Геометрические и оптические свойства афокальной двухзеркальной системы
ÓÄÊ 681.7.013.1
ÃÅÎÌÅÒÐ×ÅÑÊÈÅ È ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÀÔÎÊÀËÜÍÎÉ ÄÂÓÕÇÅÐÊÀËÜÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
2009 ã.
Â. È. Áàòøåâ; Ä. Ò. Ïóðÿåâ, äîêòîð òåõí. íàóê Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Òåõíè÷åñêèé Óíèâåðñèòåò èì. Í.Ý. Áàóìàíà, Ìîñêâà E-mail: batshev_vlad@mail.ru
Óñòàíîâëåíà ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè ïðîäîëüíûõ àáåððàöèé íîðìàëåé ïîâåðõíîñòåé, îáðàçóþùèõ àôîêàëüíóþ äâóõçåðêàëüíóþ ñèñòåìó (ÀÄÑ), èñïðàâëåííóþ íà ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ äëÿ îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé, ïîëó÷åíî îáîáùåííîå ãëîáàëüíîå ðåøåíèå ÀÄÑ. Ðàçðàáîòàí àëãîðèòì äëÿ ðàñ÷åòà íàêëîííûõ ìåðèäèîíàëüíûõ ïó÷êîâ ëó÷åé, èäóùèõ ÷åðåç ÀÄÑ.
Êîäû OCIS: 120.4640.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 02.06.2008.
Ââåäåíèå
ÀÄÑ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ëàçåðíîé òåõíèêå è â îïòè÷åñêîì ïðèáîðîñòðîåíèè. Ñðåäè âîçìîæíûõ ñôåð ïðèìåíåíèÿ ìîæíî íàçâàòü ñëåäóþùèå: àñòðîíîìèÿ, ëàçåðíàÿ ëîêàöèÿ, îïòè÷åñêàÿ ñâÿçü, èíòåðôåðîìåòðèÿ è äð. Îäíà èç òàêèõ ñèñòåì, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ïàðàáîëè÷åñêèõ çåðêàë, èçâåñòíà ïîä íàçâàíèåì ñèñòåìû Ìåðñåíà [1]. Îíà ïîëíîñòüþ ñâîáîäíà îò ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè ïðè ëþáûõ àïåðòóðàõ çåðêàë, â îáëàñòè àáåððàöèé òðåòüåãî ïîðÿäêà îòñóòñòâóþò êîìà è àñòèãìàòèçì, íî êðèâèçíà ïîëÿ ïðèíöèïèàëüíî íåóñòðàíèìà. Ñèñòåìà Ïóðÿåâà [2], ó êîòîðîé îäíî èç çåðêàë ñôåðè÷åñêîå, à äðóãîå – àñôåðè÷åñêîå, ñòðîãî ýêâèäèñòàíòíîå ìíèìîìó ïàðàáîëîèäó, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ÀÄÑ ñ ïîëíîñòüþ èñïðàâëåííîé ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèåé è èìååò íàä ñèñòåìîé Ìåðñåíà âàæíûå òåõíîëîãè÷åñêèå ïðåèìóùåñòâà.
Íî è ñèñòåìà Ìåðñåíà, è ñèñòåìà Ïóðÿåâà ÿâëÿþòñÿ ëèøü ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ ÀÄÑ, ïîëó÷åííîãî ïðîôåññîðîì Ä.Ò. Ïóðÿåâûì [3] â 1988 ãîäó. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîîòíîøåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ïî èçâåñòíîìó ïàðàìåòðè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé ñèñòåìû îïðåäåëèòü ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå äðóãîé ïîâåðõíîñòè ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ ïðèíöèïà Ôåðìà äëÿ îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé.  êà÷åñòâå ïàðàìåòðà â óðàâíåíèÿõ ïîâåðõíîñòåé âûñòóïàåò óãîë íàêëîíà íîðìàëè.
Ýòè ñîîòíîøåíèÿ áûëè ïîëó÷åíû ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî, è ñ òåõ ïîð áûëî ïðîâåäåíî íå òàê ìíîãî èññëåäîâàíèé, íàïðàâëåííûõ íà èçó÷åíèå ñâîéñòâ ÀÄÑ. À èçó÷åíèå ñâîéñòâ – ýòî ïóòü ê îòêðûòèþ íîâûõ åå âîçìîæíîñòåé. Íà ýòî è íàïðàâëåíà äàííàÿ ðàáîòà.  íåé óñòàíîâëåíî íîâîå îáùåå äëÿ âñåõ âàðèàíòîâ ÀÄÑ åå ãåîìåòðè÷åñêîå ñâîéñòâî, ïîêàçûâàþùåå ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè âûðàæå-
íèÿìè ïðîäîëüíûõ àáåððàöèé íîðìàëåé ïîâåðõíîñòåé, îáðàçóþùèõ ÀÄÑ. Ïîëó÷åíà èíòåðïðåòàöèÿ ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ, äàþùàÿ íîâûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõíîñòè ÀÄÑ ïðè èçâåñòíîì óðàâíåíèè äðóãîé ïîâåðõíîñòè. Ðàçðàáîòàí àëãîðèòì äëÿ èññëåäîâàíèÿ îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ ÀÄÑ, ïîçâîëÿþùèé ïðîèçâîäèòü ðàñ÷åò íàêëîííûõ ìåðèäèîíàëüíûõ ïó÷êîâ è ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþùèéñÿ îò óæå ñóùåñòâóþùèõ àëãîðèòìîâ òåì, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòà õîäà ëó÷åé ïîâåðõíîñòè ìîãóò áûòü çàäàíû â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå.
Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà àôîêàëüíîé äâóõçåðêàëüíîé ñèñòåìû
Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ
Ðàññìîòðèì ÀÄÑ (ðèñ. 1), ñîñòîÿùóþ èç ìàëîãî çåðêàëà îÀ è áîëüøîãî ÎÂ. Èñïîëüçóåì äâå ñèñòåìû êîîðäèíàò: zoy äëÿ çåðêàëà îÀ è ZOY äëÿ çåðêàëà ÎÂ. Îñè oz è OZ ñîâìåùåíû ñ îïòè÷åñêîé îñüþ ñèñòåìû. Òî÷êè Å è Ñ ÿâëÿþòñÿ öåíòðàìè êðèâèçíû ïðè âåðøèíàõ áîëüøîãî è ìàëîãî çåðêàë ñîîòâåòñòâåííî, ϕ – ïàðàìåòð (óãîë íàêëîíà íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè). Ðàññòîÿíèå ìåæäó çåðêàëàìè ðàâíî d.
Íà ñõåìå (ðèñ. 1) èçîáðàæåíà òàê íàçûâàåìàÿ ïðåäôîêàëüíàÿ ÀÄÑ. Ïàðàêñèàëüíûå ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé (r1 = r è r2 = R) èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè (îáà ïîëîæèòåëüíû), ïðè÷åì R > r. Ýòî ëèøü îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ êîíñòðóêòèâíîãî èñïîëíåíèÿ ñèñòåìû. Ïðèâåäåííûå â ýòîì ðàçäåëå ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ è âûâîäû ñïðàâåäëèâû äëÿ ýòîãî âèäà ÀÄÑ, äëÿ äðóãèõ âàðèàíòîâ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû àíàëîãè÷íûå ïî ñòðóêòóðå è ñóòè ðåçóëüòàòû.
 íà÷àëå ðàññóæäåíèé ñëåäóåò ïðèâåñòè äâà âàæíûõ ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ âñåõ âàðèàí-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
13
YB
Yy 2ϕ A
OZ
y d
oz
ϕK C ∆sn
E ϕ TZ ∆Sn z
Ðèñ. 1. Àôîêàëüíàÿ äâóõçåðêàëüíàÿ ñèñòåìà.
òîâ ÀÄÑ, ïîëíîñòüþ ñâîáîäíîé îò ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè äëÿ îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé.
Èç óñëîâèÿ àôîêàëüíîñòè ñèñòåìû, ò.å. ñîâìåùåíèÿ ôîêóñîâ çåðêàë, ñëåäóåò ïàðàêñèàëüíîå ñîîòíîøåíèå, ïîçâîëÿþùåå ðàññ÷èòàòü îñåâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè çåðêàë
d = 0,5(R – r),
(1)
ãäå R è r – ðàäèóñû êðèâèçíû ïðè âåðøèíàõ áîëüøîãî è ìàëîãî çåðêàë ñîîòâåòñòâåííî, d – îñåâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè.
