Моделирование системы управления зеркалом в кардановом подвесе для обзорно-поисковых систем воздушного базирования
УДК 62-50
моделирование СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗЕРКАЛОМ В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ ДЛЯ ОБЗОРНО-ПОИСКОВЫХ СИСТЕМ ВОЗДУШНОГО БАЗИРОВАНИЯ
© 2012 г. В. А. Балоев*, канд. техн. наук; Ю. М. Беляков**, канд. техн. наук; А. И. Карпов**, канд. техн. наук; В. А. Кренев**, канд. техн. наук; Д. А. Молин**; А. Г. Матвеев*; В. С. Яцык*, канд. техн. наук
** НПО “Государственный институт прикладной оптики”, г. Казань ** Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань
Построена математическая модель системы управления зеркалом обзорнопоисковой системы, установленной на летательном аппарате. Предложены алгоритмы управления, обеспечивающие требуемые динамические характеристики сканирования, наведения и слежения. Разработаны имитационные модели для трех режимов работы: сканирования, наведения и слежения.
Ключевые слова: объект управления, математическая модель, оптикоэлектронная система, имитационная модель, алгоритм управления.
Коды OCIS: 220.4830, 220.4880.
Поступила в редакцию 02.12.2011.
Введение
При разработке и создании сканирующих оптико-электронных систем (ОЭС), в состав которых входят управляемые оптические элементы (зеркала, клинья), возникают задачи разработки адекватных математических моделей, синтеза систем управления и исследования динамических свойств, решение которых без применения компьютерного моделирования представляется проблематичным. При решении этих задач учитывают динамику управления зеркалом и вибрационное смещение изображения [1–3], которые оказывают существенное влияние на качество изображения.
В продолжение работ [4–7] рассматривается разработка имитационной модели (ИМ) системы управления (СУ) зеркалом в кардановом подвесе, обеспечивающем стабилизацию и управление положением оси визирования ОЭС. Модель СУ зеркалом предназначена для исследования динамики и определения требований к алгоритмам управления и конструктивным параметрам устройства сканирования обзорно-поисковой системы авиационного базирования.
1. Математическая модель объекта управления
Объект управления (ОУ) моделируется тремя подвижными твердыми телами (1 – азимутальный блок, 2 – угломестный блок, 3 – зеркало), установленными в корпусе, неподвижно закрепленном на летательном аппарате (ЛА). Положение этих тел относительно корпуса однозначно определяется углами поворотов тела 1 (ϕ1) и тела 2 (ϕ2), оси вращения которых совпадают. Ось вращения 3-го тела перпендикулярна оси вращения 1-го и 2-го тел и пересекается с ней.
За инерциальную систему отсчета примем систему координат О0XYZ, жестко связанную с поверхностью Земли (рис. 1). Здесь О0Y – восходящая вертикаль, О0XZ – горизонтальная плоскость, О0XY – плоскость тангажа. Система координат Cxyz жестко связана с центром масс (точка С) ЛА. В этой системе ось Cx направлена по продольной оси симметрии ЛА, ось Cy – в плоскости симметрии ЛА, ось Cz перпендикулярна плоскости симметрии. Положение системы координат Cxyz определяется координатами центра масс ЛА (XC, YC, ZC)
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
11
и самолетными углами (углом рыскания y,
углом тангажа q, углом крена γ).
Установочная система координат OX1Y1Z1 (рис. 2) жестко связана с ЛА. Ось O1Y1 совпадает с осью вращения 1-го и 2-го тел. Ее положе-
ние задается координатами точки O1 (xO1, yO1, zO1) в системе координат Cxyz, связанной с ЛА, и углами yy, qy, gy.
Системы координат Ox1y1z1, Ox2y2z2 и Ox3y3z3 (рис. 3) жестко связаны с телами 1, 2 и 3 соответственно, положение начала коорди-
нат О совпадает с точкой пересечения оси вра-
щения 3-го тела с осью вращения 1-го и 2-го
тел. Оси Oy1 и Oy2 совпадают и направлены по оси вращения этих тел, ось Oz1 совпадает с осью вращения 3-го тела Oz3, ось Ox3 перпендикулярна плоскости зеркала. В устано-
вочной системе координат положение точки
О определяется расстоянием O1O, а ориентация осей – углами ϕ1, ϕ2, q0 + q. Угол q0 = π/4, а q = (ϕ2 – ϕ1)/2.
Массы тел равны mj, их тензоры инерции в осях Ox1y1z1, Ox2y2z2, Ox3y3z3 задаются матрицами
J(j) = çèçççççççæ--AEFjjj
-Fj
Bj -Dj
-Ej -Dj
Cj
÷÷÷÷÷÷÷ö÷ø÷,
а положение центров масс – координатами xCj, yCj, zCj (j = 1, 2, 3); Aj, Bj, Cj – осевые, Dj, Ej, Fj – центробежные моменты инерции тел.
Для построения математической модели
движения ОУ относительно ЛА будем приме-
нять уравнения Лагранжа II рода [8], исполь-
зуя смешанный метод Жильбера [9]. Проведем
через точку О оси OX, OY, OZ, параллельные
осям О0X, О0Y, О0Z. Систему координат OXYZ можно считать инерциальной после добавле-
ния к активным силам, действующим на ОУ,
только переносных сил инерции, так как она
движется поступательно относительно инер-
циальной системы координат О0XYZ. Обозначим ускорение точки О в инерциальной системе О0XYZ отсчета через a–O. Тогда переносные силы инерции вызывают появление обобщен-
ных сил
å åQi¢=
çççæèç-mk(j)aO
¶rk(j) ¶qi
ö÷÷÷÷÷ø
=
-
j=31çççæçèmj aO
¶rC(j) ¶qi
÷ø÷÷÷÷ö,
(1.1)
где rC(j) – радиус-вектор центра масс j-го тела в системе координат OXYZ, mj – масса j-го тела, qi – i-я обобщенная координата, m(kj) – масса k-й материальной точки j-го тела, rk(j) – радиус-вектор k-й материальной точки j-го тела. За обоб-
12
qY
Y y
x q
C
Z Yg
OO
z
Y X
X
Z Рис. 1. Системы координат O0XYZ и Cxyz.
y qy
y
gy Y1
X1 qy
O1
Yy x
z C
Yy gy
Z1
x
z
Рис. 2. Системы координат Cxyz и O0X1Y1Z1.
Y1 y1 y2
y3 q0 + q xопт
O x1 j2 j1
j2 z2 Z1 j1 z3 z1
X1 x3
O1 q0 + q
X1 z1
Рис. 3. Системы координат O0x1y1z1, O0x2y2z2 и O0x3y3z3.
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
щенные координаты выберем углы поворотов тела 1 и тела 2: q1 = ϕ1, q2 = ϕ2.
С корпусом ОY жестко свяжем систему координат OX1Y1Z1 (OX1||O1X1, OY1||O1Y1, OZ||O1Z1). Кинетическая энергия ОУ (T) в системе координат OXYZ будет вычисляться с учетом того, что ОУ совершает относительное движение в системе координат OX1Y1Z1, а движение системы координат OX1Y1Z1 относительно OXYZ является переносным, –
å å ( ) åT =
3
Tr(j) +
j=1
3
ω
j=1
KrO
(j) +
3 j=1
1 2
ω Tj
J(
j)
ω j
.
(1.2)
Здесь Tr(j) – кинетическая энергия j-го тела в относительном движении в осях OX1Y1Z1, (KOr )(j) – кинетический момент j-го тела относительно точки О в относительном движении в осях системы координат OX1Y1Z1, ω j – координатный вектор, составленный из проекций век-
тора ω (угловой скорости системы координат
OX1Y1Z1) на оси, жестко связанные с j-м телом: ω Tj = (ωxj ωyj ωzj), J(j) – тензор инерции j-го тела.
Уравнения Лагранжа II рода запишутся в
следующем виде:
d dt
çæçèç
¶T ¶qi
÷ö÷÷ø÷-
¶T ¶qi
=
Qi
+ Qi¢,
(i =1, 2),
(1.3)
где Qi – обобщенные силы, определяемые действием активных сил (силы тяжести, моменты от азимутального и угломестного приводов, моменты трения). Тогда связи, ограничивающие движение ОУ в системе координат OX1Y1Z1, можно считать идеальными, голономными, удерживающими и стационарными.
Как показано в [10], в вентильном режиме работа каждого из двигателей в приводах с высокой степенью точности описывается уравнениями
Jpϕ = Mýì - Mäâ - Mòðsignϕ,
Mýì = cìi,
u
=
L
di dt
+
ri
+
ce
ϕ ,
(1.4)
где ϕ – угол поворота вала электродвигателя, Jp – момент инерции ротора, Mэм – электромагнитный момент, Мдв – момент сопротивления нагрузки, приложенной к ротору двигателя; Мтр – момент трения, u – напряжение на фазовой обмотке, i – ток в фазовой обмотке, r и L – активное сопротивление и индуктивность фазовой обмотки, см, се – конструктивные параметры.
