Влияние перефокусировки изображения на структуру осевого пучка лучей
ÓÄÊ 535.317.1
ÂËÈßÍÈÅ ÏÅÐÅÔÎÊÓÑÈÐÎÂÊÈ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈß ÍÀ ÑÒÐÓÊÒÓÐÓ ÎÑÅÂÎÃÎ ÏÓ×ÊÀ ËÓ×ÅÉ
2009 ã. Â. À. Çâåðåâ, äîêòîð òåõí. íàóê; È. Í. Òèìîùóê, êàíä. òåõí. íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
Íåïðåìåííûì óñëîâèåì êîððåêöèè àáåððàöèé øèðîêîãî ïó÷êà ëó÷åé ÿâëÿåòñÿ ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ ñèíóñîâ, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ñîõðàíåíèÿ ñòèãìàòè÷íîñòè èçîáðàæåíèÿ îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà ïðè åå ñìåùåíèè âäîëü îïòè÷åñêîé îñè èç ðàñ÷åòíîãî ïîëîæåíèÿ. Ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ.
Êîäû OCIS: 200.0200, 220.0200.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 02.09.2008.
Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ (ïðè ôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàçëè÷íîì ðàññòîÿíèè îò îïòè÷åñêîé ñèñòåìû) íàðóøàåòñÿ ïîñòîÿíñòâî óãëîâ ïàäåíèÿ ëó÷åé íà ïîâåðõíîñòè ëèíç èëè çåðêàë, ÷òî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ äîñòèãíóòîé êîððåêöèè àáåððàöèé èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé ïðè ðàñ÷åòíîì ïîëîæåíèè ïðåäìåòà, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ê èçìåíåíèþ (êàê ïðàâèëî, óõóäøåíèþ) êà÷åñòâà èçîáðàæåíèÿ. Îäíàêî, ïðè÷èíà ïîÿâëåíèÿ àáåððàöèé ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ ñîñòîèò íå òîëüêî â ýòîì, îíà çàëîæåíà â ñàìîé ïðèðîäå ôîðìèðîâàíèÿ èçîáðàæåíèÿ. Ïîêàæåì ýòî.
Âûäàþùèéñÿ àíãëèéñêèé ôèçèê Äæåìñ Êëåðê Ìàêñâåëë â 1858 ãîäó ñôîðìóëèðîâàë ñëåäóþùèå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ãåîìåòðè÷åñêè èäåàëüíîå èçîáðàæåíèå, îáðàçîâàííîå îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé [1]:
– âñå ëó÷è, âûøåäøèå èç òî÷êè ïðåäìåòà A(x, y) è ïðîøåäøèå ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, äîëæíû ñîéòèñü (ïåðåñå÷üñÿ) â òî÷êå èçîáðàæåíèÿ A′(x′, y′);
– êàæäûé ýëåìåíò ïëîñêîñòè ïðåäìåòà, íîðìàëüíûé ê îïòè÷åñêîé îñè è ñîäåðæàùèé òî÷êó A(x, y), äîëæåí áûòü èçîáðàæåí ýëåìåíòîì ïëîñêîñòè, íîðìàëüíûì ê îïòè÷åñêîé îñè è ñîäåðæàùèì òî÷êó A′(x′, y′);
– âûñîòà èçîáðàæåíèÿ y′ äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà âûñîòå ïðåäìåòà y, ïðè÷åì êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äîëæåí áûòü ïîñòîÿííûì íåçàâèñèìî îò ìåñòîïîëîæåíèÿ òî÷êè A(x, y) â ïëîñêîñòè ïðåäìåòà.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåçàâèñèìî îò ðàññòîÿíèÿ äî ïëîñêîñòè ïðåäìåòà åãî èçîáðàæåíèå, îáðàçîâàííîå îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé, óäîâëåòâîðÿåò õîòÿ áû ïåðâîìó óñëîâèþ Ìàêñâåëëà. Òîãäà ïðè ïðîäîëüíîì ñìåùåíèè ïëîñêîñòè óñòàíîâêè (ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ) èçîáðàæåíèÿ îòíîñèòåëüíî åãî íîìèíàëüíî-
ãî ïîëîæåíèÿ íà ðàññòîÿíèå ∆z′ ðàñôîêóñèðîâêà èçîáðàæåíèÿ â âîëíîâîé ìåðå ðàâíà [2]:
∫W ′ = − n′ σ′êð ∆z′sinσ′dσ′, λ0
(1)
ãäå σ′ – óãîë, îáðàçîâàííûé îñåâûì ëó÷îì ñ îïòè÷åñêîé îñüþ â ïðîñòðàíñòâå èçîáðàæåíèé. Ïðè îñå-
âîì ñìåùåíèè ïëîñêîñòè ïðåäìåòà íà ðàññòîÿíèå
∆z îò íîìèíàëüíîãî ïîëîæåíèÿ èçìåíåíèå “ïðîãèáà” ñôåðè÷åñêîãî âîëíîâîãî ôðîíòà â ïðîñòðàíñòâå
ïðåäìåòîâ â âîëíîâîé ìåðå îïðåäåëÿåòñÿ òåì æå âû-
ðàæåíèåì â âèäå
∫W
′
=
−
n′ λ
σ′êð
∆z
sin
σd
σ
=
(1
−
cos
σêð
)/λn∆z,
(2)
0
ãäå σ – óãîë, îáðàçîâàííûé îñåâûì ëó÷îì ñ îïòè÷åñêîé îñüþ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ.
Ïóñòü ñìåùåíèå ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèÿ íà ðàñ-
ñòîÿíèå ∆z′ âûçâàíî ñìåùåíèåì ïëîñêîñòè ïðåäìåòà íà ðàññòîÿíèå ∆z. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì òàóòîõðîíèçìà èìååì W = W ′. Ïðè ýòîì
σêð σ′êð
n ∫ ∆zsinσdσ = n′ ∫ ∆z′sinσ′dσ′. 00
(3)
Ïðè óñëîâèè ïîñòîÿíñòâà âåëè÷èíû ∆z′ â ïðåäåëàõ âñåé ÷èñëîâîé àïåðòóðû ïîëó÷àåì
∆z′ = (n / n′)(1 − cos σêð ) /(1 − cos σ′êð )∆z = Q∆z, (4)
ãäå Q – ïðîäîëüíîå óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî îñåâîãî îòðåçêà, ðàâíîå
Q
=
nsin
2
1 2
σêð
/
n′sin
2
1 2
σ′êð
.
(5)
Îòñþäà ñëåäóåò èçâåñòíîå [3] óñëîâèå Ãåðøåëÿ: Q = Q(σ, σ′) = const, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðîãî ñîõðàíÿåòñÿ ñòèãìàòè÷íîñòü èçîáðàæåíèÿ îñåâîé òî÷-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
37
êè ïðåäìåòà ïðè åå ìàëûõ ïåðåìåùåíèÿõ âäîëü îïòè÷åñêîé îñè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
V = n sinσ/(n′sinσ′).
(6)
Ýòî âûðàæåíèå îïðåäåëÿåò çàêîí ñèíóñîâ, âïåðâûå ïîëó÷åííûé íåìåöêèì ôèçèêîì Ð. Êëàóçèóñîì â 1874 ãîäó è íåìåöêèì ôèçèêîì, ìàòåìàòèêîì, ôèçèîëîãîì è ïñèõîëîãîì Ã. Ãåëüìãîëüöåì â òîì æå ãîäó.
Åñëè ñôåðè÷åñêàÿ àáåððàöèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè îòñóòñòâóåò, òî ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ ñèíóñîâ Àááå
sinσ/sinσ′ = const
(7)
îïðåäåëÿåò îòñóòñòâèå êîìû â èçîáðàæåíèè òî÷åê âáëèçè îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû â ïðåäåëàõ ìàëîé ïëîùàäêè, íîðìàëüíîé ê íåé. Ïîýòîìó ïðè ðàçðàáîòêå îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ïðèáîðîâ òðàäèöèîííîãî ãðàæäàíñêîãî è âîåííîãî íàçíà÷åíèÿ ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè äîñòèãàåòñÿ ñîáëþäåíèå ýòîãî óñëîâèÿ.
