
(б)
(в)
20 10
–10 0 10
–1000
–10
0
10
–10 0
0 10
Рис. 4. Структура ультракороткого импульса ( 0,2T) в фокусе (t = R/c). а – вещественная часть свертки Re[2(P, t)], б – мнимая часть свертки Im [2(P, t), в – модуль амплитуды свертки A(P, t).
(а)
––42024
1000 500
0 1 2 3 4
(б)
1000
43210
(в)
1000
0 500 –500
500
–1000
–4 –2
0
2
4
0 4 2 0 –2 –4
0
Рис. 5. Поле импульса вида (8) при = 2Т в момент прохода центра импульса через фокус (t = R/c). а –
вещественная часть свертки Re[2(P, t)], б – модуль амплитуды свертки A(P, t), сечение распределения в фокальной плоскости, в – модуль амплитуды свертки A(P, t), сечение распределения в меридиональ-
ной плоскости.
люстрации высказанного выше утверждения, что уже при малых значениях сигнал ведет себя как квазимонохроматический. Сложная структура распределения амплитуды на рис. 5а приводит к распределению модуля амплитуды (ее квадрат – это освещенность) в сагиттальной плоскости, показанному на pис. 5б и почти совпадающему по положению первого нуля с расчетным для монохроматического колебания с центральной длиной волны спектрального распределения импульса. Гладкое продольное распределение освещенности (pис. 5в) отличается от расчетного |sin x/x|, здесь уже сказывается конечная продольная величина волнового пакета.
Таким образом, при T распространяющийся в системе импульс можно назвать уль-
тракоротким, но при > T световое поле “размывается” в пространстве, в окрестности фокуса появляются узловые точки интенсивности и явно выраженные побочные максимумы.
Заключение
Приведенные в работе результаты показывают, что импульсный метод анализа процессов дифракции и взаимодействия сигналов с оптической системой создает основу для экспрессного качественного анализа структуры волнового поля и позволяет дать полуколичественный ответ на вопросы об ее особенностях, оставаясь в рамках геометрической оптики. Разработанный алгоритм позволяет оперативно вычислять распределение скалярной ам-
20 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
плитуды светового поля в окрестности фокуса сходящейся волны для частного случая гармонического колебания с гауссовой огибающей. С его помощью можно определять, например, расстояние от центра волнового пакета до первого минимума, что является немаловажным для технических задач, где нужно заранее
сформулировать требования к точности исполнительных механизмов. Можно изучать влияние величины апертурного угла на качество поперечной и продольной фокусировки, влияние длительности падающего волнового пакета на “размывание” сигнала в окрестности фокуса и пр.
* ****
ЛИТЕРАТУРА
1. Козина О.Г., Макаров Г.И. Переходные процессы в акустических полях, создаваемых поршневой мембраной произвольной формы и при произвольном характере колебаний ее поверхности // Акуст. журн. 1961. Т. 7. № 1. С. 53–58.
2. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. О дифракции ультракороткого импульса на отверстии // Опт. и спектр. 2001. Т. 90. № 3. С. 457–463.
3. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А., Фроленкова М.В., Кытманов А.В. Специфические особенности пространственно-временной структуры широкополосного сигнала в окрестности фокуса сходящейся сферической волны // Опт. и спектр. 2006. Т. 100. № 1. С. 129–135.
4. Фроленкова М.В., Толмачев Ю.А. Дифракция плоского ультракороткого импульса на круглом отверстии. Наклонное падение // Вестник СПбГУ. 2006. Сер. 4. В. 1. С. 142–146.
5. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. Импульсный метод в решении задач дифракции и интерференции. I. Дифракция ультракороткого импульса // Лазерные исследования в Санкт-Петербургском государственном университете. Третий выпуск / Под ред. В.Б. Смирнова, А.А. Петрова. СПб.: НИИ “Российский центр лазерной физики”. 2004. С. 81–153.