Ãëîáàëüíîå ðåøåíèå ÀÄÑ, ñâÿçûâàþùåå ìåæäó ñîáîé ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòåé, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
Z Y
(ϕ) (ϕ)
− −
z(ϕ) y(ϕ)
= =
d tg2ϕ 2d tgϕ
,
(2)
ãäå Z, Y – êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè áîëüøîãî çåðêàëà â ñèñòåìå êîîðäèíàò ZOY, z, y – êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè ìàëîãî çåðêàëà â ñèñòåìå êîîðäèíàò zoy (ñì. ðèñ. 1), ϕ – ïàðàìåòð (óãîë íàêëîíà íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè).
Ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ îñíîâàíû íà ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ è ÿâëÿþòñÿ ïðîäîëæåíèåì ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé ÀÄÑ.
Ñâÿçü ìåæäó ïðîäîëüíûìè àáåððàöèÿìè íîðìàëåé ïîâåðõíîñòåé ÀÄÑ
Ñèñòåìà Ìåðñåíà ñîñòîèò èç äâóõ çåðêàë ïàðàáîëè÷åñêîé ôîðìû, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîäîëüíûå àáåððàöèè íîðìàëåé åå ïîâåðõíîñòåé çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
∆Sn(ϕ) = 0,5Rtg2ϕ
(3)
äëÿ áîëüøîãî çåðêàëà è
äëÿ ìàëîãî.
∆sn(ϕ) = 0,5rtg2ϕ
(4)
Åñëè âû÷åñòü èç óðàâíåíèÿ (3) óðàâíåíèå (4), òî ïîëó÷èòñÿ ñîîòíîøåíèå
∆Sn(ϕ) – ∆sn(ϕ) = 0,5(R – r)tg2ϕ,
êîòîðîå ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (1) ïðèíèìàåò âèä
∆Sn(ϕ) – ∆sn(ϕ) = dtg2ϕ.
(5).
Èçâåñòíî, ÷òî â ñèñòåìå Ïóðÿåâà, ó êîòîðîé îäíî èç çåðêàë (íàïðèìåð, ìàëîå) ñôåðè÷åñêîå, äðóãîå (áîëüøîå) çåðêàëî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâà-
åìóþ ýêâèïàðàáîëè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü è èìååò ïðîäîëüíóþ àáåððàöèþ íîðìàëåé, îïèñûâàåìóþ ôîðìóëîé ∆Sn(ϕ) = dtg2ϕ [2]. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñôåðà èìååò íóëåâóþ àáåððàöèþ íîðìàëåé ∆sn(ϕ) = 0, ìîæíî çàïèñàòü
∆Sn(ϕ) – ∆sn(ϕ) = dtg2ϕ.
(6)
Âèäíî, ÷òî âûðàæåíèå (6) èäåíòè÷íî âûðàæåíèþ (5). Òàêèì îáðàçîì, â äâóõ ðàçëè÷íûõ âàðèàíòàõ ÀÄÑ íàáëþäàåòñÿ îäíà è òà æå ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïðîäîëüíûìè àáåððàöèÿìè íîðìàëåé çåðêàë. Ëîãè÷íî çàäàòüñÿ âîïðîñîì: “Òîëüêî ëè äëÿ äâóõ âûøåóêàçàííûõ ñèñòåì ñïðàâåäëèâà òàêàÿ çàâèñèìîñòü?”
×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, âñïîìíèì, ÷òî óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ÀÄÑ, ïîëíîñòüþ ñâîáîäíîé îò ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé, óäîâëåòâîðÿþò ãëîáàëüíîìó ðåøåíèþ (2).
Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìåðèäèîíàëüíûõ ïðîôèëåé ïîâåðõíîñòåé áîëüøîãî è ìàëîãî çåðêàë çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
Z (ϕ) = R − F (ϕ)
Y (ϕ) = [F (ϕ) + ∆Sn(ϕ)] tgϕ
(7)
è
z(ϕ) y(ϕ)
= =
r
[
− f (ϕ) f (ϕ) + ∆sn
(ϕ)]
tgϕ
,
(8)
ãäå F(ϕ) è f (ϕ) – íåêîòîðûå ôóíêöèè ïàðàìåòðà ϕ. Ïîäñòàâèâ â (2) óðàâíåíèÿ (7) è (8), ó÷èòûâàÿ
ñîîòíîøåíèå (1), ïîëó÷èì
∆Sn(ϕ) – ∆sn(ϕ) = dtg2ϕ.
(9)
Âèäíî, ÷òî âûðàæåíèÿ (5), (6) è (9) èäåíòè÷íû. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííîå äëÿ ñèñòåì Ïóðÿåâà è Ìåðñåíà ñîîòíîøåíèå, óñòàíàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè ïðîäîëüíûõ àáåððàöèé íîðìàëåé ïîâåðõíîñòåé, ÿâëÿåòñÿ îáùèì äëÿ ëþáûõ âàðèàíòîâ ÀÄÑ. Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî, íàïðèìåð, äëÿ ñèíòåçà ÀÄÑ ñ îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè, ñâÿçàííûìè ñ àáåððàöèåé íîðìàëåé îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé.
14 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
Ñèíòåç ÀÄÑ ñ íåïàðàìåòðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè
Ðàññìîòðèì îïÿòü ñèñòåìó óðàâíåíèé (2). Âîçâåäåì îáå ÷àñòè íèæíåãî óðàâíåíèÿ â êâàäðàò è ðàçäåëèì åãî íà âåðõíåå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
[Y(ϕ) – y(ϕ)]2/[Z(ϕ) – z(ϕ)] = 4d.
Äëÿ óäîáñòâà îïóñòèì ïàðàìåòð ϕ è ïåðåïèøåì ýòî ñîîòíîøåíèå â âèäå
(Y – y)2 = 4d(Z –z).
(10)
Âûðàæåíèå (10), åñëè ïåðåìåííûìè ñ÷èòàòü âåëè÷èíû Z è Y, åñòü óðàâíåíèå ïàðàáîëû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì d, âåðøèíà êîòîðîé ñìåùåíà èç íà÷àëà êîîðäèíàò â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (z, y). Íà îñíîâàíèè ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî êðèâàÿ, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèÿìè Z = Z(ϕ) è Y = Y(ϕ), åñòü îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà âûøåóïîìÿíóòûõ ïàðàáîë. ×òîáû äîêàçàòü ýòî ïðåäïîëîæåíèå, íàéäåì ïî èçâåñòíîé ìåòîäèêå (ñì., íàïðèìåð, [4]) óðàâíåíèå îãèáàþùåé ñåìåéñòâà ïàðàáîë (10).
Ïóñòü èçâåñòíî ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ìåðèäèîíàëüíîãî ïðîôèëÿ ìàëîãî çåðêàëà
z y
= =
z(ϕ) y(ϕ)
.
(11)
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (10) â âèäå
[y(ϕ) – Y]2 = –4d[z(ϕ) – Z].
(12)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (12) ïî ïàðàìåòðó ϕ
2[y(ϕ) – Y]dy(ϕ)/dϕ = –4ddz(ϕ)/dϕ. (13)
Èçâåñòíî, ÷òî óãîë íàêëîíà íîðìàëè ϕ ê êðèâîé (11) â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì çíàêîâ îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
tgϕ = dz/dy.
(14)
Âûðàæåíèå (13) ñ ó÷åòîì (14) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
Y – y(ϕ) = 2dtgϕ.
(15)
Èç óðàâíåíèé (12) è (15) ñëåäóåò, ÷òî
Z – z(ϕ) = dtg2ϕ.
(16)
Âûðàæåíèÿ (15) è (16), ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå îãèáàþùåé ñåìåéñòâà ïàðàáîë (10), ñîâïàäàþò ñ âûðàæåíèÿìè ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ ÀÄÑ, ÷òî äîêàçûâàåò ïðàâèëüíîñòü ñäåëàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî íîâîå ñâîéñòâî ÀÄÑ.
Y K
B O
PA
y A
oZ z
d
Ðèñ. 2. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ ÀÄÑ.
Ìåðèäèîíàëüíûé ïðîôèëü êàæäîé èç ïîâåðõíîñòåé ÀÄÑ åñòü îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà ïàðàáîë, ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå êîòîðûõ ðàâíî îñåâîìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè, ïðè÷åì ôîêóñû ïàðàáîë ëåæàò íà ìåðèäèîíàëüíîì ïðîôèëå äðóãîé (èñõîäíîé) ïîâåðõíîñòè, à èõ îñè ïàðàëëåëüíû îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû.
Òàê íà ðèñ. 2 ïðîôèëü ïîâåðõíîñòè áîëüøîãî çåðêàëà ÎK åñòü îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà ïàðàáîë, îäíà èç êîòîðûõ – êðèâàÿ PA – èìååò âåðøèíó â òî÷êå Â, à ôîêóñ – â òî÷êå À, ëåæàùåé íà ïðîôèëå èñõîäíîãî ìàëîãî çåðêàëà ÎÀ. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ïàðàáîëû ðàâíî BA = d, à åå îñü ïàðàëëåëüíà îñè OZ, ò. å. îïòè÷åñêîé îñè ÀÄÑ. Êðèâàÿ PA êàñàåòñÿ ïðîôèëÿ áîëüøîãî çåðêàëà â åäèíñòâåííîé òî÷êå – òî÷êå K.
