Варианты композиции зеркальных объективов на основе оптической системы объективов Грегори и Кассегрена
РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 535.317.2
ВАРИАНТЫ КОМПОЗИЦИИ ЗЕРКАЛЬНЫХ ОБЪЕКТИВОВ НА ОСНОВЕ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБЪЕКТИВОВ ГРЕГОРИ И КАССЕГРЕНА
© 2012 г. С. В. Гайворонский; В. А. Зверев, доктор техн. наук
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: gaivoronsky@mail.ru, post_vaz@rambler.ru
Выполнен анализ габаритных параметров и аберрационных характеристик вариантов композиции оптических систем из отражающих поверхностей на основе объективов Грегори и Кассегрена.
Ключевые слова: оптическая система, отражающая поверхность, входной зрачок, выходной зрачок, параметры, аберрации.
Коды OCIS: 200.0200, 220.0220
Поступила в редакцию 10.11.2011
Известно, что изображение, образованное системой конфокальных отражающих параболоидов (системой Мерсенна), свободно от сферической аберрации, комы и астигматизма. При нарушении конфокальности поверхностей в системе Мерсенна фокусное расстояние преобразованной системы приобретает конечное значение. Таким путем из системы Мерсенна кеплеровского типа получаем двухзеркальную систему Грегори, а из системы Мерсенна галилеевского типа – систему Кассегрена. В изображении, образованном любой из полученных систем, возникает некоторая сферическая аберрация, устранение которой легко достигается изменением формы поверхности вторичного зеркала на эллиптическую (в системе Грегори) или гиперболическую (в системе Кассегрена). Изменяя эксцентриситет в уравнении сечения меридиональной плоскостью отражающих поверхностей, можно устранить в образованном изображении не только сферическую аберрацию, но и кому. М.М. Русинов обратил внимание на то, что если изображение, образованное объективом Грегори, расположить в плоскости, проходящей через вершину отражающей поверхности главного (большого) зеркала, то само это зеркало изобразится вторичным зеркалом в плоскости промежуточного изобра-
жения, образованного отражающей поверхностью главного зеркала [1, 2]. Если при этом отражающую поверхность главного зеркала принять в качестве входного зрачка объектива, то его изображение в плоскости промежуточного изображения будет выходным зрачком рассматриваемой оптической системы. В этом случае в выходной зрачок системы можно поместить какой-либо коррекционный элемент, например, дополнительную отражающую поверхность, как показано на рис. 1. Показанную на рисунке оптическую систему в параксиальной области можно записать в виде:
Вх. зр.
O2 F
F1
O3
F12
O1
–SF Вых. зр.
d2
S2 = –d1
f1
Рис. 1. Оптическая схема объектива с отражающей поверхностью в выходном зрачке.
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
35
1 = 0
n1 = 1
2 =
d1 = n2 = –1
3 =
d2 = n3 = 1
4 = = 1
n4 = –1.
Выразив линейные величины в масштабе фо-
кусного расстояния системы, получаем: h1 = 1 отношение h2/h1 = h2 = –kЭ определяет коэффициент центрального экранирования зрачка
(осевого пучка лучей) по диаметру. При этом
–kЭ = 1 – 2d1. В соответствии с рисунком справедливы следующие соотношения:
d1 = – f1 – d2; 2 = –h1/f1 = –1/f1 ;
h2/h1 = –kЭ = –d2/f1 ; d2 = kЭf1 ;
h3 = h2 – 3d2 = –kЭ – 3kЭf1 ; h3/3 = f1 ;
kЭ + 3kЭf1 = –3/f1 ; 3 = –(1/f1 )(kЭ/(1 + kЭ));
пусть
h3 = SF = SF ;
SF = –kSd2,
тогда
SF = –kSkЭf1 ;
h3 = f1 3 = –kЭ/(1 + kЭ) = –kSkЭf1 = 1/(kS(1 + kЭ).
Коэффициент kЭ(kЭ > 0) величина известная (задана или выбрана); значение коэффициента
kS выбирается из конструктивных соображений. Значения параметров 2, 3, d1, d2, f1 , SF определяются полученными соотношениями,
которые в соответствии с последовательностью
вычислений можно представить в виде:
f1¢
=
kS
1 (1 +
kÝ
)
,
2 = - f11¢,
d2 = kÝf1¢,
(1) (2) (3)
d1 = -d2 - f1¢,
(4)
sF¢ ¢ = -kSd2,
(5)
3
=
SF¢ ¢ f1¢
.
