PLASMON SOLITONS, KINKS AND FARADAY WAVES IN TWO-DIMENSIONAL LATTICE OF METAL NANOPARTICLES
Р.Е. Носков, Д.А. Смирнова, Н.С. Лапшина
Alexei Orlov Elizaveta Yankovskaya Sergei Zhukovsky Pavel Belov
– junior research scientist, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, Alexey.orlov@phoi.ifmo.ru
– postgraduate, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, adfors@gmail.com
– senior research scientist, Department of Photonics Engineering, Technical University of Denmark, Kongens Lyngby, Denmark, sezh@fotonik.dtu.dk
– D.Sc., principal research fellow, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, belov@phoi.ifmo.ru
УДК 535.012, 530.182
ПЛАЗМОННЫЕ СОЛИТОНЫ, КИНКИ И ВОЛНЫ ФАРАДЕЯ
В ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОЧАСТИЦ
Р.Е. Носкова, Д.А. Смирноваb, Н.С. Лапшинаа
a Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, Россия, nanometa@gmail.com b Центр нелинейной физики, Австралийский национальный университет, Канберра, Австралия, namaste89@mail.ru
Рассматриваются нелинейные дискретные моды в двумерной решетке металлических наночастиц, возбуждаемой оптическим излучением на частоте, близкой к частоте поверхностного плазмонного резонанса уединенной частицы. Предполагается, что размер частиц много меньше оптической длины волны, а межчастичное расстояние достаточно велико, чтобы отклик частиц можно было рассматривать в рамках дипольного приближения. Мы также считаем, что наночастицы сделаны из серебра и обладают нелинейным откликом керровского типа. В силу того, что каждая частица представляет собой резонансно возбуждаемый нелинейный осциллятор с относительно медленным инерционным откликом по сравнению с периодом колебаний света, динамический отклик системы описывается в терминах медленных амплитуд поляризаций каждого шарика. Стандартная процедура линеализации дает возможность получить зоны модуляционной неустойчивости и бистабильности однородного стационарного решения соответствующих динамических уравнений на плоскости параметров внешнего поля «интенсивность– частота». Используя эти данные, мы представляем и анализируем примеры генерации плазмонного аналога волн Фарадея, устойчивых двумерных солитонов, осциллонов и кинков (волн переключения), фронт которых представляет собой переход при изменении номера частицы от одного однородного распределения поляризаций частиц к другому при однородном внешнем возбуждении. Также обсуждается реалистичная длительность лазерного импульса, которая должна быть достаточно большой для формирования рассмотренных нелинейных дискретных мод, но в то же время достаточно малой для предотвращения теплового разрушения наночастиц. Ключевые слова: плазмоника, нанофотоника, металлическая наночастица, кубическая восприимчивость серебряной наночастицы, поверхностный плазменный резонанс, дискретная локализованная мода, модуляционная неустойчивость, волны Фарадея, солитон, осциллон, кинк.
PLASMON SOLITONS, KINKS AND FARADAY WAVES IN TWO-DIMENSIONAL
LATTICE OF METAL NANOPARTICLES
R.E. Noskovс, D.A. Smirnovad, N. S. Lapshinaс
с Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, nanometa@gmail.com d Nonlinear Physics Center, Australian National University, Canberra, Australia, namaste89@mail.ru
We consider nonlinear discrete modes in a two-dimensional lattice of metallic nanoparticles driven by optical radiation at a frequency close to the frequency of the surface plasmon resonance of an individual nanoparticle. We suppose that the particles are small enough and the interparticle distance is large enough to treat nanoparticle within point-dipole approximation. We also assume that nanoparticles are made of silver and possess an intrinsic nonlinear Kerr-type response. Since each particle acts as a resonantly excited oscillator with slow (in comparison with the light period) inertial response, we employ a slowly varying amplitude approach to describe dynamical behavior of particle polarizations. Following a standard linear stability analysis, we obtain areas of bistability and modulation instability for the homogeneous stationary solution of the corresponding dynamical system in the plane ‘intensity-frequency’. Based on these data, we present and analyze examples of generation of plasmonic Faraday waves, stable two-dimensional solitons, oscillons, and kinks (switching waves), which separate two different homogeneous states of particle polarizations. We also discuss realistic duration of the laser pulse which should be large enough to cause the formation of the considered nonlinear modes and small enough to prevent particle ablation. Keywords: plasmonics, nanophotonics, metal nanoparticle, cubic susceptibility of silver nanoparticle , surface plasmon resonance, discrete localized mode, modulation instability, Faraday waves, soliton, oscillon, kink.
