Автоколебательная неустойчивость в лазерных системах с движением активной среды в пространственно-периодическом поле
УДК 621.373.826.038
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ЛАЗЕРНЫХ СИСТЕМАХ С ДВИЖЕНИЕМ АКТИВНОЙ СРЕДЫ В ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
© 2009 г. Л. С. Кузьминский; А. И. Одинцов, доктор физ.-мат. наук; Н. Э. Саркаров, доктор физ.-мат. наук; А. И. Федосеев, доктор физ.-мат. наук
МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва
E-mail: spekl@phys.msu.ru
На примере проточного лазера с оптической системой типа неустойчивый резонатормногопучковый усилитель показано, что при движении активной среды через пространственно-периодическое поле может происходить нарастание автоколебательных возмущений в потоке среды, приводящее к неустойчивости стационарной генерации. Данное явление объясняется интерференцией волн возмущений, образующихся в движущейся среде на краях пучков.
Ключевые слова:
Коды OCIS: 140.0140
Поступила в редакцию 04.12.2008
Введение
Лазеры с протоком газовой активной среды через резонатор представляют собой пример распределенных нелинейно-динамических систем с инерционной обратной связью, которые характеризуются сложным динамическим поведением [1–6]. В резонаторных системах типа генераторусилитель, которые обычно применяются в мощных проточных лазерах на молекулах СО2 и СО, существуют специфические механизмы автоколебательной неустойчивости, обусловленные переносом возмущений из усилительной кюветы в генератор [4, 7]. При этом структура лазерного поля в кювете, характеризующаяся, как правило, значительной неоднородностью, может сильно влиять на динамические свойства системы. В настоящей работе теоретически показано, что если распределение поля в многопроходном усилителе близко к периодическому, то при определенных условиях в потоке среды происходит нарастание возмущений и стационарная генерация становится неустойчивой.
Расчетная модель
Расчеты выполнены для оптической системы генератор-усилитель, состоящей из неустойчивого резонатора (НР) и расположенной выше по потоку активной среды многоходовой усилительной кюветы (рис. 1). Возбуждение среды (накач-
ка) производится во всех частях системы, включая промежуточную зону между генератором и усилителем. Излучение из генератора направляется в усилительную кювету и при многократных отражениях от поворотных зеркал образует в ней ряд эквидистантно расположенных пучков. Прошедшая через кювету активная среда попадает в НР и создает обратную связь между генератором
z
DD d1 d2
h1 D
h2 D
h3 M1
x1 x1
xNxN xN+1 xc
xa x
M2 M4 M3
Рис. 1. Оптическая схема лазерной системы генератор–многопроходный усилитель с протоком активной среды. M1, M2 – зеркала неустойчивого резонатора; M3, M4 – зеркала усилительной кюветы. Направление движения среды показано горизонтальными стрелками.
24 “Оптический журнал”, 76, 6, 2009
и усилителем. Часть резонатора, расположенная ниже оптической оси по потоку среды (x > xa), не оказывает влияния на динамику генерации и на рисунке не показана.
Используется одномерная модель системы, в которой принимается, что все величины зависят только от координаты x вдоль потока. Активная среда описывается простейшим кинетическим уравнением для коэффициента усиления с одной релаксационной константой. Поле в НР с цилиндрическими зеркалами рассчитывается в приближении геометрической оптики с помощью уравнения переноса. Предполагается, что диссипативные потери в резонаторе отсутствуют, а потери на расширение пучка θ =lnM/2L равномерно распределены по длине резонатора L (M – коэффициент увеличения на двойной проход). Распределение поля в усилителе рассчитывается в квазистационарном приближении с помощью уравнения Ламберта–Бера с учетом потерь на зеркалах. При этом пренебрегается световой задержкой пучков и их дифракционным уширением. Ширины и профили всех пучков принимаются одинаковыми. Исходные уравнения для нормированных величин коэффициента усиления активной среды G(x, t) в рассматриваемой системе и интенсивности поля W(x, t) в НР имеют вид
¶G ¶t
+
¶G ¶x
=
-(W
+
γ
)
G
+
q,
(1)
τc
¶W ¶t
+(x
-
xa
)¶¶Wx
=
(G
-1)
W.
