Варианты композиции высокоапертурного зеркального объектива компактной конструкции
РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 535.318
ВАРИАНТЫ КОМПОЗИЦИИ ВЫСОКОАПЕРТУРНОГО ЗЕРКАЛЬНОГО ОБЪЕКТИВА КОМПАКТНОЙ КОНСТРУКЦИИ
© 2012 г.
В. А. Зверев, доктор техн. наук; Ю. А. Подгорных
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: julijapdg@gmail.com
Показано, что применение афокальной системы Мерсенна, обладающей известными анаберрационными свойствами, позволяет построить ряд компактных зеркальных и зеркально-линзовых систем, обладающих апланатической, анастигматической и плананастигматической коррекцией аберраций образованного изображения, при этом длина системы примерно в четыре раза меньше диаметра ее входного зрачка.
Ключевые слова: отражающая поверхность, афокальная система, апланатическая коррекция аберраций, линзовый компенсатор.
Коды OCIS: 200.0200, 220.0220.
Поступила в редакцию 22.02.2012.
Габариты оптической системы определяются диаметром входного зрачка и расстоянием от ее первой поверхности до плоскости изображения, т. е. длиной системы. Длина системы определяется ее конструкцией. Рассмотрим варианты композиции компактной зеркальной системы на основе свойств отражающей поверхности, принятой в качестве базовой, имеющей форму параболоида вращения.
Предположим, что на поверхность параболоида падает луч, параллельный его оси, на расстоянии r от нее. Поверхность параболоида определим уравнением вида
r2 = 2r0z,
(1)
где r2 = x2 + y2, r0 – радиус кривизны поверхности параболоида в его осевой точке. Продиф-
ференцировав уравнение (1), получаем
tgj
=
dz dr
=
r r0
,
(2)
где j – угол, образованный нормалью к поверх-
ности параболоида в точке падения луча с его
оптической осью. В рассматриваемом случае s′ = 2j. Тогда f′ = r/sin2j = r0/(2cos2(s′/2)). При этом lim(s′ → 0) f′ = f0′ = r0/2.
Соблюдение условия синусов определяется соотношением r0 = f0′ sins′. В предельном случае, т. е. при s′ → p/2, имеем r0 = f0′. В результате получаем, что при соблюдении условия синусов предельное значение диафрагменного числа F = –0,5. В рассматриваемом случае из-за отступления от условия синусов, что эквивалентно дисторсии во входном зрачке, при s′ = –p/2 высота луча r1 = r0tgj = –r0. При этом диафрагменное число параболоида F = –0,25. Пусть высота падения луча на п ервую отражающую поверхность в соответствии с формулой (2) равна r1 = r01tgj1. Дополним эту отражающую поверхность второй, образовав известную афокальную систему Мерсенна. Высота луча, отраженного добавленной поверхностью, составляет r2 = r02tgj2. Заметим, что в афокальной системе угол s1′ = s2 и, соответственно, j1 = j2. При этом угловое увеличение изображения, образованного афокальной системой, определяется как
G
=
r1 r2
=
r01 r02
=
const.
(3)
Отсюда следует, что в афокальной системе из
двух отражающих параболоидов вращения
46 “Оптический журнал”, 79, 9, 2012
строго отсутствует отступление от условия синусов в пределах всей входной апертуры и не только при |s′| ≤ p/2, но и при |s′| > p/2. При s′ = –p/2 координата r = –r0 = –2f0′ , а координата z = r0/2 = f0′ . Известно [1], что при входном зрачке, расположенном в геометрическом фокусе отражающей поверхности второго порядка, независимо от расстояния до предмета, в сформированном изображении отсутствует аберрация астигматизма. В рассматриваемой системе при s′ = –p/2 роль апертурной диафрагмы и входного зрачка может выполнять наружная граница отражающей поверхности первого (главного) зеркала. При этом сформированное изображение будет свободно от с ферической аберрации, комы и астигматизма.
Если предположить, что отраженный вторичным зеркалом параллельный пучок лучей снова отражается от поверхности главного зеркала, как показано на рис. 1а, то все лучи пучка соберутся в осевой точке фокальной плоскости (в фокусе) главного зеркала, а следовательно, и всей системы в целом. В результате получим оптическую систему объектива [2], номинальное значение фокусного расстояния f′0 которого определяется соотношением вида
f0¢
=
Gf0¢1
=
1 2
Gr01.
(4)
Найдем значение фокусного расстояния системы по ходу крайнего луча.
Высота крайнего луча осевого пучка лучей, отраженного вторичным зеркалом, равна r′ = r/G = r01tgj3 = r01tg(s′/2). Отсюда находим, что при s1′ = p/2
и тогда
sins¢
=
1
2G + G2
f
¢=
r sins¢
=
r01
1
+ G2 2G
.
При этом отступление от условия
можно определить как
(5)
(6) синусов
h
=
f
¢- f0¢ f0¢
=
1 G2
.
(7)
Таким же отступлением условия синусов об-
ладает отражающая поверхность параболоида
вращения при том же диаметре входного зрач-
ка D = 2r01 и при том же фокусном расстоянии f0′ p = f0′ .
Пецвалева поверхность изображения имеет
форму параболоида вращения, радиус кривиз-
ны в осевой точке которого R′ = –1/(n′SIV), где
(а)
N1
(б)
N1
A
D/2
N2 F′
O2
–p′ –sF′ ′
N3 O1
D/2 F′
N2
N4
F′
O2 –p′
A
–sF′ ′
N3 N5 O1
Рис. 1. Варианты композиции объектива на основе применения афокальной системы Мер-
сенна.
åSIV =
i=k i=1
ni+1 -ni ni+1niri
.
В случае рассматриваемой системы
SIV
=
2
2-G r01
.
