ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ, СОЗДАВАЕМЫХ В НИЖНЕЙ ИОНОСФЕРЕ НИЗКОЧАСТОТНЫМИ ПРИЗЕМНЫМИ АНТЕННАМИ
ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ...
УДК 538.566
ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ, СОЗДАВАЕМЫХ В НИЖНЕЙ ИОНОСФЕРЕ
НИЗКОЧАСТОТНЫМИ ПРИЗЕМНЫМИ АНТЕННАМИ
С.Т. Рыбачек, М.А. Белянский
Рассматривается проблема определения электромагнитных полей, создаваемых в нижней ионосфере (50–500 км) приземными низкочастотными антеннами. Решение строится методом нормальных волн в рамках моделей сферического волновода Земля–ионосфера, радиально неоднородной анизотропной ионосферы, произвольной ориентации геомагнитного поля и электрических и магнитных диполей. Определение полей в ионосфере на больших высотах в области нестабильности решения сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений для касательных компонент полей проникающей собственной волны. На меньших высотах интегрируется комбинация дифференциальных уравнений для адмитанса и для касательных компонент собственных волн. Начальные условия задаются в приближении ВКБ (Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна). С помощью обобщенных теорем взаимности получена связь между компонентами полей, возбуждаемыми в ионосфере различными приземными излучателями. Ключевые слова: электромагнитные поля, анизотропная ионосфера, низкочастотные антенны.
Введение
Проблема распространения низкочастотных (НЧ) радиоволн 0,3–30 кГц в ионосфере Земли относится к ряду сравнительно новых. Впервые возможность просачивания волн этого диапазона в ионосферу и магнитосферу Земли отметил Т.Л. Эккерслей [1] в 1935 г. Исследования свистящих атмосфериков позволили предложить [2] и развить [3] механизм распространения НЧ волн по траекториям, близким к силовым линиям геомагнитного поля, который до сих пор широко используется для интерпретаций экспериментальных данных наряду с другими [4]. Однако возможности исследования структуры ионосферных полей с помощью НЧ источников естественного происхождения ограничены. Более перспективными для диагностики ионосферной плазмы оказались эксперименты по регистрации сигналов наземных НЧ радиостанций с помощью аппаратуры, установленной на борту искусственных спутников Земли (ИСЗ) [5], а также проводимые в течение последних десятилетий в ряде стран эксперименты по регистрации наземными станциями электромагнитных полей, возбуждаемых НЧ антеннами, расположенными на ИСЗ. Эксперименты, выполненные в г. Горьком в 1973–1974 г.г., показали, что при воздействии на нижнюю ионосферу мощным высокочастотным модулированным по амплитуде излучением возникает НЧ излучение на частоте модуляции. Это открытие привлекло внимание исследователей к более низким, по сравнению со спутниковыми, высотам расположения излучателей.
К настоящему времени опубликованы многочисленные теоретические исследования по разработке моделей сред распространения и методов расчета полей. Большая часть из них посвящена распространению радиоволн либо в ионосфере [6, 7], либо в приземном волноводе [8, 9]. Значительное число работ посвящено также комплексной проблеме излучения антенн в плазме с последующим распространением до земной поверхности [10, 11]. Гораздо меньше публикаций имеется по второй комплексной проблеме излучения наземных антенн с последующим распространением в ионосфере [12]. Как правило, в работах по обеим комплексным проблемам используется модель плоского волновода и рассматриваются частные случаи ориентации геомагнитного поля и диполей, моделирующих антенны.
Вторая комплексная проблема рассматривалась авторами в [12–13] как вспомогательная задача при исследовании возбуждения приземного волновода антеннами, расположенными на ИСЗ, и в работе [14], связанной с возможностью предсказания землетрясений. Публикации по этой теме имеют пробелы, связан-
ные с изучением ионосферных полей на высотах ∼ 50−120 км, а также по охвату значений параметров,
влияющих на НЧ поля на больших высотах. Вследствие этого возникает необходимость более полного изучения структуры радиополей, создаваемых приземными НЧ излучателями в нижней ионосфере.
Постановка задачи
Обсуждаемая проблема сводится к ряду волноводных задач и к интегрированию уравнений Максвелла для анизотропной ионосферы. Волновод Земля – ионосфера моделируется сферической полостью со свойствами свободного пространства (вводится сферическая система координат r,, с началом в центре
Земли). Ионосфера описывается уравнениями для полей в приближении холодной плазмы, нелинейные эффекты не учитываются. Свойства ионосферы полагаются зависящими лишь от радиальной координаты, вектор геомагнитного поля имеет произвольную ориентацию. Антенны моделируются элементарными электрическими и магнитными диполями произвольной ориентации, расположенными в полости волновода
при r b, 0 . В работе используется система СИ и зависимость от времени exp(it) .
Волноводные задачи сводятся к уравнениям Максвелла для полости волновода
rot E ik H , rot H ik(E pe / 0 ) ,
(1)
48 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
С.Т. Рыбачек, М.А. Белянский
rot E ik(H z0pm / 0 ) , rot H ikE .
(2)
В уравнениях (1) и (2) pe и pm – объемные плотности дипольных моментов электрического и
магнитного диполей, H z0Η , а k, 0,0 и z0 – волновое число, диэлектрическая и магнитная проницаемости и характеристический импеданс вакуума соответственно. Граничные условия на нижней стенке
волновода ( r a ) описываются матрицей импеданса Земли, а на верхней стенке ( r d ) – матрицей ад-
митанса ионосферы [15]:
E E
0
0
H H
,
r a;
H H
aˆ
E
E
,
r d.
