Расчет преломляющих оптических элементов для формирования диаграмм направленности в виде прямоугольника
РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 535.318
РАСЧЕТ ПРЕЛОМЛЯЮЩИХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ДИАГРАММ НАПРАВЛЕННОСТИ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
© 2009 г. Л. Л. Досколович, доктор физ.-мат. наук; М. А. Моисеев
Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева, Самара
E-mail: mikhail@smr.ru
Предложена конструкция преломляющего оптического элемента для формирования прямоугольной диаграммы направленности при компактном источнике излучения. Расчет поверхностей оптического элемента сведен к решению тривиальных задач с цилиндрической симметрией. Приведены результаты численного моделирования рассчитанных элементов. Среднеквадратичная ошибка формирования равномерных прямоугольных распределений интенсивности составляет менее 10% при угловых размерах диаграмм направленности (120°–180°)×(10°–40°).
Ключевые слова: преломляющий яяяический элемент, полное внутреннее отражение, диаграмма няаправленности.
Коды OCIS: 080.1753, 080.2740, 080.4298
Поступила в редакцию 17.02.2009
Введение
Формирование заданных диаграмм направленности (ДН) является актуальным для задач лазерной оптики, радиофизики и светотехники. Задача расчета оптического элемента для формирования заданной ДН состоит в определении формы отражающих (или преломляющих) поверхностей элемента из условия, что отраженные (или преломленные) лучи имеют заданные направления. Решение данной задачи сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения в частных производных типа Монже–Ампера [1–3]. В общем трехмерном случае решение данного уравнения является крайне сложным. Аналитическое решение возможно только в частных случаях с радиальной или продольной симметрией.
Для формирования однопараметрических ДН разработан ряд методов. В работах [4–6] приведено общее решение задачи расчета зеркала для формирования ДН в виде линии при точечном источнике излучения. Большое практическое значение имеет задача формирования ДН в виде отрезка, она является эталонной при формировании сложных ДН, состоящих из набора от-
резков [7, 8]. Расчет преломляющих оптических элементов для формирования ДН в виде линии в указанных работах не рассматривался. При расчете несимметричных оптических поверхностей для формирования двумерных ДН (например, в виде прямоугольника) используются сложные итерационные процедуры, требующие больших вычислительных затрат [9–14]. Рассмотренные в работах [9–14] преломляющие оптические элементы неприменимы для источников, излучающих в большом телесном угле. Это связано с ограниченными возможностями рефракционной поверхности при повороте лучей на большие углы.
В данной статье предложена конструкция преломляющего оптического элемента для формирования ДН в виде отрезка и вытянутого прямоугольника. Предлагаемые элементы рассчитаны на работу с компактным источником света (типа светодиода), излучающим в половину полного телесного угла. Расчет оптического элемента сводится к решению тривиальных задач с цилиндрической симметрией. В элементе используются преломляющие поверхности, работающие по принципу полного внутреннего отражения. Это позволяет достичь высокой световой эффек-
70 “Оптический журнал”, 76, 7, 2009
тивности при формировании вытянутой ДН с большим угловым размером. Преломляющие поверхности, работающие на полном внутреннем отражении, широко используются в радиальносимметричных коллиматорах светодиодов. Предложенная конструкция демонстрирует возможность использования данного подхода при формировании прямоугольных ДН.
1. Постановка задачи, конструкция элемента
Под ДН в виде прямоугольника понимается ДН, заданная единичной вектор-функцией двух аргументов в виде
p(β,μ) = (sinβ,cosβsinμ,cosβcosμ), β ∈[−βmax,βmax ], μ ∈[−μmax,μmax ],
(1)
где параметры βmax, μmax определяют размеры ДН. Функция (1) определяет направления лу-
чей от оптического элемента через углы (β,μ),
где β – угол между вектором луча и плоскостью Oyz , а μ – угол между его проекцией на плоскость Oyz и оптической осью (осью Oz). При этом на ДН должно быть сформировано заданное
распределение интенсивности I(β,μ). Частным
случаем ДН является ДН в виде отрезка
p(β,μ) = (0, sinμ,cosμ), μ ∈[−μmax,μmax ]. (2)
Для формирования ДН (1) и (2) предлагается
использовать конструкцию оптического элемен-
та, изображенную на рис. 1. Точечный (компакт-
ный) источник света находится в начале координат и излучает в полусферу z > 0.
Для пояснения принципа работы оптического
элемента первоначально рассмотрим более про-
стую задачу формирования ДН в виде отрезка
(2). Оптический элемент ограничен тремя по-
верхностями. Внутренняя и боковая поверхности
элемента являются поверхностями вращения.