(8)
Если оптическая система представлена в виде отражающего параболоида, коэффициент SIV = = 2/r0p, где r0p – радиус кривизны параболоида в осевой точке. Из сопоставления выражений, определяющих коэффициент SIV, следует, что кривизна поверхности изображения в этом случае меньше в G(2 – G) раз. Однако важно отметить, что длина рассматриваемой системы в G раз короче и равна L = r01/2.
Итак, в рассматриваемой конструкции оптической системы достигается наибольший эффект укорочения системы: при диаметре входного зрачка (при s′ = ±p/2), в четыре раза превышающем абсолютную величину фокусного расстояния главного зеркала, длина системы равна фокусному расстоянию этого зеркала. При диаметре входного зрачка (главного зеркала), равном D, диаметр выходного зрачка (вторичного зеркала)
D¢ = D. G
(9)
При этом диаметр отверстия в зеркале по ходу осевого пучка лучей
D0¢
=
D G2
.
(10)
Расстояние от вершины выпуклого зеркала до плоскости изображения (до фокальной плоскости каждой из поверхностей и всей системы в целом) определяет рабочий отрезок, равный
“Оптический журнал”, 79, 9, 2012
47
sp
=
-f0¢2
=
r01 2G
.
(11)
Очевидно, что при телецентрическом ходе главных лучей в пространстве изображений лучи внеосевых пучков будут “срезаться” на этом отверстии. Для того чтобы этого не было, диаметр отверстия должен быть равным
D0¢ = D0¢ + 2l¢,
(12)
где l′ – линейная величина изображения. Од-
нако в этом случае крайний луч осевого пучка,
минуя вторичное зеркало, падает на поверх-
ность главного зеркала, после отражения от
которой приходит в осевую точку изображе-
ния, как это показано на рис. 2, т. е. будет на-
блюдаться засветка “паразитным” светом не
только осевой точки, но и всей поверхности
изображения. Важно обратить внимание на то,
что изображение, образованное “паразитными”
лучами света, будет достаточно резким и на-
ложенным на основное изображение. Поэтому
необходимо полностью исключить попадание
такого света на основное изображение. Эту за-
дачу будем решать, используя соотношения
параксиальной оптики. Для этого отражающие
поверхности заменим их главными плоскостя-
ми, т. е. прогибом поверхностей в точках A′, N0 и N будем пренебрегать.
Лучи, падающие в осевую и крайнюю точ-
ки изображения, пересекаются границе отверстия D~ ′0, которую
в точке А′ на можно считать
изображением точки пересечения падающих
на отражающую поверхность главного зерка-
ла лучей в точки N0 и N. Из рисунка следует, что точка А должна лежать на продолжении
параллельного оптической оси луча, падаю-
щего в точку N0 на расстоянии Н0 от оси. Для определения положения точки А применим из-
вестную формулу Аббе: n′/s′ – n/s = (n′ – n)/r,
1 2
dD′
N N0
a
A
1 2
D′
F1′ l′ F2
A′
–f02
O2 A0′
–f0′ 1
h –d
O1 s
H H0 A0
Рис. 2. Решение задачи устранения засветки изображения.
которая в случае отражающей поверхности принимает вид
1 s¢
+
1 s
=
2r .
(13)
Расстояние от вершины главного зеркала до плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно оптической оси, будем считать равным s. В соответствии с формулой (13) отрезок может быть определен как
s
=
s¢r 2s¢ - r
.
(14)
В рассматриваемом случае s′ = d, а r = r01. Т огда s = dr01/(2d – r01). Но
при этом
d
=
1 2
(r01
-
r02
)
=
G -1 2G
r01,
(15)
s
=
-
G
-1 2
r01.
(16)
Из рисунка следует, что для исключения попадания “паразитного” света на поверхность изображения необходим экран в плоскости входного зрачка в виде кольцевой диафрагмы, ширина которой равна dD′/2. Согласно рисунку отрезок dD′/2 равен
1 2
dD
¢=
H0
-
1 2
D
¢
+
(s
-
f0¢1
)tga,
(17)
где tga = (H – H0)/s. Применив соотношение (16) и учитывая, что 2f0′ 1 = r01, выражение (17) преобразуем к виду
D¢
+
dD¢=
2
GH G
- H0 -1
.
(18)
Отрезок Н0 находим из отношения сторон в подобных треугольниках – H0/h = f′01/f′02 = Γ. Отсюда следует, что
H0 = Gh.
(19)
Аналогично находим соотношение (H – H0)/l′ = = d/f02. Отсюда, используя соотношения (15) и (19), определяем отрезок
H = Gh + (G -1)l¢.
(20)
Подставив соотношения (19) и (20) в выражение (18), получаем
D¢ + dD¢= 2G(h + l¢).
(21)
Срезание внеосевых пучков лучей отсутствует, если h = D0′/2 + l′. В этом случае
48 “Оптический журнал”, 79, 9, 2012
D¢ + dD¢= G(D0¢ + 4l¢).
(22)
В общем случае 2l′ = k′D0′ , где k′ ≥ 0. Тогда
D¢
+
dD
¢
=
G(1
+
2k¢)D0¢
=
1
+ 2k¢ G
D.
(23)
При этом коэффициент экранирования зрачка
по диаметру составит
ký
=
1
+ 2k¢ G
.
(24)
Пусть, например, диаметр главного зеркала D = 5000 мм. Тогда при G = 20× фокусное расстояние f0′ 1 = –1250 мм, f0′ 2 = 62,5 мм, f0′ = Gf0′ 1 = –25 000 мм. Применив формулы (9) и (10), получаем D′ = 250 мм, D0′ = 12,5 мм. При 2l′ = D0′ , т. е. при k′ = 1, коэффициент kэ = 0,15. В соответствии с формулой (12) “срезание” вне-
осевых пучков лучей отсутствует при диаметре
отверстия в выпуклом зеркале, равном
D0¢ = (1+ k¢)D0¢ = 2D0¢ = 25 ìì.