Èç âûðàæåíèé (5) è (6) ñëåäóåò, ÷òî V = Q ëèøü ïðè σê′ð = σêð.  îáùåì ñëó÷àå ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ ñèíóñîâ Àááå ïðîòèâîðå÷èò ñîáëþäåíèþ óñëîâèÿ Ãåðøåëÿ, ò. å. V ≠ Q. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè óñëîâèå Ãåðøåëÿ íå ñîáëþäàåòñÿ, ÷òî íàðóøàåòñÿ óñëîâèå áåçàáåððàöèîííîãî èçîáðàæåíèÿ ïðîäîëüíîãî îòðåçêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè áåçàáåððàöèîííîì èçîáðàæåíèè îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà â åãî èñõîäíîì (ðàñ÷åòíîì) ïîëîæåíèè ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ íà ïðåäìåò, ðàñïîëîæåííûé íà äðóãîì ðàññòîÿíèè îò îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, ñòèãìàòè÷íîñòü èçîáðàæåíèÿ òî÷êè íàðóøàåòñÿ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ îïðåäåëåíèå âëèÿíèÿ ïåðåôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ íà åãî êà÷åñòâî ïðè Q = const.
Äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå (3), íàõîäèì, ÷òî
n∆zsinσdσ = n′∆z′sinσ′dσ′.
(8)
 ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ çàêîíà ñèíóñîâ (6) ïîëó÷àåì
ncosσdσ = Vn′cosσ′dσ′ + dVn′sinσ′,
(9)
ãäå V = nsinσ/(n′sinσ′).  ðåçóëüòàòå äåëåíèÿ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (8) íà ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè âûðàæåíèÿ (9), ñîîòâåòñòâåííî, è ïîñëåäóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååì
∆z′
=
n′sinσ′ nsinσ
V
2
+
dV d σ′
tgσ
∆z.
(10)
Ïðè σ→ 0 è σ′→ 0, ò. å. â îáëàñòè ïàðàêñèàëüíûõ ïó÷êîâ ëó÷åé, âûðàæåíèå (10) ïðèíèìàåò âèä
∆z0′ = (n′/n)V02∆z.
(11)
Ïðè ýòîì ñôåðè÷åñêàÿ àáåððàöèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ âåëè÷èí
∆s′ = ∆z′− ∆z0′ =
=
n′ n
cosσ′ cosσ
V
2
−
V02
+
dV d σ′
tgσ
∆z.
(12)
Âåëè÷èíó V ìîæíî çàìåíèòü âûðàæåíèåì
V = V0 + ∆V = V0(1 + η), ãäå η = ∆V/V0. Òîãäà âûðàæåíèå (12) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
∆s′
=
cosσ′ cosσ
(1 +
η)2
− 1
n′ n
V02
+
dV d σ′
tgσ ∆z.
(13)
Íî (n′/n)V 20∆z = ∆z′0. Ïðè ýòîì
∆s′ =
cosσ′ cosσ
(1
+
η)2
−
1
+
1 V02
dV d σ′
n n′
tgσ
∆z0′
.
(14)
Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó â âèäå îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, îïðåäåëÿåìóþ óðàâíåíèåì
ρ2 = 2r0z – (1 + b)z2,
(15)
ãäå ρ2 = x2 + y2, r0 – ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè â îñåâîé òî÷êå, b – êîýôôèöèåíò äåôîðìàöèè ñôåðè-
÷åñêîé ïîâåðõíîñòè (ïðè b = 0 óðàâíåíèå (15) îïðåäåëÿåò ñôåðó).
Èçâåñòíî, ÷òî äåêàðòîâû îòðàæàþùèå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, ñòèãìàòè÷åñêè îòîáðàæàþùèå äâå îñåâûå îïòè÷åñêè ñîïðÿæåííûå òî÷êè, îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì âèäà [4]
ρ2 = 4s0s0′ z/(s0 + s0′ ) − 4[s0s0′ /(s0 + s0′ )]z2, (16)
ãäå s0, s′0 – ðàññòîÿíèÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ îáðàçóþùåé êðèâîé ïîâåðõíîñòè äî ñîîòâåòñòâóþùèõ åå âåðøèí.
Äîïîëíèâ äåêàðòîâó îòðàæàþùóþ ïîâåðõíîñòü ïëîñêîé îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòüþ, ïîëó÷èì òîíêóþ çåðêàëüíóþ ñèñòåìó [5], äëÿ êîòîðîé îòðåçîê a0 = s0, à îòðåçîê a′0 = –s0′. Ïðè ýòîì ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî ëó÷àìè ïàðàêñèàëüíûõ ïó÷êîâ, ðàâíî
V0 = −(s0′ /s0 ) = a0′ /a0.
(17)
Ïóñòü V0 = –0,02×. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó îòðåçêîâ, íàõîäèì, ÷òî ïðè f ′ = 100 ìì îòðåçîê a0 = = –5100 ìì, à îòðåçîê a′0 = –102 ìì, êîýôôèöèåíò äåôîðìàöèè b = –0,9231065.  ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà õîäà îñåâîãî ëó÷à ïðè σ = 0,01 èìååì tgσ′ = 0,535, η = 0,0625. Ïîëîæèâ σ = –0,0105, ïîëó÷àåì tgσ′ = = 0,564, η = 0,0689.  ðåçóëüòàòå íàõîäèì, ÷òî
38 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
dV d σ′
≈
∆V ∆σ′
=
−
0, 000128 0, 02383
=
−0, 00537.
Ìàëîå çíà÷åíèå óãëà σ ïîçâîëÿåò ïðèíÿòü cosσ ≈ 1, à tgσ ≈ σ. Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (14), íàõîäèì, ÷òî ∆s′ = 0,1305∆z′0. Ïðè ∆z′0 = –2 ìì, (ïðè ýòîì à = ∞) çíà÷åíèå ∆s′ = = 0,261 ìì. Íåïîñðåäñòâåííûé ðàñ÷åò ëó÷à ïðè m = 50 ìì äàåò âåëè÷èíó ∆s′ = 0,248 ìì. Ðàçëè÷èå çíà÷åíèé ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè îáóñëîâëåíî èç-
ìåíåíèåì õîäà ëó÷åé ïðè èçìåíåíèè ïîëîæåíèÿ ïðåäìåòà è äîñòàòî÷íî ìàëî′. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ôîðìóëà (14) âïîëíå àäåêâàòíî îòî-
áðàæàåò ïîÿâëåíèå è ñàìó ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ, åñëè Q ≠ const.
Ïðè ñòðîãîì ñîáëþäåíèè óñëîâèÿ ñèíóñîâ ïðî-
èçâîäíàÿ dV/dσ′ = 0 è âåëè÷èíà η = 0. Ïðè ýòîì ôîðìóëû (13) è (14) ïðèíèìàåò âèä
∆s′ = [(cosσ′/ cosσ) −1](n′/n)V02∆z,
(18)
∆s′ = [(cosσ′/ cosσ) −1]∆z0′.
(19)
Ïî õàðàêòåðó êîððåêöèè àáåððàöèé îáðàçîâàííîãî èçîáðàæåíèÿ îáúåêòèâû ìèêðîñêîïà âïîëíå ìîæíî îòíåñòè ê àïëàíàòè÷åñêèì ñèñòåìàì. Ïðè îáðàòíîì õîäå ëó÷åé ÷èñëîâàÿ àïåðòóðà sinσ äîñòàòî÷íî ìàëà, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðèíÿòü cosσ ≈ 1, ïðè ýòîì çàäíÿÿ ÷èñëîâàÿ àïåðòóðà (áåç èììåðñèè) ìîæåò äîñòèãàòü sinσ′ ≈ 1. Ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (18) è (19) âåëè÷èíà
∆s′ = −(n′/n)V02∆z = −∆z0′.
Ýòèì îïðåäåëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü èìåòü ñîáñòâåííûé êîìïëåêò îáúåêòèâîâ äëÿ êàæäîé ïðèíÿòîé äëèíû òóáóñà.
