Взаимосвязь аберраций широкого пучка лучей
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ЭЛЕМЕНТОВ
УДК 535.317.6 ВЗАИМОСВЯЗЬ АБЕРРАЦИЙ ШИРОКОГО ПУЧКА ЛУЧЕЙ
© 2012 г. Е. В. Ермолаева, канд. техн. наук; В. А. Зверев, доктор техн. наук; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: tim_ir@rambler.ru
Представлен вывод соотношений, определяющих величину и характер изменения меридиональной и сагиттальной комы изображения в зависимости от величины и характера изменения сферической аберрации и отступления от условия синусов в любой зоне светового пучка лучей, формирующего изображения. В основу вывода положены свойства световой трубки и геометрические соотношения, определяющие ход лучей в оптической системе.
Ключевые слова: оптическая система, световой луч, сферическая аберрация, кома, меридиональная плоскость, сагиттальная плоскость, входной зрачок, выходной зрачок.
Коды OCIS: 200.0200, 220.0220.
Поступила в редакцию 13.10.2011.
К числу монохроматических аберраций широкого пучка лучей относятся сферическая аберрация и кома. Сферической аберрацией называется нарушение гомоцентричности пучка лучей, прошедшего через оптическую систему, без нарушения симметрии его строения. Нарушение симметрии строения выходящего из оптической системы широкого пучка лучей, излучаемого внеосевой точкой предмета и приводящее к нарушению осевой симметрии пятна рассеяния в изображении точки, опре деляет аберрацию, называемую комой.
Элементарный световой поток, излучаемый элементарной площадкой dS в пределах телесного угла dW элементарного светового пучка, определяется выражением [1]
d2Φ = pLdScossdW,
(1)
где L – яркость излучения, s – угол между осью телесного угла dW и оптической осью системы. Аналогичные величины в пространстве изображений обозначим теми же символами, но со штрихом. При этом
d2Φ¢= td2Φ = tpL¢dS¢coss¢dW¢.
(2)
Среды, разделяемые поверхностями оптической системы, будем считать абсолютно прозрачными, т. е. будем считать, что коэф фициент пропускания оптической системы t = 1. Приравняв правые части выражений (1) и (2), при L/n2 = L′/n′2 получаем
n2dScossdW = n¢2dS¢coss¢dW¢.
(3)
Полученная формула называется теоремой или инвариантом Штраубеля.
Пусть dS = pdltdls, dS′ = pdlt′dls′, dW = pdstdss, dW′ = pdst′dss′, где dlt, dls, dlt′, dls′ - элементарные отрезки предмета и изображения в меридиональной и в сагиттальной плоскостях; dst, dss, dst′, dss′ - элементарные углы, образованные лучами с осью телесного угла в меридиональной и в сагиттальной плоскостях в пространстве предметов и изображений. Раскрыв соответствующие величины, входящие в выражение (3), получаем
n2dlt cosst dstdlsdss = n¢2dlt¢ cosst¢dst¢dls¢dss¢ . (4)
Отсюда следуют выражения, определяющие инварианты Лагранжа–Гельмгольца для плоского пучка лучей в виде:
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
5
–– обобщенный инвариант в меридиональной плоскости
ndltcosstdst = n¢dlt¢cosst¢dst¢, –– в сагиттальной плоскости
(5)
ndlsdss = n¢dls¢dss¢ .
(6)
При этом поперечное увеличение изображения, образованного лучами в меридиональной плоскости, равно
Vt =
dlt¢ dlt
=
n cos st dst n ¢cos st¢ dst¢
=
nn¢dd((ssiinnsstt¢)),
(7)
а поперечное увеличение изображения, образованного лучами в сагиттальной плоскости, равно
Vs
=
dls¢ dls
=
ndss n¢dss¢
.
(8)
Следовательно, в реальной оптической си-
стеме лучи, исходящие из одной и той же внеосевой точки предмета, пересекают плоскость изображения в различных точках, при этом осевая симметрия пятна рассеяния в изображении точки нарушается.
Для анализа структуры широкого пучка
л учей при малом поле (малой величине предме-
та) обратимся к рис. 1. На этом рисунке лучи AN1 и AN2 лежат в меридиональной плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка. По-
вернув меридиональную плоскость на малый угол dy, получаем новое положение лучей AN1
и AN2, образующее с исходным сагиттальные плоскости. При этом угол между лучами в сагиттальной плоскости равен
-dss = -APtgstdy
cos st AP
= -sinstdy.
