Учет рефракции в расчете коэффициента пропускания атмосферы
ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
УДК 551.593: 629.198.3; 551.593.52 УЧЕТ РЕФРАКЦИИ В РАСЧЕТЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОПУСКАНИЯ АТМОСФЕРЫ
© 2012 г. Ю. Н. Раковский, канд. техн. наук
Научно-производственная корпорация “Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова”, Санкт-Петербург
E-mail: egorrak@yandex.ru
Предложена методика интегрирования высотных профилей атмосферных компонентов с учетом рефракции. Приведены примеры существенного влияния рефракции на эффективную оптическую толщу компонентов на трассе.
Ключевые слова: атмосферная рефракция, высотные профили атмосферных компонентов, оптическая толща.
Коды OCIS: 010.1290, 010.1320
Поступила в редакцию 06.03.2012
Необходимым элементом расчета коэффициента пропускания атмосферы на трассе между двумя заданными точками является вычисление оптической толщи атмосферных компонентов (концентрации газов, аэрозолей, коэффициента молекулярного рассеяния). Значение оптической толщи находится интегрированием высотного профиля компонента по трассе
H2
òW(H1, H2, ) = q(h, )dl(h).
H1
(1)
В выражении (1) H1, H2 – заданные высоты двух точек над Землей, q(h,) – высотный профиль компонента, h – высота точки на трассе, – длина волны, dl(h) – элемент длины трассы на высоте h.
Положение краевых точек трассы определяется заданием треугольника с вершиной в центре Земли. Далее используется термин “местная вертикаль” – прямая, проходящая через центр Земли и точку на трассе. При известных высотах краевых точек над Землей этот треугольник может быть однозначно задан тремя способами: расстоянием между точками, центральным углом (углом между местными вертикалями краевых точек трассы), что, очевидно, равносильно заданию расстояния “по Земле”, а также зенитным углом точки, соответствующей меньшей высоте (углом
между прямой, соединяющей точки, и местной вертикалью точки). Все эти параметры связаны известными соотношениями. Далее, для определенности, принят последний способ: задан зенитный угол (z1) точки, соответствующей меньшей высоте (H1 H2). При этом возможны две ситуации
1. Перпендикуляр к прямой, проходящей через краевые точки, не пересекает трассу (линию, соединяющую точки). Далее, для краткости, эта ситуация называется “догоризонтной”. В этом случае z1 90, и пределы интегрирования соответствуют выражению (1).
2. Перпендикуляр к прямой линии, проходящей через краевые точки трассы, пересекает трассу (“загоризонтная” ситуация). В этом случае z1 > 90, и выражение для оптической толщи имеет вид
W(H1, H2, h0, ) =
H1 H2
= ò q(h, )dl(h) + ò q(h, )dl(h).
h0 h0
(2)
В выражении (2) h0 – высота точки на трассе, для которой угол между местной вертикалью этой точки и касательной к трассе равен 90 (высота перигея трассы).
Расчет величины W проводится для каждой длины волны. Поскольку рассматриваемая задача касается только интегрирования атмо-
“Оптический журнал”, 79, 10, 2012
3
сферных компонентов по высоте, в последующих выражениях параметр опущен.
Для дальнейших вычислений потребуются выражения для элемента дуги трассы
dl(h) = dh/cos(h)
(3)
и элемента центрального угла (угла между местными вертикалями точек на трассе)
d(h) = dhtg(h)/(R + h)
(4)
как функции переменной интегрирования h. В выражениях (3), (4) (h) – угол между ка-
сательной к трассе и местной вертикалью точки, R – радиус Земли.
Для “догоризонтной” ситуации воспользуемся законом Снеллиуса в виде
(R + h)n(R + h)sin = = (R + H1)n(R + H1)sin1,
(5)
где n(h) – коэффициент преломления в точке
трассы на высоте h, 1 – значение угла в точке H1. Получим
cos
(h)
=
îíïïïïìï1
-
êêëé
(R
+ H1)n(R + H1)sin1 (R + h)n(R + h)
ûùúú2
ïýïïïüïþ0,5.