Äëÿ îöåíêè âëèÿíèÿ ïåðåôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ íà åãî êà÷åñòâî âàæíî çíàòü âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì âîëíîâóþ àáåððàöèþ â èçîáðàæåíèè îñåâîé òî÷êè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
σ′
W = ∫ ∆s′sinσ′dσ′. 0
(20)
Çàìåíèâ âåëè÷èíó ∆s′ ñîîòíîøåíèåì (18), ïîëó÷àåì
σ′
∫W = (n′/n)V02∆z [(cosσ′/ cosσ) −1]sinσ′dσ′, (21) 0
ãäå cosσ = 1 − V02sin2σ′. Ïîäñòàíîâêà V0sinσ′ = sinx ïîçâîëÿåò ïðåîáðàçîâàòü âûðàæåíèå (21) ê âèäó
∫ ∫W
=
(n′/n)∆z
x
sin xdx
0
−
V0
σ′ 0
sinσ′d
σ′
.
Âûïîëíèâ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷àåì W = [1− cosσ − V02 (1− coσ′)](n′/n)∆z,
(22)
ãäå cosσ = 1 − sin2σ = 1 − V02sin2σ′,
cosσ′ = 1 − sin2σ′ = 1 − (1/V02 ) sin2σ.
Âûðàæåíèå (22) ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ âëèÿíèÿ èçìåíåíèÿ äëèíû òóáóñà îáúåêòèâà ìèêðîñêîïà íà âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì âîëíîâóþ àáåððàöèþ [6]. Ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèå åñòåñòâåííûì îáðàçîì íàáëþäàåòñÿ â ïëîñêîñòè íàèëó÷øåé óñòàíîâêè. Ïðè ýòîì îñòàòî÷íàÿ âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ ðàâíà
σ′
∫Wîñò = (∆s′ − ∆)sinσ′dσ′. 0
(23)
Ïîëàãàÿ ïðè σ′ = σê′ð âåëè÷èíó Wîñò = 0, íàõîäèì, ÷òî
σ′êð
∫∆ = [1/(1 − cosσ′êð )] ∆s′sinσ′dσ′. 0
Çíà÷åíèå óãëà σ′, ïðè êîòîðîì âåëè÷èíà Wîñò ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå, ìîæíî íàéòè, ðåøèâ óðàâíåíèå
dWîñò d σ′
= (∆s′ − ∆) sinσ′ = 0.
(24)
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé Íüþòîíà zz′ = ff ′ = = –(n/n′)f ′2. Ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ ñ áåñêîíå÷íî óäàëåííîãî ïðåäìåòà íà ïðåäìåò, íàõîäÿùèéñÿ íà êîíå÷íîì ðàññòîÿíèè, ïëîñêîñòü èçîáðàæåíèÿ îáðàçîâàííîãî ëó÷àìè ïàðàêñèàëüíîãî ïó÷êà ñìåùàåòñÿ èç ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå
z′ = ∆z0′ = (1/z) ff ′= −(n/n′z) f ′2.
(25)
Ïîëîæèâ â âûðàæåíèè (19) cosσ = 1 è çàìåíèâ âåëè÷èíó ∆z0′ ñîîòíîøåíèåì (25), ïîëó÷àåì
∆s′ = (1/z)(1− cosσ′)(n/n′) f ′2.
(26)
Ïðè ýòîì âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
∫ ∫W
=
σ′ 0
∆s′sinσ′d =
σ′ =
n 2n′z
n n′z
f ′2
σ′
f ′2 (1 − cosσ′)
0
(1 − cosσ′)2.
sinσ′d
σ′
= (27)
Ïðè äèàôðàãìåííîì ÷èñëå îáúåêòèâà, ðàâíîì K,
âåëè÷èíà cosσ′êð = 1 − sin2σ′êð = 1 − 1/4K 2 . Ïóñòü ïðè ýòîì âåëè÷èíà z = –q f ′.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
39
Òîãäà ïðè n = n′
( )2
Wêð = −1/2qf ′ 1 − 1 − 1/4K 2 .
(28)
Îòñþäà ñëåäóåò, íàïðèìåð, ÷òî ïðè q = 10 è f ′ = 20 ìì âåëè÷èíà
( )2
−Wêð ≥ 1 − 1 − 1/4K 2 ,
(29)
ãäå 0,5 ≤ K < 8. Ïðè K = 0,5 – Wêð = –1 ìì. Âû÷èñëåííûå äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé K çíà÷åíèÿ âå-
ëè÷èíû Wêð ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå. Èç ñîïîñòàâëåíèÿ äàííûõ, ïðèâåäåííûõ â òàá-
ëèöå, ñëåäóåò, ÷òî óâåëè÷åíèå îòíîñèòåëüíîãî îòâåðñòèÿ (K < 2) îáúåêòèâà âûçûâàåò ñòðåìèòåëüíûé ðîñò âëèÿíèÿ ïåðåôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèåé. Äëÿ ñíèæåíèÿ ýòîãî âëèÿíèÿ ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü âåñòè îïòèìèçàöèþ ïàðàìåòðîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ïî êðèòåðèþ êà÷åñòâà èçîáðàæåíèÿ äëÿ ïðåäìåòà, óäàëåííîãî îò îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íà ðàññòîÿíèå, ïðèåìëåìîå ïî êà÷åñòâó èçîáðàæåíèÿ ïðè åãî ïåðåôîêóñèðîâêå íà áåñêîíå÷íî óäàëåííûé ïðåäìåò.
Àáåððàöèþ ìîæíî ñóùåñòâåííî óìåíüøèòü ïóòåì ñìåùåíèÿ ïëîñêîñòè óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå ∆.  ýòîì ñëó÷àå âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
σ′
W = ∫ (∆s′ − ∆)sinσ′dσ′ = 0
(30)
( )= (n/n′z) f ′2
1
−
cosσ′
−
1 2
sin
2
σ′
− (1 − cosσ′)∆.
Âåëè÷èíà ∆, ïðè êîòîðîé Wêð = W(σê′ð) = 0, ðàâíà
∆ = (n/n′)[(1 − cosσ′êð )/2z] f ′2.
(31)
Ïîäñòàâèâ ýòî ñîîòíîøåíèå â âûðàæåíèå (30), ïîëó÷àåì
W = (n/2n′z) f ′2 (cosσ′êð − cosσ′)(1 − cosσ′). (32)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè σ′ = 0 è ïðè σ′ = σê′ð âåëè÷èíà W = 0. Óãîë σ′, ïðè êîòîðîì âåëè÷èíà W ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå, íàéäåì èç óñëîâèÿ
dW d σ′
=
0.
Èç
âûðàæåíèÿ
(32)
íàõîäèì,
÷òî
dW d σ′
=
n 2n′z
f ′2 (1 + σ′êð − 2cosσ′)sinσ′.
K 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 Wêð, ìêì 17,95 6,97 3,27 3,27 1,01 0,63 0,41
Ñëåäîâàòåëüíî,
dW d σ′
= 0.
ïðè σe′xh– = 0 è ïðè σe′xh– =
= arccos(1 + cosσê′ð)/2. Ïðè σe′xh– = 0 âåëè÷èíà W = 0.
Ïîäñòàâèâ cosσe′xh– = (1 + cosσê′ð)/2 â âûðàæåíèå (32),
ïîëó÷àåì
Wex= = −(n / 8n′z) f ′2 (1 − cosσ′êð )2.
(33)
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ âûðàæåíèé (27) è (33) ñëåäóåò, ÷òî ñìåùåíèå ïëîñêîñòè óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿåò â ÷åòûðå ðàçà óìåíüøèòü âåëè÷èíó îñòàòî÷íîé àáåððàöèè â èçîáðàæåíèè òî÷êè, âîçíèêàþùåé ïðè åãî ïåðåôîêóñèðîâêå.
Ïðîöåññ ôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ ñâîäèòñÿ ê
ñîâìåùåíèþ ïëîñêîñòè óñòàíîâêè ñ ïëîñêîñòüþ íàèëó÷øåé óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ. Îñòàòî÷íàÿ ðàñôîêóñèðîâêà èçîáðàæåíèÿ δLîñò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ðàñôîêóñèðîâîê δLi, îáóñëîâëåííûõ îòêëîíåíèÿìè êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû îò íîìèíàëüíûõ çíà÷åíèé, ò. å.
i=k
∑δLîñò = δLi . i =1
(34)
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíàÿ ðàñôîêóñèðîâêà èçîá-
ðàæåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó,
õàðàêòåð èçìåíåíèÿ êîòîðîé ñîãëàñíî öåíòðàëüíîé
ïðåäåëüíîé òåîðåìå Ëÿïóíîâà îïðåäåëÿåòñÿ çàêî-
íîì íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû. Ïîãðåøíîñòü ôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ – òîæå
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, çíà÷åíèå êîòîðîé íå äîëæíî
ïðåâîñõîäèòü äîïóñòèìóþ. Äîïóñòèìîå çíà÷åíèå
îñòàòî÷íîé ðàñôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ îïðåäå-
ëÿåòñÿ íàçíà÷åíèåì îïòè÷åñêîé ñèñòåìû.
