Оптимальные по критерию Неймана-Пирсона алгоритмы оценивания белых гауссовых импульсных помех на изображениях
ÓÄÊ 681.3
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÅ ÏÎ ÊÐÈÒÅÐÈÞ ÍÅÉÌÀÍÀ-ÏÈÐÑÎÍÀ ÀËÃÎÐÈÒÌÛ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈß ÁÅËÛÕ ÃÀÓÑÑÎÂÛÕ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ ÏÎÌÅÕ ÍÀ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈßÕ
2009 ã.
Å. À. Ñàìîéëèí, êàíä. òåõí. íàóê
Ðîñòîâñêèé âîåííûé èíñòèòóò ðàêåòíûõ âîéñê èì. Ãëàâíîãî ìàðøàëà àðòèëëåðèè Íåäåëèíà Ì.È., ã. Ðîñòîâ-íà-Äîíó
e-mail: sea@rsu.ru
Ñèíòåçèðîâàíû ñòàòèñòè÷åñêè îïòèìàëüíûå ïî êðèòåðèþ Íåéìàíà-Ïèðñîíà àëãîðèòìû îöåíèâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ èìïóëüñíûõ ïîìåõ ñ áåëûì ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè íà èçîáðàæåíèÿõ, çàêëþ÷àþùèåñÿ â ìèíèìèçàöèè âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà ïîìåõ ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè è âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè ïðè ôèêñèðîâàííîì óðîâíå ïðîïóñêà. Ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé ñèíòåçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ, ïîêàçûâàþùèå èõ ïðåèìóùåñòâà ïåðåä èçâåñòíûìè íåîïòèìàëüíûìè àëãîðèòìàìè.
Êîäû OCIS: 100.2000.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 04.04.2008.
Ââåäåíèå
Êàê èçâåñòíî [1, 2], ìíîãèå ïðàêòè÷åñêèå óñëîâèÿ îáðàáîòêè è ïðåîáðàçîâàíèÿ öèôðîâûõ îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé â èíôîðìàöèîííûõ è îïòèêî-ýëåêòðîííûõ ñèñòåìàõ ñòàíîâÿòñÿ ïðè÷èíîé âîçíèêíîâåíèÿ íà ðàñòðå ñïåöèôè÷åñêèõ ïîìåõ, îòíîñÿùèõñÿ ê êëàññó èìïóëüñíûõ. Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèÿ êàê èìïóëüñíûõ ïîìåõ (ÈÏ), òàê è ïîëåçíûõ ñèãíàëîâ èçîáðàæåíèé çàðàíåå íåèçâåñòíû, áîðüáà ñ íèìè îòíîñèòñÿ ê çàäà÷å ñ íåïàðàìåòðè÷åñêîé ñèãíàëüíîïîìåõîâîé àïðèîðíîé íåîïðåäåëåííîñòüþ [3].  óñëîâèÿõ äàííîé íåîïðåäåëåííîñòè íàèáîëåå ïðèåìëåìû ìåòîäû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé, áàçèðóþùèåñÿ íà àïïàðàòå íåïàðàìåòðè÷åñêîé ñòàòèñòèêè [3], êîòîðûå, õîòÿ è ÿâëÿþòñÿ ýâðèñòè÷åñêèìè, ïîçâîëÿþò âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ äîáèòüñÿ óäîâëåòâîðèòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ.  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [4] ïðåäëîæåí ïðèíöèï ïðîñòðàíñòâåííî-èçáèðàòåëüíîé íåïàðàìåòðè÷åñêîé ôèëüòðàöèè èçîáðàæåíèé, ïðåäïîëàãàþùèé íà ïåðâîì ýòàïå îáðàáîòêè ïðîñòðàíñòâåííîå îöåíèâàíèå ÈÏ, íåñêîëüêî ýâðèñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ êîòîðîãî ïðåäñòàâëåíû â [5], è âîññòàíîâëåíèå [6] ïóòåì çàìåíû (â îòëè÷èå îò èçâåñòíûõ ïðîöåäóð [1]) èñêëþ÷èòåëüíî “èñïîð÷åííûõ” ïèêñåëîâ, çàäàííîé êâàíòèëüþ íà âòîðîì ýòàïå.
Ìåæäó òåì îäíîé èç ðàçíîâèäíîñòåé ÈÏ, âñòðå÷àþùèõñÿ íàèáîëåå ÷àñòî íà ïðàêòèêå, ÿâëÿþòñÿ ïîìåõè ñ ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè, ïîä÷èíÿþùèìñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, ðàâíûì âåðõíåìó (áåëîìó) ïðåäåëó êâàíòîâàíèÿ ÿðêîñòè èçîáðàæåíèé, ò. å. ïîìåõè ñ áåëûì óíèìîäàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì [1].
Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòè ÈÏ äàííîãî âèäà äîïóñòèìî àïïðîêñèìèðîâàòü ãàóññîâûì çàêîíîì [1], àïðèîðíóþ ïîìåõîâóþ íåîïðåäåëåí-
íîñòü â äàííîì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü ïàðàìåòðè÷åñêîé.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îòêðûâàåòñÿ âîçìîæíîñòü ñòàòèñòè÷åñêîãî ñèíòåçà îïòèìàëüíûõ ïî êàêîìó-ëèáî êðèòåðèþ àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ áåëûõ ãàóññîâûõ ÈÏ íà èçîáðàæåíèÿõ è èñïîëüçîâàíèå ýòèõ àëãîðèòìîâ â çàäà÷àõ ïðîñòðàíñòâåííîèçáèðàòåëüíîé íåïàðàìåòðè÷åñêîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ [4–6].
Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåç ñòàòèñòè÷åñêè îïòèìàëüíûõ àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ áåëûõ ãàóññîâûõ ÈÏ íà èçîáðàæåíèÿõ ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé íàó÷íîé çàäà÷åé.
Öåëü ðàáîòû – ïîâûøåíèå êà÷åñòâà îöåíèâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ÈÏ ñ áåëûì ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè íà öèôðîâûõ èçîáðàæåíèÿõ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è îöåíèâàíèÿ ïîìåõ
Ìîäåëü öèôðîâîãî èçîáðàæåíèÿ λ(Ii, Jj) ñî ñòðîêàìè i = 1, m è ñòîëáöàìè j = 1, n èìååò âèä êâàíòîâàííîãî äèñêðåòíîãî ñêàëÿðíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ
λ(Ii, Jj) = Q[D[Λ(I, J)]],
(1)
ãäå Q, D – îïåðàòîðû êâàíòîâàíèÿ è ïðÿìîóãîëüíîé äèñêðåòèçàöèè ñîîòâåòñòâåííî; Λ(I, J) – íåïðåðûâíîå ñëó÷àéíîå ïîëå, I, J – íåïðåðûâíûå ïåðåìåííûå.
Îáëàñòü çíà÷åíèé Ξ ïîëÿ λ(Ii, Jj) (ÿðêîñòü) êâàíòîâàíà íà èíòåðâàëå
λ(Ii, Jj) ∈ Ξ, Ξ = {λK, K = 0, (2N – 1)}, (2)
ãäå N – ñòåïåíü êâàíòîâàíèÿ (êàê ïðàâèëî, N = 8 äëÿ ïîëóòîíîâûõ èçîáðàæåíèé).
Ìîäåëü ÈÏ èìååò âèä êâàíòîâàííîãî äèñêðåòíîãî ñêàëÿðíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ñ íåçàâèñèìûìè çíà÷åíèÿìè
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
13
h(Ii, Jj) ∈ Ξ, Ξ = {hK, K = 0, (2N – 1)}. (3)
Çíà÷åíèÿ hK (3) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ áåëûì óíèìîäàëüíûì (mod[h(Ii = 1, m, Jj = 1, n)] = 2N – 1) íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì [1] íà èíòåðâàëå êâàíòîâàíèÿ ïîëåé (2), (3).
Èçîáðàæåíèå, èñêàæåííîå ÈÏ, ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé ÷àñòè÷íîå çàìåùåíèå λ(Ii, Jj) ýëåìåíòàìè ïîëÿ h(Ii, Jj) â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì
( ) (( ))x Ii, J j
=
h
Ii, J j
λ Ii, J j
ñ âåðîÿòíîñòüþ p, ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − p,
(4)
ãäå p – âåðîÿòíîñòü çàìåíû ýëåìåíòà λ(Ii, Jj) íà h(Ii, Jj) â äèñêðåòå ñ êîîðäèíàòàìè i, j, êîòîðàÿ íå çàâèñèò íè îò íàëè÷èÿ ïîìåõ â äðóãèõ êîîðäèíàòàõ,
íè îò èñõîäíîãî ïîëÿ è èìååò ðàâíîìåðíóþ ïëîòíîñòü, ò. å. p = const∀i ∈ [1, m], j ∈ [1, n].
Ïîÿâëåíèÿ λ(Ii, Jj) è h(Ii, Jj) îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé äëÿ i ∈ [1, m], j ∈ [1, n].
Ïîñêîëüêó ïåðåìåííûå Ii, Jj ÿâëÿþòñÿ ïî ñóòè èíäåêñàìè, ïîëàãàåì λ(Ii, Jj) = λi, j, h(Ii, Jj) = hi, j, x(Ii, Jj) = xi, j.