Аналогично находим dss¢ = sinst¢dy. Полученные соотношения позволяют выра-
жение (8) представить в виде
Vs
=
nsin st n ¢ sin st¢
.
(9)
Отсюда следует, что величина A′sBs′t = –dls′t изображения предмета AB = dl, образованно-
го лучами, лежащими в сагиттальных плоско-
стях, симметричных относительно плоскости
рисунка, т. е. при st2 = −st1 = st, одна и та же, а само изображение расположено в плоскости
рисунка. При этом
dls¢t = Vsdl.
(10)
В том случае, когда в изображении осевой
точки присутствует сферическая аберрация,
координата y′0st точка пересечения луча P′Bs′t с плоскостью изображения Гаусса, т. е. коор-
дината точки B′0st на рис. 1, определяется из соотношения сторон подобных треугольников
P′А′0B′0st и P′А′sBs′t:
y0¢ st dls¢t
=
s0¢
s0¢ - z¢p - z¢p + Ds¢
.
Полагая
величину
Ds¢ s0¢ - z¢p
1, получаем
y0′
B Bх. зр.
–s A
j N1
Bых. зр.
P w′ O
P′ s′
N2 zp′
s0′
A0′ t2 As′ A0′
A0′ t1
Bs′t –Ds′
B0′ st A0′ гл
z′
Рис. 1. Структура широкого пучка лучей, формирующего изображение предмета малой величины.
6 “Оптический журнал”, 79, 5, 2012
y0¢ st
=
ççæçèç1-
Ds¢ s0¢ - z¢p
÷÷ö÷÷÷ødls¢t
.
(11)
Координату y0гл точки пересечения главного луча с плоскостью изображения Гаусса находим из выражения (7) при st → 0 и st′ → 0
y0¢ ãë
=
ndst n¢dst¢
dl
=
V0dl
=
dl0¢
(12)
где V0 – поперечное увеличение изображения в плоскости Гаусса.
Разность величин, определяемых выраже-
ниями (11) и (12), равную dg′0кs, принято называть сагиттальной комой или ошибкой желоба
[2]. Используя выражения (10), (11) и (12), по-
лучаем
dg0¢ ês
=
êêéëêççæççè1-
Ds¢ s0¢ - z¢p
÷÷ø÷÷ö÷Vs
-
V0
úûúùú
dl.
(13)
При Ds′ ≡ 0 величина dg0¢ês = (Vs - V0 )dl. Ус-
ловие
Vs
-
V0
=
nsin st n ¢ sin st¢
- V0
=
0
определяет условие синусов Аббе. Определим отступление от условия синусов отношением (Vs – V0)/V0 = −ds. При этом
Vs = (1+ ds )V0.
(14)
Это равенство позволяет придать выражению (13), определяющему величину сагитталь-
ной комы, вид выражения, полученного Конради [3]
dg0¢ês
=
êëêéêds
+
(1
+
ds
)
Ds¢ z¢p - s0¢
ûúùúú
dl0¢
.
(15)
Для анализа структуры широкого пучка
световых лучей в меридиональной плоско-
сти, образующего изображение внеосевой точ-
ки предмета, обратимся к рис. 2, где точка A′t представляет собой изображение осевой точки
А, образованное оптической системой j беско-
нечно узким меридиональным пучком лучей,
исходящим из точки А под углом -st; отрезок At′Bt′ = –dlt′ представляет собой изображение малого предмета dl бесконечно узкими мериди-
ональными пучками лучей, при этом величи-
на dlt′ определяется формулой (7). Определим в плоскости, перпендикулярной оптической
оси и содержащей отрезок A′tBt′, координаты точки пересечения с этой плоскостью главно-
го луча, проходящего через центр выходного
зрачка Р′ и образующего угол w′ с оптической
осью, и двух точек Вt′, для которых величина изображения определяется при двух значе-
ниях угла s′ = s1′ = –s2′ . Обозначим эти коорди-
наты через yг′л, yt′1 и yt′2. Величину dgк′t, определя-
емую
равенством
dgê¢ t
=
yt¢1
+ 2
yt¢2
-
yã¢ë ,
приня-
то называть меридиональной комой в изо-
бражении точки малого предмета dl в плоско-
сти предмета, образованном бесконечно узки-
–ds B
–s A
–y0′
j y′
At′ dst
P′ Bt′
A′
O
z′
–y′0гл
zp′ s0′
– Ds′ – d(Ds′)
Рис. 2. Структура широкого пучка световых лучей в меридиональной плоскости, формирующего изображение внеосевой точки предмета.