Åñëè äèàìåòð ïÿòíà ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè
òî÷êè âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàåò äèàìåòð äèôðàêöè-
îííîãî ïÿòíà, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ïðîäîëü-
íîé ðàñôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ, ðàâíîé δL, ïÿò-
íî ðàññåÿíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàâíîìåðíî îñâå-
ùåííûé êðóã äèàìåòðîì d′ = 2δLtgσ′. Ïðè ýòîì
òðåáîâàíèå ê äîïóñòèìîìó çíà÷åíèþ ðàñôîêóñèðîâ-
êè ìîæíî îïðåäåëèòü î÷åâèäíûì óñëîâèåì
δLäîï ≤ dä′îï/(2tgσ′êð ),
(35)
ãäå d′äîï – äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ïÿòíà ðàññåÿíèÿ (äèàìåòð êðóæêà íåðåçêîñòè) â ïëîñêîñòè óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ.
Ïðè ðàñôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ, ðàâíîé δL, âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
σ′
W = ∫ (∆s′ − δL)sinσ′dσ′. 0
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà îáðàçóåò áåçàáåððàöèîííîå èçîáðàæåíèå òî÷êè, ò. å. ∆s′ = 0. Òîãäà
40 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
( )W = 1 − sin2σ′ −1 δL.
Äàæå ïðè sinσ′ = 0,5 ñ ïîãðåøíîñòüþ ïîðÿäêà 1% ìîæíî ïðèíÿòü, ÷òî
W ≈ −(1/2)δLsin2σ′.
(36)
Ñâåòîâîå âîçìóùåíèå u(x′, y′) â èçîáðàæåíèè òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå çðà÷êîâîé ôóíêöèè
F(m′, M′) = |F(m′, M′)|exp[ikM(m′, M′)], ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó âîçìóùåíèÿ íà âûõîäíîì çðà÷êå [7], ò. å.
u(x′, y′) =
= C∫∫ F(m′, M ′)exp[−ik(m′x′ + M ′y′)/R′]dm′dM ′, Σ′
ãäå Σ′ – ïëîùàäü âûõîäíîãî çðà÷êà, m′, M′ – êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ñ ïëîñêîñòüþ çðà÷êà, x′, y′ – êîîðäèíàòû òî÷êè â ïëîñêîñòè óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ, k = 2π/λ, Ñ – êîìïëåêñíàÿ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.
Ïîëîæèâ F(m′, M′) = const, à x′ = y′ = 0, â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëó÷àåì
u(0,
0)
=
C
1
∫
2π
∫
exp
[ikW
(ρ′,
θ)]
ρ′d
ρ′d
θ,
(37)
00
ãäå m′ = a′ρ′cosθ, M′ = a′ρ′sinθ, à′ – ïîëîâèíà äèàìåòðà âûõîäíîãî çðà÷êà, ïðè ýòîì 0 ≤ ρ′ ≤ 1. Çàìåíèâ â âûðàæåíèè (37) ôóíêöèþ W(ρ′, θ) ñîîòíîøåíèåì (36) â âèäå W = –(1/2)δLsin2σ′ = –(1/2)(a′2ρ′2/R′2)δL, ïîëó÷àåì
1
∫u(0, 0) = πC exp[−ik(a′2/2R′2 )δLt′]dt′, 0
ãäå t′ = ρ′2. Ïðè δL = 0 – u0(0, 0) = πC~. Ïðè ýòîì
(38)
u(0, 0) = u(0, 0)/u0 (0, 0) =
1
∫= exp[−(1/2)ikδL(a′2/2R′2 )t′]dt′. 0
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé Ýéëåðà u(0,0) = C − iS,
ãäå
(39)
∫C
=
1 0
cos
1 2
k δL
a′2 R′2
t′
dt′
=
sin
1 2
kδL
a′2 2R′2
1 2
kδL
a′2 2R′2
,
∫S
=
1 0
sin
1 2
kδL
a′2 R′2
t′ dt′
=1−
cos
1 2
kδL
a′2 2R′2
1 2
k δL
a′2 2R′2
.
Ïðè ýòîì ÷èñëî Øòðåëÿ îïðåäåëèòñÿ âûðàæåíèåì âèäà
EØ = C2 + S 2 =
=
sin 2
1 4
k δL
a′2 2R′2
1
4
kδL
a′2 2R′2
2
=
(40)
= sin2 (π/2λ)δL sin2 σ′êð (π/2λ)δL sin2 σ′êð 2 ,
ãäå sinσê′ð = a′/R′. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óòî÷íåííîå âûðàæåíèå, ïðèâåäåííîå â [2]. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè |W | = λ/4 ÷èñëî Øòðåëÿ ÅØ = 0,81, ò. å. â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå êðèòåðèé ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû Ðåëåÿ ïðàêòè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí êðèòåðèþ Ìàðåøàëÿ, ñîáëþäåíèå êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ ÅØ ≥ 0,81. Íàèáîëåå øèðîêî èñïîëüçóåìûì êðèòåðèåì äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ïðåäåëüíî äîïóñòèìîé ðàñôîêóñèðîâêè èçîáðàæå-
íèÿ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå |W | ≤ λ/4, à äëÿ áîëåå òî÷íûõ ñèñòåì – óñëîâèå |W | ≤ λ/8 [1].
Âûïîëíåííûé àíàëèç âëèÿíèÿ ðàñôîêóñèðîâêè íà êà÷åñòâî èçîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ðàñôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íàçíà÷åíèåì ñèñòåìû, à, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäúÿâëÿåìûìè òðåáîâàíèÿìè ê êà÷åñòâó îáðàçîâàííîãî åþ èçîáðàæåíèÿ.  òîì ñëó÷àå, êîãäà âåëè÷èíîé àáåððàöèîííîãî ïÿòíà ðàññåÿíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ âåëè÷èíîé äèôðàêöèîííîãî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, äîïóñòèìàÿ âîëíîâàÿ ðàñôîêóñèðîâêà èçîáðàæåíèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
(λ/8) ≤ Wäîï ≤ (λ/4)
(41)
èëè â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì (36)
λ/(4 sin2σ′êð ) ≤ δLäîï ≤ λ/(2sin2σ′êð ).
(42)
Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ (41) è (42), ñîîòíîøåíèå (36) óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
41
δLäîï = −2Wäîï / sin2σ′êð
(43)
èëè
δLäîï = −2V02Wäîï/ sin2σêð ,
(44)
ãäå σ – àïåðòóðíûé óãîë â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Óýçåðåëë Ó. Îöåíêà êà÷åñòâà èçîáðàæåíèÿ.  êíèãå “Ïðîåêòèðîâàíèå îïòè÷åñêèõ ñèñòåì” / Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Øåííîíà Ð., Âàéàíòà Äæ. Ì.: Ìèð, 1983. 432 ñ.
12. Ñëþñàðåâ Ã.Ã. Ìåòîäû ðàñ÷åòà îïòè÷åñêèõ ñèñòåì. Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1969. 672 ñ.
13. ×óðèëîâñêèé Â.Í. Òåîðèÿ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ. Ì.–Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1966. 564 ñ.
14. Çâåðåâ Â.À. Îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. ÑÏá: èçä. ÃÈÒÌÎ (ÒÓ), 2002. 218 ñ.
15. Çâåðåâ Â.À., Øåïåëåâè÷ À.Í. Ïîíÿòèå òîíêîãî êîìïîíåíòà â ñèñòåìå îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 2006. Ò. 73. ¹ 12. Ñ. 21–26.
16. Ãðàììàòèí À.Ï. Çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè îò ïåðåìåùåíèÿ ïðåäìåòà â àïëàíàòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 1994. ¹ 8. Ñ. 30–33.
17. Î’Íåéë Ý. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ îïòèêó. Ì.: Ìèð, 1966. 254 ñ.