Äëÿ îáíàðóæåíèÿ â ñêîëüçÿùåé àïåðòóðå óíèìîäàëüíûõ ÈÏ hi, j ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì [7], ñîãëàñíî êîòîðîìó åå öåíòðàëüíûé ïèêñåë ïðèíèìàåòñÿ çà ïîìåõó, åñëè åãî óðîâåíü áëèæå ê ìîäå ÈÏ, ÷åì ïîðîã xp, óñòàíàâëèâàåìûé íà îñíîâå ðàñïðåäåëåíèÿ ñèãíàëîâ ñîñåäíèõ ïèêñåëîâ (ïîëàãàåìûõ λi, j). Òàê êàê íà ýòàïå âîññòàíîâëåíèÿ èçîáðàæåíèÿ íåîáõîäèìî èìåòü èíôîðìàöèþ ëèøü î
ïðîñòðàíñòâåííîì ïîëîæåíèè ÈÏ (ñèãíàëüíîå çíà÷åíèå ïîäëåæèò êîððåêöèè) [6], áèíàðíàÿ îöåíêà ïîìåõ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íîé. Ïðè ýòîì â ñëó÷àå ÈÏ ñ mod[hi = 1, m, j = 1, n] = 2N – 1 îöåíêà ìîæåò ñòðîèòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì
hi,
j
=
1, 0,
xi, j ≥ xi, j <
xP, xP.
(5)
Çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ ÈÏ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â ñëåäóþùåì âèäå. Íåîáõîäèìî ñèíòåçèðîâàòü àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ îïòèìàëüíûõ ïîðîãîâûõ çíà÷åíèé xp, ïîçâîëÿþùèé ñôîðìèðîâàòü îöåíêó (5) óíèìîäàëüíûõ ÈÏ, êîòîðàÿ áûëà áû íàèáîëåå áëèçêà ê åå èñòèííûì çíà÷åíèÿì
∑∑[ ]xP
=
arg min
m
n
hi, j − hˆi, j ,
(6)
i=1 j=1
( )xP∈0,
2N
−1
ãäå hˆi, j – èñòèííîå áèíàðíîå ïîëîæåíèå ïîìåõ hˆi, j =
=
1, 0,
xi, j = hi, j xi, j = λi, j
íà
èçîáðàæåíèè
xi,
j.
Ñèíòåç àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ èìïóëüñíûõ ïîìåõ
Ïðåíåáðåãàÿ êâàíòîâàíèåì (2), (3) â ñèëó, êàê ïðàâèëî, N ≥ 8, ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ (ñòðîãî – ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ) ÈÏ ñ mod[hi = 1, m, j = 1, n] = 2N – 1, êîòîðîå áóäåò îïèñûâàòü “ïîëóíîðìàëüíîå” ðàñïðåäåëåíèå [3], îãðàíè÷åííîå ñïðàâà (2N – 1)
( )( )fh 0,…, 2N −1 = 1 × 2πD hi, j
(7)
( ( )) ( )×exp
−
0,...,
2N −1
−
2N
−1
2
2D
hi,
j
,
ãäå D[hi, j] – äèñïåðñèÿ çíà÷åíèé hK ñëó÷àéíîãî ïîëÿ (3). Îáîçíà÷èì ÷åðåç f (x/x) = λ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëå-
íèÿ ïîëåçíîãî ñèãíàëà λi, j (ïðè óñëîâèè, ÷òî èçîáðàæåíèå xi, j, íå ñîäåðæèò ÈÏ: õ/õ = λ), à ÷åðåç f (x/x) = = h – ïîìåõè hi, j íà èíòåðâàëå êâàíòîâàíèÿ (2) (ïðè óñëîâèè, ÷òî xi, j ÿâëÿåòñÿ ÈÏ: õ/õ = h) â ñêîëüçÿùåé ïî xi, j àïåðòóðå. Ïðè ýòîì íîðìèðîâàííàÿ óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ëîæíîãî îáíàðóæåíèÿ (ËÎ) â ñîîòâåòñòâèè ñ (5) ïîìåõîâîãî ïèêñåëà áóäåò èìåòü âèä
2N −1
∑PËÎ = f (x/x = λ) xP =0
2N −1
∑ f (x/x = λ).
x=0
(8)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ (ÏÐ) â ñîîòâåòñòâèè ñ (5) îá îòñóòñòâèè (îòñ) ïîìåõè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êàê
xP 2N −1
∑ ∑PÏÐîòñ = f (x/x = λ)
f (x/x = λ) ,
x=0 x=0
(9)
ïðè÷åì ÐËÎ + ÐÏÐ îòñ = 1. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà (ïðîï) è ïðè-
íÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ îá îáíàðóæåíèè (îáí) ïîìåõè áóäóò ñîîòâåòñòâåííî èìåòü âèä
xP 2N −1
∑ ∑Pïðîï = f (x/x = h)
f (x/x = h),
x=0 x=0
(10)
2N −1
∑PÏÐîáí =
f (x/x = h)
x= xP
2N −1
∑ f (x/x = h),
x=0
(11)
ïðè÷åì Ðïðîï + ÐÏÐ îáí = 1. Ñ ó÷åòîì ð è óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé (8)–(11) çà-
ïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ áåçóñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé îøèáî÷íûõ è ïðàâèëüíûõ ðåøåíèé ïðè îáíàðóæåíèè ÈÏ.
Âåðîÿòíîñòü ëîæíûõ (ËÒ) òðåâîã áóäåò èìåòü âèä
14 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
PËÒ = (1 − p)PËÎ =
2N −1
= (1 − p) ∑ f (x/x = λ)
x = xP
2N −1
∑ f (x/x = λ) ;
x=0
(12)
âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ îá îò-
ñóòñòâèè ïîìåõè (ÏÎ) –
PÏÎ = (1 − p)PÏÐîòñ =
xP
2N −1
= (1 − p) ∑ f (x/x = λ) ∑ f (x/x = λ) ;
x=0 x=0
âåðîÿòíîñòü ïðîïóñêà ïîìåõè (ïð) –
(13)
xP
2N −1
∑ ∑Pïð = pPïðîï = p f (x/x = h)
f (x/x = h) ; (14)
x=0 x=0
âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ î íàëè÷èè (ÏÍ) ïîìåõè –
PÏÍ = pPÏÐîáí =
2N −1
2N −1
= p ∑ f (x/x = h) ∑ f (x/x = h).
x=xP
x=0
(15)
Î÷åâèäíî, ÷òî ÐËÒ + ÐÏÎ + Ðïð + ÐÏÍ = 1. Òàê êàê â çàäà÷å âîññòàíîâëåíèÿ èçîáðàæåíèé ñòîèìîñòü ÐËÒ è Ðïð, êàê ïðàâèëî, ðàçëè÷íà (ïðîïóñê ïîìåõè âëå÷åò áîëüøèå ïîòåðè), òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êðèòåðèåì Íåéìàíà–Ïèðñîíà [3], â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì ìèíèìèçèðóåòñÿ âåðîÿòíîñòü ïðîïóñêà ïðè çàäàííîì óðîâíå ëîæíûõ òðåâîã ëèáî âåðîÿòíîñòü ëîæíûõ òðåâîã ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà. Ðàññìîòðèì ìèíèìèçàöèþ âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè. Ñ ó÷åòîì (12) è (14) âûðàæåíèå äëÿ èñêîìîãî çíà÷åíèÿ ïîðîãà (5), ìèíèìèçèðóþùåãî âåðîÿòíîñòü ïðîïóñêà ÈÏ ïðè ôèêñèðîâàííîé âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè, áóäåò èìåòü âèä
∑ ∑xP
=
arg
min
p
xP
f (x/x = h)
x=0
2N −1 x=0
f
(
x/x
=
h)
,
(16)
( )xP∈0,
2N
−1
ïðè ýòîì
2N −1
2N −1
∑PËÒ ≥ (1 − p) f (x/x = λ) ∑ f (x/x = λ) . (17)
x=xP
x=0
Êàê âèäíî èç (16), äëÿ ìèíèìèçàöèè åãî ïðàâîé ÷àñòè íåîáõîäèìî xP → 0, îäíàêî ýòî âûçîâåò ðîñò ÐËÒ (17). Ïîýòîìó çíà÷åíèå xP íàéäåì èç îãðàíè÷åíèÿ (17). Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèå f (x/x = λ) â äâóìåðíîé àïåðòóðå, ïåðåìåùàþùåéñÿ ïî èçîáðàæå-
íèþ, ëåæèò â ãðàíèöàõ îò ìèíèìàëüíîãî xP äî ìàê-
ñèìàëüíîãî
x
A max
çíà÷åíèÿ
ñèãíàëà,
âûðàæåíèå
(17)
ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
( ) ( )PËÒ ≥ (1−
p)
xmAax
− xP
2N
−1
.
(18)
Îïðåäåëèì èç âûðàæåíèÿ (18) îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå xP
( )xP ≥ xmAax − PËÒ 2N − 1 /(1 − p).
(19)
Òàê êàê ñîãëàñíî (16) íåîáõîäèìî xP → 0, à ñîãëàñíî (17) – xP → (2N – 1), òî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå xP áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ îãðàíè÷åíèåì (19)
( )xP = xmAax − PËÒ 2N − 1 /(1 − p).
(20)
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà, íàïðèìåð,
x
A max
ñîñòàâëÿåò
75%
îò
ïîëíîãî
èíòåðâàëà
êâàíòî-
âàíèÿ (2), ò. å. îêîëî 190 ïðè N = 8. Ïðè ýòîì çàâè-
ñèìîñòü xP (20) îò âåðîÿòíîñòåé p è PËÒ áóäåò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1.
Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåçèðîâàííûé ïî êðèòåðèþ
Íåéìàíà–Ïèðñîíà àëãîðèòì îöåíèâàíèÿ ÈÏ ñ áå-
ëûì óíèìîäàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè äëÿ
ñëó÷àÿ ìèíèìèçàöèè âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà (16) ïðè
çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè (17) âûãëÿ-
äèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Àëãîðèòì 1.
Øàã 1. Íà îñíîâå çàäàííûõ PËÒ, p, N è òåêóùèõ
x
A max
â
ñîîòâåòñòâèè
ñ
(20)
îïðåäåëÿþòñÿ
îïòèìàëü-
íûå çíà÷åíèÿ ïîðîãà xP.