Введение
Растущий интерес к исследованию нелинейных свойств плазмонных наноструктур, таких как массивы серебряных и золотых наночастиц, объясняется их большим потенциалом для разнообразных нано-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, №1 (89)
5
ПЛАЗМОННЫЕ СОЛИТОНЫ, КИНКИ И ВОЛНЫ ФАРАДЕЯ... .
фотонных приложений [1–3]. Благодаря усилению внутренней нелинейности металла в условиях поверхностного плазменного резонанса такие структуры позволяют уменьшить как размер, так и рабочую мощность нелинейных оптических компонент [4–6]. Исследование новых нелинейных эффектов в плазмонных системах открывает большие перспективы для дальнейших разработок нанофотонных устройств [7, 8]. В настоящей работе рассматриваются нелинейные дискретные структуры в двумерной решетке металлических наночастиц, возбуждаемой оптическим излучением. Показана возможность генерации плазмонного аналога волн Фарадея, устойчивых двумерных солитонов, осциллонов и кинков (волн переключения), фронт которых представляет собой переход при изменении номера частицы от одного однородного распределения поляризаций частиц к другому при однородном внешнем возбуждении.
Теоретическая модель и основные уравнения
Рассмотрим двумерную решетку идентичных металлических наночастиц сферической формы, которая возбуждается внешним лазерным лучом с частотой, близкой к частоте поверхностного плазменного резонанса отдельной частицы, ω0, как показано на рис. 1. Предположим, что размер частиц много меньше оптической длины волны, а межчастичное расстояние достаточно велико, чтобы отклик частиц можно было рассматривать в рамках дипольного приближения. Ограничимся также случаем, когда внешнее электрическое поле ориентировано перпендикулярно плоскости решетки, что может быть реализовано при скользящем падении света, а также посредством бинарной оптической маски [9].
Рис. 1. Схематичное изображение квадратной решетки металлических наночастиц, возбуждаемой лазерным пучком. Потенциальная структура дискретного плазмон-солитона обозначена
красными частицами
Полагая, что наночастицы сделаны из серебра и обладают нелинейным откликом керровского типа,
мы представляем их диэлектрическую проницаемость в виде
εNAgL
=
ε∞
−
ω ω(ω −
)+ χ( ) | ( , ) | ,
где ε∞ = 4,96; ℏω = 9,54 эВ; ℏ = 0,055 эВ; ℏ – постоянная Планка; χ( ) – кубическая восприимчивость
серебряной наночастицы;
( ,
)
–
комплексная
амплитуда
локального
поля
внутри
(n,m)-ой
частицы.
Здесь
и далее принята зависимость от времени ~ exp ( ω ).
Вообще говоря, оптическая кубическая восприимчивость металлических наночастиц зависит от
типа металла, размера частиц, частоты и длительности лазерного облучения, а также некоторых других
факторов [10]. В частности, аналитическая квантовая модель, развитая в работах [11,12] и позже под-
твержденная численным моделированием [13], показала, что для серебряных шариков с радиусом 10 нм
при возбуждении на частотах вблизи частоты поверхностного плазменного резонанса кубическая вос-
приимчивость имеет чисто действительный характер и равна χ( )= 4,25× 10 В /м (что соответствует
3 × 10 ед. СГС). В силу того, что каждая частица представляет собой резонансно возбуждаемый
нелинейный осциллятор с относительно медленным инерционным откликом по сравнению с периодом
колебаний света, динамический отклик системы можно характеризовать в терминах медленных амплитуд
поляризаций каждого шарика.