(3)
Здесь – приближенный поверхностный импеданс Земли. Кроме того, должны быть выполнены
условия ограниченности полей E и H при 0, и условия их убывания при r . Общее решение
уравнений Максвелла дается суперпозицией двух фундаментальных решений. Поперечно-магнитное
поле описывается электрическим Πe eer , а поперечно-электрическое магнитным Πm mer потенциалами Герца. В области вне источников связь полей с потенциалами имеет следующий вид:
H e ik rot Πe , Ee rot rot Π e , Em ik rot Π m , H m rot rot Πm .
(4)
Волноводные задачи
Основной является задача для радиального электрического диполя. Решение строится методом нормальных волн в виде разложения по собственным функциям радиального оператора, который определяется дифференциальными уравнениями и граничными условиями, вытекающими из (3):
, d 2
dr
2
k
2
R(e) 1/
R(m) 1/
2 2
(kr (kr
) )
2
1/ r2
4
R(e) 1/
R(m) 1/
2 2
(kr (kr
) )
(5)
, ,R '(e) 1/ 2
(kr)
iR( e)1/ 2
(kr)
R '(m) 1/ 2
(kr)
iR(m1)/ 2
(kr)
/
ra
(6)
(граничные условия при r d не выписываются). В (6) штрих обозначает производную по аргументу.
Спектральная задача (5), (6) позволяет найти собственные функции и уравнение для собственных значе-
ний s (s=1, 2, ...). В результате для потенциалов получаем следующие ряды нормальных волн:
e
.
m
Pe 40 kb 2
s
R(e) 1/
2
(kb)
R(e) 1/
2
(kr
)
1/
2
R(m) 1/
2
(kr
)
P1/2 ( cos ) N1/2 cos()
(7)
Здесь Pe – величина дипольного момента электрического диполя, а ;
R(i) 1/ 2
(kr)
,
(i=e,m);
1/ 2 ;
N1/ 2 при s – собственные значения и функции, коэффициент поляризации и норма оператора.
Использование асимптотик функций Лежандра [16]
P1/2 (cos ) [2 / ( sin )]1/2 sin( / 4), | | 1, | | ( ) 1 ,
(8)
и замена функции [cos()]1 геометрической прогрессией позволяют пренебречь в (7) кругосветными и
антиподными волнами и ограничиться рассмотрением прямой волны, пришедшей от источника в точку
наблюдения по кратчайшему расстоянию. При этом зависимость потенциалов от угла принимает вид
(sin )1/2 exp(i).
(9)
Касательные компоненты полей в полости волновода в области вне источников можно определить, дифференцируя потенциалы (7) в соответствии с (4). Радиальные компоненты удобно найти, используя связь спектральных задач для поперечного и продольного операторов:
Er
H
r
1 r2
s
2 1/ 4
es ms
.
(10)
Здесь es , ms – отдельные члены рядов (7). Решение волноводных задач для других излучателей
опирается на решение для радиального электрического диполя. В случае радиального магнитного диполя
используется принцип перестановочной двойственности для анизотропных сред [12], который позволяет
построить решение с помощью перестановок компонент полей и параметров в формулах, описывающих
решение для радиального электрического диполя. Поля касательного к границам раздела электрического
диполя можно найти, применяя обобщенную теорему взаимности для анизотропных сред [17]:
Ee (1, H0 ) Ee (2, H0 ) ,
H
e
(1,
H0
)
gEm
(2,
H0
)
,
(11)
gEm
(1,
H0
)
H
e
(2,
H0
)
,
H
m
(1,
H0
)
H
m
(2,
H0 )
,
g .z0 Pe Pm1
Абсолютные значения дипольных моментов в теореме взаимности для двух электрических дипо-
лей полагаются одинаковыми и обозначаются Pe . Аналогичные значения для магнитных диполей обо-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
49
ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ...
значены Pm . В (11) 1 и 2 – две пространственные точки. Индексы e и m у компонент полей относятся к
электрическим и магнитным диполям соответственно, так что
Ee (1, H0 )
и
H
e
(1,
H
0
)
,
например,
–
ξ
–
компоненты полей, создаваемые в точке 2 расположенным в точке 1 электрическим диполем с диполь-
ным моментом Pe , ориентированным вдоль орта e ( , r, , ), при этом геомагнитное поле есть H0 .
Радиальные компоненты электрического (магнитного) поля горизонтального электрического диполя
можно найти, используя теоремы взаимности для такого диполя и вспомогательного радиального элек-
трического (магнитного) диполя. Далее с помощью (10) определяются потенциалы, дифференцируя ко-
торые по координатам в соответствии с формулами (4), можно найти касательные компоненты электри-
ческого и магнитного полей. Аналогично находятся поля горизонтального магнитного диполя.
Поля в ионосфере
Уравнения Максвелла в анизотропной ионосфере имеют вид
rot E ik H , rot H ikˆmE ,
(12)
где ˆm – тензор относительной комплексной диэлектрической проницаемости среды. Асимптотическое
разделение переменных в уравнениях (12), базирующееся на использовании асимптотик (8), позволяет,
учитывая (9) и опуская индекс s у собственного значения, представить поля нормальной волны в ионо-
сфере в виде
ε εe() exp(i)(sin )1/2 , e() r () ,
(
)
{E(
) , E(
)
,
H
(
)
,
H
(
) },
(13)
εгде ( ) – матрица-столбец 4×1 с компонентами, указанными в фигурных скобках. Вектор e() удовле-
творяет дифференциальному уравнению
de() / dx ikTˆe() , x = kr.
(14)
Здесь Tˆ – матрица 4×4, элементы которой имеют следующий вид:
T11 S r
rr ,
T12 S r
rr ,
T14
1
S
2
rr ,
T23 1 ,
, , , ,T31 rr T32 S2 rr T34 S r rr T41 rr
(15)
T42 rr , T44 S r rr , T13 T21 T22 T24 T33 T43 0 .