Øàã 2. Â ñîîòâåòñòâèè ñ (5) íàõîäÿòñÿ ýëåìåíòû
h∼ i, j áèíàðíîé ìàòðèöû, åäèíèöû êîòîðîé áóäóò ïðî-
ñòðàíñòâåííî óêàçûâàòü íà ëîêàëèçàöèþ ÈÏ â ïðå-
äåëàõ èçîáðàæåíèÿ.
xP 200
160
1 2
3 80
4
5
0
0,2
0,4 0,6
0,8 p
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòè îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ xp (20) îò p ïðè çàäàííûõ ÐËÒ. 1 – PËÒ = 0,05, 2 – 0,15, 3 – 0,3, 4 – 0,45, 5 – 0,6.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
15
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî äàííûé àëãîðèòì ïðè-
ìåíÿåòñÿ ê êàæäîìó ïîëîæåíèþ ïåðåìåùàþùåéñÿ
íà îäèí ýëåìåíò (ïîñëåäîâàòåëüíî ïî ñòîëáöàì, çà-
òåì íà ñòðîêó íèæå è ò. ä.) àïåðòóðû. Î÷åâèäíî, ÷òî
îïòèìàëüíûå ïî (16) çíà÷åíèÿ xP áóäóò ìåíÿòüñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ñêîëüçÿùåãî îêíà íà îäèí ýëåìåíò, òàê
êàê xmAax, êàê ïðàâèëî, ðàçëè÷íû ïðè êàæäîì íîâîì
ïîëîæåíèè
àïåðòóðû.
Ñ
ðîñòîì
åå
ðàçìåðîâ
x
A max
áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê (2N – 1), ïîýòîìó â àëãîðèòìå äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿ àïåðòóðû ñ ìèíèìàëüíûì ðàçìåðîì 3×3 ýëåìåíòà.
Ðàññìîòðèì ìèíèìèçàöèþ âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà. Ñ ó÷åòîì (12) è (14) âûðàæåíèå äëÿ ïîðîãà (5), ìèíèìèçèðóþùåãî âåðîÿòíîñòü ëîæíîé òðåâîãè ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà, áóäåò èìåòü âèä
∑xP
=
argmin
(1 −
2N p)
−1
f
( x/x
=
λ)
x=xP
( )xP∈0,
2N
−1
∑2N
−1
f
(
x/x
=
λ)
,
x=0
(21)
ïðè ýòîì
xP
2N −1
∑Pïð ≥ p f (x/x = h) ∑ f (x/x = h).
x=0 x=0
(22)
Êàê âèäíî èç (21), äëÿ ìèíèìèçàöèè åãî ïðàâîé
÷àñòè íåîáõîäèìî xP → (2N – 1), îäíàêî ýòî âûçîâåò ïîâûøåíèå Ðïð (22). Ïîýòîìó çíà÷åíèå õÐ íàéäåì èç îãðàíè÷åíèÿ (22). Òàê êàê ðàñïðåäåëåíèå áåëûõ ÈÏ f(x/x = h) íà èíòåðâàëå [0, (2N – 1)] íîðìàëüíîå (7), íåñìîòðÿ íà äèñêðåòíîñòü, ïåðåïèøåì (22) â èí-
òåãðàëüíîì âèäå (÷òî äîïóñòèìî ïðè N ≥ 0)
∫∫ ( ( ( ( )))) ( ( ) ) ( ( ) )Pïð≥
p
(
xP 0 2N −1) 0
1 2πD hi, j
1 2πD hi, j
exp −
exp
−
0,..., 2
0,...,
N
2 2
−1 − 2 D hi, j
N −1 − 2D hi, j
N
−1
2N −1
2
d 2
d
2
N −1 2N −1
.
(23)
 âûðàæåíèè (23) ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ
ÿâëÿåòñÿ (2N – 1). Âûíîñÿ ìíîæèòåëè 1/ 2πD[hi, j ]
çà çíàêè èíòåãðàëà è ñîêðàùàÿ èõ, ïîëó÷èì
∫∫ ( ( ( ( )))) ( ( ) ) ( ( ) )Pïð
≥
xP
exp
−
p
(
0 2N −1)
0
exp
−
0…
2N −1 − 2N −1 2D hi, j
2
d
2N −1
0…
2N −1 − 2N −1 2D hi, j
2
d
2N −1
.
Ïðîèíòåãðèðîâàâ âûðàæåíèå (24), îïðåäåëèì èç íåãî êîðíè xP, êîòîðûå áóäóò ÿâëÿòüñÿ êîìïëåêñíûìè:
(24)
16 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
( )x1P = 2N −1 +
( )−2D
hi,
j
ln
PÏÐ
−
( PÏÐ
+
p
)
exp
− 2N −1 2 2D hi, j
p
,
( )xP2 = 2N −1 −
( )−2D hi, j
ln
PÏÐ
−
( PÏÐ +
p
)
exp
− 2
2 D
N −1 2 hi, j
p
.
(25) (26)
Çàâèñèìîñòè âåùåñòâåííûõ ÷àñòåé êîðíåé xP1 è xP2 îò âõîäÿùèõ â âûðàæåíèÿ (25) è (26) ïàðàìåòðîâ èìå-
þò ñèììåòðè÷íûé õàðàêòåð îòíîñèòåëüíî (2N – 1), ïðè÷åì çíà÷åíèÿ Re(xP1) ïîëíîñòüþ âûõîäÿò çà îáëàñòü êâàíòîâàíèÿ [0, (2N – 1)], ïîýòîìó èñêîìûì èç (24) îïòèìàëüíûì ïàðàìåòðîì áóäåò xP = Re(xP2).
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà, íàïðèìåð, D[hi, j] = 50, N = 8. Ïðè ýòîì âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü Re(xP2) çàâèñèìîñòè (26) îò âåðîÿòíîñòåé p è Pïð áóäåò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 2.
xP 251
243
3 2
5 4
1
235
0,2
0,4 0,6
0,8 p
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòè îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Re(xp2) (26) îò p ïðè çàäàííûõ Pïð. 1 – Pïð = 0,05, 2 – 0,2, 3 – 0,4, 4 – 0,6, 5 – 0,8.
Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåçèðîâàííûé ïî êðèòåðèþ Íåéìàíà–Ïèðñîíà àëãîðèòì îöåíèâàíèÿ ÈÏ ñ áåëûì ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè äëÿ ñëó÷àÿ ìèíèìèçàöèè âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè (21) ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà (22) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Àëãîðèòì 2. Øàã 1. Íà îñíîâå çàäàííûõ Ðïð, ð, N è D[hi, j] îïðåäåëÿþòñÿ âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîðîãà Re(xP2) (26). Øàã 2.  ñîîòâåòñòâèè ñ (5) íàõîäÿòñÿ ýëåìåíòû h~i, j ìàòðèöû ïðîñòðàíñòâåííîé îöåíêè ÈÏ. Äàííàÿ ïðîöåäóðà àíàëîãè÷íî àëãîðèòìó 1 ïðèìåíÿåòñÿ ê êàæäîìó ïîëîæåíèþ ïåðåìåùàþùåéñÿ ïî õi, j àïåðòóðû.
Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ñèíòåçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ
 õîäå ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ñèíòåçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ áûëè èñïîëüçîâàíû ðàçíîîáðàçíûå öèôðîâûå ïîëóòîíîâûå èçîáðàæåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè m×n = 640×480, N = 8. Ðàçìåðû àïåðòóðû âñåõ ñîïîñòàâëÿåìûõ àëãîðèòìîâ âûáðàíû ðàâíûìè 3×3 ýëåìåíòà. Ïåðåä îáðàáîòêîé èçîáðàæåíèÿ öåëåíàïðàâëåííî, â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (4), ïîäâåðãàëèñü âîçäåéñòâèþ ÈÏ ñ äèñïåðñèåé D[hi, j] = 50 (7). Îöåíèâàíèå êà÷åñòâà àëãîðèòìîâ ïðîâîäèëîñü â äèàïàçîíå èíòåíñèâíîñòè ÈÏ îò p = 0 äî p = 1 (4) ñ øàãîì 0,1. Êðèòåðèåì êà÷åñòâà ñëóæèëà íåâÿçêà (6), êîíêðåòèçèðîâàííàÿ äëÿ ïðîïóñêà ïîìåõ Hïð è ëîæíûõ òðåâîã ÍËÒ:
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
17
Hïð 0,32
1
0,24 0,16
0,08 2
4,5
3
0
0,2
0,4 0,6
0,8 p
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòè îøèáîê (27) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ èçâåñòíîé ïðîöåäóðû [5] (êðèâàÿ 1) è àëãîðèòìà 1 ïðè ôèêñèðîâàííûõ ÐËÒ. 2 – PËÒ = 0,01, 3 – 0,1, 4 – 0,2, 5 – 0,3.
Hëò 5
0,32 1
0,24 4 3
0,16
0,08 2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 p
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòè îøèáîê (28) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ èçâåñòíîé ïðîöåäóðû [5] (êðèâàÿ 1) è àëãîðèòìà 1 ïðè ôèêñèðîâàííûõ Pïð. 2 – Pïð = = 0,01, 3 – 0,1, 4 – 0,2, 5 – 0,3.
( )m n 1 hˆi, j − hi, j = 1
∑∑ ( )Hïð =
i =1
j=1 0
hˆi, j − hi, j mn
≠1 ,
(27)
Hïð 0,32
1
( )m n 1 hi, j − hˆi, j = 1
∑∑ ( )i=1
H ËÒ =
j=1 0
hi, j − hˆi, j mn
≠1 .