Они получены вращением профиля на рис. 2 вокруг оси Ox и предназначены для формирования цилиндрического волнового фронта с осью Ox.
Внешняя поверхность является цилиндриче-
ской с образующим профилем, расположенным в плоскости Oyz. Внешняя поверхность предназначена для преобразования падающего цилин-
дрического пучка в пучок с заданной интенсив-
ностью Iμ (μ) по углу μ.
Коллимирующий профиль на рис. 2 состоит из
трех частей: центральной (a), средней (b) и боко-
вой (c). Центральная часть коллимирует лучи от
источника. Средняя часть формирует смещенный
мнимый источник, уменьшая угловой размер
пучка, падающего на боковую поверхность эле-
мента. Боковая поверхность работает по принци-
пу полного внутреннего отражения и формирует
коллимированный пучок, распространяющийся
вдоль оси Oz.
Приведенная конструкция оптического эле-
мента является эффективной только при форми-
ровании ДН в виде отрезка с большим угловым размером μmax. Это связано с ростом френелевских потерь и явлением полного внутреннего отра-
жения, возникающих при использовании внешней
преломляющей поверхности для поворота лучей
на большой угол [9]. При размере ДН μmax максимальный угол поворота лучей, осуществляемый
внешней цилиндрической поверхностью, составляет (π/2) − μmax. Согласно результатам расчета в разделе 4, при показателе преломления материала n = 1,5 и максимальном угле μmax > 40° френелевские потери составляют менее 12 %.
lz
z
y O
x lх l y
Рис. 1. Общий вид оптического элемента. “Оптический журнал”, 76, 7, 2009
n1 z
c n2
a b n1 n1 β
γ O
b
c x
Рис. 2. Схема сечения оптического элемента плоскостью Oxz.
71
Формирование ДН в виде прямоугольника
основано на использовании в качестве профиля
на рис. 2 профиля для формирования одномерной
ДН с угловым размером [−βmax,βmax ] и распределением интенсивности Iβ (β). В этом случае будем считать, что функция I(β,μ) является
функцией с разделяемыми переменными (важ-
ный частный случай – равномерное распределе-
ние интенсивности)
I(β, μ) = Iβ (β)Iμ (μ).
(3)
Несмотря на то что рассмотренный подход к формированию прямоугольной ДН является приближенным, результаты численного моделирования, приведенные в разделе 4, демонстрируют его высокую работоспособность при βmax < 20°.
Таким образом, расчет оптического элемента сводится к расчету двух образующих профилей, которые полностью определяют форму всех преломляющих поверхностей.
Следует отметить, что идея использования поверхности, работающей по принципу полного внутреннего отражения, применяется в коллиматорах компании Philips Lumileds Lighting. Однако в них используются радиально-симметричные поверхности, полученные вращением профиля на рис. 2 вокруг оси Oz.
2. Расчет оптического элемента, формирующего диаграмму
направленности в виде отрезка
Для формирования ДН в виде отрезка с интен-
сивностью I(μ) необходимо рассчитать коллими-
рующий профиль на рис. 2 и цилиндрический внешний профиль.
Центральная часть а внутреннего профиля на рис. 2 является поверхностью коллимирующей линзы. Фокус линзы совпадает с источником излучения. Уравнение для длины радиус-вектора центральной части a несложно получить из принципа Ферма в виде
ra
(β)
=
r0a
1−1/n cos(β) −1/n
,
(4)
где r0a – расстояние от источника до центра линзы, n = n2/n1 – относительный показатель преломления.
Средняя часть b должна создавать мнимый
источник излучения. При расчете части b также
используется принцип Ферма, согласно которому
значение функции эйконала должно быть посто-
янным на любой окружности с центром в мнимом фокусе. Данное условие имеет вид
rb (β) −n ls2 + rb2(β) + 2lsrb (β)sin(β) = Ψ0, (5)
где rb (β)– длина радиус-вектора средней части b
профиля (рис. 2), ls – расстояние от источника до мнимого фокуса. Константа Ψ0 в выражении (5) выбирается из условия совпадения частей про-
филя а, b в точке стыковки. Согласно условию
(5) расчет rb(β) сводится к решению квадратного
уравнения.
Боковая часть с внутреннего профиля явля-
ется параболой, фокус которой совпадает с мни-
мым источником. Длина радиус-вектора точки
параболы относительно точки мнимого фокуса
определяется как
rc
(γ
)
=
2r0c 1 − sin
γ
,
где r0c – расстояние от мнимого фокуса до нижнего края бокового профиля, γ – угол между век-
тором, проведенным от мнимого фокуса к точке поверхности, и осью Ox.