(6)
Сферическая аберрация, кома и астигматизм третьего порядка изображения, образованного рассматриваемой оптической системой, определяются соответственно коэффициентами:
åi=3
SI = hiQi,
i=1
(7)
å åi=3 i=3
SII = Hi Qi - J Wi,
i=1 i=1
(8)
å åSIII =
i=3 i=1
Hi2 hi
Qi -2J
i=3 i=1
Hi hi
Wi
+
å+ J2
i=3 i=1
i+1i+1 hi
-
i
i
,
(9)
где Qi = Pi + Tii; i – коэффициент “деформации” сферической поверхности в уравнении: x2 + y2 = 2riz – (1 + i)z2; J – инвариант Лагранжа–Гельмгольца; J = nl. Здесь n = –1, = 1,
l = f1. При 1 = 1 в масштабе фокусного расстояния имеем J = –1. В рассматриваемом слу-
чае высоты точек пересечения главного вирту-
ального луча с главными плоскостями поверх-
ностей равны: H1 = 0; при 1 = 1, угол 2 = –1, при этом высота H2 = H1 – 2d1 = d1 = –1/kS; высота H3 = 0.
Выражения, определяющие коэффициенты
первичных аберраций изображения, образо-
ванного рассматриваемой оптической систе-
мой, можно представить в виде:
åSI
=
i=3 i=1
hi Pi
+
T11
-
kÝT22
-
kÝ 1+ kÝ
T33,
(10)
åSII
=
-
1 kS
(
P2
+
T22
)
+
i=3 i=1
Wi
,
(11)
SIII
=
-
1 kS2 kÝ
(P2
+ T22 )
+
+
2 kS kÝ
W2
+1
+
2kS
(1
+
kÝ
)
+
1+ kS kÝ
.
(12)
Коррекционными параметрами в рассматривае-
мой оптической системе являются коэффициен-
ты деформации отражающих поверхностей 1, 2 и 3. Из вида выражений (11) и (12) следует, что подбором коэффициента 2 можно компенсировать или остаточную кому или астиг-
матизм. Следовательно, располагая тремя кор-
рекционными параметрами, можно компенси-
ровать лишь две аберрации из трех. Раскрыв
величины, входящие в выражения, определяю-
щие коэффициенты SI и SII, при SII = 0 получаем
2
=
2- kS2 (2kÝ -1) kS2 (2kÝ -1)3
.
(13)
При этом коэффициент SI определяется выражением вида
36 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
SI
=
1 4
kS3
(1-
kÝ
)3
(1 +
1)
-
1 - 2kÝ 2
kS3 kÝ
-
-
1 4
1- kS2kÝ2 1- kÝ
(1
-
kS
kÝ
)kÝ
êêéêë1
-
(1 + (1-
kS k)2 kS k)2
3
úûúùú.
(14)
Отсюда следует, что при SI = 0 коэффициенты деформации могут принимать и такие значения, как 1 = 0 при 3 0 или 3 = 0 при 1 0. Очевидным достоинством рассматриваемой оптической системы является то, что при апланатической коррекции аберраций главное (большое) зеркало может иметь сферическую форму.
Для расширения коррекционных возможностей отражающую поверхность главного зеркала рассматриваемой системы заменим системой из двух отражающих поверхностей типа системы Кассегрена. При этом апертурной диафрагмой может служить отражающая поверхность как первого, так и второго зеркала. Рассмотрим случай, когда апертурной диафрагмой служит отражающая поверхность второго зеркала. Будем считать, что на этой же поверхности расположено изображение, образованное третьей отражающей поверхностью, как показано на рис. 2. В результате параметрического анализа рассматриваемой композиции зеркальной оптической системы получены соотношения, которые можно представить в следующей последовательности параметрического синтеза системы (при 1 = 0; h1 = –1)
d1
=
-
kS
kÝ (k1 +
k2
)
,
(15)
2 = kÝd-1 1,
(16)
d2 = -(k1 + k2)d1,
(17)
3
=
kÝ k1d1
,
(18)
d3 = k2d1,
(19)
4
=
k1
k2 +
k2
kÝ k1d1
,
(20)
sF¢ ¢
=
k2kÝ k1 + k2
.