42 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
ÂËÈßÍÈÅ ÏÅÐÅÔÎÊÓÑÈÐÎÂÊÈ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈß ÍÀ ÑÒÐÓÊÒÓÐÓ ÎÑÅÂÎÃÎ ÏÓ×ÊÀ ËÓ×ÅÉ
2009 ã. Â. À. Çâåðåâ, äîêòîð òåõí. íàóê; È. Í. Òèìîùóê, êàíä. òåõí. íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
Íåïðåìåííûì óñëîâèåì êîððåêöèè àáåððàöèé øèðîêîãî ïó÷êà ëó÷åé ÿâëÿåòñÿ ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ ñèíóñîâ, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ñîõðàíåíèÿ ñòèãìàòè÷íîñòè èçîáðàæåíèÿ îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà ïðè åå ñìåùåíèè âäîëü îïòè÷åñêîé îñè èç ðàñ÷åòíîãî ïîëîæåíèÿ. Ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ.
Êîäû OCIS: 200.0200, 220.0200.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 02.09.2008.
Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ (ïðè ôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàçëè÷íîì ðàññòîÿíèè îò îïòè÷åñêîé ñèñòåìû) íàðóøàåòñÿ ïîñòîÿíñòâî óãëîâ ïàäåíèÿ ëó÷åé íà ïîâåðõíîñòè ëèíç èëè çåðêàë, ÷òî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ äîñòèãíóòîé êîððåêöèè àáåððàöèé èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé ïðè ðàñ÷åòíîì ïîëîæåíèè ïðåäìåòà, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ê èçìåíåíèþ (êàê ïðàâèëî, óõóäøåíèþ) êà÷åñòâà èçîáðàæåíèÿ. Îäíàêî, ïðè÷èíà ïîÿâëåíèÿ àáåððàöèé ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ ñîñòîèò íå òîëüêî â ýòîì, îíà çàëîæåíà â ñàìîé ïðèðîäå ôîðìèðîâàíèÿ èçîáðàæåíèÿ. Ïîêàæåì ýòî.
Âûäàþùèéñÿ àíãëèéñêèé ôèçèê Äæåìñ Êëåðê Ìàêñâåëë â 1858 ãîäó ñôîðìóëèðîâàë ñëåäóþùèå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ãåîìåòðè÷åñêè èäåàëüíîå èçîáðàæåíèå, îáðàçîâàííîå îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé [1]:
– âñå ëó÷è, âûøåäøèå èç òî÷êè ïðåäìåòà A(x, y) è ïðîøåäøèå ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, äîëæíû ñîéòèñü (ïåðåñå÷üñÿ) â òî÷êå èçîáðàæåíèÿ A′(x′, y′);
– êàæäûé ýëåìåíò ïëîñêîñòè ïðåäìåòà, íîðìàëüíûé ê îïòè÷åñêîé îñè è ñîäåðæàùèé òî÷êó A(x, y), äîëæåí áûòü èçîáðàæåí ýëåìåíòîì ïëîñêîñòè, íîðìàëüíûì ê îïòè÷åñêîé îñè è ñîäåðæàùèì òî÷êó A′(x′, y′);
– âûñîòà èçîáðàæåíèÿ y′ äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà âûñîòå ïðåäìåòà y, ïðè÷åì êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äîëæåí áûòü ïîñòîÿííûì íåçàâèñèìî îò ìåñòîïîëîæåíèÿ òî÷êè A(x, y) â ïëîñêîñòè ïðåäìåòà.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåçàâèñèìî îò ðàññòîÿíèÿ äî ïëîñêîñòè ïðåäìåòà åãî èçîáðàæåíèå, îáðàçîâàííîå îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé, óäîâëåòâîðÿåò õîòÿ áû ïåðâîìó óñëîâèþ Ìàêñâåëëà. Òîãäà ïðè ïðîäîëüíîì ñìåùåíèè ïëîñêîñòè óñòàíîâêè (ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ) èçîáðàæåíèÿ îòíîñèòåëüíî åãî íîìèíàëüíî-
ãî ïîëîæåíèÿ íà ðàññòîÿíèå ∆z′ ðàñôîêóñèðîâêà èçîáðàæåíèÿ â âîëíîâîé ìåðå ðàâíà [2]:
∫W ′ = − n′ σ′êð ∆z′sinσ′dσ′, λ0
(1)
ãäå σ′ – óãîë, îáðàçîâàííûé îñåâûì ëó÷îì ñ îïòè÷åñêîé îñüþ â ïðîñòðàíñòâå èçîáðàæåíèé. Ïðè îñå-
âîì ñìåùåíèè ïëîñêîñòè ïðåäìåòà íà ðàññòîÿíèå
∆z îò íîìèíàëüíîãî ïîëîæåíèÿ èçìåíåíèå “ïðîãèáà” ñôåðè÷åñêîãî âîëíîâîãî ôðîíòà â ïðîñòðàíñòâå
ïðåäìåòîâ â âîëíîâîé ìåðå îïðåäåëÿåòñÿ òåì æå âû-
ðàæåíèåì â âèäå
∫W
′
=
−
n′ λ
σ′êð
∆z
sin
σd
σ
=
(1
−
cos
σêð
)/λn∆z,
(2)
0
ãäå σ – óãîë, îáðàçîâàííûé îñåâûì ëó÷îì ñ îïòè÷åñêîé îñüþ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ.
Ïóñòü ñìåùåíèå ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèÿ íà ðàñ-
ñòîÿíèå ∆z′ âûçâàíî ñìåùåíèåì ïëîñêîñòè ïðåäìåòà íà ðàññòîÿíèå ∆z. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì òàóòîõðîíèçìà èìååì W = W ′. Ïðè ýòîì
σêð σ′êð
n ∫ ∆zsinσdσ = n′ ∫ ∆z′sinσ′dσ′. 00
(3)
Ïðè óñëîâèè ïîñòîÿíñòâà âåëè÷èíû ∆z′ â ïðåäåëàõ âñåé ÷èñëîâîé àïåðòóðû ïîëó÷àåì
∆z′ = (n / n′)(1 − cos σêð ) /(1 − cos σ′êð )∆z = Q∆z, (4)
ãäå Q – ïðîäîëüíîå óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî îñåâîãî îòðåçêà, ðàâíîå
Q
=
nsin
2
1 2
σêð
/
n′sin
2
1 2
σ′êð
.
(5)
Îòñþäà ñëåäóåò èçâåñòíîå [3] óñëîâèå Ãåðøåëÿ: Q = Q(σ, σ′) = const, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðîãî ñîõðàíÿåòñÿ ñòèãìàòè÷íîñòü èçîáðàæåíèÿ îñåâîé òî÷-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
37
êè ïðåäìåòà ïðè åå ìàëûõ ïåðåìåùåíèÿõ âäîëü îïòè÷åñêîé îñè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
V = n sinσ/(n′sinσ′).
(6)
Ýòî âûðàæåíèå îïðåäåëÿåò çàêîí ñèíóñîâ, âïåðâûå ïîëó÷åííûé íåìåöêèì ôèçèêîì Ð. Êëàóçèóñîì â 1874 ãîäó è íåìåöêèì ôèçèêîì, ìàòåìàòèêîì, ôèçèîëîãîì è ïñèõîëîãîì Ã. Ãåëüìãîëüöåì â òîì æå ãîäó.
Åñëè ñôåðè÷åñêàÿ àáåððàöèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè îòñóòñòâóåò, òî ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ ñèíóñîâ Àááå
sinσ/sinσ′ = const
(7)
îïðåäåëÿåò îòñóòñòâèå êîìû â èçîáðàæåíèè òî÷åê âáëèçè îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû â ïðåäåëàõ ìàëîé ïëîùàäêè, íîðìàëüíîé ê íåé. Ïîýòîìó ïðè ðàçðàáîòêå îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ïðèáîðîâ òðàäèöèîííîãî ãðàæäàíñêîãî è âîåííîãî íàçíà÷åíèÿ ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè äîñòèãàåòñÿ ñîáëþäåíèå ýòîãî óñëîâèÿ.