Внешняя поверхность оптического элемента
предназначена для перераспределения потока излучения по углу μ. Расчет преломляющих поверхностей рассмотрен в работе [15]. Дифферен-
циальное уравнение для длины радиус-вектора на-
правляющей внешнего профиля имеет вид [15]
dr (μ0
dμ0
)
=
−r
(μ0
)
n
sin ⎡⎣μ0 + − cos ⎡⎣μ0
μ(μ0 )⎤⎦ + μ(μ0
)⎤⎦
,
(7)
где μ0 – угловая координата падающего луча,
μ – угол в плоскости
ДН Oyz
(2). Угол от оси Oz
.μ0Фуонтксчциитяыμва=еμт(сμя0
в
)
в уравнении (7) определяется из условия фор-
мирования заданного распределения интенсив-
ности I(μ) на ДН. Для определения μ = μ(μ0 )
используется закон сохранения светового по-
тока. По построению элемента световой поток,
излученный источником в телесный угол между
плоскост переходит
я в
мсвиетоzв=ойctпgо(тμо0к)yΔ, Φz==Ic(tμg((μμ00))+ΔΔμμ(μ00)y),,
Δμ(μ0 )= μ(μ0 + Δμ0 )− μ(μ0 ) на ДН. Введем β0 –
угол между вектором падающего луча и плоско-
стью Oyz . Элемент телесного угла в координатах
(μ0,β0 ) определяется выражением
dΩ = cos(β0 )dβ0dμ0.
(8)
Соответственно дифференциальная форма закона сохранения светового потока имеет вид
72 “Оптический журнал”, 76, 7, 2009
∫⎜⎝⎜⎛⎜⎜⎜⎜−ππ//22 I0 (β0, μ0 )cos(β0 )dβ0 ⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎞⎟⎟dμ0 = I(μ)dμ,
(9)
где I0 (β0,μ0 )– интенсивность источника излучения. Согласно уравнению (9) функция μ(μ0 )
в выражении (7) определяется из решения сле-
дующего дифференциального уравнения:
∫dμ(μ0 dμ0
)
=
I
1
⎡⎣μ(μ0
)⎦⎤
π/2
I0
−π/2
(β0,μ0
)cos(β0
)dβ0,
μ(±π/2)= ±μmax.
(10)
В случае ламбертовского источника излучения
с⎡⎣Iи0в(нβо0с,μт0и)I⎦⎤ ~(μ⎡⎣c)o=s(Iμ,0μ)c∈o[s−(βμ0m)a⎦⎤ x
и постоянной интен-
, μmax ] из уравнения
(10) получим
μ(μ0 )= μmaxsin(μ0 )/sin(μmax ).
(11)
Таким образом, для ламбертовского источника расчет внешнего профиля сводится к интегрированию дифференциального уравнения (7), разрешенного относительно производной. Для решения данного уравнения достаточно использовать стандартный численный метод Рунге–Кутта.
3. Расчет оптического элемента, формирующего диаграмму
направленности в виде прямоугольника
Для формирования ДН в виде прямоугольника необходимо рассчитать профиль на рис. 2 из условия формирования одномерной ДН с
интенсивностью Iβ (β), β ∈[−βmax, βmax ]. Расчет
центральной части a нижнего профиля сводится к решению дифференциального уравнения для радиус-вектора этой поверхности [15]
dra (β0
dβ0
)
=
−ra
(β)
sin ⎣⎡β0 1/n − cos
+ βa (β0 )⎤⎦ ⎡⎣β0 + βa (β0
)⎤⎦
,
(12)
где β0 и βa (β0 ) – угловые координаты падающе-
го от источника луча и преломленного луча.
Часть b профиля определяется уравнением
(5). Часть c профиля рассчитывается аналогично
центральной части из решения следующего диф-
ференциального уравнения [16]:
drc (γ dγ
)
=
rc
(γ
)ctg
π/2
−
γ− 2
βc
(γ
)
.
(13)
Функции соответствия βa (β) и βc (γ ) опреде-
ляются из закона сохранения светового потока.
Для случая ламбертовского источника излуче-
ния и равномерного распределения интенсивно-
сти Iβ (β)= I, β ∈[−βmax,βmax ] на ДН указанные
функции несложно получить в виде
βa
(β0
)=
arcsin⎜⎜⎝⎜⎛⎜n1
2β0 2βbord
+ +
sin(2β0 ) sin(2βbord
)sin
βmax
⎟⎟⎟⎟⎠⎞,
β0 ∈[0,βbord ],
(14)
βc(β0 )= arcsin⎜⎝⎜⎜⎜⎛n1 ππ−−ββb0o(rγd)−−ssiinn((22ββb0o(rγd)))sinβmax ⎟⎟⎠⎟⎟⎞,
β0 ∈[βbord, π/2],
(15)
где βbord – значение угла β0, определяющее границу между частями a и b преломляющей
поверхности.