(21)
При 1 = 0 и H2 = 0 (в плоскости апертурной диафрагмы) получаем: H1 = Sp = 1/(ks(k1 + k2); H3 = –1/k3; H4 = 0. Первичные аберрации изо-
АД Вых. зр.
F1 O2
O4 O3 F
O1
–S2 –d1
–d3
–S2 –SF
d2
Рис. 2. Оптическая схема зеркального объектива с апертурной диафрагмой на вторичном зеркале.
бражения в рассматриваемом случае определяются коэффициентами [3, 4]:
åi=4
SI = hi Pi -T11 - kÝT22 +
i=1
+
k2 k1
kÝT33
+
k2kÝ k1 + k4
T4 4 ,
SII
=
kS
1 (k1 +
k2
)
(P1
+
T11
)-
å-
1 kS
(P3
+T33 )-
i=4 i=1
Wi ,
(22) (23)
SIII
=
-
kS2
1 (k1 +
k2
)2
(P1
+
T11
)
+
k1 k2kS2
kÝ
(P3
+
T33
)
+
+
kS
2 (k1 + k2)
W1
+
2k1 k2 kS kÝ
W3
-
(24)
-
(1- kÝ kÝ2
)2
kS
(k1
+
k2
)
+
k1 + k2 k2kÝ
(1
+
kS
)
+
kS kÝ
.
Положив в выражениях (23) и (24) коэффици-
енты SII = 0 и SIII = 0, получим систему уравнений, решив которую найдем значения коэф-
фициентов 1 и 3. Подставив найденные значения этих коэффициентов в формулу (22), при
SI = 0 получим уравнение, содержащее неизвестные коэффициенты 2 и 4. Отсюда следует, что коэффициенты деформации могут
принимать и такие значения, как 2 = 0 при 4 0 или 4 = 0 при 2 0. Таким образом, в рассматриваемой оптической системе при
апланатической коррекции аберраций вторич-
ное зеркало может иметь сферическую форму.
Кривизна поверхности изображения опреде-
ляется коэффициентом, равным
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
37
åSIV =
i=4 i=1
ii+1 - i+1i hi
=
(25)
=
-2
-
2 + 3 h2
+
3 + 4 h3
-1+ 4 h4
.
Заменив углы и высоты определяющими их
выражениями, получаем
SIV
=
k1 + k2 kÝ
êêëêé
(1- kÝ kÝ
)2
kS
- 1+ kS k2
-
kS k1 + k2
úúûúù.
(26)
Рассматриваемая система имеет вполне конструктивный вид, если принять k1 = k2 = kS = 1. При этом при SIV = 0 выражение (26) приобретает вид уравнения: k2Э – (2/9)kЭ + 1 = 0. Этому уравнению удовлетворяет решение kЭ = 0,234. Таким образом, в рассматриваемой системе возможна компенсация не только сферической аберрации, комы и астигматизма, но и кривизны поверхности изображения.
Рассмотрим вариант композиции оптической системы, когда апертурной диафрагмой является отражающая поверхность главного зеркала. На этой же поверхности расположено ее изображение, образованное второй и третьей отражающими поверхностями системы, как показано на рис. 3. В результате параметрического анализа рассматриваемой композиции зеркальной оптической системы получены соотношения, которые можно представить в следующей последовательности параметрического синтеза системы:
d1
=
-
1 kS
1
+
kÝ k1 (1
-
kÝ
)
,
(27)
2 = kÝd-1 1,
(28)
Вх. зр.
Вых. зр.
F1
O2
O4 O1
F O3
S2 = –d1 f1
–S3
–SF
–d3 d2
Рис. 3. Оптическая схема зеркального объектива с апертурной диафрагмой на главном зеркале.
d2 = -(1+ k1)d1,
3
=
kÝ d1
,
d3 = k1d1,
(29) (30) (31)
4 =
k1kÝ d1
1
+
1- kÝ k1 (1 -
kÝ
)
,
sF¢
¢
=
1
+
k1kÝ k1 (1 -
kÝ
)
.