(28)
Âûðàæåíèÿ (27) è (28) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îòíîøåíèå ÷èñëà îøèáîê (ñîîòâåòñòâåííî òèïà ïðîïóñê ïîìåõè è ëîæíàÿ òðåâîãà) ê îáùåìó êîëè÷åñòâó ýëåìåíòîâ èçîáðàæåíèÿ è õàðàêòåðèçóþò îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó îøèáîê.
Íà ðèñ. 3 è 4 ïðåäñòàâëåíû çàâèñèìîñòè îøèáîê ñîîòâåòñòâåííî (27) è (28) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ ñèíòåçèðîâàííîãî àëãîðèòìà 1 ïðè íåñêîëüêèõ çàäàííûõ óðîâíÿõ ÐËÒ è Ðïð, à òàêæå äëÿ èçâåñòíîé [5] ïðîöåäóðû îöåíèâàíèÿ óíèìîäàëüíûõ ÈÏ. Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî ñ ðîñòîì ð àëãîðèòì 1 ïîêàçûâàåò ñóùåñòâåííî ìåíüøèå îøèáêè Íïð (27) ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîöåäóðîé [5], îñîáåííî ñ ðîñòîì äîïóñòèìûõ óðîâíåé ÐËÒ. Ïðè÷åì ó ïðîöåäóðû [5] çàâèñèìîñòü Íïð ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé, à ó àëãîðèòìà 1 – ýêñòðåìàëüíîé (÷åðåç ìàêñèìóì â ðàéîíå ð ≈ 0,5). Èç ðèñ. 4 âèäíî, ÷òî ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì 1, â ñðàâíåíèè ñ èçâåñòíûì [5], îáëàäàåò ìåíüøèìè îøèáêàìè ÍËÒ (28) ïðè Ðïð = 0,01, 0,1, çàâèñèìîñòü êîòîðûõ îò ð èìååò ýêñòðåìàëüíûé õàðàêòåð äëÿ [5] è óáûâàþùèé äëÿ àëãîðèòìà 1. Ñ óâåëè÷å-
0,24
0,16 5
4 0,08
3 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 p
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòè îøèáîê (27) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ èçâåñòíîé ïðîöåäóðû [5] (êðèâàÿ 1) è àëãîðèòìà 2 ïðè ôèêñèðîâàííûõ ÐËÒ. 2 – PËÒ = 0,01, 3 – 0,1, 4 – 0,2, 5 – 0,3.
íèåì äîïóñòèìîãî óðîâíÿ Ðïð ÷àñòîòà ëîæíûõ òðåâîã ó ñèíòåçèðîâàííîãî àëãîðèòìà ðàñòåò è ïðè Ðïð = 0,3 âûøå, ÷åì ó [5] ïðàêòè÷åñêè âî âñåì äèàïàçîíå ð. Ñîïîñòàâëÿÿ ðèñ. 3 è 4, ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè çàäàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ (17) è (22) íà óðîâíÿõ ÐËÒ = Ðïð = 0,1 è 0,2 ñèíòåçèðîâàííûé àëãîðèòì 1 ÿâëÿåòñÿ áîëåå êà÷åñòâåííûì, ÷åì ïðîöåäóðà [5], ïðè ëþáîé èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð êàê ïî êðèòåðèþ (27), òàê è ïî (28).
18 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
Hëò 0,32
1
0,24
0,16 2
0,08 3
4
0
5
0,2
0,4 0,6
0,8 p
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòè îøèáîê (28) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ èçâåñòíîé ïðîöåäóðû [5] (êðèâàÿ 1) è àëãîðèòìà 2 ïðè ôèêñèðîâàííûõ Pïð. 2 – Pïð = 0,01, 3 – 0,1, 4 – 0,2, 5 – 0,3.
Íà ðèñ. 5 è 6 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè îøèáîê ñîîòâåòñòâåííî (27) è (28) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ àëãîðèòìà 2 ïðè íåñêîëüêèõ ôèêñèðîâàííûõ ÐËÒ è Ðïð è äëÿ èçâåñòíîé [5] ïðîöåäóðû îöåíèâàíèÿ ÈÏ. Èç ðèñ. 5 âèäíî, ÷òî â îáëàñòè âûñîêîé èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ (p > 0,5) àëãîðèòì 2 ïîêàçûâàåò ñóùåñòâåííî ìåíüøèå îøèáêè Hïð (27) ïî ñðàâíåíèþ ñ [5], ïðè÷åì òåïåðü îøèáêè ðàñòóò ñ óâåëè÷åíèåì äîïóñòèìûõ óðîâíåé ÐËÒ. Ìåæäó òåì ïðè íåâûñîêîé èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ è ôèêñèðîâàííûõ óðîâíÿõ ÐËÒ, ðàâíûõ 0,1, 0,2 è 0,3, àëãîðèòì 2 ïîêàçûâàåò íåñêîëüêî õóäøèå ðåçóëüòàòû ïî ñðàâíåíèþ ñ èçâåñòíîé ïðîöåäóðîé. Èç ðèñ. 6 âèäíî, ÷òî ñèíòåçèðîâàííûé àëãîðèòì 2, â ñðàâíåíèè ñ èçâåñòíûì [5], îáëàäàåò ñóùåñòâåííî ìåíüøèìè îøèáêàìè ÍËÒ (28). Ñ óâåëè÷åíèåì äîïóñòèìîãî óðîâíÿ Ðïð îøèáêè ÍËÒ ó ñèíòåçèðîâàííîãî àëãîðèòìà ñíèæàþòñÿ. Ñîïîñòàâëÿÿ ðèñ. 5 è 6 ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè çàäàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ (17) è (22) íà óðîâíå 0,01 ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì 2 ÿâëÿåòñÿ áîëåå êà÷åñòâåííûì, ÷åì ïðîöåäóðà [5], âî âñåì äèàïàçîíå êàê ïî êðèòåðèþ (27), òàê è ïî (28).
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé (ðèñ. 3–6) ñèíòåçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ áåëûõ ãàóññîâûõ ÈÏ íà öèôðîâûõ èçîáðàæå-
íèÿõ ãîâîðÿò î òîì, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ íåîïòèìàëüíûìè.
Çàêëþ÷åíèå
Ñèíòåçèðîâàííûå è ïðåäñòàâëåííûå îïòèìàëüíûå ïî êðèòåðèþ Íåéìàíà–Ïèðñîíà àëãîðèòìû ïîçâîëÿþò îñóùåñòâëÿòü áîëåå ýôôåêòèâíîå îöåíèâàíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ÈÏ ñ áåëûì ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè íà èçîáðàæåíèÿõ ïî ñðàâíåíèþ ñ íåîïòèìàëüíûìè èçâåñòíûìè ïðîöåäóðàìè.
Íîâèçíà ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäñòàâëåííûõ àëãîðèòìàõ îöåíèâàíèÿ ÈÏ íà èçîáðàæåíèÿõ, îòëè÷àþùèõñÿ îò èçâåñòíûõ òåì, ÷òî ïîðîãîâûå ïàðàìåòðû ðåøàþùåãî ïðàâèëà ñèíòåçèðîâàíû íà îñíîâå ñòîõàñòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ïîëåçíûõ ñèãíàëîâ èçîáðàæåíèé, âïèñûâàþùèõñÿ â îïðåäåëåííûå ïàðàìåòðû, à òàêæå ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ïîìåõ, ïîä÷èíÿþùèõñÿ ãàóññîâîìó ðàñïðåäåëåíèþ ÿðêîñòè.
Ðàññìîòðåííûå àëãîðèòìû ïîçâîëÿò ïîâûñèòü êà÷åñòâî íåïàðàìåòðè÷åñêèõ ïðîöåäóð âîññòàíîâëåíèÿ èñêàæåííûõ ÈÏ èçîáðàæåíèé, èñïîëüçóþùèõ ðåçóëüòàò ïðåäâàðèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî îöåíèâàíèÿ ïîìåõ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Ãîíñàëåñ Ð., Âóäñ Ð. Öèôðîâàÿ îáðàáîòêà èçîáðàæåíèé. Ì.: Òåõíîñôåðà, 2005. 1072 ñ.
12. Ñîéôåð Â.À., Ãàøíèêîâ Ì.Â., Ãëóìîâ Í.È. è äð. Ìåòîäû êîìïüþòåðíîé îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001. 784 ñ.
13. Ëåâèí Á.Ð. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ñòàòèñòè÷åñêîé ðàäèîòåõíèêè. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1989. 656 ñ.
14. Ñàìîéëèí Å.À. Ïðîñòðàíñòâåííî-èçáèðàòåëüíàÿ ôèëüòðàöèÿ èçîáðàæåíèé // Èçâ. âóçîâ. Ïðèáîðîñòðîåíèå. 2006. Ò. 49. ¹ 12. Ñ. 7–12.
15. Ñàìîéëèí Å.À. Àëãîðèòìû îöåíèâàíèÿ èìïóëüñíîãî øóìà â çàäà÷àõ öèôðîâîé ôèëüòðàöèè îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 2006. Ò. 73. ¹ 12. Ñ. 42–46.
16. Ñàìîéëèí Å.À. Àëãîðèòìû âîññòàíîâëåíèÿ öèôðîâûõ îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, èñêàæåííûõ èìïóëüñíûìè øóìàìè // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 2007. Ò. 74. ¹ 9. Ñ. 50–55.
17. Êèì Â., ßðîñëàâñêèé Ë.Ï. Ðàíãîâûå àëãîðèòìû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé // Àäàïòèâíûå ìåòîäû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé. Ñá. íàó÷í. òð. / Ïîä ðåä. Ñèôîðîâà Â.È., ßðîñëàâñêîãî Ë.Ï. Ì.: Íàóêà, 1988. Ñ. 35–73.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
19
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÅ ÏÎ ÊÐÈÒÅÐÈÞ ÍÅÉÌÀÍÀ-ÏÈÐÑÎÍÀ ÀËÃÎÐÈÒÌÛ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈß ÁÅËÛÕ ÃÀÓÑÑÎÂÛÕ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ ÏÎÌÅÕ ÍÀ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈßÕ
2009 ã.