Коэффициент пецвалевой кривизны поверхности изображения в соответствии с формулой (8) равен SIV = 0,0144 мм–1. Угловое поле изображаемого рассматриваемой оптической системой пространства предметов ограничивается допустимой величиной комы изображения. При допустимом значении комы, в волновой мере равном W ≤ 0,6l [3, 4], где l = lе, линейная величина изображения составляет 2l′ ≤ 2,5 мм, что соответствует угловому полю 2w ≤ 21′′. Для компенсации остаточной комы изображения применим квазиафокальный двухлинзовый компенсатор [5], передняя узловая точка которого расположена в осевой точке изображения. В результате оптимизации по критерию качества изображения получаем компенсатор, конструктивные параметры которого представлены в табл. 1. Первая поверхность компенсатора находится на расстоянии p′ = –62,5 мм от осевой точки выпуклого зерка
ла. В результате этого угловое поле, удовлетворяющее вышеприведенному критерию качества, удалось увеличить до значений 2w ≤ 30′′. На сферической поверхности, радиус кривизны которой R = 30 мм, угловое поле 2w ≤ 1′.
Очевидным недостатком рассматриваемой системы является весьма малое расстояние от вершины вторичного зеркала до плоскости изображения. Задачу увеличения этого расстояния можно решить путем применения двойного хода лучей в афокальной системе, как показано на рис. 1б. Угловое увеличение изображения, образованного афокальной системой при каждом проходе лучей, равно
Gi = -f0¢1/f0¢2 = G0 ,
(25)
где f0′ 1 = D/4, f0′ 2 = –1/Gif0′ 1, D – диаметр главного зеркала. При этом диаметр вторичного зеркала по ходу осевого пучка лучей
D¢= D/Gi,
(26)
а диаметр отверстия во вторичном зеркале, со-
ответственно, равен
D0¢ = D/G3i .
(27)
Для исключения засветки изображения не-
обходим экран в плоскости входного зрачка
(в плоскости апертурной диафрагмы). Как и в
предыдущем случае, находим, что
D
¢
+
dD¢
=
èçççæç1
+
2k¢
-
k¢ G20
÷÷÷÷øö
D. G0
(28)
При этом коэффициент центрального экранирования зрачка по диаметру
ký
=
D¢+ dD¢ D
£
1+ 2k¢ G0
.
(29)
Пусть, как и в предыдущем примере, D = 5000 мм. Тогда при G0 = 20× фокусное расстояние f0′ 1 = D/4 = –1250 мм. Однако фокусное расстояние вторичного зеркала
Таблица 1. Конструктивные параметры оптической системы компенсатора
№ пов.
Радиус, мм
Толщина, возд. пром., мм
Среда
Показатель преломл.
Воздух
1,000000
1 –48,220
5,00
ТК8
1,616754
2 306,680
2,00
Воздух
1,000000
3 302,810
3,00
ТК8
1,616754
4 –47,410
Воздух
1,000000
Световой диаметр, мм
19,8 20,0 20,2 20,3
“Оптический журнал”, 79, 9, 2012
49
f0¢2
=
-
1 Gi
f0¢1
=
-
1 G0
f0¢1 = -223,6
ìì.
Диаметр вторичного зеркала по ходу осевого
пучка лучей
D¢ = D = D = 894,4 ìì, Gi G0
а диаметр отверстия в зеркале
D0¢
=
D G0 G0
= 44,72
ìì.
И в этом случае линейную величину изобра
жения будем считать равной 2l′ = 5 мм, что соответствует коэффициенту k′ = 0,112. При этом коэффициент экранирования kэ = 0,274. Если удвоить величину изображения, приняв
2l′ = 10 мм, то коэффициент k′ = 0,224, а коэф фициент kэ = 0,324, что вполне приемлемо. В изображении, образованном рассматриваемой
оптической системой, отсутствуют сферическая
аберрация и астигматизм, но линейная величи-
на изображения, ограничиваемая допустимой
величиной остаточной комы, равна всего лишь
2l′ = 2,4 мм. Однако в рассматриваемой оптической системе рабочий отрезок, равный фокус-
ному расстоянию выпуклого зеркала, увеличен
по сравнению с отрезком в исходной системе
в G0 раз и в приведенном примере равен f0′2 = = –223,6 мм, что естественным образом повыша-
ет эффективность применения двухлинзового ква-
зиафокального компенсатора остаточной комы.
В результате оптимизации по критерию качества изображения получаем компенсатор, конструктивные параметры которого представлены в табл. 2. Первая поверхность компенсатора расположена на расстоянии p′ = –223,6 мм от осевой точки выпуклого зеркала. В результате этого угловое поле стало равным 2w ≤ 54′′. На сферической поверхности, радиус кривизны которой R = 105 мм, при том же качестве изображения угловое поле 2w ≤ 2′.
Рассмотрим возможные варианты построения зеркальной оптической системы путем дополнения компактной афокальной системы Мерсенна системой отражающих поверхностей несферической формы. Волновые аберрации в каждой точке изображения, образованного оптической системой, представляющей собой сочетание афокальной системы с двухзеркальной системой Ричи–Кретьена, практически не превышают критерия Рэлея (порядка l/4) в пределах углового поля 2w ≤ 30′′. На сферической поверхности, радиус кривизны которой R = –32,6 мм, при том же качестве изображения угловое поле 2w ≤ 1′. Заменив двухзеркальную систему трехзеркальной с промежуточным изображением после второй отражающей поверхности, получим оптическую систему, конструктивные параметры которой приведены в табл. 3.