(2)
Здесь G = α/θ (α – коэффициент усиления среды), W = σIτf (I – интенсивность поля по числу квантов, σ – сечение оптического перехода, τf = = h3/u – время пролета среды от входа в НР до оптической оси резонатора, h3 – апертура резонатора, u – скорость потока); γ – нормированная на τf–1 константа релаксации инверсии среды, q = σSτf/θ – нормированная накачка (S – скорость накачки); τc = 2L/(cτf lnM) – нормированное время затухания поля в НР. Переменные
t и x нормированы на τf и h3, xa соответствует оптической оси резонатора. Стационарные
решения системы (1)–(2) дают распределения
Gs(x) и Ws(x) внутри НР в непрерывном режиме генерации.
Исследование устойчивости стационарной
генерации и определение частот и инкрементов
автоколебаний проводится путем стандартной
процедуры расчета мод малых возмущений [6].
Подстановка в (1), (2)
G(x,t) = Gs(x) + g(x,t),
W(x,t) = Ws(x)[1+ w(x,t)]
(3)
дает систему линеаризованных уравнений для малых возмущений g~(x, t), w~ (x, t). Полагая в этих уравнениях g~(x, t) = g–(x) exp(Γ–t), w~ (x, t) = = w–(x)exp(–Γt), получаем уравнения для комплексных амплитуд мод возмущений g–(x) и w–(x)
dg dx
=
-(Γ
+
Ws
+
γ
)g
-
Psw,
(4)
(xa - x)ddwx = Γτcw - g.
(5)
Здесь Γ– = Γ + iΩ – комплексный инкремент моды
(чертой сверху обозначаены комплексные вели-
чины), Ps =GsWs – удельная мощность стационарной генерации. В отличие от уравнения (4),
которое справедливо во всей рассматриваемой
системе, уравнение (5) описывает возмущение
поля только в генераторе (xc ≤ x ≤ xa) . При типичных параметрах проточных лазеров
величина τc имеет порядок 10–4–10–5 и |Γ–| τc
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ЛАЗЕРНЫХ СИСТЕМАХ С ДВИЖЕНИЕМ АКТИВНОЙ СРЕДЫ В ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
© 2009 г. Л. С. Кузьминский; А. И. Одинцов, доктор физ.-мат. наук; Н. Э. Саркаров, доктор физ.-мат. наук; А. И. Федосеев, доктор физ.-мат. наук
МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва
E-mail: spekl@phys.msu.ru
На примере проточного лазера с оптической системой типа неустойчивый резонатормногопучковый усилитель показано, что при движении активной среды через пространственно-периодическое поле может происходить нарастание автоколебательных возмущений в потоке среды, приводящее к неустойчивости стационарной генерации. Данное явление объясняется интерференцией волн возмущений, образующихся в движущейся среде на краях пучков.
Ключевые слова:
Коды OCIS: 140.0140
Поступила в редакцию 04.12.2008
Введение
Лазеры с протоком газовой активной среды через резонатор представляют собой пример распределенных нелинейно-динамических систем с инерционной обратной связью, которые характеризуются сложным динамическим поведением [1–6]. В резонаторных системах типа генераторусилитель, которые обычно применяются в мощных проточных лазерах на молекулах СО2 и СО, существуют специфические механизмы автоколебательной неустойчивости, обусловленные переносом возмущений из усилительной кюветы в генератор [4, 7]. При этом структура лазерного поля в кювете, характеризующаяся, как правило, значительной неоднородностью, может сильно влиять на динамические свойства системы. В настоящей работе теоретически показано, что если распределение поля в многопроходном усилителе близко к периодическому, то при определенных условиях в потоке среды происходит нарастание возмущений и стационарная генерация становится неустойчивой.