Рассматриваемая модель аналогична модели, изученной ранее в работах [14–16] для одномерных
цепочек наночастиц. Ее главное отличие заключается в дополнительной размерности. Соответствующие
уравнения для поперечных компонент (по отношению к плоскости, в которой лежит решетка) поляриза-
ций частиц могут быть представлены в следующем виде:
6
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, №1 (89)
Р.Е. Носков, Д.А. Смирнова, Н.С. Лапшина
−
, + Ω− γ+
τ
,
, +∑ ′
′
′, ′ ′, ′ = , ,
(1)
где
′,
′ =
η 2
(
1 exp(−
) − △ −△
△
△)
описывает взаимодействие между частицами в решетке через полные дипольные поля, △
=
/
−′+ − ′
, η~( ⁄ ) , а – радиус частиц, d – период решетки,
k0
0 c
h , h – диэлек-
трическая проницаемость внешнего окружения, , и , – безразмерные медленно меняющиеся амплитуды поляризации (n,m)-ой частицы и внешнего электрического поля соответственно, γ описывает
тепловые и радиационные потери частиц, Ω = (ω − ω )⁄ω – относительная частотная расстройка,
τ = ω – безразмерное время. Мы используем такую же нормировку, как в работах [14–16].
Рассмотрим вначале бесконечную решетку, которая возбуждается однородным электрическим по-
лем, т.е. , = . В этом случае все дипольные моменты частиц равны , = и стационарное решение системы (1) можно представить в виде
Ω − γ + | | + 2∑ , = ,
(2)
где = − ′ и = − ′ . В этом выражении мы воспользовались симметрией суммы относительно
положительных и отрицательных значений индексов суммирования. Исследуем теперь устойчивость ре-
шения (2) по отношению к малым пространственно-временным возмущениям. Следуя стандартной про-
цедуре линеаризации [16], представим поляризации частиц в виде суперпозиции однородного решения
(2) и малого возмущения, взятого в виде собственной моды решетки:
, = + δ exp − ( +
+λτ] + δ ∗exp ( +
+λ∗τ],
(3)
где δ – амплитуда малого возмущения, , – компоненты волнового вектора собственной моды, λ – ин-
кремент (коэффициент усиления) модуляционной неустойчивости (МН), «*» означает комплексное со-
пряжение. Подставляя (3) в (1) с учетом (2) и условия существования нетривиального решения, получаем
следующее выражение для инкремента:
λ = ImΓ − γ + [| | − (2| | + Ω + ReΓ) ] , где
∞
Γ = 2 , cos ( +
].
Интенсивность, МВт/см2 |Р0|2
Очевидно, что положительные значения инкремента отвечают условию развития МН. Заметим также, что условие λ > 0 при , = 0отвечает области существования бистабильности в решении (2).
103 Модуляционная 0,2 неустойчивость
102
Запертые солитоны
0,1
0 50 100
101
Шагающие солитоны
Интенсивность, МВт/см2
и осциллоны
100 Бистабильность
2,67 2,9 3,14 3,37 3,61 ħ, эВ
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма, показывающая зоны бистабильности и МН, в координатах «интенсивность – энергия фотонов (ℏω)» внешнего поля. Зелеными звездочками обозначены параметры, для которых получены рис. 3, а, в, г, и рис. 4, а. Вкладка: зависимость поляризации | | от интенсивности
однородного внешнего поля. Красными и зелеными точками обозначены зоны МН, соответствующие возбуждению медленных и быстрых собственных мод решетки
На рис. 2 представлены соответствующие области модуляционной неустойчивости и бистабильности на плоскости параметров «интенсивность–частота». Для простоты мы разделили все собственные моды решетки, по отношению к которым может быть достигнута МН, на локализованные (с волновым числом модуляции > ) и излучаемые (с ≤ ) и сложили зоны МН всех мод для каждого из двух
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, №1 (89)
7
ПЛАЗМОННЫЕ СОЛИТОНЫ, КИНКИ И ВОЛНЫ ФАРАДЕЯ... .