(6)
Чтобы найти неизвестное значение угла 1, используем два выражения для полного центрального угла трассы (угла между местными вертикалями краевых точек трассы). С одной стороны этот угол равен интегралу
ò
=
H2
tg(h) R+h
dh
=
H1
ò=
H2 H1
ïïíïïïïìîêëéê
(R
(R + h)n(R + h) + H1)n(R + H1)sin
1
ùúûú2
-1ïüïïýþïïï-0,5
dh R+h
,
(7)
в котором содержится неизвестное значение угла 1.
С другой стороны, центральный угол () известен, поскольку треугольник, определяющий положение краевых точек трассы, задан однозначно как
=
z1
-
arcsinçèçæç
R R
+ +
H1 H2
sinz1
øö÷÷÷÷.
(8)
Из уравнения =
находится неизвестное значение угла 1.
(9)
Таким образом, элемент дуги трассы полностью определен, и можно проводить расчет оптической толщи различных атмосферных компонентов в случае “догоризонтной” ситуации по формуле (1).
В случае второй (“загоризонтной”) ситуации из равенства Снеллиуса
(R + h)n(R + h)sin = (R + h0)n(R + h0) (10)
следует, что
cos
(h)
=
îïìïïïíï1-
ëêéê
(R + h0)n(R (R + h)n(R
+ +
h0 h)
)
ûúùú2
ïüþïïïýï0,5,
(11)
tg(h)
=
ïïïîïìïíïêêéë
(R + h)n(R (R + h0)n(R
+ +
h) h0
)
ûúùú
2
-1üïïýïïïïþ-0,5
.
(12)
Неизвестное значение перигея (криволиней-
ной) трассы h0 аналогично предыдущему находится из равенства двух выражений для цен-
трального угла
ò ò
=
H1 h0
tg(h) R+h
dh
+
H2 h0
tg(h) R+h
dh
=
.
В последнем выражении
(13)
=
arccosçççèæ
R R
+ +
H1 H2
sin
z1
öø÷÷÷÷
+
arccos(sin
z1
).
(14)
Таким образом, и для второй (“загоризонтной”) ситуации определены все параметры, необходимые для интегрирования высотных профилей по формуле (2).
Отметим, что решение уравнения (13), удовлетворяющее условию h0 > 0, может существовать и при значении высоты перигея прямой, соединяющей краевые точки, меньшем нуля (“загоризонтная видимость”).
Если не учитывать рефракцию, то в вышеприведенных формулах следует положить n = 1, 1 = z1 и h0 = H0, где
H0 = (R + H1)sin z1.
(15)
Тестирование изложенной выше методики проведено с использованием модельных функций и средств MathCAD 14. Эти функции близки к заданным таблично справочным данным и в этом смысле их можно считать аппроксимациями.
Коэффициент преломления рассматривается в виде [1]
4 “Оптический журнал”, 79, 10, 2012
n(R + h, ) = =1+ 2,22´10-4 æçççè1+ 0,00275÷÷÷öø(h),
(16)
где (h) – плотность атмосферы (кг/м3), длина волны измеряется в микрометрах, высота h – в километрах. В рассмотренных примерах расчета полагается = 1 мкм, а диапазон высот
определяется областью задания аппроксимирующих функций.
Приведенная в работе [2] таблица плотности (h) аппроксимирована кусочно-непрерывной функцией
f(x) = f1(x) + f2 (x) + f3 (x),
(17)
где
f1(x) =1,23 [1+ 0,0405xexp(0,132x)]-1, x £100,
f2(x) = 5,62´10-7{1+ 0,15(x -100)exp[0,05(x -100)]}-1, 100 £ x £ 200, f3(x) = 2,52´10-10{1+ 0,04(x -200)exp[0,012(x -200)]}-1, x ³ 200.
(18)
Построенная по таблице плотность и аппроксимация представлены на pис. 1.