4. Результаты расчета оптических элементов
С помощью предложенного метода был рассчитан оптический элемент, формирующий ДН в виде отрезка с угловым размером 120°. Расчет производился для ламбертовского источника излучения с помощью выражений (4)–(7), (11) при параметрах r0a = 3 мм, n =1,5. Габаритные размеры полученного элемента (рис. 1) составляют lx = 23 мм, ly = 36 мм, lz = 22 мм. Моделирование формируемой ДН проводилось методом трассировки лучей с использованием специализированной программы по светотехнике TracePro. На рис. 3 приведено расчетное распределение интенсивности, полученное при трассировке 100 000 лучей. Размер и вид полученной ДН совпадают с заданными, что подтверждает правильность использованных расчетных формул.
В качестве следующего примера был рассчитан оптический элемент, формирующий ДН в виде прямоугольника со сторонами 120° и 30°. Расчет производился по формулам (5), (7), (11)–(15) при r0a = 3 мм, n =1,5 . Результат моделирования формируемой ДН при 100 000 лучах приведен на рис. 4. Габаритные размеры полученного элемента составляют lx =16 мм, ly = 26 мм, lz =16 мм (рис. 1). Несмотря на то что предложенный способ формирования прямоугольной ДН является приближенным, расчетное распределение интенсивности на рис. 4 очень близко к равномерному прямоугольному распределению. Среднеквадратичное отклонение интенсивности δ от постоянного значения составляет всего 5,27%. Для оценки световой эффективности рассчитываемых оптических элементов введем
“Оптический журнал”, 76, 7, 2009
73
энергетическую эффективность E. Определим E как отношение светового потока, попадающего в заданную прямоугольную ДН, к общему
световому потоку, излучаемому источником. Для рассмотренного примера E = 90,6%.
В таблице приведены среднеквадратичные
ошибки δ формирования равномерных пря-
моугольных распределений интенсивности для
различных размеров ДН μmax, βmax. Темносерым цветом отмечены ячейки, для которых δ >10%, светло-серым – ячейки, для которых
6%< δ 90° значение энергетической эффективности оптического элемента составляет более 90 %. Среднеквадратичная ошибка формирования постоянного распределения интенсивности составляет менее 5% при
размерах ДН βmax ∈[0°, 20°], μmax ∈[60°, 90°].
Рассчитанные элементы сохраняют свою рабо-
тоспособность при существенно протяженных источниках излучения.
Работа выполнена при поддержке фонда “Фундаментальные исследования и высшее образование” (RUXO-014-SA-06) и Фонда содействия отечественной науке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Guan P., Wang X-J. On a Monge-Ampere equation arising in geometric optics // J. Differential Geometry. 1998. V. 48. № 2. P. 205–223.
2. Knowles I., Satio Y. Radially symmetric solutions of a Monge-Ampere equation arising in the reflector mapping problem (with P. Waltman) // Proc. of the UAB International Conference on Differential Equations and Mathematical Physics, Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1987. P. 973–1000.
3. Oliker V., Treibergs A. Geometry and Nonlinear Partial Differential Equations // Contemporary Mathematics. 1992. V. 127. P. 1–154.
4. Досколович Л.Л., Казанский Н.Л. Расчет зеркала для формирования однопараметрической диаграммы направленности // Автометрия. 2004. Т. 40. № 5. С. 104–111.
5. Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Kharitonov S.I. Designing reflectors to generate a line–shaped directivity diagram // J. of Mod. Opt. 2005. V. 52. № 11. P. 1529–1536.
6. Досколович Л.Л., Харитонов С.И. Расчет формы поверхности зеркал для формирования изображения в виде линии // Оптический журнал. 2005. Т. 72. № 4. С. 34–37.
7. Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Bernard S. Designing a mirror to form a line-shaped directivity diagram // J. of Mod. Opt. 2007. V. 54. № 4. P. 589–597.
8. Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Тренина М.А. Расчет зеркала для формирования диаграммы направленности в виде отрезка // Автометрия. 2006. Т. 42. № 4. С. 67–75.
9. Muschaweck J., Ries H. Tailored freeform optical surface // JOSA. A. 2002. V. 19. № 3. P. 590–595.
10. Muschaweck J., Ries H. Tailoring freeform lenses for illuminations // Proc. SPIE. 2001. V. 4442. P. 43–50.
11. Hicks R.A. Designing a mirror to realize a given projection // JOSA. A. 2005. V. 22. № 2. P. 323–330.
12. Doyle S., Corcoran D., Connell J. Automated mirror design using an evolution strategy // Opt. Engin. 2001. V. 38. № 2. P. 323–333.