Èç âûðàæåíèé (5) è (6) ñëåäóåò, ÷òî V = Q ëèøü ïðè σê′ð = σêð.  îáùåì ñëó÷àå ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ ñèíóñîâ Àááå ïðîòèâîðå÷èò ñîáëþäåíèþ óñëîâèÿ Ãåðøåëÿ, ò. å. V ≠ Q. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè óñëîâèå Ãåðøåëÿ íå ñîáëþäàåòñÿ, ÷òî íàðóøàåòñÿ óñëîâèå áåçàáåððàöèîííîãî èçîáðàæåíèÿ ïðîäîëüíîãî îòðåçêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè áåçàáåððàöèîííîì èçîáðàæåíèè îñåâîé òî÷êè ïðåäìåòà â åãî èñõîäíîì (ðàñ÷åòíîì) ïîëîæåíèè ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ íà ïðåäìåò, ðàñïîëîæåííûé íà äðóãîì ðàññòîÿíèè îò îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, ñòèãìàòè÷íîñòü èçîáðàæåíèÿ òî÷êè íàðóøàåòñÿ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ îïðåäåëåíèå âëèÿíèÿ ïåðåôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ íà åãî êà÷åñòâî ïðè Q = const.
Äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå (3), íàõîäèì, ÷òî
n∆zsinσdσ = n′∆z′sinσ′dσ′.
(8)
 ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ çàêîíà ñèíóñîâ (6) ïîëó÷àåì
ncosσdσ = Vn′cosσ′dσ′ + dVn′sinσ′,
(9)
ãäå V = nsinσ/(n′sinσ′).  ðåçóëüòàòå äåëåíèÿ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (8) íà ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè âûðàæåíèÿ (9), ñîîòâåòñòâåííî, è ïîñëåäóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååì
∆z′
=
n′sinσ′ nsinσ
V
2
+
dV d σ′
tgσ
∆z.
(10)
Ïðè σ→ 0 è σ′→ 0, ò. å. â îáëàñòè ïàðàêñèàëüíûõ ïó÷êîâ ëó÷åé, âûðàæåíèå (10) ïðèíèìàåò âèä
∆z0′ = (n′/n)V02∆z.
(11)
Ïðè ýòîì ñôåðè÷åñêàÿ àáåððàöèÿ â èçîáðàæåíèè òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ âåëè÷èí
∆s′ = ∆z′− ∆z0′ =
=
n′ n
cosσ′ cosσ
V
2
−
V02
+
dV d σ′
tgσ
∆z.
(12)
Âåëè÷èíó V ìîæíî çàìåíèòü âûðàæåíèåì
V = V0 + ∆V = V0(1 + η), ãäå η = ∆V/V0. Òîãäà âûðàæåíèå (12) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
∆s′
=
cosσ′ cosσ
(1 +
η)2
− 1
n′ n
V02
+
dV d σ′
tgσ ∆z.
(13)
Íî (n′/n)V 20∆z = ∆z′0. Ïðè ýòîì
∆s′ =
cosσ′ cosσ
(1
+
η)2
−
1
+
1 V02
dV d σ′
n n′
tgσ
∆z0′
.
(14)
Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó â âèäå îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, îïðåäåëÿåìóþ óðàâíåíèåì
ρ2 = 2r0z – (1 + b)z2,
(15)
ãäå ρ2 = x2 + y2, r0 – ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè â îñåâîé òî÷êå, b – êîýôôèöèåíò äåôîðìàöèè ñôåðè-
÷åñêîé ïîâåðõíîñòè (ïðè b = 0 óðàâíåíèå (15) îïðåäåëÿåò ñôåðó).
Èçâåñòíî, ÷òî äåêàðòîâû îòðàæàþùèå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, ñòèãìàòè÷åñêè îòîáðàæàþùèå äâå îñåâûå îïòè÷åñêè ñîïðÿæåííûå òî÷êè, îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì âèäà [4]
ρ2 = 4s0s0′ z/(s0 + s0′ ) − 4[s0s0′ /(s0 + s0′ )]z2, (16)
ãäå s0, s′0 – ðàññòîÿíèÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ îáðàçóþùåé êðèâîé ïîâåðõíîñòè äî ñîîòâåòñòâóþùèõ åå âåðøèí.
Äîïîëíèâ äåêàðòîâó îòðàæàþùóþ ïîâåðõíîñòü ïëîñêîé îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòüþ, ïîëó÷èì òîíêóþ çåðêàëüíóþ ñèñòåìó [5], äëÿ êîòîðîé îòðåçîê a0 = s0, à îòðåçîê a′0 = –s0′. Ïðè ýòîì ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî ëó÷àìè ïàðàêñèàëüíûõ ïó÷êîâ, ðàâíî
V0 = −(s0′ /s0 ) = a0′ /a0.
(17)
Ïóñòü V0 = –0,02×. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó îòðåçêîâ, íàõîäèì, ÷òî ïðè f ′ = 100 ìì îòðåçîê a0 = = –5100 ìì, à îòðåçîê a′0 = –102 ìì, êîýôôèöèåíò äåôîðìàöèè b = –0,9231065.  ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà õîäà îñåâîãî ëó÷à ïðè σ = 0,01 èìååì tgσ′ = 0,535, η = 0,0625. Ïîëîæèâ σ = –0,0105, ïîëó÷àåì tgσ′ = = 0,564, η = 0,0689.  ðåçóëüòàòå íàõîäèì, ÷òî
38 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
dV d σ′
≈
∆V ∆σ′
=
−
0, 000128 0, 02383
=
−0, 00537.
Ìàëîå çíà÷åíèå óãëà σ ïîçâîëÿåò ïðèíÿòü cosσ ≈ 1, à tgσ ≈ σ. Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (14), íàõîäèì, ÷òî ∆s′ = 0,1305∆z′0. Ïðè ∆z′0 = –2 ìì, (ïðè ýòîì à = ∞) çíà÷åíèå ∆s′ = = 0,261 ìì. Íåïîñðåäñòâåííûé ðàñ÷åò ëó÷à ïðè m = 50 ìì äàåò âåëè÷èíó ∆s′ = 0,248 ìì. Ðàçëè÷èå çíà÷åíèé ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè îáóñëîâëåíî èç-
ìåíåíèåì õîäà ëó÷åé ïðè èçìåíåíèè ïîëîæåíèÿ ïðåäìåòà è äîñòàòî÷íî ìàëî′. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ôîðìóëà (14) âïîëíå àäåêâàòíî îòî-
áðàæàåò ïîÿâëåíèå è ñàìó ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ, åñëè Q ≠ const.
Ïðè ñòðîãîì ñîáëþäåíèè óñëîâèÿ ñèíóñîâ ïðî-
èçâîäíàÿ dV/dσ′ = 0 è âåëè÷èíà η = 0. Ïðè ýòîì ôîðìóëû (13) è (14) ïðèíèìàåò âèä
∆s′ = [(cosσ′/ cosσ) −1](n′/n)V02∆z,
(18)
∆s′ = [(cosσ′/ cosσ) −1]∆z0′.
(19)
Ïî õàðàêòåðó êîððåêöèè àáåððàöèé îáðàçîâàííîãî èçîáðàæåíèÿ îáúåêòèâû ìèêðîñêîïà âïîëíå ìîæíî îòíåñòè ê àïëàíàòè÷åñêèì ñèñòåìàì. Ïðè îáðàòíîì õîäå ëó÷åé ÷èñëîâàÿ àïåðòóðà sinσ äîñòàòî÷íî ìàëà, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðèíÿòü cosσ ≈ 1, ïðè ýòîì çàäíÿÿ ÷èñëîâàÿ àïåðòóðà (áåç èììåðñèè) ìîæåò äîñòèãàòü sinσ′ ≈ 1. Ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (18) è (19) âåëè÷èíà
∆s′ = −(n′/n)V02∆z = −∆z0′.
Ýòèì îïðåäåëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü èìåòü ñîáñòâåííûé êîìïëåêò îáúåêòèâîâ äëÿ êàæäîé ïðèíÿòîé äëèíû òóáóñà.
Äëÿ îöåíêè âëèÿíèÿ ïåðåôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ íà åãî êà÷åñòâî âàæíî çíàòü âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì âîëíîâóþ àáåððàöèþ â èçîáðàæåíèè îñåâîé òî÷êè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
σ′
W = ∫ ∆s′sinσ′dσ′. 0
(20)
Çàìåíèâ âåëè÷èíó ∆s′ ñîîòíîøåíèåì (18), ïîëó÷àåì
σ′
∫W = (n′/n)V02∆z [(cosσ′/ cosσ) −1]sinσ′dσ′, (21) 0
ãäå cosσ = 1 − V02sin2σ′. Ïîäñòàíîâêà V0sinσ′ = sinx ïîçâîëÿåò ïðåîáðàçîâàòü âûðàæåíèå (21) ê âèäó
∫ ∫W
=
(n′/n)∆z
x
sin xdx
0
−
V0
σ′ 0
sinσ′d
σ′
.
