Аберрационная структура пятна рассеяния в изображении точки при децентрировке элементов оптической системы
ÓÄÊ 535.317.9
ÀÁÅÐÐÀÖÈÎÍÍÀß ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÏßÒÍÀ ÐÀÑÑÅßÍÈß Â ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÈ ÒÎ×ÊÈ ÏÐÈ ÄÅÖÅÍÒÐÈÐÎÂÊÅ ÝËÅÌÅÍÒΠÎÏÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
2009 ã. Â. À. Çâåðåâ, äîêòîð òåõí. íàóê; È. Í. Òèìîùóê, êàíä. òåõí. íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
Ïîëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå èçìåíåíèÿ àáåððàöèîííîé ñòðóêòóðû ñâåòîâûõ ïó÷êîâ ëó÷åé, ôîðìèðóåìûõ äåöåíòðèðîâàííûì ýëåìåíòîì îïòè÷åñêîé ñèñòåìû. Âûïîëíåí àíàëèç âëèÿíèÿ êàæäîãî ÷ëåíà ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé â îòäåëüíîñòè íà ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå òî÷êè, äàþùèé íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå èçìåíåíèÿ ïåðâè÷íûõ àáåððàöèé (àáåððàöèé òðåòüåãî ïîðÿäêà), âíîñèìûõ â èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà äåöåíòðèðîâàííûì ýëåìåíòîì îïòè÷åñêîé ñèñòåìû.
Êîäû OCIS: 200.0200, 220.0220.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 02.09.2008.
Ïðè ïîïåðå÷íîì ñìåùåíèè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî åå îïòè÷åñêîé îñè è ïðè èõ íàêëîíå îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê îïòè÷åñêîé îñè, îñåâàÿ ñèììåòðèÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íàðóøàåòñÿ, íàðóøàåòñÿ è ïðèâû÷íàÿ êàðòèíà îñòàòî÷íûõ àáåððàöèé â èçîáðàæåíèè òî÷åê ïðåäìåòà. Èçáåæàòü äåöåíòðèðîâîê îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ â ïðîöåññå èçãîòîâëåíèÿ îïòè÷åñêîãî ïðèáîðà ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî, äà â ýòîì è íåò íåîáõîäèìîñòè, åñëè äåöåíòðèðîâêà íå ïðåâûøàåò äîïóñòèìîãî çíà÷åíèÿ. Îäíàêî, ÷òîáû îïðåäåëèòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ äåöåíòðèðîâîê, íåîáõîäèìî çíàòü êà÷åñòâåííûé è êîëè÷åñòâåííûé õàðàêòåð èõ âëèÿíèÿ íà êà÷åñòâî èçîáðàæåíèÿ.
Âîïðîñû àíàëèçà âëèÿíèÿ äåöåíòðèðîâêè ïîâåðõíîñòåé îïòè÷åñêèõ ñèñòåì íà êà÷åñòâî èçîáðàæåíèÿ ïîëó÷èëè îòðàæåíèå â ïóáëèêàöèÿõ ðÿäà àâòîðîâ [1–5]. Äîñòàòî÷íî ñëîæíûé õàðàêòåð âëèÿíèÿ äåöåíòðèðîâêè íà êà÷åñòâî èçîáðàæåíèÿ íåðåäêî ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èâûì ðåçóëüòàòàì åãî àíàëèçà [1, 4]. Àíàëèçó ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ àñòèãìàòè÷åñêèõ ïó÷êîâ ëó÷åé ïðè äåöåíòðèðîâêå îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ïîñâÿùåíà ïóáëèêàöèÿ [5]. Îäíàêî ïîëíîé ÿñíîñòè â ýòîì âîïðîñå ïîêà äîñòè÷ü íå óäàëîñü.  ïðåäëàãàåìîé ðàáîòå ñäåëàíà ïîïûòêà áîëåå íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êàðòèíû âëèÿíèÿ äåöåíòðèðîâêè ïîâåðõíîñòåé èëè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íà õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ïåðâè÷íûõ àáåððàöèé (àáåððàöèé òðåòüåãî ïîðÿäêà) îáðàçîâàííîãî èçîáðàæåíèÿ.
 îáùåì ñëó÷àå ñîñòàâëÿþùèå ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè â ñèñòåìå êîîðäèíàò δg′, δG′ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ðàçëîæåíèåì â ñòåïåííîé ðÿä ïî ïåðåìåííûì m, M è l, L, ãäå m è M – êîîðäèíàòû òî÷êè â ïëîñêîñòè âõîäíîãî çðà÷êà, l, L – êîîðäèíàòû òî÷-
êè â ïëîñêîñòè ïðåäìåòà. ×ëåíû òðåòüåãî ïîðÿäêà ýòèõ ðÿäîâ ìîãóò ñîäåðæàòü ñëåäóþùèå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåìåííûõ m, M, l è L:
m3 m2M mM 2 M 3
m2l mMl M 2l ml2 mL2 mlL
m2L MlL
mML mL2
M 2L. ML2
l3 l 2 L lL2 L3
 ýòîì ñëó÷àå, êîãäà îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó öåíòðèðîâàííûõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ, íå íàðóøàÿ îáùíîñòè îïðåäåëåíèÿ âèäà àáåððàöèè, ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ îïðåäåëåíèåì èõ ñîñòàâëÿþùèõ â ìåðèäèîíàëüíîé ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé êîîðäèíàòû m, M è l, (L = 0). Ïðè ýòîì ÷èñëî âîçìîæíûõ ÷ëåíîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðè ïðåäñòàâëåíèè ìåðèäèîíàëüíîé è ñàãèòòàëüíîé ñîñòàâëÿþùèõ ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè ñòåïåííûì ðÿäîì ðàâíî äåñÿòè. Îíè ìîãóò ñîäåðæàòü ñëåäóþùèå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåìåííûõ l, m è M:
m3 m2M
mM 2
M3
m2l mMl M 2l ml2 Ml2
.
l3
Çàìåòèì, ÷òî åñëè â ðàçëîæåíèè ôóíêöèé δg′ è δG′, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòàâëÿþùèå ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè â ìåðèäèîíàëüíîé è â ñàãèòòàëüíîé ïëîñêîñòÿõ ñîîòâåòñòâåííî, èçìåíèòü çíàê ó ïåðåìåííîé M, òî çíà÷åíèå ìåðèäèîíàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé àáåððàöèè δg′ íå èçìåíèòñÿ, à, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëîæåíèå â ðÿä ôóíêöèè δg′ íå äîëæíî ñîäåðæàòü ïåðåìåííîé M â íå÷åòíîé ñòåïåíè. Ïîñêîëüêó ñàãèòòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ àáåððàöèè ïðè çàìåíå çíàêà ïåðåìåííîé M äîëæíà òàêæå èçìåíèòü çíàê,
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
31
ñîõðàíÿÿ àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó íåèçìåííîé, òî ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè δG′ ñòåïåííûì ðÿäîì íå ìîæåò ñîäåðæàòü ÷ëåíîâ ñ ÷åòíûìè ñòåïåíÿìè ïåðåìåííîé M [6].
 1856 ãîäó ìþíõåíñêèé àñòðîíîì Ë. Çåéäåëü ïîëó÷èë âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ñòåïåííîãî ðÿäà òðåòüåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ l, m è M â ðàçëîæåíèè â ðÿä ôóíêöèé δg′ è δG′, ñîäåðæàùèõ êîíñòðóêòèâíûå ïàðàìåòðû îñåñèììåòðè÷íîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìû â îáùåì ñëó÷àå. Ë. Çåéäåëü ïîêàçàë, ÷òî êîýôôèöèåíòû äåñÿòè âîçìîæíûõ ÷ëåíîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà ñòåïåííîãî ðÿäà çàâèñèìû äðóã îò äðóãà, âñëåäñòâèå ÷åãî ÷èñëî ðàçëè÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ ñâîäèòñÿ ê ïÿòè. Ïðè ýòîì âûðàæåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå àáåððàöèè δg′ è δG′ è ñîäåðæàùèå ëèøü ÷ëåíû òðåòüåãî ïîðÿäêà, â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå [3]
( )δg0′ = Am0
m02
+
M
2 0
+
( )+ Bl0
3m02
+
M
2 0
+ Cl02m0 + El03 ,
(1)
( )δG0′ = AM0
m02
+
M
2 0
+ 2Bl0m0M 0 + Dl02M 0.
