Интервальный анализ моделей потенциала влаги в зерне пшеницы
УДК 664.047
Интервальный анализ моделей потенциала влаги в зерне пшеницы
Подгорный С.А., Кошевой Е.П., Косачѐв В.С.
ep-koshevoi@mail.ru
Кубанский государственный технологический университет, г. Краснодар, Россия
Использование модельных представлений позволяет значительно улучшить описание связи влажности материала с потенциалом влаги в материале. Данная работа посвящена определению параметров распространенных моделей равновесий влаги в зерне пшеницы. Цель работы - выбор наиболее информативной модели потенциала влаги в материале.
Ключевые слова: потенциал влаги; зерно пшеницы; модели.
The interval analysis of models moisture potential in wheat grain
Podgorny S.A., Koshevoi E.P., Kosachov V. S. ep-koshevoi@mail.ru
The Kuban state technological university, Krasnodar, Russia
Use of modelling representations allows to improve considerably the description of communication of humidity of a material with moisture potential in a material. The given work is devoted definition of parametres of widespread models moisture equilibriums in wheat grain. The aim of work - a choice of the most informative model moisture potential in a material.
Keywords: moisture potential; wheat grain; models.
Цель работы - выбор наиболее информативной модели потенциала влаги в материале. Проведен сравнительный анализ статистическими методами [1] двух и трехпараметрических моделей, рассмотренных в работе [2] (GAB и MGAB – уравнение Guggenheim, Anderson, de Boer; MOE уравнение Oswin; MHDE - уравнение Henderson; MCE - уравнение ChungPfost), в которых зависимость влажности является функцией активности. Анализ этих моделей основан на выделении компромиссного множества вариантов наиболее полно характеризующих полученный объем данных по адекватности исследуемых моделей по различным выражениям для функции ошибок, которые обоснованы и использованы ранее [3,4]. Исходными
данными в этом случае являются варианты оценок в рамках моделей, которые хотя бы по одному из оценочных критериев превосходят остальные. Для применения принципа Парето [5] доминирования двухпараметрических моделей ввели шкальную оценку критериев на основе функции желательности нормированной на интервале значений каждого критерия от одного (наихудший) до трех (наилучший) значения. Для трехпараметрических моделей ввели шкальную оценку критериев на основе функции желательности нормированной на интервале значений каждого критерия от одного (наихудший) до пяти (наилучший) значения. В качестве критериев использовались минимум суммы стандартных отклонений между модельным и экспериментальным потенциалом (min), Минимальное значение квадрата отсекаемого отрезка между модельным и экспериментальным потенциалом (a)2min, коэффициент корреляции между модельным и экспериментальным потенциалом (r) и коэффициент наклона прямой между модельным и экспериментальным потенциалом (b).
Наличие нескольких параметров в модели позволяет значительно увеличить адекватность модели эксперименту. В тоже время существенной разницы в описании экспериментальных данных двух и трех параметрических моделях выявлено не было. Поэтому рассмотрим несколько трехпараметрических моделей, определим компромиссное множество по множеству критериев использующих различные целевые функции повышающие адекватность этих моделей.
Вначале рассмотрим несколько трехпараметрических моделей, определим компромиссное множество по множеству критериев использующих различные целевые функции повышающие адекватность этих моделей.
Модель на основе модифицированного уравнения MHDE:
uTA
ln 1
c
AMHDE
a Tw b
Модель на основе модифицированного уравнения MOE:
c
uTA
a b Tw
AMOE 1 AMOE
Модель на основе уравнения GAB:
( 1) ( 2)
a b c AGAB uTA 1 c AGAB 1 c AGAB b c AGAB
( 3)
Модель на основе модифицированного уравнения MGAB:
uTA
ab c Tw
AMGAB
1 b AMGAB
1 b AMGAB b
c Tw
Модель на основе уравнения MCE:
AMGAB
( 4)
uTA
1 ln Tw b ln AMCE ca
( 5)
Оптимальность по Парето в задачах рационального выбора – свойство
альтернатив, которое обычно признается необходимым для решения в случае
многокритериальности. Применительно к анализу трехпараметрических
моделей это выделение компромиссного множества вариантов наиболее
полно характеризующих полученный объем данных по адекватности
исследуемых моделей. Исходными данными в данном случае являются
варианты оценок в рамках моделей, которые хотя бы по одному из
оценочных критериев превосходят остальные. Для применения Парето
доминирования введем шкальную оценку критериев на основе функции
желательности нормированной на интервале значений каждого критерия от
одного (наихудший) до трех (наилучший) значения.