видов. Красным обозначена область параметров внешнего поля, при которых МН может быть достигнута по отношению только к локализованным собственным модам решетки, в то время как генерация МН по отношению к излучаемым собственным модам не может быть осуществлена в силу того, что такой сценарий развития МН соответствует неустойчивой ветке стационарного решения (см. вкладку на рис. 2). Следовательно, можно ожидать генерацию нелинейных локализованных состояний для параметров внешнего поля, принадлежащих этой области. В свою очередь, для параметров, лежащих за пределами этой области, бистабильность может привести к формированию дискретных плазмон-солитонов и волн переключения (кинков).
Результаты численного моделирования
Для анализа динамического поведения нелинейных мод было проведено численное моделирование конечной решетки размером 101×101 наночастица с а = 10 нм и d = 30 нм. Предполагалось, что решетка, погруженная в кварцевое стекло, возбуждается однородным стационарным полем. Профиль солитонов и кинков задавался через начальные условия, соответствующие различным веткам бистабильного стационарного решения бесконечной решетки в разных областях массива, в то время как краевые эффекты выступали в роли малого возмущения, необходимого для запуска МН. Характерные результаты представлены на рис. 3, 4. Для лучшей визуализации мгновенные снимки распределения поляризаций частиц были увеличены, а краевые эффекты оставлены за пределами рисунков.
Если значения частоты и интенсивности внешнего поля отвечают области МН, наблюдается генерация нелинейных локализованных состояний, известных как волны Фарадея [17] (см. рис. 4, а). Симметрия таких образований определяется спектром собственных мод, возбужденных благодаря МН. На рис. 3, б, представлен спектр собственных мод нелинейного паттерна, приведенного на рис. 3, а. Инте-
ресно заметить, что этот спектр формируется двумя зонами в окрестности ~1,9 и ~0,8 . Таким образом, волны Фарадея постепенно формируются во времени, будучи совершенно отличными от модуляций, обусловленных краевыми эффектами, которые повторяют квадратную симметрию решетки (рис. 3, а, б).
Захваченные («запертые») и шагающие солитоны представлены на рис. 3, в, г. Семейство захваченных солитонов включает в себя как симметричные, так и асимметричные солитоны с поперечным субволновым размером порядка 0,05λ. Необходимо отметить, что солитоны такого типа всегда остаются неподвижными, даже когда приложенное поле является неоднородным. Это обусловлено тем, что их энергия недостаточно велика, чтобы преодолеть потенциальный барьер, создаваемый самой решеткой [18].
75
0,5 3
2,14
50 0
mm m Kyd
Инкремент, пс–1
25 25
50 75 0
n
а D 0,18
80
–3 –3 0
30
Kxd
б
0,18 60
71 C B
61 22
30 n
A
в
0 40
51
42 0 42 50 60 n г
Рис. 3. Мгновенные снимки поляризаций частиц , , соответствующие: волнам Фарадея (Ω = − 0,01, | | = 1,5 × 10 ) (a), запертым (Ω = − 0,1, | | = 1,7 × 10 ) (в) и шагающим плазмон-солитонам (Ω =0,01, | | = 10 ) (г). На рисунке (б) показана контурная карта инкремента, соответствующая реализации, показанной на рис. (а). На рисунке (в) буквами «A», «B», «С» и «D»
обозначены захваченные солитоны, локализованные на одной, двух (симметричный и асимметричный)
и трех частицах соответственно
8
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, №1 (89)
Р.Е. Носков, Д.А. Смирнова, Н.С. Лапшина
Шагающие солитоны характеризуются более широкой локализацией, которая составляет около 150 наночастиц (в силу чего их энергия достаточна для преодоления потенциала решетки), а их форма не
зависит от Ω,| | и ширины профиля поляризаций, задаваемого начальными условиями. Была обнаружена бифуркация шагающих солитонов при ℏω =ℏω = 3,14 эВ (Ω = 0) (см. рис. 2). При ℏω ≥ 3,14 эВ такие солитоны обладают устойчивым стационарным профилем, дрейфуя под влиянием краевых эффек-
тов с относительно малой скоростью порядка 10 × с , где с – скорость света, и упруго сталкиваясь с границами решетки и друг с другом. Однако при ℏω
Alexei Orlov Elizaveta Yankovskaya Sergei Zhukovsky Pavel Belov
– junior research scientist, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, Alexey.orlov@phoi.ifmo.ru
– postgraduate, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, adfors@gmail.com
– senior research scientist, Department of Photonics Engineering, Technical University of Denmark, Kongens Lyngby, Denmark, sezh@fotonik.dtu.dk
