Нелинейная обработка дифракционных и интерференционных картин
УДК 535.4
НЕЛИНЕЙНАЯ ОБРАБОТКА ДИФРАКЦИОННЫХ И ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ КАРТИН
© 2009 г. Н. Г. Власов, доктор техн. наук; С. М. Кулиш Московский государственный технический университет “Станкин”, Москва
Кратко излагается предложенный ранее алгоритм нелинейной обработки интерферограмм, позволяющий повысить их чувствительность вплоть до предельной. Показана возможность адаптации этого алгоритма для увеличения чувствительности метода фазового контраста и для обработки дифракционных картин. Такая обработка позволяет с повышенной точностью определять размеры микрообъекта, при освещении которого и была получена дифракционная картина.
Ключевые слова: интерференция, дифракция, нелинейная обработка, метод фазового контраста.
Коды OCIS: 100.2000, 190.1900
Поступила в редакцию 13.01.2009
Определение размеров микрообъекта по его
дифракционной картине в дальней зоне Фра-
унгофера характерно тем, что по функции про-
странственного распределения интенсивности в
этой картине необходимо сначала найти ее аргумент x = αξ, где ξ – пространственная координата. Затем находится коэффициент α, в который входит искомый размер h микрообъекта.Так, например, для кругового микроотверстия α = (πR)/(λL) , где R – диаметр кругового микроотверстия, L – расстояние от освещенного объекта до плоскости регистрации интенсивно-
сти, λ – длина волны излучения. Для цифровой обработки результатов экс-
перимента регистрацию пространственного рас-
пределения интенсивности удобно производить
на ПЗС матрицу, выполняющую в данном слу-
чае функцию регистрирующей среды. В нашем
случае, как и в голографии, размеры регистри-
рующей среды играют роль апертуры в обычной
оптической системе. Обозначим Δh как ошибку в определении
размеров микрообъекта, а ΔI(x) как соответствующее приращение интенсивности, которое
может разрешить приемник (традиционно чаще
всего раньше это был глаз человека). Тогда производная I′(x) ≈ ΔI(x)/Δh связывает ошибку Δh в определении размеров микрообъекта и приращение интенсивности ΔI(x), которое может разрешить приемник. Хотя глаз человека и может
разрешить небольшие относительные различия
интенсивности (градации яркости около 5–10%),
тем не менее трудно использовать эту способность
при непрерывном изменении яркости соседних
участков для количественного анализа дифрак-
ционной картины. Поэтому при наблюдении
глазами обычно приходится ограничиваться
фиксацией положения минимумов, и при этом
для нетренированного глаза приходится считать, что по порядку величины ΔI ≈ Iñðåäí.
Дополнительные трудности возникают в
связи с ограниченностью апертуры, когда невоз-
можно наблюдать минимумы дифракционной
картины визуально. Иногда в связи с ограни-
ченностью апертуры, например размеров ПЗС
матрицы, регистрируется только центральная
часть дифракционной картины вблизи нулевого значения аргумента. Тогда ошибка Δh в определении размеров микрообъекта велика, так как Δh ≈ {1/[I′(x)]}ΔI(x), а для микрообъектов простой формы, таких как щель, нить, прямоуголь-
ник, производная вблизи нулевого значения
аргумента близка к нулю.
Числовая запись интенсивности дифракцион-
ной картины на каждом пикселе ПЗС матрицы
несет значительное количество дополнительной
информации, и возникает проблема максимально
возможного использования этой информации для увеличения точности разрешения Δh. При фиксации каждым пикселом ПЗС матрицы отношение ΔI/Imax может иметь значение порядка 1/N, где N – число градаций разрешения яркости каждого пиксела изображения, запи-
санного в графическом файле. В приведенном ниже эксперименте N = 256. Поэтому остается, по крайней мере, принципиальная возможность
“Оптический журнал”, 76, 7, 2009
21
значительно уменьшить погрешность определения Δh ≈ {1/ [I′(x)]}ΔI(x). Реализация этой возможности и соответствующее значительно более детализированное визуальное представление по сравнению с исходной дифракционной картиной излагается ниже.