Уравнения несферических поверхностей системы:
Таблица 2. Конструктивные параметры оптической системы компенсатора № пов. Радиус, мм Толщина, возд. пром., мм Среда Показатель преломл. Световой диаметр, мм
Воздух
1,00000
1 –192,460 2 2088,549
20,00 5,00
ТК8 Воздух
1,616754 1,000000
68,8 69,2
3 2119,814 4 –190,779
10,00
ТК8 Воздух
1,616754 1,000000
69,4 69,5
Таблица 3. Конструктивные параметры оптической системы объектива
№ пов. Радиус, мм Толщина, возд. пром., мм Среда Показатель преломл. Световой диаметр, мм
Воздух
1,000000
А1 –2500,000 А2 –125,000 А3 –726,663 А4 –257,738 А5 –400,000
–1187,50 1250,00 –309,38 392,81
Воздух Воздух Воздух Воздух Воздух
–1,000000 1,000000
–1,000000 1,000000
–1,000000
5000,5 250,6 256,8 40,1 124,3
50 “Оптический журнал”, 79, 9, 2012
Таблица 4. Остаточные аберрации изображения при R = 65,9 мм (l = 0,54607 мкм)
S0
Z0 –1250
Z′0(0) –268,9
S′0(0) –600,0
F′(0) 25002
VЗР(0) –0,0132
MU = 0
H
ДS′(0)
TGC′
Y′(0)
W(0)
2499
0,0218
0,100
0,00219
–0,250
2164
0,0262
0,0869
0,00228
–0,195
1767
0,0286
0,0709
0,00203
–0,131
1250
0,0290
0,0500
0,00145
–0,0648
1249
–0,0659
0,0506
–0,0015
0,0593
MU
TGC′
Y′(0)
ДИС
Z′M
Z′S
0,622–3
–0,0469
–15,5
0,00859
0,0295
0,0219
0,880–3
–0,0662
–21,7
0,0240
–0,0297
–0,0218
MU
H
TGC′
ДTGC′
ДY′
W(0)
0,880–3
2498
0,0369
0,103
–0,0080
0,428
2163
0,0229
0,0892
–0,0050
0,266
1766
0,00639
0,0726
–0,0029
0,149
1249
–0,0150
0,0512
–0,0015
0,0656
–1249
–0,117
–0,0509
0,00196
0,0857
–1766
–0,138
–0,0720
0,00299
0,183
–2163
–0,154
–0,0882
0,00383
0,285
–2498
–0,168
–0,102
0,00458
0,392
MU
M
TGC′
TGD′
ДX′
W(0)
0,880–3
2498
–0,0649
0,102
–0,0064
0,375
2163
–0,0652
0,0879
–0,0044
0,242
1766
–0,0656
0,0717
–0,0028
0,138
1249
–0,0659
0,0506
–0,0015
0,0593
S′A –600,0 ЭTA % –0,0155 –0,0122 –0,0085 –0,0045 –0,00015 Z′M–Z′S 0,00765 –0,00790
ДY′ –0,0011 –0,00071 –0,00038 –0,00015
А1: r2 = –5000z;
А2: r2 = –250z;
A3: r2 = –1453,325z – 0,0916944542z2;
А4: r2 = –515,475z – 9,0678022z2;
A5: r2 = –800z – 0,7448939z2. Угловое поле изображаемого полученной системой пространства при достаточно хорошей коррекции сферической аберрации, комы и астигматизма не превышает 2w ≤ 50′′. На сферической поверхности, радиус которой R = 65,9 мм, угловое поле 2w ≤ 6′. При этом остаточные аберрации изображения приведены в табл. 4.
Из анализа состояния коррекции аберраций изображения, образованного рассматриваемой оптической системой, следует, что угловая величина изображаемого пространства ограничивается прежде всего кривизной поверхности изображения. Для компенсации кривизны поверхности изображения можно применить линзу Смита [5]. Можно попытаться применить схемное решение этой задачи, для чего афокальную систему дополним трехзеркальной
системой, оптическая схема которой представлена на рис. 3. Первые две отражающие поверхности образуют телескопическую систему кеплеровского типа. Для решения поставленной задачи абсолютная величина диафрагмен-
F′ З2
З1
З3
Рис. 3. Вариант композиции объектива из трех отражающих поверхностей.
“Оптический журнал”, 79, 9, 2012
51
ного числа первого зеркала должна удовлетворять условию |F| ≤ 1. Это условие определяет высокую светосилу дополнительной трехзеркальной системы и, соответственно, оптической системы рассматриваемого объектива в целом, что превращает процесс коррекции аберраций широкого пучка лучей в достаточно серьезную проблему.
Рассмотренные варианты оптических систем позволяют сделать вывод, что конструк-
тивное решение задачи построения компактной оптической системы объектива, диаметр которого примерно в четыре раза превышает его длину, вполне возможно. Важно отметить, что при использовании объектива для работы в более длинноволновом диапазоне излучения снижаются требования к коррекции аберраций образованного изображения и, соответственно, повышается технологичность изготовления объектива.
* * * * *
ЛИТЕРАТУРА
1. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике. М.: Недра, 1973. 206 с. 2. Чуриловский В.Н. О новом типе астрономического зеркального объектива, основанного на системе Мерсен-
на // Сб. статей “Оптическое приборостроение”. М.–Л.: ЛИТМО, 1958. В. 27. С. 11–31. 3. Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображения. Пер. с франц. М.: Мир, 1964. 295 с. 4. Сокольский М.Н. Допуски и качество оптического изображения. Л.: Машиностроение, 1989. 221 с. 5. Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. Л.: Машиностроение, 1968. 312 с.