13. Белоусов А.А., Досколович Л.Л. Градиентный метод решения задачи фокусировки в двумерную
“Оптический журнал”, 76, 7, 2009
75
область при протяженном источнике // Компьютерная оптика. 2007. Т. 31 № 3. С. 20–26.
14. Белоусов А.А., Досколович Л.Л., Харитонов С.И. Градиентный метод расчета оптических элементов для формирования заданной освещенности на криволинейной поверхности // Оптический журнал. 2008. Т. 75. № 3. С. 30–35.
15. Досколович Л.Л., Моисеев М.А. Расчет радиальносимметричных преломляющих поверхностей с учетом френелевских потерь // Компьютерная оптика. 2008. Т. 32. № 2. С. 201–203.
16. Elmer W.B. Optical design of reflectors // Appl. Opt. 1978. V. 17. № 7. P. 977–979.
76 “Оптический журнал”, 76, 7, 2009
УДК 535.318
РАСЧЕТ ПРЕЛОМЛЯЮЩИХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ДИАГРАММ НАПРАВЛЕННОСТИ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
© 2009 г. Л. Л. Досколович, доктор физ.-мат. наук; М. А. Моисеев
Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева, Самара
E-mail: mikhail@smr.ru
Предложена конструкция преломляющего оптического элемента для формирования прямоугольной диаграммы направленности при компактном источнике излучения. Расчет поверхностей оптического элемента сведен к решению тривиальных задач с цилиндрической симметрией. Приведены результаты численного моделирования рассчитанных элементов. Среднеквадратичная ошибка формирования равномерных прямоугольных распределений интенсивности составляет менее 10% при угловых размерах диаграмм направленности (120°–180°)×(10°–40°).
Ключевые слова: преломляющий яяяический элемент, полное внутреннее отражение, диаграмма няаправленности.
Коды OCIS: 080.1753, 080.2740, 080.4298
Поступила в редакцию 17.02.2009
Введение
Формирование заданных диаграмм направленности (ДН) является актуальным для задач лазерной оптики, радиофизики и светотехники. Задача расчета оптического элемента для формирования заданной ДН состоит в определении формы отражающих (или преломляющих) поверхностей элемента из условия, что отраженные (или преломленные) лучи имеют заданные направления. Решение данной задачи сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения в частных производных типа Монже–Ампера [1–3]. В общем трехмерном случае решение данного уравнения является крайне сложным. Аналитическое решение возможно только в частных случаях с радиальной или продольной симметрией.
Для формирования однопараметрических ДН разработан ряд методов. В работах [4–6] приведено общее решение задачи расчета зеркала для формирования ДН в виде линии при точечном источнике излучения. Большое практическое значение имеет задача формирования ДН в виде отрезка, она является эталонной при формировании сложных ДН, состоящих из набора от-
резков [7, 8]. Расчет преломляющих оптических элементов для формирования ДН в виде линии в указанных работах не рассматривался. При расчете несимметричных оптических поверхностей для формирования двумерных ДН (например, в виде прямоугольника) используются сложные итерационные процедуры, требующие больших вычислительных затрат [9–14]. Рассмотренные в работах [9–14] преломляющие оптические элементы неприменимы для источников, излучающих в большом телесном угле. Это связано с ограниченными возможностями рефракционной поверхности при повороте лучей на большие углы.
В данной статье предложена конструкция преломляющего оптического элемента для формирования ДН в виде отрезка и вытянутого прямоугольника. Предлагаемые элементы рассчитаны на работу с компактным источником света (типа светодиода), излучающим в половину полного телесного угла. Расчет оптического элемента сводится к решению тривиальных задач с цилиндрической симметрией. В элементе используются преломляющие поверхности, работающие по принципу полного внутреннего отражения. Это позволяет достичь высокой световой эффек-
70 “Оптический журнал”, 76, 7, 2009
тивности при формировании вытянутой ДН с большим угловым размером. Преломляющие поверхности, работающие на полном внутреннем отражении, широко используются в радиальносимметричных коллиматорах светодиодов. Предложенная конструкция демонстрирует возможность использования данного подхода при формировании прямоугольных ДН.