Âûïîëíèâ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷àåì W = [1− cosσ − V02 (1− coσ′)](n′/n)∆z,
(22)
ãäå cosσ = 1 − sin2σ = 1 − V02sin2σ′,
cosσ′ = 1 − sin2σ′ = 1 − (1/V02 ) sin2σ.
Âûðàæåíèå (22) ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ âëèÿíèÿ èçìåíåíèÿ äëèíû òóáóñà îáúåêòèâà ìèêðîñêîïà íà âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì âîëíîâóþ àáåððàöèþ [6]. Ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèå åñòåñòâåííûì îáðàçîì íàáëþäàåòñÿ â ïëîñêîñòè íàèëó÷øåé óñòàíîâêè. Ïðè ýòîì îñòàòî÷íàÿ âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ ðàâíà
σ′
∫Wîñò = (∆s′ − ∆)sinσ′dσ′. 0
(23)
Ïîëàãàÿ ïðè σ′ = σê′ð âåëè÷èíó Wîñò = 0, íàõîäèì, ÷òî
σ′êð
∫∆ = [1/(1 − cosσ′êð )] ∆s′sinσ′dσ′. 0
Çíà÷åíèå óãëà σ′, ïðè êîòîðîì âåëè÷èíà Wîñò ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå, ìîæíî íàéòè, ðåøèâ óðàâíåíèå
dWîñò d σ′
= (∆s′ − ∆) sinσ′ = 0.
(24)
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé Íüþòîíà zz′ = ff ′ = = –(n/n′)f ′2. Ïðè ïåðåôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ ñ áåñêîíå÷íî óäàëåííîãî ïðåäìåòà íà ïðåäìåò, íàõîäÿùèéñÿ íà êîíå÷íîì ðàññòîÿíèè, ïëîñêîñòü èçîáðàæåíèÿ îáðàçîâàííîãî ëó÷àìè ïàðàêñèàëüíîãî ïó÷êà ñìåùàåòñÿ èç ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå
z′ = ∆z0′ = (1/z) ff ′= −(n/n′z) f ′2.
(25)
Ïîëîæèâ â âûðàæåíèè (19) cosσ = 1 è çàìåíèâ âåëè÷èíó ∆z0′ ñîîòíîøåíèåì (25), ïîëó÷àåì
∆s′ = (1/z)(1− cosσ′)(n/n′) f ′2.
(26)
Ïðè ýòîì âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
∫ ∫W
=
σ′ 0
∆s′sinσ′d =
σ′ =
n 2n′z
n n′z
f ′2
σ′
f ′2 (1 − cosσ′)
0
(1 − cosσ′)2.
sinσ′d
σ′
= (27)
Ïðè äèàôðàãìåííîì ÷èñëå îáúåêòèâà, ðàâíîì K,
âåëè÷èíà cosσ′êð = 1 − sin2σ′êð = 1 − 1/4K 2 . Ïóñòü ïðè ýòîì âåëè÷èíà z = –q f ′.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
39
Òîãäà ïðè n = n′
( )2
Wêð = −1/2qf ′ 1 − 1 − 1/4K 2 .
(28)
Îòñþäà ñëåäóåò, íàïðèìåð, ÷òî ïðè q = 10 è f ′ = 20 ìì âåëè÷èíà
( )2
−Wêð ≥ 1 − 1 − 1/4K 2 ,
(29)
ãäå 0,5 ≤ K < 8. Ïðè K = 0,5 – Wêð = –1 ìì. Âû÷èñëåííûå äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé K çíà÷åíèÿ âå-
ëè÷èíû Wêð ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå. Èç ñîïîñòàâëåíèÿ äàííûõ, ïðèâåäåííûõ â òàá-
ëèöå, ñëåäóåò, ÷òî óâåëè÷åíèå îòíîñèòåëüíîãî îòâåðñòèÿ (K < 2) îáúåêòèâà âûçûâàåò ñòðåìèòåëüíûé ðîñò âëèÿíèÿ ïåðåôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèåé. Äëÿ ñíèæåíèÿ ýòîãî âëèÿíèÿ ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü âåñòè îïòèìèçàöèþ ïàðàìåòðîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ïî êðèòåðèþ êà÷åñòâà èçîáðàæåíèÿ äëÿ ïðåäìåòà, óäàëåííîãî îò îïòè÷åñêîé ñèñòåìû íà ðàññòîÿíèå, ïðèåìëåìîå ïî êà÷åñòâó èçîáðàæåíèÿ ïðè åãî ïåðåôîêóñèðîâêå íà áåñêîíå÷íî óäàëåííûé ïðåäìåò.
Àáåððàöèþ ìîæíî ñóùåñòâåííî óìåíüøèòü ïóòåì ñìåùåíèÿ ïëîñêîñòè óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå ∆.  ýòîì ñëó÷àå âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
σ′
W = ∫ (∆s′ − ∆)sinσ′dσ′ = 0
(30)
( )= (n/n′z) f ′2
1
−
cosσ′
−
1 2
sin
2
σ′
− (1 − cosσ′)∆.
Âåëè÷èíà ∆, ïðè êîòîðîé Wêð = W(σê′ð) = 0, ðàâíà
∆ = (n/n′)[(1 − cosσ′êð )/2z] f ′2.
(31)
Ïîäñòàâèâ ýòî ñîîòíîøåíèå â âûðàæåíèå (30), ïîëó÷àåì
W = (n/2n′z) f ′2 (cosσ′êð − cosσ′)(1 − cosσ′). (32)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè σ′ = 0 è ïðè σ′ = σê′ð âåëè÷èíà W = 0. Óãîë σ′, ïðè êîòîðîì âåëè÷èíà W ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå, íàéäåì èç óñëîâèÿ
dW d σ′
=
0.
Èç
âûðàæåíèÿ
(32)
íàõîäèì,
÷òî
dW d σ′
=
n 2n′z
f ′2 (1 + σ′êð − 2cosσ′)sinσ′.
K 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 Wêð, ìêì 17,95 6,97 3,27 3,27 1,01 0,63 0,41
Ñëåäîâàòåëüíî,
dW d σ′
= 0.
ïðè σe′xh– = 0 è ïðè σe′xh– =
= arccos(1 + cosσê′ð)/2. Ïðè σe′xh– = 0 âåëè÷èíà W = 0.
Ïîäñòàâèâ cosσe′xh– = (1 + cosσê′ð)/2 â âûðàæåíèå (32),
ïîëó÷àåì
Wex= = −(n / 8n′z) f ′2 (1 − cosσ′êð )2.
(33)
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ âûðàæåíèé (27) è (33) ñëåäóåò, ÷òî ñìåùåíèå ïëîñêîñòè óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿåò â ÷åòûðå ðàçà óìåíüøèòü âåëè÷èíó îñòàòî÷íîé àáåððàöèè â èçîáðàæåíèè òî÷êè, âîçíèêàþùåé ïðè åãî ïåðåôîêóñèðîâêå.
Ïðîöåññ ôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ ñâîäèòñÿ ê
ñîâìåùåíèþ ïëîñêîñòè óñòàíîâêè ñ ïëîñêîñòüþ íàèëó÷øåé óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ. Îñòàòî÷íàÿ ðàñôîêóñèðîâêà èçîáðàæåíèÿ δLîñò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ðàñôîêóñèðîâîê δLi, îáóñëîâëåííûõ îòêëîíåíèÿìè êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû îò íîìèíàëüíûõ çíà÷åíèé, ò. å.
i=k
∑δLîñò = δLi . i =1
(34)
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíàÿ ðàñôîêóñèðîâêà èçîá-
ðàæåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó,
õàðàêòåð èçìåíåíèÿ êîòîðîé ñîãëàñíî öåíòðàëüíîé
ïðåäåëüíîé òåîðåìå Ëÿïóíîâà îïðåäåëÿåòñÿ çàêî-
íîì íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû. Ïîãðåøíîñòü ôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ – òîæå
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, çíà÷åíèå êîòîðîé íå äîëæíî
ïðåâîñõîäèòü äîïóñòèìóþ. Äîïóñòèìîå çíà÷åíèå
îñòàòî÷íîé ðàñôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ îïðåäå-
ëÿåòñÿ íàçíà÷åíèåì îïòè÷åñêîé ñèñòåìû.