Å. À. Ñàìîéëèí, êàíä. òåõí. íàóê
Ðîñòîâñêèé âîåííûé èíñòèòóò ðàêåòíûõ âîéñê èì. Ãëàâíîãî ìàðøàëà àðòèëëåðèè Íåäåëèíà Ì.È., ã. Ðîñòîâ-íà-Äîíó
e-mail: sea@rsu.ru
Ñèíòåçèðîâàíû ñòàòèñòè÷åñêè îïòèìàëüíûå ïî êðèòåðèþ Íåéìàíà-Ïèðñîíà àëãîðèòìû îöåíèâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ èìïóëüñíûõ ïîìåõ ñ áåëûì ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè íà èçîáðàæåíèÿõ, çàêëþ÷àþùèåñÿ â ìèíèìèçàöèè âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà ïîìåõ ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè è âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè ïðè ôèêñèðîâàííîì óðîâíå ïðîïóñêà. Ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé ñèíòåçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ, ïîêàçûâàþùèå èõ ïðåèìóùåñòâà ïåðåä èçâåñòíûìè íåîïòèìàëüíûìè àëãîðèòìàìè.
Êîäû OCIS: 100.2000.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 04.04.2008.
Ââåäåíèå
Êàê èçâåñòíî [1, 2], ìíîãèå ïðàêòè÷åñêèå óñëîâèÿ îáðàáîòêè è ïðåîáðàçîâàíèÿ öèôðîâûõ îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé â èíôîðìàöèîííûõ è îïòèêî-ýëåêòðîííûõ ñèñòåìàõ ñòàíîâÿòñÿ ïðè÷èíîé âîçíèêíîâåíèÿ íà ðàñòðå ñïåöèôè÷åñêèõ ïîìåõ, îòíîñÿùèõñÿ ê êëàññó èìïóëüñíûõ. Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèÿ êàê èìïóëüñíûõ ïîìåõ (ÈÏ), òàê è ïîëåçíûõ ñèãíàëîâ èçîáðàæåíèé çàðàíåå íåèçâåñòíû, áîðüáà ñ íèìè îòíîñèòñÿ ê çàäà÷å ñ íåïàðàìåòðè÷åñêîé ñèãíàëüíîïîìåõîâîé àïðèîðíîé íåîïðåäåëåííîñòüþ [3].  óñëîâèÿõ äàííîé íåîïðåäåëåííîñòè íàèáîëåå ïðèåìëåìû ìåòîäû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé, áàçèðóþùèåñÿ íà àïïàðàòå íåïàðàìåòðè÷åñêîé ñòàòèñòèêè [3], êîòîðûå, õîòÿ è ÿâëÿþòñÿ ýâðèñòè÷åñêèìè, ïîçâîëÿþò âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ äîáèòüñÿ óäîâëåòâîðèòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ.  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [4] ïðåäëîæåí ïðèíöèï ïðîñòðàíñòâåííî-èçáèðàòåëüíîé íåïàðàìåòðè÷åñêîé ôèëüòðàöèè èçîáðàæåíèé, ïðåäïîëàãàþùèé íà ïåðâîì ýòàïå îáðàáîòêè ïðîñòðàíñòâåííîå îöåíèâàíèå ÈÏ, íåñêîëüêî ýâðèñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ êîòîðîãî ïðåäñòàâëåíû â [5], è âîññòàíîâëåíèå [6] ïóòåì çàìåíû (â îòëè÷èå îò èçâåñòíûõ ïðîöåäóð [1]) èñêëþ÷èòåëüíî “èñïîð÷åííûõ” ïèêñåëîâ, çàäàííîé êâàíòèëüþ íà âòîðîì ýòàïå.
Ìåæäó òåì îäíîé èç ðàçíîâèäíîñòåé ÈÏ, âñòðå÷àþùèõñÿ íàèáîëåå ÷àñòî íà ïðàêòèêå, ÿâëÿþòñÿ ïîìåõè ñ ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè, ïîä÷èíÿþùèìñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, ðàâíûì âåðõíåìó (áåëîìó) ïðåäåëó êâàíòîâàíèÿ ÿðêîñòè èçîáðàæåíèé, ò. å. ïîìåõè ñ áåëûì óíèìîäàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì [1].
Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòè ÈÏ äàííîãî âèäà äîïóñòèìî àïïðîêñèìèðîâàòü ãàóññîâûì çàêîíîì [1], àïðèîðíóþ ïîìåõîâóþ íåîïðåäåëåí-
íîñòü â äàííîì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü ïàðàìåòðè÷åñêîé.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îòêðûâàåòñÿ âîçìîæíîñòü ñòàòèñòè÷åñêîãî ñèíòåçà îïòèìàëüíûõ ïî êàêîìó-ëèáî êðèòåðèþ àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ áåëûõ ãàóññîâûõ ÈÏ íà èçîáðàæåíèÿõ è èñïîëüçîâàíèå ýòèõ àëãîðèòìîâ â çàäà÷àõ ïðîñòðàíñòâåííîèçáèðàòåëüíîé íåïàðàìåòðè÷åñêîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ [4–6].
Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåç ñòàòèñòè÷åñêè îïòèìàëüíûõ àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ áåëûõ ãàóññîâûõ ÈÏ íà èçîáðàæåíèÿõ ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé íàó÷íîé çàäà÷åé.
Öåëü ðàáîòû – ïîâûøåíèå êà÷åñòâà îöåíèâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ÈÏ ñ áåëûì ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè íà öèôðîâûõ èçîáðàæåíèÿõ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è îöåíèâàíèÿ ïîìåõ
Ìîäåëü öèôðîâîãî èçîáðàæåíèÿ λ(Ii, Jj) ñî ñòðîêàìè i = 1, m è ñòîëáöàìè j = 1, n èìååò âèä êâàíòîâàííîãî äèñêðåòíîãî ñêàëÿðíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ
λ(Ii, Jj) = Q[D[Λ(I, J)]],
(1)
ãäå Q, D – îïåðàòîðû êâàíòîâàíèÿ è ïðÿìîóãîëüíîé äèñêðåòèçàöèè ñîîòâåòñòâåííî; Λ(I, J) – íåïðåðûâíîå ñëó÷àéíîå ïîëå, I, J – íåïðåðûâíûå ïåðåìåííûå.
Îáëàñòü çíà÷åíèé Ξ ïîëÿ λ(Ii, Jj) (ÿðêîñòü) êâàíòîâàíà íà èíòåðâàëå
λ(Ii, Jj) ∈ Ξ, Ξ = {λK, K = 0, (2N – 1)}, (2)
ãäå N – ñòåïåíü êâàíòîâàíèÿ (êàê ïðàâèëî, N = 8 äëÿ ïîëóòîíîâûõ èçîáðàæåíèé).
Ìîäåëü ÈÏ èìååò âèä êâàíòîâàííîãî äèñêðåòíîãî ñêàëÿðíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ñ íåçàâèñèìûìè çíà÷åíèÿìè
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
13
h(Ii, Jj) ∈ Ξ, Ξ = {hK, K = 0, (2N – 1)}. (3)
Çíà÷åíèÿ hK (3) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ áåëûì óíèìîäàëüíûì (mod[h(Ii = 1, m, Jj = 1, n)] = 2N – 1) íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì [1] íà èíòåðâàëå êâàíòîâàíèÿ ïîëåé (2), (3).
Èçîáðàæåíèå, èñêàæåííîå ÈÏ, ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé ÷àñòè÷íîå çàìåùåíèå λ(Ii, Jj) ýëåìåíòàìè ïîëÿ h(Ii, Jj) â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì
( ) (( ))x Ii, J j
=
h
Ii, J j
λ Ii, J j
ñ âåðîÿòíîñòüþ p, ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − p,
(4)
ãäå p – âåðîÿòíîñòü çàìåíû ýëåìåíòà λ(Ii, Jj) íà h(Ii, Jj) â äèñêðåòå ñ êîîðäèíàòàìè i, j, êîòîðàÿ íå çàâèñèò íè îò íàëè÷èÿ ïîìåõ â äðóãèõ êîîðäèíàòàõ,
íè îò èñõîäíîãî ïîëÿ è èìååò ðàâíîìåðíóþ ïëîòíîñòü, ò. å. p = const∀i ∈ [1, m], j ∈ [1, n].
Ïîÿâëåíèÿ λ(Ii, Jj) è h(Ii, Jj) îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé äëÿ i ∈ [1, m], j ∈ [1, n].
Ïîñêîëüêó ïåðåìåííûå Ii, Jj ÿâëÿþòñÿ ïî ñóòè èíäåêñàìè, ïîëàãàåì λ(Ii, Jj) = λi, j, h(Ii, Jj) = hi, j, x(Ii, Jj) = xi, j.