S sin (, r) (kr)1 .
(16)
В формулах (15) и (16) значения in (i,n r,,) определяются элементами in тензора ˆm , а
(, r) – комплексный угол падения нормальной волны на ионосферу. Уравнение (14) по форме совпа-
дает с уравнением, описывающим прохождение плоских волн в однородной анизотропной плазме [15].
Отличие состоит в том, что в рассматриваемой нами задаче свойства среды зависят от радиальной коор-
динаты, а элементы тензора Tˆ зависят от r и спектрального параметра . Из четырех линейно незави-
симых решений системы (14) граничным условиям, состоящим в требовании убывания поля при r ,
ε εудовлетворяют два, e1() и e(2) (
и( )
1
( 2
) ).
На
произвольной
высоте
в
ионосфере
поле
нормальной
волны номера s можно представить суммой собственных волн,
ε ε ε C C ,(s )
(s ) 1s 1
(s ) 2s 2
εгде
( p
s
)
(
p
1,2)
– матрица-столбец вида (13),
(17)
ε (s ) p
(r
sin )1 exp(is)e(ps ) .
(18)
Постоянные C1s и C2s в (17) определяются из условий сшивания при r d тангенциальных ком-
понент электрического и магнитного полей нормальной волны номера s , найденных в волноводе и ио-
носфере. Касательные составляющие полных полей в ионосфере представляются рядами нормальных
ε εволн s1 (s ) , радиальные находятся из уравнений Максвелла:
Er
(rr )1 r E
r E
s 1
s kr
H
(s
)
,
,Hr
s s1 kr
E(s )
(формулы (19) получаются из уравнений Максвелла).
ε εС помощью волн
( 1
s
)
и
( 2
s
)
(18)
можно
ввести
адмитанс
ионосферы
aˆ ( )
[15]
(19)
50 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
С.Т. Рыбачек, М.А. Белянский
H () 1
H () 1
H () 2
H () 2
aˆ ( )
E() 1
E() 1
E() 2
E() 2
.
(20)
Адмитанс aˆ() удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению
daˆ() / dx i(aˆ() B12aˆ() B21 aˆ() B11 B22aˆ() ) , где значения Bin определяются элементами матрицы Tin (15):
(21)
B11
T11
0
T12 0
,
B12
T13 T23
T14 0
,
B21
T31 T41
T32 T42
,
B22
0
0
T34 T44
.
В волноводных задачах адмитанс aˆ() можно определить, интегрируя уравнения (21) для элемен-
тов матрицы адмитанса. Задавая в качестве начальных условий решения ВКБ [15] при некотором значении r r0 , можно найти адмитанс aˆ aˆ() при r d , который используется в граничном условии (3).
Значение r0 соответствует верхней границе области, существенной для распространения волн в волноводе [18], и определяется параметрами задачи и заданной точностью расчета полей. Уравнения интегри-
руются при вычислении корня s характеристического уравнения при каждой итерации, при этом в со-
ε εответствии с формулой (20) адмитанс несет в себе информацию об обоих решениях,
( 1
s
)
и
(s 2
)
.
Матрица адмитанса может быть рассчитана на любых высотах H r a в ионосфере без возник-
новения численных неустойчивостей, однако для определения компонент ионосферных полей необхо-
димо дополнительное интегрирование. Использование уравнений (14) на больших высотах H (порядка
сотен километров) приводит к появлению таких нестабильностей, так как из двух собственных решений
только одно является существенно распространяющимся. Второе быстро затухает по мере распростране-
ния в ионосфере и на больших высотах приводит к потере линейности решений и неустойчивости рас-
пространяющейся (проникающей) волны [7]. Однако на высотах H H1 сильно затухающее решение пренебрежимо мало по сравнению с распространяющейся волной, которая в этом случае описывает пол-
ное поле. Значение H1 зависит от параметров задачи и заданной точности решения (см. ниже). На высо-
тах H H1 ионосферные поля можно найти, интегрируя уравнения для компонент полей (14) или комбинированную систему уравнений для матрицы адмитанса (21) и компонент полей.
Соотношения между компонентами ионосферных полей различных излучателей
Зависимость потенциалов (7) от координат для каждой отдельной нормальной волны с учетом
выражений (9) описывается функциями
e
~
R(e) 1/
2
(kr
)
exp(i)(sin
)1/
2
,
m
~
R(m) 1/
2
(
kr
)
exp(i)(sin
)1/
2
.
Из формул (4) и (10), опуская индексы e и m у компонент полей, можно получить
(22)
E
H
1 r
2 e
r
m
,
E H
ik r
m
e
,
Er
H
r
2
1/ 4 e
r2
m
.
(23)
Используя выражения (22), (23), полагая функцию (sin )1/ 2 медленно меняющейся по сравне-
нию с exp(i) и считая, что | | 1 , найдем отношения компонент полей в полости волновода
E / Er ikrR(e)1/2' (kr) / [R(e)1/2 (kr)] ,
Hr / H R(m1)/2 (kr) / [ikrR(m1)/2' (kr)] ,
(24)
E
/
H
,R(e) 1/
2'
(kr
)
/
[iR(e)1/
2
(kr
)]
E / H
iR( m1)/ 2
(kr)
/
[
R(m) 1/
2'
(kr
)]
.