52 “Оптический журнал”, 79, 9, 2012
УДК 535.318
ВАРИАНТЫ КОМПОЗИЦИИ ВЫСОКОАПЕРТУРНОГО ЗЕРКАЛЬНОГО ОБЪЕКТИВА КОМПАКТНОЙ КОНСТРУКЦИИ
© 2012 г.
В. А. Зверев, доктор техн. наук; Ю. А. Подгорных
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: julijapdg@gmail.com
Показано, что применение афокальной системы Мерсенна, обладающей известными анаберрационными свойствами, позволяет построить ряд компактных зеркальных и зеркально-линзовых систем, обладающих апланатической, анастигматической и плананастигматической коррекцией аберраций образованного изображения, при этом длина системы примерно в четыре раза меньше диаметра ее входного зрачка.
Ключевые слова: отражающая поверхность, афокальная система, апланатическая коррекция аберраций, линзовый компенсатор.
Коды OCIS: 200.0200, 220.0220.
Поступила в редакцию 22.02.2012.
Габариты оптической системы определяются диаметром входного зрачка и расстоянием от ее первой поверхности до плоскости изображения, т. е. длиной системы. Длина системы определяется ее конструкцией. Рассмотрим варианты композиции компактной зеркальной системы на основе свойств отражающей поверхности, принятой в качестве базовой, имеющей форму параболоида вращения.
Предположим, что на поверхность параболоида падает луч, параллельный его оси, на расстоянии r от нее. Поверхность параболоида определим уравнением вида
r2 = 2r0z,
(1)
где r2 = x2 + y2, r0 – радиус кривизны поверхности параболоида в его осевой точке. Продиф-
ференцировав уравнение (1), получаем
tgj
=
dz dr
=
r r0
,
(2)
где j – угол, образованный нормалью к поверх-
ности параболоида в точке падения луча с его
оптической осью. В рассматриваемом случае s′ = 2j. Тогда f′ = r/sin2j = r0/(2cos2(s′/2)). При этом lim(s′ → 0) f′ = f0′ = r0/2.
Соблюдение условия синусов определяется соотношением r0 = f0′ sins′. В предельном случае, т. е. при s′ → p/2, имеем r0 = f0′. В результате получаем, что при соблюдении условия синусов предельное значение диафрагменного числа F = –0,5. В рассматриваемом случае из-за отступления от условия синусов, что эквивалентно дисторсии во входном зрачке, при s′ = –p/2 высота луча r1 = r0tgj = –r0. При этом диафрагменное число параболоида F = –0,25. Пусть высота падения луча на п ервую отражающую поверхность в соответствии с формулой (2) равна r1 = r01tgj1. Дополним эту отражающую поверхность второй, образовав известную афокальную систему Мерсенна. Высота луча, отраженного добавленной поверхностью, составляет r2 = r02tgj2. Заметим, что в афокальной системе угол s1′ = s2 и, соответственно, j1 = j2. При этом угловое увеличение изображения, образованного афокальной системой, определяется как
G
=
r1 r2
=
r01 r02
=
const.
(3)
Отсюда следует, что в афокальной системе из
двух отражающих параболоидов вращения
46 “Оптический журнал”, 79, 9, 2012
строго отсутствует отступление от условия синусов в пределах всей входной апертуры и не только при |s′| ≤ p/2, но и при |s′| > p/2. При s′ = –p/2 координата r = –r0 = –2f0′ , а координата z = r0/2 = f0′ . Известно [1], что при входном зрачке, расположенном в геометрическом фокусе отражающей поверхности второго порядка, независимо от расстояния до предмета, в сформированном изображении отсутствует аберрация астигматизма. В рассматриваемой системе при s′ = –p/2 роль апертурной диафрагмы и входного зрачка может выполнять наружная граница отражающей поверхности первого (главного) зеркала. При этом сформированное изображение будет свободно от с ферической аберрации, комы и астигматизма.
Если предположить, что отраженный вторичным зеркалом параллельный пучок лучей снова отражается от поверхности главного зеркала, как показано на рис. 1а, то все лучи пучка соберутся в осевой точке фокальной плоскости (в фокусе) главного зеркала, а следовательно, и всей системы в целом. В результате получим оптическую систему объектива [2], номинальное значение фокусного расстояния f′0 которого определяется соотношением вида
f0¢
=
Gf0¢1
=
1 2
Gr01.
(4)
Найдем значение фокусного расстояния системы по ходу крайнего луча.
Высота крайнего луча осевого пучка лучей, отраженного вторичным зеркалом, равна r′ = r/G = r01tgj3 = r01tg(s′/2). Отсюда находим, что при s1′ = p/2
и тогда
sins¢
=
1
2G + G2
f
¢=
r sins¢
=
r01
1
+ G2 2G
.
При этом отступление от условия
можно определить как
(5)
(6) синусов
h
=
f
¢- f0¢ f0¢
=
1 G2
.
(7)
Таким же отступлением условия синусов об-
ладает отражающая поверхность параболоида
вращения при том же диаметре входного зрач-
ка D = 2r01 и при том же фокусном расстоянии f0′ p = f0′ .
Пецвалева поверхность изображения имеет
форму параболоида вращения, радиус кривиз-
ны в осевой точке которого R′ = –1/(n′SIV), где
(а)
N1
(б)
N1
A
D/2
N2 F′
O2
–p′ –sF′ ′
N3 O1
D/2 F′
N2
N4
F′
O2 –p′
A
–sF′ ′
N3 N5 O1
Рис. 1. Варианты композиции объектива на основе применения афокальной системы Мер-
сенна.
åSIV =
i=k i=1
ni+1 -ni ni+1niri
.
В случае рассматриваемой системы
SIV
=
2
2-G r01
.