Äëÿ îáíàðóæåíèÿ â ñêîëüçÿùåé àïåðòóðå óíèìîäàëüíûõ ÈÏ hi, j ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì [7], ñîãëàñíî êîòîðîìó åå öåíòðàëüíûé ïèêñåë ïðèíèìàåòñÿ çà ïîìåõó, åñëè åãî óðîâåíü áëèæå ê ìîäå ÈÏ, ÷åì ïîðîã xp, óñòàíàâëèâàåìûé íà îñíîâå ðàñïðåäåëåíèÿ ñèãíàëîâ ñîñåäíèõ ïèêñåëîâ (ïîëàãàåìûõ λi, j). Òàê êàê íà ýòàïå âîññòàíîâëåíèÿ èçîáðàæåíèÿ íåîáõîäèìî èìåòü èíôîðìàöèþ ëèøü î
ïðîñòðàíñòâåííîì ïîëîæåíèè ÈÏ (ñèãíàëüíîå çíà÷åíèå ïîäëåæèò êîððåêöèè) [6], áèíàðíàÿ îöåíêà ïîìåõ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íîé. Ïðè ýòîì â ñëó÷àå ÈÏ ñ mod[hi = 1, m, j = 1, n] = 2N – 1 îöåíêà ìîæåò ñòðîèòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì
hi,
j
=
1, 0,
xi, j ≥ xi, j <
xP, xP.
(5)
Çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ ÈÏ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â ñëåäóþùåì âèäå. Íåîáõîäèìî ñèíòåçèðîâàòü àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ îïòèìàëüíûõ ïîðîãîâûõ çíà÷åíèé xp, ïîçâîëÿþùèé ñôîðìèðîâàòü îöåíêó (5) óíèìîäàëüíûõ ÈÏ, êîòîðàÿ áûëà áû íàèáîëåå áëèçêà ê åå èñòèííûì çíà÷åíèÿì
∑∑[ ]xP
=
arg min
m
n
hi, j − hˆi, j ,
(6)
i=1 j=1
( )xP∈0,
2N
−1
ãäå hˆi, j – èñòèííîå áèíàðíîå ïîëîæåíèå ïîìåõ hˆi, j =
=
1, 0,
xi, j = hi, j xi, j = λi, j
íà
èçîáðàæåíèè
xi,
j.
Ñèíòåç àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ èìïóëüñíûõ ïîìåõ
Ïðåíåáðåãàÿ êâàíòîâàíèåì (2), (3) â ñèëó, êàê ïðàâèëî, N ≥ 8, ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ (ñòðîãî – ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ) ÈÏ ñ mod[hi = 1, m, j = 1, n] = 2N – 1, êîòîðîå áóäåò îïèñûâàòü “ïîëóíîðìàëüíîå” ðàñïðåäåëåíèå [3], îãðàíè÷åííîå ñïðàâà (2N – 1)
( )( )fh 0,…, 2N −1 = 1 × 2πD hi, j
(7)
( ( )) ( )×exp
−
0,...,
2N −1
−
2N
−1
2
2D
hi,
j
,
ãäå D[hi, j] – äèñïåðñèÿ çíà÷åíèé hK ñëó÷àéíîãî ïîëÿ (3). Îáîçíà÷èì ÷åðåç f (x/x) = λ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëå-
íèÿ ïîëåçíîãî ñèãíàëà λi, j (ïðè óñëîâèè, ÷òî èçîáðàæåíèå xi, j, íå ñîäåðæèò ÈÏ: õ/õ = λ), à ÷åðåç f (x/x) = = h – ïîìåõè hi, j íà èíòåðâàëå êâàíòîâàíèÿ (2) (ïðè óñëîâèè, ÷òî xi, j ÿâëÿåòñÿ ÈÏ: õ/õ = h) â ñêîëüçÿùåé ïî xi, j àïåðòóðå. Ïðè ýòîì íîðìèðîâàííàÿ óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ëîæíîãî îáíàðóæåíèÿ (ËÎ) â ñîîòâåòñòâèè ñ (5) ïîìåõîâîãî ïèêñåëà áóäåò èìåòü âèä
2N −1
∑PËÎ = f (x/x = λ) xP =0
2N −1
∑ f (x/x = λ).
x=0
(8)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ (ÏÐ) â ñîîòâåòñòâèè ñ (5) îá îòñóòñòâèè (îòñ) ïîìåõè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êàê
xP 2N −1
∑ ∑PÏÐîòñ = f (x/x = λ)
f (x/x = λ) ,
x=0 x=0
(9)
ïðè÷åì ÐËÎ + ÐÏÐ îòñ = 1. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà (ïðîï) è ïðè-
íÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ îá îáíàðóæåíèè (îáí) ïîìåõè áóäóò ñîîòâåòñòâåííî èìåòü âèä
xP 2N −1
∑ ∑Pïðîï = f (x/x = h)
f (x/x = h),
x=0 x=0
(10)
2N −1
∑PÏÐîáí =
f (x/x = h)
x= xP
2N −1
∑ f (x/x = h),
x=0
(11)
ïðè÷åì Ðïðîï + ÐÏÐ îáí = 1. Ñ ó÷åòîì ð è óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé (8)–(11) çà-
ïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ áåçóñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé îøèáî÷íûõ è ïðàâèëüíûõ ðåøåíèé ïðè îáíàðóæåíèè ÈÏ.
Âåðîÿòíîñòü ëîæíûõ (ËÒ) òðåâîã áóäåò èìåòü âèä
14 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
PËÒ = (1 − p)PËÎ =
2N −1
= (1 − p) ∑ f (x/x = λ)
x = xP
2N −1
∑ f (x/x = λ) ;
x=0
(12)
âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ îá îò-
ñóòñòâèè ïîìåõè (ÏÎ) –
PÏÎ = (1 − p)PÏÐîòñ =
xP
2N −1
= (1 − p) ∑ f (x/x = λ) ∑ f (x/x = λ) ;
x=0 x=0
âåðîÿòíîñòü ïðîïóñêà ïîìåõè (ïð) –
(13)
xP
2N −1
∑ ∑Pïð = pPïðîï = p f (x/x = h)
f (x/x = h) ; (14)
x=0 x=0
âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ î íàëè÷èè (ÏÍ) ïîìåõè –
PÏÍ = pPÏÐîáí =
2N −1
2N −1
= p ∑ f (x/x = h) ∑ f (x/x = h).
x=xP
x=0
(15)
Î÷åâèäíî, ÷òî ÐËÒ + ÐÏÎ + Ðïð + ÐÏÍ = 1. Òàê êàê â çàäà÷å âîññòàíîâëåíèÿ èçîáðàæåíèé ñòîèìîñòü ÐËÒ è Ðïð, êàê ïðàâèëî, ðàçëè÷íà (ïðîïóñê ïîìåõè âëå÷åò áîëüøèå ïîòåðè), òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êðèòåðèåì Íåéìàíà–Ïèðñîíà [3], â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì ìèíèìèçèðóåòñÿ âåðîÿòíîñòü ïðîïóñêà ïðè çàäàííîì óðîâíå ëîæíûõ òðåâîã ëèáî âåðîÿòíîñòü ëîæíûõ òðåâîã ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà. Ðàññìîòðèì ìèíèìèçàöèþ âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè. Ñ ó÷åòîì (12) è (14) âûðàæåíèå äëÿ èñêîìîãî çíà÷åíèÿ ïîðîãà (5), ìèíèìèçèðóþùåãî âåðîÿòíîñòü ïðîïóñêà ÈÏ ïðè ôèêñèðîâàííîé âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè, áóäåò èìåòü âèä
∑ ∑xP
=
arg
min
p
xP
f (x/x = h)
x=0
2N −1 x=0
f
(
x/x
=
h)
,
(16)
( )xP∈0,
2N
−1
ïðè ýòîì
2N −1
2N −1
∑PËÒ ≥ (1 − p) f (x/x = λ) ∑ f (x/x = λ) . (17)
x=xP
x=0
Êàê âèäíî èç (16), äëÿ ìèíèìèçàöèè åãî ïðàâîé ÷àñòè íåîáõîäèìî xP → 0, îäíàêî ýòî âûçîâåò ðîñò ÐËÒ (17). Ïîýòîìó çíà÷åíèå xP íàéäåì èç îãðàíè÷åíèÿ (17). Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèå f (x/x = λ) â äâóìåðíîé àïåðòóðå, ïåðåìåùàþùåéñÿ ïî èçîáðàæå-
íèþ, ëåæèò â ãðàíèöàõ îò ìèíèìàëüíîãî xP äî ìàê-
ñèìàëüíîãî
x
A max
çíà÷åíèÿ
ñèãíàëà,
âûðàæåíèå
(17)
ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
( ) ( )PËÒ ≥ (1−
p)
xmAax
− xP
2N
−1
.
(18)
Îïðåäåëèì èç âûðàæåíèÿ (18) îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå xP
( )xP ≥ xmAax − PËÒ 2N − 1 /(1 − p).
(19)
Òàê êàê ñîãëàñíî (16) íåîáõîäèìî xP → 0, à ñîãëàñíî (17) – xP → (2N – 1), òî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå xP áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ îãðàíè÷åíèåì (19)
( )xP = xmAax − PËÒ 2N − 1 /(1 − p).
(20)
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà, íàïðèìåð,
x
A max
ñîñòàâëÿåò
75%
îò
ïîëíîãî
èíòåðâàëà
êâàíòî-
âàíèÿ (2), ò. å. îêîëî 190 ïðè N = 8. Ïðè ýòîì çàâè-
ñèìîñòü xP (20) îò âåðîÿòíîñòåé p è PËÒ áóäåò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1.
Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåçèðîâàííûé ïî êðèòåðèþ
Íåéìàíà–Ïèðñîíà àëãîðèòì îöåíèâàíèÿ ÈÏ ñ áå-
ëûì óíèìîäàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè äëÿ
ñëó÷àÿ ìèíèìèçàöèè âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà (16) ïðè
çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè (17) âûãëÿ-
äèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Àëãîðèòì 1.
Øàã 1. Íà îñíîâå çàäàííûõ PËÒ, p, N è òåêóùèõ
x
A max
â
ñîîòâåòñòâèè
ñ
(20)
îïðåäåëÿþòñÿ
îïòèìàëü-
íûå çíà÷åíèÿ ïîðîãà xP.