Ýòî ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò ñèíòåçèðîâàòü ÀÄÑ, åñëè èçâåñòíî óðàâíåíèå îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé. Âàæíî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü çàäàíî â ëþáîì âèäå, íå îáÿçàòåëüíî ïàðàìåòðè÷åñêîì.
Àëãîðèòì ðàñ÷åòà ÀÄÑ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ íè â îäíîé èç èçâåñòíûõ ïðîãðàìì ðàñ÷åòà îïòè÷åñêèõ ñèñòåì, òàêèõ êàê Opal, Prizma, Zemax, Code V, íåò âîçìîæíîñòè çàäàòü ïîâåðõíîñòü â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå. Ýòî ñóùåñòâåííî çàòðóäíÿåò àíàëèç ðàáîòû ÀÄÑ â íàêëîííûõ ïó÷êàõ ëó÷åé. Åñòü âîçìîæíîñòü àïïðîêñèìèðîâàòü ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííóþ ïîâåðõíîñòü àñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñòàíäàðòíîãî âèäà è ðàññ÷èòàòü
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
15
ñèñòåìó â îäíîé èç èçâåñòíûõ ïðîãðàìì. Ïðè ýòîì ïðîèçîéäåò íåêîòîðàÿ ïîòåðÿ òî÷íîñòè, êîòîðóþ âîçìîæíî îöåíèòü; â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ åþ äàæå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íî ýòîò ïóòü âåñüìà òðóäîåìîê è íå âñåãäà ïðèâîäèò ê óäîâëåòâîðèòåëüíûì ðåçóëüòàòàì. Ïîýòîìó ïðèâåäåííûé íèæå àëãîðèòì ðàñ÷åòà ÀÄÑ ìîæåò áûòü ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ ðàçðàáîò÷èêà. Ýòîò àëãîðèòì ðåàëèçîâàí â ïðîãðàììå Mathcad è ïîçâîëÿåò ïðîèçâîäèòü ðàñ÷åò íàêëîííûõ ìåðèäèîíàëüíûõ ïó÷êîâ ëó÷åé ÷åðåç ÀÄÑ, ïîâåðõíîñòè êîòîðîé çàäàíû ïàðàìåòðè÷åñêè.
Àíàëèç ñèñòåìû ïðîèçâîäèòñÿ â ìåðèäèîíàëüíîì ñå÷åíèè, ðàññ÷èòûâàåìàÿ ÀÄÑ çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè ìåðèäèîíàëüíûõ ïðîôèëåé åå ïîâåðõíîñòåé (äâóìåðíûõ êðèâûõ) â åäèíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3. Çäåñü ÎÀ è BD – ïåðâàÿ è âòîðàÿ ïî õîäó ëó÷åé ïîâåðõíîñòè ñèñòåìû. Íà÷àëî êîîðäèíàò – òî÷êà Î – ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ïåðâîé ïîâåðõíîñòè ÎÀ, à îñü OZ – ñ îïòè÷åñêîé îñüþ.
Êðîìå óðàâíåíèé ïîâåðõíîñòåé ïîëüçîâàòåëåì çàäàåòñÿ óãëîâîå ïîëå â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ ω, âûñîòà ëó÷à íà âõîäíîì çðà÷êå Ym, ïîëîæåíèå âõîäíîãî çðà÷êà MP è ïëîñêîñòè àíàëèçà QN.
Ïîëîæåíèå âõîäíîãî çðà÷êà MP çàäàåòñÿ îòíîñèòåëüíî âåðøèíû ïåðâîé ïîâåðõíîñòè îòðåçêîì PO = –Sp. Ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè àíàëèçà NQ çàäàåòñÿ îòðåçêîì DQ = Sa îòíîñèòåëüíî âåðøèíû ïîñëåäíåé ïîâåðõíîñòè.
Ðåçóëüòàòîì ðàñ÷åòà ëó÷à ÷åðåç ÀÄÑ ÿâëÿþòñÿ âûñîòà Yn â ïëîñêîñòè àíàëèçà è óãîë ω′ ñ îïòè÷åñêîé îñüþ.
Íà ðèñ. 3 èçîáðàæåíà òàê íàçûâàåìàÿ ïðåäôîêàëüíàÿ ÀÄÑ ñ ãëàâíûì âîãíóòûì è âòîðè÷íûì âûïóêëûì çåðêàëàìè, ïðè÷åì |r2| < |r1|. Ýòî ëèøü îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ êîíñòðóêöèè ñèñòå-
M(–Sp, Ym)
ω
A Y
B ω′ N(Sa+d, Yn)
PD
Q
Sa –d
–Sp
OZ
Ðèñ. 3. Ñïîñîá çàäàíèÿ ÀÄÑ â ïðîãðàììå ðàñ÷åòà.
ìû. Àëãîðèòì ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðàñ÷åòà ëþáûõ èñïîëíåíèé ÀÄÑ.
Ðàñ÷åò îñíîâàí íà äâóêðàòíîì ïðèìåíåíèè çàêîíà îòðàæåíèÿ ëó÷à îò ïîâåðõíîñòè.  íà÷àëå èç èñõîäíûõ äàííûõ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèå ëó÷à, âõîäÿùåãî â ÀÄÑ. Çàòåì íàõîäÿòñÿ êîîðäèíàòû òî÷êè âñòðå÷è ëó÷à ñ ïåðâîé ïîâåðõíîñòüþ è óãîë ïàäåíèÿ; ýòè çíà÷åíèÿ äàþò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ëó÷à ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ïåðâîé ïîâåðõíîñòè. Àíàëîãè÷íûå äåéñòâèÿ ïðîäåëûâàþòñÿ è ïðèìåíèòåëüíî êî âòîðîé ïîâåðõíîñòè. Ðåçóëüòàòîì ýòèõ äåéñòâèé ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ëó÷à â ñèñòåìå êîîðäèíàò ZOY (ðèñ. 3) ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ èì ÀÄÑ, à èç óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ âûõîäíûå äàííûå.
Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïî èçâåñòíûì êîîðäèíàòàì îäíîé åå òî÷êè è èçâåñòíîìó óãëó, êîòîðûé îíà îáðàçóåò ñ îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò – çàäà÷à òðèâèàëüíàÿ. Ñëîæíåå îïðåäåëèòü òî÷êó âñòðå÷è ëó÷à ñ ìåðèäèîíàëüíûì ïðîôèëåì ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé ïîâåðõíîñòè è óãîë ïàäåíèÿ ëó÷à íà ýòó ïîâåðõíîñòü. Ýòà ïðîöåäóðà ðàçäåëÿåòñÿ íà äâà ýòàïà.
Ïóñòü ìåðèäèîíàëüíûé ïðîôèëü ðàññìàòðèâàåìîé ïîâåðõíîñòè – êðèâàÿ, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèÿìè (7). Ïðàêòè÷åñêè çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà Φ, ñîîòâåòñòâóþùåãî òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ. À ïî èçâåñòíîìó Φ ìîæíî îïðåäåëèòü è êîîðäèíàòû èñêîìîé òî÷êè, è óãîë ïàäåíèÿ. Íà ïåðâîì ýòàïå îïðåäåëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ΦÏÐ, ñîîòâåòñòâóþùåå òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ñ ïàðàáîëîé, ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå êîòîðîé ðàâíî 0,5r, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ðàññìàòðèâàåìîé ïàðàìåòðè÷åñêîé êðèâîé. Íà ðèñ. 4à ëó÷, èäóùèé âäîëü ëèíèè ÐÀ, ïåðåñåêàåò êðèâóþ ÎÀ â òî÷êå À, íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè, âîññòàíîâëåííàÿ â òî÷êå À (îòðåçîê NA), îáðàçóåò ñ îïòè÷åñêîé îñüþ OZ óãîë Φ. Êðèâàÿ ÎÐ åñòü âûøåóïîìÿíóòàÿ ïàðàáîëà, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ëó÷îì â òî÷êå Ð. Íîðìàëü ÌÐ ê ïàðàáîëå ÎÐ îáðàçóåò ñ îñüþ OZ óãîë ΦÏÐ.
Åñëè ïàðàáîëà ÎÐ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì y2 = 2rz, à ïðÿìàÿ ÐÀ – óðàâíåíèåì y(z) = kz + b, òî êîîðäèíàòà z òî÷êè èõ ïåðåñå÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
( )zÐ = r − kb ± r2 − 2rkb k 2,
(17)
ãäå çíàê “+” ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîìó çíà÷åíèþ r, à ìèíóñ – ïîëîæèòåëüíîìó. Èçâåñòíî, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêè ïàðàáîëó ìîæíî îïèñàòü óðàâíåíèÿìè
z(ϕ) y(ϕ)
= =
0, 5rtg rtgϕ
2ϕ.
