Например, Бобцов

Принцип виртуальных мощностей в реометрии пищевых сред

УДК 65.01
Принцип виртуальных мощностей в реометрии пищевых сред
Арет В.А., valdurtera@rambler.ru , Байченко Л.А., larabaychenko@yandex.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Рассмотрена задача моделирования течения пищевой среды методами вариационного исчисления
Ключевые слова: пищевая промышленность, вариационное исчисление
The principle of virtual capacity in foodstuff ‘s rheometry

Aret V.A, valdurtera@rambler.ru , Baychenko L.A, larabaychenko@yandex.ru

St. Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering

The problem of modeling the flow of food products with methods the calculus of variations

Keywords: food processing industry, calculus of variations

Процессы течения при переработке пищевых продуктов можно

моделировать с использованием методов вариационного исчисления, которые

имеют некоторые достоинства по сравнению с аналогичными задачами

дифференциального исчисления. В капиллярной реометрии и в моделирования

течения степенной жидкости в трубах необходимые зависимости дает

вариационного
J

принципа
dv

МρосFоловvа-МdяvсниковаG[1]

:v

dS

;

(1)

VV

S

εij

1
D λ εij

dλ λ

;

D

ij

0

ij ij ,

(2)

где J – функционал, задача об экстремуме которого соответствует принципу

виртуальных мощностей для голономных диссипативных сплошных сред;

( ij) – диссипативный потенциал; D ( ij) – функция диссипации; ij – тензор скоростей деформации.

К числу степенных жидкостей относится тесто профилактического хлеба «Витамет» [2]. В простейшем случае капиллярной вискозиметрии при изотермическом ламинарном течении несжимаемой ньютоновской жидкости в горизонтальном капилляре (канале) имеем

D ij

τ dv ; dr

 F

v dv

0;

ij

dv

2
;

2 dr

(3)

V
dv 2πrLdr; dS 2πrdr,
где τ – касательное напряжение; r – текущий радиус капилляра(канала); коэффициент динамической вязкости; L – длина капилляра (канала).
Тогда с учетом предыдущих зависимостей запишем



RR
J 2π dr 2π

dv

2
rL

0 0 2 dr

pvr dr ,
(4)

где R – радиус капилляра (канала). В силу основной леммы вариационного исчисления экстремум
функционала (4) по условию Эйлера–Лагранжа достигается, когда

d dr v

0, v

(5)

где

v dv dr

и

d 2v dr 2

1 dv r dr

p L

0.

(6)

Решение уравнения (6) при условиях v (R) = 0, v' (0) = 0 дает возможность установить распределение скоростей в канале и интегрирование – формулу Пуазейля. Аналогично можно получить формулы для степенной жидкости вида :

dv n 1 d 2v dr dr 2

1 dv n nr dr

p Lkn

0,

(7)

распределение скоростей течения

1

vn

p

n

1n
rn

n 1 2Lk

1n
Rn ,

(8)

Qрасход жидкости определяется интегралом вида:

0
Q 2π r v r dr
R

1
n R3 R p n
,
3n 1 2Lk

(9)

n kгде и -индекс течения и коэффициент консистенции степенной

kn 1жидкости. При

и

формулы (8) и (9) описывают течение

ньютоновских жидкостей. Данная заметка имела цель - обратить внимание на возможности использования математических методов вариационного

исчисления в реологии и в моделировании процессов переработки пищевых

сред.

Список литературы
1. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы теории течения жестко-вязко-пластичных сред . -М.:МГУ, 1971.- 114 с.
2. Андреев А.Н., Колодязная В.С., Байченко Л.А. Психореологические свойства хлеба «ВИТАМЕТ» Научный журнал СПбГУНИПТ. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств (электронный журнал) . — №1. — март 2009. http://processes.open-mechanics.com