(2)
Ïðè äåöåíòðèðîâêå îòäåëüíîé ïîâåðõíîñòè èëè ðÿäà ïîâåðõíîñòåé (îòäåëüíîãî êîìïîíåíòà) îïòè÷åñêîé ñèñòåìû åå îñåâàÿ ñèììåòðèÿ íàðóøàåòñÿ. Ïîýòîìó äëÿ àíàëèçà âëèÿíèÿ äåöåíòðèðîâêè ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íà àáåððàöèè èçîáðàæåíèÿ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ñ ïëîñêîñòüþ ïðåäìåòà óäîáíî îïðåäåëèòü êîîðäèíàòàìè l è L. Äëÿ ýòîãî ïîâåðíåì êîîðäèíàòíûå îñè â ïëîñêîñòÿõ ïðåäìåòà, âõîäíîãî çðà÷êà è èçîáðàæåíèÿ âîêðóã îïòè÷åñêîé îñè íà óãîë ω è îáîçíà÷èì íîâûå êîîðäèíàòû òî÷êè â ïëîñêîñòè ïðåäìåòà áóêâàìè l è L, à íîâûå êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ñ ïëîñêîñòüþ âõîäíîãî çðà÷êà – áóêâàìè m è M. Ïðè ýòîì
m0 = mcosαω – Msinω,
(3)
M0 = msinω + Mcosω.
(4)
l0 = lcosω – Lsinαω,
(5)
Êðîìå òîãî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî l02 = l2 + L2, èìååì
lsinω = –Lcosω.
(6)
Ñîñòàâëÿþùèå δg′ è δG′ ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñâÿçàíû ñ ïðåæíèìè ñîñòàâëÿþùèìè δg0′ è δG0′ ôîðìóëàìè
δg′ = δg0′ cosω + δG0′sinω,
(7)
δG′ = δg0′ sinω + δG0′ cosω.
(8)
Çàìåíèì â ôîðìóëàõ (1) è (2) ïåðåìåííûå l0, m0 è M0 îïðåäåëÿþùèìè èõ ôîðìóëàìè (3), (4) è (5)
èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ôîðìóëó (6).  ðåçóëüòàòå ïîñëåäóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
( )δg0′ = A m2 + M 2 (mcosω − M sinω) +
+B(lcosω − Lsinω) m2 + M 2 + 2(mcosω − Msinω)2 +
( )+ C l2 + L2 (mcosω − M sinω) +
(9)
( )+E l2 + L2 (lcosω − Lsinω).
( )δG0′ = A m2 + M 2 (M cosω + msinω) +
( )+ 2B(lcosω −
Lsin
ω)
m2
−M2
sinωcosω −
(10)
( )−mM
sin2ω − cos2ω
+
( )+ D l2 + L2 (M cosω + msinω).
Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â ôîðìóëû (7) è (8). Ïðèìåíèâ ôîðìóëó (6), ïðåîáðàçóåì èõ ê âèäó
( ) ( )δg′= Am m2 + M 2 + B 3m2 + M 2 l + 2mML + (11) ( )+ Cl(ml + ML) + DL(mL − Ml) + El l2 + L2 ,
( ) ( )δG′= AM
m2 + M 2
+
B
m2 + 3M 2
L
+
2mMl
+
( )+ CL(ml + ML) + Dl(Ml − mL) + EL l2 + L2 . (12)
Çàìåòèì, ÷òî ðÿäû (11) è (12) ñîäåðæàò ÷ëåíû òðåòüåãî ïîðÿäêà ïåðåìåííûõ m, M, l è L, âêëþ÷àþùèå âñå äâàäöàòü âîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé ýòèõ ïåðåìåííûõ. Çàìåíèâ â âûðàæåíèè (11) âåëè÷èíû m, l âåëè÷èíàìè M, L, à âåëè÷èíû M, L âåëè÷èíàìè m, l, ïîëó÷èì âûðàæåíèå (12). Ïðè L = 0 ýòè âûðàæåíèÿ ïðèíèìàþò âèä âûðàæåíèé (1) è (2).
Äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèÿ (11) è (12) è çàìåíÿÿ äèôôåðåíöèàëû êîíå÷íûìè ðàçíîñòÿìè, ïîëó÷àåì
∆δg′ = A (3m2 + M 2 )∆m + 2mM ∆M +
+B (3m2 + M 2 )∆l +2(3ml + ML)∆m +
+ 2(Ml + mL)∆M + 2mM ∆L +
(13)
+ C l2∆m + (2ml + ML)∆l + Ml∆L + lL∆M +
+ D L2∆m + (2mL − Ml)∆L − ML∆l − lL∆M + + E (3l2 + L2 )∆l + 2lL∆L ,
32 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
∆δG′ = A (m2 + 3M 2 )∆M + 2mM ∆m +
+ B (m2 + 3M 2 )∆L + 2(mL + Ml)∆m +
+ 2(3ML + ml)∆M + 2mM ∆l +
(14)
+ C L2∆M + (2ML + ml)∆L + mL∆l + lL∆m +
+ D l2∆M + (2Ml − mL)∆l − ml∆L − lL∆m +
+ E (l2 + 3L2 )∆L + 2lL∆l .
 ñîîòâåòñòâèè ñ èçâåñòíîé â ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêå òåîðåìîé ñëîæåíèÿ àáåððàöèé [7] êàæäûé êîýôôèöèåíò ïåðâè÷íîé àáåððàöèè (àáåððàöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà) äëÿ ëþáîé öåíòðèðîâàííîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ðàâåí ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ äëÿ îòäåëüíûõ åå ïîâåðõíîñòåé [8]. Ýòà òåîðåìà ïîçâîëÿåò àíàëèçèðîâàòü õàðàêòåð èçìåíåíèÿ àáåððàöèîííîé ñòðóêòóðû ïÿòíà ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè, îáðàçîâàííîì îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé â öåëîì ïî õàðàêòåðó èçìåíåíèé àáåððàöèé, âíîñèìûõ â èçîáðàæåíèå äåöåíòðèðîâàííûì ýëåìåíòîì ñèñòåìû. Äëÿ àíàëèçà èçìåíåíèé àáåððàöèîííîé ñòðóêòóðû ïÿòíà ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè óäîáíî ïåðåéòè ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
m = aρcosα, l = rcosβ, M = aρsinα, L = rsinβ,
ãäå à – ðàäèóñ âõîäíîãî çðà÷êà, r – ðàññòîÿíèå îò îïòè÷åñêîé îñè äî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè â ïëîñêîñòè ïðåäìåòà.
Ïóñòü δ – ñìåùåíèå ãëàâíîé òî÷êè îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà (ñìåùåíèå öåíòðà êðèâèçíû â ñëó÷àå îòäåëüíîé ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè) â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû. Åñëè ïðè ýòîì îòðåçêè m è l, à, ñîîòâåòñòâåííî, M è L ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, òî ïðèðàùåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îòðåçêîâ ðàâíû
∆m = ∆l = –δcosγ è ∆M = ∆L = –δsinγ,
ãäå γ – óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñìåùåíèÿ îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà è ìåðèäèîíàëüíîé ïëîñêîñòüþ.
Âûïîëíèâ ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîäñòàíîâêó âåëè÷èí, âûðàæåíèÿ (13) è (14) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
∆δg′ = −a2ρ2δ(A + B)[2cos γ + cos(2α − γ)] −
− aρrδ[(4B + C + D) cos(β − γ) cos α +
+ (2B + C − D) cos(α − β − γ)] −
(15)
− r2δ[(C + 2E) cos(β − γ) cosβ +
+ D sin(β − γ)sin β + E cos γ],
∆δG′ = −a2ρ2δ( A + B)[2sin γ + sin(2α − γ)] −
− aρrδ[(4B + C + D) cos(β − γ) sin α −
− (2B + C − D)sin(α − β − γ)] −
(16)
− r2δ[(C + 2E) cos(β − γ)sin β −
− D sin(β − γ) cosβ + E sin γ].