В настоящей работе предлагается такое нелинейное преобразование функции I(x), при котором в преобразованной функции появляются дополнительные минимумы, по которым и определяется искомый размер микрообъекта. Прототипом является предложенный в работе [1] нелинейный алгоритм обработки интерферограмм, позволяющий поднять чувствительность измерений вплоть до пороговой. Следует напомнить, что порогом чувствительности называется наименьшее значение измеряемой величины, вызывающее заметное изменение показания прибора [2]. Этот алгоритм заключается в следующем.
Введем в компьютер три распределения интенсивности: I(x, y), I1(x, y), I2(x, y), где I(x, y) соответствует интерферограмме, полученной при настройке интерферометра на полосу бесконечной ширины, I1(x, y) и I2(x, y) – интенсивности интерферирующих волновых полей по отдельности. Для каждой точки (пиксела) плоскости (x, y) вычислим
cosϕ(x,y) =[I(x,y) − I1(x,y) − −I2(x,y)]/ ⎢⎣⎡2 I1(x,y) I2(x,y)⎥⎤⎦,
(1)
где I(x, y), как обычно, равно
I(x,y) = I1(x,y) + I2(x,y) + +2 I1(x,y) I2(x,y) cosϕ(x,y).
(2)
Возводя выражение (1) в квадрат и умножая на два, получим в соответствии с формулами тригонометрии
2cos2ϕ(x,y) =1+ cos2ϕ(x,y).
(3)
Вычитая единицу из выражения (3), возведем полученную разность в квадрат и, умножая на два, можно получить на дисплее распределение интенсивности, соответствующее cos4ϕ(x,y).
Ниже приводится пример нелинейной цифровой обработки интерферограммы.
В оптико-цифровом эксперименте в компьютер вводилась напечатанная на фотобумаге центральная часть интерферограммы тепловой деформации экрана кинескопа цветного телевизора, остывавшего после штамповки. Эта интерферограмма была получена еще в 1970 г. [2].
Для данного конкретного эксперимента без
существенной потери точности можно пренебречь зависимостью интенсивностей от координат (x, y) в пределах их изменения хотя бы на одном – двух
периодах, тогда алгоритм пересчета интенсивно-
сти пикселов интерферограммы удобно начать с
нахождения их минимального значения на этих
интервалах. Учитывая, что I1 = I2 = I0, найдем 2I0 =
= 0,5Imax. После этого с помощью компьютерной обработки можно построить изображение интер-
ферограммы с распределением интенсивности
по закону
I(x,y) = 2I0 (1+ cosmϕ),
(4)
где m = 2n, n – число пошаговой обработки, со-
впадающее с введенной нелинейностью по ин-
тенсивности.
На рис. 1 приведено экспериментально полу-
ченное изображение (слева вверху), а следующие
пять – после компьютерной обработки первого
при соответствующих значениях (n = 0, m = 1),
(n = 1, m = 2), (n = 2, m = 4), (n = 3, m = 8), (n = 4,
m = 16) , (n = 5, m = 32).
Следует отметить, что функции синус и ко-
синус удобны тем, что, воздействуя определен-
ным образом на эти функции, можно линейно
изменять их аргументы, а это и позволяет по-
Рис. 1. Экспериментальная интерферограмма (слева вверху) и полученные на ее основе интерферограммы после цифровой обработки.
22 “Оптический журнал”, 76, 7, 2009
высить чувствительность интерференционных измерений.
Метод фазового контраста был предложен Цернике для визуализации “слабых” фазовых объектов. Напомним, что под фазовыми понимают объекты, отражающие или пропускающие падающее излучение без поглощения. Функция комплексного пропускания (отражения) в этом случае имеет вид α exp[iϕ(x, y)], где α – амплитуда падающего излучения, ϕ(x, y) – пространственное распределение фазы непосредственно вблизи освещенного объекта.