(32) (33)
При расстоянии от первой отражающей
поверхности до входного зрачка Sp = 0 высота H1 = 0. При угле 1 = 1 высота H2 = = –kЭ/(kS(1 + k1(1 – kЭ), высота H3 = –1/kS; главный виртуальный луч пересекает центр
выходного зрачка на высоте H4 = 0. Первичные аберрации изображения, образо-
ванного рассматриваемой системой, определя-
ются коэффициентами
åi=4
SI = hi Pi -T11 - kÝT22 + k1kÝT33 +
i=1
+
1
+
k1kÝ k1 (1 -
kÝ
)
T44
,
SII = -
1 kS
1
+
kÝ k1 (1
-
kÝ
)
(P2
+
T22
)-
å-
1 kS
(P3
+
T33
)
-
i=4 i=1
Wi
,
(34) (35)
SIII
=
-
1 kS2
[1 +
k k1(1- k
)]2
(P2
+T22 )+
+
1 k1kS2 kÝ
(P3 +T33 )-
2
kS [1+ k1(1- k
)]W2
+
+
2 k1kS kÝ
W3
+ kS
1- kÝ kÝ
+
+
1+
k1 (1 kÝ2
kÝ
)
êëêékS
(2kÝ
-1)
+
1+ kS k1
kÝ
úúûù.
(36)
Положив в выражениях (35) и (36) коэффици-
енты SII = 0 и SIII = 0, получим систему из двух уравнений, решив которую найдем значения
коэффициентов 2 и 3. Подставив найденные значения коэффициентов в формулу (34), по-
лучим уравнение с неизвестными коэффици-
ентами 1 и 4. Отсюда следует, что коэффициенты деформации могут принимать и такие
значения, как 1 = 0 при 4 0 или 4 = 0 при 1 0. Очевидным достоинством рассматри-
38 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
ваемой оптической системы является то, что при апланатической коррекции аберраций главное (большое) зеркало может иметь сферическую форму. Можно показать, что в рассма-
триваемой системе возможна компенсация не только сферической аберрации, комы и астигматизма, но и кривизны поверхности изображения.
* ****
ЛИТЕРАТУРА
1. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике. М.: Недра, 1973. 296 с. 2. Русинов М.М. Композиция оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 383 с. 3. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с. 4. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002. 218 с.
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
39
УДК 535.317.2
ВАРИАНТЫ КОМПОЗИЦИИ ЗЕРКАЛЬНЫХ ОБЪЕКТИВОВ НА ОСНОВЕ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБЪЕКТИВОВ ГРЕГОРИ И КАССЕГРЕНА
© 2012 г. С. В. Гайворонский; В. А. Зверев, доктор техн. наук
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: gaivoronsky@mail.ru, post_vaz@rambler.ru
Выполнен анализ габаритных параметров и аберрационных характеристик вариантов композиции оптических систем из отражающих поверхностей на основе объективов Грегори и Кассегрена.
Ключевые слова: оптическая система, отражающая поверхность, входной зрачок, выходной зрачок, параметры, аберрации.
Коды OCIS: 200.0200, 220.0220
Поступила в редакцию 10.11.2011
Известно, что изображение, образованное системой конфокальных отражающих параболоидов (системой Мерсенна), свободно от сферической аберрации, комы и астигматизма. При нарушении конфокальности поверхностей в системе Мерсенна фокусное расстояние преобразованной системы приобретает конечное значение. Таким путем из системы Мерсенна кеплеровского типа получаем двухзеркальную систему Грегори, а из системы Мерсенна галилеевского типа – систему Кассегрена. В изображении, образованном любой из полученных систем, возникает некоторая сферическая аберрация, устранение которой легко достигается изменением формы поверхности вторичного зеркала на эллиптическую (в системе Грегори) или гиперболическую (в системе Кассегрена). Изменяя эксцентриситет в уравнении сечения меридиональной плоскостью отражающих поверхностей, можно устранить в образованном изображении не только сферическую аберрацию, но и кому. М.М. Русинов обратил внимание на то, что если изображение, образованное объективом Грегори, расположить в плоскости, проходящей через вершину отражающей поверхности главного (большого) зеркала, то само это зеркало изобразится вторичным зеркалом в плоскости промежуточного изобра-
жения, образованного отражающей поверхностью главного зеркала [1, 2]. Если при этом отражающую поверхность главного зеркала принять в качестве входного зрачка объектива, то его изображение в плоскости промежуточного изображения будет выходным зрачком рассматриваемой оптической системы. В этом случае в выходной зрачок системы можно поместить какой-либо коррекционный элемент, например, дополнительную отражающую поверхность, как показано на рис. 1. Показанную на рисунке оптическую систему в параксиальной области можно записать в виде:
Вх. зр.