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
7
ми м еридиональными пучками лучей. В соответствии с рис. 2 координата y′t точки Bt′ равна
yt¢ = A¢At¢ sinst¢ + dlt¢.
(16)
Из того же рисунка находим, что отрезок
A
¢At¢
=
-
d(Ds¢)
dst¢
sinst¢
.
(17)
Учитывая выражение (7), при dlt′ = Vtdlt выражение (16) можно представить в виде
yt¢
=
-
d(Ds¢)
dst¢
sin2st¢
+
n cos st dst n ¢ cos st¢ dst¢
dlt .
(18)
Заметим, что выражение
d(Ds¢)
dst¢
sin2st¢
пред-
ставляет собой нечетную функцию относитель-
но угла st′ и при изменении знака угла изменяется знак функции при том же ее абсолют-
ном значении. Применив выражение (18), по-
лучаем
yt¢1 + yt¢2 2
=
n cos st dst n ¢cos st¢ dst¢
dlt .
(19)
Координата y0′ гл = dl′0 точки пересечения главного луча с гауссовой плоскостью изображе-
ния определяется выражением (12). При этом
к оордината y′гл точки пересечения главного луча с рассматриваемой плоскостью, как сле-
дует из рис. 2, равна
yã¢ë = dl0¢ + A0¢ At¢0w¢,
(20)
где w′ - половина углового поля изображения, равная
w
¢
=
dl0¢ z¢p - s0¢
.
(21)
В соответствии с тем же рисунком
A0¢ At¢0 = A0¢ A¢+ A¢At¢0 = -Ds¢+ A¢At¢ cosst¢.
Учитывая выражение (17), получаем A0′ A′t0 = = –q, где
q
=
Ds¢
+
d(Ds¢)
dst¢
sin
st¢
cos
st¢
.
(22)
Подставив полученное выражение в формулу
(20), находим, что
yã¢ë = dl0¢ -qw¢.
(23)
Соотношения (19), (22) и (23) позволяют опре-
делить величину меридиональной комы в рас-
сматриваемой плоскости выражением вида
dgê¢ t
=
n cos st dst n ¢ cos st¢ dst¢
dlt
-
dl0¢
+
qw¢
или
dgê¢ t
=
nd(sinst )
n¢d(sinst¢ )
dlt
-
dl0¢
+
qw¢.
(24)
Для последующего преобразования полученно-
го выражения обратимся к соотношениям (9)
и (14), из которых следует, что
nsinst = (1+ ds )V0n¢sinst¢.
Дифференцируя это выражение, получаем
nd sin st n ¢d sin st¢
= (1+ ds )V0
+ V0sinst¢
dds
d(sin st¢
).
Подставив это выражение в формулу (24), представим ее в виде:
dgê¢ t
=
(1
+
ds
)dl0¢
+
d
dds
(sinst¢
)
sinst¢dl0¢
-
dl0¢
+
qw
¢
или
dgê¢ t
=
d(dssinst¢ ) d(sinst¢ )
dl0¢
+
qw¢.
(25)
Определим величину меридиональной комы dg0′ кt в гауссовой плоскости изображения, для чего найдем координаты y′0t точек пересечения с этой плоскостью крайних лучей наклонного пучка, проходящих через точки Bt′1 и Bt′2. Из геометрии хода лучей следует, что
y0¢t = yt¢ + Dtgst¢,
где D − продольное смещение рассматриваемой плоскости относительно гауссовой плоскости
изображения. Очевидно, что крайние лучи
наклонного пучка лучей, формирующего изображение внеосевой точки, образуют разные
по величине и по знаку углы как с оптической
осью, так и с главным лучом пучка. Учиты-
вая это, величину комы в гауссовой плоскости
изображения определим выражением
dg0¢ êt
=
y0¢t1 + y0¢t2 2
- y0¢ãë
=
=
y0¢ t1
+ 2
y0¢ t2
- yã¢ë
+ æççèç tgst¢1
+ 2
tgst¢2
- w ¢ö÷ø÷÷÷ D,
которое можно представить в виде
dg0¢ êt
=
dgê¢ t
+ çæçèç tgst¢1
+ 2
tgst¢2
- w ¢øö÷÷÷÷ D.