Если точка наблюдения располагается на поверхности Земли, то в силу граничных условий (6) от-
ношения (24) принимают следующий вид:
E / Er ka / , Hr / H / (ka) , E / H , E / H . Теоремы взаимности (11) позволяют получить отношения какой-либо (одной и той же) компонен-
ты полей, возбуждаемых в ионосфере в точке 2 с координатами (r, ) различными излучателями, рас-
положенными в полости волновода в точке 1 (b, 0) . Эти отношения с учетом выражений (24) можно
записать в следующем виде:
Be ([ikbR(e)1/2' (kb)] / [R(e)1/2 (kb)])Ber , Bm ([iR(m1)/2' (kb)] / [gR(m1)/2 (kb)])Be ,
Bm
([ikbR(m1)/2' (kb)] / [R(m1)/2 (kb)])Bmr ,
Be
([igR( e)1/ 2'
(kb)]
/
[R(e) 1/ 2
(kb)])Bm
.
(25)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
51
ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ...
Здесь вектор Bq (q e, m; r, , ) – матрица-столбец 6×1, элементами которой являются ком-
поненты напряженностей электрического E и магнитного H полей. При расположении излучателя на
поверхности Земли (b a) из выражений (25) с учетом (6) вытекает, что
Be g Bm , Be g Bm , Be (ka / )Ber , Bmr [ / (ka)]Bm .
(26)
Из приближенных выражений (26) вытекает, что при анализе структуры ионосферных полей достаточно ограничиться рассмотрением лишь двух ионосферных излучателей. Результаты численных расчетов компонент полей рассмотрим в последующих работах.
Заключение
В работе изложена теория распространения в ионосфере электромагнитных волн, излучаемых источниками, расположенными вблизи поверхности Земли. В рамках моделей анизотропной, неоднородной по радиальной координате ионосферы, сферического регулярного приземного волновода, а также электрических и магнитных диполей различной ориентации она сводится к двум проблемам.
Первая проблема связана с волноводными задачами для электрических и магнитных диполей, которые решаются с помощью принципа перестановочной двойственности и обобщенных теорем взаимности для анизотропных сред.
Вторая проблема связана с нахождением полей в ионосферной плазме. Дифференциальные уравнения для матричного адмитанса и касательных компонент полей интегрируются в области ионосферных высот Н1–Н0 , где Н0 – начало ионосферного слоя. В области, расположенной выше Н1, интегрируются лишь уравнения для касательных компонент одной «проникающей» собственной ионосферной волны, которая и описывает полное поле.
С помощью обобщенных теорем взаимности получена связь между компонентами полей, создаваемых в ионосфере электрическими и магнитными приземными диполями различных ориентаций.
Полученные теоретические результаты легли в основу алгоритмов, которые позволили провести численное исследование особенностей структуры электромагнитных полей, возбуждаемых низкочастотными антеннами, расположенными вблизи поверхности Земли. Результаты численных расчетов анализируются во второй части работы.
Литература
1. Eckersley T.L. Musical atmospherics // Nature. – 1935. – V. 135. – P. 104–123. 2. Storey L.R.O. An investigation of whistling atmospherics // Phil. Trans. Roy. Soc. – 1953. – V. 246A. –
№ 908. – P. 113–141. 3. Helliwell R.A.Whistlers and Related Ionospheric Phenomena. – Stan. Univ. Pr. – 1965. – 365 p. 4. Мальцева О.А., Молчанов О.А. Распространение низкочастотных волн в магнитосфере Земли. – М.:
Наука, 1987. – 117 с. 5. Laaspere T., Johnson W.C. Additional results from an OGO 6 experiment concerning ionospheric electric
and electromagnetic fields in the range 20 Hz to 540 kHz // J. Geophys. Res. – 1973. – V. 78. – № 16. – P. 2926–2944. 6. Galejs J. Stable solution of ionospheric fields in propagation of ELF and VLF waves // Radio Sci. – 1972. – V. 7. – № 5. – P. 549–561. 7. Budden K.G. The theory of coupling of characteristic radio waves in the ionosphere // J. Atmos.Terr. Phys. – 1972. – V. 34. – № 11. – P. 1909–1921. 8. Galejs J. Terrestrial Propagation of Long Electromagnetic Waves. – New York: Pergamon. Press, 1972. – 362 р. 9. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение радиоволн в волноводном канале Земляионосфера и в ионосфере. – М.: Наука, 1994. – 150 с. 10. Pappert R.A. Excitation of the Earth-ionosphere waveguide by point dipoles at satellite heights // Radio sci. – 1973. – V. 8. – № 6. – P. 535–545. 11. Котик Д.С., Поляков С.В., Яшнов В.А. Возбуждение волновода Земля–ионосфера низкочастотными источниками, расположенными в неоднородной ионосфере // Изв. вузов. Радиофизика. – 1978. – Т. 21. – № 7. – C. 938–944. 12. Рыбачек С.Т. Электромагнитные поля точечных диполей в волноводе Земля–ионосфера // Изв. вузов. Радиофизика. – 1985. – Т. 28. – № 4. – С. 406–415. 13. Рыбачек С.Т. Электромагнитные поля ионосферных точечных диполей в волноводе Земля– ионосфера. // Ibid № 6. – C. 703–711. 14. Borisov N., Chmyrev V., Rybachek S. A new ionospheric mechanism of electromagnetic ELF precursors to Earthquakes // Geomagn. Aeron. – 2001. – V. 63. – № 1. – P. 3–10. 15. Budden K.G. Radiowaves in the ionosphere. – Cambridge Univ. Press, 1961. – 542 p.
52 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
В.А. Толмачев, Д.А. Субботин
16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1966. – 295 с. 17. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. – М.: Наука, 1967. – 683 с. 18. Рыбачек С.Т. О влиянии существенной области ионосферного слоя на характеристики распростране-
ния СДВ // Изв. вузов. Радиофизика. – 1972. – Т. 15. – № 9. – С. 1300–1303.