Расчетная модель
Расчеты выполнены для оптической системы генератор-усилитель, состоящей из неустойчивого резонатора (НР) и расположенной выше по потоку активной среды многоходовой усилительной кюветы (рис. 1). Возбуждение среды (накач-
ка) производится во всех частях системы, включая промежуточную зону между генератором и усилителем. Излучение из генератора направляется в усилительную кювету и при многократных отражениях от поворотных зеркал образует в ней ряд эквидистантно расположенных пучков. Прошедшая через кювету активная среда попадает в НР и создает обратную связь между генератором
z
DD d1 d2
h1 D
h2 D
h3 M1
x1 x1
xNxN xN+1 xc
xa x
M2 M4 M3
Рис. 1. Оптическая схема лазерной системы генератор–многопроходный усилитель с протоком активной среды. M1, M2 – зеркала неустойчивого резонатора; M3, M4 – зеркала усилительной кюветы. Направление движения среды показано горизонтальными стрелками.
24 “Оптический журнал”, 76, 6, 2009
и усилителем. Часть резонатора, расположенная ниже оптической оси по потоку среды (x > xa), не оказывает влияния на динамику генерации и на рисунке не показана.
Используется одномерная модель системы, в которой принимается, что все величины зависят только от координаты x вдоль потока. Активная среда описывается простейшим кинетическим уравнением для коэффициента усиления с одной релаксационной константой. Поле в НР с цилиндрическими зеркалами рассчитывается в приближении геометрической оптики с помощью уравнения переноса. Предполагается, что диссипативные потери в резонаторе отсутствуют, а потери на расширение пучка θ =lnM/2L равномерно распределены по длине резонатора L (M – коэффициент увеличения на двойной проход). Распределение поля в усилителе рассчитывается в квазистационарном приближении с помощью уравнения Ламберта–Бера с учетом потерь на зеркалах. При этом пренебрегается световой задержкой пучков и их дифракционным уширением. Ширины и профили всех пучков принимаются одинаковыми. Исходные уравнения для нормированных величин коэффициента усиления активной среды G(x, t) в рассматриваемой системе и интенсивности поля W(x, t) в НР имеют вид
¶G ¶t
+
¶G ¶x
=
-(W
+
γ
)
G
+
q,
(1)
τc
¶W ¶t
+(x
-
xa
)¶¶Wx
=
(G
-1)
W.
(2)
Здесь G = α/θ (α – коэффициент усиления среды), W = σIτf (I – интенсивность поля по числу квантов, σ – сечение оптического перехода, τf = = h3/u – время пролета среды от входа в НР до оптической оси резонатора, h3 – апертура резонатора, u – скорость потока); γ – нормированная на τf–1 константа релаксации инверсии среды, q = σSτf/θ – нормированная накачка (S – скорость накачки); τc = 2L/(cτf lnM) – нормированное время затухания поля в НР. Переменные
t и x нормированы на τf и h3, xa соответствует оптической оси резонатора. Стационарные
решения системы (1)–(2) дают распределения
Gs(x) и Ws(x) внутри НР в непрерывном режиме генерации.
Исследование устойчивости стационарной
генерации и определение частот и инкрементов
автоколебаний проводится путем стандартной
процедуры расчета мод малых возмущений [6].
Подстановка в (1), (2)
G(x,t) = Gs(x) + g(x,t),
W(x,t) = Ws(x)[1+ w(x,t)]
(3)
дает систему линеаризованных уравнений для малых возмущений g~(x, t), w~ (x, t). Полагая в этих уравнениях g~(x, t) = g–(x) exp(Γ–t), w~ (x, t) = = w–(x)exp(–Γt), получаем уравнения для комплексных амплитуд мод возмущений g–(x) и w–(x)
dg dx
=
-(Γ
+
Ws
+
γ
)g
-
Psw,
(4)
(xa - x)ddwx = Γτcw - g.
(5)
Здесь Γ– = Γ + iΩ – комплексный инкремент моды
(чертой сверху обозначаены комплексные вели-
чины), Ps =GsWs – удельная мощность стационарной генерации. В отличие от уравнения (4),
которое справедливо во всей рассматриваемой
системе, уравнение (5) описывает возмущение
поля только в генераторе (xc ≤ x ≤ xa) . При типичных параметрах проточных лазеров
величина τc имеет порядок 10–4–10–5 и |Γ–| τc