6. Фроленкова М.В. Исследование импульсного метода решения задач дифракции скалярных волн и его применение для анализа работы различных оптических систем // Автореф. канд. дис. СПб.: СПбГУ, 2008. 19 с.
7. Сулейменов И.Э., Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. Дифракция ультракороткого импульса на щели // Опт. и спектр. 2000. Т. 88. № 1. С. 104–109.
8. Saari P., Bowlan P., Valtna-Lukner H., Lõhmus M., Piksarv P., Trebino R. Basic diffraction phenomena in time domain // Optics Express. 2010. V. 18. № 11. Р. 11084.
9. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей). Теория звука. М.: Гос. изд-во техн.-теор. литературы. 1955. Т. 1. 475 с.
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
21
СТРУКТУРА ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В ОКРЕСТНОСТИ ФОКУСА
© 2012 г. М. В. Лукашова, канд. физ.-мат. наук; Ю. А. Толмачев, доктор физ.-мат. наук Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург Е-mail: yurii.tolmach@rambler.ru, frolen-maria@yandex.ru
Представлены элементы теории и результаты анализа пространственного распределения характеристик поля в окрестности фокуса для входного импульса в виде гармонического колебания с гауссовой огибающей. Параметры сигнала варьируются от ультракороткого до квазимонохроматического импульса. Демонстрируется развитие во времени входного импульса и краевой волны. Показано, что при эффективном числе колебаний более 3–5 структура поля в фокальной плоскости приближается к таковой для монохроматической волны.
Ключевые слова: дельта-функция, импульсный отклик, ультракороткий импульс, структура поля в фокусе.
Коды OCIS: 320.0320, 050.1960, 110.1650, 110.6915, 110.7170
Поступила в редакцию 07.04.2011
Введение
Интенсивно развивающиеся в последние десятилетия исследования нелинейного преобразования волнового поля различными оптическими (в широком смысле слова) системами не могут и не должны заслонять совершенствование методов описания линейного взаимодействия. Нелинейность материалов, проявляющаяся в полях высокой интенсивности, приводит к серьезной модификации пространственно-временной структуры волновых полей, однако, первым этапом подобного исследования, по нашему мнению, должен быть ее анализ именно в линейном приближении. Такой анализ позволяет указать положение областей концентрации энергии волн, требующих особого внимания при проведении более глубоких и детальных расчетов. Проблема особенно остро стоит сегодня, когда в физике и технике во все больших масштабах используются волновые процессы регулярного и псевдослучайного типа с очень широким спектром.
Свойство линейности оптической системы позволяет представить падающую на нее волну в виде суммы более простых составляющих, отдельно изучить трансформацию каждого компонента при взаимодействии с исследуемой системой и сложить затем полученные
отклики. Традиционно используется разложение входного сигнала на монохроматические волны [1], которое является удачным для квазимонохроматических процессов, но теряет свою привлекательность при изучении ультракоротких импульсов. Между тем, и в акустике, и в оптике при решении множества научных и технических задач используются генераторы ультракоротких импульсов, формирующие сигналы, состоящие из одного или нескольких колебаний. Прямой перенос понятий, сформировавшихся в оптике квазимонохроматических процессов, возможен, но он оказывается малопродуктивным из-за громоздкости сопутствующих математических преобразований, подобно замене умножения многократным сложением.
На протяжении последних 20 лет мы развиваем заложенный еще в 1961 году [1] метод, когда пространственно-временное распределение поля волны исследуется с помощью представления об идеальном сигнале в виде дельта-импульса (r, t) = (t -r/c). Если воздействие оптической системы на входной сигнал описывается линейным оператором L{...} и если в некоторой точке пространства Р найден импульсный отклик V(P, t) этой системы V(P, t) = L{(t)}, то ее реакцию на любой физически осуществимый сигнал (t) можно вычислить как свертку
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
15
(P, t) = L{(t)} = V (P, t) Ä (t),
(1)
где символом обозначена операция свертки. Описанный прием хорошо известен в тео-
рии линейных операторов и используется во многих разделах физики, в том числе в радиофизике и электродинамике. Работы [2–4] иллюстрируют удобство и простоту импульсного метода в применении к решению классических задач оптики. Относительно малая доступность статьи [5] и диссертационной работы [6], в которых техника соответствующих вычислений была описана подробно, требует остановиться на особенностях решения задачи о дифракции сходящейся сферической волны на круглом отверстии.