Таблица 1 Доминированное по Парето подмножество трехпараметрических моделей
Модель MHDE MHDE MHDE MHDE MHDE MOE MOE MOE MOE GAB GAB MGAB MGAB MCE MCE MCE
Zf ZMPS ZSAE ZARE ZCDS ZHFE ZCDS ZMPS ZHFE ZSAE ZCDS ZMPS ZCDS ZSSE ZCDS ZMPS ZHFE
463 456 465 417 376 654 281 377 272 531 498 698 572 358 258 250
(a)2 248 153 73 482 31 2292 62 1 64 81 296 2226 7 347 33 6
b 0,843 0,84 0,824 0,889 0,885 0,768 0,935 0,876 0,934 0,775 0,81 0,736 0,733 0,925 0,952 0,948
r 0,918 0,917 0,917 0,958 0,944
0,973 0,967
0,95 0,967 0,902
0,9 0,927 0,936 0,978 0,976 0,974
Модель
Zf
(a)2
b
r
MCE
ZSAE
248 15 0,95 0,975
Как видно из представленных данных (Таблица 1) наилучшим
сочетанием критериев отвечает модель MCE использующая целевые
функции ZMPS и ZCDS.
300
250
200
, Дж/кг
150
100
50
0
-50 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 U, кг/кг
QMCE QAIR
Рис. 1 Модель MCE критерий ZMPS, Fинф=603
Как видно из представленных графиков (Рис. 1 и Рис. 2) наиболее информативной является модель соответствующая последнему из представленных вариантов, так как она более адекватна по критерию Фишера. С точки зрения набора оценочных критериев компромиссное множество трехпараметрических моделей характеризуется следующим набором границ по наилучшему и наихудшему вариантам.
Таблица 2 Границы оценочных критериев компромиссного по Парето подмножества трехпараметрических моделей
Вариант Наилучший Наихудший
258 358
(a)2 33 347
b 0,952 0,925
r 0,978 0,976
Представленные выше данные (Таблица 2) позволяют не только оценить качество множества рассмотренных трехпараметрических моделей, но и сравнить их с двухпараметрическими моделями.
300
250
200
, Дж/кг
150
100
50
0
-50 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 U, кг/кг
QMCE QAIR
Рис. 2 Модель MCE критерий ZCDS, Fинф=645
Рассмотрим несколько двухпараметрических моделей, как и в предыдущем случае, определим компромиссное множество по множеству критериев использующих различные целевые функции повышающие адекватность этих моделей.
Рассмотрим модель на основе уравнения Hen:
uTA
b
1 ln 1 AHen a Tw
Рассмотрим модель на основе уравнения Chung & Pfost (ChPf):
( 6)
uTA
ln 1
1
R Tw a
ln AChPf
b
( 7)
Применительно к анализу двухпараметрических моделей выделение
компромиссного множества вариантов наиболее полно характеризующих
полученный объем данных по адекватности исследуемых моделей.
Исходными данными в данном случае являются варианты оценок в рамках
моделей, которые хотя бы по одному из оценочных критериев превосходят
остальные.
Таблица 3 Доминированное по Парето подмножество двухпараметрических моделей
Модель
Zf
(a)2
b
r
Hen ZMPS
407 153 0,873 0,934
Hen ZHFE
412 40 0,861 0,934
Hen ZARE
399 73 0,869 0,934
ChPf
ZCDS
671
2132
0,751
0,937
ChPf
ZHFE
470 40 0,831 0,924
ChPf
ZSAE
432
223 0,864
0,93
Выделение вариантов из подмножества данных (Таблица 3) будем
осуществлять на основе аксиомы разумного выбора, которая позволяет
выделить определенный достаточно широкий класс многокритериальных
задач, в которых успешный выбор обязательно должен осуществляться в
пределах множества Парето. Наилучшим сочетанием критериев отвечает
модель Hen использующая целевую функцию ZMPS и модель ChPf
использующая целевую функцию ZCDS. Эти модели представлены ниже.
, Дж/кг
300
250
200
150
100
50
0
-50 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 U, кг/кг QHen QAIR
Рис. 3 Модель Hen критерий ZMPS, Fинф=207
300
250
200
150
100
50
0
-50 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 U, кг/кг QChPf QAIR
, Дж/кг
Рис. 4 Модель ChPf критерий ZCDS, Fинф=217
Как видно из представленных данных (Рис. 3 и Рис. 4) предпочтительней модель Hen, так как систематическое отклонение модельных данных явно ниже, чем в модели ChPf. Исходя из этого можно сделать вывод об ограниченности применения информационного критерия Фишера, так как по втором случае он несколько лучше. С точки зрения набора оценочных критериев компромиссное множество двухпараметрических моделей характеризуется следующим набором границ по наилучшему и наихудшему вариантам.