(8)
Если оптическая система представлена в виде отражающего параболоида, коэффициент SIV = = 2/r0p, где r0p – радиус кривизны параболоида в осевой точке. Из сопоставления выражений, определяющих коэффициент SIV, следует, что кривизна поверхности изображения в этом случае меньше в G(2 – G) раз. Однако важно отметить, что длина рассматриваемой системы в G раз короче и равна L = r01/2.
Итак, в рассматриваемой конструкции оптической системы достигается наибольший эффект укорочения системы: при диаметре входного зрачка (при s′ = ±p/2), в четыре раза превышающем абсолютную величину фокусного расстояния главного зеркала, длина системы равна фокусному расстоянию этого зеркала. При диаметре входного зрачка (главного зеркала), равном D, диаметр выходного зрачка (вторичного зеркала)
D¢ = D. G
(9)
При этом диаметр отверстия в зеркале по ходу осевого пучка лучей
D0¢
=
D G2
.
(10)
Расстояние от вершины выпуклого зеркала до плоскости изображения (до фокальной плоскости каждой из поверхностей и всей системы в целом) определяет рабочий отрезок, равный
“Оптический журнал”, 79, 9, 2012
47
sp
=
-f0¢2
=
r01 2G
.
(11)
Очевидно, что при телецентрическом ходе главных лучей в пространстве изображений лучи внеосевых пучков будут “срезаться” на этом отверстии. Для того чтобы этого не было, диаметр отверстия должен быть равным
D0¢ = D0¢ + 2l¢,
(12)
где l′ – линейная величина изображения. Од-
нако в этом случае крайний луч осевого пучка,
минуя вторичное зеркало, падает на поверх-
ность главного зеркала, после отражения от
которой приходит в осевую точку изображе-
ния, как это показано на рис. 2, т. е. будет на-
блюдаться засветка “паразитным” светом не
только осевой точки, но и всей поверхности
изображения. Важно обратить внимание на то,
что изображение, образованное “паразитными”
лучами света, будет достаточно резким и на-
ложенным на основное изображение. Поэтому
необходимо полностью исключить попадание
такого света на основное изображение. Эту за-
дачу будем решать, используя соотношения
параксиальной оптики. Для этого отражающие
поверхности заменим их главными плоскостя-
ми, т. е. прогибом поверхностей в точках A′, N0 и N будем пренебрегать.
Лучи, падающие в осевую и крайнюю точ-
ки изображения, пересекаются границе отверстия D~ ′0, которую
в точке А′ на можно считать
изображением точки пересечения падающих
на отражающую поверхность главного зерка-
ла лучей в точки N0 и N. Из рисунка следует, что точка А должна лежать на продолжении
параллельного оптической оси луча, падаю-
щего в точку N0 на расстоянии Н0 от оси. Для определения положения точки А применим из-
вестную формулу Аббе: n′/s′ – n/s = (n′ – n)/r,
1 2
dD′
N N0
a
A
1 2
D′
F1′ l′ F2
A′
–f02
O2 A0′
–f0′ 1
h –d
O1 s
H H0 A0
Рис. 2. Решение задачи устранения засветки изображения.
которая в случае отражающей поверхности принимает вид
1 s¢
+
1 s
=
2r .
(13)
Расстояние от вершины главного зеркала до плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно оптической оси, будем считать равным s. В соответствии с формулой (13) отрезок может быть определен как
s
=
s¢r 2s¢ - r
.
(14)
В рассматриваемом случае s′ = d, а r = r01. Т огда s = dr01/(2d – r01). Но
при этом
d
=
1 2
(r01
-
r02
)
=
G -1 2G
r01,
(15)
s
=
-
G
-1 2
r01.
(16)
Из рисунка следует, что для исключения попадания “паразитного” света на поверхность изображения необходим экран в плоскости входного зрачка в виде кольцевой диафрагмы, ширина которой равна dD′/2. Согласно рисунку отрезок dD′/2 равен
1 2
dD
¢=
H0
-
1 2
D
¢
+
(s
-
f0¢1
)tga,
(17)
где tga = (H – H0)/s. Применив соотношение (16) и учитывая, что 2f0′ 1 = r01, выражение (17) преобразуем к виду
D¢
+
dD¢=
2
GH G
- H0 -1
.
(18)
Отрезок Н0 находим из отношения сторон в подобных треугольниках – H0/h = f′01/f′02 = Γ. Отсюда следует, что
H0 = Gh.
(19)
Аналогично находим соотношение (H – H0)/l′ = = d/f02. Отсюда, используя соотношения (15) и (19), определяем отрезок
H = Gh + (G -1)l¢.
(20)
Подставив соотношения (19) и (20) в выражение (18), получаем
D¢ + dD¢= 2G(h + l¢).
(21)
Срезание внеосевых пучков лучей отсутствует, если h = D0′/2 + l′. В этом случае
48 “Оптический журнал”, 79, 9, 2012
D¢ + dD¢= G(D0¢ + 4l¢).
(22)
В общем случае 2l′ = k′D0′ , где k′ ≥ 0. Тогда
D¢
+
dD
¢
=
G(1
+
2k¢)D0¢
=
1
+ 2k¢ G
D.
(23)
При этом коэффициент экранирования зрачка
по диаметру составит
ký
=
1
+ 2k¢ G
.
(24)
Пусть, например, диаметр главного зеркала D = 5000 мм. Тогда при G = 20× фокусное расстояние f0′ 1 = –1250 мм, f0′ 2 = 62,5 мм, f0′ = Gf0′ 1 = –25 000 мм. Применив формулы (9) и (10), получаем D′ = 250 мм, D0′ = 12,5 мм. При 2l′ = D0′ , т. е. при k′ = 1, коэффициент kэ = 0,15. В соответствии с формулой (12) “срезание” вне-
осевых пучков лучей отсутствует при диаметре
отверстия в выпуклом зеркале, равном
D0¢ = (1+ k¢)D0¢ = 2D0¢ = 25 ìì.