После проведения действий в соответствии с уравнениями (1.3) и с учетом (1.4) получим систему нелинейных нестационарных обыкновенных дифференциальных уравнений ОУ, которую запишем в матричной форме как
A (ϕ)ϕ + N(ϕ, ϕ )+ H(ϕ, ω1)ϕ + L(ϕ)e1(t) -
- Ω(ϕ, ω1) = cMi - Mòð - P(ϕ, a),
(1.5)
L
di dt
=
u
-
ri
-
cE
ϕ ,
где ϕ = ççèçæϕϕ12 ø÷÷÷ö÷, ϕ = ççèçæϕϕ12 ø÷÷ö÷÷, ϕ = ççèçæϕϕ12 ø÷÷÷ö÷, i = èççæçii12 ÷ø÷ö÷÷, u = èçççæuu12 ø÷÷ö÷÷;
A (ϕ)
=
æçççççèB1
+
0,25N3
+ 0,5( A3 + B3 )+ F (ϕ)-(0,25C3 -0,5E(ϕ))
E
(ϕ)
+
J
p
-(B02,2+50C,32-5C03,5+EJ(ϕp ))÷÷ø÷÷ö÷,
( )N(ϕ, ϕ ) = col ϕ TN1(ϕ)ϕ, ϕ TN2 (ϕ)ϕ ,
N1(ϕ)= çèççæç-nn11((ϕϕ)) -nn12((ϕϕ))ø÷÷÷÷ö,
N2(ϕ) = çèçççæn30(ϕ) 00ø÷÷ö÷÷;
H(ϕ, ω1) = ççèçæçh(ϕk)ϕω11(t)
-h(ϕ)ω1
kϕ2
(t)öø÷÷÷÷,
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
h(ϕ)= (h1(ϕ) h2(ϕ) h3(ϕ));
L(ϕ)
=
èçççæll1211
(ϕ) (ϕ)
l12 (ϕ) l22 (ϕ)
l13 l23
((ϕϕ))ø÷÷ö÷÷;
Ω(ϕ, ω1) =
=
1 2
colççæççèω1T
¶S(ϕ)
¶ϕ1
ω1
(t),
ω1T
¶S(ϕ)
¶ϕ2
ω1 (t)÷÷ö÷ø÷;
Mòð
=
ççççèæMMòòðð..21
sign sign
ϕ 1 ϕ 2
÷÷÷÷öø,
13
(( )P(ϕ, a) = col g TATc ATy + a TO (t) p1(ϕ), ( ) )g TATc ATy + a TO (t) p2 (ϕ) .
Обозначения элементов матриц (1.5) приведены в Приложении к статье.
Рассмотрим разработку имитационной модели ОЭС, осуществляющую сканирование поля обзора, наведение и слежение.
2. Разработка имитационной модели для режима сканирования
При сканировании поля обзора по углу азимута от 0° до 360° и по углу места от 0° до qmax ОЭС с элементарным полем зрения ∆θ с зоной перекрытия 10% (∆qp = 0,1∆θ) при частоте кадров f программная угловая скорость азимутального привода принимается равной
ϕ 1ïð
=
(Dq
-
Dqð
)f
π 180
,
c-1,
(2.1)
при этом программная угловая скорость угломестного привода ϕ 2пр1 находится из выра жений
(Dq -
Dqð
)18π0
=
q ïð
2π ϕ 1ïð
,
q ïð = ϕ 2ïð1 - ϕ 1ïð
и составляет
ϕ 2ïð1
=
ϕ 1ïð
æçèçç1
+
Dq- Dqð 360
÷÷÷ö÷ø.
(2.2)
Затем поле обзора просматривается путем изменения угла места от qmax до 0°, при этом угловая скорость угломестного привода ϕ 2 находится аналогично –
(Dq -
Dqð
)18π0
=
-q ïð
2π ϕ 1ïð
,
q ïð = ϕ 2ïð1 - ϕ 1ïð,
ϕ 2ïð2
= ϕ 1ïð
èççæç1-
Dq - Dqð 360
÷øö÷÷÷.
(2.3)
Время обзора без учета инерционных
свойств ОУ определяется как
Tîáç = 3f6(0D(qq-maDx q-pD)2q).
(2.4)
Такой цикл обзора повторятся многократно.
Программные значения угловой скорости ОУ
составляют
(ω1ïð = ϕ 1ïð (ω2ïð = ϕ 1ïð
)ϕ 2ïð1 T , )ϕ 2ïð2 T .
(2.5)
Из уравнений (1.5) находим значения подаваемых на двигатели программных напряжений u1пр, u2пр, которые зависят от значений углов j1, j2 и от маневра летательного аппарата, –
( ( )u1ïð
=
r cì
Mòð + N 0, ω1ïð
+
)+ H(0, 0)ω1ïð + P(0, 0) + cåω1ïð ,
ïðè q > 0 Ç(0 £ q £ qmax ),
(2.6)
( ( )u2ïð
=
r cì
Mòð + N 0, ω2ïð
+
)+ H(0, 0)ω2ïð + P(0, 0) + cåω2ïð ,
ïðè q < 0 Ç(0 £ q £ qmax ).
(2.7)
Для компенсации возмущений, действую-
щих на зеркало со стороны ЛА, и перекрест-
ных связей между каналами азимутального
и угломестного приводов, напряжения, пода-
ваемые на двигатели, формируются введением
обратной связи по угловой скорости с коэффи-
циентом передачи kос
( )u1= u1ïð - koc ω- ω1ïð , ( )u2 = u2ïð - koc ω- ω2ïð ,
(2.8)
где вектор текущей угловой скорости ω вычисляется по показаниям датчиков углов с учетом их дискретности. Учитывается и то, что управляющее напряжение не может превышать 27 В.
Имитационная модель режима сканирования реализована в среде Mathcad в соответствии с уравнениями (1.5), (2.1)–(2.8). Проведено моделирование при заданных конструктивных параметрах ОУ, установленного на ЛА, совершающем правильный вираж со скоростью 1500 км/ч и угле крена γ = 80°, для qmax = 60°, f = 400 Гц, ∆q = 5,5° при дискретности показаний датчиков углов 4096 штр/об, kос = 10. Время обзора при указанных параметрах, найденное по формуле (2.4), равно 2,002 с. Имитационное моделирование показывает, что при пилообразном законе изменения угла места от 0° до 60° время обзора составляет 1,977 с, а при изменении угла места от 60° до 0° – 2,193 с.
14 “Оптический журнал”, 79, 3, 2012
3. Разработка имитационной модели для режима перевода оси визирования
ОЭС по внешнему целеуказанию
Предлагается следующий закон управления приводами ОУ в режиме отработки целеуказания (РОЦ):
U = uïð + u1,
(3.1)
( ( )uïð
=
r cì
Mòp + N ϕïð, ωïð
+
)+ H(ϕïð, )0 ω1ïð + P(ϕïð, a) + cåωïð,
(3.2)
u1 = ìïïíïïïîïïï-UUu0,0,,
åñëè åñëè åñëè
u ³ U0, u £-U0, -U0 < u < U0.
(3.3)
Здесь U – напряжение, подаваемое на двигатели, U0 – значение напряжения, подаваемого на двигатели, в момент перехода из режима сканирования пространства в РОЦ;
( )u = uϕ1 uϕ2 T,
(3.4)
uϕ1 и uϕ2 – законы управления азимутальным и угломестным приводами
uϕ1= kω êéë(ϕ1ö - ω1)+ kϕ (ϕâó - ϕ1 )úûù, (3.5)
где входной угол, определяемый вычислительным устройством, –
ϕâó =
ϕ1ö ϕ1ö + 2π
åñëè åñëè
ϕ1ö ³ π 2, ϕ1ö < π 2,
( )uϕ2 = kω êéë (ϕ 2ö - ω2 ) + (kϕ ϕâó + qö - ϕ2 )ùúû. (3.6)
Здесь kω = 150, kj = 17, w1, w2 – текущие значения угловых скоростей приводов (вычисля-
ются по показаниям датчиков углов с учетом
их дискретности), j1ц = j1ц(t), θц = θц(t) – законы изменения углов поворота зеркала j1 и θ в РОЦ. Управляющее напряжение не превы
шает 27 В.
В соответствии с законами управления
(3.5)–(3.6) построена структурная схема систе-
мы управления приводами зеркала в кардано-
вом подвесе для режима перевода оси визиро-
вания ОЭС по внешнему целеуказанию (рис. 4).
На рис. 5 показана траектория движе-
ния к цели ϕ1ц = 270°, θц = 0 из положения
qj (10(0) ) ==
180°, 0,356
ϕ 1(0) = 25,918 рад/с (справа
рад/с, θ(0) = 30°, крупным планом
показан конечный участок траектории).
j1ц j1
kj1 j1ц j1 ВУ
j1ц
j1ц j1ц + qц jц + qц
uj1 kw1 U1пр ВУ U2пр
uj2
kw2 j1ц + qц
j2
ВУ
jц + qц kj2
j2
ДУ ОУ
ДУ
j1 j2
Рис. 4. Структурная схема системы управления зеркалом в РОЦ. ВУ – вычислительное
устройство, ДУ – датчик угла.
qград
40
qград
1
20
269,305 269,863
270,42
180 230 j1, град 280
j1, град
Рис. 5. Траектория движения к цели в плоскости углов азимута и места.
Предложенный закон управления обеспечивает переход ОЭС из режима сканирования в заданную точку визирования за 0,5 с с погрешностями не более 0,08 по углу азимута и 0,095 по углу места.
4. Разработка имитационной модели для режима слежения
Синтез алгоритмов управления проводился частотным методом [10]. Исходя из условий устойчивости и заданных требований качества регулирования, получены алгоритмы управления приводами зеркала в кардановом подвесе с учетом их динамических характеристик для линеаризованной системы (1.5) в виде:
uà = R1( p)(yâõ - ϕ1) + R3 ( p)yí, uò = R2 ( p)(qâõ - q) + R4 ( p)qí,
(4.1)
где uа, uт – напряжения управления приводами, yн, θн – движение носителя, ψвх, qвх – движение объекта наблюдения (ОН) относительно оптической оси соответственно по азимуту
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
15
и тангажу; передаточные функции регуляторов по отклонению (R1(p), R2(p)) и форсирующих регуляторов (R3(p), R4(p)), обеспечивающих инвариантность к колебаниям носителя:
R1
(
p)
=
K1
(0,0001
p
+1)
(0,134 p (0,00012
+1) p +1)
(t1
p+ p
1),
R2
(
p)
=
K2
(0,0001
p
+1)
(0,104 p (0,00012
+1) p +1)
(t2
pp+1),
R3 (
p)
=
K3 1
p
((00,,0103041pp++11)),
R4
( p)
=
K4 1
p
((00,,0100041pp++11)).
Добротности по ускорению Kei(K1, K2) и постоянные времени (τi) определены из известных условий [10]:
Ke
³
emax Dϕ
,
t=
Ke
M (M
-1)
,
(4.2)
где Kε = K1/се = K2/се, emax – максимальное значение входных угловых ускорений, Dϕ – значение погрешности, М – показатель колебательности изолированных каналов управления системы автоматического управления (САУ) зеркалом.