O2 F
F1
O3
F12
O1
–SF Вых. зр.
d2
S2 = –d1
f1
Рис. 1. Оптическая схема объектива с отражающей поверхностью в выходном зрачке.
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
35
1 = 0
n1 = 1
2 =
d1 = n2 = –1
3 =
d2 = n3 = 1
4 = = 1
n4 = –1.
Выразив линейные величины в масштабе фо-
кусного расстояния системы, получаем: h1 = 1 отношение h2/h1 = h2 = –kЭ определяет коэффициент центрального экранирования зрачка
(осевого пучка лучей) по диаметру. При этом
–kЭ = 1 – 2d1. В соответствии с рисунком справедливы следующие соотношения:
d1 = – f1 – d2; 2 = –h1/f1 = –1/f1 ;
h2/h1 = –kЭ = –d2/f1 ; d2 = kЭf1 ;
h3 = h2 – 3d2 = –kЭ – 3kЭf1 ; h3/3 = f1 ;
kЭ + 3kЭf1 = –3/f1 ; 3 = –(1/f1 )(kЭ/(1 + kЭ));
пусть
h3 = SF = SF ;
SF = –kSd2,
тогда
SF = –kSkЭf1 ;
h3 = f1 3 = –kЭ/(1 + kЭ) = –kSkЭf1 = 1/(kS(1 + kЭ).
Коэффициент kЭ(kЭ > 0) величина известная (задана или выбрана); значение коэффициента
kS выбирается из конструктивных соображений. Значения параметров 2, 3, d1, d2, f1 , SF определяются полученными соотношениями,
которые в соответствии с последовательностью
вычислений можно представить в виде:
f1¢
=
kS
1 (1 +
kÝ
)
,
2 = - f11¢,
d2 = kÝf1¢,
(1) (2) (3)
d1 = -d2 - f1¢,
(4)
sF¢ ¢ = -kSd2,
(5)
3
=
SF¢ ¢ f1¢
.
(6)
Сферическая аберрация, кома и астигматизм третьего порядка изображения, образованного рассматриваемой оптической системой, определяются соответственно коэффициентами:
åi=3
SI = hiQi,
i=1
(7)
å åi=3 i=3
SII = Hi Qi - J Wi,
i=1 i=1
(8)
å åSIII =
i=3 i=1
Hi2 hi
Qi -2J
i=3 i=1
Hi hi
Wi
+
å+ J2
i=3 i=1
i+1i+1 hi
-
i
i
,
(9)
где Qi = Pi + Tii; i – коэффициент “деформации” сферической поверхности в уравнении: x2 + y2 = 2riz – (1 + i)z2; J – инвариант Лагранжа–Гельмгольца; J = nl. Здесь n = –1, = 1,
l = f1. При 1 = 1 в масштабе фокусного расстояния имеем J = –1. В рассматриваемом слу-
чае высоты точек пересечения главного вирту-
ального луча с главными плоскостями поверх-
ностей равны: H1 = 0; при 1 = 1, угол 2 = –1, при этом высота H2 = H1 – 2d1 = d1 = –1/kS; высота H3 = 0.
Выражения, определяющие коэффициенты
первичных аберраций изображения, образо-
ванного рассматриваемой оптической систе-
мой, можно представить в виде:
åSI
=
i=3 i=1
hi Pi
+
T11
-
kÝT22
-
kÝ 1+ kÝ
T33,
(10)
åSII
=
-
1 kS
(
P2
+
T22
)
+
i=3 i=1
Wi
,
(11)
SIII
=
-
1 kS2 kÝ
(P2
+ T22 )
+
+
2 kS kÝ
W2
+1
+
2kS
(1
+
kÝ
)
+
1+ kS kÝ
.