(26)
Уместно вспомнить замечание Г.Г. Слюсарева о том, что “…при определении комы пучка любого отверстия должны быть приняты пред осторожности, совершенно излишние при вы-
8 “Оптический журнал”, 79, 5, 2012
воде комы третьего порядка. В частности, необходимо точно условиться о выборе двух крайних лучей, по которым определяется кома” [4].
Если крайние лучи внеосевого пучка образуют с главным лучом углы ±w′, то с оптической осью один луч образует угол st′1 = w′ + w′, другой луч – угол st′2 = w′ - w′, где w′ - полевой угол в пространстве изображений. При этом
sinst¢1 = sinw¢cosw¢+ cosw¢sinw¢ è sinst¢2 = sinw¢cosw¢- cosw¢sinw¢.
Следуя [4], “…рассмотрим два луча, выбранные таким образом, что синусы углов, образуемых этими лучами с осью, отличаются от синуса угла, образуемого с осью главным лучом, на одинаковые величины”, т. е. рассмотрим два луча, образующих с оптической осью такие углы st′1 и st′2, при которых
Подставив при этом выражения (21), (22) и (25)
в выражение (28), преобразуем его к виду, по-
лученному в работе [4]
dg0¢ êt
=
d(dssinst¢ ) d(sinst¢ )
+
+ êéêêë
Ds¢ cos3st¢
+
d(Ds¢) d(sin s¢)
tgst¢
úúúûù
dl0¢ z¢p - s0¢
или
dg0¢ êt
=
dl0¢
d
d(sinst¢
)çèçæççdssinst¢
+
Ds¢ z¢p - s0¢
tgst¢
÷øö÷÷÷÷.
(29)
В области умеренных значений числовых апертур в пространстве изображений (например, до sinst′ ≤ 0,25) можно считать, что tgst′ ≈ sins′t. При этом формула (29) принимает вид
sinst¢1 -sinw¢= sinw¢-sinst¢2 = sinw¢ или, учитывая малость углов w′,
sinst¢1 -w¢= w¢-sinst¢2 = sinw¢.
Тогда
sin sin
st¢1 st¢2
= =
s-insiwn¢w+¢ +w¢w, ¢.üïýïïþï
(27)
С точностью до членов, содержащих угол w′
в первой степени, имеем
tgst¢1
=
tgw¢
+
w¢ cos3 w¢
è
tgst¢2
=
-tgw¢
+
w¢ cos3 w¢
.
Подставив эти соотношения в формулу (26),
получаем
dg0¢ êt
=
dgê¢ t
+ èçççæç
1 cos3w¢
-1÷÷÷ø÷÷öDw¢.
(28)
Учитывая, что sinw′ = sinst′1 – w′ = w′ – sinst′2, можно показать, что с точностью до величины w′ первого порядка малости
w¢ cos3w¢
=
w¢ cos3st¢1
=
w¢ cos3st¢2
=
w¢ cos3st¢
.
dg0¢ êt
=
dl0¢
d
d(sin
st¢
)
ëêêêésinst¢
ççèççæds
+
Ds¢ z¢p - s0¢
÷÷ø÷÷÷öúûúúù
.
(30)
Полагая величины ds и
Ds¢ z¢p - s0¢
малыми, фор-
мулу (15) можно представить в виде
dg0¢ ês
=
ççççæèds
+
Ds¢ z¢p - s0¢
÷÷÷÷÷øödl0¢
.
(31)
Это выражение позволяет формулу (30) запи-
сать в виде
dg0¢ êt
=
d
d(sin
st¢
) (dg0¢ êssin
st¢
)dl0¢
.
(32)
Если величины ds и Ds′ определяются функциями вида:
ds = asin2st¢ è Ds¢= bsin2st¢,
то формула (30) принимает вид формулы Ште-
бле–Лихоцкого
dg0¢ êt
=
3çççèçæds
+
Ds¢ z¢p - s0¢
÷÷÷÷÷øödl0¢
.
(33)
Сопоставив выражения (31) и (33), получаем, что в этом случае dg0¢êt = 3dg0¢ês.