1. Постановка задачи, конструкция элемента
Под ДН в виде прямоугольника понимается ДН, заданная единичной вектор-функцией двух аргументов в виде
p(β,μ) = (sinβ,cosβsinμ,cosβcosμ), β ∈[−βmax,βmax ], μ ∈[−μmax,μmax ],
(1)
где параметры βmax, μmax определяют размеры ДН. Функция (1) определяет направления лу-
чей от оптического элемента через углы (β,μ),
где β – угол между вектором луча и плоскостью Oyz , а μ – угол между его проекцией на плоскость Oyz и оптической осью (осью Oz). При этом на ДН должно быть сформировано заданное
распределение интенсивности I(β,μ). Частным
случаем ДН является ДН в виде отрезка
p(β,μ) = (0, sinμ,cosμ), μ ∈[−μmax,μmax ]. (2)
Для формирования ДН (1) и (2) предлагается
использовать конструкцию оптического элемен-
та, изображенную на рис. 1. Точечный (компакт-
ный) источник света находится в начале координат и излучает в полусферу z > 0.
Для пояснения принципа работы оптического
элемента первоначально рассмотрим более про-
стую задачу формирования ДН в виде отрезка
(2). Оптический элемент ограничен тремя по-
верхностями. Внутренняя и боковая поверхности
элемента являются поверхностями вращения.
Они получены вращением профиля на рис. 2 вокруг оси Ox и предназначены для формирования цилиндрического волнового фронта с осью Ox.
Внешняя поверхность является цилиндриче-
ской с образующим профилем, расположенным в плоскости Oyz. Внешняя поверхность предназначена для преобразования падающего цилин-
дрического пучка в пучок с заданной интенсив-
ностью Iμ (μ) по углу μ.
Коллимирующий профиль на рис. 2 состоит из
трех частей: центральной (a), средней (b) и боко-
вой (c). Центральная часть коллимирует лучи от
источника. Средняя часть формирует смещенный
мнимый источник, уменьшая угловой размер
пучка, падающего на боковую поверхность эле-
мента. Боковая поверхность работает по принци-
пу полного внутреннего отражения и формирует
коллимированный пучок, распространяющийся
вдоль оси Oz.
Приведенная конструкция оптического эле-
мента является эффективной только при форми-
ровании ДН в виде отрезка с большим угловым размером μmax. Это связано с ростом френелевских потерь и явлением полного внутреннего отра-
жения, возникающих при использовании внешней
преломляющей поверхности для поворота лучей
на большой угол [9]. При размере ДН μmax максимальный угол поворота лучей, осуществляемый
внешней цилиндрической поверхностью, составляет (π/2) − μmax. Согласно результатам расчета в разделе 4, при показателе преломления материала n = 1,5 и максимальном угле μmax > 40° френелевские потери составляют менее 12 %.
lz
z
y O
x lх l y
Рис. 1. Общий вид оптического элемента. “Оптический журнал”, 76, 7, 2009
n1 z
c n2
a b n1 n1 β
γ O
b
c x
Рис. 2. Схема сечения оптического элемента плоскостью Oxz.
71
Формирование ДН в виде прямоугольника
основано на использовании в качестве профиля
на рис. 2 профиля для формирования одномерной
ДН с угловым размером [−βmax,βmax ] и распределением интенсивности Iβ (β). В этом случае будем считать, что функция I(β,μ) является
функцией с разделяемыми переменными (важ-
ный частный случай – равномерное распределе-
ние интенсивности)
I(β, μ) = Iβ (β)Iμ (μ).
(3)
Несмотря на то что рассмотренный подход к формированию прямоугольной ДН является приближенным, результаты численного моделирования, приведенные в разделе 4, демонстрируют его высокую работоспособность при βmax < 20°.
Таким образом, расчет оптического элемента сводится к расчету двух образующих профилей, которые полностью определяют форму всех преломляющих поверхностей.
Следует отметить, что идея использования поверхности, работающей по принципу полного внутреннего отражения, применяется в коллиматорах компании Philips Lumileds Lighting. Однако в них используются радиально-симметричные поверхности, полученные вращением профиля на рис. 2 вокруг оси Oz.
2. Расчет оптического элемента, формирующего диаграмму
направленности в виде отрезка
Для формирования ДН в виде отрезка с интен-
сивностью I(μ) необходимо рассчитать коллими-
рующий профиль на рис. 2 и цилиндрический внешний профиль.
Центральная часть а внутреннего профиля на рис. 2 является поверхностью коллимирующей линзы. Фокус линзы совпадает с источником излучения. Уравнение для длины радиус-вектора центральной части a несложно получить из принципа Ферма в виде
ra
(β)
=
r0a
1−1/n cos(β) −1/n
,
(4)
где r0a – расстояние от источника до центра линзы, n = n2/n1 – относительный показатель преломления.