Из условий (4.2) и критерия Найквиста [10] получены значения K1 = 4600, K2 = 4600, t1 = t2 = 1/30, при которых линейная САУ з еркалом (без учета дисбаланса и асимметрии ОУ) устойчива с требуемыми запасами устойчивости и обеспечивает заданные показатели качества регулирования.
С учетом периода квантования (Тк) параметры цифровой САУ (Kε, ti, Тк, ΣТi) при синтезе регуляторов доопределены из условий [10]
(см. таблицу)
åTk
£
2çæçççè
ωcp
M (M
+
1)
-
Ti ö÷÷÷ø÷÷,
( å )Ke T +
4
Ti
2
£
M(M -1) (M +1)2
,
(4.3)
где ωср = Keτ – частота среза, ΣТi = 22 мкс – сумма малых постоянных времени, меньших
периода квантования.
Математическая модель ОУ (1.5) с алгорит-
мами управления (4.1) реализована в пакете
Simulink МАTLAB. Блочная функциональ-
ная схема разработанной ИМ представлена на
рис. 6, где в зависимости от сложности вхо-
дящих в нее уравнений реализовано от одного
до шести уровней субмоделей. На рис. 6 обо-
значено: Д – блок вычисления коэффициентов
Параметры регуляторов САУ в режиме слежения
Tk, с 0,01 0,0066 0,005 0,0033 0,0025 М (f = 1/T), (100) (150) (200) (300) (400)
(Гц)
Kε K1 = K2 τ, с
950 220 0,108
2100 500 0,072
3600 850 0,055
8000 13 000 1,1 1890 3000 0,037 0,029
Kε K1 = K2 τ, с
1850 430 0,057
4200 820 0,038
7200 16 000 26 000 1,2 990 3700 6100 0,029 0,019 0,015
y(t), q(t), g(t) yy, qy, gy X..c, Y..c, Z..c
yвх(t) В a0(t) qвх(t)
Dy МФП Н wy
j1 jj...11 Д jjj...222
wz Dq Н
МФП
R1 R3
R4 R2
g a0(t)
u1
1
a12(j)
j1 А j. 1
j..1
a21(j)
u2 1 a0(tg)
j..2 УМ j. 2
j2
q 1/2
Рис. 6. Блочная функциональная схема ИМ в режиме слежения. Пояснения в тексте.
16 “Оптический журнал”, 79, 3, 2012
уравнений (1.5), учитывающих дисбаланс и асимметрию ОУ; А и УМ – блоки, учитывающие динамику ОУ с азимутальным и угломестным приводами соответственно; МФП – блок, учитывающий динамику и статистические характеристики матричного фотоприемника; Н – блок, учитывающий нелинейности фотоприемника (поле зрения, дискретизацию по углу и по времени); 1 – блок, учитывающий насыщение в усилителе мощности. В блоке В вычисляются коэффициенты уравнений (1.5), зависящие от движения ЛА.
При разработке ИМ учтены следующие ограничения по координатам: поля зрения ОЭС, управляющих напряжений приводов и тангажному углу поворота зеркала, а также нелинейности: моменты трения, дискретизация по частоте кадров. При моделировании процессов слежения ИМ позволяет оценить динамические характеристики САУ и погрешности слежения, вносимые видимым движением ОН, колебаниями носителя, конструктивными параметрами ОУ (масса, моменты инерции, центры масс и дисбаланс вращающихся элементов, координаты крепления прибора) и параметрами регулятора (законы регулирования, моменты трения),
нелинейностями в регуляторе и ОУ, вибрациями, частотой формирования кадров.
Было показано, что для режима слежения за ОН с гармоническим законом движения с максимальными угловой скоростью визирования ±60 град/с и ускорением ±60 град/с2, колебаниями носителя с амплитудой 1 град и частотами 2–3 Гц, а также вибрациями на частоте 10 Гц рассматриваемые алгоритмы управления (4.1) согласно (4.2), (4.3) обеспечивают устойчивое слежение за ОН с динамическими погрешностями, не превышающими 6,4′, 0,7′, 1,53′ на частотах 0,16 Гц, 2 Гц, 10 Гц соответственно. На рис. 7 приведены характерные переходные и установившиеся процессы слежения, где ∆ϕ1 и ∆θ – погрешности слежения по азимуту и углу места. При входных воздействиях yвх = 1,047sin(1⋅t), θвх = 0,26sin(1⋅t), колебаниях носителя с амплитудой 1 град и частотой 2 Гц, а также виброускорении 0,7g на частоте 10 Гц и действии моментов трения 0,1 Н м погрешности слежения имеют гармонические составляющие от действия возмущений и характерные всплески, обусловленные сменой направления движения зеркала и величиной моментов трения.
2 1
j1, рад
0
–1
–2
2 1
j· 1, рад/с
0
–1
–2
30 q, град
20
Y Axis
XY Plot q, рад 0,4
0,3 0,2
0,1 0
–0,1 –1
–0,5
j1, рад 0 0,5 1
15 10
Dq, угл. мин
(а)
10
0 4 q·, рад/с 2 0 –2
Y Axis
5
0
–5
–10 –15
Dj1, угл. мин
–15 –10 –5 0 5 10 15
(б)
10 Dj1, угл. мин 0 –10
0,4 qвх, рад 0,3
(в)
Y Axis
20 Dq, угл. мин
0,2 0,1
0 –200
1
2
3
4
0 yвх, рад 5 t, c 6 –0,1 –1 0,5 0 0,5 1
X Axis
Рис. 7. Переходные и установившиеся процессы САУ зеркалом (при f = 150 Гц, Мтр1 = Мтр2 = 0,1 Н м). Справа: а – пространственная траектория оси визирования на объект наблюдения θ(ϕ1), б – пространственная траектория погрешности слежения ∆θ(∆ϕ1), в – входные воздействия qвх(ψвх).
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
17
Наиболее существенными параметрами, влияющими на устойчивость и качество регулирования, являются моменты трения, дисбаланс вращающихся тел и частота кадров; наиболее приемлемыми параметрами САУ – K1 = K2 = 15 000, f = 400 Гц, τ = 0,00685 с, u = ±15 В, Мтр1 = Мтр2 = 0,1 Н м.
Заключение
1. Разработана математическая модель устройства управления зеркалом в кардановом подвесе, установленном на летательном аппарате, совершающем движение в системе отсчета, связанной с Землей и принятой за инерциальную.
2. На основе этой модели и алгоритмов управления разработана имитационная модель системы автоматического управления зерка-
лом, позволяющая проводить исследование динамики и оценку влияния параметров системы управления зеркалом в трех режимах работы (сканирование поля обзора, отработка внешнего целеуказания, удержание линии визирования на объекте) при заданных движениях носителя и его периодических и вибрационных возмущениях. Конструктивные параметры объекта управления и параметры регулятора можно менять в имитационной модели в широких пределах, что обеспечивает проведение всестороннего анализа законов управления зеркалом.
3. Применение имитационной модели системы управления зеркалом в процессе проектирования оптико-электронных систем позволит обеспечить возможность сокращения затрат на ее разработку, настройку и испытания, а также повысить качество разработок.