(12)
Коррекционными параметрами в рассматривае-
мой оптической системе являются коэффициен-
ты деформации отражающих поверхностей 1, 2 и 3. Из вида выражений (11) и (12) следует, что подбором коэффициента 2 можно компенсировать или остаточную кому или астиг-
матизм. Следовательно, располагая тремя кор-
рекционными параметрами, можно компенси-
ровать лишь две аберрации из трех. Раскрыв
величины, входящие в выражения, определяю-
щие коэффициенты SI и SII, при SII = 0 получаем
2
=
2- kS2 (2kÝ -1) kS2 (2kÝ -1)3
.
(13)
При этом коэффициент SI определяется выражением вида
36 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
SI
=
1 4
kS3
(1-
kÝ
)3
(1 +
1)
-
1 - 2kÝ 2
kS3 kÝ
-
-
1 4
1- kS2kÝ2 1- kÝ
(1
-
kS
kÝ
)kÝ
êêéêë1
-
(1 + (1-
kS k)2 kS k)2
3
úûúùú.
(14)
Отсюда следует, что при SI = 0 коэффициенты деформации могут принимать и такие значения, как 1 = 0 при 3 0 или 3 = 0 при 1 0. Очевидным достоинством рассматриваемой оптической системы является то, что при апланатической коррекции аберраций главное (большое) зеркало может иметь сферическую форму.
Для расширения коррекционных возможностей отражающую поверхность главного зеркала рассматриваемой системы заменим системой из двух отражающих поверхностей типа системы Кассегрена. При этом апертурной диафрагмой может служить отражающая поверхность как первого, так и второго зеркала. Рассмотрим случай, когда апертурной диафрагмой служит отражающая поверхность второго зеркала. Будем считать, что на этой же поверхности расположено изображение, образованное третьей отражающей поверхностью, как показано на рис. 2. В результате параметрического анализа рассматриваемой композиции зеркальной оптической системы получены соотношения, которые можно представить в следующей последовательности параметрического синтеза системы (при 1 = 0; h1 = –1)
d1
=
-
kS
kÝ (k1 +
k2
)
,
(15)
2 = kÝd-1 1,
(16)
d2 = -(k1 + k2)d1,
(17)
3
=
kÝ k1d1
,
(18)
d3 = k2d1,
(19)
4
=
k1
k2 +
k2
kÝ k1d1
,
(20)
sF¢ ¢
=
k2kÝ k1 + k2
.
(21)
При 1 = 0 и H2 = 0 (в плоскости апертурной диафрагмы) получаем: H1 = Sp = 1/(ks(k1 + k2); H3 = –1/k3; H4 = 0. Первичные аберрации изо-
АД Вых. зр.
F1 O2
O4 O3 F
O1
–S2 –d1
–d3
–S2 –SF
d2
Рис. 2. Оптическая схема зеркального объектива с апертурной диафрагмой на вторичном зеркале.
бражения в рассматриваемом случае определяются коэффициентами [3, 4]:
åi=4
SI = hi Pi -T11 - kÝT22 +
i=1
+
k2 k1
kÝT33
+
k2kÝ k1 + k4
T4 4 ,
SII
=
kS
1 (k1 +
k2
)
(P1
+
T11
)-
å-
1 kS
(P3
+T33 )-
i=4 i=1
Wi ,
(22) (23)
SIII
=
-
kS2
1 (k1 +
k2
)2
(P1
+
T11
)
+
k1 k2kS2
kÝ
(P3
+
T33
)
+
+
kS
2 (k1 + k2)
W1
+
2k1 k2 kS kÝ
W3
-
(24)
-
(1- kÝ kÝ2
)2
kS
(k1
+
k2
)
+
k1 + k2 k2kÝ
(1
+
kS
)
+
kS kÝ
.
Положив в выражениях (23) и (24) коэффици-
енты SII = 0 и SIII = 0, получим систему уравнений, решив которую найдем значения коэф-
фициентов 1 и 3. Подставив найденные значения этих коэффициентов в формулу (22), при
SI = 0 получим уравнение, содержащее неизвестные коэффициенты 2 и 4. Отсюда следует, что коэффициенты деформации могут
принимать и такие значения, как 2 = 0 при 4 0 или 4 = 0 при 2 0. Таким образом, в рассматриваемой оптической системе при
апланатической коррекции аберраций вторич-
ное зеркало может иметь сферическую форму.
Кривизна поверхности изображения опреде-
ляется коэффициентом, равным
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
37
åSIV =
i=4 i=1
ii+1 - i+1i hi
=
(25)
=
-2
-
2 + 3 h2
+
3 + 4 h3
-1+ 4 h4
.