Ðàññìîòðèì îòäåëüíî êàæäîå èç îäíîòèïíûõ ïðèðàùåíèé ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè, âíîñèìûõ â èçîáðàæåíèå òî÷êè â ðåçóëüòàòå ïîïåðå÷íîãî ñìåùåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè.
Ïóñòü ïðèðàùåíèÿ ∆δg′ è ∆δG′ ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè îïðåäåëÿþòñÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè âûðàæåíèé (15) è (16)
∆δg′ = −a2ρ2δ( A + B)[2 cos γ + cos(2α − γ)],
∆δG′ = −a2ρ2δ( A + B)[2sin γ + sin(2α − γ)].
Âèä àáåððàöèîííîãî ïÿòíà â èçîáðàæåíèè òî÷êè íå èçìåíÿåòñÿ, åñëè ñèñòåìó êîîðäèíàò ïîâåðíóòü íà íåêîòîðûé óãîë ψ. Ïðè ýòîì
∆δg ′ = ∆δg′cosψ + ∆δG′sinψ =
(19)
= −a2ρ2δ( A + B)[2 cos(γ − ψ) + cos(2α − γ − ψ)],
∆δG ′ = −∆δg′sinψ + ∆δG′cosψ =
(20)
= −a2ρ2δ( A + B)[2sin(γ − ψ) + sin(2α − γ − ψ)].
Ïðè ψ = γ ïîëó÷àåì
∆δg ′ + 2a2ρ2δ( A + B)2 + (∆δG ′)2 = a4ρ4δ2. (21)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïîïåðå÷íîì ñìåùåíèè ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû â èçîáðàæåíèè êàæäîé òî÷êè ïðåäìåòà â íàïðàâëåíèè ñìåùåíèÿ êîìïîíåíòà âíîñèòñÿ îäèíàêîâàÿ êîìà.
Ïóñòü ïðèðàùåíèÿ ∆δg′ è ∆δG′ îïðåäåëÿþòñÿ âòîðûìè ÷ëåíàìè âûðàæåíèé (15) è (16)
∆δg′ = −(4B + C + D)aρrδcos(β − γ) cosα − − (2B + C − D)aρrδcos(α − β − γ),
∆δG′ = −(4B + C + D)aρrδcos(β − γ)sinα + + (2B + C − D)aρrδsin(α − β − γ).
Ýòè âûðàæåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
∆δg′ = −(4B + C + D)mrδcos(β − γ) − − (2B + C − D)mrδcos(β + γ) − − (2B + C − D)Mrδsin(β + γ),
(22)
∆δG′ = −(4B + C + D)Mrδcos(β − γ) +
+ (2B + C − D)Mrδcos(β + γ) −
(23)
− (2B + C − D)Mrδsin(β + γ).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàññòîÿíèå îò îñåâîé òî÷êè ïå-
ðåäíåé ãëàâíîé ñôåðû [9] äåöåíòðèðîâàííîãî ýëå-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
33
ìåíòà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû äî îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà ðàâíî R, à ðàññòîÿíèå îò îñåâîé òî÷êè çàäíåé ãëàâíîé ñôåðû äî èçîáðàæåíèÿ îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà ðàâíî R′. Òîãäà îòíîøåíèå aρ/R = sinσ = = (n′/n)Vsinσ′ = (n′/n)V(a′/ρR), ãäå sinσ(sinσ′) – ÷èñëîâàÿ àïåðòóðà îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ (èçîáðàæåíèé) ðàññìàòðèâàåìîãî ýëåìåíòà, V – ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå îáðàçîâàííîãî èì èçîáðàæåíèÿ. Äëÿ ãëàâíûõ ñôåð èìååì [10]: aρ ≈ a′ρ. Ïîýòîìó âïîëíå ñïðàâåäëèâî ñ÷èòàòü, ÷òî sinσ′ ≈ σ′ = aρ/R′.
Ïóñòü M = 0.  ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèÿ (22) è (23) ïðèíèìàþò âèä
∆δg′ = −[(4B + C + D) cos(β − γ) + + (2B + C − D) cos(β + γ)]mrδ,
(24)
∆δG′ = −(2B + C − D) sin(β + γ)mrδ. (25)
Ïðè M = 0, aρ/R′ = m/R′ = sinσm′ , à sinσs′ = M/R = 0. Ïðè ýòîì îñåâàÿ êîîðäèíàòà èçîáðàæåíèÿ âíå îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà, îáðàçîâàííîãî ëó÷àìè ïó÷êà, ëåæàùèìè â ìåðèäèîíàëüíîé ïëîñêîñòè, ðàâíà
zm′ = ∆δg′/tgσ′m ≈ ∆δg′/σ′m = R′(∆δg′/m). Ïîäñòàâèâ ñþäà âûðàæåíèå (24), ïîëó÷àåì
zm′ = −R′[(4B + C + D) cos(β − γ) + + (2B + C − D) cos(β + γ)]rδ.
Ïðè γ = 0
(26)
z′m = –2R′(3B + C)lδ.
(27)
Ïóñòü m = 0.  ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèÿ (22) è (23) ïðèíèìàþò âèä
∆δg′ = −(2B + C − D)sin(β + γ)rδM, (28)
∆δG′ = −[(4B + C + D) cos(β − γ) − − (2B + C − D) cos(β + γ)]rδM .
(29)
Ïðè m = 0, aρ/R′ = M/R′ = sinσs′, à sinσm′ = m/R′ = 0. Ïðè ýòîì îñåâàÿ êîîðäèíàòà èçîáðàæåíèÿ âíå îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà, îáðàçîâàííîãî ëó÷àìè ïó÷êà, ëåæàùèìè â ñàãèòòàëüíîé ïëîñêîñòè, ðàâíà
zs′ = ∆δG′/tgσs′ ≈ ∆G′/σs′ = R′(∆δG′/M ). Èç âûðàæåíèÿ (29) ñëåäóåò, ÷òî
zs′ = −R′[(4B + C + D) cos(β − γ) − − (2B + C − D) cos(β + γ)]rδ.
(30)
Ïðè γ = 0
zs′ = 2R′(B + D)lδ.
(31)
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (26) è (30), íàõîäèì, ÷òî àñòèãìàòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü îñåâûõ êîîðäèíàò ðàâíà
zs′ − zm′ = −2R′(2B + C − D)rδcos(β + γ). Ïðè γ = 0
(32)
zs′ – zm′ = –2R′(2B + C – D)lδ, ïðè β = 0
(33)
zs′ – zm′ = –2R′(2B + C – D)rδcosγ, ïðè β = π
(34)
zs′ – zm′ = 2R′(2B + C – D)rδcosγ, (35)
Èçâåñòíî [3], ÷òî âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
W = −(1/R′)∫ (∆δg′dm + ∆δG′dM ).
(36)
Çàìåíèâ ïðèðàùåíèÿ ∆δg′ è ∆δG′ îïðåäåëÿþùèìè èõ âûðàæåíèÿìè (22) è (23) è âûïîëíèâ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷àåì
W = W1 + W2 + W3,
(37)
ãäå
W1 = [(4B + C + D)/2R′]cos(β − γ)rδ(m2 + M 2 ), W2 = [(2B + C − D)/2R′]cos(β + γ)rδ(m2 − M 2 ),
W3 = [(2B + C − D)/R′]sin(β + γ)2rδmM .
Ïóñòü W = W1.  ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü âîëíîâîãî ôðîíòà èìååò ôîðìó ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ, ðàäèóñ êðèâèçíû â îñåâîé òî÷êå êîòîðîãî ðàâåí
RW′ 1 = R′/[(4B + C + D)rδ cos(β − γ)]. (38)
 ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (36)
∆δg′ = −R′(∂W/∂m), à ∆δG′ = −R′(∂W/∂M ).
Òîãäà ïðè W = W1 èìååì
(∆δg
′)2
+
(∆δG′)2
=
R′ RW′ 1
2
(m2
+
M
2
),
(39)
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïÿòíî ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè èìååò ôîðìó êðóãà. Îäíàêî, çàìåòèì, ÷òî ïðè β = γ
(∆δg′)2 + (∆δG′)2 = (4B + C + D)2 a2ρ2r2δ2,
à ïðè β = γ ± π/2 (∆δg′)2 + (∆δG′)2 = 0.