В качестве примера атмосферного профиля взят коэффициент молекулярного рассеяния m(h) из базы данных [3], аппроксимированный выражением
q(x) = 0,115exp(-0,137x).
(19)
Заданная таблично функция и ее аппроксима-
ция представлены на pис. 2.
Рассмотрены (“лимбовые”) условия (поло-
жения краевых точек), при которых следует
ожидать наибольшего влияния рефракции. Для первой ситуации положим z1 = 90,
H1 = 0 и обозначим H2 = H. Полученное из уравнения (9) значение угла 1 (в градусах) как функция высоты второй краевой точки пред-
ставлено на pис. 3.
Соответствующие значения интеграла (1) с учетом рефракции (кривая 1) и без ее учета
(кривая 2) представлены на pис. 4. Отметим, что учет рефракции приводит к уменьшению оптической толщи. Различие относительно не-
m q(x)
0,1
0,01 110–3
1 2
110–4
110–5
110–6
110–7 0 20 40 60 80 100
h, x
Рис. 2. Коэффициент молекулярного рассеяния (1) и аппроксимация (2).
f(x)
0,1
110–3 110–5
110–7 110–9 110–11
2 1
110–13 0
100 200 300 400 500 600
h, x
Рис. 1. Плотность атмосферы (1) и аппроксимация (2).
1(H)
89,9
89.8
89,7
89,6
89,5 0
10 100 H103
Рис. 3. Зависимость угла прицеливания от высоты краевой точки трассы.
“Оптический журнал”, 79, 10, 2012
5
W(H) W0(H)
32 30
2
W 72 W0
60
2
1
28
26
48
1
36
24
24
12 0 10 100 H103
22 0 20 40 60 80 H 100
Рис. 4. Зависимость оптической толщи трассы от высоты краевой точки с учетом рефракции (1) и без учета рефракции (2).
Рис. 6. Зависимость оптической толщи трассы от высоты краевых точек с учетом рефракции (1) и без ее учета (2).
h0(Н)15
Для второй (“загоризонтной”) ситуации по-
ложим H1 = H2 = H и
z1
(H)
=
-
arcsinçæçèç
R
R +
H
÷÷÷øö,
(20)
10
5
0
0 10 100 H103 Рис. 5. Зависимость высоты перигея трассы от высоты ее краевых точек.
велико (единицы процентов). Если, однако, учесть, что при расчете коэффициента пропускания значение оптической толщи входит в показатель экспоненты, то влияние рефракции в рассмотренных условиях может оказаться более заметным.
при этом прямая линия, проходящая через краевые точки, касается горизонта.
Полученное из уравнения (13) значение перигея (криволинейной) трассы h0(H) представлено на pис. 5. Отметим существенное отличие перигея трассы с учетом рефракции от (нулевого) перигея прямой линии.
Соответствующие значения оптической толщи (интеграла (2)) с учетом рефракции (кривая 1) и без ее учета (кривая 2) представлены на pис. 6, откуда следует, что влияние рефракции на протяженных трассах весьма существенно.
В обоих рассмотренных случаях оптическая толща с учетом рефракции меньше, чем без учета рефракции. Это означает, что при искривлении вследствие рефракции трассы между заданными точками ее смещение в менее плотные слои атмосферы влияет на значение оптической толщи значительно больше, чем удлинение трассы.
*****
ЛИТЕРАТУРА
1. Гречко Г.М., Гурвич А.С., Казбанов В.А., Киселева М.С., Лазарев А.И., Решетникова И.Н., Синельникова Г.Е., Соколовский С.В. Оптические явления при восходе и заходе Солнца в космосе // Труды ГОИ. 1989. Т. 71. В. 205. 122 с.
2. АТМОСФЕРА (справочник). Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 510 с. 3. Инженерная методика расчета спектральной прозрачности атмосферы в области спектра 0,22–6,0 мкм
для источников неселективного излучения. Л.: ГОИ им. С.И. Вавилова, 1989. 135 с.
