Разложение фотограмметрической дисторсии по ортогональным полиномам Цернике
УДК 535.317
РАЗЛОЖЕНИЕ ФОТОГРАММЕТРИЧЕСКОЙ ДИСТОРСИИ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ ЦЕРНИКЕ
© 2012 г. К. В. Ежова, канд. техн. наук Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
Е-mail: ezhovakv@aco.ifmo.ru
Предложены модель фотограмметрической дисторсии и математический аппарат ее определения по измеренным величинам поперечных аберраций. Приведено описание рассмотренной дисторсии с помощью ортогональных полиномов Цернике.
Ключевые слова: фотограмметрическая дисторсия, полиномы Цернике, поперечные аберрации.
Коды OCIS: 080.0080, 220.0220, 110.0110.
Поступила в редакцию 16.11.2011.
Введение
В последние годы в результате усложнения технологий производства, использующего принципы фотолитографии, ужесточились требования к качеству оптических систем проекционных объективов, которые применяются при производстве больших по площади схем с оединений, используемых в устройствах современной электроники. Особенностью систем такого класса являются требования по обеспечению высокоточного преобразования не только тонкой структуры объекта, но и всей его геометрии. Такие системы должны быть скорректированы на минимизацию зональных аберраций для отдельных точек поля зрения, обладать минимальными аберрациями по всему полю зрения и высоким уровнем коррекции полевых аберраций, в том числе дисторсии. Очевидно, что все это повышает требования к качеству сборки и юстировки подобных устройств [1].
Исследование и анализ дисторсии в зависимости от параметров оптической системы при наличии ошибок изготовления и сборки обусловлены тем, что дисторсия является хорошим индикатором наличия не симметричных ошибок в оптической системе. В статье рассматривается моделирование фотограмметрической дисторсии, т. е. дисторсии, которая не содержит ошибки увеличения [2]. Такая дисторсия представляет большой интерес на эта-
пах сборки и юстировки оптических систем, поскольку позволяет на основе измерения ее величины сделать вывод о качестве оптической системы и определить ошибки ее сборки.
Использование полиномов Цернике для анализа фотограмметрической
дисторсии
При первичной обработке данных измерения поперечных аберраций обычно производится операция центрирования измеренных координат изображений центров марок, нанесенных на тест-объект, xi′ и y′i, и координат самих центров марок на тест-объекте xi и yi, в соответствии с выражениями (1–4)
åN
x0¢i = xi¢- xj¢/N,
j=1
(1)
åN
y0¢i = yi¢- yj¢/N,
j=1
(2)
åN
x0i = xi - xj/N,
j=1
(3)
åN
y0i = yi - yj /N.
j=1
(4)
Далее по формулам (5) и (6) можно определить значения дисторсии
Dxi¢= (NA¢/l)(x0¢i - V0x0i ),
(5)
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
53
Dyi¢= (NA¢/l)(y0¢i - V0y0i ).
(6)
Таким образом, получаются составляющие дисторсии по выбранным при измерении двум координатным осям. Однако эти составляющие суммируют в себе расчетную дисторсию, дисторсию, вызванную разными типами погрешностей изготовления и сборки деталей объектива и погрешности измерений, что не позволяет их использовать непосредственно для аттестации и юстировки.
Полученные после измерений составляющие дисторсии можно рассматривать в качестве поперечных аберраций [3], т. е. в качестве частных производных волновой аберрации, как представлено в выражениях
Dx¢ = (-l/NA)(∂W/∂rx ),
(7)
Dy¢= (-l/NA)(∂W/∂ry ).
(8)
Для математического моделирования фотограмметрической дисторсии, возникающей в результате децентрировок при сборке оптических систем, возможно применение математического моделирования такой дисторсии с помощью косинусных и синусных ортогональных полиномов Цернике, которые и формируют разложение фотограмметрической дисторсии.
Моделирование фотограмметрической дисторсии
Для учета влияния дисторсии на изображение необходимо установить в поле зрения задающего коллиматора симметричную квадратную сетку с определенным, заранее заданным, числом ячеек. В этом случае при отсутствии дисторсии получаем изображение, аналогичное полю зрения, если дисторсия присутствует,
то сетка искажается (рис. 1). По характеру
и численным параметрам искажения можно
определить, какими коэффициентами вызвана
дисторсия. Для разработки методов определе-
ния искомых коэффициентов первичного раз-
ложения дисторсии необходимо решить обрат-
ную задачу – создать искажение сетки путем
смещения ее вершин от их номинального поло-
жения в поле зрения.
Для каждой точки поля зрения в каждом
сечении сформирован общий вектор полино-
мов, где отдельно записывается вектор (9) ко-
синусных и вектор (10) синусных полиномов
Цернике
( )PCi = PCi00,, PCimn ,
(9)
( )PSi = PSi11,, PSimn .