Приложение. Обозначения элементов матриц уравнений (1.5)
n1(ϕ)= 0,25D(ϕ)-0,5A(ϕ), n2(ϕ)= 0,25D(ϕ), n3(ϕ)= 0,5A(ϕ); h1(ϕ) = éë0,5C3 + F(ϕ)ùû cosϕ1 + D(ϕ)sinϕ1, h2(ϕ) = A(ϕ), h3(ϕ) = -ëé0,5C3 + F(ϕ)ùû sinϕ1+ D(ϕ)cosϕ1,
kϕ1, kϕ2 – коэффициенты пропорциональности вязкого трения;
l11(ϕ) = -{F1(ϕ1)+ éë A(ϕ)-0,5D(ϕ)ùû cosϕ1+ éë0,5C3- E(ϕ)ùû sinϕ1}, l12(ϕ) = {B1 + 0,5( A3 + B3 )+ F(ϕ)-0,5E(ϕ)},
l21(ϕ) = -{F2(ϕ2 )+ 0,5D(ϕ)cosϕ1-0,5C3 sinϕ1},
l13(ϕ) = -{D1 (ϕ1)- ëé A(ϕ)-0,5D(ϕ)ûù sinϕ1 + ëé0,5C3 - E(ϕ)ûù cosϕ1},
l22(ϕ) = {B2 + 0,5E(ϕ)}, l23(ϕ) = -{D2(ϕ2 )-0,5C3 cosϕ1-0,5D(ϕ)sinϕ1};
¶S(ϕ)
¶ϕ1
=
çççæççççççççççççççççè--¶¶¶s¶1ss¶¶111ϕ23ϕϕ(1((ϕ11ϕϕ)))
-
¶s12 (ϕ)
¶ϕ1
¶s22 (ϕ)
¶ϕ1
-
¶s23 (ϕ)
¶ϕ1
--¶¶¶s¶s3s¶¶123ϕ33ϕϕ(1((ϕ11ϕϕ)))ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷÷÷,
¶S(ϕ)
¶ϕ2
=
ççççèçççççççæçççççççç--¶¶¶s¶1ss¶¶111ϕ23ϕϕ(2((ϕ22ϕϕ)))
-
¶s12 (ϕ)
¶ϕ2
¶s22 (ϕ)
¶ϕ2
-
¶s23 (ϕ)
¶ϕ2
--¶¶¶s¶s3s¶¶12ϕ333ϕϕ(2((ϕ22ϕϕ)))öø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷,
обозначив запишем:
¶sij(ϕ)
¶ϕ1
=
siϕj1
(ϕ),
¶sij(ϕ)
¶ϕ2
=
siϕj2
(ϕ)
(i =1, 3, j =1, 3),
18 “Оптический журнал”, 79, 3, 2012
s1ϕ11(ϕ)= -2E1(ϕ1)- A(ϕ)cos2(ϕ1)+(F(ϕ)+ 0,5E(ϕ))sin(2ϕ1)-2D(ϕ)cos(2ϕ1), s1ϕ21(ϕ)= D1(ϕ1)-( A(ϕ)+ 0,5D(ϕ))sinϕ1-(F(ϕ)+ E(ϕ))cos(ϕ1),
s1ϕ31 (ϕ)= 2A1(ϕ1)-(2D(ϕ)+ 0,5A(ϕ))sin(2ϕ1)-(F(ϕ)+ 0,5E(ϕ))cos(2ϕ1), s2ϕ21 (ϕ)= A(ϕ), s2ϕ31 (ϕ)= -F1(ϕ1)-( A(ϕ)+ 0,5D(ϕ))cos(ϕ1)+(E(ϕ)+ F(ϕ))sin(ϕ1),
s3ϕ31(ϕ)= 2E1(ϕ1)- A(ϕ)sin2 (ϕ1)-(F(ϕ)+ 0,5E(ϕ))sin(2ϕ1)+ 2D(ϕ)cos(2ϕ1),
s1ϕ12(ϕ)= -2E2(ϕ2 )+ A(ϕ)cos2(ϕ1)-0,5E(ϕ)sin(2ϕ1), s1ϕ22(ϕ)= D2(ϕ2 )+ F(ϕ)cos(ϕ1)+ 0,5D(ϕ)sinϕ1,
s1ϕ32 (ϕ)= 2A2(ϕ2 )+ 0,5A(ϕ)sin(2ϕ1)+ 0,5E(ϕ)cos(2ϕ1), s2ϕ22 (ϕ)= -A(ϕ), s2ϕ32 (ϕ)= -F2(ϕ2 )- F(ϕ)sin(ϕ1)+ 0,5D(ϕ)cos(ϕ1), s3ϕ32(ϕ)= 2E2(ϕ2 )+ A(ϕ)sin2(ϕ1)+ 0,5E(ϕ)sin(2ϕ1);
( )( )a O (t)= AyAcrC + ω1ω1T - ω1Tω1E + A e AyrO1 + rO ,
g = çèççççççæ00gø÷÷÷÷÷÷÷÷ö,
rC = èççççççççæXZYCCC ÷ø÷÷÷÷÷÷÷÷ö,
rO1 = èççççççççæxyzOOO111 ø÷÷÷÷÷÷÷÷ö÷,
rO = çèçççççæçY00O ø÷÷÷÷÷÷÷÷ö,
Ae = çèçççççæç-eeZY101((tt))
-eZ1 (t)
0
eX1 (t)
-eeYX101(t(t))÷ø÷÷÷÷÷÷÷ö,
ω1= Ay ççæççççèçç-yyccoosysqqscsionisnqγγ+++γqqscionsγγ÷ö÷÷÷ø÷÷÷÷÷,
e1(t) = çççæçèçççeeeXYZ111(((ttt)))÷÷÷÷÷öø÷÷÷ = Ay çççæçççèçeeexyz (((ttt)))÷÷÷÷÷öø÷÷÷,
ex(t)= ω x(t)= y sinq +γ + y q cosq, ey(t)= ω y(t)= y cosqcos γ + qsin γ - y q sinqcos γ - y γ cosqsin γ + qγ cos γ, ez(t)= ω z(t)= -y cosqsin γ + qcos γ + y q sinqsin γ - y γ cosqcos γ - qγ sin γ;
p1
(ϕ)
=
çæçççççèççm1
ççççççèççæ--xxCC11
sinϕ1 + 0
cos ϕ1 -
zC1 zC1
cos sin
ϕ1 ϕ1
÷÷÷÷÷÷ø÷÷ö÷
+m3
çççèççççççæçççççç--çççèæçæçèçxxCC33
sinæççèçq0 sinæççèçq0
+ +
ϕ2 ϕ2
2
2
ϕ1 ϕ1
öø÷÷÷ ö÷ø÷÷
+ +
yC3 0
yC3
cosæççèçq0 cosæçèççq0
+ +
ϕ2 ϕ2
2
2
ϕ1 ϕ1
ö÷ø÷÷ö÷÷÷ø÷sin ϕ1 ö÷÷÷ø÷ö÷÷ø÷cos ϕ1
÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷÷÷÷÷ö÷÷
+
+
m3
èçççæççççççççççççççççç+-æççççèççèçæçxx22CC33
cosæççèçq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ö÷÷÷ø
-
yC3 2
sinæçèççq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ö÷÷÷ø
-
zC3
÷ö÷÷ø÷cos
ϕ1
-
xC3 2
sinæçççèq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ö÷÷ø÷
-
yC3 2
cosæçççèq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ö÷÷÷ø
cosèçççæq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ø÷÷÷ö-
yC3 2
sinçèççæq0
+
ϕ2
2
ϕ1
÷÷ø÷ö
-
zC3
÷ø÷÷ö÷sin
ϕ1
÷ø÷÷ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷,
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
19
p2
(ϕ)
=
çèçççççççæm2
çççèçççæçç--xxCC22
sinϕ2 + 0
cos ϕ2 -
zC2 zC2
cos ϕ2 sin ϕ2
÷÷ø÷÷÷÷÷÷÷ö
+m3
çæçççççççççèçççççççççç-ççççæèççèæççxx2C23Cx3c2Cco3osssæçççèiqçèççænq0æèççç0+q+0ϕ+ϕ22-2ϕ-22ϕ-ϕ211öø÷÷÷ϕ÷ø÷ö÷-1-öø÷÷÷y+y2C2C3y32sCsi3nincèçæççoèçæççqqs00æççèç+q+0ϕ+ϕ22-2ϕ-22ϕϕ-121öø÷÷÷ϕöø÷÷÷÷ø÷ö÷÷÷÷øö÷÷1csoö÷÷÷øisnϕϕ11
ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷,
Ac = çççççççèæ-ccoossyyssinincqoqsscinyosγcγo++ssqsininyycsoisnγγ
sin q cosqcos γ -cosqsin γ
-ssininyyssini-nqsqcisonisnyγγc+o+sccoqossyyscinosγγ÷÷÷÷÷÷÷÷øö,
Aó
=
èçæççççççç-ccoossyyóóssininqcqoóóssciynoósγcγóoó+s+qssióninyyó
ósin γó cos γó
sin qó cosqócos γó -cosqósin γó
-sin y ó cos qó sinyósinqócos γó + cosyósin γó -sinyósinqósin γó + cosyócos γó
ø÷÷÷÷ö÷÷÷÷÷,
A(ϕ)= 0,5( A3- B3 )cos(ϕ2- ϕ1)+ F3 sin(ϕ2- ϕ1), F(ϕ)= 0,5(B3 - A3 )sin(ϕ2 - ϕ1)+ F3cos(ϕ2 - ϕ1), E(ϕ)= E3cos(0,25π + 0,5(ϕ2 - ϕ1))- D3 sin(0,25π + 0,5(ϕ2 - ϕ1)), D(ϕ)= E3 sin(0,25π + 0,5(ϕ2 - ϕ1))+ D3cos(0,25π + 0,5(ϕ2 - ϕ1)),
F1(ϕ1)= F1cos(ϕ1)+ D1sin(ϕ1), F2(ϕ2 )= F2cos(ϕ2 )+ D2 sin(ϕ2 ), D1(ϕ1)= D1cos(ϕ1)- F1sin(ϕ1), D2(ϕ2 )= D2cos(ϕ2 )- F2 sin(ϕ2 ),
A1(ϕ1)= (0,5( A1 - C1 - C3 )+ 0,25( A3 + B3 ))cos(2ϕ1)- E1sin(2ϕ1),
A2 (ϕ2 )= 0,5( A2 - C2 )cos(2ϕ2 )- E2 sin(2ϕ2 ),
E1(ϕ1)= (0,5( A1 - C1 - C3 )+ 0,25( A3 + B3 ))sin(2ϕ1)+ E1cos(2ϕ1),
E2(ϕ2 )= 0,5( A2 - C2 )sin(2ϕ2 )+ E2cos(2ϕ2 ).
* * * * *
Литература
1. Торшина И.П. Компьютерное моделирование оптико-электронных систем первичной обработки информации. М.: Логос, 2009. 248 с.
2. Карпов А.И., Стрежнев В.А. Динамика и методы расчета систем автоматического управления стратосферных обсерваторий. Идентификация, декомпозиция, синтез: Монография. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 175 с.
3. Дулькин Л.З., Земляков А.С., Матросов В.М., Стрежнев В.А., Карпов А.И. Задачи инвариантности и устойчивости в динамике стратосферных обсерваторий // В кн. “Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем”. Новосибирск: Наука, 1983. С. 157–158.
4. Беляков Ю.М., Карпов А.И., Кренев В.А., Молин Д.А. Методика разработки математических моделей автоматических бортовых оптико-электронных систем // Оптический журнал. 2009. Т. 76. № 3. С. 34–39.
20 “Оптический журнал”, 79, 3, 2012
5. Карпов А.И., Кренев В.А., Матвеев А.Г., Молин Д.А., Яцык В.С. Разработка компьютерной имитационной модели бортового оптико-электронного прибора // Сб. материалов XXI Всероссийской межвузовской научно-технической конф. “Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий”. Казань, 2009. Ч. 2. C. 239–241.
6. Беляков Ю.М., Карпов А.И., Кренев В.А., Матвеев А.Г., Молин Д.А., Яцык В.С. Применение имитационной модели управления зеркалом в пространстве при разработке ОЭП // Тез. докл. научно-практической конф. “Оптика, фотоника и оптоинформатика в науке и технике”. М., 2009. С. 71.
7. Карпов А.И., Кренев В.А., Матвеев А.Г., Яцык В.С. К вопросу построения математической модели устройства сканирования оптико-электронных систем // Материалы Международной научно-практической конф. “Современные технологии – ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения”. Казань, 2008. Т. 2. С. 56–60.
8. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Учебник в 2-х томах. Т. II.: Динамика. М.: Наука, 1979. 544 с.
9. Аппель П. Теоретическая механика. Том второй. Динамика системы. Аналитическая механика. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 487 с.
10. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768 с.
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
21
моделирование СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗЕРКАЛОМ В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ ДЛЯ ОБЗОРНО-ПОИСКОВЫХ СИСТЕМ ВОЗДУШНОГО БАЗИРОВАНИЯ
© 2012 г. В. А. Балоев*, канд. техн. наук; Ю. М. Беляков**, канд. техн. наук; А. И. Карпов**, канд. техн. наук; В. А. Кренев**, канд. техн. наук; Д. А. Молин**; А. Г. Матвеев*; В. С. Яцык*, канд. техн. наук
** НПО “Государственный институт прикладной оптики”, г. Казань ** Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань
Построена математическая модель системы управления зеркалом обзорнопоисковой системы, установленной на летательном аппарате. Предложены алгоритмы управления, обеспечивающие требуемые динамические характеристики сканирования, наведения и слежения. Разработаны имитационные модели для трех режимов работы: сканирования, наведения и слежения.
Ключевые слова: объект управления, математическая модель, оптикоэлектронная система, имитационная модель, алгоритм управления.
Коды OCIS: 220.4830, 220.4880.
Поступила в редакцию 02.12.2011.
Введение
При разработке и создании сканирующих оптико-электронных систем (ОЭС), в состав которых входят управляемые оптические элементы (зеркала, клинья), возникают задачи разработки адекватных математических моделей, синтеза систем управления и исследования динамических свойств, решение которых без применения компьютерного моделирования представляется проблематичным. При решении этих задач учитывают динамику управления зеркалом и вибрационное смещение изображения [1–3], которые оказывают существенное влияние на качество изображения.
В продолжение работ [4–7] рассматривается разработка имитационной модели (ИМ) системы управления (СУ) зеркалом в кардановом подвесе, обеспечивающем стабилизацию и управление положением оси визирования ОЭС. Модель СУ зеркалом предназначена для исследования динамики и определения требований к алгоритмам управления и конструктивным параметрам устройства сканирования обзорно-поисковой системы авиационного базирования.
1. Математическая модель объекта управления
Объект управления (ОУ) моделируется тремя подвижными твердыми телами (1 – азимутальный блок, 2 – угломестный блок, 3 – зеркало), установленными в корпусе, неподвижно закрепленном на летательном аппарате (ЛА). Положение этих тел относительно корпуса однозначно определяется углами поворотов тела 1 (ϕ1) и тела 2 (ϕ2), оси вращения которых совпадают. Ось вращения 3-го тела перпендикулярна оси вращения 1-го и 2-го тел и пересекается с ней.
За инерциальную систему отсчета примем систему координат О0XYZ, жестко связанную с поверхностью Земли (рис. 1). Здесь О0Y – восходящая вертикаль, О0XZ – горизонтальная плоскость, О0XY – плоскость тангажа. Система координат Cxyz жестко связана с центром масс (точка С) ЛА. В этой системе ось Cx направлена по продольной оси симметрии ЛА, ось Cy – в плоскости симметрии ЛА, ось Cz перпендикулярна плоскости симметрии. Положение системы координат Cxyz определяется координатами центра масс ЛА (XC, YC, ZC)
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
11
и самолетными углами (углом рыскания y,
углом тангажа q, углом крена γ).
Установочная система координат OX1Y1Z1 (рис. 2) жестко связана с ЛА. Ось O1Y1 совпадает с осью вращения 1-го и 2-го тел. Ее положе-
ние задается координатами точки O1 (xO1, yO1, zO1) в системе координат Cxyz, связанной с ЛА, и углами yy, qy, gy.
Системы координат Ox1y1z1, Ox2y2z2 и Ox3y3z3 (рис. 3) жестко связаны с телами 1, 2 и 3 соответственно, положение начала коорди-
нат О совпадает с точкой пересечения оси вра-
щения 3-го тела с осью вращения 1-го и 2-го
тел. Оси Oy1 и Oy2 совпадают и направлены по оси вращения этих тел, ось Oz1 совпадает с осью вращения 3-го тела Oz3, ось Ox3 перпендикулярна плоскости зеркала. В устано-
вочной системе координат положение точки
О определяется расстоянием O1O, а ориентация осей – углами ϕ1, ϕ2, q0 + q. Угол q0 = π/4, а q = (ϕ2 – ϕ1)/2.
Массы тел равны mj, их тензоры инерции в осях Ox1y1z1, Ox2y2z2, Ox3y3z3 задаются матрицами
J(j) = çèçççççççæ--AEFjjj
-Fj
Bj -Dj
-Ej -Dj
Cj
÷÷÷÷÷÷÷ö÷ø÷,
а положение центров масс – координатами xCj, yCj, zCj (j = 1, 2, 3); Aj, Bj, Cj – осевые, Dj, Ej, Fj – центробежные моменты инерции тел.
Для построения математической модели
движения ОУ относительно ЛА будем приме-
нять уравнения Лагранжа II рода [8], исполь-
зуя смешанный метод Жильбера [9]. Проведем
через точку О оси OX, OY, OZ, параллельные
осям О0X, О0Y, О0Z. Систему координат OXYZ можно считать инерциальной после добавле-
ния к активным силам, действующим на ОУ,
только переносных сил инерции, так как она
движется поступательно относительно инер-
циальной системы координат О0XYZ. Обозначим ускорение точки О в инерциальной системе О0XYZ отсчета через a–O. Тогда переносные силы инерции вызывают появление обобщен-
ных сил
å åQi¢=
çççæèç-mk(j)aO
¶rk(j) ¶qi
ö÷÷÷÷÷ø
=
-
j=31çççæçèmj aO
¶rC(j) ¶qi
÷ø÷÷÷÷ö,
(1.1)
где rC(j) – радиус-вектор центра масс j-го тела в системе координат OXYZ, mj – масса j-го тела, qi – i-я обобщенная координата, m(kj) – масса k-й материальной точки j-го тела, rk(j) – радиус-вектор k-й материальной точки j-го тела. За обоб-
12
qY
Y y
x q
C
Z Yg
OO
z
Y X
X
Z Рис. 1. Системы координат O0XYZ и Cxyz.
y qy
y
gy Y1
X1 qy
O1
Yy x
z C
Yy gy
Z1
x
z
Рис. 2. Системы координат Cxyz и O0X1Y1Z1.
Y1 y1 y2
y3 q0 + q xопт
O x1 j2 j1
j2 z2 Z1 j1 z3 z1
X1 x3
O1 q0 + q
X1 z1
Рис. 3. Системы координат O0x1y1z1, O0x2y2z2 и O0x3y3z3.
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
щенные координаты выберем углы поворотов тела 1 и тела 2: q1 = ϕ1, q2 = ϕ2.
С корпусом ОY жестко свяжем систему координат OX1Y1Z1 (OX1||O1X1, OY1||O1Y1, OZ||O1Z1). Кинетическая энергия ОУ (T) в системе координат OXYZ будет вычисляться с учетом того, что ОУ совершает относительное движение в системе координат OX1Y1Z1, а движение системы координат OX1Y1Z1 относительно OXYZ является переносным, –
å å ( ) åT =
3
Tr(j) +
j=1
3
ω
j=1
KrO
(j) +
3 j=1
1 2
ω Tj
J(
j)
ω j
.
(1.2)
Здесь Tr(j) – кинетическая энергия j-го тела в относительном движении в осях OX1Y1Z1, (KOr )(j) – кинетический момент j-го тела относительно точки О в относительном движении в осях системы координат OX1Y1Z1, ω j – координатный вектор, составленный из проекций век-
тора ω (угловой скорости системы координат
OX1Y1Z1) на оси, жестко связанные с j-м телом: ω Tj = (ωxj ωyj ωzj), J(j) – тензор инерции j-го тела.
Уравнения Лагранжа II рода запишутся в
следующем виде:
d dt
çæçèç
¶T ¶qi
÷ö÷÷ø÷-
¶T ¶qi
=
Qi
+ Qi¢,
(i =1, 2),
(1.3)
где Qi – обобщенные силы, определяемые действием активных сил (силы тяжести, моменты от азимутального и угломестного приводов, моменты трения). Тогда связи, ограничивающие движение ОУ в системе координат OX1Y1Z1, можно считать идеальными, голономными, удерживающими и стационарными.
Как показано в [10], в вентильном режиме работа каждого из двигателей в приводах с высокой степенью точности описывается уравнениями
Jpϕ = Mýì - Mäâ - Mòðsignϕ,
Mýì = cìi,
u
=
L
di dt
+
ri
+
ce
ϕ ,
(1.4)
где ϕ – угол поворота вала электродвигателя, Jp – момент инерции ротора, Mэм – электромагнитный момент, Мдв – момент сопротивления нагрузки, приложенной к ротору двигателя; Мтр – момент трения, u – напряжение на фазовой обмотке, i – ток в фазовой обмотке, r и L – активное сопротивление и индуктивность фазовой обмотки, см, се – конструктивные параметры.