Øàã 2. Â ñîîòâåòñòâèè ñ (5) íàõîäÿòñÿ ýëåìåíòû
h∼ i, j áèíàðíîé ìàòðèöû, åäèíèöû êîòîðîé áóäóò ïðî-
ñòðàíñòâåííî óêàçûâàòü íà ëîêàëèçàöèþ ÈÏ â ïðå-
äåëàõ èçîáðàæåíèÿ.
xP 200
160
1 2
3 80
4
5
0
0,2
0,4 0,6
0,8 p
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòè îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ xp (20) îò p ïðè çàäàííûõ ÐËÒ. 1 – PËÒ = 0,05, 2 – 0,15, 3 – 0,3, 4 – 0,45, 5 – 0,6.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
15
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî äàííûé àëãîðèòì ïðè-
ìåíÿåòñÿ ê êàæäîìó ïîëîæåíèþ ïåðåìåùàþùåéñÿ
íà îäèí ýëåìåíò (ïîñëåäîâàòåëüíî ïî ñòîëáöàì, çà-
òåì íà ñòðîêó íèæå è ò. ä.) àïåðòóðû. Î÷åâèäíî, ÷òî
îïòèìàëüíûå ïî (16) çíà÷åíèÿ xP áóäóò ìåíÿòüñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ñêîëüçÿùåãî îêíà íà îäèí ýëåìåíò, òàê
êàê xmAax, êàê ïðàâèëî, ðàçëè÷íû ïðè êàæäîì íîâîì
ïîëîæåíèè
àïåðòóðû.
Ñ
ðîñòîì
åå
ðàçìåðîâ
x
A max
áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê (2N – 1), ïîýòîìó â àëãîðèòìå äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿ àïåðòóðû ñ ìèíèìàëüíûì ðàçìåðîì 3×3 ýëåìåíòà.
Ðàññìîòðèì ìèíèìèçàöèþ âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà. Ñ ó÷åòîì (12) è (14) âûðàæåíèå äëÿ ïîðîãà (5), ìèíèìèçèðóþùåãî âåðîÿòíîñòü ëîæíîé òðåâîãè ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà, áóäåò èìåòü âèä
∑xP
=
argmin
(1 −
2N p)
−1
f
( x/x
=
λ)
x=xP
( )xP∈0,
2N
−1
∑2N
−1
f
(
x/x
=
λ)
,
x=0
(21)
ïðè ýòîì
xP
2N −1
∑Pïð ≥ p f (x/x = h) ∑ f (x/x = h).
x=0 x=0
(22)
Êàê âèäíî èç (21), äëÿ ìèíèìèçàöèè åãî ïðàâîé
÷àñòè íåîáõîäèìî xP → (2N – 1), îäíàêî ýòî âûçîâåò ïîâûøåíèå Ðïð (22). Ïîýòîìó çíà÷åíèå õÐ íàéäåì èç îãðàíè÷åíèÿ (22). Òàê êàê ðàñïðåäåëåíèå áåëûõ ÈÏ f(x/x = h) íà èíòåðâàëå [0, (2N – 1)] íîðìàëüíîå (7), íåñìîòðÿ íà äèñêðåòíîñòü, ïåðåïèøåì (22) â èí-
òåãðàëüíîì âèäå (÷òî äîïóñòèìî ïðè N ≥ 0)
∫∫ ( ( ( ( )))) ( ( ) ) ( ( ) )Pïð≥
p
(
xP 0 2N −1) 0
1 2πD hi, j
1 2πD hi, j
exp −
exp
−
0,..., 2
0,...,
N
2 2
−1 − 2 D hi, j
N −1 − 2D hi, j
N
−1
2N −1
2
d 2
d
2
N −1 2N −1
.
(23)
 âûðàæåíèè (23) ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ
ÿâëÿåòñÿ (2N – 1). Âûíîñÿ ìíîæèòåëè 1/ 2πD[hi, j ]
çà çíàêè èíòåãðàëà è ñîêðàùàÿ èõ, ïîëó÷èì
∫∫ ( ( ( ( )))) ( ( ) ) ( ( ) )Pïð
≥
xP
exp
−
p
(
0 2N −1)
0
exp
−
0…
2N −1 − 2N −1 2D hi, j
2
d
2N −1
0…
2N −1 − 2N −1 2D hi, j
2
d
2N −1
.
Ïðîèíòåãðèðîâàâ âûðàæåíèå (24), îïðåäåëèì èç íåãî êîðíè xP, êîòîðûå áóäóò ÿâëÿòüñÿ êîìïëåêñíûìè:
(24)
16 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
( )x1P = 2N −1 +
( )−2D
hi,
j
ln
PÏÐ
−
( PÏÐ
+
p
)
exp
− 2N −1 2 2D hi, j
p
,
( )xP2 = 2N −1 −
( )−2D hi, j
ln
PÏÐ
−
( PÏÐ +
p
)
exp
− 2
2 D
N −1 2 hi, j
p
.
(25) (26)
Çàâèñèìîñòè âåùåñòâåííûõ ÷àñòåé êîðíåé xP1 è xP2 îò âõîäÿùèõ â âûðàæåíèÿ (25) è (26) ïàðàìåòðîâ èìå-
þò ñèììåòðè÷íûé õàðàêòåð îòíîñèòåëüíî (2N – 1), ïðè÷åì çíà÷åíèÿ Re(xP1) ïîëíîñòüþ âûõîäÿò çà îáëàñòü êâàíòîâàíèÿ [0, (2N – 1)], ïîýòîìó èñêîìûì èç (24) îïòèìàëüíûì ïàðàìåòðîì áóäåò xP = Re(xP2).
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà, íàïðèìåð, D[hi, j] = 50, N = 8. Ïðè ýòîì âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü Re(xP2) çàâèñèìîñòè (26) îò âåðîÿòíîñòåé p è Pïð áóäåò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 2.
xP 251
243
3 2
5 4
1
235
0,2
0,4 0,6
0,8 p
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòè îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Re(xp2) (26) îò p ïðè çàäàííûõ Pïð. 1 – Pïð = 0,05, 2 – 0,2, 3 – 0,4, 4 – 0,6, 5 – 0,8.
Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåçèðîâàííûé ïî êðèòåðèþ Íåéìàíà–Ïèðñîíà àëãîðèòì îöåíèâàíèÿ ÈÏ ñ áåëûì ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè äëÿ ñëó÷àÿ ìèíèìèçàöèè âåðîÿòíîñòè ëîæíîé òðåâîãè (21) ïðè çàäàííîé âåðîÿòíîñòè ïðîïóñêà (22) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Àëãîðèòì 2. Øàã 1. Íà îñíîâå çàäàííûõ Ðïð, ð, N è D[hi, j] îïðåäåëÿþòñÿ âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîðîãà Re(xP2) (26). Øàã 2.  ñîîòâåòñòâèè ñ (5) íàõîäÿòñÿ ýëåìåíòû h~i, j ìàòðèöû ïðîñòðàíñòâåííîé îöåíêè ÈÏ. Äàííàÿ ïðîöåäóðà àíàëîãè÷íî àëãîðèòìó 1 ïðèìåíÿåòñÿ ê êàæäîìó ïîëîæåíèþ ïåðåìåùàþùåéñÿ ïî õi, j àïåðòóðû.
Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ñèíòåçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ
 õîäå ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ñèíòåçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ áûëè èñïîëüçîâàíû ðàçíîîáðàçíûå öèôðîâûå ïîëóòîíîâûå èçîáðàæåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè m×n = 640×480, N = 8. Ðàçìåðû àïåðòóðû âñåõ ñîïîñòàâëÿåìûõ àëãîðèòìîâ âûáðàíû ðàâíûìè 3×3 ýëåìåíòà. Ïåðåä îáðàáîòêîé èçîáðàæåíèÿ öåëåíàïðàâëåííî, â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (4), ïîäâåðãàëèñü âîçäåéñòâèþ ÈÏ ñ äèñïåðñèåé D[hi, j] = 50 (7). Îöåíèâàíèå êà÷åñòâà àëãîðèòìîâ ïðîâîäèëîñü â äèàïàçîíå èíòåíñèâíîñòè ÈÏ îò p = 0 äî p = 1 (4) ñ øàãîì 0,1. Êðèòåðèåì êà÷åñòâà ñëóæèëà íåâÿçêà (6), êîíêðåòèçèðîâàííàÿ äëÿ ïðîïóñêà ïîìåõ Hïð è ëîæíûõ òðåâîã ÍËÒ:
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
17
Hïð 0,32
1
0,24 0,16
0,08 2
4,5
3
0
0,2
0,4 0,6
0,8 p
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòè îøèáîê (27) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ èçâåñòíîé ïðîöåäóðû [5] (êðèâàÿ 1) è àëãîðèòìà 1 ïðè ôèêñèðîâàííûõ ÐËÒ. 2 – PËÒ = 0,01, 3 – 0,1, 4 – 0,2, 5 – 0,3.
Hëò 5
0,32 1
0,24 4 3
0,16
0,08 2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 p
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòè îøèáîê (28) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ èçâåñòíîé ïðîöåäóðû [5] (êðèâàÿ 1) è àëãîðèòìà 1 ïðè ôèêñèðîâàííûõ Pïð. 2 – Pïð = = 0,01, 3 – 0,1, 4 – 0,2, 5 – 0,3.
( )m n 1 hˆi, j − hi, j = 1
∑∑ ( )Hïð =
i =1
j=1 0
hˆi, j − hi, j mn
≠1 ,
(27)
Hïð 0,32
1
( )m n 1 hi, j − hˆi, j = 1
∑∑ ( )i=1
H ËÒ =
j=1 0
hi, j − hˆi, j mn
≠1 .