Фокусировка электромагнитных волн в рамках импульсного метода
Рассматривалась задача о прохождении сферической сходящейся волны сквозь круглое отверстие. Для удобства вычислений можно считать, что отверстие расположено в сферическом экране (рис. 1), т. е. исследуется дифракция сферической сходящейся волны на отверстии радиуса а в сферическом экране радиуса R, центр сферы принят за начало координат. В рамках импульсного метода на первом этапе необходимо найти реакцию этой системы на сферический сходящийся дельта-импульс вида
Vsph
(,
t)
=
R
æèçççt
-
R
- c
÷÷ö÷ø,
(2)
где – текущий радиус волны. Начало отсчета времени выбрано так, что при t = 0 = R, т. е. импульс достигает поверхности экрана и, соответственно, границ отверстия.
При вычислении импульсного отклика системы в произвольной точке наблюдения P пространства внутри сферы применялась теорема Кирхгофа, которая позволяет выразить поле в точке P через поле и его производную по нормали на поверхности S сферического экрана
V (P, t) =
òò=
1 4
íïïîïìï[]
¶ ¶n
ççèçæ1r
ø÷÷÷ö-
1 cr
¶r ¶n
êëéê
¶ ¶t
úùûú
-
1 r
êêéë
¶ ¶n
úùúûïïïýþüïdS.
S
(3)
Здесь r – расстояние от точки наблюдения P до текущей точки интегрирования на сфере. Значение электромагнитного поля на поверхности экрана есть нуль в тех точках, где при-
(t)
R l1
x
a P F
l2
Z Z
Рис. 1. Сферический сходящийся импульс (t) дифрагирует на круглом отверстии в сферическом экране. Точка наблюдения P выбрана произвольно внутри сферы.
сутствует экран, и описывается соотношением (2) в точках отверстия. В квадратные скобки заключены величины, взятые в момент времени (t – r/c). Подчеркнем, что теорема Кирхгофа верна только в том случае, когда размер отверстия a гораздо больше максимальной длины волны в исходном волновом пакете, однако детальные расчеты, представленные М.К. Лебедевым на конференции Days on Diffraction в 2004 году, показали, что влияние длинноволновых компонентов поля импульса (2) невелико вплоть до расстояний порядка десятых долей радиуса отверстия.
Чтобы определить электромагнитную волну в точке P, требуется применить теорему Кирхгофа последовательно к каждой составляющей векторов напряженности электрического и магнитного полей. Обычно измеряется только интенсивность световой волны, поэтому в большинстве случаев световое поле достаточно выразить через некоторую скалярную функцию (P, t) такую, что квадрат модуля этой функции равен интенсивности световой волны
(P, t)
2=
c 4
E(P, t)H(P, t)
.
В нашей работе используется именно скалярный подход. Выражения (2), (3) и последующие, выведенные на их основе, записаны в формулировке для скалярных (в том числе акустических) волн.
Интеграл (3) для входного сигнала вида (2) был вычислен в работах [3, 5, 6]. Таким обра-
16 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
зом, был найден импульсный отклик круглого отверстия на сферическую сходящуюся дельтаволну. При этом, если в [3] был детально проанализирован сигнал только на оси симметрии системы, то в [5, 6] была изучена структура поля во всей сфере. Полученное решение распадалось на сумму двух компонентов: “проходящая” волна и “краевая”. Хотелось бы подчеркнуть, что если обычно в научной литературе говорится о том, что решение задачи Кирхгофа “можно представить” в виде суперпозиции проходящей и краевой волн, то в используемом нами приближении -волн решение всегда содержит два таких компонента.