– D.Sc., principal research fellow, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, belov@phoi.ifmo.ru
УДК 535.012, 530.182
ПЛАЗМОННЫЕ СОЛИТОНЫ, КИНКИ И ВОЛНЫ ФАРАДЕЯ
В ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОЧАСТИЦ
Р.Е. Носкова, Д.А. Смирноваb, Н.С. Лапшинаа
a Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, Россия, nanometa@gmail.com b Центр нелинейной физики, Австралийский национальный университет, Канберра, Австралия, namaste89@mail.ru
Рассматриваются нелинейные дискретные моды в двумерной решетке металлических наночастиц, возбуждаемой оптическим излучением на частоте, близкой к частоте поверхностного плазмонного резонанса уединенной частицы. Предполагается, что размер частиц много меньше оптической длины волны, а межчастичное расстояние достаточно велико, чтобы отклик частиц можно было рассматривать в рамках дипольного приближения. Мы также считаем, что наночастицы сделаны из серебра и обладают нелинейным откликом керровского типа. В силу того, что каждая частица представляет собой резонансно возбуждаемый нелинейный осциллятор с относительно медленным инерционным откликом по сравнению с периодом колебаний света, динамический отклик системы описывается в терминах медленных амплитуд поляризаций каждого шарика. Стандартная процедура линеализации дает возможность получить зоны модуляционной неустойчивости и бистабильности однородного стационарного решения соответствующих динамических уравнений на плоскости параметров внешнего поля «интенсивность– частота». Используя эти данные, мы представляем и анализируем примеры генерации плазмонного аналога волн Фарадея, устойчивых двумерных солитонов, осциллонов и кинков (волн переключения), фронт которых представляет собой переход при изменении номера частицы от одного однородного распределения поляризаций частиц к другому при однородном внешнем возбуждении. Также обсуждается реалистичная длительность лазерного импульса, которая должна быть достаточно большой для формирования рассмотренных нелинейных дискретных мод, но в то же время достаточно малой для предотвращения теплового разрушения наночастиц. Ключевые слова: плазмоника, нанофотоника, металлическая наночастица, кубическая восприимчивость серебряной наночастицы, поверхностный плазменный резонанс, дискретная локализованная мода, модуляционная неустойчивость, волны Фарадея, солитон, осциллон, кинк.
PLASMON SOLITONS, KINKS AND FARADAY WAVES IN TWO-DIMENSIONAL
LATTICE OF METAL NANOPARTICLES
R.E. Noskovс, D.A. Smirnovad, N. S. Lapshinaс
с Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, nanometa@gmail.com d Nonlinear Physics Center, Australian National University, Canberra, Australia, namaste89@mail.ru
We consider nonlinear discrete modes in a two-dimensional lattice of metallic nanoparticles driven by optical radiation at a frequency close to the frequency of the surface plasmon resonance of an individual nanoparticle. We suppose that the particles are small enough and the interparticle distance is large enough to treat nanoparticle within point-dipole approximation. We also assume that nanoparticles are made of silver and possess an intrinsic nonlinear Kerr-type response. Since each particle acts as a resonantly excited oscillator with slow (in comparison with the light period) inertial response, we employ a slowly varying amplitude approach to describe dynamical behavior of particle polarizations. Following a standard linear stability analysis, we obtain areas of bistability and modulation instability for the homogeneous stationary solution of the corresponding dynamical system in the plane ‘intensity-frequency’. Based on these data, we present and analyze examples of generation of plasmonic Faraday waves, stable two-dimensional solitons, oscillons, and kinks (switching waves), which separate two different homogeneous states of particle polarizations. We also discuss realistic duration of the laser pulse which should be large enough to cause the formation of the considered nonlinear modes and small enough to prevent particle ablation. Keywords: plasmonics, nanophotonics, metal nanoparticle, cubic susceptibility of silver nanoparticle , surface plasmon resonance, discrete localized mode, modulation instability, Faraday waves, soliton, oscillon, kink.