Коэффициент пецвалевой кривизны поверхности изображения в соответствии с формулой (8) равен SIV = 0,0144 мм–1. Угловое поле изображаемого рассматриваемой оптической системой пространства предметов ограничивается допустимой величиной комы изображения. При допустимом значении комы, в волновой мере равном W ≤ 0,6l [3, 4], где l = lе, линейная величина изображения составляет 2l′ ≤ 2,5 мм, что соответствует угловому полю 2w ≤ 21′′. Для компенсации остаточной комы изображения применим квазиафокальный двухлинзовый компенсатор [5], передняя узловая точка которого расположена в осевой точке изображения. В результате оптимизации по критерию качества изображения получаем компенсатор, конструктивные параметры которого представлены в табл. 1. Первая поверхность компенсатора находится на расстоянии p′ = –62,5 мм от осевой точки выпуклого зерка
ла. В результате этого угловое поле, удовлетворяющее вышеприведенному критерию качества, удалось увеличить до значений 2w ≤ 30′′. На сферической поверхности, радиус кривизны которой R = 30 мм, угловое поле 2w ≤ 1′.
Очевидным недостатком рассматриваемой системы является весьма малое расстояние от вершины вторичного зеркала до плоскости изображения. Задачу увеличения этого расстояния можно решить путем применения двойного хода лучей в афокальной системе, как показано на рис. 1б. Угловое увеличение изображения, образованного афокальной системой при каждом проходе лучей, равно
Gi = -f0¢1/f0¢2 = G0 ,
(25)
где f0′ 1 = D/4, f0′ 2 = –1/Gif0′ 1, D – диаметр главного зеркала. При этом диаметр вторичного зеркала по ходу осевого пучка лучей
D¢= D/Gi,
(26)
а диаметр отверстия во вторичном зеркале, со-
ответственно, равен
D0¢ = D/G3i .
(27)
Для исключения засветки изображения не-
обходим экран в плоскости входного зрачка
(в плоскости апертурной диафрагмы). Как и в
предыдущем случае, находим, что
D
¢
+
dD¢
=
èçççæç1
+
2k¢
-
k¢ G20
÷÷÷÷øö
D. G0
(28)
При этом коэффициент центрального экранирования зрачка по диаметру
ký
=
D¢+ dD¢ D
£
1+ 2k¢ G0
.
(29)
Пусть, как и в предыдущем примере, D = 5000 мм. Тогда при G0 = 20× фокусное расстояние f0′ 1 = D/4 = –1250 мм. Однако фокусное расстояние вторичного зеркала
Таблица 1. Конструктивные параметры оптической системы компенсатора
№ пов.
Радиус, мм
Толщина, возд. пром., мм
Среда
Показатель преломл.
Воздух
1,000000
1 –48,220
5,00
ТК8
1,616754
2 306,680
2,00
Воздух
1,000000
3 302,810
3,00
ТК8
1,616754
4 –47,410
Воздух
1,000000
Световой диаметр, мм
19,8 20,0 20,2 20,3
“Оптический журнал”, 79, 9, 2012
49
f0¢2
=
-
1 Gi
f0¢1
=
-
1 G0
f0¢1 = -223,6
ìì.
Диаметр вторичного зеркала по ходу осевого
пучка лучей
D¢ = D = D = 894,4 ìì, Gi G0
а диаметр отверстия в зеркале
D0¢
=
D G0 G0
= 44,72
ìì.
И в этом случае линейную величину изобра
жения будем считать равной 2l′ = 5 мм, что соответствует коэффициенту k′ = 0,112. При этом коэффициент экранирования kэ = 0,274. Если удвоить величину изображения, приняв
2l′ = 10 мм, то коэффициент k′ = 0,224, а коэф фициент kэ = 0,324, что вполне приемлемо. В изображении, образованном рассматриваемой
оптической системой, отсутствуют сферическая
аберрация и астигматизм, но линейная величи-
на изображения, ограничиваемая допустимой
величиной остаточной комы, равна всего лишь
2l′ = 2,4 мм. Однако в рассматриваемой оптической системе рабочий отрезок, равный фокус-
ному расстоянию выпуклого зеркала, увеличен
по сравнению с отрезком в исходной системе
в G0 раз и в приведенном примере равен f0′2 = = –223,6 мм, что естественным образом повыша-
ет эффективность применения двухлинзового ква-
зиафокального компенсатора остаточной комы.
В результате оптимизации по критерию качества изображения получаем компенсатор, конструктивные параметры которого представлены в табл. 2. Первая поверхность компенсатора расположена на расстоянии p′ = –223,6 мм от осевой точки выпуклого зеркала. В результате этого угловое поле стало равным 2w ≤ 54′′. На сферической поверхности, радиус кривизны которой R = 105 мм, при том же качестве изображения угловое поле 2w ≤ 2′.
Рассмотрим возможные варианты построения зеркальной оптической системы путем дополнения компактной афокальной системы Мерсенна системой отражающих поверхностей несферической формы. Волновые аберрации в каждой точке изображения, образованного оптической системой, представляющей собой сочетание афокальной системы с двухзеркальной системой Ричи–Кретьена, практически не превышают критерия Рэлея (порядка l/4) в пределах углового поля 2w ≤ 30′′. На сферической поверхности, радиус кривизны которой R = –32,6 мм, при том же качестве изображения угловое поле 2w ≤ 1′. Заменив двухзеркальную систему трехзеркальной с промежуточным изображением после второй отражающей поверхности, получим оптическую систему, конструктивные параметры которой приведены в табл. 3.