Первый из них отличен от нуля только в области, освещенной в приближении геометрической оптики и совпадает по форме с (2), т. е. в освещенной области присутствует проходящая волна. Во всей области тени соответствующее слагаемое обращается в нуль.
Во всем пространстве сферы существует ограниченная в пространстве и времени краевая волна. Время, в течение которого соответствующий сигнал отличен от нуля, определяется расстоянием от точки наблюдения до самой близкой и самой дальней по отношению к ней точки круглого отверстия. Сигнал, соответствующий краевой волне, описывается соотношением
Vedge
(P,
t)
=
-
cR
´
´ (cos - coscos ) ´ sin2sin2-(cos - coscos)2
´
[(t - l1/c) - (t -
(ct - R + x)(R + x
-l2 /cct))].
(4)
Здесь
cos =
R2 + x2 - c2t2 2Rx ,
апертурный
угол
от-
верстия обозначен через , расстояния от точ-
ки наблюдения до ближней и дальней границ
отверстия равны l1 и l2, угол между направлением из фокуса на центр отверстия (направле-
нием оси симметрии) и на точку наблюдения
есть , расстояние от фокуса до точки наблю-
дения равно х (pис. 1). Координаты точки на-
блюдения (x, ) заданы в полярной системе
координат, величина x положительна в любой
точке внутри сферы. Символом обозначена
функция Хэвисайда:
(x)
=
îïìïïíï01,,
x ³ 0, x < 0.
Границы области, освещенной краевой вол-
ной, движутся в пространстве со скоростью с,
образуя расширяющийся тор. Распределение
амплитуды поля внутри тороидальной поверх-
ности со временем сжимается к оболочке, что
позволяет приближенно описывать его при
больших временах односторонней -функцией.
На оси симметрии FZ системы распределение
поля краевой волны имеет особенность: поле
стягивается в точку, движущуюся вдоль оси со
скоростью больше с. Эта точка догоняет про-
ходящую волну в фокусе и за фокусом перего-
няет ее. Указанная особенность аналогична от-
меченной в [7, 8] для краевых волн в системах,
обладающих явно выраженной простой сим-
метрией.
Таким образом, полный импульсный отклик
круглого отверстия на сходящуюся сфериче-
скую волну в освещенной области имеет вид
(в области тени, как уже говорилось, слагаемое Vsph = 0)
V
(P,
t)
=
Vsph
(P,
t)
+
Vedge
(P,
t)
=
R
çæçèçt
-
R
c
øö÷÷÷
-
- cR
(cos - coscos )
´
sin2sin2-(cos - coscos)2
(5)
´
[(t - l1/c) - (t -
(ct - R + x)(R + x
-l2 /cct))].
Введя время t~, отсчитанное от момента прохода волны через фокус, импульсный отклик вблизи F на оси симметрии системы можно представить приближенно в простой форме
V
(x,
t)
»
R x
êêëéçèççæt
+
x c
÷÷÷øö-
çèçæçt
+
x c/ cos
÷ø÷ö÷÷úûúù.
Отметим, что за точкой фокуса изменяется знак как проходящей, так и краевой волны. В самой точке F формируется сигнал вида
V
(F)
=
a2 2cR
t¢
(t).
(6)
Фокусировка гармонического колебания, имеющего гауссову огибающую во времени
В соответствии с (1), если требуется исследовать фокусировку произвольного входного сигнала, то для вычисления амплитуды поля в окрестности фокуса тонкой линзы достаточно найти свертку импульсного отклика (5) и выбранного входного сигнала. Например, свертка импульсного отклика (5) с монохромати-
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
17
4
0,001 0,001
0,002 0,001
2
0,001
0,9 0,7
0
0,002
0,005
0,01
0,015
0,02 0,03
0,05 0,3 0,2 0,1
2
0,01
0,001
4
0,005 0,015
0,03
6
0,005 0,01
0,005
0,01 0,005
0,001
8
0,02 0,005 0,01
u
Рис. 2. Линии постоянной интенсивности
в окрестности фокуса линзы (1/4 меридио-
нальной плоскости). Цифры на линиях ука-
зывают долю от интенсивности в центре.