Введение
Растущий интерес к исследованию нелинейных свойств плазмонных наноструктур, таких как массивы серебряных и золотых наночастиц, объясняется их большим потенциалом для разнообразных нано-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, №1 (89)
5
ПЛАЗМОННЫЕ СОЛИТОНЫ, КИНКИ И ВОЛНЫ ФАРАДЕЯ... .
фотонных приложений [1–3]. Благодаря усилению внутренней нелинейности металла в условиях поверхностного плазменного резонанса такие структуры позволяют уменьшить как размер, так и рабочую мощность нелинейных оптических компонент [4–6]. Исследование новых нелинейных эффектов в плазмонных системах открывает большие перспективы для дальнейших разработок нанофотонных устройств [7, 8]. В настоящей работе рассматриваются нелинейные дискретные структуры в двумерной решетке металлических наночастиц, возбуждаемой оптическим излучением. Показана возможность генерации плазмонного аналога волн Фарадея, устойчивых двумерных солитонов, осциллонов и кинков (волн переключения), фронт которых представляет собой переход при изменении номера частицы от одного однородного распределения поляризаций частиц к другому при однородном внешнем возбуждении.
Теоретическая модель и основные уравнения
Рассмотрим двумерную решетку идентичных металлических наночастиц сферической формы, которая возбуждается внешним лазерным лучом с частотой, близкой к частоте поверхностного плазменного резонанса отдельной частицы, ω0, как показано на рис. 1. Предположим, что размер частиц много меньше оптической длины волны, а межчастичное расстояние достаточно велико, чтобы отклик частиц можно было рассматривать в рамках дипольного приближения. Ограничимся также случаем, когда внешнее электрическое поле ориентировано перпендикулярно плоскости решетки, что может быть реализовано при скользящем падении света, а также посредством бинарной оптической маски [9].
Рис. 1. Схематичное изображение квадратной решетки металлических наночастиц, возбуждаемой лазерным пучком. Потенциальная структура дискретного плазмон-солитона обозначена
красными частицами
Полагая, что наночастицы сделаны из серебра и обладают нелинейным откликом керровского типа,
мы представляем их диэлектрическую проницаемость в виде
εNAgL
=
ε∞
−
ω ω(ω −
)+ χ( ) | ( , ) | ,
где ε∞ = 4,96; ℏω = 9,54 эВ; ℏ = 0,055 эВ; ℏ – постоянная Планка; χ( ) – кубическая восприимчивость
серебряной наночастицы;
( ,
)
–
комплексная
амплитуда
локального
поля
внутри
(n,m)-ой
частицы.
Здесь
и далее принята зависимость от времени ~ exp ( ω ).
Вообще говоря, оптическая кубическая восприимчивость металлических наночастиц зависит от
типа металла, размера частиц, частоты и длительности лазерного облучения, а также некоторых других
факторов [10]. В частности, аналитическая квантовая модель, развитая в работах [11,12] и позже под-
твержденная численным моделированием [13], показала, что для серебряных шариков с радиусом 10 нм
при возбуждении на частотах вблизи частоты поверхностного плазменного резонанса кубическая вос-
приимчивость имеет чисто действительный характер и равна χ( )= 4,25× 10 В /м (что соответствует
3 × 10 ед. СГС). В силу того, что каждая частица представляет собой резонансно возбуждаемый
нелинейный осциллятор с относительно медленным инерционным откликом по сравнению с периодом
колебаний света, динамический отклик системы можно характеризовать в терминах медленных амплитуд
поляризаций каждого шарика.