* * * * *
ЛИТЕРАТУРА
1. Волосов Д.С., Цивкин М.В. Теория и расчет светооптических систем. М.: Искусство, 1960. 526 с. 2. Берек М.О. Основы практической оптики. М.–Л.: ГТТИ, 1933. 129 с. 3. Слюсарев Г.Г. Геометрическая оптика. М.–Л.: АН СССР, 1946. 332 с. 4. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
9
УДК 535.317.6 ВЗАИМОСВЯЗЬ АБЕРРАЦИЙ ШИРОКОГО ПУЧКА ЛУЧЕЙ
© 2012 г. Е. В. Ермолаева, канд. техн. наук; В. А. Зверев, доктор техн. наук; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: tim_ir@rambler.ru
Представлен вывод соотношений, определяющих величину и характер изменения меридиональной и сагиттальной комы изображения в зависимости от величины и характера изменения сферической аберрации и отступления от условия синусов в любой зоне светового пучка лучей, формирующего изображения. В основу вывода положены свойства световой трубки и геометрические соотношения, определяющие ход лучей в оптической системе.
Ключевые слова: оптическая система, световой луч, сферическая аберрация, кома, меридиональная плоскость, сагиттальная плоскость, входной зрачок, выходной зрачок.
Коды OCIS: 200.0200, 220.0220.
Поступила в редакцию 13.10.2011.
К числу монохроматических аберраций широкого пучка лучей относятся сферическая аберрация и кома. Сферической аберрацией называется нарушение гомоцентричности пучка лучей, прошедшего через оптическую систему, без нарушения симметрии его строения. Нарушение симметрии строения выходящего из оптической системы широкого пучка лучей, излучаемого внеосевой точкой предмета и приводящее к нарушению осевой симметрии пятна рассеяния в изображении точки, опре деляет аберрацию, называемую комой.
Элементарный световой поток, излучаемый элементарной площадкой dS в пределах телесного угла dW элементарного светового пучка, определяется выражением [1]
d2Φ = pLdScossdW,
(1)
где L – яркость излучения, s – угол между осью телесного угла dW и оптической осью системы. Аналогичные величины в пространстве изображений обозначим теми же символами, но со штрихом. При этом
d2Φ¢= td2Φ = tpL¢dS¢coss¢dW¢.
(2)
Среды, разделяемые поверхностями оптической системы, будем считать абсолютно прозрачными, т. е. будем считать, что коэф фициент пропускания оптической системы t = 1. Приравняв правые части выражений (1) и (2), при L/n2 = L′/n′2 получаем
n2dScossdW = n¢2dS¢coss¢dW¢.
(3)
Полученная формула называется теоремой или инвариантом Штраубеля.
Пусть dS = pdltdls, dS′ = pdlt′dls′, dW = pdstdss, dW′ = pdst′dss′, где dlt, dls, dlt′, dls′ - элементарные отрезки предмета и изображения в меридиональной и в сагиттальной плоскостях; dst, dss, dst′, dss′ - элементарные углы, образованные лучами с осью телесного угла в меридиональной и в сагиттальной плоскостях в пространстве предметов и изображений. Раскрыв соответствующие величины, входящие в выражение (3), получаем
n2dlt cosst dstdlsdss = n¢2dlt¢ cosst¢dst¢dls¢dss¢ . (4)
Отсюда следуют выражения, определяющие инварианты Лагранжа–Гельмгольца для плоского пучка лучей в виде:
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
5
–– обобщенный инвариант в меридиональной плоскости
ndltcosstdst = n¢dlt¢cosst¢dst¢, –– в сагиттальной плоскости
(5)
ndlsdss = n¢dls¢dss¢ .
(6)
При этом поперечное увеличение изображения, образованного лучами в меридиональной плоскости, равно
Vt =
dlt¢ dlt
=
n cos st dst n ¢cos st¢ dst¢
=
nn¢dd((ssiinnsstt¢)),
(7)
а поперечное увеличение изображения, образованного лучами в сагиттальной плоскости, равно
Vs
=
dls¢ dls
=
ndss n¢dss¢
.
(8)
Следовательно, в реальной оптической си-
стеме лучи, исходящие из одной и той же внеосевой точки предмета, пересекают плоскость изображения в различных точках, при этом осевая симметрия пятна рассеяния в изображении точки нарушается.
Для анализа структуры широкого пучка
л учей при малом поле (малой величине предме-
та) обратимся к рис. 1. На этом рисунке лучи AN1 и AN2 лежат в меридиональной плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка. По-
вернув меридиональную плоскость на малый угол dy, получаем новое положение лучей AN1
и AN2, образующее с исходным сагиттальные плоскости. При этом угол между лучами в сагиттальной плоскости равен
-dss = -APtgstdy
cos st AP
= -sinstdy.