Таблица 4 Границы оценочных критериев компромиссного по Парето подмножества трехпараметрических моделей
Вариант Наилучший Наихудший
407 671
(a)2 153 2132
b 0,873 0,751
r 0,937 0,934
Представленные выше данные (Таблица 4) позволяют не только оценить качество множества рассмотренных двухпараметрических моделей, но и сравнить их с трехпараметрическими моделями. Рассмотрим границы компромиссных областей двух и трехпараметрических моделей (Таблица 5).
Таблица 5 Интервалы компромиссных множеств моделей
Два параметра Наилучший Наихудший
Три параметра Наилучший Наихудший
407
671 258
358
(a)2 153
2132 (a)2 33
347
b 0,873 0,751
b 0,952 0,925
r 0,937 0,934
r 0,978 0,976
Как видно из представленных данных (Таблица 55) интервалы
компромиссного множества трехпараметрических моделей значимо
отличаются в лучшую сторону от аналогичных интервалов компромиссного
множества
двухпараметрических
моделей.
Следовательно,
трехпараметрическая модель MCE является наиболее информативной в
рассмотренном множестве моделей.
Вывод
Интервалы компромиссного множества трехпараметрических моделей значимо отличаются в лучшую сторону от аналогичных интервалов компромиссного множества двухпараметрических моделей, а трехпараметрическая модель MCE является наиболее информативной в рассмотренном множестве моделей.
Список литературы 1.Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.- М.: Мир, 1973 - 957 с.
2. Oyelade O.J. Equilibrium Moisture Content Models for Lafun. International Journal of Food Engineering, 2008, 4(2), А4. 3. Подгорный С.А., Косачев В.С., Кошевой Е.П. Определение параметров математической модели равновесных свойств зерна в гигроскопической области нелинейной оптимизацией. Изв.ВУЗов “Пищевая технология”. 2010, №5-6, - с.84-86 4. Подгорный С.А., Кошевой Е.П., Косачев В.С., Зверев С.В. Статистическая оценка кластерной модели гигроскопичности зерна. Хранение и переработка сельхозсырья. -2011, №6, - с.11-14 5. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа.- М.: Наука. ГРФМЛ, - 1981. – 488с.
Интервальный анализ моделей потенциала влаги в зерне пшеницы
Подгорный С.А., Кошевой Е.П., Косачѐв В.С.
ep-koshevoi@mail.ru
Кубанский государственный технологический университет, г. Краснодар, Россия
Использование модельных представлений позволяет значительно улучшить описание связи влажности материала с потенциалом влаги в материале. Данная работа посвящена определению параметров распространенных моделей равновесий влаги в зерне пшеницы. Цель работы - выбор наиболее информативной модели потенциала влаги в материале.
Ключевые слова: потенциал влаги; зерно пшеницы; модели.
The interval analysis of models moisture potential in wheat grain
Podgorny S.A., Koshevoi E.P., Kosachov V. S. ep-koshevoi@mail.ru
The Kuban state technological university, Krasnodar, Russia
Use of modelling representations allows to improve considerably the description of communication of humidity of a material with moisture potential in a material. The given work is devoted definition of parametres of widespread models moisture equilibriums in wheat grain. The aim of work - a choice of the most informative model moisture potential in a material.
Keywords: moisture potential; wheat grain; models.
Цель работы - выбор наиболее информативной модели потенциала влаги в материале. Проведен сравнительный анализ статистическими методами [1] двух и трехпараметрических моделей, рассмотренных в работе [2] (GAB и MGAB – уравнение Guggenheim, Anderson, de Boer; MOE уравнение Oswin; MHDE - уравнение Henderson; MCE - уравнение ChungPfost), в которых зависимость влажности является функцией активности. Анализ этих моделей основан на выделении компромиссного множества вариантов наиболее полно характеризующих полученный объем данных по адекватности исследуемых моделей по различным выражениям для функции ошибок, которые обоснованы и использованы ранее [3,4]. Исходными
данными в этом случае являются варианты оценок в рамках моделей, которые хотя бы по одному из оценочных критериев превосходят остальные. Для применения принципа Парето [5] доминирования двухпараметрических моделей ввели шкальную оценку критериев на основе функции желательности нормированной на интервале значений каждого критерия от одного (наихудший) до трех (наилучший) значения. Для трехпараметрических моделей ввели шкальную оценку критериев на основе функции желательности нормированной на интервале значений каждого критерия от одного (наихудший) до пяти (наилучший) значения. В качестве критериев использовались минимум суммы стандартных отклонений между модельным и экспериментальным потенциалом (min), Минимальное значение квадрата отсекаемого отрезка между модельным и экспериментальным потенциалом (a)2min, коэффициент корреляции между модельным и экспериментальным потенциалом (r) и коэффициент наклона прямой между модельным и экспериментальным потенциалом (b).