(28)
Âûðàæåíèÿ (27) è (28) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îòíîøåíèå ÷èñëà îøèáîê (ñîîòâåòñòâåííî òèïà ïðîïóñê ïîìåõè è ëîæíàÿ òðåâîãà) ê îáùåìó êîëè÷åñòâó ýëåìåíòîâ èçîáðàæåíèÿ è õàðàêòåðèçóþò îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó îøèáîê.
Íà ðèñ. 3 è 4 ïðåäñòàâëåíû çàâèñèìîñòè îøèáîê ñîîòâåòñòâåííî (27) è (28) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ ñèíòåçèðîâàííîãî àëãîðèòìà 1 ïðè íåñêîëüêèõ çàäàííûõ óðîâíÿõ ÐËÒ è Ðïð, à òàêæå äëÿ èçâåñòíîé [5] ïðîöåäóðû îöåíèâàíèÿ óíèìîäàëüíûõ ÈÏ. Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî ñ ðîñòîì ð àëãîðèòì 1 ïîêàçûâàåò ñóùåñòâåííî ìåíüøèå îøèáêè Íïð (27) ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîöåäóðîé [5], îñîáåííî ñ ðîñòîì äîïóñòèìûõ óðîâíåé ÐËÒ. Ïðè÷åì ó ïðîöåäóðû [5] çàâèñèìîñòü Íïð ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé, à ó àëãîðèòìà 1 – ýêñòðåìàëüíîé (÷åðåç ìàêñèìóì â ðàéîíå ð ≈ 0,5). Èç ðèñ. 4 âèäíî, ÷òî ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì 1, â ñðàâíåíèè ñ èçâåñòíûì [5], îáëàäàåò ìåíüøèìè îøèáêàìè ÍËÒ (28) ïðè Ðïð = 0,01, 0,1, çàâèñèìîñòü êîòîðûõ îò ð èìååò ýêñòðåìàëüíûé õàðàêòåð äëÿ [5] è óáûâàþùèé äëÿ àëãîðèòìà 1. Ñ óâåëè÷å-
0,24
0,16 5
4 0,08
3 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 p
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòè îøèáîê (27) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ èçâåñòíîé ïðîöåäóðû [5] (êðèâàÿ 1) è àëãîðèòìà 2 ïðè ôèêñèðîâàííûõ ÐËÒ. 2 – PËÒ = 0,01, 3 – 0,1, 4 – 0,2, 5 – 0,3.
íèåì äîïóñòèìîãî óðîâíÿ Ðïð ÷àñòîòà ëîæíûõ òðåâîã ó ñèíòåçèðîâàííîãî àëãîðèòìà ðàñòåò è ïðè Ðïð = 0,3 âûøå, ÷åì ó [5] ïðàêòè÷åñêè âî âñåì äèàïàçîíå ð. Ñîïîñòàâëÿÿ ðèñ. 3 è 4, ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè çàäàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ (17) è (22) íà óðîâíÿõ ÐËÒ = Ðïð = 0,1 è 0,2 ñèíòåçèðîâàííûé àëãîðèòì 1 ÿâëÿåòñÿ áîëåå êà÷åñòâåííûì, ÷åì ïðîöåäóðà [5], ïðè ëþáîé èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð êàê ïî êðèòåðèþ (27), òàê è ïî (28).
18 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
Hëò 0,32
1
0,24
0,16 2
0,08 3
4
0
5
0,2
0,4 0,6
0,8 p
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòè îøèáîê (28) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ èçâåñòíîé ïðîöåäóðû [5] (êðèâàÿ 1) è àëãîðèòìà 2 ïðè ôèêñèðîâàííûõ Pïð. 2 – Pïð = 0,01, 3 – 0,1, 4 – 0,2, 5 – 0,3.
Íà ðèñ. 5 è 6 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè îøèáîê ñîîòâåòñòâåííî (27) è (28) îò èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ ð äëÿ àëãîðèòìà 2 ïðè íåñêîëüêèõ ôèêñèðîâàííûõ ÐËÒ è Ðïð è äëÿ èçâåñòíîé [5] ïðîöåäóðû îöåíèâàíèÿ ÈÏ. Èç ðèñ. 5 âèäíî, ÷òî â îáëàñòè âûñîêîé èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ (p > 0,5) àëãîðèòì 2 ïîêàçûâàåò ñóùåñòâåííî ìåíüøèå îøèáêè Hïð (27) ïî ñðàâíåíèþ ñ [5], ïðè÷åì òåïåðü îøèáêè ðàñòóò ñ óâåëè÷åíèåì äîïóñòèìûõ óðîâíåé ÐËÒ. Ìåæäó òåì ïðè íåâûñîêîé èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ è ôèêñèðîâàííûõ óðîâíÿõ ÐËÒ, ðàâíûõ 0,1, 0,2 è 0,3, àëãîðèòì 2 ïîêàçûâàåò íåñêîëüêî õóäøèå ðåçóëüòàòû ïî ñðàâíåíèþ ñ èçâåñòíîé ïðîöåäóðîé. Èç ðèñ. 6 âèäíî, ÷òî ñèíòåçèðîâàííûé àëãîðèòì 2, â ñðàâíåíèè ñ èçâåñòíûì [5], îáëàäàåò ñóùåñòâåííî ìåíüøèìè îøèáêàìè ÍËÒ (28). Ñ óâåëè÷åíèåì äîïóñòèìîãî óðîâíÿ Ðïð îøèáêè ÍËÒ ó ñèíòåçèðîâàííîãî àëãîðèòìà ñíèæàþòñÿ. Ñîïîñòàâëÿÿ ðèñ. 5 è 6 ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè çàäàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ (17) è (22) íà óðîâíå 0,01 ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì 2 ÿâëÿåòñÿ áîëåå êà÷åñòâåííûì, ÷åì ïðîöåäóðà [5], âî âñåì äèàïàçîíå êàê ïî êðèòåðèþ (27), òàê è ïî (28).
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé (ðèñ. 3–6) ñèíòåçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ áåëûõ ãàóññîâûõ ÈÏ íà öèôðîâûõ èçîáðàæå-
íèÿõ ãîâîðÿò î òîì, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ íåîïòèìàëüíûìè.
Çàêëþ÷åíèå
Ñèíòåçèðîâàííûå è ïðåäñòàâëåííûå îïòèìàëüíûå ïî êðèòåðèþ Íåéìàíà–Ïèðñîíà àëãîðèòìû ïîçâîëÿþò îñóùåñòâëÿòü áîëåå ýôôåêòèâíîå îöåíèâàíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ÈÏ ñ áåëûì ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè íà èçîáðàæåíèÿõ ïî ñðàâíåíèþ ñ íåîïòèìàëüíûìè èçâåñòíûìè ïðîöåäóðàìè.
Íîâèçíà ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäñòàâëåííûõ àëãîðèòìàõ îöåíèâàíèÿ ÈÏ íà èçîáðàæåíèÿõ, îòëè÷àþùèõñÿ îò èçâåñòíûõ òåì, ÷òî ïîðîãîâûå ïàðàìåòðû ðåøàþùåãî ïðàâèëà ñèíòåçèðîâàíû íà îñíîâå ñòîõàñòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ïîëåçíûõ ñèãíàëîâ èçîáðàæåíèé, âïèñûâàþùèõñÿ â îïðåäåëåííûå ïàðàìåòðû, à òàêæå ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ïîìåõ, ïîä÷èíÿþùèõñÿ ãàóññîâîìó ðàñïðåäåëåíèþ ÿðêîñòè.
Ðàññìîòðåííûå àëãîðèòìû ïîçâîëÿò ïîâûñèòü êà÷åñòâî íåïàðàìåòðè÷åñêèõ ïðîöåäóð âîññòàíîâëåíèÿ èñêàæåííûõ ÈÏ èçîáðàæåíèé, èñïîëüçóþùèõ ðåçóëüòàò ïðåäâàðèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî îöåíèâàíèÿ ïîìåõ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Ãîíñàëåñ Ð., Âóäñ Ð. Öèôðîâàÿ îáðàáîòêà èçîáðàæåíèé. Ì.: Òåõíîñôåðà, 2005. 1072 ñ.
12. Ñîéôåð Â.À., Ãàøíèêîâ Ì.Â., Ãëóìîâ Í.È. è äð. Ìåòîäû êîìïüþòåðíîé îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001. 784 ñ.
13. Ëåâèí Á.Ð. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ñòàòèñòè÷åñêîé ðàäèîòåõíèêè. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1989. 656 ñ.
14. Ñàìîéëèí Å.À. Ïðîñòðàíñòâåííî-èçáèðàòåëüíàÿ ôèëüòðàöèÿ èçîáðàæåíèé // Èçâ. âóçîâ. Ïðèáîðîñòðîåíèå. 2006. Ò. 49. ¹ 12. Ñ. 7–12.
15. Ñàìîéëèí Å.À. Àëãîðèòìû îöåíèâàíèÿ èìïóëüñíîãî øóìà â çàäà÷àõ öèôðîâîé ôèëüòðàöèè îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 2006. Ò. 73. ¹ 12. Ñ. 42–46.
16. Ñàìîéëèí Å.À. Àëãîðèòìû âîññòàíîâëåíèÿ öèôðîâûõ îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, èñêàæåííûõ èìïóëüñíûìè øóìàìè // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 2007. Ò. 74. ¹ 9. Ñ. 50–55.
17. Êèì Â., ßðîñëàâñêèé Ë.Ï. Ðàíãîâûå àëãîðèòìû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé // Àäàïòèâíûå ìåòîäû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé. Ñá. íàó÷í. òð. / Ïîä ðåä. Ñèôîðîâà Â.È., ßðîñëàâñêîãî Ë.Ï. Ì.: Íàóêà, 1988. Ñ. 35–73.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 2, 2009
19