После проведения действий в соответствии с уравнениями (1.3) и с учетом (1.4) получим систему нелинейных нестационарных обыкновенных дифференциальных уравнений ОУ, которую запишем в матричной форме как
A (ϕ)ϕ + N(ϕ, ϕ )+ H(ϕ, ω1)ϕ + L(ϕ)e1(t) -
- Ω(ϕ, ω1) = cMi - Mòð - P(ϕ, a),
(1.5)
L
di dt
=
u
-
ri
-
cE
ϕ ,
где ϕ = ççèçæϕϕ12 ø÷÷÷ö÷, ϕ = ççèçæϕϕ12 ø÷÷ö÷÷, ϕ = ççèçæϕϕ12 ø÷÷÷ö÷, i = èççæçii12 ÷ø÷ö÷÷, u = èçççæuu12 ø÷÷ö÷÷;
A (ϕ)
=
æçççççèB1
+
0,25N3
+ 0,5( A3 + B3 )+ F (ϕ)-(0,25C3 -0,5E(ϕ))
E
(ϕ)
+
J
p
-(B02,2+50C,32-5C03,5+EJ(ϕp ))÷÷ø÷÷ö÷,
( )N(ϕ, ϕ ) = col ϕ TN1(ϕ)ϕ, ϕ TN2 (ϕ)ϕ ,
N1(ϕ)= çèççæç-nn11((ϕϕ)) -nn12((ϕϕ))ø÷÷÷÷ö,
N2(ϕ) = çèçççæn30(ϕ) 00ø÷÷ö÷÷;
H(ϕ, ω1) = ççèçæçh(ϕk)ϕω11(t)
-h(ϕ)ω1
kϕ2
(t)öø÷÷÷÷,
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
h(ϕ)= (h1(ϕ) h2(ϕ) h3(ϕ));
L(ϕ)
=
èçççæll1211
(ϕ) (ϕ)
l12 (ϕ) l22 (ϕ)
l13 l23
((ϕϕ))ø÷÷ö÷÷;
Ω(ϕ, ω1) =
=
1 2
colççæççèω1T
¶S(ϕ)
¶ϕ1
ω1
(t),
ω1T
¶S(ϕ)
¶ϕ2
ω1 (t)÷÷ö÷ø÷;
Mòð
=
ççççèæMMòòðð..21
sign sign
ϕ 1 ϕ 2
÷÷÷÷öø,
13
(( )P(ϕ, a) = col g TATc ATy + a TO (t) p1(ϕ), ( ) )g TATc ATy + a TO (t) p2 (ϕ) .
Обозначения элементов матриц (1.5) приведены в Приложении к статье.
Рассмотрим разработку имитационной модели ОЭС, осуществляющую сканирование поля обзора, наведение и слежение.
2. Разработка имитационной модели для режима сканирования
При сканировании поля обзора по углу азимута от 0° до 360° и по углу места от 0° до qmax ОЭС с элементарным полем зрения ∆θ с зоной перекрытия 10% (∆qp = 0,1∆θ) при частоте кадров f программная угловая скорость азимутального привода принимается равной
ϕ 1ïð
=
(Dq
-
Dqð
)f
π 180
,
c-1,
(2.1)
при этом программная угловая скорость угломестного привода ϕ 2пр1 находится из выра жений
(Dq -
Dqð
)18π0
=
q ïð
2π ϕ 1ïð
,
q ïð = ϕ 2ïð1 - ϕ 1ïð
и составляет
ϕ 2ïð1
=
ϕ 1ïð
æçèçç1
+
Dq- Dqð 360
÷÷÷ö÷ø.
(2.2)
Затем поле обзора просматривается путем изменения угла места от qmax до 0°, при этом угловая скорость угломестного привода ϕ 2 находится аналогично –
(Dq -
Dqð
)18π0
=
-q ïð
2π ϕ 1ïð
,
q ïð = ϕ 2ïð1 - ϕ 1ïð,
ϕ 2ïð2
= ϕ 1ïð
èççæç1-
Dq - Dqð 360
÷øö÷÷÷.
(2.3)
Время обзора без учета инерционных
свойств ОУ определяется как
Tîáç = 3f6(0D(qq-maDx q-pD)2q).
(2.4)
Такой цикл обзора повторятся многократно.
Программные значения угловой скорости ОУ
составляют
(ω1ïð = ϕ 1ïð (ω2ïð = ϕ 1ïð
)ϕ 2ïð1 T , )ϕ 2ïð2 T .
(2.5)
Из уравнений (1.5) находим значения подаваемых на двигатели программных напряжений u1пр, u2пр, которые зависят от значений углов j1, j2 и от маневра летательного аппарата, –
( ( )u1ïð
=
r cì
Mòð + N 0, ω1ïð
+
)+ H(0, 0)ω1ïð + P(0, 0) + cåω1ïð ,
ïðè q > 0 Ç(0 £ q £ qmax ),
(2.6)
( ( )u2ïð
=
r cì
Mòð + N 0, ω2ïð
+
)+ H(0, 0)ω2ïð + P(0, 0) + cåω2ïð ,
ïðè q < 0 Ç(0 £ q £ qmax ).
(2.7)
Для компенсации возмущений, действую-
щих на зеркало со стороны ЛА, и перекрест-
ных связей между каналами азимутального
и угломестного приводов, напряжения, пода-
ваемые на двигатели, формируются введением
обратной связи по угловой скорости с коэффи-
циентом передачи kос
( )u1= u1ïð - koc ω- ω1ïð , ( )u2 = u2ïð - koc ω- ω2ïð ,
(2.8)
где вектор текущей угловой скорости ω вычисляется по показаниям датчиков углов с учетом их дискретности. Учитывается и то, что управляющее напряжение не может превышать 27 В.
Имитационная модель режима сканирования реализована в среде Mathcad в соответствии с уравнениями (1.5), (2.1)–(2.8). Проведено моделирование при заданных конструктивных параметрах ОУ, установленного на ЛА, совершающем правильный вираж со скоростью 1500 км/ч и угле крена γ = 80°, для qmax = 60°, f = 400 Гц, ∆q = 5,5° при дискретности показаний датчиков углов 4096 штр/об, kос = 10. Время обзора при указанных параметрах, найденное по формуле (2.4), равно 2,002 с. Имитационное моделирование показывает, что при пилообразном законе изменения угла места от 0° до 60° время обзора составляет 1,977 с, а при изменении угла места от 60° до 0° – 2,193 с.
14 “Оптический журнал”, 79, 3, 2012
3. Разработка имитационной модели для режима перевода оси визирования
ОЭС по внешнему целеуказанию
Предлагается следующий закон управления приводами ОУ в режиме отработки целеуказания (РОЦ):
U = uïð + u1,
(3.1)
( ( )uïð
=
r cì
Mòp + N ϕïð, ωïð
+
)+ H(ϕïð, )0 ω1ïð + P(ϕïð, a) + cåωïð,
(3.2)
u1 = ìïïíïïïîïïï-UUu0,0,,
åñëè åñëè åñëè
u ³ U0, u £-U0, -U0 < u < U0.
(3.3)
Здесь U – напряжение, подаваемое на двигатели, U0 – значение напряжения, подаваемого на двигатели, в момент перехода из режима сканирования пространства в РОЦ;
( )u = uϕ1 uϕ2 T,
(3.4)
uϕ1 и uϕ2 – законы управления азимутальным и угломестным приводами
uϕ1= kω êéë(ϕ1ö - ω1)+ kϕ (ϕâó - ϕ1 )úûù, (3.5)
где входной угол, определяемый вычислительным устройством, –
ϕâó =
ϕ1ö ϕ1ö + 2π
åñëè åñëè
ϕ1ö ³ π 2, ϕ1ö < π 2,
( )uϕ2 = kω êéë (ϕ 2ö - ω2 ) + (kϕ ϕâó + qö - ϕ2 )ùúû. (3.6)
Здесь kω = 150, kj = 17, w1, w2 – текущие значения угловых скоростей приводов (вычисля-
ются по показаниям датчиков углов с учетом
их дискретности), j1ц = j1ц(t), θц = θц(t) – законы изменения углов поворота зеркала j1 и θ в РОЦ. Управляющее напряжение не превы
шает 27 В.
В соответствии с законами управления
(3.5)–(3.6) построена структурная схема систе-
мы управления приводами зеркала в кардано-
вом подвесе для режима перевода оси визиро-
вания ОЭС по внешнему целеуказанию (рис. 4).
На рис. 5 показана траектория движе-
ния к цели ϕ1ц = 270°, θц = 0 из положения
qj (10(0) ) ==
180°, 0,356
ϕ 1(0) = 25,918 рад/с (справа
рад/с, θ(0) = 30°, крупным планом
показан конечный участок траектории).
j1ц j1
kj1 j1ц j1 ВУ
j1ц
j1ц j1ц + qц jц + qц
uj1 kw1 U1пр ВУ U2пр
uj2
kw2 j1ц + qц
j2
ВУ
jц + qц kj2
j2
ДУ ОУ
ДУ
j1 j2
Рис. 4. Структурная схема системы управления зеркалом в РОЦ. ВУ – вычислительное
устройство, ДУ – датчик угла.
qград
40
qград
1
20
269,305 269,863
270,42
180 230 j1, град 280
j1, град
Рис. 5. Траектория движения к цели в плоскости углов азимута и места.
Предложенный закон управления обеспечивает переход ОЭС из режима сканирования в заданную точку визирования за 0,5 с с погрешностями не более 0,08 по углу азимута и 0,095 по углу места.
4. Разработка имитационной модели для режима слежения
Синтез алгоритмов управления проводился частотным методом [10]. Исходя из условий устойчивости и заданных требований качества регулирования, получены алгоритмы управления приводами зеркала в кардановом подвесе с учетом их динамических характеристик для линеаризованной системы (1.5) в виде:
uà = R1( p)(yâõ - ϕ1) + R3 ( p)yí, uò = R2 ( p)(qâõ - q) + R4 ( p)qí,
(4.1)
где uа, uт – напряжения управления приводами, yн, θн – движение носителя, ψвх, qвх – движение объекта наблюдения (ОН) относительно оптической оси соответственно по азимуту
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
15
и тангажу; передаточные функции регуляторов по отклонению (R1(p), R2(p)) и форсирующих регуляторов (R3(p), R4(p)), обеспечивающих инвариантность к колебаниям носителя:
R1
(
p)
=
K1
(0,0001
p
+1)
(0,134 p (0,00012
+1) p +1)
(t1
p+ p
1),
R2
(
p)
=
K2
(0,0001
p
+1)
(0,104 p (0,00012
+1) p +1)
(t2
pp+1),
R3 (
p)
=
K3 1
p
((00,,0103041pp++11)),
R4
( p)
=
K4 1
p
((00,,0100041pp++11)).
Добротности по ускорению Kei(K1, K2) и постоянные времени (τi) определены из известных условий [10]:
Ke
³
emax Dϕ
,
t=
Ke
M (M
-1)
,
(4.2)
где Kε = K1/се = K2/се, emax – максимальное значение входных угловых ускорений, Dϕ – значение погрешности, М – показатель колебательности изолированных каналов управления системы автоматического управления (САУ) зеркалом.