(10)
Поле зрения в таком случае описывается матрицей полиномов
çççççèçççæçççPPP000
(sx1 ,sy1 (sx2 ,sy2 (sx3 ,sy3
...
) ) )
P1(sx1 ,sy1 ) P1(sx2 ,sy2 ) P1(sx3 ,sy3 )
...
............öø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷,
(11)
по столбцам которой располагаются косинусные и синусные полиномы, по строкам – точки.
При перемножении матрицы полиномов на вектор заданных заранее коэффициентов полиномов Цернике получаем смещение каждой точки поля, относительно номинального положения. Для наглядности задаем коэффициент масштабирования kSC. Исходя из параметров анализируемой оптической системы фотолитографического объектива, принимаем рабочую длину волны l = 365 нм, значение числовой апертуры NA = 0,6. В результате получаем в ектор, описывающий искажение квадратной сетки, вписанной в окружность, которая пред-
(а) 1 sy 1 2 34
(б) 1 sy
–1
–1 54
sx 1
–1
sx 1
Рис. 1. Поле зрения колли-
матора. а – сетка в тестовом
коллиматоре, б – возможное
–1
изображение сетки при наличии дисторсии.
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
ставляет поле зрения, в зависимости от выбранного направления искажения или сечения (по оси x или y).
Математически это можно описать выражениями (12) и (13), где CSx – вектор косинусных и синусных коэффициентов по оси x; CSy – вектор косинусных и синусных коэффициентов по оси y
DX¢= (l/NA)kSCPxCSx,
(12)
DY¢ = (l/NA)kSCPyCSy.
(13)
В этом случае смещение по оси x для каждой точки изображения описывается вектором (14), смещение по оси y – вектором (15)
DX¢T = (Dx1¢ Dx2¢ ),
(14)
DY¢T = (Dy1¢ Dy2¢ ).
(15)
Полученные смещения представляют собой смоделированную поперечную аберрацию, вызванную фотограмметрической дисторсией. Координаты каждой точки на изображении определяются в соответствии с формулами
x¢ = x + Dx,
(16)
y¢ = y + Dy.
(17)
Таким образом, изображение сетки с учетом влияния дисторсии, описанной с помощью коэффициентов полиномов Цернике, форми-
Dx1′ Dy1′
–r
y′
r
Dx2′
Dy2′
x′ r
–r
Рис. 2. Моделируемые смещения узлов сетки.
руется по вершинам сетки с учетом смещения координат вершин, вызванных влиянием дисторсии (рис. 2). Полученные коэффициенты разложения можно использовать для описания реальной, полученной по результатам экспериментальных измерений, дисторсии.
Смоделированные с помощью полиномов Цернике картины дисторсии полностью соответствуют картинам дисторсии, полученным М.М. Русиновым [2] при разложении дисторсии по степенным коэффициентам.
Одновременное влияние коэффициентов разложения Cx11 и Sy11 приводит к появлению так называемой нецентрированной дисторсии первого порядка (рис. 3а), Sx11 и Cy11 –
(а) (б) (в)
(г) (д) “Оптический журнал”, 79, 5, 2012
Рис. 3. Моделируемые картины дисторсии. а – нецентрированная, б – анаморфированная, в – параболическая, г – перспективная, д – полубочкообразная.
55
к анаморфированной дисторсии первого порядка (рис. 3б), Cy20, Cy00 и Cy22 – к параболической дисторсии второго порядка (рис. 3в), Sy22 – к перспективной дисторсии также второго порядка (рис. 3г), Cy11 и Cy31 – к полуподушко- или бочкообразной (в зависимости от знаков коэффициентов) дисторсии третьего порядка (рис. 3д). Таким образом, предлагаемая методика позволяет смоделировать практически все основные и встречающиеся на практике варианты фотограмметрической дисторсии.
Использование полиномов Цернике в данной работе позволило не только разделить направления децентрировок, но и упростить процедуру анализа и последующей коррекции ошибок сборки и изготовления оптических систем.
Работа выполнена в рамках сотрудничества кафедры прикладной и компьютерной оптики СПбГУИТМО с НПО “Планар” (г. Минск, Республика Беларусь), “Сarl Zeiss” (Оберкохен, Германия), LG (г. Сеул, Ю. Корея).
* * * * *
ЛИТЕРАТУРА
1. Flagello D. Towards a comprehensive control of full-field image quality in optical lithography // Proc. SPIE. 1997. V. 3051. P. 672–685.
2. Русинов М.М. Инженерная фотограмметрия. М.: Недра, 1966. 248 с.
3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 856 с.