Наличие нескольких параметров в модели позволяет значительно увеличить адекватность модели эксперименту. В тоже время существенной разницы в описании экспериментальных данных двух и трех параметрических моделях выявлено не было. Поэтому рассмотрим несколько трехпараметрических моделей, определим компромиссное множество по множеству критериев использующих различные целевые функции повышающие адекватность этих моделей.
Вначале рассмотрим несколько трехпараметрических моделей, определим компромиссное множество по множеству критериев использующих различные целевые функции повышающие адекватность этих моделей.
Модель на основе модифицированного уравнения MHDE:
uTA
ln 1
c
AMHDE
a Tw b
Модель на основе модифицированного уравнения MOE:
c
uTA
a b Tw
AMOE 1 AMOE
Модель на основе уравнения GAB:
( 1) ( 2)
a b c AGAB uTA 1 c AGAB 1 c AGAB b c AGAB
( 3)
Модель на основе модифицированного уравнения MGAB:
uTA
ab c Tw
AMGAB
1 b AMGAB
1 b AMGAB b
c Tw
Модель на основе уравнения MCE:
AMGAB
( 4)
uTA
1 ln Tw b ln AMCE ca
( 5)
Оптимальность по Парето в задачах рационального выбора – свойство
альтернатив, которое обычно признается необходимым для решения в случае
многокритериальности. Применительно к анализу трехпараметрических
моделей это выделение компромиссного множества вариантов наиболее
полно характеризующих полученный объем данных по адекватности
исследуемых моделей. Исходными данными в данном случае являются
варианты оценок в рамках моделей, которые хотя бы по одному из
оценочных критериев превосходят остальные. Для применения Парето
доминирования введем шкальную оценку критериев на основе функции
желательности нормированной на интервале значений каждого критерия от
одного (наихудший) до трех (наилучший) значения.
Таблица 1 Доминированное по Парето подмножество трехпараметрических моделей
Модель MHDE MHDE MHDE MHDE MHDE MOE MOE MOE MOE GAB GAB MGAB MGAB MCE MCE MCE
Zf ZMPS ZSAE ZARE ZCDS ZHFE ZCDS ZMPS ZHFE ZSAE ZCDS ZMPS ZCDS ZSSE ZCDS ZMPS ZHFE
463 456 465 417 376 654 281 377 272 531 498 698 572 358 258 250
(a)2 248 153 73 482 31 2292 62 1 64 81 296 2226 7 347 33 6
b 0,843 0,84 0,824 0,889 0,885 0,768 0,935 0,876 0,934 0,775 0,81 0,736 0,733 0,925 0,952 0,948
r 0,918 0,917 0,917 0,958 0,944
0,973 0,967
0,95 0,967 0,902
0,9 0,927 0,936 0,978 0,976 0,974
Модель
Zf
(a)2
b
r
MCE
ZSAE
248 15 0,95 0,975
Как видно из представленных данных (Таблица 1) наилучшим
сочетанием критериев отвечает модель MCE использующая целевые
функции ZMPS и ZCDS.
300
250
200
, Дж/кг
150
100
50
0
-50 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 U, кг/кг
QMCE QAIR
Рис. 1 Модель MCE критерий ZMPS, Fинф=603
Как видно из представленных графиков (Рис. 1 и Рис. 2) наиболее информативной является модель соответствующая последнему из представленных вариантов, так как она более адекватна по критерию Фишера. С точки зрения набора оценочных критериев компромиссное множество трехпараметрических моделей характеризуется следующим набором границ по наилучшему и наихудшему вариантам.
Таблица 2 Границы оценочных критериев компромиссного по Парето подмножества трехпараметрических моделей
Вариант Наилучший Наихудший
258 358
(a)2 33 347
b 0,952 0,925
r 0,978 0,976
Представленные выше данные (Таблица 2) позволяют не только оценить качество множества рассмотренных трехпараметрических моделей, но и сравнить их с двухпараметрическими моделями.
300
250
200
, Дж/кг
150
100
50
0
-50 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 U, кг/кг
QMCE QAIR
Рис. 2 Модель MCE критерий ZCDS, Fинф=645
Рассмотрим несколько двухпараметрических моделей, как и в предыдущем случае, определим компромиссное множество по множеству критериев использующих различные целевые функции повышающие адекватность этих моделей.