Из условий (4.2) и критерия Найквиста [10] получены значения K1 = 4600, K2 = 4600, t1 = t2 = 1/30, при которых линейная САУ з еркалом (без учета дисбаланса и асимметрии ОУ) устойчива с требуемыми запасами устойчивости и обеспечивает заданные показатели качества регулирования.
С учетом периода квантования (Тк) параметры цифровой САУ (Kε, ti, Тк, ΣТi) при синтезе регуляторов доопределены из условий [10]
(см. таблицу)
åTk
£
2çæçççè
ωcp
M (M
+
1)
-
Ti ö÷÷÷ø÷÷,
( å )Ke T +
4
Ti
2
£
M(M -1) (M +1)2
,
(4.3)
где ωср = Keτ – частота среза, ΣТi = 22 мкс – сумма малых постоянных времени, меньших
периода квантования.
Математическая модель ОУ (1.5) с алгорит-
мами управления (4.1) реализована в пакете
Simulink МАTLAB. Блочная функциональ-
ная схема разработанной ИМ представлена на
рис. 6, где в зависимости от сложности вхо-
дящих в нее уравнений реализовано от одного
до шести уровней субмоделей. На рис. 6 обо-
значено: Д – блок вычисления коэффициентов
Параметры регуляторов САУ в режиме слежения
Tk, с 0,01 0,0066 0,005 0,0033 0,0025 М (f = 1/T), (100) (150) (200) (300) (400)
(Гц)
Kε K1 = K2 τ, с
950 220 0,108
2100 500 0,072
3600 850 0,055
8000 13 000 1,1 1890 3000 0,037 0,029
Kε K1 = K2 τ, с
1850 430 0,057
4200 820 0,038
7200 16 000 26 000 1,2 990 3700 6100 0,029 0,019 0,015
y(t), q(t), g(t) yy, qy, gy X..c, Y..c, Z..c
yвх(t) В a0(t) qвх(t)
Dy МФП Н wy
j1 jj...11 Д jjj...222
wz Dq Н
МФП
R1 R3
R4 R2
g a0(t)
u1
1
a12(j)
j1 А j. 1
j..1
a21(j)
u2 1 a0(tg)
j..2 УМ j. 2
j2
q 1/2
Рис. 6. Блочная функциональная схема ИМ в режиме слежения. Пояснения в тексте.
16 “Оптический журнал”, 79, 3, 2012
уравнений (1.5), учитывающих дисбаланс и асимметрию ОУ; А и УМ – блоки, учитывающие динамику ОУ с азимутальным и угломестным приводами соответственно; МФП – блок, учитывающий динамику и статистические характеристики матричного фотоприемника; Н – блок, учитывающий нелинейности фотоприемника (поле зрения, дискретизацию по углу и по времени); 1 – блок, учитывающий насыщение в усилителе мощности. В блоке В вычисляются коэффициенты уравнений (1.5), зависящие от движения ЛА.
При разработке ИМ учтены следующие ограничения по координатам: поля зрения ОЭС, управляющих напряжений приводов и тангажному углу поворота зеркала, а также нелинейности: моменты трения, дискретизация по частоте кадров. При моделировании процессов слежения ИМ позволяет оценить динамические характеристики САУ и погрешности слежения, вносимые видимым движением ОН, колебаниями носителя, конструктивными параметрами ОУ (масса, моменты инерции, центры масс и дисбаланс вращающихся элементов, координаты крепления прибора) и параметрами регулятора (законы регулирования, моменты трения),
нелинейностями в регуляторе и ОУ, вибрациями, частотой формирования кадров.
Было показано, что для режима слежения за ОН с гармоническим законом движения с максимальными угловой скоростью визирования ±60 град/с и ускорением ±60 град/с2, колебаниями носителя с амплитудой 1 град и частотами 2–3 Гц, а также вибрациями на частоте 10 Гц рассматриваемые алгоритмы управления (4.1) согласно (4.2), (4.3) обеспечивают устойчивое слежение за ОН с динамическими погрешностями, не превышающими 6,4′, 0,7′, 1,53′ на частотах 0,16 Гц, 2 Гц, 10 Гц соответственно. На рис. 7 приведены характерные переходные и установившиеся процессы слежения, где ∆ϕ1 и ∆θ – погрешности слежения по азимуту и углу места. При входных воздействиях yвх = 1,047sin(1⋅t), θвх = 0,26sin(1⋅t), колебаниях носителя с амплитудой 1 град и частотой 2 Гц, а также виброускорении 0,7g на частоте 10 Гц и действии моментов трения 0,1 Н м погрешности слежения имеют гармонические составляющие от действия возмущений и характерные всплески, обусловленные сменой направления движения зеркала и величиной моментов трения.
2 1
j1, рад
0
–1
–2
2 1
j· 1, рад/с
0
–1
–2
30 q, град
20
Y Axis
XY Plot q, рад 0,4
0,3 0,2
0,1 0
–0,1 –1
–0,5
j1, рад 0 0,5 1
15 10
Dq, угл. мин
(а)
10
0 4 q·, рад/с 2 0 –2
Y Axis
5
0
–5
–10 –15
Dj1, угл. мин
–15 –10 –5 0 5 10 15
(б)
10 Dj1, угл. мин 0 –10
0,4 qвх, рад 0,3
(в)
Y Axis
20 Dq, угл. мин
0,2 0,1
0 –200
1
2
3
4
0 yвх, рад 5 t, c 6 –0,1 –1 0,5 0 0,5 1
X Axis
Рис. 7. Переходные и установившиеся процессы САУ зеркалом (при f = 150 Гц, Мтр1 = Мтр2 = 0,1 Н м). Справа: а – пространственная траектория оси визирования на объект наблюдения θ(ϕ1), б – пространственная траектория погрешности слежения ∆θ(∆ϕ1), в – входные воздействия qвх(ψвх).
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
17
Наиболее существенными параметрами, влияющими на устойчивость и качество регулирования, являются моменты трения, дисбаланс вращающихся тел и частота кадров; наиболее приемлемыми параметрами САУ – K1 = K2 = 15 000, f = 400 Гц, τ = 0,00685 с, u = ±15 В, Мтр1 = Мтр2 = 0,1 Н м.
Заключение
1. Разработана математическая модель устройства управления зеркалом в кардановом подвесе, установленном на летательном аппарате, совершающем движение в системе отсчета, связанной с Землей и принятой за инерциальную.
2. На основе этой модели и алгоритмов управления разработана имитационная модель системы автоматического управления зерка-
лом, позволяющая проводить исследование динамики и оценку влияния параметров системы управления зеркалом в трех режимах работы (сканирование поля обзора, отработка внешнего целеуказания, удержание линии визирования на объекте) при заданных движениях носителя и его периодических и вибрационных возмущениях. Конструктивные параметры объекта управления и параметры регулятора можно менять в имитационной модели в широких пределах, что обеспечивает проведение всестороннего анализа законов управления зеркалом.
3. Применение имитационной модели системы управления зеркалом в процессе проектирования оптико-электронных систем позволит обеспечить возможность сокращения затрат на ее разработку, настройку и испытания, а также повысить качество разработок.