Средняя часть b должна создавать мнимый
источник излучения. При расчете части b также
используется принцип Ферма, согласно которому
значение функции эйконала должно быть посто-
янным на любой окружности с центром в мнимом фокусе. Данное условие имеет вид
rb (β) −n ls2 + rb2(β) + 2lsrb (β)sin(β) = Ψ0, (5)
где rb (β)– длина радиус-вектора средней части b
профиля (рис. 2), ls – расстояние от источника до мнимого фокуса. Константа Ψ0 в выражении (5) выбирается из условия совпадения частей про-
филя а, b в точке стыковки. Согласно условию
(5) расчет rb(β) сводится к решению квадратного
уравнения.
Боковая часть с внутреннего профиля явля-
ется параболой, фокус которой совпадает с мни-
мым источником. Длина радиус-вектора точки
параболы относительно точки мнимого фокуса
определяется как
rc
(γ
)
=
2r0c 1 − sin
γ
,
где r0c – расстояние от мнимого фокуса до нижнего края бокового профиля, γ – угол между век-
тором, проведенным от мнимого фокуса к точке поверхности, и осью Ox.
Внешняя поверхность оптического элемента
предназначена для перераспределения потока излучения по углу μ. Расчет преломляющих поверхностей рассмотрен в работе [15]. Дифферен-
циальное уравнение для длины радиус-вектора на-
правляющей внешнего профиля имеет вид [15]
dr (μ0
dμ0
)
=
−r
(μ0
)
n
sin ⎡⎣μ0 + − cos ⎡⎣μ0
μ(μ0 )⎤⎦ + μ(μ0
)⎤⎦
,
(7)
где μ0 – угловая координата падающего луча,
μ – угол в плоскости
ДН Oyz
(2). Угол от оси Oz
.μ0Фуонтксчциитяыμва=еμт(сμя0
в
)
в уравнении (7) определяется из условия фор-
мирования заданного распределения интенсив-
ности I(μ) на ДН. Для определения μ = μ(μ0 )
используется закон сохранения светового по-
тока. По построению элемента световой поток,
излученный источником в телесный угол между
плоскост переходит
я в
мсвиетоzв=ойctпgо(тμо0к)yΔ, Φz==Ic(tμg((μμ00))+ΔΔμμ(μ00)y),,
Δμ(μ0 )= μ(μ0 + Δμ0 )− μ(μ0 ) на ДН. Введем β0 –
угол между вектором падающего луча и плоско-
стью Oyz . Элемент телесного угла в координатах
(μ0,β0 ) определяется выражением
dΩ = cos(β0 )dβ0dμ0.
(8)
Соответственно дифференциальная форма закона сохранения светового потока имеет вид
72 “Оптический журнал”, 76, 7, 2009
∫⎜⎝⎜⎛⎜⎜⎜⎜−ππ//22 I0 (β0, μ0 )cos(β0 )dβ0 ⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎞⎟⎟dμ0 = I(μ)dμ,
(9)
где I0 (β0,μ0 )– интенсивность источника излучения. Согласно уравнению (9) функция μ(μ0 )
в выражении (7) определяется из решения сле-
дующего дифференциального уравнения:
∫dμ(μ0 dμ0
)
=
I
1
⎡⎣μ(μ0
)⎦⎤
π/2
I0
−π/2
(β0,μ0
)cos(β0
)dβ0,
μ(±π/2)= ±μmax.
(10)
В случае ламбертовского источника излучения
с⎡⎣Iи0в(нβо0с,μт0и)I⎦⎤ ~(μ⎡⎣c)o=s(Iμ,0μ)c∈o[s−(βμ0m)a⎦⎤ x
и постоянной интен-
, μmax ] из уравнения
(10) получим
μ(μ0 )= μmaxsin(μ0 )/sin(μmax ).
(11)
Таким образом, для ламбертовского источника расчет внешнего профиля сводится к интегрированию дифференциального уравнения (7), разрешенного относительно производной. Для решения данного уравнения достаточно использовать стандартный численный метод Рунге–Кутта.
3. Расчет оптического элемента, формирующего диаграмму
направленности в виде прямоугольника
Для формирования ДН в виде прямоугольника необходимо рассчитать профиль на рис. 2 из условия формирования одномерной ДН с
интенсивностью Iβ (β), β ∈[−βmax, βmax ]. Расчет
центральной части a нижнего профиля сводится к решению дифференциального уравнения для радиус-вектора этой поверхности [15]
dra (β0
dβ0
)
=
−ra
(β)
sin ⎣⎡β0 1/n − cos
+ βa (β0 )⎤⎦ ⎡⎣β0 + βa (β0
)⎤⎦
,
(12)
где β0 и βa (β0 ) – угловые координаты падающе-
го от источника луча и преломленного луча.
Часть b профиля определяется уравнением
(5). Часть c профиля рассчитывается аналогично
центральной части из решения следующего диф-
ференциального уравнения [16]:
drc (γ dγ
)
=
rc
(γ
)ctg
π/2
−
γ− 2
βc
(γ
)
.