(18)
16 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
YA
(à) P
Y
A
O
ΦÏÐ Φ M
Z N
O
(á) T1 T2
B1 B2
V1 V2
δ(ΦÏÐ)
ΦÏÐ Z DK
Ðèñ. 4. à – ê âîïðîñó îá îïðåäåëåíèè ïðåäâàðèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà (ïàðàáîëà ÎÐ èìååò òîò æå ïàðàêñèàëüíûé ðàäèóñ, ÷òî è êðèâàÿ ÎÀ), á – ïðîöåäóðà óòî÷íåíèÿ ïàðàìåòðà.
Òàê êàê òî÷êà Ð ïðèíàäëåæèò ïàðàáîëå, è åé ñîîò-
âåòñòâóåò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ΦÏÐ, òî ìîæíî çàïèñàòü
zP = 0,5rtg2ΦÏÐ
(19)
è îïðåäåëèòü âåëè÷èíó ΦÏÐ. Âòîðîé ýòàï – óòî÷íåíèå ïàðàìåòðà ΦÏÐ äî òåõ
ïîð, ïîêà åãî îòëè÷èå îò òî÷íîãî çíà÷åíèÿ Φ íå ñòàíåò ìàëûì (êàêîâî èìåííî äîëæíî áûòü ýòî îòëè÷èå, óêàçàíî íèæå).
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîíÿòü ïðîöåäóðó óòî÷íåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ïàðàìåòðà, îáðàòèìñÿ ê ðèñ. 4á.
Ëó÷, èäóùèé ïî íàïðàâëåíèþ V1A, âñòðå÷àåò ìåðèäèîíàëüíóþ êðèâóþ ÎÒ1 â òî÷êå À. Ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëåííîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà ΦÏÐ íà êðèâîé ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà Ò1. Òî÷êà V1 ïðèíàäëåæèò ëó÷ó è èìååò òó æå îðäèíàòó, ÷òî è òî÷êà Ò1. Òî÷êà B1 ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè ïðÿìûõ V1A è T1D, ïðÿìàÿ T1D ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè OZ. Íîðìàëü ê ìåðèäèîíàëüíîé êðèâîé, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Ò1, ïåðåñåêàåò îñü OZ â òî÷êå K. Òàê êàê êîîðäèíàòû òî÷åê Ò1, Â1, K è D èçâåñòíû, òî èçâåñòåí è óãîë ∠Ò1KÂ1, êîòîðûé çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ΦÏÐ è êîòîðûé îáîçíà÷åí ÷åðåç δ(ΦÏÐ). Ïðÿìàÿ KÂ1 ïåðåñåêàåò ìåðèäèîíàëüíóþ êðèâóþ â òî÷êå Ò2. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ðàçíîñòüþ ìåæäó ïðîäîëüíûìè àáåððàöèÿìè íîðìàëåé ê òî÷êàì Ò1 è Ò2, òî ïðÿìóþ Ò2K ìîæíî ñ÷èòàòü íîðìàëüþ ê êðèâîé, à ðàçíîñòü [ΦÏÐ – δ(ΦÏÐ)] – íîâûì, áîëåå òî÷íûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà.
Òàêèì îáðàçîì, ïî èçâåñòíîìó çíà÷åíèþ ΦÏÐ îïðåäåëÿåòñÿ δ(ΦÏÐ), à ðàçíîñòü [ΦÏÐ – δ(ΦÏÐ)] äàåò íîâîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà. Ïîâòîðÿÿ îïèñàííûå äåéñòâèÿ, ìû âñå áîëåå ïðèáëèæàåì ïàðàìåòð ê òî÷íîìó åãî çíà÷åíèþ Φ.
Ïîñëå íåêîòîðîãî ÷èñëà òàêèõ èòåðàöèé ïàðàìåòð ϕ áóäåò èìåòü çíà÷åíèå Φi, åìó áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü òî÷êè Òi è Vi. Èòåðàöèîííûé öèêë ïðåêðàùàåòñÿ, êîãäà äëèíà îòðåçêà ViTi ñòàíåò ìåíüøå íåêîòîðîãî ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ ∆L. ×òîáû ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà Φ íå îêàçûâàëà çàìåòíîãî âëèÿíèÿ íà ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà, çíà÷åíèå ∆L äîëæíî áûòü ñóùåñòâåííî (íà ïîðÿäîê) ìåíüøå ïîãðåøíîñòè ôîðìû çåðêàëà. Íàïðèìåð, åñëè ïîâåðõíîñòü çåðêà-
ëà âûïîëíåíà è ïðîêîíòðîëèðîâàíà ñ ïîãðåøíîñòüþ, íå ïðåâûøàþùåé 0,05λ, ÷òî äëÿ äëèíû âîëíû λ = 0,6328 ìêì ñîñòàâëÿåò 0,03 ìêì, òî çíà÷åíèå âåëè÷èíû ∆L äîëæío áûòü íå áîëåå 0,003 ìêì.
Âûøåîïèñàííûé àëãîðèòì óòî÷íåíèÿ ïàðàìåòðà îòðàæàåòñÿ â ôîðìóëå
Φi +1 = arctg[y(Z(Φi))tgΦi/Y(Φi)],
(20)
ãäå Φi è Φi + 1 – çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåé èòåðàöèè, Y(ϕ) è Z(ϕ) – óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ìåðèäèîíàëüíóþ êðèâóþ, y(z) = kz + b – óðàâíåíèå ëó÷à.
Âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûïîëíèòñÿ óñëîâèå
|(Y(Φi) – b)/k – Z(Φi)| ≤ ∆L.
(21)
Àëãîðèòì ðàñ÷åòà ÀÄÑ ðåàëèçîâàí â ïðîãðàììå Mathcad, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü äëÿ åãî ìîäèôèêàöèè. Íàïðèìåð, ìîæíî ðàññ÷èòàòü ôîêóñèðóþùóþ ñèñòåìó ñ ïàðàìåòðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè èëè ÀÄÑ, íå èñïðàâëåííóþ íà ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ, ìîæíî ïðè íåîáõîäèìîñòè çàäàòü áîëüøåå êîëè÷åñòâî ïîâåðõíîñòåé, íî ïðè ýòîì ïîòðåáóåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ íåêîòîðûõ ôîðìóë. Òàêèå âîçìîæíîñòè äåëàþò àëãîðèòì ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ ðàñ-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
17
÷åòà îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííûìè ïîâåðõíîñòÿìè.
Çàêëþ÷åíèå
Ãëîáàëüíîå ðåøåíèå ÀÄÑ â ñâîåì ïåðâîíà÷àëüíîì âèäå, ïîëó÷åííîì ïðîôåññîðîì Ä.Ò. Ïóðÿåâûì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêóþ ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïîâåðõíîñòåé ÀÄÑ, ñâîáîäíîé îò ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé. Ïîêàçàíî, ÷òî îíî òàêæå îïðåäåëÿåò ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè ïðîäîëüíûõ àáåððàöèé íîðìàëåé ýòèõ ïîâåðõíîñòåé è ïîçâîëÿåò ñèíòåçèðîâàòü ÀÄÑ ñ ïîâåðõíîñòÿìè ëþáîãî (íå îáÿçàòåëüíî ïàðàìåòðè÷åñêîãî) âèäà.
Ýòè ðåçóëüòàòû ðàñøèðÿþò âîçìîæíîñòè ðàçðàáîò÷èêà ïî ñèíòåçó ÀÄÑ ñ íåîáõîäèìûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.
Äëÿ àíàëèçà îïòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííûõ îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé, ðàçðàáîòàí ñïåöèàëèçèðîâàííûé àëãîðèòì ðàñ÷åòà íàêëîííûõ ìåðèäèîíàëüíûõ ïó÷êîâ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Ìèõåëüñîí Í.Í. Îïòè÷åñêèå òåëåñêîïû. Òåîðèÿ è êîíñòðóêöèÿ. Ì.: Íàóêà, 1976. 512 ñ.
12. Ïóðÿåâ Ä.Ò. Çåðêàëüíàÿ òåëåñêîïè÷åñêàÿ ñèñòåìà // À. ñ. ÑÑÑÐ ¹ 1527607. Áþë. èçîáð. 1988. ¹ 45.
13. Puryayev D.T. Afokal two-mirror system // Opt. Engin. 1993. V. 32. ¹ 6. P. 1325–1327.
14. Ëóçèí Í.Í. Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå. Ì.: Ñîâåòñêàÿ íàóêà, 1958. 475 ñ.