Аналогично находим dss¢ = sinst¢dy. Полученные соотношения позволяют выра-
жение (8) представить в виде
Vs
=
nsin st n ¢ sin st¢
.
(9)
Отсюда следует, что величина A′sBs′t = –dls′t изображения предмета AB = dl, образованно-
го лучами, лежащими в сагиттальных плоско-
стях, симметричных относительно плоскости
рисунка, т. е. при st2 = −st1 = st, одна и та же, а само изображение расположено в плоскости
рисунка. При этом
dls¢t = Vsdl.
(10)
В том случае, когда в изображении осевой
точки присутствует сферическая аберрация,
координата y′0st точка пересечения луча P′Bs′t с плоскостью изображения Гаусса, т. е. коор-
дината точки B′0st на рис. 1, определяется из соотношения сторон подобных треугольников
P′А′0B′0st и P′А′sBs′t:
y0¢ st dls¢t
=
s0¢
s0¢ - z¢p - z¢p + Ds¢
.
Полагая
величину
Ds¢ s0¢ - z¢p
1, получаем
y0′
B Bх. зр.
–s A
j N1
Bых. зр.
P w′ O
P′ s′
N2 zp′
s0′
A0′ t2 As′ A0′
A0′ t1
Bs′t –Ds′
B0′ st A0′ гл
z′
Рис. 1. Структура широкого пучка лучей, формирующего изображение предмета малой величины.
6 “Оптический журнал”, 79, 5, 2012
y0¢ st
=
ççæçèç1-
Ds¢ s0¢ - z¢p
÷÷ö÷÷÷ødls¢t
.
(11)
Координату y0гл точки пересечения главного луча с плоскостью изображения Гаусса находим из выражения (7) при st → 0 и st′ → 0
y0¢ ãë
=
ndst n¢dst¢
dl
=
V0dl
=
dl0¢
(12)
где V0 – поперечное увеличение изображения в плоскости Гаусса.
Разность величин, определяемых выраже-
ниями (11) и (12), равную dg′0кs, принято называть сагиттальной комой или ошибкой желоба
[2]. Используя выражения (10), (11) и (12), по-
лучаем
dg0¢ ês
=
êêéëêççæççè1-
Ds¢ s0¢ - z¢p
÷÷ø÷÷ö÷Vs
-
V0
úûúùú
dl.
(13)
При Ds′ ≡ 0 величина dg0¢ês = (Vs - V0 )dl. Ус-
ловие
Vs
-
V0
=
nsin st n ¢ sin st¢
- V0
=
0
определяет условие синусов Аббе. Определим отступление от условия синусов отношением (Vs – V0)/V0 = −ds. При этом
Vs = (1+ ds )V0.
(14)
Это равенство позволяет придать выражению (13), определяющему величину сагитталь-
ной комы, вид выражения, полученного Конради [3]
dg0¢ês
=
êëêéêds
+
(1
+
ds
)
Ds¢ z¢p - s0¢
ûúùúú
dl0¢
.
(15)
Для анализа структуры широкого пучка
световых лучей в меридиональной плоско-
сти, образующего изображение внеосевой точ-
ки предмета, обратимся к рис. 2, где точка A′t представляет собой изображение осевой точки
А, образованное оптической системой j беско-
нечно узким меридиональным пучком лучей,
исходящим из точки А под углом -st; отрезок At′Bt′ = –dlt′ представляет собой изображение малого предмета dl бесконечно узкими мериди-
ональными пучками лучей, при этом величи-
на dlt′ определяется формулой (7). Определим в плоскости, перпендикулярной оптической
оси и содержащей отрезок A′tBt′, координаты точки пересечения с этой плоскостью главно-
го луча, проходящего через центр выходного
зрачка Р′ и образующего угол w′ с оптической
осью, и двух точек Вt′, для которых величина изображения определяется при двух значе-
ниях угла s′ = s1′ = –s2′ . Обозначим эти коорди-
наты через yг′л, yt′1 и yt′2. Величину dgк′t, определя-
емую
равенством
dgê¢ t
=
yt¢1
+ 2
yt¢2
-
yã¢ë ,
приня-
то называть меридиональной комой в изо-
бражении точки малого предмета dl в плоско-
сти предмета, образованном бесконечно узки-
–ds B
–s A
–y0′
j y′
At′ dst
P′ Bt′
A′
O
z′
–y′0гл
zp′ s0′
– Ds′ – d(Ds′)
Рис. 2. Структура широкого пучка световых лучей в меридиональной плоскости, формирующего изображение внеосевой точки предмета.