Рыбачек Светлана Тимофеевна Белянский Максим Анатольевич
– Санкт-Петербургский государственный университет, кандидат физ.-мат. наук, доцент, rybachek_st@mail.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет, аспирант, maxim_belyansky@mail.ru
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
53
УДК 538.566
ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ, СОЗДАВАЕМЫХ В НИЖНЕЙ ИОНОСФЕРЕ
НИЗКОЧАСТОТНЫМИ ПРИЗЕМНЫМИ АНТЕННАМИ
С.Т. Рыбачек, М.А. Белянский
Рассматривается проблема определения электромагнитных полей, создаваемых в нижней ионосфере (50–500 км) приземными низкочастотными антеннами. Решение строится методом нормальных волн в рамках моделей сферического волновода Земля–ионосфера, радиально неоднородной анизотропной ионосферы, произвольной ориентации геомагнитного поля и электрических и магнитных диполей. Определение полей в ионосфере на больших высотах в области нестабильности решения сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений для касательных компонент полей проникающей собственной волны. На меньших высотах интегрируется комбинация дифференциальных уравнений для адмитанса и для касательных компонент собственных волн. Начальные условия задаются в приближении ВКБ (Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна). С помощью обобщенных теорем взаимности получена связь между компонентами полей, возбуждаемыми в ионосфере различными приземными излучателями. Ключевые слова: электромагнитные поля, анизотропная ионосфера, низкочастотные антенны.
Введение
Проблема распространения низкочастотных (НЧ) радиоволн 0,3–30 кГц в ионосфере Земли относится к ряду сравнительно новых. Впервые возможность просачивания волн этого диапазона в ионосферу и магнитосферу Земли отметил Т.Л. Эккерслей [1] в 1935 г. Исследования свистящих атмосфериков позволили предложить [2] и развить [3] механизм распространения НЧ волн по траекториям, близким к силовым линиям геомагнитного поля, который до сих пор широко используется для интерпретаций экспериментальных данных наряду с другими [4]. Однако возможности исследования структуры ионосферных полей с помощью НЧ источников естественного происхождения ограничены. Более перспективными для диагностики ионосферной плазмы оказались эксперименты по регистрации сигналов наземных НЧ радиостанций с помощью аппаратуры, установленной на борту искусственных спутников Земли (ИСЗ) [5], а также проводимые в течение последних десятилетий в ряде стран эксперименты по регистрации наземными станциями электромагнитных полей, возбуждаемых НЧ антеннами, расположенными на ИСЗ. Эксперименты, выполненные в г. Горьком в 1973–1974 г.г., показали, что при воздействии на нижнюю ионосферу мощным высокочастотным модулированным по амплитуде излучением возникает НЧ излучение на частоте модуляции. Это открытие привлекло внимание исследователей к более низким, по сравнению со спутниковыми, высотам расположения излучателей.
К настоящему времени опубликованы многочисленные теоретические исследования по разработке моделей сред распространения и методов расчета полей. Большая часть из них посвящена распространению радиоволн либо в ионосфере [6, 7], либо в приземном волноводе [8, 9]. Значительное число работ посвящено также комплексной проблеме излучения антенн в плазме с последующим распространением до земной поверхности [10, 11]. Гораздо меньше публикаций имеется по второй комплексной проблеме излучения наземных антенн с последующим распространением в ионосфере [12]. Как правило, в работах по обеим комплексным проблемам используется модель плоского волновода и рассматриваются частные случаи ориентации геомагнитного поля и диполей, моделирующих антенны.
Вторая комплексная проблема рассматривалась авторами в [12–13] как вспомогательная задача при исследовании возбуждения приземного волновода антеннами, расположенными на ИСЗ, и в работе [14], связанной с возможностью предсказания землетрясений. Публикации по этой теме имеют пробелы, связан-
ные с изучением ионосферных полей на высотах ∼ 50−120 км, а также по охвату значений параметров,
влияющих на НЧ поля на больших высотах. Вследствие этого возникает необходимость более полного изучения структуры радиополей, создаваемых приземными НЧ излучателями в нижней ионосфере.
Постановка задачи
Обсуждаемая проблема сводится к ряду волноводных задач и к интегрированию уравнений Максвелла для анизотропной ионосферы. Волновод Земля – ионосфера моделируется сферической полостью со свойствами свободного пространства (вводится сферическая система координат r,, с началом в центре
Земли). Ионосфера описывается уравнениями для полей в приближении холодной плазмы, нелинейные эффекты не учитываются. Свойства ионосферы полагаются зависящими лишь от радиальной координаты, вектор геомагнитного поля имеет произвольную ориентацию. Антенны моделируются элементарными электрическими и магнитными диполями произвольной ориентации, расположенными в полости волновода
при r b, 0 . В работе используется система СИ и зависимость от времени exp(it) .
Волноводные задачи сводятся к уравнениям Максвелла для полости волновода
rot E ik H , rot H ik(E pe / 0 ) ,
(1)
48 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
С.Т. Рыбачек, М.А. Белянский
rot E ik(H z0pm / 0 ) , rot H ikE .
(2)
В уравнениях (1) и (2) pe и pm – объемные плотности дипольных моментов электрического и
магнитного диполей, H z0Η , а k, 0,0 и z0 – волновое число, диэлектрическая и магнитная проницаемости и характеристический импеданс вакуума соответственно. Граничные условия на нижней стенке
волновода ( r a ) описываются матрицей импеданса Земли, а на верхней стенке ( r d ) – матрицей ад-
митанса ионосферы [15]:
E E
0
0
H H
,
r a;
H H
aˆ
E
E
,
r d.