Термин “слабые” означает, что ϕ(x, y)
НЕЛИНЕЙНАЯ ОБРАБОТКА ДИФРАКЦИОННЫХ И ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ КАРТИН
© 2009 г. Н. Г. Власов, доктор техн. наук; С. М. Кулиш Московский государственный технический университет “Станкин”, Москва
Кратко излагается предложенный ранее алгоритм нелинейной обработки интерферограмм, позволяющий повысить их чувствительность вплоть до предельной. Показана возможность адаптации этого алгоритма для увеличения чувствительности метода фазового контраста и для обработки дифракционных картин. Такая обработка позволяет с повышенной точностью определять размеры микрообъекта, при освещении которого и была получена дифракционная картина.
Ключевые слова: интерференция, дифракция, нелинейная обработка, метод фазового контраста.
Коды OCIS: 100.2000, 190.1900
Поступила в редакцию 13.01.2009
Определение размеров микрообъекта по его
дифракционной картине в дальней зоне Фра-
унгофера характерно тем, что по функции про-
странственного распределения интенсивности в
этой картине необходимо сначала найти ее аргумент x = αξ, где ξ – пространственная координата. Затем находится коэффициент α, в который входит искомый размер h микрообъекта.Так, например, для кругового микроотверстия α = (πR)/(λL) , где R – диаметр кругового микроотверстия, L – расстояние от освещенного объекта до плоскости регистрации интенсивно-
сти, λ – длина волны излучения. Для цифровой обработки результатов экс-
перимента регистрацию пространственного рас-
пределения интенсивности удобно производить
на ПЗС матрицу, выполняющую в данном слу-
чае функцию регистрирующей среды. В нашем
случае, как и в голографии, размеры регистри-
рующей среды играют роль апертуры в обычной
оптической системе. Обозначим Δh как ошибку в определении
размеров микрообъекта, а ΔI(x) как соответствующее приращение интенсивности, которое
может разрешить приемник (традиционно чаще
всего раньше это был глаз человека). Тогда производная I′(x) ≈ ΔI(x)/Δh связывает ошибку Δh в определении размеров микрообъекта и приращение интенсивности ΔI(x), которое может разрешить приемник. Хотя глаз человека и может
разрешить небольшие относительные различия
интенсивности (градации яркости около 5–10%),
тем не менее трудно использовать эту способность
при непрерывном изменении яркости соседних
участков для количественного анализа дифрак-
ционной картины. Поэтому при наблюдении
глазами обычно приходится ограничиваться
фиксацией положения минимумов, и при этом
для нетренированного глаза приходится считать, что по порядку величины ΔI ≈ Iñðåäí.
Дополнительные трудности возникают в
связи с ограниченностью апертуры, когда невоз-
можно наблюдать минимумы дифракционной
картины визуально. Иногда в связи с ограни-
ченностью апертуры, например размеров ПЗС
матрицы, регистрируется только центральная
часть дифракционной картины вблизи нулевого значения аргумента. Тогда ошибка Δh в определении размеров микрообъекта велика, так как Δh ≈ {1/[I′(x)]}ΔI(x), а для микрообъектов простой формы, таких как щель, нить, прямоуголь-
ник, производная вблизи нулевого значения
аргумента близка к нулю.
Числовая запись интенсивности дифракцион-
ной картины на каждом пикселе ПЗС матрицы
несет значительное количество дополнительной
информации, и возникает проблема максимально
возможного использования этой информации для увеличения точности разрешения Δh. При фиксации каждым пикселом ПЗС матрицы отношение ΔI/Imax может иметь значение порядка 1/N, где N – число градаций разрешения яркости каждого пиксела изображения, запи-
санного в графическом файле. В приведенном ниже эксперименте N = 256. Поэтому остается, по крайней мере, принципиальная возможность
“Оптический журнал”, 76, 7, 2009
21
значительно уменьшить погрешность определения Δh ≈ {1/ [I′(x)]}ΔI(x). Реализация этой возможности и соответствующее значительно более детализированное визуальное представление по сравнению с исходной дифракционной картиной излагается ниже.