Черные линии – результат нашего расчета,
бледные линии – расчет с помощью функций
Ломмеля. Пунктир – граница свет–тень.
Вдоль осей отложены
и
=
2
æççèç
a R
÷÷÷öø
x2 + y2 .
величины:
u
=
2
æçèçç
a R
øö÷÷÷2z
ческой волной приводит к давно известным в
оптике результатам, относящимся к прохож-
дению монохроматических волн сквозь тонкую
линзу. При этом для точек наблюдения на оси
симметрии системы удается получить экви-
валентные выражения в аналитическом виде,
а вне оси симметрии системы результаты со-
впадают в пределах погрешности численного
расчета (pис. 2).
Одной из наиболее простых моделей реаль-
ного ультракороткого импульса является гар-
моническое колебание с гауссовой огибающей
1
(t)
=
expæççèçç-
t2 2
ö÷÷÷ø÷cosæççèç2
t T
ö÷÷ø÷.
(7)
Применение подобной модели не вполне
корректно, так как “площадь” соответствую-
щего сигнала отлична от нуля (она обращается
в нуль только в дискретных точках по ), что
невозможно, исходя из физических соображе-
ний, однако, при 0 она обеспечивает пере-
ход к -функции.
Пользуясь общепринятым в оптике форма-
лизмом, для расчетов удобнее представить ис-
ходный сигнал 1(t) в виде
2
(t)
=
expèççççæ-
t2 2
÷ø÷÷÷öexpçèçæçi2
t T
÷÷øö÷.
(8)
Используя 2(t) в качестве входного сигнала и выполнив все необходимые вычисления,
достаточно будет рассмотреть вещественную часть результирующего отклика 2(P, t), что-
бы определить искомую скалярную амплитуду световой волны в любой момент времени t в произвольной точке наблюдения P:
Re[2(P, t)]= 1(P, t). Вторая, мнимая, со-
ставляющая полученного решения описывает скорость изменения сигнала, информация о которой совершенно необходима при расчете энергетических характеристик поля [9]. Разработанная нами программа позволяет найти в любой точке пространства внутри сферы амплитуду скалярной волны 1(P, t), величину
A(P, t) = Re2 [2(P, t)]+ Im2 [2(P, t)], пропор-
циональную огибающей полученного сигнала
¥
и экспозицию E(P) = ò A2(P, t)dt (использова-¥
лось усреднение по 50-ти периодам Т). Результаты расчетов показали, что пространственное распределение экспозиции, качественно, повторяет распределение амплитуды A(P), поэтому мы не приводим соответствующие иллюстрации.
Итак, входным сигналом является сигнал 2(t), свертка функции 2(t) с импульсным откликом (5) вычислялась средствами пакета Mathematica. Был построен ряд 3Dизображений, на которых плоскость OXY есть меридиональная плоскость (плоскость, которая проходит через центр отверстия и точку фокуса, вдоль вертикальной оси откладывались значения скалярной амплитуды 1(t) светового поля, либо значения A(P, t) и E(P). Поскольку импульсный отклик (5) описывается только элементарными алгебраическими функциями (чем он весьма выгодно отличается от известных представлений реакции любой оптической системы на монохроматическую волну), свертка функции 2(t) с импульсным откликом вычисляется быстро (на обычном персональном компьютере построение одного 3D-распределения происходит не более чем за 5 минут).