(3)
Здесь – приближенный поверхностный импеданс Земли. Кроме того, должны быть выполнены
условия ограниченности полей E и H при 0, и условия их убывания при r . Общее решение
уравнений Максвелла дается суперпозицией двух фундаментальных решений. Поперечно-магнитное
поле описывается электрическим Πe eer , а поперечно-электрическое магнитным Πm mer потенциалами Герца. В области вне источников связь полей с потенциалами имеет следующий вид:
H e ik rot Πe , Ee rot rot Π e , Em ik rot Π m , H m rot rot Πm .
(4)
Волноводные задачи
Основной является задача для радиального электрического диполя. Решение строится методом нормальных волн в виде разложения по собственным функциям радиального оператора, который определяется дифференциальными уравнениями и граничными условиями, вытекающими из (3):
, d 2
dr
2
k
2
R(e) 1/
R(m) 1/
2 2
(kr (kr
) )
2
1/ r2
4
R(e) 1/
R(m) 1/
2 2
(kr (kr
) )
(5)
, ,R '(e) 1/ 2
(kr)
iR( e)1/ 2
(kr)
R '(m) 1/ 2
(kr)
iR(m1)/ 2
(kr)
/
ra
(6)
(граничные условия при r d не выписываются). В (6) штрих обозначает производную по аргументу.
Спектральная задача (5), (6) позволяет найти собственные функции и уравнение для собственных значе-
ний s (s=1, 2, ...). В результате для потенциалов получаем следующие ряды нормальных волн:
e
.
m
Pe 40 kb 2
s
R(e) 1/
2
(kb)
R(e) 1/
2
(kr
)
1/
2
R(m) 1/
2
(kr
)
P1/2 ( cos ) N1/2 cos()
(7)
Здесь Pe – величина дипольного момента электрического диполя, а ;
R(i) 1/ 2
(kr)
,
(i=e,m);
1/ 2 ;
N1/ 2 при s – собственные значения и функции, коэффициент поляризации и норма оператора.
Использование асимптотик функций Лежандра [16]
P1/2 (cos ) [2 / ( sin )]1/2 sin( / 4), | | 1, | | ( ) 1 ,
(8)
и замена функции [cos()]1 геометрической прогрессией позволяют пренебречь в (7) кругосветными и
антиподными волнами и ограничиться рассмотрением прямой волны, пришедшей от источника в точку
наблюдения по кратчайшему расстоянию. При этом зависимость потенциалов от угла принимает вид
(sin )1/2 exp(i).
(9)
Касательные компоненты полей в полости волновода в области вне источников можно определить, дифференцируя потенциалы (7) в соответствии с (4). Радиальные компоненты удобно найти, используя связь спектральных задач для поперечного и продольного операторов:
Er
H
r
1 r2
s
2 1/ 4
es ms
.
(10)
Здесь es , ms – отдельные члены рядов (7). Решение волноводных задач для других излучателей
опирается на решение для радиального электрического диполя. В случае радиального магнитного диполя
используется принцип перестановочной двойственности для анизотропных сред [12], который позволяет
построить решение с помощью перестановок компонент полей и параметров в формулах, описывающих
решение для радиального электрического диполя. Поля касательного к границам раздела электрического
диполя можно найти, применяя обобщенную теорему взаимности для анизотропных сред [17]:
Ee (1, H0 ) Ee (2, H0 ) ,
H
e
(1,
H0
)
gEm
(2,
H0
)
,
(11)
gEm
(1,
H0
)
H
e
(2,
H0
)
,
H
m
(1,
H0
)
H
m
(2,
H0 )
,
g .z0 Pe Pm1
Абсолютные значения дипольных моментов в теореме взаимности для двух электрических дипо-
лей полагаются одинаковыми и обозначаются Pe . Аналогичные значения для магнитных диполей обо-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
49
ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ...
значены Pm . В (11) 1 и 2 – две пространственные точки. Индексы e и m у компонент полей относятся к
электрическим и магнитным диполям соответственно, так что
Ee (1, H0 )
и
H
e
(1,
H
0
)
,
например,
–
ξ
–
компоненты полей, создаваемые в точке 2 расположенным в точке 1 электрическим диполем с диполь-
ным моментом Pe , ориентированным вдоль орта e ( , r, , ), при этом геомагнитное поле есть H0 .
Радиальные компоненты электрического (магнитного) поля горизонтального электрического диполя
можно найти, используя теоремы взаимности для такого диполя и вспомогательного радиального элек-
трического (магнитного) диполя. Далее с помощью (10) определяются потенциалы, дифференцируя ко-
торые по координатам в соответствии с формулами (4), можно найти касательные компоненты электри-
ческого и магнитного полей. Аналогично находятся поля горизонтального магнитного диполя.
Поля в ионосфере
Уравнения Максвелла в анизотропной ионосфере имеют вид
rot E ik H , rot H ikˆmE ,
(12)
где ˆm – тензор относительной комплексной диэлектрической проницаемости среды. Асимптотическое
разделение переменных в уравнениях (12), базирующееся на использовании асимптотик (8), позволяет,
учитывая (9) и опуская индекс s у собственного значения, представить поля нормальной волны в ионо-
сфере в виде
ε εe() exp(i)(sin )1/2 , e() r () ,
(
)
{E(
) , E(
)
,
H
(
)
,
H
(
) },
(13)
εгде ( ) – матрица-столбец 4×1 с компонентами, указанными в фигурных скобках. Вектор e() удовле-
творяет дифференциальному уравнению
de() / dx ikTˆe() , x = kr.
(14)
Здесь Tˆ – матрица 4×4, элементы которой имеют следующий вид:
T11 S r
rr ,
T12 S r
rr ,
T14
1
S
2
rr ,
T23 1 ,
, , , ,T31 rr T32 S2 rr T34 S r rr T41 rr
(15)
T42 rr , T44 S r rr , T13 T21 T22 T24 T33 T43 0 .
S sin (, r) (kr)1 .