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
7
ми м еридиональными пучками лучей. В соответствии с рис. 2 координата y′t точки Bt′ равна
yt¢ = A¢At¢ sinst¢ + dlt¢.
(16)
Из того же рисунка находим, что отрезок
A
¢At¢
=
-
d(Ds¢)
dst¢
sinst¢
.
(17)
Учитывая выражение (7), при dlt′ = Vtdlt выражение (16) можно представить в виде
yt¢
=
-
d(Ds¢)
dst¢
sin2st¢
+
n cos st dst n ¢ cos st¢ dst¢
dlt .
(18)
Заметим, что выражение
d(Ds¢)
dst¢
sin2st¢
пред-
ставляет собой нечетную функцию относитель-
но угла st′ и при изменении знака угла изменяется знак функции при том же ее абсолют-
ном значении. Применив выражение (18), по-
лучаем
yt¢1 + yt¢2 2
=
n cos st dst n ¢cos st¢ dst¢
dlt .
(19)
Координата y0′ гл = dl′0 точки пересечения главного луча с гауссовой плоскостью изображе-
ния определяется выражением (12). При этом
к оордината y′гл точки пересечения главного луча с рассматриваемой плоскостью, как сле-
дует из рис. 2, равна
yã¢ë = dl0¢ + A0¢ At¢0w¢,
(20)
где w′ - половина углового поля изображения, равная
w
¢
=
dl0¢ z¢p - s0¢
.
(21)
В соответствии с тем же рисунком
A0¢ At¢0 = A0¢ A¢+ A¢At¢0 = -Ds¢+ A¢At¢ cosst¢.
Учитывая выражение (17), получаем A0′ A′t0 = = –q, где
q
=
Ds¢
+
d(Ds¢)
dst¢
sin
st¢
cos
st¢
.
(22)
Подставив полученное выражение в формулу
(20), находим, что
yã¢ë = dl0¢ -qw¢.
(23)
Соотношения (19), (22) и (23) позволяют опре-
делить величину меридиональной комы в рас-
сматриваемой плоскости выражением вида
dgê¢ t
=
n cos st dst n ¢ cos st¢ dst¢
dlt
-
dl0¢
+
qw¢
или
dgê¢ t
=
nd(sinst )
n¢d(sinst¢ )
dlt
-
dl0¢
+
qw¢.
(24)
Для последующего преобразования полученно-
го выражения обратимся к соотношениям (9)
и (14), из которых следует, что
nsinst = (1+ ds )V0n¢sinst¢.
Дифференцируя это выражение, получаем
nd sin st n ¢d sin st¢
= (1+ ds )V0
+ V0sinst¢
dds
d(sin st¢
).
Подставив это выражение в формулу (24), представим ее в виде:
dgê¢ t
=
(1
+
ds
)dl0¢
+
d
dds
(sinst¢
)
sinst¢dl0¢
-
dl0¢
+
qw
¢
или
dgê¢ t
=
d(dssinst¢ ) d(sinst¢ )
dl0¢
+
qw¢.
(25)
Определим величину меридиональной комы dg0′ кt в гауссовой плоскости изображения, для чего найдем координаты y′0t точек пересечения с этой плоскостью крайних лучей наклонного пучка, проходящих через точки Bt′1 и Bt′2. Из геометрии хода лучей следует, что
y0¢t = yt¢ + Dtgst¢,
где D − продольное смещение рассматриваемой плоскости относительно гауссовой плоскости
изображения. Очевидно, что крайние лучи
наклонного пучка лучей, формирующего изображение внеосевой точки, образуют разные
по величине и по знаку углы как с оптической
осью, так и с главным лучом пучка. Учиты-
вая это, величину комы в гауссовой плоскости
изображения определим выражением
dg0¢ êt
=
y0¢t1 + y0¢t2 2
- y0¢ãë
=
=
y0¢ t1
+ 2
y0¢ t2
- yã¢ë
+ æççèç tgst¢1
+ 2
tgst¢2
- w ¢ö÷ø÷÷÷ D,
которое можно представить в виде
dg0¢ êt
=
dgê¢ t
+ çæçèç tgst¢1
+ 2
tgst¢2
- w ¢øö÷÷÷÷ D.