18 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
ÃÅÎÌÅÒÐ×ÅÑÊÈÅ È ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÀÔÎÊÀËÜÍÎÉ ÄÂÓÕÇÅÐÊÀËÜÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
2009 ã.
Â. È. Áàòøåâ; Ä. Ò. Ïóðÿåâ, äîêòîð òåõí. íàóê Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Òåõíè÷åñêèé Óíèâåðñèòåò èì. Í.Ý. Áàóìàíà, Ìîñêâà E-mail: batshev_vlad@mail.ru
Óñòàíîâëåíà ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè ïðîäîëüíûõ àáåððàöèé íîðìàëåé ïîâåðõíîñòåé, îáðàçóþùèõ àôîêàëüíóþ äâóõçåðêàëüíóþ ñèñòåìó (ÀÄÑ), èñïðàâëåííóþ íà ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ äëÿ îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé, ïîëó÷åíî îáîáùåííîå ãëîáàëüíîå ðåøåíèå ÀÄÑ. Ðàçðàáîòàí àëãîðèòì äëÿ ðàñ÷åòà íàêëîííûõ ìåðèäèîíàëüíûõ ïó÷êîâ ëó÷åé, èäóùèõ ÷åðåç ÀÄÑ.
Êîäû OCIS: 120.4640.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 02.06.2008.
Ââåäåíèå
ÀÄÑ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ëàçåðíîé òåõíèêå è â îïòè÷åñêîì ïðèáîðîñòðîåíèè. Ñðåäè âîçìîæíûõ ñôåð ïðèìåíåíèÿ ìîæíî íàçâàòü ñëåäóþùèå: àñòðîíîìèÿ, ëàçåðíàÿ ëîêàöèÿ, îïòè÷åñêàÿ ñâÿçü, èíòåðôåðîìåòðèÿ è äð. Îäíà èç òàêèõ ñèñòåì, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ïàðàáîëè÷åñêèõ çåðêàë, èçâåñòíà ïîä íàçâàíèåì ñèñòåìû Ìåðñåíà [1]. Îíà ïîëíîñòüþ ñâîáîäíà îò ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè ïðè ëþáûõ àïåðòóðàõ çåðêàë, â îáëàñòè àáåððàöèé òðåòüåãî ïîðÿäêà îòñóòñòâóþò êîìà è àñòèãìàòèçì, íî êðèâèçíà ïîëÿ ïðèíöèïèàëüíî íåóñòðàíèìà. Ñèñòåìà Ïóðÿåâà [2], ó êîòîðîé îäíî èç çåðêàë ñôåðè÷åñêîå, à äðóãîå – àñôåðè÷åñêîå, ñòðîãî ýêâèäèñòàíòíîå ìíèìîìó ïàðàáîëîèäó, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ÀÄÑ ñ ïîëíîñòüþ èñïðàâëåííîé ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèåé è èìååò íàä ñèñòåìîé Ìåðñåíà âàæíûå òåõíîëîãè÷åñêèå ïðåèìóùåñòâà.
Íî è ñèñòåìà Ìåðñåíà, è ñèñòåìà Ïóðÿåâà ÿâëÿþòñÿ ëèøü ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ ÀÄÑ, ïîëó÷åííîãî ïðîôåññîðîì Ä.Ò. Ïóðÿåâûì [3] â 1988 ãîäó. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîîòíîøåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ïî èçâåñòíîìó ïàðàìåòðè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé ñèñòåìû îïðåäåëèòü ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå äðóãîé ïîâåðõíîñòè ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ ïðèíöèïà Ôåðìà äëÿ îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé.  êà÷åñòâå ïàðàìåòðà â óðàâíåíèÿõ ïîâåðõíîñòåé âûñòóïàåò óãîë íàêëîíà íîðìàëè.
Ýòè ñîîòíîøåíèÿ áûëè ïîëó÷åíû ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî, è ñ òåõ ïîð áûëî ïðîâåäåíî íå òàê ìíîãî èññëåäîâàíèé, íàïðàâëåííûõ íà èçó÷åíèå ñâîéñòâ ÀÄÑ. À èçó÷åíèå ñâîéñòâ – ýòî ïóòü ê îòêðûòèþ íîâûõ åå âîçìîæíîñòåé. Íà ýòî è íàïðàâëåíà äàííàÿ ðàáîòà.  íåé óñòàíîâëåíî íîâîå îáùåå äëÿ âñåõ âàðèàíòîâ ÀÄÑ åå ãåîìåòðè÷åñêîå ñâîéñòâî, ïîêàçûâàþùåå ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè âûðàæå-
íèÿìè ïðîäîëüíûõ àáåððàöèé íîðìàëåé ïîâåðõíîñòåé, îáðàçóþùèõ ÀÄÑ. Ïîëó÷åíà èíòåðïðåòàöèÿ ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ, äàþùàÿ íîâûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõíîñòè ÀÄÑ ïðè èçâåñòíîì óðàâíåíèè äðóãîé ïîâåðõíîñòè. Ðàçðàáîòàí àëãîðèòì äëÿ èññëåäîâàíèÿ îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ ÀÄÑ, ïîçâîëÿþùèé ïðîèçâîäèòü ðàñ÷åò íàêëîííûõ ìåðèäèîíàëüíûõ ïó÷êîâ è ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþùèéñÿ îò óæå ñóùåñòâóþùèõ àëãîðèòìîâ òåì, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòà õîäà ëó÷åé ïîâåðõíîñòè ìîãóò áûòü çàäàíû â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå.
Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà àôîêàëüíîé äâóõçåðêàëüíîé ñèñòåìû
Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ
Ðàññìîòðèì ÀÄÑ (ðèñ. 1), ñîñòîÿùóþ èç ìàëîãî çåðêàëà îÀ è áîëüøîãî ÎÂ. Èñïîëüçóåì äâå ñèñòåìû êîîðäèíàò: zoy äëÿ çåðêàëà îÀ è ZOY äëÿ çåðêàëà ÎÂ. Îñè oz è OZ ñîâìåùåíû ñ îïòè÷åñêîé îñüþ ñèñòåìû. Òî÷êè Å è Ñ ÿâëÿþòñÿ öåíòðàìè êðèâèçíû ïðè âåðøèíàõ áîëüøîãî è ìàëîãî çåðêàë ñîîòâåòñòâåííî, ϕ – ïàðàìåòð (óãîë íàêëîíà íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè). Ðàññòîÿíèå ìåæäó çåðêàëàìè ðàâíî d.
Íà ñõåìå (ðèñ. 1) èçîáðàæåíà òàê íàçûâàåìàÿ ïðåäôîêàëüíàÿ ÀÄÑ. Ïàðàêñèàëüíûå ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé (r1 = r è r2 = R) èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè (îáà ïîëîæèòåëüíû), ïðè÷åì R > r. Ýòî ëèøü îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ êîíñòðóêòèâíîãî èñïîëíåíèÿ ñèñòåìû. Ïðèâåäåííûå â ýòîì ðàçäåëå ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ è âûâîäû ñïðàâåäëèâû äëÿ ýòîãî âèäà ÀÄÑ, äëÿ äðóãèõ âàðèàíòîâ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû àíàëîãè÷íûå ïî ñòðóêòóðå è ñóòè ðåçóëüòàòû.
 íà÷àëå ðàññóæäåíèé ñëåäóåò ïðèâåñòè äâà âàæíûõ ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ âñåõ âàðèàí-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
13
YB
Yy 2ϕ A
OZ
y d
oz
ϕK C ∆sn
E ϕ TZ ∆Sn z
Ðèñ. 1. Àôîêàëüíàÿ äâóõçåðêàëüíàÿ ñèñòåìà.
òîâ ÀÄÑ, ïîëíîñòüþ ñâîáîäíîé îò ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè äëÿ îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé.
Èç óñëîâèÿ àôîêàëüíîñòè ñèñòåìû, ò.å. ñîâìåùåíèÿ ôîêóñîâ çåðêàë, ñëåäóåò ïàðàêñèàëüíîå ñîîòíîøåíèå, ïîçâîëÿþùåå ðàññ÷èòàòü îñåâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè çåðêàë
d = 0,5(R – r),
(1)
ãäå R è r – ðàäèóñû êðèâèçíû ïðè âåðøèíàõ áîëüøîãî è ìàëîãî çåðêàë ñîîòâåòñòâåííî, d – îñåâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè.
Ãëîáàëüíîå ðåøåíèå ÀÄÑ, ñâÿçûâàþùåå ìåæäó ñîáîé ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòåé, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
Z Y
(ϕ) (ϕ)
− −
z(ϕ) y(ϕ)
= =
d tg2ϕ 2d tgϕ
,
(2)
ãäå Z, Y – êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè áîëüøîãî çåðêàëà â ñèñòåìå êîîðäèíàò ZOY, z, y – êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè ìàëîãî çåðêàëà â ñèñòåìå êîîðäèíàò zoy (ñì. ðèñ. 1), ϕ – ïàðàìåòð (óãîë íàêëîíà íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè).
Ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ îñíîâàíû íà ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ è ÿâëÿþòñÿ ïðîäîëæåíèåì ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé ÀÄÑ.
Ñâÿçü ìåæäó ïðîäîëüíûìè àáåððàöèÿìè íîðìàëåé ïîâåðõíîñòåé ÀÄÑ
Ñèñòåìà Ìåðñåíà ñîñòîèò èç äâóõ çåðêàë ïàðàáîëè÷åñêîé ôîðìû, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîäîëüíûå àáåððàöèè íîðìàëåé åå ïîâåðõíîñòåé çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
∆Sn(ϕ) = 0,5Rtg2ϕ
(3)
äëÿ áîëüøîãî çåðêàëà è
äëÿ ìàëîãî.
∆sn(ϕ) = 0,5rtg2ϕ
(4)
Åñëè âû÷åñòü èç óðàâíåíèÿ (3) óðàâíåíèå (4), òî ïîëó÷èòñÿ ñîîòíîøåíèå
∆Sn(ϕ) – ∆sn(ϕ) = 0,5(R – r)tg2ϕ,
êîòîðîå ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (1) ïðèíèìàåò âèä
∆Sn(ϕ) – ∆sn(ϕ) = dtg2ϕ.
(5).
Èçâåñòíî, ÷òî â ñèñòåìå Ïóðÿåâà, ó êîòîðîé îäíî èç çåðêàë (íàïðèìåð, ìàëîå) ñôåðè÷åñêîå, äðóãîå (áîëüøîå) çåðêàëî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâà-
åìóþ ýêâèïàðàáîëè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü è èìååò ïðîäîëüíóþ àáåððàöèþ íîðìàëåé, îïèñûâàåìóþ ôîðìóëîé ∆Sn(ϕ) = dtg2ϕ [2]. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñôåðà èìååò íóëåâóþ àáåððàöèþ íîðìàëåé ∆sn(ϕ) = 0, ìîæíî çàïèñàòü
∆Sn(ϕ) – ∆sn(ϕ) = dtg2ϕ.
(6)
Âèäíî, ÷òî âûðàæåíèå (6) èäåíòè÷íî âûðàæåíèþ (5). Òàêèì îáðàçîì, â äâóõ ðàçëè÷íûõ âàðèàíòàõ ÀÄÑ íàáëþäàåòñÿ îäíà è òà æå ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïðîäîëüíûìè àáåððàöèÿìè íîðìàëåé çåðêàë. Ëîãè÷íî çàäàòüñÿ âîïðîñîì: “Òîëüêî ëè äëÿ äâóõ âûøåóêàçàííûõ ñèñòåì ñïðàâåäëèâà òàêàÿ çàâèñèìîñòü?”
×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, âñïîìíèì, ÷òî óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ÀÄÑ, ïîëíîñòüþ ñâîáîäíîé îò ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé, óäîâëåòâîðÿþò ãëîáàëüíîìó ðåøåíèþ (2).
Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìåðèäèîíàëüíûõ ïðîôèëåé ïîâåðõíîñòåé áîëüøîãî è ìàëîãî çåðêàë çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
Z (ϕ) = R − F (ϕ)
Y (ϕ) = [F (ϕ) + ∆Sn(ϕ)] tgϕ
(7)
è
z(ϕ) y(ϕ)
= =
r
[
− f (ϕ) f (ϕ) + ∆sn
(ϕ)]
tgϕ
,
(8)
ãäå F(ϕ) è f (ϕ) – íåêîòîðûå ôóíêöèè ïàðàìåòðà ϕ. Ïîäñòàâèâ â (2) óðàâíåíèÿ (7) è (8), ó÷èòûâàÿ
ñîîòíîøåíèå (1), ïîëó÷èì
∆Sn(ϕ) – ∆sn(ϕ) = dtg2ϕ.
(9)
Âèäíî, ÷òî âûðàæåíèÿ (5), (6) è (9) èäåíòè÷íû. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííîå äëÿ ñèñòåì Ïóðÿåâà è Ìåðñåíà ñîîòíîøåíèå, óñòàíàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè ïðîäîëüíûõ àáåððàöèé íîðìàëåé ïîâåðõíîñòåé, ÿâëÿåòñÿ îáùèì äëÿ ëþáûõ âàðèàíòîâ ÀÄÑ. Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî, íàïðèìåð, äëÿ ñèíòåçà ÀÄÑ ñ îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè, ñâÿçàííûìè ñ àáåððàöèåé íîðìàëåé îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé.
14 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
Ñèíòåç ÀÄÑ ñ íåïàðàìåòðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè
Ðàññìîòðèì îïÿòü ñèñòåìó óðàâíåíèé (2). Âîçâåäåì îáå ÷àñòè íèæíåãî óðàâíåíèÿ â êâàäðàò è ðàçäåëèì åãî íà âåðõíåå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
[Y(ϕ) – y(ϕ)]2/[Z(ϕ) – z(ϕ)] = 4d.
Äëÿ óäîáñòâà îïóñòèì ïàðàìåòð ϕ è ïåðåïèøåì ýòî ñîîòíîøåíèå â âèäå
(Y – y)2 = 4d(Z –z).
(10)
Âûðàæåíèå (10), åñëè ïåðåìåííûìè ñ÷èòàòü âåëè÷èíû Z è Y, åñòü óðàâíåíèå ïàðàáîëû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì d, âåðøèíà êîòîðîé ñìåùåíà èç íà÷àëà êîîðäèíàò â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (z, y). Íà îñíîâàíèè ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî êðèâàÿ, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèÿìè Z = Z(ϕ) è Y = Y(ϕ), åñòü îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà âûøåóïîìÿíóòûõ ïàðàáîë. ×òîáû äîêàçàòü ýòî ïðåäïîëîæåíèå, íàéäåì ïî èçâåñòíîé ìåòîäèêå (ñì., íàïðèìåð, [4]) óðàâíåíèå îãèáàþùåé ñåìåéñòâà ïàðàáîë (10).
Ïóñòü èçâåñòíî ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ìåðèäèîíàëüíîãî ïðîôèëÿ ìàëîãî çåðêàëà
z y
= =
z(ϕ) y(ϕ)
.
(11)
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (10) â âèäå
[y(ϕ) – Y]2 = –4d[z(ϕ) – Z].
(12)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (12) ïî ïàðàìåòðó ϕ
2[y(ϕ) – Y]dy(ϕ)/dϕ = –4ddz(ϕ)/dϕ. (13)
Èçâåñòíî, ÷òî óãîë íàêëîíà íîðìàëè ϕ ê êðèâîé (11) â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì çíàêîâ îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
tgϕ = dz/dy.
(14)
Âûðàæåíèå (13) ñ ó÷åòîì (14) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
Y – y(ϕ) = 2dtgϕ.
(15)
Èç óðàâíåíèé (12) è (15) ñëåäóåò, ÷òî
Z – z(ϕ) = dtg2ϕ.
(16)
Âûðàæåíèÿ (15) è (16), ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå îãèáàþùåé ñåìåéñòâà ïàðàáîë (10), ñîâïàäàþò ñ âûðàæåíèÿìè ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ ÀÄÑ, ÷òî äîêàçûâàåò ïðàâèëüíîñòü ñäåëàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî íîâîå ñâîéñòâî ÀÄÑ.
Y K
B O
PA
y A
oZ z
d
Ðèñ. 2. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ ÀÄÑ.
Ìåðèäèîíàëüíûé ïðîôèëü êàæäîé èç ïîâåðõíîñòåé ÀÄÑ åñòü îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà ïàðàáîë, ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå êîòîðûõ ðàâíî îñåâîìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè, ïðè÷åì ôîêóñû ïàðàáîë ëåæàò íà ìåðèäèîíàëüíîì ïðîôèëå äðóãîé (èñõîäíîé) ïîâåðõíîñòè, à èõ îñè ïàðàëëåëüíû îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû.
Òàê íà ðèñ. 2 ïðîôèëü ïîâåðõíîñòè áîëüøîãî çåðêàëà ÎK åñòü îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà ïàðàáîë, îäíà èç êîòîðûõ – êðèâàÿ PA – èìååò âåðøèíó â òî÷êå Â, à ôîêóñ – â òî÷êå À, ëåæàùåé íà ïðîôèëå èñõîäíîãî ìàëîãî çåðêàëà ÎÀ. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ïàðàáîëû ðàâíî BA = d, à åå îñü ïàðàëëåëüíà îñè OZ, ò. å. îïòè÷åñêîé îñè ÀÄÑ. Êðèâàÿ PA êàñàåòñÿ ïðîôèëÿ áîëüøîãî çåðêàëà â åäèíñòâåííîé òî÷êå – òî÷êå K.