Ïóñòü W = W2.  ýòîì ñëó÷àå ïðè M = 0 âîëíîâàÿ
àáåððàöèÿ W = m2/2RW′ 2, à ïðè m = 0 W
ãäåÏRðW′ è2
= R′/(2B + C − D)rδ cos(β + γ). ýòîì ïîâåðõíîñòü âîëíîâîãî
= −M 2/ ôðîíòà
2RW′ 2, èìååò
âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1à. Ïðè W = W2 èìååì
34 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
(à) (á)
Âàðèàíò ôîðìû âîëíîâîãî ôðîíòà ïðè äåöåíòðèðîâêå îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà.
∆δg′ = −(R′/RW′ 2 )m, ∆δG′ = −(R′/RW′ 2 )M .
Ñëåäîâàòåëüíî, è â ýòîì ñëó÷àå ïÿòíî ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè èìååò âèä êðóãà
(∆δg′)2 + (∆δG′)2 = (R′/RW′ 2 )2 (m2 + M 2 ). Çàìåòèì, ÷òî ïðè β + γ = 0
(∆δg′)2 + (∆δG′)2 = (2B + C − D)2 r2δ2.
(40)
Îäíàêî ïðè β + γ = ±π/2 (∆δg′)2 + (∆δG′)2 = 0, ò. å. â ýòîì íàïðàâëåíèè íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèé âåëè÷èí r è δ îñòàòî÷íûå àáåððàöèè íå èçìåíÿþòñÿ.
Ïóñòü W = W3. Ïîâåðíóâ ñèñòåìó êîîðäèíàò m, M íà íåêîòîðûé óãîë ω, ïîëó÷àåì
m = m cosω − M sinω, M = m sinω + M cosω.
Ïðè ýòîì
W = W3 = [(2B + C − D)/R′]sin(β + γ) × ×rδ(m 2sin2ω + 2m M cos2ω − M 2 sin2ω).
Ïîëîæèâ ω = π/4, ïîëó÷àåì W3 = [(2B + C − D)/R′]sin(β + γ)rδ(m 2− M 2 ).
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî
W3cos(β + γ) = 2W2sin(β + γ).
Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòü âîëíîâîãî ôðîíòà W = W3 èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1á, ïîäîáíûé ôîðìå âîëíîâîãî ôðîíòà W2 (ðèñ. 1à) ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ 2tg(β + γ) è ïîâåðíóòûé îòíîñèòåëüíî íåãî íà óãîë ω = π/4.
È â ýòîì ñëó÷àå
(∆δg′)2 + (∆δG′)2 = (R′/RW′ 3)2(m2 + M2), ãäå
(41)
RW′ 3 = R′/[(2B + C − D)rδ sin(β + γ)].
Âûðàæåíèå (41) îïèñûâàåò îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïðè β + γ = kπ, ãäå k = 0, 1, 2, … âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó.
Ïóñòü ïðèðàùåíèÿ ∆δg′ è ∆δG′ îïðåäåëÿþòñÿ òðåòüèìè ÷ëåíàìè âûðàæåíèé (15) è (16)
∆δg′ = −r2δ[(C + 2E) cos(β − γ) cosβ +
+ D sin(β − γ) sin β + E cos γ],
(42)
∆δG′ = −r2δ[(C + 2E) cos(β − γ)sin β −
− D sin(β − γ) cosβ + E cos γ].
(43)
Ýòè âûðàæåíèÿ ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
∆δg′ = − (C + 3E)l2 + (D + E)L2 δcosγ − (44) − (C + 2E − D)lLδsinγ,
∆δG′ = −(C + 2E − D)lLδcosγ − − (C + 3E)L2 + (D + E)l2 δsin γ.
(45)
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà óãîë γ = 0, âûðàæåíèÿ (44) è (45) ïðèíèìàþò âèä
∆δg′ = − (C + 3E)l2 + (D + E)L2 δ, ∆δG′ = −(C + 2E − D)lLδ.
(46) (47)
Èç ðàáîòû [11] âèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (46) äëÿ ëþáîãî âûáðàííîãî ðÿäà çíà÷åíèé îòðåçêà l îïèñûâàåò ñåìåéñòâî ïàðàáîë, îðèåíòàöèÿ êîòîðûõ íå çàâèñèò îò çíàêà l; óðàâíåíèå (47) äëÿ ëþáîãî âûáðàííîãî ðÿäà çíà÷åíèé îòðåçêà L îïèñûâàåò ñåìåéñòâî ïðÿìûõ, çíàê è óãîë íàêëîíà êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì è äëèíîé îòðåçêà L.
Èòàê, ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ äàþò íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå îá èçìåíåíèè ñòðóêòóðû ïó÷êà ëó÷åé, ôîðìèðóþùåãî èçîáðàæåíèå òî÷êè, ïðè ìàëîì ïîïåðå÷íîì ñìåùåíèè ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ëþáàÿ ëèíèÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç öåíòð êðèâèçíû ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ìîæåò áûòü ïðèíÿòà â êà÷åñòâå åå îïòè÷åñêîé îñè, ò. å. ñôåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü íå èìååò îïðåäåëåííîãî ïîëîæåíèÿ îïòè÷åñêîé îñè. Ïîýòîìó ìàëûé íàêëîí ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îïòè÷åñêîé îñè îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, â ñîñòàâ êîòîðîé âõîäèò ýòà ïîâåðõíîñòü, ýêâèâàëåíòåí åå ïîïåðå÷íîìó ñìåùåíèþ
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
35
íà δi = –riθi è ïðîäîëüíîìó ñìåùåíèþ, ðàâíîìó ∆i= δi2/2ri, ãäå ri – ðàäèóñ êðèâèçíû ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, θi – óãîë åå íàêëîíà. Ïðè ìàëîì óãëå θi ïðîäîëüíîå ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè è èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  îòëè÷èå îò ñôåðè÷åñêîé íåñôåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ èìååò îñü ñèììåòðèè, êîòîðàÿ è îïðåäåëÿåò åå îïòè÷åñêóþ îñü. Ïîëîæåíèå îïòè÷åñêîé îñè âïîëíå îïðåäåëåíî è â îáùåì ñëó÷àå ñî÷åòàíèÿ äâóõ è áîëåå ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé.
Ïðè íàêëîíå îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà íà ìàëûé óãîë θ ïîâåðõíîñòü èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî ýòèì ýëåìåíòîì, íàêëîíèòñÿ íà óãîë, ðàâíûé
θ′i = (Vi – 1)θi,
ãäå Vi – ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî îïòè÷åñêèì ýëåìåíòîì. Êðîìå òîãî, ïðè íàêëîíå îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà íà óãîë θi îñåâàÿ òî÷êà ïðåäìåòîâ ýòîãî ýëåìåíòà ïîëó÷àåò ïîïåðå÷íîå ñìåùåíèå, ðàâíîå
−δi = ∆li cosγi + ∆Li sin γi = piθi ,
(49)
ãäå ∆lisinγi = ∆Licosγi, pi – ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îïòè÷åñêîé îñè ýëåìåíòà ñ îïòè÷åñêîé îñüþ
ñèñòåìû ïðè åãî íàêëîíå äî îñåâîé òî÷êè ïðåäìå-
òà. Êîîðäèíàòà òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à îñåâîãî ïó÷-
êà ñ ïåðâîé ïîâåðõíîñòüþ îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà ïðè
åãî íàêëîíå ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå, ðàâíîå
−δi = ∆mi cosγi + ∆Mi sin γi = = 0, 5Diθi2 + qiθi ≈ qiθi ,
(50)
ãäå Di – äèàìåòð îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé, qi – ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îïòè÷åñêîé îñè îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà ñ îïòè÷åñêîé îñüþ ñèñòåìû äî ïåðâîé ïîâåðõíîñòè ýëåìåíòà.