56 “Оптический журнал”, 79, 5, 2012
РАЗЛОЖЕНИЕ ФОТОГРАММЕТРИЧЕСКОЙ ДИСТОРСИИ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ ЦЕРНИКЕ
© 2012 г. К. В. Ежова, канд. техн. наук Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
Е-mail: ezhovakv@aco.ifmo.ru
Предложены модель фотограмметрической дисторсии и математический аппарат ее определения по измеренным величинам поперечных аберраций. Приведено описание рассмотренной дисторсии с помощью ортогональных полиномов Цернике.
Ключевые слова: фотограмметрическая дисторсия, полиномы Цернике, поперечные аберрации.
Коды OCIS: 080.0080, 220.0220, 110.0110.
Поступила в редакцию 16.11.2011.
Введение
В последние годы в результате усложнения технологий производства, использующего принципы фотолитографии, ужесточились требования к качеству оптических систем проекционных объективов, которые применяются при производстве больших по площади схем с оединений, используемых в устройствах современной электроники. Особенностью систем такого класса являются требования по обеспечению высокоточного преобразования не только тонкой структуры объекта, но и всей его геометрии. Такие системы должны быть скорректированы на минимизацию зональных аберраций для отдельных точек поля зрения, обладать минимальными аберрациями по всему полю зрения и высоким уровнем коррекции полевых аберраций, в том числе дисторсии. Очевидно, что все это повышает требования к качеству сборки и юстировки подобных устройств [1].
Исследование и анализ дисторсии в зависимости от параметров оптической системы при наличии ошибок изготовления и сборки обусловлены тем, что дисторсия является хорошим индикатором наличия не симметричных ошибок в оптической системе. В статье рассматривается моделирование фотограмметрической дисторсии, т. е. дисторсии, которая не содержит ошибки увеличения [2]. Такая дисторсия представляет большой интерес на эта-
пах сборки и юстировки оптических систем, поскольку позволяет на основе измерения ее величины сделать вывод о качестве оптической системы и определить ошибки ее сборки.
Использование полиномов Цернике для анализа фотограмметрической
дисторсии
При первичной обработке данных измерения поперечных аберраций обычно производится операция центрирования измеренных координат изображений центров марок, нанесенных на тест-объект, xi′ и y′i, и координат самих центров марок на тест-объекте xi и yi, в соответствии с выражениями (1–4)
åN
x0¢i = xi¢- xj¢/N,
j=1
(1)
åN
y0¢i = yi¢- yj¢/N,
j=1
(2)
åN
x0i = xi - xj/N,
j=1
(3)
åN
y0i = yi - yj /N.
j=1
(4)
Далее по формулам (5) и (6) можно определить значения дисторсии
Dxi¢= (NA¢/l)(x0¢i - V0x0i ),
(5)
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
53
Dyi¢= (NA¢/l)(y0¢i - V0y0i ).
(6)
Таким образом, получаются составляющие дисторсии по выбранным при измерении двум координатным осям. Однако эти составляющие суммируют в себе расчетную дисторсию, дисторсию, вызванную разными типами погрешностей изготовления и сборки деталей объектива и погрешности измерений, что не позволяет их использовать непосредственно для аттестации и юстировки.
Полученные после измерений составляющие дисторсии можно рассматривать в качестве поперечных аберраций [3], т. е. в качестве частных производных волновой аберрации, как представлено в выражениях
Dx¢ = (-l/NA)(∂W/∂rx ),
(7)
Dy¢= (-l/NA)(∂W/∂ry ).
(8)
Для математического моделирования фотограмметрической дисторсии, возникающей в результате децентрировок при сборке оптических систем, возможно применение математического моделирования такой дисторсии с помощью косинусных и синусных ортогональных полиномов Цернике, которые и формируют разложение фотограмметрической дисторсии.
Моделирование фотограмметрической дисторсии
Для учета влияния дисторсии на изображение необходимо установить в поле зрения задающего коллиматора симметричную квадратную сетку с определенным, заранее заданным, числом ячеек. В этом случае при отсутствии дисторсии получаем изображение, аналогичное полю зрения, если дисторсия присутствует,
то сетка искажается (рис. 1). По характеру
и численным параметрам искажения можно
определить, какими коэффициентами вызвана
дисторсия. Для разработки методов определе-
ния искомых коэффициентов первичного раз-
ложения дисторсии необходимо решить обрат-
ную задачу – создать искажение сетки путем
смещения ее вершин от их номинального поло-
жения в поле зрения.
Для каждой точки поля зрения в каждом
сечении сформирован общий вектор полино-
мов, где отдельно записывается вектор (9) ко-
синусных и вектор (10) синусных полиномов
Цернике
( )PCi = PCi00,, PCimn ,
(9)
( )PSi = PSi11,, PSimn .