(16)
В формулах (15) и (16) значения in (i,n r,,) определяются элементами in тензора ˆm , а
(, r) – комплексный угол падения нормальной волны на ионосферу. Уравнение (14) по форме совпа-
дает с уравнением, описывающим прохождение плоских волн в однородной анизотропной плазме [15].
Отличие состоит в том, что в рассматриваемой нами задаче свойства среды зависят от радиальной коор-
динаты, а элементы тензора Tˆ зависят от r и спектрального параметра . Из четырех линейно незави-
симых решений системы (14) граничным условиям, состоящим в требовании убывания поля при r ,
ε εудовлетворяют два, e1() и e(2) (
и( )
1
( 2
) ).
На
произвольной
высоте
в
ионосфере
поле
нормальной
волны номера s можно представить суммой собственных волн,
ε ε ε C C ,(s )
(s ) 1s 1
(s ) 2s 2
εгде
( p
s
)
(
p
1,2)
– матрица-столбец вида (13),
(17)
ε (s ) p
(r
sin )1 exp(is)e(ps ) .
(18)
Постоянные C1s и C2s в (17) определяются из условий сшивания при r d тангенциальных ком-
понент электрического и магнитного полей нормальной волны номера s , найденных в волноводе и ио-
носфере. Касательные составляющие полных полей в ионосфере представляются рядами нормальных
ε εволн s1 (s ) , радиальные находятся из уравнений Максвелла:
Er
(rr )1 r E
r E
s 1
s kr
H
(s
)
,
,Hr
s s1 kr
E(s )
(формулы (19) получаются из уравнений Максвелла).
ε εС помощью волн
( 1
s
)
и
( 2
s
)
(18)
можно
ввести
адмитанс
ионосферы
aˆ ( )
[15]
(19)
50 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
С.Т. Рыбачек, М.А. Белянский
H () 1
H () 1
H () 2
H () 2
aˆ ( )
E() 1
E() 1
E() 2
E() 2
.
(20)
Адмитанс aˆ() удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению
daˆ() / dx i(aˆ() B12aˆ() B21 aˆ() B11 B22aˆ() ) , где значения Bin определяются элементами матрицы Tin (15):
(21)
B11
T11
0
T12 0
,
B12
T13 T23
T14 0
,
B21
T31 T41
T32 T42
,
B22
0
0
T34 T44
.
В волноводных задачах адмитанс aˆ() можно определить, интегрируя уравнения (21) для элемен-
тов матрицы адмитанса. Задавая в качестве начальных условий решения ВКБ [15] при некотором значении r r0 , можно найти адмитанс aˆ aˆ() при r d , который используется в граничном условии (3).
Значение r0 соответствует верхней границе области, существенной для распространения волн в волноводе [18], и определяется параметрами задачи и заданной точностью расчета полей. Уравнения интегри-
руются при вычислении корня s характеристического уравнения при каждой итерации, при этом в со-
ε εответствии с формулой (20) адмитанс несет в себе информацию об обоих решениях,
( 1
s
)
и
(s 2
)
.
Матрица адмитанса может быть рассчитана на любых высотах H r a в ионосфере без возник-
новения численных неустойчивостей, однако для определения компонент ионосферных полей необхо-
димо дополнительное интегрирование. Использование уравнений (14) на больших высотах H (порядка
сотен километров) приводит к появлению таких нестабильностей, так как из двух собственных решений
только одно является существенно распространяющимся. Второе быстро затухает по мере распростране-
ния в ионосфере и на больших высотах приводит к потере линейности решений и неустойчивости рас-
пространяющейся (проникающей) волны [7]. Однако на высотах H H1 сильно затухающее решение пренебрежимо мало по сравнению с распространяющейся волной, которая в этом случае описывает пол-
ное поле. Значение H1 зависит от параметров задачи и заданной точности решения (см. ниже). На высо-
тах H H1 ионосферные поля можно найти, интегрируя уравнения для компонент полей (14) или комбинированную систему уравнений для матрицы адмитанса (21) и компонент полей.
Соотношения между компонентами ионосферных полей различных излучателей
Зависимость потенциалов (7) от координат для каждой отдельной нормальной волны с учетом
выражений (9) описывается функциями
e
~
R(e) 1/
2
(kr
)
exp(i)(sin
)1/
2
,
m
~
R(m) 1/
2
(
kr
)
exp(i)(sin
)1/
2
.
Из формул (4) и (10), опуская индексы e и m у компонент полей, можно получить
(22)
E
H
1 r
2 e
r
m
,
E H
ik r
m
e
,
Er
H
r
2
1/ 4 e
r2
m
.
(23)
Используя выражения (22), (23), полагая функцию (sin )1/ 2 медленно меняющейся по сравне-
нию с exp(i) и считая, что | | 1 , найдем отношения компонент полей в полости волновода
E / Er ikrR(e)1/2' (kr) / [R(e)1/2 (kr)] ,
Hr / H R(m1)/2 (kr) / [ikrR(m1)/2' (kr)] ,
(24)
E
/
H
,R(e) 1/
2'
(kr
)
/
[iR(e)1/
2
(kr
)]
E / H
iR( m1)/ 2
(kr)
/
[
R(m) 1/
2'
(kr
)]
.
Если точка наблюдения располагается на поверхности Земли, то в силу граничных условий (6) от-
ношения (24) принимают следующий вид:
E / Er ka / , Hr / H / (ka) , E / H , E / H . Теоремы взаимности (11) позволяют получить отношения какой-либо (одной и той же) компонен-
ты полей, возбуждаемых в ионосфере в точке 2 с координатами (r, ) различными излучателями, рас-
положенными в полости волновода в точке 1 (b, 0) . Эти отношения с учетом выражений (24) можно
записать в следующем виде:
Be ([ikbR(e)1/2' (kb)] / [R(e)1/2 (kb)])Ber , Bm ([iR(m1)/2' (kb)] / [gR(m1)/2 (kb)])Be ,
Bm
([ikbR(m1)/2' (kb)] / [R(m1)/2 (kb)])Bmr ,
Be
([igR( e)1/ 2'
(kb)]
/
[R(e) 1/ 2
(kb)])Bm
.