 îáùåì ñëó÷àå ïðè äåöåíòðèðîâêå ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû âîçìîæåí èõ îäíîâðåìåííûé ïîïåðå÷íûé ñäâèã è íàêëîí. Ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ ïîçâîëÿþò îöåíèòü âëèÿíèå è ïîïåðå÷íîãî ñäâèãà, è íàêëîíà îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íà àáåððàöèîííóþ ñòðóêòóðó ïÿòíà ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
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36 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
ÀÁÅÐÐÀÖÈÎÍÍÀß ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÏßÒÍÀ ÐÀÑÑÅßÍÈß Â ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÈ ÒÎ×ÊÈ ÏÐÈ ÄÅÖÅÍÒÐÈÐÎÂÊÅ ÝËÅÌÅÍÒΠÎÏÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
2009 ã. Â. À. Çâåðåâ, äîêòîð òåõí. íàóê; È. Í. Òèìîùóê, êàíä. òåõí. íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
Ïîëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå èçìåíåíèÿ àáåððàöèîííîé ñòðóêòóðû ñâåòîâûõ ïó÷êîâ ëó÷åé, ôîðìèðóåìûõ äåöåíòðèðîâàííûì ýëåìåíòîì îïòè÷åñêîé ñèñòåìû. Âûïîëíåí àíàëèç âëèÿíèÿ êàæäîãî ÷ëåíà ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé â îòäåëüíîñòè íà ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå òî÷êè, äàþùèé íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå èçìåíåíèÿ ïåðâè÷íûõ àáåððàöèé (àáåððàöèé òðåòüåãî ïîðÿäêà), âíîñèìûõ â èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà äåöåíòðèðîâàííûì ýëåìåíòîì îïòè÷åñêîé ñèñòåìû.
Êîäû OCIS: 200.0200, 220.0220.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 02.09.2008.
Ïðè ïîïåðå÷íîì ñìåùåíèè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî åå îïòè÷åñêîé îñè è ïðè èõ íàêëîíå îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê îïòè÷åñêîé îñè, îñåâàÿ ñèììåòðèÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íàðóøàåòñÿ, íàðóøàåòñÿ è ïðèâû÷íàÿ êàðòèíà îñòàòî÷íûõ àáåððàöèé â èçîáðàæåíèè òî÷åê ïðåäìåòà. Èçáåæàòü äåöåíòðèðîâîê îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ â ïðîöåññå èçãîòîâëåíèÿ îïòè÷åñêîãî ïðèáîðà ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî, äà â ýòîì è íåò íåîáõîäèìîñòè, åñëè äåöåíòðèðîâêà íå ïðåâûøàåò äîïóñòèìîãî çíà÷åíèÿ. Îäíàêî, ÷òîáû îïðåäåëèòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ äåöåíòðèðîâîê, íåîáõîäèìî çíàòü êà÷åñòâåííûé è êîëè÷åñòâåííûé õàðàêòåð èõ âëèÿíèÿ íà êà÷åñòâî èçîáðàæåíèÿ.
Âîïðîñû àíàëèçà âëèÿíèÿ äåöåíòðèðîâêè ïîâåðõíîñòåé îïòè÷åñêèõ ñèñòåì íà êà÷åñòâî èçîáðàæåíèÿ ïîëó÷èëè îòðàæåíèå â ïóáëèêàöèÿõ ðÿäà àâòîðîâ [1–5]. Äîñòàòî÷íî ñëîæíûé õàðàêòåð âëèÿíèÿ äåöåíòðèðîâêè íà êà÷åñòâî èçîáðàæåíèÿ íåðåäêî ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èâûì ðåçóëüòàòàì åãî àíàëèçà [1, 4]. Àíàëèçó ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ àñòèãìàòè÷åñêèõ ïó÷êîâ ëó÷åé ïðè äåöåíòðèðîâêå îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ïîñâÿùåíà ïóáëèêàöèÿ [5]. Îäíàêî ïîëíîé ÿñíîñòè â ýòîì âîïðîñå ïîêà äîñòè÷ü íå óäàëîñü.  ïðåäëàãàåìîé ðàáîòå ñäåëàíà ïîïûòêà áîëåå íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êàðòèíû âëèÿíèÿ äåöåíòðèðîâêè ïîâåðõíîñòåé èëè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íà õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ïåðâè÷íûõ àáåððàöèé (àáåððàöèé òðåòüåãî ïîðÿäêà) îáðàçîâàííîãî èçîáðàæåíèÿ.
 îáùåì ñëó÷àå ñîñòàâëÿþùèå ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè â ñèñòåìå êîîðäèíàò δg′, δG′ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ðàçëîæåíèåì â ñòåïåííîé ðÿä ïî ïåðåìåííûì m, M è l, L, ãäå m è M – êîîðäèíàòû òî÷êè â ïëîñêîñòè âõîäíîãî çðà÷êà, l, L – êîîðäèíàòû òî÷-
êè â ïëîñêîñòè ïðåäìåòà. ×ëåíû òðåòüåãî ïîðÿäêà ýòèõ ðÿäîâ ìîãóò ñîäåðæàòü ñëåäóþùèå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåìåííûõ m, M, l è L:
m3 m2M mM 2 M 3
m2l mMl M 2l ml2 mL2 mlL
m2L MlL
mML mL2
M 2L. ML2
l3 l 2 L lL2 L3
 ýòîì ñëó÷àå, êîãäà îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó öåíòðèðîâàííûõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ, íå íàðóøàÿ îáùíîñòè îïðåäåëåíèÿ âèäà àáåððàöèè, ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ îïðåäåëåíèåì èõ ñîñòàâëÿþùèõ â ìåðèäèîíàëüíîé ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé êîîðäèíàòû m, M è l, (L = 0). Ïðè ýòîì ÷èñëî âîçìîæíûõ ÷ëåíîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðè ïðåäñòàâëåíèè ìåðèäèîíàëüíîé è ñàãèòòàëüíîé ñîñòàâëÿþùèõ ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè ñòåïåííûì ðÿäîì ðàâíî äåñÿòè. Îíè ìîãóò ñîäåðæàòü ñëåäóþùèå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåìåííûõ l, m è M:
m3 m2M
mM 2
M3
m2l mMl M 2l ml2 Ml2
.
l3
Çàìåòèì, ÷òî åñëè â ðàçëîæåíèè ôóíêöèé δg′ è δG′, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòàâëÿþùèå ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè â ìåðèäèîíàëüíîé è â ñàãèòòàëüíîé ïëîñêîñòÿõ ñîîòâåòñòâåííî, èçìåíèòü çíàê ó ïåðåìåííîé M, òî çíà÷åíèå ìåðèäèîíàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé àáåððàöèè δg′ íå èçìåíèòñÿ, à, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëîæåíèå â ðÿä ôóíêöèè δg′ íå äîëæíî ñîäåðæàòü ïåðåìåííîé M â íå÷åòíîé ñòåïåíè. Ïîñêîëüêó ñàãèòòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ àáåððàöèè ïðè çàìåíå çíàêà ïåðåìåííîé M äîëæíà òàêæå èçìåíèòü çíàê,
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
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ñîõðàíÿÿ àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó íåèçìåííîé, òî ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè δG′ ñòåïåííûì ðÿäîì íå ìîæåò ñîäåðæàòü ÷ëåíîâ ñ ÷åòíûìè ñòåïåíÿìè ïåðåìåííîé M [6].
 1856 ãîäó ìþíõåíñêèé àñòðîíîì Ë. Çåéäåëü ïîëó÷èë âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ñòåïåííîãî ðÿäà òðåòüåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ l, m è M â ðàçëîæåíèè â ðÿä ôóíêöèé δg′ è δG′, ñîäåðæàùèõ êîíñòðóêòèâíûå ïàðàìåòðû îñåñèììåòðè÷íîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìû â îáùåì ñëó÷àå. Ë. Çåéäåëü ïîêàçàë, ÷òî êîýôôèöèåíòû äåñÿòè âîçìîæíûõ ÷ëåíîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà ñòåïåííîãî ðÿäà çàâèñèìû äðóã îò äðóãà, âñëåäñòâèå ÷åãî ÷èñëî ðàçëè÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ ñâîäèòñÿ ê ïÿòè. Ïðè ýòîì âûðàæåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå àáåððàöèè δg′ è δG′ è ñîäåðæàùèå ëèøü ÷ëåíû òðåòüåãî ïîðÿäêà, â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå [3]
( )δg0′ = Am0
m02
+
M
2 0
+
( )+ Bl0
3m02
+
M
2 0
+ Cl02m0 + El03 ,
(1)
( )δG0′ = AM0
m02
+
M
2 0
+ 2Bl0m0M 0 + Dl02M 0.
