Принцип виртуальных мощностей в реометрии пищевых сред
УДК 65.01
Принцип виртуальных мощностей в реометрии пищевых сред
Арет В.А., valdurtera@rambler.ru , Байченко Л.А., larabaychenko@yandex.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Рассмотрена задача моделирования течения пищевой среды методами вариационного исчисления
Ключевые слова: пищевая промышленность, вариационное исчисление
The principle of virtual capacity in foodstuff ‘s rheometry
Aret V.A, valdurtera@rambler.ru , Baychenko L.A, larabaychenko@yandex.ru
St. Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
The problem of modeling the flow of food products with methods the calculus of variations
Keywords: food processing industry, calculus of variations
Процессы течения при переработке пищевых продуктов можно
моделировать с использованием методов вариационного исчисления, которые
имеют некоторые достоинства по сравнению с аналогичными задачами
дифференциального исчисления. В капиллярной реометрии и в моделирования
течения степенной жидкости в трубах необходимые зависимости дает
вариационного
J
принципа
dv
МρосFоловvа-МdяvсниковаG[1]
:v
dS
;
(1)
VV
S
εij
1
D λ εij
dλ λ
;
D
ij
0
ij ij ,
(2)
где J – функционал, задача об экстремуме которого соответствует принципу
виртуальных мощностей для голономных диссипативных сплошных сред;
( ij) – диссипативный потенциал; D ( ij) – функция диссипации; ij – тензор скоростей деформации.
К числу степенных жидкостей относится тесто профилактического хлеба «Витамет» [2]. В простейшем случае капиллярной вискозиметрии при изотермическом ламинарном течении несжимаемой ньютоновской жидкости в горизонтальном капилляре (канале) имеем
D ij
τ dv ; dr
F
v dv
0;
ij
dv
2
;
2 dr
(3)
V
dv 2πrLdr; dS 2πrdr,
где τ – касательное напряжение; r – текущий радиус капилляра(канала); коэффициент динамической вязкости; L – длина капилляра (канала).
Тогда с учетом предыдущих зависимостей запишем
–
RR
J 2π dr 2π
dv
2
rL
0 0 2 dr
pvr dr ,
(4)
где R – радиус капилляра (канала). В силу основной леммы вариационного исчисления экстремум
функционала (4) по условию Эйлера–Лагранжа достигается, когда
d dr v
0, v
(5)
где
v dv dr
и
d 2v dr 2
1 dv r dr
p L
0.
(6)
Решение уравнения (6) при условиях v (R) = 0, v' (0) = 0 дает возможность установить распределение скоростей в канале и интегрирование – формулу Пуазейля. Аналогично можно получить формулы для степенной жидкости вида :
dv n 1 d 2v dr dr 2
1 dv n nr dr
p Lkn
0,
(7)
распределение скоростей течения
1
vn
p
n
1n
rn
n 1 2Lk
1n
Rn ,
(8)
Qрасход жидкости определяется интегралом вида:
0
Q 2π r v r dr
R
1
n R3 R p n
,
3n 1 2Lk
(9)
n kгде и -индекс течения и коэффициент консистенции степенной
kn 1жидкости. При
и
формулы (8) и (9) описывают течение
ньютоновских жидкостей. Данная заметка имела цель - обратить внимание на возможности использования математических методов вариационного
исчисления в реологии и в моделировании процессов переработки пищевых
сред.
Список литературы
1. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы теории течения жестко-вязко-пластичных сред . -М.:МГУ, 1971.- 114 с.
2. Андреев А.Н., Колодязная В.С., Байченко Л.А. Психореологические свойства хлеба «ВИТАМЕТ» Научный журнал СПбГУНИПТ. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств (электронный журнал) . — №1. — март 2009. http://processes.open-mechanics.com
Принцип виртуальных мощностей в реометрии пищевых сред
Арет В.А., valdurtera@rambler.ru , Байченко Л.А., larabaychenko@yandex.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Рассмотрена задача моделирования течения пищевой среды методами вариационного исчисления
Ключевые слова: пищевая промышленность, вариационное исчисление
The principle of virtual capacity in foodstuff ‘s rheometry
Aret V.A, valdurtera@rambler.ru , Baychenko L.A, larabaychenko@yandex.ru
St. Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
The problem of modeling the flow of food products with methods the calculus of variations
Keywords: food processing industry, calculus of variations
Процессы течения при переработке пищевых продуктов можно
моделировать с использованием методов вариационного исчисления, которые
имеют некоторые достоинства по сравнению с аналогичными задачами
дифференциального исчисления. В капиллярной реометрии и в моделирования
течения степенной жидкости в трубах необходимые зависимости дает
вариационного
J
принципа
dv
МρосFоловvа-МdяvсниковаG[1]
:v
dS
;
(1)
VV
S
εij
1
D λ εij
dλ λ
;
D
ij
0
ij ij ,
(2)
где J – функционал, задача об экстремуме которого соответствует принципу
виртуальных мощностей для голономных диссипативных сплошных сред;
( ij) – диссипативный потенциал; D ( ij) – функция диссипации; ij – тензор скоростей деформации.
К числу степенных жидкостей относится тесто профилактического хлеба «Витамет» [2]. В простейшем случае капиллярной вискозиметрии при изотермическом ламинарном течении несжимаемой ньютоновской жидкости в горизонтальном капилляре (канале) имеем
D ij
τ dv ; dr
F
v dv
0;
ij
dv
2
;
2 dr
(3)
V
dv 2πrLdr; dS 2πrdr,
где τ – касательное напряжение; r – текущий радиус капилляра(канала); коэффициент динамической вязкости; L – длина капилляра (канала).
Тогда с учетом предыдущих зависимостей запишем
–
RR
J 2π dr 2π
dv
2
rL
0 0 2 dr
pvr dr ,
(4)
где R – радиус капилляра (канала). В силу основной леммы вариационного исчисления экстремум
функционала (4) по условию Эйлера–Лагранжа достигается, когда
d dr v
0, v
(5)
где
v dv dr
и
d 2v dr 2
1 dv r dr
p L
0.
(6)
Решение уравнения (6) при условиях v (R) = 0, v' (0) = 0 дает возможность установить распределение скоростей в канале и интегрирование – формулу Пуазейля. Аналогично можно получить формулы для степенной жидкости вида :
dv n 1 d 2v dr dr 2
1 dv n nr dr
p Lkn
0,
(7)
распределение скоростей течения
1
vn
p
n
1n
rn
n 1 2Lk
1n
Rn ,
(8)
Qрасход жидкости определяется интегралом вида:
0
Q 2π r v r dr
R
1
n R3 R p n
,
3n 1 2Lk
(9)
n kгде и -индекс течения и коэффициент консистенции степенной
kn 1жидкости. При
и
формулы (8) и (9) описывают течение
ньютоновских жидкостей. Данная заметка имела цель - обратить внимание на возможности использования математических методов вариационного
исчисления в реологии и в моделировании процессов переработки пищевых
сред.
Список литературы
1. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы теории течения жестко-вязко-пластичных сред . -М.:МГУ, 1971.- 114 с.
2. Андреев А.Н., Колодязная В.С., Байченко Л.А. Психореологические свойства хлеба «ВИТАМЕТ» Научный журнал СПбГУНИПТ. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств (электронный журнал) . — №1. — март 2009. http://processes.open-mechanics.com