(26)
Уместно вспомнить замечание Г.Г. Слюсарева о том, что “…при определении комы пучка любого отверстия должны быть приняты пред осторожности, совершенно излишние при вы-
8 “Оптический журнал”, 79, 5, 2012
воде комы третьего порядка. В частности, необходимо точно условиться о выборе двух крайних лучей, по которым определяется кома” [4].
Если крайние лучи внеосевого пучка образуют с главным лучом углы ±w′, то с оптической осью один луч образует угол st′1 = w′ + w′, другой луч – угол st′2 = w′ - w′, где w′ - полевой угол в пространстве изображений. При этом
sinst¢1 = sinw¢cosw¢+ cosw¢sinw¢ è sinst¢2 = sinw¢cosw¢- cosw¢sinw¢.
Следуя [4], “…рассмотрим два луча, выбранные таким образом, что синусы углов, образуемых этими лучами с осью, отличаются от синуса угла, образуемого с осью главным лучом, на одинаковые величины”, т. е. рассмотрим два луча, образующих с оптической осью такие углы st′1 и st′2, при которых
Подставив при этом выражения (21), (22) и (25)
в выражение (28), преобразуем его к виду, по-
лученному в работе [4]
dg0¢ êt
=
d(dssinst¢ ) d(sinst¢ )
+
+ êéêêë
Ds¢ cos3st¢
+
d(Ds¢) d(sin s¢)
tgst¢
úúúûù
dl0¢ z¢p - s0¢
или
dg0¢ êt
=
dl0¢
d
d(sinst¢
)çèçæççdssinst¢
+
Ds¢ z¢p - s0¢
tgst¢
÷øö÷÷÷÷.
(29)
В области умеренных значений числовых апертур в пространстве изображений (например, до sinst′ ≤ 0,25) можно считать, что tgst′ ≈ sins′t. При этом формула (29) принимает вид
sinst¢1 -sinw¢= sinw¢-sinst¢2 = sinw¢ или, учитывая малость углов w′,
sinst¢1 -w¢= w¢-sinst¢2 = sinw¢.
Тогда
sin sin
st¢1 st¢2
= =
s-insiwn¢w+¢ +w¢w, ¢.üïýïïþï
(27)
С точностью до членов, содержащих угол w′
в первой степени, имеем
tgst¢1
=
tgw¢
+
w¢ cos3 w¢
è
tgst¢2
=
-tgw¢
+
w¢ cos3 w¢
.
Подставив эти соотношения в формулу (26),
получаем
dg0¢ êt
=
dgê¢ t
+ èçççæç
1 cos3w¢
-1÷÷÷ø÷÷öDw¢.
(28)
Учитывая, что sinw′ = sinst′1 – w′ = w′ – sinst′2, можно показать, что с точностью до величины w′ первого порядка малости
w¢ cos3w¢
=
w¢ cos3st¢1
=
w¢ cos3st¢2
=
w¢ cos3st¢
.
dg0¢ êt
=
dl0¢
d
d(sin
st¢
)
ëêêêésinst¢
ççèççæds
+
Ds¢ z¢p - s0¢
÷÷ø÷÷÷öúûúúù
.
(30)
Полагая величины ds и
Ds¢ z¢p - s0¢
малыми, фор-
мулу (15) можно представить в виде
dg0¢ ês
=
ççççæèds
+
Ds¢ z¢p - s0¢
÷÷÷÷÷øödl0¢
.
(31)
Это выражение позволяет формулу (30) запи-
сать в виде
dg0¢ êt
=
d
d(sin
st¢
) (dg0¢ êssin
st¢
)dl0¢
.
(32)
Если величины ds и Ds′ определяются функциями вида:
ds = asin2st¢ è Ds¢= bsin2st¢,
то формула (30) принимает вид формулы Ште-
бле–Лихоцкого
dg0¢ êt
=
3çççèçæds
+
Ds¢ z¢p - s0¢
÷÷÷÷÷øödl0¢
.
(33)
Сопоставив выражения (31) и (33), получаем, что в этом случае dg0¢êt = 3dg0¢ês.
* * * * *
ЛИТЕРАТУРА
1. Волосов Д.С., Цивкин М.В. Теория и расчет светооптических систем. М.: Искусство, 1960. 526 с. 2. Берек М.О. Основы практической оптики. М.–Л.: ГТТИ, 1933. 129 с. 3. Слюсарев Г.Г. Геометрическая оптика. М.–Л.: АН СССР, 1946. 332 с. 4. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
9