(2)
Ïðè äåöåíòðèðîâêå îòäåëüíîé ïîâåðõíîñòè èëè ðÿäà ïîâåðõíîñòåé (îòäåëüíîãî êîìïîíåíòà) îïòè÷åñêîé ñèñòåìû åå îñåâàÿ ñèììåòðèÿ íàðóøàåòñÿ. Ïîýòîìó äëÿ àíàëèçà âëèÿíèÿ äåöåíòðèðîâêè ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íà àáåððàöèè èçîáðàæåíèÿ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ñ ïëîñêîñòüþ ïðåäìåòà óäîáíî îïðåäåëèòü êîîðäèíàòàìè l è L. Äëÿ ýòîãî ïîâåðíåì êîîðäèíàòíûå îñè â ïëîñêîñòÿõ ïðåäìåòà, âõîäíîãî çðà÷êà è èçîáðàæåíèÿ âîêðóã îïòè÷åñêîé îñè íà óãîë ω è îáîçíà÷èì íîâûå êîîðäèíàòû òî÷êè â ïëîñêîñòè ïðåäìåòà áóêâàìè l è L, à íîâûå êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ñ ïëîñêîñòüþ âõîäíîãî çðà÷êà – áóêâàìè m è M. Ïðè ýòîì
m0 = mcosαω – Msinω,
(3)
M0 = msinω + Mcosω.
(4)
l0 = lcosω – Lsinαω,
(5)
Êðîìå òîãî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî l02 = l2 + L2, èìååì
lsinω = –Lcosω.
(6)
Ñîñòàâëÿþùèå δg′ è δG′ ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñâÿçàíû ñ ïðåæíèìè ñîñòàâëÿþùèìè δg0′ è δG0′ ôîðìóëàìè
δg′ = δg0′ cosω + δG0′sinω,
(7)
δG′ = δg0′ sinω + δG0′ cosω.
(8)
Çàìåíèì â ôîðìóëàõ (1) è (2) ïåðåìåííûå l0, m0 è M0 îïðåäåëÿþùèìè èõ ôîðìóëàìè (3), (4) è (5)
èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ôîðìóëó (6).  ðåçóëüòàòå ïîñëåäóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
( )δg0′ = A m2 + M 2 (mcosω − M sinω) +
+B(lcosω − Lsinω) m2 + M 2 + 2(mcosω − Msinω)2 +
( )+ C l2 + L2 (mcosω − M sinω) +
(9)
( )+E l2 + L2 (lcosω − Lsinω).
( )δG0′ = A m2 + M 2 (M cosω + msinω) +
( )+ 2B(lcosω −
Lsin
ω)
m2
−M2
sinωcosω −
(10)
( )−mM
sin2ω − cos2ω
+
( )+ D l2 + L2 (M cosω + msinω).
Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â ôîðìóëû (7) è (8). Ïðèìåíèâ ôîðìóëó (6), ïðåîáðàçóåì èõ ê âèäó
( ) ( )δg′= Am m2 + M 2 + B 3m2 + M 2 l + 2mML + (11) ( )+ Cl(ml + ML) + DL(mL − Ml) + El l2 + L2 ,
( ) ( )δG′= AM
m2 + M 2
+
B
m2 + 3M 2
L
+
2mMl
+
( )+ CL(ml + ML) + Dl(Ml − mL) + EL l2 + L2 . (12)
Çàìåòèì, ÷òî ðÿäû (11) è (12) ñîäåðæàò ÷ëåíû òðåòüåãî ïîðÿäêà ïåðåìåííûõ m, M, l è L, âêëþ÷àþùèå âñå äâàäöàòü âîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé ýòèõ ïåðåìåííûõ. Çàìåíèâ â âûðàæåíèè (11) âåëè÷èíû m, l âåëè÷èíàìè M, L, à âåëè÷èíû M, L âåëè÷èíàìè m, l, ïîëó÷èì âûðàæåíèå (12). Ïðè L = 0 ýòè âûðàæåíèÿ ïðèíèìàþò âèä âûðàæåíèé (1) è (2).
Äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèÿ (11) è (12) è çàìåíÿÿ äèôôåðåíöèàëû êîíå÷íûìè ðàçíîñòÿìè, ïîëó÷àåì
∆δg′ = A (3m2 + M 2 )∆m + 2mM ∆M +
+B (3m2 + M 2 )∆l +2(3ml + ML)∆m +
+ 2(Ml + mL)∆M + 2mM ∆L +
(13)
+ C l2∆m + (2ml + ML)∆l + Ml∆L + lL∆M +
+ D L2∆m + (2mL − Ml)∆L − ML∆l − lL∆M + + E (3l2 + L2 )∆l + 2lL∆L ,
32 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
∆δG′ = A (m2 + 3M 2 )∆M + 2mM ∆m +
+ B (m2 + 3M 2 )∆L + 2(mL + Ml)∆m +
+ 2(3ML + ml)∆M + 2mM ∆l +
(14)
+ C L2∆M + (2ML + ml)∆L + mL∆l + lL∆m +
+ D l2∆M + (2Ml − mL)∆l − ml∆L − lL∆m +
+ E (l2 + 3L2 )∆L + 2lL∆l .
 ñîîòâåòñòâèè ñ èçâåñòíîé â ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêå òåîðåìîé ñëîæåíèÿ àáåððàöèé [7] êàæäûé êîýôôèöèåíò ïåðâè÷íîé àáåððàöèè (àáåððàöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà) äëÿ ëþáîé öåíòðèðîâàííîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ðàâåí ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ äëÿ îòäåëüíûõ åå ïîâåðõíîñòåé [8]. Ýòà òåîðåìà ïîçâîëÿåò àíàëèçèðîâàòü õàðàêòåð èçìåíåíèÿ àáåððàöèîííîé ñòðóêòóðû ïÿòíà ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè, îáðàçîâàííîì îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé â öåëîì ïî õàðàêòåðó èçìåíåíèé àáåððàöèé, âíîñèìûõ â èçîáðàæåíèå äåöåíòðèðîâàííûì ýëåìåíòîì ñèñòåìû. Äëÿ àíàëèçà èçìåíåíèé àáåððàöèîííîé ñòðóêòóðû ïÿòíà ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè óäîáíî ïåðåéòè ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
m = aρcosα, l = rcosβ, M = aρsinα, L = rsinβ,
ãäå à – ðàäèóñ âõîäíîãî çðà÷êà, r – ðàññòîÿíèå îò îïòè÷åñêîé îñè äî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè â ïëîñêîñòè ïðåäìåòà.
Ïóñòü δ – ñìåùåíèå ãëàâíîé òî÷êè îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà (ñìåùåíèå öåíòðà êðèâèçíû â ñëó÷àå îòäåëüíîé ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè) â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû. Åñëè ïðè ýòîì îòðåçêè m è l, à, ñîîòâåòñòâåííî, M è L ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, òî ïðèðàùåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îòðåçêîâ ðàâíû
∆m = ∆l = –δcosγ è ∆M = ∆L = –δsinγ,
ãäå γ – óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñìåùåíèÿ îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà è ìåðèäèîíàëüíîé ïëîñêîñòüþ.
Âûïîëíèâ ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîäñòàíîâêó âåëè÷èí, âûðàæåíèÿ (13) è (14) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
∆δg′ = −a2ρ2δ(A + B)[2cos γ + cos(2α − γ)] −
− aρrδ[(4B + C + D) cos(β − γ) cos α +
+ (2B + C − D) cos(α − β − γ)] −
(15)
− r2δ[(C + 2E) cos(β − γ) cosβ +
+ D sin(β − γ)sin β + E cos γ],
∆δG′ = −a2ρ2δ( A + B)[2sin γ + sin(2α − γ)] −
− aρrδ[(4B + C + D) cos(β − γ) sin α −
− (2B + C − D)sin(α − β − γ)] −
(16)
− r2δ[(C + 2E) cos(β − γ)sin β −
− D sin(β − γ) cosβ + E sin γ].
Ðàññìîòðèì îòäåëüíî êàæäîå èç îäíîòèïíûõ ïðèðàùåíèé ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè, âíîñèìûõ â èçîáðàæåíèå òî÷êè â ðåçóëüòàòå ïîïåðå÷íîãî ñìåùåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè.