На pис. 3 приводится серия кадров, иллюстрирующая развитие во времени волны (7) при значении параметра = 0,2, моделирующем -импульс. Показано сечение сферы меридиональной плоскостью, содержащей ось симметрии. Волна распространяется слева – к центру. Угловая апертура входного отверстия 0,707 соответствует углу 45, хорошо видимому на рисунке. Рис. 3а демонстрирует начальную стадию входа импульсной волны и зарождение тороидальной краевой волны. Детальный анализ пространственного распре-
18 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
(а) (б) (в)
0,00,51,0 10 10
01 23
2 0 –2
10
00
0
–10 –10
–10
0 10
–10 0
10
–10 0
–10 10
Рис. 3. Движение ультракороткого импульса внутри сферы с круглым отверстием, апертурный угол которого равен 45, показано распределение величины А(Р). а – вход волны внутрь сферы, начало формирования краевых волн, б – образование -импульса краевой волны, догоняющего падающую волну, в – формирование расходящейся сферической волны из падающей сходящейся и отрыв краевого -импульса от падающего в окрестности оси симметрии.
деления амплитуды этой волны показывает, что по мере приближения к границе свет–тень со стороны тени она стремится к 1/2 от амплитуды падающей, то же происходит и при аналогичном движении в освещенной области, но знак краевой волны здесь противоположен знаку падающей. Амплитуда краевой волны уменьшается приблизительно обратнопропорционально расстоянию от границы свет–тень.
На следующем кадре хорошо видно образование самопересечения тора, приводящего к формированию на оси -импульса краевой волны. Таких точек две, вторая движется в направлении противоположном направлению распространения волны и на рис. 3б она уже вышла за пределы сферы. Появление двух таких особенностей следует и из развитой в [7] модели образования цилиндрических краевых волн при дифракции -волны на щели. Заметим, что амплитуда соответствующего импульса быстро спадает с ростом расстояния от центра как вследствие увеличения угла дифракции, так и из-за убывания амплитуды обратнопропорционально расстоянию от центра сферы. Суммарная амплитуда волн в “догоняющем” пересечении растет по мере приближения к фокусу и сравнивается в нем с амплитудой падающей волны, имея противоположный ей знак. Результатом является формирование в точке фокуса первой производной по времени от входящего сигнала.
Выше отмечалось, что -импульс краевой волны перемещается в пространстве со скоростью больше скорости света. На pис. 3в показана стадия, когда импульс прошел точку фокуса. Хорошо видно, что краевая волна теперь опережает падающую. Знак и падающей волны (после фокуса – расходящейся), и краевой на оси меняется на противоположный (рисунок это не отражает, так как показывает модуль амплитуды).
Рис. 4 иллюстрирует ситуацию в окрестности фокуса для момента времени t = R/c и показывает, что вещественная часть свертки (8) с (5) – амплитуда волны – действительно описывается первой производной по времени. Непосредственно в F амплитуда поля равна нулю. В то же время, скорость изменения амплитуды – мнимая часть (8) – имеет в ней максимум (pис. 4б). Энергетическая характеристика волны – величина А(F) – как и следовало ожидать, имеет в точке фокуса максимум (pис. 4в).
Простота приведенных на pис. 3 и 4 иллюстраций не должна вводить в заблуждение. При переходе к более сложным формам падающей волны картина дифракции резко усложняется, но разработанное программное обеспечение “справляется” с подобными задачами за то же самое время, как и в случае = 0,2. В качестве примера на pис. 5 показано распределение в окрестности фокуса поля сигнала (8) при = 2. Это значение взято для ил-
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
19
1000 0
–1000
(а)
10 5 0
2000
1000
0
(б)
(в)
20 10
–10 0 10
–1000
–10
0
10
–10 0
0 10
Рис. 4. Структура ультракороткого импульса ( 0,2T) в фокусе (t = R/c). а – вещественная часть свертки Re[2(P, t)], б – мнимая часть свертки Im [2(P, t), в – модуль амплитуды свертки A(P, t).
(а)
––42024
1000 500
0 1 2 3 4
(б)
1000
43210
(в)
1000
0 500 –500
500
–1000
–4 –2
0
2
4
0 4 2 0 –2 –4
0
Рис. 5. Поле импульса вида (8) при = 2Т в момент прохода центра импульса через фокус (t = R/c). а –
вещественная часть свертки Re[2(P, t)], б – модуль амплитуды свертки A(P, t), сечение распределения в фокальной плоскости, в – модуль амплитуды свертки A(P, t), сечение распределения в меридиональ-
ной плоскости.