(10)
Поле зрения в таком случае описывается матрицей полиномов
çççççèçççæçççPPP000
(sx1 ,sy1 (sx2 ,sy2 (sx3 ,sy3
...
) ) )
P1(sx1 ,sy1 ) P1(sx2 ,sy2 ) P1(sx3 ,sy3 )
...
............öø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷,
(11)
по столбцам которой располагаются косинусные и синусные полиномы, по строкам – точки.
При перемножении матрицы полиномов на вектор заданных заранее коэффициентов полиномов Цернике получаем смещение каждой точки поля, относительно номинального положения. Для наглядности задаем коэффициент масштабирования kSC. Исходя из параметров анализируемой оптической системы фотолитографического объектива, принимаем рабочую длину волны l = 365 нм, значение числовой апертуры NA = 0,6. В результате получаем в ектор, описывающий искажение квадратной сетки, вписанной в окружность, которая пред-
(а) 1 sy 1 2 34
(б) 1 sy
–1
–1 54
sx 1
–1
sx 1
Рис. 1. Поле зрения колли-
матора. а – сетка в тестовом
коллиматоре, б – возможное
–1
изображение сетки при наличии дисторсии.
“Оптический журнал”, 79, 5, 2012
ставляет поле зрения, в зависимости от выбранного направления искажения или сечения (по оси x или y).
Математически это можно описать выражениями (12) и (13), где CSx – вектор косинусных и синусных коэффициентов по оси x; CSy – вектор косинусных и синусных коэффициентов по оси y
DX¢= (l/NA)kSCPxCSx,
(12)
DY¢ = (l/NA)kSCPyCSy.
(13)
В этом случае смещение по оси x для каждой точки изображения описывается вектором (14), смещение по оси y – вектором (15)
DX¢T = (Dx1¢ Dx2¢ ),
(14)
DY¢T = (Dy1¢ Dy2¢ ).
(15)
Полученные смещения представляют собой смоделированную поперечную аберрацию, вызванную фотограмметрической дисторсией. Координаты каждой точки на изображении определяются в соответствии с формулами
x¢ = x + Dx,
(16)
y¢ = y + Dy.
(17)
Таким образом, изображение сетки с учетом влияния дисторсии, описанной с помощью коэффициентов полиномов Цернике, форми-
Dx1′ Dy1′
–r
y′
r
Dx2′
Dy2′
x′ r
–r
Рис. 2. Моделируемые смещения узлов сетки.
руется по вершинам сетки с учетом смещения координат вершин, вызванных влиянием дисторсии (рис. 2). Полученные коэффициенты разложения можно использовать для описания реальной, полученной по результатам экспериментальных измерений, дисторсии.
Смоделированные с помощью полиномов Цернике картины дисторсии полностью соответствуют картинам дисторсии, полученным М.М. Русиновым [2] при разложении дисторсии по степенным коэффициентам.
Одновременное влияние коэффициентов разложения Cx11 и Sy11 приводит к появлению так называемой нецентрированной дисторсии первого порядка (рис. 3а), Sx11 и Cy11 –
(а) (б) (в)
(г) (д) “Оптический журнал”, 79, 5, 2012
Рис. 3. Моделируемые картины дисторсии. а – нецентрированная, б – анаморфированная, в – параболическая, г – перспективная, д – полубочкообразная.
55
к анаморфированной дисторсии первого порядка (рис. 3б), Cy20, Cy00 и Cy22 – к параболической дисторсии второго порядка (рис. 3в), Sy22 – к перспективной дисторсии также второго порядка (рис. 3г), Cy11 и Cy31 – к полуподушко- или бочкообразной (в зависимости от знаков коэффициентов) дисторсии третьего порядка (рис. 3д). Таким образом, предлагаемая методика позволяет смоделировать практически все основные и встречающиеся на практике варианты фотограмметрической дисторсии.
Использование полиномов Цернике в данной работе позволило не только разделить направления децентрировок, но и упростить процедуру анализа и последующей коррекции ошибок сборки и изготовления оптических систем.
Работа выполнена в рамках сотрудничества кафедры прикладной и компьютерной оптики СПбГУИТМО с НПО “Планар” (г. Минск, Республика Беларусь), “Сarl Zeiss” (Оберкохен, Германия), LG (г. Сеул, Ю. Корея).
* * * * *
ЛИТЕРАТУРА
1. Flagello D. Towards a comprehensive control of full-field image quality in optical lithography // Proc. SPIE. 1997. V. 3051. P. 672–685.
2. Русинов М.М. Инженерная фотограмметрия. М.: Недра, 1966. 248 с.
3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 856 с.
56 “Оптический журнал”, 79, 5, 2012