Ïóñòü ïðèðàùåíèÿ ∆δg′ è ∆δG′ ïîïåðå÷íîé àáåððàöèè îïðåäåëÿþòñÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè âûðàæåíèé (15) è (16)
∆δg′ = −a2ρ2δ( A + B)[2 cos γ + cos(2α − γ)],
∆δG′ = −a2ρ2δ( A + B)[2sin γ + sin(2α − γ)].
Âèä àáåððàöèîííîãî ïÿòíà â èçîáðàæåíèè òî÷êè íå èçìåíÿåòñÿ, åñëè ñèñòåìó êîîðäèíàò ïîâåðíóòü íà íåêîòîðûé óãîë ψ. Ïðè ýòîì
∆δg ′ = ∆δg′cosψ + ∆δG′sinψ =
(19)
= −a2ρ2δ( A + B)[2 cos(γ − ψ) + cos(2α − γ − ψ)],
∆δG ′ = −∆δg′sinψ + ∆δG′cosψ =
(20)
= −a2ρ2δ( A + B)[2sin(γ − ψ) + sin(2α − γ − ψ)].
Ïðè ψ = γ ïîëó÷àåì
∆δg ′ + 2a2ρ2δ( A + B)2 + (∆δG ′)2 = a4ρ4δ2. (21)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïîïåðå÷íîì ñìåùåíèè ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû â èçîáðàæåíèè êàæäîé òî÷êè ïðåäìåòà â íàïðàâëåíèè ñìåùåíèÿ êîìïîíåíòà âíîñèòñÿ îäèíàêîâàÿ êîìà.
Ïóñòü ïðèðàùåíèÿ ∆δg′ è ∆δG′ îïðåäåëÿþòñÿ âòîðûìè ÷ëåíàìè âûðàæåíèé (15) è (16)
∆δg′ = −(4B + C + D)aρrδcos(β − γ) cosα − − (2B + C − D)aρrδcos(α − β − γ),
∆δG′ = −(4B + C + D)aρrδcos(β − γ)sinα + + (2B + C − D)aρrδsin(α − β − γ).
Ýòè âûðàæåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
∆δg′ = −(4B + C + D)mrδcos(β − γ) − − (2B + C − D)mrδcos(β + γ) − − (2B + C − D)Mrδsin(β + γ),
(22)
∆δG′ = −(4B + C + D)Mrδcos(β − γ) +
+ (2B + C − D)Mrδcos(β + γ) −
(23)
− (2B + C − D)Mrδsin(β + γ).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàññòîÿíèå îò îñåâîé òî÷êè ïå-
ðåäíåé ãëàâíîé ñôåðû [9] äåöåíòðèðîâàííîãî ýëå-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
33
ìåíòà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû äî îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà ðàâíî R, à ðàññòîÿíèå îò îñåâîé òî÷êè çàäíåé ãëàâíîé ñôåðû äî èçîáðàæåíèÿ îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà ðàâíî R′. Òîãäà îòíîøåíèå aρ/R = sinσ = = (n′/n)Vsinσ′ = (n′/n)V(a′/ρR), ãäå sinσ(sinσ′) – ÷èñëîâàÿ àïåðòóðà îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ (èçîáðàæåíèé) ðàññìàòðèâàåìîãî ýëåìåíòà, V – ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå îáðàçîâàííîãî èì èçîáðàæåíèÿ. Äëÿ ãëàâíûõ ñôåð èìååì [10]: aρ ≈ a′ρ. Ïîýòîìó âïîëíå ñïðàâåäëèâî ñ÷èòàòü, ÷òî sinσ′ ≈ σ′ = aρ/R′.
Ïóñòü M = 0.  ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèÿ (22) è (23) ïðèíèìàþò âèä
∆δg′ = −[(4B + C + D) cos(β − γ) + + (2B + C − D) cos(β + γ)]mrδ,
(24)
∆δG′ = −(2B + C − D) sin(β + γ)mrδ. (25)
Ïðè M = 0, aρ/R′ = m/R′ = sinσm′ , à sinσs′ = M/R = 0. Ïðè ýòîì îñåâàÿ êîîðäèíàòà èçîáðàæåíèÿ âíå îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà, îáðàçîâàííîãî ëó÷àìè ïó÷êà, ëåæàùèìè â ìåðèäèîíàëüíîé ïëîñêîñòè, ðàâíà
zm′ = ∆δg′/tgσ′m ≈ ∆δg′/σ′m = R′(∆δg′/m). Ïîäñòàâèâ ñþäà âûðàæåíèå (24), ïîëó÷àåì
zm′ = −R′[(4B + C + D) cos(β − γ) + + (2B + C − D) cos(β + γ)]rδ.
Ïðè γ = 0
(26)
z′m = –2R′(3B + C)lδ.
(27)
Ïóñòü m = 0.  ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèÿ (22) è (23) ïðèíèìàþò âèä
∆δg′ = −(2B + C − D)sin(β + γ)rδM, (28)
∆δG′ = −[(4B + C + D) cos(β − γ) − − (2B + C − D) cos(β + γ)]rδM .
(29)
Ïðè m = 0, aρ/R′ = M/R′ = sinσs′, à sinσm′ = m/R′ = 0. Ïðè ýòîì îñåâàÿ êîîðäèíàòà èçîáðàæåíèÿ âíå îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà, îáðàçîâàííîãî ëó÷àìè ïó÷êà, ëåæàùèìè â ñàãèòòàëüíîé ïëîñêîñòè, ðàâíà
zs′ = ∆δG′/tgσs′ ≈ ∆G′/σs′ = R′(∆δG′/M ). Èç âûðàæåíèÿ (29) ñëåäóåò, ÷òî
zs′ = −R′[(4B + C + D) cos(β − γ) − − (2B + C − D) cos(β + γ)]rδ.
(30)
Ïðè γ = 0
zs′ = 2R′(B + D)lδ.
(31)
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (26) è (30), íàõîäèì, ÷òî àñòèãìàòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü îñåâûõ êîîðäèíàò ðàâíà
zs′ − zm′ = −2R′(2B + C − D)rδcos(β + γ). Ïðè γ = 0
(32)
zs′ – zm′ = –2R′(2B + C – D)lδ, ïðè β = 0
(33)
zs′ – zm′ = –2R′(2B + C – D)rδcosγ, ïðè β = π
(34)
zs′ – zm′ = 2R′(2B + C – D)rδcosγ, (35)
Èçâåñòíî [3], ÷òî âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
W = −(1/R′)∫ (∆δg′dm + ∆δG′dM ).
(36)
Çàìåíèâ ïðèðàùåíèÿ ∆δg′ è ∆δG′ îïðåäåëÿþùèìè èõ âûðàæåíèÿìè (22) è (23) è âûïîëíèâ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷àåì
W = W1 + W2 + W3,
(37)
ãäå
W1 = [(4B + C + D)/2R′]cos(β − γ)rδ(m2 + M 2 ), W2 = [(2B + C − D)/2R′]cos(β + γ)rδ(m2 − M 2 ),
W3 = [(2B + C − D)/R′]sin(β + γ)2rδmM .
Ïóñòü W = W1.  ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü âîëíîâîãî ôðîíòà èìååò ôîðìó ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ, ðàäèóñ êðèâèçíû â îñåâîé òî÷êå êîòîðîãî ðàâåí
RW′ 1 = R′/[(4B + C + D)rδ cos(β − γ)]. (38)
 ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (36)
∆δg′ = −R′(∂W/∂m), à ∆δG′ = −R′(∂W/∂M ).
Òîãäà ïðè W = W1 èìååì
(∆δg
′)2
+
(∆δG′)2
=
R′ RW′ 1
2
(m2
+
M
2
),
(39)
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïÿòíî ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè èìååò ôîðìó êðóãà. Îäíàêî, çàìåòèì, ÷òî ïðè β = γ
(∆δg′)2 + (∆δG′)2 = (4B + C + D)2 a2ρ2r2δ2,
à ïðè β = γ ± π/2 (∆δg′)2 + (∆δG′)2 = 0.