Рассматриваемая модель аналогична модели, изученной ранее в работах [14–16] для одномерных
цепочек наночастиц. Ее главное отличие заключается в дополнительной размерности. Соответствующие
уравнения для поперечных компонент (по отношению к плоскости, в которой лежит решетка) поляриза-
ций частиц могут быть представлены в следующем виде:
6
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, №1 (89)
Р.Е. Носков, Д.А. Смирнова, Н.С. Лапшина
−
, + Ω− γ+
τ
,
, +∑ ′
′
′, ′ ′, ′ = , ,
(1)
где
′,
′ =
η 2
(
1 exp(−
) − △ −△
△
△)
описывает взаимодействие между частицами в решетке через полные дипольные поля, △
=
/
−′+ − ′
, η~( ⁄ ) , а – радиус частиц, d – период решетки,
k0
0 c
h , h – диэлек-
трическая проницаемость внешнего окружения, , и , – безразмерные медленно меняющиеся амплитуды поляризации (n,m)-ой частицы и внешнего электрического поля соответственно, γ описывает
тепловые и радиационные потери частиц, Ω = (ω − ω )⁄ω – относительная частотная расстройка,
τ = ω – безразмерное время. Мы используем такую же нормировку, как в работах [14–16].
Рассмотрим вначале бесконечную решетку, которая возбуждается однородным электрическим по-
лем, т.е. , = . В этом случае все дипольные моменты частиц равны , = и стационарное решение системы (1) можно представить в виде
Ω − γ + | | + 2∑ , = ,
(2)
где = − ′ и = − ′ . В этом выражении мы воспользовались симметрией суммы относительно
положительных и отрицательных значений индексов суммирования. Исследуем теперь устойчивость ре-
шения (2) по отношению к малым пространственно-временным возмущениям. Следуя стандартной про-
цедуре линеаризации [16], представим поляризации частиц в виде суперпозиции однородного решения
(2) и малого возмущения, взятого в виде собственной моды решетки:
, = + δ exp − ( +
+λτ] + δ ∗exp ( +
+λ∗τ],
(3)
где δ – амплитуда малого возмущения, , – компоненты волнового вектора собственной моды, λ – ин-
кремент (коэффициент усиления) модуляционной неустойчивости (МН), «*» означает комплексное со-
пряжение. Подставляя (3) в (1) с учетом (2) и условия существования нетривиального решения, получаем
следующее выражение для инкремента:
λ = ImΓ − γ + [| | − (2| | + Ω + ReΓ) ] , где
∞
Γ = 2 , cos ( +
].
Интенсивность, МВт/см2 |Р0|2
Очевидно, что положительные значения инкремента отвечают условию развития МН. Заметим также, что условие λ > 0 при , = 0отвечает области существования бистабильности в решении (2).
103 Модуляционная 0,2 неустойчивость
102
Запертые солитоны
0,1
0 50 100
101
Шагающие солитоны
Интенсивность, МВт/см2
и осциллоны
100 Бистабильность
2,67 2,9 3,14 3,37 3,61 ħ, эВ
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма, показывающая зоны бистабильности и МН, в координатах «интенсивность – энергия фотонов (ℏω)» внешнего поля. Зелеными звездочками обозначены параметры, для которых получены рис. 3, а, в, г, и рис. 4, а. Вкладка: зависимость поляризации | | от интенсивности
однородного внешнего поля. Красными и зелеными точками обозначены зоны МН, соответствующие возбуждению медленных и быстрых собственных мод решетки
На рис. 2 представлены соответствующие области модуляционной неустойчивости и бистабильности на плоскости параметров «интенсивность–частота». Для простоты мы разделили все собственные моды решетки, по отношению к которым может быть достигнута МН, на локализованные (с волновым числом модуляции > ) и излучаемые (с ≤ ) и сложили зоны МН всех мод для каждого из двух
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, №1 (89)
7
ПЛАЗМОННЫЕ СОЛИТОНЫ, КИНКИ И ВОЛНЫ ФАРАДЕЯ... .