Уравнения несферических поверхностей системы:
Таблица 2. Конструктивные параметры оптической системы компенсатора № пов. Радиус, мм Толщина, возд. пром., мм Среда Показатель преломл. Световой диаметр, мм
Воздух
1,00000
1 –192,460 2 2088,549
20,00 5,00
ТК8 Воздух
1,616754 1,000000
68,8 69,2
3 2119,814 4 –190,779
10,00
ТК8 Воздух
1,616754 1,000000
69,4 69,5
Таблица 3. Конструктивные параметры оптической системы объектива
№ пов. Радиус, мм Толщина, возд. пром., мм Среда Показатель преломл. Световой диаметр, мм
Воздух
1,000000
А1 –2500,000 А2 –125,000 А3 –726,663 А4 –257,738 А5 –400,000
–1187,50 1250,00 –309,38 392,81
Воздух Воздух Воздух Воздух Воздух
–1,000000 1,000000
–1,000000 1,000000
–1,000000
5000,5 250,6 256,8 40,1 124,3
50 “Оптический журнал”, 79, 9, 2012
Таблица 4. Остаточные аберрации изображения при R = 65,9 мм (l = 0,54607 мкм)
S0
Z0 –1250
Z′0(0) –268,9
S′0(0) –600,0
F′(0) 25002
VЗР(0) –0,0132
MU = 0
H
ДS′(0)
TGC′
Y′(0)
W(0)
2499
0,0218
0,100
0,00219
–0,250
2164
0,0262
0,0869
0,00228
–0,195
1767
0,0286
0,0709
0,00203
–0,131
1250
0,0290
0,0500
0,00145
–0,0648
1249
–0,0659
0,0506
–0,0015
0,0593
MU
TGC′
Y′(0)
ДИС
Z′M
Z′S
0,622–3
–0,0469
–15,5
0,00859
0,0295
0,0219
0,880–3
–0,0662
–21,7
0,0240
–0,0297
–0,0218
MU
H
TGC′
ДTGC′
ДY′
W(0)
0,880–3
2498
0,0369
0,103
–0,0080
0,428
2163
0,0229
0,0892
–0,0050
0,266
1766
0,00639
0,0726
–0,0029
0,149
1249
–0,0150
0,0512
–0,0015
0,0656
–1249
–0,117
–0,0509
0,00196
0,0857
–1766
–0,138
–0,0720
0,00299
0,183
–2163
–0,154
–0,0882
0,00383
0,285
–2498
–0,168
–0,102
0,00458
0,392
MU
M
TGC′
TGD′
ДX′
W(0)
0,880–3
2498
–0,0649
0,102
–0,0064
0,375
2163
–0,0652
0,0879
–0,0044
0,242
1766
–0,0656
0,0717
–0,0028
0,138
1249
–0,0659
0,0506
–0,0015
0,0593
S′A –600,0 ЭTA % –0,0155 –0,0122 –0,0085 –0,0045 –0,00015 Z′M–Z′S 0,00765 –0,00790
ДY′ –0,0011 –0,00071 –0,00038 –0,00015
А1: r2 = –5000z;
А2: r2 = –250z;
A3: r2 = –1453,325z – 0,0916944542z2;
А4: r2 = –515,475z – 9,0678022z2;
A5: r2 = –800z – 0,7448939z2. Угловое поле изображаемого полученной системой пространства при достаточно хорошей коррекции сферической аберрации, комы и астигматизма не превышает 2w ≤ 50′′. На сферической поверхности, радиус которой R = 65,9 мм, угловое поле 2w ≤ 6′. При этом остаточные аберрации изображения приведены в табл. 4.
Из анализа состояния коррекции аберраций изображения, образованного рассматриваемой оптической системой, следует, что угловая величина изображаемого пространства ограничивается прежде всего кривизной поверхности изображения. Для компенсации кривизны поверхности изображения можно применить линзу Смита [5]. Можно попытаться применить схемное решение этой задачи, для чего афокальную систему дополним трехзеркальной
системой, оптическая схема которой представлена на рис. 3. Первые две отражающие поверхности образуют телескопическую систему кеплеровского типа. Для решения поставленной задачи абсолютная величина диафрагмен-
F′ З2
З1
З3
Рис. 3. Вариант композиции объектива из трех отражающих поверхностей.
“Оптический журнал”, 79, 9, 2012
51
ного числа первого зеркала должна удовлетворять условию |F| ≤ 1. Это условие определяет высокую светосилу дополнительной трехзеркальной системы и, соответственно, оптической системы рассматриваемого объектива в целом, что превращает процесс коррекции аберраций широкого пучка лучей в достаточно серьезную проблему.
Рассмотренные варианты оптических систем позволяют сделать вывод, что конструк-
тивное решение задачи построения компактной оптической системы объектива, диаметр которого примерно в четыре раза превышает его длину, вполне возможно. Важно отметить, что при использовании объектива для работы в более длинноволновом диапазоне излучения снижаются требования к коррекции аберраций образованного изображения и, соответственно, повышается технологичность изготовления объектива.
* * * * *
ЛИТЕРАТУРА
1. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике. М.: Недра, 1973. 206 с. 2. Чуриловский В.Н. О новом типе астрономического зеркального объектива, основанного на системе Мерсен-
на // Сб. статей “Оптическое приборостроение”. М.–Л.: ЛИТМО, 1958. В. 27. С. 11–31. 3. Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображения. Пер. с франц. М.: Мир, 1964. 295 с. 4. Сокольский М.Н. Допуски и качество оптического изображения. Л.: Машиностроение, 1989. 221 с. 5. Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. Л.: Машиностроение, 1968. 312 с.
52 “Оптический журнал”, 79, 9, 2012