Ýòî ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò ñèíòåçèðîâàòü ÀÄÑ, åñëè èçâåñòíî óðàâíåíèå îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé. Âàæíî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü çàäàíî â ëþáîì âèäå, íå îáÿçàòåëüíî ïàðàìåòðè÷åñêîì.
Àëãîðèòì ðàñ÷åòà ÀÄÑ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ íè â îäíîé èç èçâåñòíûõ ïðîãðàìì ðàñ÷åòà îïòè÷åñêèõ ñèñòåì, òàêèõ êàê Opal, Prizma, Zemax, Code V, íåò âîçìîæíîñòè çàäàòü ïîâåðõíîñòü â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå. Ýòî ñóùåñòâåííî çàòðóäíÿåò àíàëèç ðàáîòû ÀÄÑ â íàêëîííûõ ïó÷êàõ ëó÷åé. Åñòü âîçìîæíîñòü àïïðîêñèìèðîâàòü ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííóþ ïîâåðõíîñòü àñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñòàíäàðòíîãî âèäà è ðàññ÷èòàòü
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
15
ñèñòåìó â îäíîé èç èçâåñòíûõ ïðîãðàìì. Ïðè ýòîì ïðîèçîéäåò íåêîòîðàÿ ïîòåðÿ òî÷íîñòè, êîòîðóþ âîçìîæíî îöåíèòü; â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ åþ äàæå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íî ýòîò ïóòü âåñüìà òðóäîåìîê è íå âñåãäà ïðèâîäèò ê óäîâëåòâîðèòåëüíûì ðåçóëüòàòàì. Ïîýòîìó ïðèâåäåííûé íèæå àëãîðèòì ðàñ÷åòà ÀÄÑ ìîæåò áûòü ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ ðàçðàáîò÷èêà. Ýòîò àëãîðèòì ðåàëèçîâàí â ïðîãðàììå Mathcad è ïîçâîëÿåò ïðîèçâîäèòü ðàñ÷åò íàêëîííûõ ìåðèäèîíàëüíûõ ïó÷êîâ ëó÷åé ÷åðåç ÀÄÑ, ïîâåðõíîñòè êîòîðîé çàäàíû ïàðàìåòðè÷åñêè.
Àíàëèç ñèñòåìû ïðîèçâîäèòñÿ â ìåðèäèîíàëüíîì ñå÷åíèè, ðàññ÷èòûâàåìàÿ ÀÄÑ çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè ìåðèäèîíàëüíûõ ïðîôèëåé åå ïîâåðõíîñòåé (äâóìåðíûõ êðèâûõ) â åäèíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3. Çäåñü ÎÀ è BD – ïåðâàÿ è âòîðàÿ ïî õîäó ëó÷åé ïîâåðõíîñòè ñèñòåìû. Íà÷àëî êîîðäèíàò – òî÷êà Î – ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ïåðâîé ïîâåðõíîñòè ÎÀ, à îñü OZ – ñ îïòè÷åñêîé îñüþ.
Êðîìå óðàâíåíèé ïîâåðõíîñòåé ïîëüçîâàòåëåì çàäàåòñÿ óãëîâîå ïîëå â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ ω, âûñîòà ëó÷à íà âõîäíîì çðà÷êå Ym, ïîëîæåíèå âõîäíîãî çðà÷êà MP è ïëîñêîñòè àíàëèçà QN.
Ïîëîæåíèå âõîäíîãî çðà÷êà MP çàäàåòñÿ îòíîñèòåëüíî âåðøèíû ïåðâîé ïîâåðõíîñòè îòðåçêîì PO = –Sp. Ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè àíàëèçà NQ çàäàåòñÿ îòðåçêîì DQ = Sa îòíîñèòåëüíî âåðøèíû ïîñëåäíåé ïîâåðõíîñòè.
Ðåçóëüòàòîì ðàñ÷åòà ëó÷à ÷åðåç ÀÄÑ ÿâëÿþòñÿ âûñîòà Yn â ïëîñêîñòè àíàëèçà è óãîë ω′ ñ îïòè÷åñêîé îñüþ.
Íà ðèñ. 3 èçîáðàæåíà òàê íàçûâàåìàÿ ïðåäôîêàëüíàÿ ÀÄÑ ñ ãëàâíûì âîãíóòûì è âòîðè÷íûì âûïóêëûì çåðêàëàìè, ïðè÷åì |r2| < |r1|. Ýòî ëèøü îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ êîíñòðóêöèè ñèñòå-
M(–Sp, Ym)
ω
A Y
B ω′ N(Sa+d, Yn)
PD
Q
Sa –d
–Sp
OZ
Ðèñ. 3. Ñïîñîá çàäàíèÿ ÀÄÑ â ïðîãðàììå ðàñ÷åòà.
ìû. Àëãîðèòì ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðàñ÷åòà ëþáûõ èñïîëíåíèé ÀÄÑ.
Ðàñ÷åò îñíîâàí íà äâóêðàòíîì ïðèìåíåíèè çàêîíà îòðàæåíèÿ ëó÷à îò ïîâåðõíîñòè.  íà÷àëå èç èñõîäíûõ äàííûõ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèå ëó÷à, âõîäÿùåãî â ÀÄÑ. Çàòåì íàõîäÿòñÿ êîîðäèíàòû òî÷êè âñòðå÷è ëó÷à ñ ïåðâîé ïîâåðõíîñòüþ è óãîë ïàäåíèÿ; ýòè çíà÷åíèÿ äàþò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ëó÷à ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ïåðâîé ïîâåðõíîñòè. Àíàëîãè÷íûå äåéñòâèÿ ïðîäåëûâàþòñÿ è ïðèìåíèòåëüíî êî âòîðîé ïîâåðõíîñòè. Ðåçóëüòàòîì ýòèõ äåéñòâèé ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ëó÷à â ñèñòåìå êîîðäèíàò ZOY (ðèñ. 3) ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ èì ÀÄÑ, à èç óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ âûõîäíûå äàííûå.
Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïî èçâåñòíûì êîîðäèíàòàì îäíîé åå òî÷êè è èçâåñòíîìó óãëó, êîòîðûé îíà îáðàçóåò ñ îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò – çàäà÷à òðèâèàëüíàÿ. Ñëîæíåå îïðåäåëèòü òî÷êó âñòðå÷è ëó÷à ñ ìåðèäèîíàëüíûì ïðîôèëåì ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé ïîâåðõíîñòè è óãîë ïàäåíèÿ ëó÷à íà ýòó ïîâåðõíîñòü. Ýòà ïðîöåäóðà ðàçäåëÿåòñÿ íà äâà ýòàïà.
Ïóñòü ìåðèäèîíàëüíûé ïðîôèëü ðàññìàòðèâàåìîé ïîâåðõíîñòè – êðèâàÿ, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèÿìè (7). Ïðàêòè÷åñêè çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà Φ, ñîîòâåòñòâóþùåãî òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ. À ïî èçâåñòíîìó Φ ìîæíî îïðåäåëèòü è êîîðäèíàòû èñêîìîé òî÷êè, è óãîë ïàäåíèÿ. Íà ïåðâîì ýòàïå îïðåäåëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ΦÏÐ, ñîîòâåòñòâóþùåå òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ñ ïàðàáîëîé, ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå êîòîðîé ðàâíî 0,5r, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ðàññìàòðèâàåìîé ïàðàìåòðè÷åñêîé êðèâîé. Íà ðèñ. 4à ëó÷, èäóùèé âäîëü ëèíèè ÐÀ, ïåðåñåêàåò êðèâóþ ÎÀ â òî÷êå À, íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè, âîññòàíîâëåííàÿ â òî÷êå À (îòðåçîê NA), îáðàçóåò ñ îïòè÷åñêîé îñüþ OZ óãîë Φ. Êðèâàÿ ÎÐ åñòü âûøåóïîìÿíóòàÿ ïàðàáîëà, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ëó÷îì â òî÷êå Ð. Íîðìàëü ÌÐ ê ïàðàáîëå ÎÐ îáðàçóåò ñ îñüþ OZ óãîë ΦÏÐ.
Åñëè ïàðàáîëà ÎÐ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì y2 = 2rz, à ïðÿìàÿ ÐÀ – óðàâíåíèåì y(z) = kz + b, òî êîîðäèíàòà z òî÷êè èõ ïåðåñå÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
( )zÐ = r − kb ± r2 − 2rkb k 2,
(17)
ãäå çíàê “+” ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîìó çíà÷åíèþ r, à ìèíóñ – ïîëîæèòåëüíîìó. Èçâåñòíî, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêè ïàðàáîëó ìîæíî îïèñàòü óðàâíåíèÿìè
z(ϕ) y(ϕ)
= =
0, 5rtg rtgϕ
2ϕ.