6 “Оптический журнал”, 79, 10, 2012
УДК 551.593: 629.198.3; 551.593.52 УЧЕТ РЕФРАКЦИИ В РАСЧЕТЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОПУСКАНИЯ АТМОСФЕРЫ
© 2012 г. Ю. Н. Раковский, канд. техн. наук
Научно-производственная корпорация “Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова”, Санкт-Петербург
E-mail: egorrak@yandex.ru
Предложена методика интегрирования высотных профилей атмосферных компонентов с учетом рефракции. Приведены примеры существенного влияния рефракции на эффективную оптическую толщу компонентов на трассе.
Ключевые слова: атмосферная рефракция, высотные профили атмосферных компонентов, оптическая толща.
Коды OCIS: 010.1290, 010.1320
Поступила в редакцию 06.03.2012
Необходимым элементом расчета коэффициента пропускания атмосферы на трассе между двумя заданными точками является вычисление оптической толщи атмосферных компонентов (концентрации газов, аэрозолей, коэффициента молекулярного рассеяния). Значение оптической толщи находится интегрированием высотного профиля компонента по трассе
H2
òW(H1, H2, ) = q(h, )dl(h).
H1
(1)
В выражении (1) H1, H2 – заданные высоты двух точек над Землей, q(h,) – высотный профиль компонента, h – высота точки на трассе, – длина волны, dl(h) – элемент длины трассы на высоте h.
Положение краевых точек трассы определяется заданием треугольника с вершиной в центре Земли. Далее используется термин “местная вертикаль” – прямая, проходящая через центр Земли и точку на трассе. При известных высотах краевых точек над Землей этот треугольник может быть однозначно задан тремя способами: расстоянием между точками, центральным углом (углом между местными вертикалями краевых точек трассы), что, очевидно, равносильно заданию расстояния “по Земле”, а также зенитным углом точки, соответствующей меньшей высоте (углом
между прямой, соединяющей точки, и местной вертикалью точки). Все эти параметры связаны известными соотношениями. Далее, для определенности, принят последний способ: задан зенитный угол (z1) точки, соответствующей меньшей высоте (H1 H2). При этом возможны две ситуации
1. Перпендикуляр к прямой, проходящей через краевые точки, не пересекает трассу (линию, соединяющую точки). Далее, для краткости, эта ситуация называется “догоризонтной”. В этом случае z1 90, и пределы интегрирования соответствуют выражению (1).
2. Перпендикуляр к прямой линии, проходящей через краевые точки трассы, пересекает трассу (“загоризонтная” ситуация). В этом случае z1 > 90, и выражение для оптической толщи имеет вид
W(H1, H2, h0, ) =
H1 H2
= ò q(h, )dl(h) + ò q(h, )dl(h).
h0 h0
(2)
В выражении (2) h0 – высота точки на трассе, для которой угол между местной вертикалью этой точки и касательной к трассе равен 90 (высота перигея трассы).
Расчет величины W проводится для каждой длины волны. Поскольку рассматриваемая задача касается только интегрирования атмо-
“Оптический журнал”, 79, 10, 2012
3
сферных компонентов по высоте, в последующих выражениях параметр опущен.
Для дальнейших вычислений потребуются выражения для элемента дуги трассы
dl(h) = dh/cos(h)
(3)
и элемента центрального угла (угла между местными вертикалями точек на трассе)
d(h) = dhtg(h)/(R + h)
(4)
как функции переменной интегрирования h. В выражениях (3), (4) (h) – угол между ка-
сательной к трассе и местной вертикалью точки, R – радиус Земли.
Для “догоризонтной” ситуации воспользуемся законом Снеллиуса в виде
(R + h)n(R + h)sin = = (R + H1)n(R + H1)sin1,
(5)
где n(h) – коэффициент преломления в точке
трассы на высоте h, 1 – значение угла в точке H1. Получим
cos
(h)
=
îíïïïïìï1
-
êêëé
(R
+ H1)n(R + H1)sin1 (R + h)n(R + h)
ûùúú2
ïýïïïüïþ0,5.