Заменив углы и высоты определяющими их
выражениями, получаем
SIV
=
k1 + k2 kÝ
êêëêé
(1- kÝ kÝ
)2
kS
- 1+ kS k2
-
kS k1 + k2
úúûúù.
(26)
Рассматриваемая система имеет вполне конструктивный вид, если принять k1 = k2 = kS = 1. При этом при SIV = 0 выражение (26) приобретает вид уравнения: k2Э – (2/9)kЭ + 1 = 0. Этому уравнению удовлетворяет решение kЭ = 0,234. Таким образом, в рассматриваемой системе возможна компенсация не только сферической аберрации, комы и астигматизма, но и кривизны поверхности изображения.
Рассмотрим вариант композиции оптической системы, когда апертурной диафрагмой является отражающая поверхность главного зеркала. На этой же поверхности расположено ее изображение, образованное второй и третьей отражающими поверхностями системы, как показано на рис. 3. В результате параметрического анализа рассматриваемой композиции зеркальной оптической системы получены соотношения, которые можно представить в следующей последовательности параметрического синтеза системы:
d1
=
-
1 kS
1
+
kÝ k1 (1
-
kÝ
)
,
(27)
2 = kÝd-1 1,
(28)
Вх. зр.
Вых. зр.
F1
O2
O4 O1
F O3
S2 = –d1 f1
–S3
–SF
–d3 d2
Рис. 3. Оптическая схема зеркального объектива с апертурной диафрагмой на главном зеркале.
d2 = -(1+ k1)d1,
3
=
kÝ d1
,
d3 = k1d1,
(29) (30) (31)
4 =
k1kÝ d1
1
+
1- kÝ k1 (1 -
kÝ
)
,
sF¢
¢
=
1
+
k1kÝ k1 (1 -
kÝ
)
.
(32) (33)
При расстоянии от первой отражающей
поверхности до входного зрачка Sp = 0 высота H1 = 0. При угле 1 = 1 высота H2 = = –kЭ/(kS(1 + k1(1 – kЭ), высота H3 = –1/kS; главный виртуальный луч пересекает центр
выходного зрачка на высоте H4 = 0. Первичные аберрации изображения, образо-
ванного рассматриваемой системой, определя-
ются коэффициентами
åi=4
SI = hi Pi -T11 - kÝT22 + k1kÝT33 +
i=1
+
1
+
k1kÝ k1 (1 -
kÝ
)
T44
,
SII = -
1 kS
1
+
kÝ k1 (1
-
kÝ
)
(P2
+
T22
)-
å-
1 kS
(P3
+
T33
)
-
i=4 i=1
Wi
,
(34) (35)
SIII
=
-
1 kS2
[1 +
k k1(1- k
)]2
(P2
+T22 )+
+
1 k1kS2 kÝ
(P3 +T33 )-
2
kS [1+ k1(1- k
)]W2
+
+
2 k1kS kÝ
W3
+ kS
1- kÝ kÝ
+
+
1+
k1 (1 kÝ2
kÝ
)
êëêékS
(2kÝ
-1)
+
1+ kS k1
kÝ
úúûù.
(36)
Положив в выражениях (35) и (36) коэффици-
енты SII = 0 и SIII = 0, получим систему из двух уравнений, решив которую найдем значения
коэффициентов 2 и 3. Подставив найденные значения коэффициентов в формулу (34), по-
лучим уравнение с неизвестными коэффици-
ентами 1 и 4. Отсюда следует, что коэффициенты деформации могут принимать и такие
значения, как 1 = 0 при 4 0 или 4 = 0 при 1 0. Очевидным достоинством рассматри-
38 “Оптический журнал”, 79, 2, 2012
ваемой оптической системы является то, что при апланатической коррекции аберраций главное (большое) зеркало может иметь сферическую форму. Можно показать, что в рассма-
триваемой системе возможна компенсация не только сферической аберрации, комы и астигматизма, но и кривизны поверхности изображения.
* ****
ЛИТЕРАТУРА
1. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике. М.: Недра, 1973. 296 с. 2. Русинов М.М. Композиция оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 383 с. 3. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с. 4. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002. 218 с.
“Оптический журнал”, 79, 2, 2012
39