Åñëè äèàìåòð ïÿòíà ðàññåÿíèÿ â èçîáðàæåíèè
òî÷êè âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàåò äèàìåòð äèôðàêöè-
îííîãî ïÿòíà, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ïðîäîëü-
íîé ðàñôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ, ðàâíîé δL, ïÿò-
íî ðàññåÿíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàâíîìåðíî îñâå-
ùåííûé êðóã äèàìåòðîì d′ = 2δLtgσ′. Ïðè ýòîì
òðåáîâàíèå ê äîïóñòèìîìó çíà÷åíèþ ðàñôîêóñèðîâ-
êè ìîæíî îïðåäåëèòü î÷åâèäíûì óñëîâèåì
δLäîï ≤ dä′îï/(2tgσ′êð ),
(35)
ãäå d′äîï – äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ïÿòíà ðàññåÿíèÿ (äèàìåòð êðóæêà íåðåçêîñòè) â ïëîñêîñòè óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ.
Ïðè ðàñôîêóñèðîâêå èçîáðàæåíèÿ, ðàâíîé δL, âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
σ′
W = ∫ (∆s′ − δL)sinσ′dσ′. 0
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà îáðàçóåò áåçàáåððàöèîííîå èçîáðàæåíèå òî÷êè, ò. å. ∆s′ = 0. Òîãäà
40 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
( )W = 1 − sin2σ′ −1 δL.
Äàæå ïðè sinσ′ = 0,5 ñ ïîãðåøíîñòüþ ïîðÿäêà 1% ìîæíî ïðèíÿòü, ÷òî
W ≈ −(1/2)δLsin2σ′.
(36)
Ñâåòîâîå âîçìóùåíèå u(x′, y′) â èçîáðàæåíèè òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå çðà÷êîâîé ôóíêöèè
F(m′, M′) = |F(m′, M′)|exp[ikM(m′, M′)], ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó âîçìóùåíèÿ íà âûõîäíîì çðà÷êå [7], ò. å.
u(x′, y′) =
= C∫∫ F(m′, M ′)exp[−ik(m′x′ + M ′y′)/R′]dm′dM ′, Σ′
ãäå Σ′ – ïëîùàäü âûõîäíîãî çðà÷êà, m′, M′ – êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ñ ïëîñêîñòüþ çðà÷êà, x′, y′ – êîîðäèíàòû òî÷êè â ïëîñêîñòè óñòàíîâêè èçîáðàæåíèÿ, k = 2π/λ, Ñ – êîìïëåêñíàÿ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.
Ïîëîæèâ F(m′, M′) = const, à x′ = y′ = 0, â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëó÷àåì
u(0,
0)
=
C
1
∫
2π
∫
exp
[ikW
(ρ′,
θ)]
ρ′d
ρ′d
θ,
(37)
00
ãäå m′ = a′ρ′cosθ, M′ = a′ρ′sinθ, à′ – ïîëîâèíà äèàìåòðà âûõîäíîãî çðà÷êà, ïðè ýòîì 0 ≤ ρ′ ≤ 1. Çàìåíèâ â âûðàæåíèè (37) ôóíêöèþ W(ρ′, θ) ñîîòíîøåíèåì (36) â âèäå W = –(1/2)δLsin2σ′ = –(1/2)(a′2ρ′2/R′2)δL, ïîëó÷àåì
1
∫u(0, 0) = πC exp[−ik(a′2/2R′2 )δLt′]dt′, 0
ãäå t′ = ρ′2. Ïðè δL = 0 – u0(0, 0) = πC~. Ïðè ýòîì
(38)
u(0, 0) = u(0, 0)/u0 (0, 0) =
1
∫= exp[−(1/2)ikδL(a′2/2R′2 )t′]dt′. 0
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé Ýéëåðà u(0,0) = C − iS,
ãäå
(39)
∫C
=
1 0
cos
1 2
k δL
a′2 R′2
t′
dt′
=
sin
1 2
kδL
a′2 2R′2
1 2
kδL
a′2 2R′2
,
∫S
=
1 0
sin
1 2
kδL
a′2 R′2
t′ dt′
=1−
cos
1 2
kδL
a′2 2R′2
1 2
k δL
a′2 2R′2
.
Ïðè ýòîì ÷èñëî Øòðåëÿ îïðåäåëèòñÿ âûðàæåíèåì âèäà
EØ = C2 + S 2 =
=
sin 2
1 4
k δL
a′2 2R′2
1
4
kδL
a′2 2R′2
2
=
(40)
= sin2 (π/2λ)δL sin2 σ′êð (π/2λ)δL sin2 σ′êð 2 ,
ãäå sinσê′ð = a′/R′. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óòî÷íåííîå âûðàæåíèå, ïðèâåäåííîå â [2]. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè |W | = λ/4 ÷èñëî Øòðåëÿ ÅØ = 0,81, ò. å. â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå êðèòåðèé ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû Ðåëåÿ ïðàêòè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí êðèòåðèþ Ìàðåøàëÿ, ñîáëþäåíèå êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ ÅØ ≥ 0,81. Íàèáîëåå øèðîêî èñïîëüçóåìûì êðèòåðèåì äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ïðåäåëüíî äîïóñòèìîé ðàñôîêóñèðîâêè èçîáðàæå-
íèÿ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå |W | ≤ λ/4, à äëÿ áîëåå òî÷íûõ ñèñòåì – óñëîâèå |W | ≤ λ/8 [1].
Âûïîëíåííûé àíàëèç âëèÿíèÿ ðàñôîêóñèðîâêè íà êà÷åñòâî èçîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ðàñôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íàçíà÷åíèåì ñèñòåìû, à, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäúÿâëÿåìûìè òðåáîâàíèÿìè ê êà÷åñòâó îáðàçîâàííîãî åþ èçîáðàæåíèÿ.  òîì ñëó÷àå, êîãäà âåëè÷èíîé àáåððàöèîííîãî ïÿòíà ðàññåÿíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ âåëè÷èíîé äèôðàêöèîííîãî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, äîïóñòèìàÿ âîëíîâàÿ ðàñôîêóñèðîâêà èçîáðàæåíèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
(λ/8) ≤ Wäîï ≤ (λ/4)
(41)
èëè â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì (36)
λ/(4 sin2σ′êð ) ≤ δLäîï ≤ λ/(2sin2σ′êð ).
(42)
Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ (41) è (42), ñîîòíîøåíèå (36) óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009
41
δLäîï = −2Wäîï / sin2σ′êð
(43)
èëè
δLäîï = −2V02Wäîï/ sin2σêð ,
(44)
ãäå σ – àïåðòóðíûé óãîë â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Óýçåðåëë Ó. Îöåíêà êà÷åñòâà èçîáðàæåíèÿ.  êíèãå “Ïðîåêòèðîâàíèå îïòè÷åñêèõ ñèñòåì” / Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Øåííîíà Ð., Âàéàíòà Äæ. Ì.: Ìèð, 1983. 432 ñ.
12. Ñëþñàðåâ Ã.Ã. Ìåòîäû ðàñ÷åòà îïòè÷åñêèõ ñèñòåì. Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1969. 672 ñ.
13. ×óðèëîâñêèé Â.Í. Òåîðèÿ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ. Ì.–Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1966. 564 ñ.
14. Çâåðåâ Â.À. Îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. ÑÏá: èçä. ÃÈÒÌÎ (ÒÓ), 2002. 218 ñ.
15. Çâåðåâ Â.À., Øåïåëåâè÷ À.Í. Ïîíÿòèå òîíêîãî êîìïîíåíòà â ñèñòåìå îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 2006. Ò. 73. ¹ 12. Ñ. 21–26.
16. Ãðàììàòèí À.Ï. Çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè îò ïåðåìåùåíèÿ ïðåäìåòà â àïëàíàòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 1994. ¹ 8. Ñ. 30–33.
17. Î’Íåéë Ý. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ îïòèêó. Ì.: Ìèð, 1966. 254 ñ.
42 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 1, 2009