Приложение. Обозначения элементов матриц уравнений (1.5)
n1(ϕ)= 0,25D(ϕ)-0,5A(ϕ), n2(ϕ)= 0,25D(ϕ), n3(ϕ)= 0,5A(ϕ); h1(ϕ) = éë0,5C3 + F(ϕ)ùû cosϕ1 + D(ϕ)sinϕ1, h2(ϕ) = A(ϕ), h3(ϕ) = -ëé0,5C3 + F(ϕ)ùû sinϕ1+ D(ϕ)cosϕ1,
kϕ1, kϕ2 – коэффициенты пропорциональности вязкого трения;
l11(ϕ) = -{F1(ϕ1)+ éë A(ϕ)-0,5D(ϕ)ùû cosϕ1+ éë0,5C3- E(ϕ)ùû sinϕ1}, l12(ϕ) = {B1 + 0,5( A3 + B3 )+ F(ϕ)-0,5E(ϕ)},
l21(ϕ) = -{F2(ϕ2 )+ 0,5D(ϕ)cosϕ1-0,5C3 sinϕ1},
l13(ϕ) = -{D1 (ϕ1)- ëé A(ϕ)-0,5D(ϕ)ûù sinϕ1 + ëé0,5C3 - E(ϕ)ûù cosϕ1},
l22(ϕ) = {B2 + 0,5E(ϕ)}, l23(ϕ) = -{D2(ϕ2 )-0,5C3 cosϕ1-0,5D(ϕ)sinϕ1};
¶S(ϕ)
¶ϕ1
=
çççæççççççççççççççççè--¶¶¶s¶1ss¶¶111ϕ23ϕϕ(1((ϕ11ϕϕ)))
-
¶s12 (ϕ)
¶ϕ1
¶s22 (ϕ)
¶ϕ1
-
¶s23 (ϕ)
¶ϕ1
--¶¶¶s¶s3s¶¶123ϕ33ϕϕ(1((ϕ11ϕϕ)))ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷÷÷,
¶S(ϕ)
¶ϕ2
=
ççççèçççççççæçççççççç--¶¶¶s¶1ss¶¶111ϕ23ϕϕ(2((ϕ22ϕϕ)))
-
¶s12 (ϕ)
¶ϕ2
¶s22 (ϕ)
¶ϕ2
-
¶s23 (ϕ)
¶ϕ2
--¶¶¶s¶s3s¶¶12ϕ333ϕϕ(2((ϕ22ϕϕ)))öø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷,
обозначив запишем:
¶sij(ϕ)
¶ϕ1
=
siϕj1
(ϕ),
¶sij(ϕ)
¶ϕ2
=
siϕj2
(ϕ)
(i =1, 3, j =1, 3),
18 “Оптический журнал”, 79, 3, 2012
s1ϕ11(ϕ)= -2E1(ϕ1)- A(ϕ)cos2(ϕ1)+(F(ϕ)+ 0,5E(ϕ))sin(2ϕ1)-2D(ϕ)cos(2ϕ1), s1ϕ21(ϕ)= D1(ϕ1)-( A(ϕ)+ 0,5D(ϕ))sinϕ1-(F(ϕ)+ E(ϕ))cos(ϕ1),
s1ϕ31 (ϕ)= 2A1(ϕ1)-(2D(ϕ)+ 0,5A(ϕ))sin(2ϕ1)-(F(ϕ)+ 0,5E(ϕ))cos(2ϕ1), s2ϕ21 (ϕ)= A(ϕ), s2ϕ31 (ϕ)= -F1(ϕ1)-( A(ϕ)+ 0,5D(ϕ))cos(ϕ1)+(E(ϕ)+ F(ϕ))sin(ϕ1),
s3ϕ31(ϕ)= 2E1(ϕ1)- A(ϕ)sin2 (ϕ1)-(F(ϕ)+ 0,5E(ϕ))sin(2ϕ1)+ 2D(ϕ)cos(2ϕ1),
s1ϕ12(ϕ)= -2E2(ϕ2 )+ A(ϕ)cos2(ϕ1)-0,5E(ϕ)sin(2ϕ1), s1ϕ22(ϕ)= D2(ϕ2 )+ F(ϕ)cos(ϕ1)+ 0,5D(ϕ)sinϕ1,
s1ϕ32 (ϕ)= 2A2(ϕ2 )+ 0,5A(ϕ)sin(2ϕ1)+ 0,5E(ϕ)cos(2ϕ1), s2ϕ22 (ϕ)= -A(ϕ), s2ϕ32 (ϕ)= -F2(ϕ2 )- F(ϕ)sin(ϕ1)+ 0,5D(ϕ)cos(ϕ1), s3ϕ32(ϕ)= 2E2(ϕ2 )+ A(ϕ)sin2(ϕ1)+ 0,5E(ϕ)sin(2ϕ1);
( )( )a O (t)= AyAcrC + ω1ω1T - ω1Tω1E + A e AyrO1 + rO ,
g = çèççççççæ00gø÷÷÷÷÷÷÷÷ö,
rC = èççççççççæXZYCCC ÷ø÷÷÷÷÷÷÷÷ö,
rO1 = èççççççççæxyzOOO111 ø÷÷÷÷÷÷÷÷ö÷,
rO = çèçççççæçY00O ø÷÷÷÷÷÷÷÷ö,
Ae = çèçççççæç-eeZY101((tt))
-eZ1 (t)
0
eX1 (t)
-eeYX101(t(t))÷ø÷÷÷÷÷÷÷ö,
ω1= Ay ççæççççèçç-yyccoosysqqscsionisnqγγ+++γqqscionsγγ÷ö÷÷÷ø÷÷÷÷÷,
e1(t) = çççæçèçççeeeXYZ111(((ttt)))÷÷÷÷÷öø÷÷÷ = Ay çççæçççèçeeexyz (((ttt)))÷÷÷÷÷öø÷÷÷,
ex(t)= ω x(t)= y sinq +γ + y q cosq, ey(t)= ω y(t)= y cosqcos γ + qsin γ - y q sinqcos γ - y γ cosqsin γ + qγ cos γ, ez(t)= ω z(t)= -y cosqsin γ + qcos γ + y q sinqsin γ - y γ cosqcos γ - qγ sin γ;
p1
(ϕ)
=
çæçççççèççm1
ççççççèççæ--xxCC11
sinϕ1 + 0
cos ϕ1 -
zC1 zC1
cos sin
ϕ1 ϕ1
÷÷÷÷÷÷ø÷÷ö÷
+m3
çççèççççççæçççççç--çççèæçæçèçxxCC33
sinæççèçq0 sinæççèçq0
+ +
ϕ2 ϕ2
2
2
ϕ1 ϕ1
öø÷÷÷ ö÷ø÷÷
+ +
yC3 0
yC3
cosæççèçq0 cosæçèççq0
+ +
ϕ2 ϕ2
2
2
ϕ1 ϕ1
ö÷ø÷÷ö÷÷÷ø÷sin ϕ1 ö÷÷÷ø÷ö÷÷ø÷cos ϕ1
÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷÷÷÷÷ö÷÷
+
+
m3
èçççæççççççççççççççççç+-æççççèççèçæçxx22CC33
cosæççèçq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ö÷÷÷ø
-
yC3 2
sinæçèççq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ö÷÷÷ø
-
zC3
÷ö÷÷ø÷cos
ϕ1
-
xC3 2
sinæçççèq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ö÷÷ø÷
-
yC3 2
cosæçççèq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ö÷÷÷ø
cosèçççæq0
+
ϕ2
2
ϕ1
ø÷÷÷ö-
yC3 2
sinçèççæq0
+
ϕ2
2
ϕ1
÷÷ø÷ö
-
zC3
÷ø÷÷ö÷sin
ϕ1
÷ø÷÷ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷,
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
19
p2
(ϕ)
=
çèçççççççæm2
çççèçççæçç--xxCC22
sinϕ2 + 0
cos ϕ2 -
zC2 zC2
cos ϕ2 sin ϕ2
÷÷ø÷÷÷÷÷÷÷ö
+m3
çæçççççççççèçççççççççç-ççççæèççèæççxx2C23Cx3c2Cco3osssæçççèiqçèççænq0æèççç0+q+0ϕ+ϕ22-2ϕ-22ϕ-ϕ211öø÷÷÷ϕ÷ø÷ö÷-1-öø÷÷÷y+y2C2C3y32sCsi3nincèçæççoèçæççqqs00æççèç+q+0ϕ+ϕ22-2ϕ-22ϕϕ-121öø÷÷÷ϕöø÷÷÷÷ø÷ö÷÷÷÷øö÷÷1csoö÷÷÷øisnϕϕ11
ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷,
Ac = çççççççèæ-ccoossyyssinincqoqsscinyosγcγo++ssqsininyycsoisnγγ
sin q cosqcos γ -cosqsin γ
-ssininyyssini-nqsqcisonisnyγγc+o+sccoqossyyscinosγγ÷÷÷÷÷÷÷÷øö,
Aó
=
èçæççççççç-ccoossyyóóssininqcqoóóssciynoósγcγóoó+s+qssióninyyó
ósin γó cos γó
sin qó cosqócos γó -cosqósin γó
-sin y ó cos qó sinyósinqócos γó + cosyósin γó -sinyósinqósin γó + cosyócos γó
ø÷÷÷÷ö÷÷÷÷÷,
A(ϕ)= 0,5( A3- B3 )cos(ϕ2- ϕ1)+ F3 sin(ϕ2- ϕ1), F(ϕ)= 0,5(B3 - A3 )sin(ϕ2 - ϕ1)+ F3cos(ϕ2 - ϕ1), E(ϕ)= E3cos(0,25π + 0,5(ϕ2 - ϕ1))- D3 sin(0,25π + 0,5(ϕ2 - ϕ1)), D(ϕ)= E3 sin(0,25π + 0,5(ϕ2 - ϕ1))+ D3cos(0,25π + 0,5(ϕ2 - ϕ1)),
F1(ϕ1)= F1cos(ϕ1)+ D1sin(ϕ1), F2(ϕ2 )= F2cos(ϕ2 )+ D2 sin(ϕ2 ), D1(ϕ1)= D1cos(ϕ1)- F1sin(ϕ1), D2(ϕ2 )= D2cos(ϕ2 )- F2 sin(ϕ2 ),
A1(ϕ1)= (0,5( A1 - C1 - C3 )+ 0,25( A3 + B3 ))cos(2ϕ1)- E1sin(2ϕ1),
A2 (ϕ2 )= 0,5( A2 - C2 )cos(2ϕ2 )- E2 sin(2ϕ2 ),
E1(ϕ1)= (0,5( A1 - C1 - C3 )+ 0,25( A3 + B3 ))sin(2ϕ1)+ E1cos(2ϕ1),
E2(ϕ2 )= 0,5( A2 - C2 )sin(2ϕ2 )+ E2cos(2ϕ2 ).
* * * * *
Литература
1. Торшина И.П. Компьютерное моделирование оптико-электронных систем первичной обработки информации. М.: Логос, 2009. 248 с.
2. Карпов А.И., Стрежнев В.А. Динамика и методы расчета систем автоматического управления стратосферных обсерваторий. Идентификация, декомпозиция, синтез: Монография. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 175 с.
3. Дулькин Л.З., Земляков А.С., Матросов В.М., Стрежнев В.А., Карпов А.И. Задачи инвариантности и устойчивости в динамике стратосферных обсерваторий // В кн. “Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем”. Новосибирск: Наука, 1983. С. 157–158.
4. Беляков Ю.М., Карпов А.И., Кренев В.А., Молин Д.А. Методика разработки математических моделей автоматических бортовых оптико-электронных систем // Оптический журнал. 2009. Т. 76. № 3. С. 34–39.
20 “Оптический журнал”, 79, 3, 2012
5. Карпов А.И., Кренев В.А., Матвеев А.Г., Молин Д.А., Яцык В.С. Разработка компьютерной имитационной модели бортового оптико-электронного прибора // Сб. материалов XXI Всероссийской межвузовской научно-технической конф. “Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий”. Казань, 2009. Ч. 2. C. 239–241.
6. Беляков Ю.М., Карпов А.И., Кренев В.А., Матвеев А.Г., Молин Д.А., Яцык В.С. Применение имитационной модели управления зеркалом в пространстве при разработке ОЭП // Тез. докл. научно-практической конф. “Оптика, фотоника и оптоинформатика в науке и технике”. М., 2009. С. 71.
7. Карпов А.И., Кренев В.А., Матвеев А.Г., Яцык В.С. К вопросу построения математической модели устройства сканирования оптико-электронных систем // Материалы Международной научно-практической конф. “Современные технологии – ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения”. Казань, 2008. Т. 2. С. 56–60.
8. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Учебник в 2-х томах. Т. II.: Динамика. М.: Наука, 1979. 544 с.
9. Аппель П. Теоретическая механика. Том второй. Динамика системы. Аналитическая механика. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 487 с.
10. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768 с.
“Оптический журнал”, 79, 3, 2012
21