(25)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
51
ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ...
Здесь вектор Bq (q e, m; r, , ) – матрица-столбец 6×1, элементами которой являются ком-
поненты напряженностей электрического E и магнитного H полей. При расположении излучателя на
поверхности Земли (b a) из выражений (25) с учетом (6) вытекает, что
Be g Bm , Be g Bm , Be (ka / )Ber , Bmr [ / (ka)]Bm .
(26)
Из приближенных выражений (26) вытекает, что при анализе структуры ионосферных полей достаточно ограничиться рассмотрением лишь двух ионосферных излучателей. Результаты численных расчетов компонент полей рассмотрим в последующих работах.
Заключение
В работе изложена теория распространения в ионосфере электромагнитных волн, излучаемых источниками, расположенными вблизи поверхности Земли. В рамках моделей анизотропной, неоднородной по радиальной координате ионосферы, сферического регулярного приземного волновода, а также электрических и магнитных диполей различной ориентации она сводится к двум проблемам.
Первая проблема связана с волноводными задачами для электрических и магнитных диполей, которые решаются с помощью принципа перестановочной двойственности и обобщенных теорем взаимности для анизотропных сред.
Вторая проблема связана с нахождением полей в ионосферной плазме. Дифференциальные уравнения для матричного адмитанса и касательных компонент полей интегрируются в области ионосферных высот Н1–Н0 , где Н0 – начало ионосферного слоя. В области, расположенной выше Н1, интегрируются лишь уравнения для касательных компонент одной «проникающей» собственной ионосферной волны, которая и описывает полное поле.
С помощью обобщенных теорем взаимности получена связь между компонентами полей, создаваемых в ионосфере электрическими и магнитными приземными диполями различных ориентаций.
Полученные теоретические результаты легли в основу алгоритмов, которые позволили провести численное исследование особенностей структуры электромагнитных полей, возбуждаемых низкочастотными антеннами, расположенными вблизи поверхности Земли. Результаты численных расчетов анализируются во второй части работы.
Литература
1. Eckersley T.L. Musical atmospherics // Nature. – 1935. – V. 135. – P. 104–123. 2. Storey L.R.O. An investigation of whistling atmospherics // Phil. Trans. Roy. Soc. – 1953. – V. 246A. –
№ 908. – P. 113–141. 3. Helliwell R.A.Whistlers and Related Ionospheric Phenomena. – Stan. Univ. Pr. – 1965. – 365 p. 4. Мальцева О.А., Молчанов О.А. Распространение низкочастотных волн в магнитосфере Земли. – М.:
Наука, 1987. – 117 с. 5. Laaspere T., Johnson W.C. Additional results from an OGO 6 experiment concerning ionospheric electric
and electromagnetic fields in the range 20 Hz to 540 kHz // J. Geophys. Res. – 1973. – V. 78. – № 16. – P. 2926–2944. 6. Galejs J. Stable solution of ionospheric fields in propagation of ELF and VLF waves // Radio Sci. – 1972. – V. 7. – № 5. – P. 549–561. 7. Budden K.G. The theory of coupling of characteristic radio waves in the ionosphere // J. Atmos.Terr. Phys. – 1972. – V. 34. – № 11. – P. 1909–1921. 8. Galejs J. Terrestrial Propagation of Long Electromagnetic Waves. – New York: Pergamon. Press, 1972. – 362 р. 9. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение радиоволн в волноводном канале Земляионосфера и в ионосфере. – М.: Наука, 1994. – 150 с. 10. Pappert R.A. Excitation of the Earth-ionosphere waveguide by point dipoles at satellite heights // Radio sci. – 1973. – V. 8. – № 6. – P. 535–545. 11. Котик Д.С., Поляков С.В., Яшнов В.А. Возбуждение волновода Земля–ионосфера низкочастотными источниками, расположенными в неоднородной ионосфере // Изв. вузов. Радиофизика. – 1978. – Т. 21. – № 7. – C. 938–944. 12. Рыбачек С.Т. Электромагнитные поля точечных диполей в волноводе Земля–ионосфера // Изв. вузов. Радиофизика. – 1985. – Т. 28. – № 4. – С. 406–415. 13. Рыбачек С.Т. Электромагнитные поля ионосферных точечных диполей в волноводе Земля– ионосфера. // Ibid № 6. – C. 703–711. 14. Borisov N., Chmyrev V., Rybachek S. A new ionospheric mechanism of electromagnetic ELF precursors to Earthquakes // Geomagn. Aeron. – 2001. – V. 63. – № 1. – P. 3–10. 15. Budden K.G. Radiowaves in the ionosphere. – Cambridge Univ. Press, 1961. – 542 p.
52 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
В.А. Толмачев, Д.А. Субботин
16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1966. – 295 с. 17. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. – М.: Наука, 1967. – 683 с. 18. Рыбачек С.Т. О влиянии существенной области ионосферного слоя на характеристики распростране-
ния СДВ // Изв. вузов. Радиофизика. – 1972. – Т. 15. – № 9. – С. 1300–1303.
Рыбачек Светлана Тимофеевна Белянский Максим Анатольевич
– Санкт-Петербургский государственный университет, кандидат физ.-мат. наук, доцент, rybachek_st@mail.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет, аспирант, maxim_belyansky@mail.ru
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
53