(18)
16 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
YA
(à) P
Y
A
O
ΦÏÐ Φ M
Z N
O
(á) T1 T2
B1 B2
V1 V2
δ(ΦÏÐ)
ΦÏÐ Z DK
Ðèñ. 4. à – ê âîïðîñó îá îïðåäåëåíèè ïðåäâàðèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà (ïàðàáîëà ÎÐ èìååò òîò æå ïàðàêñèàëüíûé ðàäèóñ, ÷òî è êðèâàÿ ÎÀ), á – ïðîöåäóðà óòî÷íåíèÿ ïàðàìåòðà.
Òàê êàê òî÷êà Ð ïðèíàäëåæèò ïàðàáîëå, è åé ñîîò-
âåòñòâóåò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ΦÏÐ, òî ìîæíî çàïèñàòü
zP = 0,5rtg2ΦÏÐ
(19)
è îïðåäåëèòü âåëè÷èíó ΦÏÐ. Âòîðîé ýòàï – óòî÷íåíèå ïàðàìåòðà ΦÏÐ äî òåõ
ïîð, ïîêà åãî îòëè÷èå îò òî÷íîãî çíà÷åíèÿ Φ íå ñòàíåò ìàëûì (êàêîâî èìåííî äîëæíî áûòü ýòî îòëè÷èå, óêàçàíî íèæå).
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîíÿòü ïðîöåäóðó óòî÷íåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ïàðàìåòðà, îáðàòèìñÿ ê ðèñ. 4á.
Ëó÷, èäóùèé ïî íàïðàâëåíèþ V1A, âñòðå÷àåò ìåðèäèîíàëüíóþ êðèâóþ ÎÒ1 â òî÷êå À. Ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëåííîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà ΦÏÐ íà êðèâîé ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà Ò1. Òî÷êà V1 ïðèíàäëåæèò ëó÷ó è èìååò òó æå îðäèíàòó, ÷òî è òî÷êà Ò1. Òî÷êà B1 ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè ïðÿìûõ V1A è T1D, ïðÿìàÿ T1D ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè OZ. Íîðìàëü ê ìåðèäèîíàëüíîé êðèâîé, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Ò1, ïåðåñåêàåò îñü OZ â òî÷êå K. Òàê êàê êîîðäèíàòû òî÷åê Ò1, Â1, K è D èçâåñòíû, òî èçâåñòåí è óãîë ∠Ò1KÂ1, êîòîðûé çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ΦÏÐ è êîòîðûé îáîçíà÷åí ÷åðåç δ(ΦÏÐ). Ïðÿìàÿ KÂ1 ïåðåñåêàåò ìåðèäèîíàëüíóþ êðèâóþ â òî÷êå Ò2. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ðàçíîñòüþ ìåæäó ïðîäîëüíûìè àáåððàöèÿìè íîðìàëåé ê òî÷êàì Ò1 è Ò2, òî ïðÿìóþ Ò2K ìîæíî ñ÷èòàòü íîðìàëüþ ê êðèâîé, à ðàçíîñòü [ΦÏÐ – δ(ΦÏÐ)] – íîâûì, áîëåå òî÷íûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà.
Òàêèì îáðàçîì, ïî èçâåñòíîìó çíà÷åíèþ ΦÏÐ îïðåäåëÿåòñÿ δ(ΦÏÐ), à ðàçíîñòü [ΦÏÐ – δ(ΦÏÐ)] äàåò íîâîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà. Ïîâòîðÿÿ îïèñàííûå äåéñòâèÿ, ìû âñå áîëåå ïðèáëèæàåì ïàðàìåòð ê òî÷íîìó åãî çíà÷åíèþ Φ.
Ïîñëå íåêîòîðîãî ÷èñëà òàêèõ èòåðàöèé ïàðàìåòð ϕ áóäåò èìåòü çíà÷åíèå Φi, åìó áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü òî÷êè Òi è Vi. Èòåðàöèîííûé öèêë ïðåêðàùàåòñÿ, êîãäà äëèíà îòðåçêà ViTi ñòàíåò ìåíüøå íåêîòîðîãî ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ ∆L. ×òîáû ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà Φ íå îêàçûâàëà çàìåòíîãî âëèÿíèÿ íà ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà, çíà÷åíèå ∆L äîëæíî áûòü ñóùåñòâåííî (íà ïîðÿäîê) ìåíüøå ïîãðåøíîñòè ôîðìû çåðêàëà. Íàïðèìåð, åñëè ïîâåðõíîñòü çåðêà-
ëà âûïîëíåíà è ïðîêîíòðîëèðîâàíà ñ ïîãðåøíîñòüþ, íå ïðåâûøàþùåé 0,05λ, ÷òî äëÿ äëèíû âîëíû λ = 0,6328 ìêì ñîñòàâëÿåò 0,03 ìêì, òî çíà÷åíèå âåëè÷èíû ∆L äîëæío áûòü íå áîëåå 0,003 ìêì.
Âûøåîïèñàííûé àëãîðèòì óòî÷íåíèÿ ïàðàìåòðà îòðàæàåòñÿ â ôîðìóëå
Φi +1 = arctg[y(Z(Φi))tgΦi/Y(Φi)],
(20)
ãäå Φi è Φi + 1 – çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåé èòåðàöèè, Y(ϕ) è Z(ϕ) – óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ìåðèäèîíàëüíóþ êðèâóþ, y(z) = kz + b – óðàâíåíèå ëó÷à.
Âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûïîëíèòñÿ óñëîâèå
|(Y(Φi) – b)/k – Z(Φi)| ≤ ∆L.
(21)
Àëãîðèòì ðàñ÷åòà ÀÄÑ ðåàëèçîâàí â ïðîãðàììå Mathcad, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü äëÿ åãî ìîäèôèêàöèè. Íàïðèìåð, ìîæíî ðàññ÷èòàòü ôîêóñèðóþùóþ ñèñòåìó ñ ïàðàìåòðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè èëè ÀÄÑ, íå èñïðàâëåííóþ íà ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ, ìîæíî ïðè íåîáõîäèìîñòè çàäàòü áîëüøåå êîëè÷åñòâî ïîâåðõíîñòåé, íî ïðè ýòîì ïîòðåáóåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ íåêîòîðûõ ôîðìóë. Òàêèå âîçìîæíîñòè äåëàþò àëãîðèòì ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ ðàñ-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
17
÷åòà îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííûìè ïîâåðõíîñòÿìè.
Çàêëþ÷åíèå
Ãëîáàëüíîå ðåøåíèå ÀÄÑ â ñâîåì ïåðâîíà÷àëüíîì âèäå, ïîëó÷åííîì ïðîôåññîðîì Ä.Ò. Ïóðÿåâûì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêóþ ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïîâåðõíîñòåé ÀÄÑ, ñâîáîäíîé îò ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé. Ïîêàçàíî, ÷òî îíî òàêæå îïðåäåëÿåò ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè ïðîäîëüíûõ àáåððàöèé íîðìàëåé ýòèõ ïîâåðõíîñòåé è ïîçâîëÿåò ñèíòåçèðîâàòü ÀÄÑ ñ ïîâåðõíîñòÿìè ëþáîãî (íå îáÿçàòåëüíî ïàðàìåòðè÷åñêîãî) âèäà.
Ýòè ðåçóëüòàòû ðàñøèðÿþò âîçìîæíîñòè ðàçðàáîò÷èêà ïî ñèíòåçó ÀÄÑ ñ íåîáõîäèìûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.
Äëÿ àíàëèçà îïòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííûõ îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé, ðàçðàáîòàí ñïåöèàëèçèðîâàííûé àëãîðèòì ðàñ÷åòà íàêëîííûõ ìåðèäèîíàëüíûõ ïó÷êîâ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Ìèõåëüñîí Í.Í. Îïòè÷åñêèå òåëåñêîïû. Òåîðèÿ è êîíñòðóêöèÿ. Ì.: Íàóêà, 1976. 512 ñ.
12. Ïóðÿåâ Ä.Ò. Çåðêàëüíàÿ òåëåñêîïè÷åñêàÿ ñèñòåìà // À. ñ. ÑÑÑÐ ¹ 1527607. Áþë. èçîáð. 1988. ¹ 45.
13. Puryayev D.T. Afokal two-mirror system // Opt. Engin. 1993. V. 32. ¹ 6. P. 1325–1327.
14. Ëóçèí Í.Í. Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå. Ì.: Ñîâåòñêàÿ íàóêà, 1958. 475 ñ.
18 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009