В настоящей работе предлагается такое нелинейное преобразование функции I(x), при котором в преобразованной функции появляются дополнительные минимумы, по которым и определяется искомый размер микрообъекта. Прототипом является предложенный в работе [1] нелинейный алгоритм обработки интерферограмм, позволяющий поднять чувствительность измерений вплоть до пороговой. Следует напомнить, что порогом чувствительности называется наименьшее значение измеряемой величины, вызывающее заметное изменение показания прибора [2]. Этот алгоритм заключается в следующем.
Введем в компьютер три распределения интенсивности: I(x, y), I1(x, y), I2(x, y), где I(x, y) соответствует интерферограмме, полученной при настройке интерферометра на полосу бесконечной ширины, I1(x, y) и I2(x, y) – интенсивности интерферирующих волновых полей по отдельности. Для каждой точки (пиксела) плоскости (x, y) вычислим
cosϕ(x,y) =[I(x,y) − I1(x,y) − −I2(x,y)]/ ⎢⎣⎡2 I1(x,y) I2(x,y)⎥⎤⎦,
(1)
где I(x, y), как обычно, равно
I(x,y) = I1(x,y) + I2(x,y) + +2 I1(x,y) I2(x,y) cosϕ(x,y).
(2)
Возводя выражение (1) в квадрат и умножая на два, получим в соответствии с формулами тригонометрии
2cos2ϕ(x,y) =1+ cos2ϕ(x,y).
(3)
Вычитая единицу из выражения (3), возведем полученную разность в квадрат и, умножая на два, можно получить на дисплее распределение интенсивности, соответствующее cos4ϕ(x,y).
Ниже приводится пример нелинейной цифровой обработки интерферограммы.
В оптико-цифровом эксперименте в компьютер вводилась напечатанная на фотобумаге центральная часть интерферограммы тепловой деформации экрана кинескопа цветного телевизора, остывавшего после штамповки. Эта интерферограмма была получена еще в 1970 г. [2].
Для данного конкретного эксперимента без
существенной потери точности можно пренебречь зависимостью интенсивностей от координат (x, y) в пределах их изменения хотя бы на одном – двух
периодах, тогда алгоритм пересчета интенсивно-
сти пикселов интерферограммы удобно начать с
нахождения их минимального значения на этих
интервалах. Учитывая, что I1 = I2 = I0, найдем 2I0 =
= 0,5Imax. После этого с помощью компьютерной обработки можно построить изображение интер-
ферограммы с распределением интенсивности
по закону
I(x,y) = 2I0 (1+ cosmϕ),
(4)
где m = 2n, n – число пошаговой обработки, со-
впадающее с введенной нелинейностью по ин-
тенсивности.
На рис. 1 приведено экспериментально полу-
ченное изображение (слева вверху), а следующие
пять – после компьютерной обработки первого
при соответствующих значениях (n = 0, m = 1),
(n = 1, m = 2), (n = 2, m = 4), (n = 3, m = 8), (n = 4,
m = 16) , (n = 5, m = 32).
Следует отметить, что функции синус и ко-
синус удобны тем, что, воздействуя определен-
ным образом на эти функции, можно линейно
изменять их аргументы, а это и позволяет по-
Рис. 1. Экспериментальная интерферограмма (слева вверху) и полученные на ее основе интерферограммы после цифровой обработки.
22 “Оптический журнал”, 76, 7, 2009
высить чувствительность интерференционных измерений.
Метод фазового контраста был предложен Цернике для визуализации “слабых” фазовых объектов. Напомним, что под фазовыми понимают объекты, отражающие или пропускающие падающее излучение без поглощения. Функция комплексного пропускания (отражения) в этом случае имеет вид α exp[iϕ(x, y)], где α – амплитуда падающего излучения, ϕ(x, y) – пространственное распределение фазы непосредственно вблизи освещенного объекта.
Термин “слабые” означает, что ϕ(x, y)