люстрации высказанного выше утверждения, что уже при малых значениях сигнал ведет себя как квазимонохроматический. Сложная структура распределения амплитуды на рис. 5а приводит к распределению модуля амплитуды (ее квадрат – это освещенность) в сагиттальной плоскости, показанному на pис. 5б и почти совпадающему по положению первого нуля с расчетным для монохроматического колебания с центральной длиной волны спектрального распределения импульса. Гладкое продольное распределение освещенности (pис. 5в) отличается от расчетного |sin x/x|, здесь уже сказывается конечная продольная величина волнового пакета.
Таким образом, при T распространяющийся в системе импульс можно назвать уль-
тракоротким, но при > T световое поле “размывается” в пространстве, в окрестности фокуса появляются узловые точки интенсивности и явно выраженные побочные максимумы.
Заключение
Приведенные в работе результаты показывают, что импульсный метод анализа процессов дифракции и взаимодействия сигналов с оптической системой создает основу для экспрессного качественного анализа структуры волнового поля и позволяет дать полуколичественный ответ на вопросы об ее особенностях, оставаясь в рамках геометрической оптики. Разработанный алгоритм позволяет оперативно вычислять распределение скалярной ам-
20 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
плитуды светового поля в окрестности фокуса сходящейся волны для частного случая гармонического колебания с гауссовой огибающей. С его помощью можно определять, например, расстояние от центра волнового пакета до первого минимума, что является немаловажным для технических задач, где нужно заранее
сформулировать требования к точности исполнительных механизмов. Можно изучать влияние величины апертурного угла на качество поперечной и продольной фокусировки, влияние длительности падающего волнового пакета на “размывание” сигнала в окрестности фокуса и пр.
* ****
ЛИТЕРАТУРА
1. Козина О.Г., Макаров Г.И. Переходные процессы в акустических полях, создаваемых поршневой мембраной произвольной формы и при произвольном характере колебаний ее поверхности // Акуст. журн. 1961. Т. 7. № 1. С. 53–58.
2. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. О дифракции ультракороткого импульса на отверстии // Опт. и спектр. 2001. Т. 90. № 3. С. 457–463.
3. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А., Фроленкова М.В., Кытманов А.В. Специфические особенности пространственно-временной структуры широкополосного сигнала в окрестности фокуса сходящейся сферической волны // Опт. и спектр. 2006. Т. 100. № 1. С. 129–135.
4. Фроленкова М.В., Толмачев Ю.А. Дифракция плоского ультракороткого импульса на круглом отверстии. Наклонное падение // Вестник СПбГУ. 2006. Сер. 4. В. 1. С. 142–146.
5. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. Импульсный метод в решении задач дифракции и интерференции. I. Дифракция ультракороткого импульса // Лазерные исследования в Санкт-Петербургском государственном университете. Третий выпуск / Под ред. В.Б. Смирнова, А.А. Петрова. СПб.: НИИ “Российский центр лазерной физики”. 2004. С. 81–153.
6. Фроленкова М.В. Исследование импульсного метода решения задач дифракции скалярных волн и его применение для анализа работы различных оптических систем // Автореф. канд. дис. СПб.: СПбГУ, 2008. 19 с.
7. Сулейменов И.Э., Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. Дифракция ультракороткого импульса на щели // Опт. и спектр. 2000. Т. 88. № 1. С. 104–109.
8. Saari P., Bowlan P., Valtna-Lukner H., Lõhmus M., Piksarv P., Trebino R. Basic diffraction phenomena in time domain // Optics Express. 2010. V. 18. № 11. Р. 11084.
9. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей). Теория звука. М.: Гос. изд-во техн.-теор. литературы. 1955. Т. 1. 475 с.
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
21