Ïóñòü W = W2.  ýòîì ñëó÷àå ïðè M = 0 âîëíîâàÿ
àáåððàöèÿ W = m2/2RW′ 2, à ïðè m = 0 W
ãäåÏRðW′ è2
= R′/(2B + C − D)rδ cos(β + γ). ýòîì ïîâåðõíîñòü âîëíîâîãî
= −M 2/ ôðîíòà
2RW′ 2, èìååò
âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1à. Ïðè W = W2 èìååì
34 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
(à) (á)
Âàðèàíò ôîðìû âîëíîâîãî ôðîíòà ïðè äåöåíòðèðîâêå îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà.
∆δg′ = −(R′/RW′ 2 )m, ∆δG′ = −(R′/RW′ 2 )M .
Ñëåäîâàòåëüíî, è â ýòîì ñëó÷àå ïÿòíî ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè èìååò âèä êðóãà
(∆δg′)2 + (∆δG′)2 = (R′/RW′ 2 )2 (m2 + M 2 ). Çàìåòèì, ÷òî ïðè β + γ = 0
(∆δg′)2 + (∆δG′)2 = (2B + C − D)2 r2δ2.
(40)
Îäíàêî ïðè β + γ = ±π/2 (∆δg′)2 + (∆δG′)2 = 0, ò. å. â ýòîì íàïðàâëåíèè íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèé âåëè÷èí r è δ îñòàòî÷íûå àáåððàöèè íå èçìåíÿþòñÿ.
Ïóñòü W = W3. Ïîâåðíóâ ñèñòåìó êîîðäèíàò m, M íà íåêîòîðûé óãîë ω, ïîëó÷àåì
m = m cosω − M sinω, M = m sinω + M cosω.
Ïðè ýòîì
W = W3 = [(2B + C − D)/R′]sin(β + γ) × ×rδ(m 2sin2ω + 2m M cos2ω − M 2 sin2ω).
Ïîëîæèâ ω = π/4, ïîëó÷àåì W3 = [(2B + C − D)/R′]sin(β + γ)rδ(m 2− M 2 ).
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî
W3cos(β + γ) = 2W2sin(β + γ).
Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòü âîëíîâîãî ôðîíòà W = W3 èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1á, ïîäîáíûé ôîðìå âîëíîâîãî ôðîíòà W2 (ðèñ. 1à) ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ 2tg(β + γ) è ïîâåðíóòûé îòíîñèòåëüíî íåãî íà óãîë ω = π/4.
È â ýòîì ñëó÷àå
(∆δg′)2 + (∆δG′)2 = (R′/RW′ 3)2(m2 + M2), ãäå
(41)
RW′ 3 = R′/[(2B + C − D)rδ sin(β + γ)].
Âûðàæåíèå (41) îïèñûâàåò îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïðè β + γ = kπ, ãäå k = 0, 1, 2, … âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó.
Ïóñòü ïðèðàùåíèÿ ∆δg′ è ∆δG′ îïðåäåëÿþòñÿ òðåòüèìè ÷ëåíàìè âûðàæåíèé (15) è (16)
∆δg′ = −r2δ[(C + 2E) cos(β − γ) cosβ +
+ D sin(β − γ) sin β + E cos γ],
(42)
∆δG′ = −r2δ[(C + 2E) cos(β − γ)sin β −
− D sin(β − γ) cosβ + E cos γ].
(43)
Ýòè âûðàæåíèÿ ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
∆δg′ = − (C + 3E)l2 + (D + E)L2 δcosγ − (44) − (C + 2E − D)lLδsinγ,
∆δG′ = −(C + 2E − D)lLδcosγ − − (C + 3E)L2 + (D + E)l2 δsin γ.
(45)
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà óãîë γ = 0, âûðàæåíèÿ (44) è (45) ïðèíèìàþò âèä
∆δg′ = − (C + 3E)l2 + (D + E)L2 δ, ∆δG′ = −(C + 2E − D)lLδ.
(46) (47)
Èç ðàáîòû [11] âèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (46) äëÿ ëþáîãî âûáðàííîãî ðÿäà çíà÷åíèé îòðåçêà l îïèñûâàåò ñåìåéñòâî ïàðàáîë, îðèåíòàöèÿ êîòîðûõ íå çàâèñèò îò çíàêà l; óðàâíåíèå (47) äëÿ ëþáîãî âûáðàííîãî ðÿäà çíà÷åíèé îòðåçêà L îïèñûâàåò ñåìåéñòâî ïðÿìûõ, çíàê è óãîë íàêëîíà êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì è äëèíîé îòðåçêà L.
Èòàê, ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ äàþò íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå îá èçìåíåíèè ñòðóêòóðû ïó÷êà ëó÷åé, ôîðìèðóþùåãî èçîáðàæåíèå òî÷êè, ïðè ìàëîì ïîïåðå÷íîì ñìåùåíèè ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ëþáàÿ ëèíèÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç öåíòð êðèâèçíû ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ìîæåò áûòü ïðèíÿòà â êà÷åñòâå åå îïòè÷åñêîé îñè, ò. å. ñôåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü íå èìååò îïðåäåëåííîãî ïîëîæåíèÿ îïòè÷åñêîé îñè. Ïîýòîìó ìàëûé íàêëîí ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îïòè÷åñêîé îñè îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, â ñîñòàâ êîòîðîé âõîäèò ýòà ïîâåðõíîñòü, ýêâèâàëåíòåí åå ïîïåðå÷íîìó ñìåùåíèþ
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
35
íà δi = –riθi è ïðîäîëüíîìó ñìåùåíèþ, ðàâíîìó ∆i= δi2/2ri, ãäå ri – ðàäèóñ êðèâèçíû ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, θi – óãîë åå íàêëîíà. Ïðè ìàëîì óãëå θi ïðîäîëüíîå ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè è èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  îòëè÷èå îò ñôåðè÷åñêîé íåñôåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ èìååò îñü ñèììåòðèè, êîòîðàÿ è îïðåäåëÿåò åå îïòè÷åñêóþ îñü. Ïîëîæåíèå îïòè÷åñêîé îñè âïîëíå îïðåäåëåíî è â îáùåì ñëó÷àå ñî÷åòàíèÿ äâóõ è áîëåå ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé.
Ïðè íàêëîíå îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà íà ìàëûé óãîë θ ïîâåðõíîñòü èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî ýòèì ýëåìåíòîì, íàêëîíèòñÿ íà óãîë, ðàâíûé
θ′i = (Vi – 1)θi,
ãäå Vi – ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî îïòè÷åñêèì ýëåìåíòîì. Êðîìå òîãî, ïðè íàêëîíå îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà íà óãîë θi îñåâàÿ òî÷êà ïðåäìåòîâ ýòîãî ýëåìåíòà ïîëó÷àåò ïîïåðå÷íîå ñìåùåíèå, ðàâíîå
−δi = ∆li cosγi + ∆Li sin γi = piθi ,
(49)
ãäå ∆lisinγi = ∆Licosγi, pi – ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îïòè÷åñêîé îñè ýëåìåíòà ñ îïòè÷åñêîé îñüþ
ñèñòåìû ïðè åãî íàêëîíå äî îñåâîé òî÷êè ïðåäìå-
òà. Êîîðäèíàòà òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à îñåâîãî ïó÷-
êà ñ ïåðâîé ïîâåðõíîñòüþ îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà ïðè
åãî íàêëîíå ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå, ðàâíîå
−δi = ∆mi cosγi + ∆Mi sin γi = = 0, 5Diθi2 + qiθi ≈ qiθi ,
(50)
ãäå Di – äèàìåòð îñåâîãî ïó÷êà ëó÷åé, qi – ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îïòè÷åñêîé îñè îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà ñ îïòè÷åñêîé îñüþ ñèñòåìû äî ïåðâîé ïîâåðõíîñòè ýëåìåíòà.
 îáùåì ñëó÷àå ïðè äåöåíòðèðîâêå ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû âîçìîæåí èõ îäíîâðåìåííûé ïîïåðå÷íûé ñäâèã è íàêëîí. Ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ ïîçâîëÿþò îöåíèòü âëèÿíèå è ïîïåðå÷íîãî ñäâèãà, è íàêëîíà îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íà àáåððàöèîííóþ ñòðóêòóðó ïÿòíà ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
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