(6)
Чтобы найти неизвестное значение угла 1, используем два выражения для полного центрального угла трассы (угла между местными вертикалями краевых точек трассы). С одной стороны этот угол равен интегралу
ò
=
H2
tg(h) R+h
dh
=
H1
ò=
H2 H1
ïïíïïïïìîêëéê
(R
(R + h)n(R + h) + H1)n(R + H1)sin
1
ùúûú2
-1ïüïïýþïïï-0,5
dh R+h
,
(7)
в котором содержится неизвестное значение угла 1.
С другой стороны, центральный угол () известен, поскольку треугольник, определяющий положение краевых точек трассы, задан однозначно как
=
z1
-
arcsinçèçæç
R R
+ +
H1 H2
sinz1
øö÷÷÷÷.
(8)
Из уравнения =
находится неизвестное значение угла 1.
(9)
Таким образом, элемент дуги трассы полностью определен, и можно проводить расчет оптической толщи различных атмосферных компонентов в случае “догоризонтной” ситуации по формуле (1).
В случае второй (“загоризонтной”) ситуации из равенства Снеллиуса
(R + h)n(R + h)sin = (R + h0)n(R + h0) (10)
следует, что
cos
(h)
=
îïìïïïíï1-
ëêéê
(R + h0)n(R (R + h)n(R
+ +
h0 h)
)
ûúùú2
ïüþïïïýï0,5,
(11)
tg(h)
=
ïïïîïìïíïêêéë
(R + h)n(R (R + h0)n(R
+ +
h) h0
)
ûúùú
2
-1üïïýïïïïþ-0,5
.
(12)
Неизвестное значение перигея (криволиней-
ной) трассы h0 аналогично предыдущему находится из равенства двух выражений для цен-
трального угла
ò ò
=
H1 h0
tg(h) R+h
dh
+
H2 h0
tg(h) R+h
dh
=
.
В последнем выражении
(13)
=
arccosçççèæ
R R
+ +
H1 H2
sin
z1
öø÷÷÷÷
+
arccos(sin
z1
).
(14)
Таким образом, и для второй (“загоризонтной”) ситуации определены все параметры, необходимые для интегрирования высотных профилей по формуле (2).
Отметим, что решение уравнения (13), удовлетворяющее условию h0 > 0, может существовать и при значении высоты перигея прямой, соединяющей краевые точки, меньшем нуля (“загоризонтная видимость”).
Если не учитывать рефракцию, то в вышеприведенных формулах следует положить n = 1, 1 = z1 и h0 = H0, где
H0 = (R + H1)sin z1.
(15)
Тестирование изложенной выше методики проведено с использованием модельных функций и средств MathCAD 14. Эти функции близки к заданным таблично справочным данным и в этом смысле их можно считать аппроксимациями.
Коэффициент преломления рассматривается в виде [1]
4 “Оптический журнал”, 79, 10, 2012
n(R + h, ) = =1+ 2,22´10-4 æçççè1+ 0,00275÷÷÷öø(h),
(16)
где (h) – плотность атмосферы (кг/м3), длина волны измеряется в микрометрах, высота h – в километрах. В рассмотренных примерах расчета полагается = 1 мкм, а диапазон высот
определяется областью задания аппроксимирующих функций.
Приведенная в работе [2] таблица плотности (h) аппроксимирована кусочно-непрерывной функцией
f(x) = f1(x) + f2 (x) + f3 (x),
(17)
где
f1(x) =1,23 [1+ 0,0405xexp(0,132x)]-1, x £100,
f2(x) = 5,62´10-7{1+ 0,15(x -100)exp[0,05(x -100)]}-1, 100 £ x £ 200, f3(x) = 2,52´10-10{1+ 0,04(x -200)exp[0,012(x -200)]}-1, x ³ 200.
(18)
Построенная по таблице плотность и аппроксимация представлены на pис. 1.