видов. Красным обозначена область параметров внешнего поля, при которых МН может быть достигнута по отношению только к локализованным собственным модам решетки, в то время как генерация МН по отношению к излучаемым собственным модам не может быть осуществлена в силу того, что такой сценарий развития МН соответствует неустойчивой ветке стационарного решения (см. вкладку на рис. 2). Следовательно, можно ожидать генерацию нелинейных локализованных состояний для параметров внешнего поля, принадлежащих этой области. В свою очередь, для параметров, лежащих за пределами этой области, бистабильность может привести к формированию дискретных плазмон-солитонов и волн переключения (кинков).
Результаты численного моделирования
Для анализа динамического поведения нелинейных мод было проведено численное моделирование конечной решетки размером 101×101 наночастица с а = 10 нм и d = 30 нм. Предполагалось, что решетка, погруженная в кварцевое стекло, возбуждается однородным стационарным полем. Профиль солитонов и кинков задавался через начальные условия, соответствующие различным веткам бистабильного стационарного решения бесконечной решетки в разных областях массива, в то время как краевые эффекты выступали в роли малого возмущения, необходимого для запуска МН. Характерные результаты представлены на рис. 3, 4. Для лучшей визуализации мгновенные снимки распределения поляризаций частиц были увеличены, а краевые эффекты оставлены за пределами рисунков.
Если значения частоты и интенсивности внешнего поля отвечают области МН, наблюдается генерация нелинейных локализованных состояний, известных как волны Фарадея [17] (см. рис. 4, а). Симметрия таких образований определяется спектром собственных мод, возбужденных благодаря МН. На рис. 3, б, представлен спектр собственных мод нелинейного паттерна, приведенного на рис. 3, а. Инте-
ресно заметить, что этот спектр формируется двумя зонами в окрестности ~1,9 и ~0,8 . Таким образом, волны Фарадея постепенно формируются во времени, будучи совершенно отличными от модуляций, обусловленных краевыми эффектами, которые повторяют квадратную симметрию решетки (рис. 3, а, б).
Захваченные («запертые») и шагающие солитоны представлены на рис. 3, в, г. Семейство захваченных солитонов включает в себя как симметричные, так и асимметричные солитоны с поперечным субволновым размером порядка 0,05λ. Необходимо отметить, что солитоны такого типа всегда остаются неподвижными, даже когда приложенное поле является неоднородным. Это обусловлено тем, что их энергия недостаточно велика, чтобы преодолеть потенциальный барьер, создаваемый самой решеткой [18].
75
0,5 3
2,14
50 0
mm m Kyd
Инкремент, пс–1
25 25
50 75 0
n
а D 0,18
80
–3 –3 0
30
Kxd
б
0,18 60
71 C B
61 22
30 n
A
в
0 40
51
42 0 42 50 60 n г
Рис. 3. Мгновенные снимки поляризаций частиц , , соответствующие: волнам Фарадея (Ω = − 0,01, | | = 1,5 × 10 ) (a), запертым (Ω = − 0,1, | | = 1,7 × 10 ) (в) и шагающим плазмон-солитонам (Ω =0,01, | | = 10 ) (г). На рисунке (б) показана контурная карта инкремента, соответствующая реализации, показанной на рис. (а). На рисунке (в) буквами «A», «B», «С» и «D»
обозначены захваченные солитоны, локализованные на одной, двух (симметричный и асимметричный)
и трех частицах соответственно
8
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, №1 (89)
Р.Е. Носков, Д.А. Смирнова, Н.С. Лапшина
Шагающие солитоны характеризуются более широкой локализацией, которая составляет около 150 наночастиц (в силу чего их энергия достаточна для преодоления потенциала решетки), а их форма не
зависит от Ω,| | и ширины профиля поляризаций, задаваемого начальными условиями. Была обнаружена бифуркация шагающих солитонов при ℏω =ℏω = 3,14 эВ (Ω = 0) (см. рис. 2). При ℏω ≥ 3,14 эВ такие солитоны обладают устойчивым стационарным профилем, дрейфуя под влиянием краевых эффек-
тов с относительно малой скоростью порядка 10 × с , где с – скорость света, и упруго сталкиваясь с границами решетки и друг с другом. Однако при ℏω