Рассмотрим модель на основе уравнения Hen:
uTA
b
1 ln 1 AHen a Tw
Рассмотрим модель на основе уравнения Chung & Pfost (ChPf):
( 6)
uTA
ln 1
1
R Tw a
ln AChPf
b
( 7)
Применительно к анализу двухпараметрических моделей выделение
компромиссного множества вариантов наиболее полно характеризующих
полученный объем данных по адекватности исследуемых моделей.
Исходными данными в данном случае являются варианты оценок в рамках
моделей, которые хотя бы по одному из оценочных критериев превосходят
остальные.
Таблица 3 Доминированное по Парето подмножество двухпараметрических моделей
Модель
Zf
(a)2
b
r
Hen ZMPS
407 153 0,873 0,934
Hen ZHFE
412 40 0,861 0,934
Hen ZARE
399 73 0,869 0,934
ChPf
ZCDS
671
2132
0,751
0,937
ChPf
ZHFE
470 40 0,831 0,924
ChPf
ZSAE
432
223 0,864
0,93
Выделение вариантов из подмножества данных (Таблица 3) будем
осуществлять на основе аксиомы разумного выбора, которая позволяет
выделить определенный достаточно широкий класс многокритериальных
задач, в которых успешный выбор обязательно должен осуществляться в
пределах множества Парето. Наилучшим сочетанием критериев отвечает
модель Hen использующая целевую функцию ZMPS и модель ChPf
использующая целевую функцию ZCDS. Эти модели представлены ниже.
, Дж/кг
300
250
200
150
100
50
0
-50 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 U, кг/кг QHen QAIR
Рис. 3 Модель Hen критерий ZMPS, Fинф=207
300
250
200
150
100
50
0
-50 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 U, кг/кг QChPf QAIR
, Дж/кг
Рис. 4 Модель ChPf критерий ZCDS, Fинф=217
Как видно из представленных данных (Рис. 3 и Рис. 4) предпочтительней модель Hen, так как систематическое отклонение модельных данных явно ниже, чем в модели ChPf. Исходя из этого можно сделать вывод об ограниченности применения информационного критерия Фишера, так как по втором случае он несколько лучше. С точки зрения набора оценочных критериев компромиссное множество двухпараметрических моделей характеризуется следующим набором границ по наилучшему и наихудшему вариантам.
Таблица 4 Границы оценочных критериев компромиссного по Парето подмножества трехпараметрических моделей
Вариант Наилучший Наихудший
407 671
(a)2 153 2132
b 0,873 0,751
r 0,937 0,934
Представленные выше данные (Таблица 4) позволяют не только оценить качество множества рассмотренных двухпараметрических моделей, но и сравнить их с трехпараметрическими моделями. Рассмотрим границы компромиссных областей двух и трехпараметрических моделей (Таблица 5).
Таблица 5 Интервалы компромиссных множеств моделей
Два параметра Наилучший Наихудший
Три параметра Наилучший Наихудший
407
671 258
358
(a)2 153
2132 (a)2 33
347
b 0,873 0,751
b 0,952 0,925
r 0,937 0,934
r 0,978 0,976
Как видно из представленных данных (Таблица 55) интервалы
компромиссного множества трехпараметрических моделей значимо
отличаются в лучшую сторону от аналогичных интервалов компромиссного
множества
двухпараметрических
моделей.
Следовательно,
трехпараметрическая модель MCE является наиболее информативной в
рассмотренном множестве моделей.
Вывод
Интервалы компромиссного множества трехпараметрических моделей значимо отличаются в лучшую сторону от аналогичных интервалов компромиссного множества двухпараметрических моделей, а трехпараметрическая модель MCE является наиболее информативной в рассмотренном множестве моделей.
Список литературы 1.Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.- М.: Мир, 1973 - 957 с.
2. Oyelade O.J. Equilibrium Moisture Content Models for Lafun. International Journal of Food Engineering, 2008, 4(2), А4. 3. Подгорный С.А., Косачев В.С., Кошевой Е.П. Определение параметров математической модели равновесных свойств зерна в гигроскопической области нелинейной оптимизацией. Изв.ВУЗов “Пищевая технология”. 2010, №5-6, - с.84-86 4. Подгорный С.А., Кошевой Е.П., Косачев В.С., Зверев С.В. Статистическая оценка кластерной модели гигроскопичности зерна. Хранение и переработка сельхозсырья. -2011, №6, - с.11-14 5. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа.- М.: Наука. ГРФМЛ, - 1981. – 488с.