В качестве примера атмосферного профиля взят коэффициент молекулярного рассеяния m(h) из базы данных [3], аппроксимированный выражением
q(x) = 0,115exp(-0,137x).
(19)
Заданная таблично функция и ее аппроксима-
ция представлены на pис. 2.
Рассмотрены (“лимбовые”) условия (поло-
жения краевых точек), при которых следует
ожидать наибольшего влияния рефракции. Для первой ситуации положим z1 = 90,
H1 = 0 и обозначим H2 = H. Полученное из уравнения (9) значение угла 1 (в градусах) как функция высоты второй краевой точки пред-
ставлено на pис. 3.
Соответствующие значения интеграла (1) с учетом рефракции (кривая 1) и без ее учета
(кривая 2) представлены на pис. 4. Отметим, что учет рефракции приводит к уменьшению оптической толщи. Различие относительно не-
m q(x)
0,1
0,01 110–3
1 2
110–4
110–5
110–6
110–7 0 20 40 60 80 100
h, x
Рис. 2. Коэффициент молекулярного рассеяния (1) и аппроксимация (2).
f(x)
0,1
110–3 110–5
110–7 110–9 110–11
2 1
110–13 0
100 200 300 400 500 600
h, x
Рис. 1. Плотность атмосферы (1) и аппроксимация (2).
1(H)
89,9
89.8
89,7
89,6
89,5 0
10 100 H103
Рис. 3. Зависимость угла прицеливания от высоты краевой точки трассы.
“Оптический журнал”, 79, 10, 2012
5
W(H) W0(H)
32 30
2
W 72 W0
60
2
1
28
26
48
1
36
24
24
12 0 10 100 H103
22 0 20 40 60 80 H 100
Рис. 4. Зависимость оптической толщи трассы от высоты краевой точки с учетом рефракции (1) и без учета рефракции (2).
Рис. 6. Зависимость оптической толщи трассы от высоты краевых точек с учетом рефракции (1) и без ее учета (2).
h0(Н)15
Для второй (“загоризонтной”) ситуации по-
ложим H1 = H2 = H и
z1
(H)
=
-
arcsinçæçèç
R
R +
H
÷÷÷øö,
(20)
10
5
0
0 10 100 H103 Рис. 5. Зависимость высоты перигея трассы от высоты ее краевых точек.
велико (единицы процентов). Если, однако, учесть, что при расчете коэффициента пропускания значение оптической толщи входит в показатель экспоненты, то влияние рефракции в рассмотренных условиях может оказаться более заметным.
при этом прямая линия, проходящая через краевые точки, касается горизонта.
Полученное из уравнения (13) значение перигея (криволинейной) трассы h0(H) представлено на pис. 5. Отметим существенное отличие перигея трассы с учетом рефракции от (нулевого) перигея прямой линии.
Соответствующие значения оптической толщи (интеграла (2)) с учетом рефракции (кривая 1) и без ее учета (кривая 2) представлены на pис. 6, откуда следует, что влияние рефракции на протяженных трассах весьма существенно.
В обоих рассмотренных случаях оптическая толща с учетом рефракции меньше, чем без учета рефракции. Это означает, что при искривлении вследствие рефракции трассы между заданными точками ее смещение в менее плотные слои атмосферы влияет на значение оптической толщи значительно больше, чем удлинение трассы.
*****
ЛИТЕРАТУРА
1. Гречко Г.М., Гурвич А.С., Казбанов В.А., Киселева М.С., Лазарев А.И., Решетникова И.Н., Синельникова Г.Е., Соколовский С.В. Оптические явления при восходе и заходе Солнца в космосе // Труды ГОИ. 1989. Т. 71. В. 205. 122 с.
2. АТМОСФЕРА (справочник). Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 510 с. 3. Инженерная методика расчета спектральной прозрачности атмосферы в области спектра 0,22–6,0 мкм
для источников неселективного излучения. Л.: ГОИ им. С.И. Вавилова, 1989. 135 с.
6 “Оптический журнал”, 79, 10, 2012