(13)
Функции соответствия βa (β) и βc (γ ) опреде-
ляются из закона сохранения светового потока.
Для случая ламбертовского источника излуче-
ния и равномерного распределения интенсивно-
сти Iβ (β)= I, β ∈[−βmax,βmax ] на ДН указанные
функции несложно получить в виде
βa
(β0
)=
arcsin⎜⎜⎝⎜⎛⎜n1
2β0 2βbord
+ +
sin(2β0 ) sin(2βbord
)sin
βmax
⎟⎟⎟⎟⎠⎞,
β0 ∈[0,βbord ],
(14)
βc(β0 )= arcsin⎜⎝⎜⎜⎜⎛n1 ππ−−ββb0o(rγd)−−ssiinn((22ββb0o(rγd)))sinβmax ⎟⎟⎠⎟⎟⎞,
β0 ∈[βbord, π/2],
(15)
где βbord – значение угла β0, определяющее границу между частями a и b преломляющей
поверхности.
4. Результаты расчета оптических элементов
С помощью предложенного метода был рассчитан оптический элемент, формирующий ДН в виде отрезка с угловым размером 120°. Расчет производился для ламбертовского источника излучения с помощью выражений (4)–(7), (11) при параметрах r0a = 3 мм, n =1,5. Габаритные размеры полученного элемента (рис. 1) составляют lx = 23 мм, ly = 36 мм, lz = 22 мм. Моделирование формируемой ДН проводилось методом трассировки лучей с использованием специализированной программы по светотехнике TracePro. На рис. 3 приведено расчетное распределение интенсивности, полученное при трассировке 100 000 лучей. Размер и вид полученной ДН совпадают с заданными, что подтверждает правильность использованных расчетных формул.
В качестве следующего примера был рассчитан оптический элемент, формирующий ДН в виде прямоугольника со сторонами 120° и 30°. Расчет производился по формулам (5), (7), (11)–(15) при r0a = 3 мм, n =1,5 . Результат моделирования формируемой ДН при 100 000 лучах приведен на рис. 4. Габаритные размеры полученного элемента составляют lx =16 мм, ly = 26 мм, lz =16 мм (рис. 1). Несмотря на то что предложенный способ формирования прямоугольной ДН является приближенным, расчетное распределение интенсивности на рис. 4 очень близко к равномерному прямоугольному распределению. Среднеквадратичное отклонение интенсивности δ от постоянного значения составляет всего 5,27%. Для оценки световой эффективности рассчитываемых оптических элементов введем
“Оптический журнал”, 76, 7, 2009
73
энергетическую эффективность E. Определим E как отношение светового потока, попадающего в заданную прямоугольную ДН, к общему
световому потоку, излучаемому источником. Для рассмотренного примера E = 90,6%.
В таблице приведены среднеквадратичные
ошибки δ формирования равномерных пря-
моугольных распределений интенсивности для
различных размеров ДН μmax, βmax. Темносерым цветом отмечены ячейки, для которых δ >10%, светло-серым – ячейки, для которых
6%< δ 90° значение энергетической эффективности оптического элемента составляет более 90 %. Среднеквадратичная ошибка формирования постоянного распределения интенсивности составляет менее 5% при
размерах ДН βmax ∈[0°, 20°], μmax ∈[60°, 90°].
Рассчитанные элементы сохраняют свою рабо-
тоспособность при существенно протяженных источниках излучения.
Работа выполнена при поддержке фонда “Фундаментальные исследования и высшее образование” (RUXO-014-SA-06) и Фонда содействия отечественной науке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Guan P., Wang X-J. On a Monge-Ampere equation arising in geometric optics // J. Differential Geometry. 1998. V. 48. № 2. P. 205–223.
2. Knowles I., Satio Y. Radially symmetric solutions of a Monge-Ampere equation arising in the reflector mapping problem (with P. Waltman) // Proc. of the UAB International Conference on Differential Equations and Mathematical Physics, Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1987. P. 973–1000.
3. Oliker V., Treibergs A. Geometry and Nonlinear Partial Differential Equations // Contemporary Mathematics. 1992. V. 127. P. 1–154.
4. Досколович Л.Л., Казанский Н.Л. Расчет зеркала для формирования однопараметрической диаграммы направленности // Автометрия. 2004. Т. 40. № 5. С. 104–111.
5. Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Kharitonov S.I. Designing reflectors to generate a line–shaped directivity diagram // J. of Mod. Opt. 2005. V. 52. № 11. P. 1529–1536.
6. Досколович Л.Л., Харитонов С.И. Расчет формы поверхности зеркал для формирования изображения в виде линии // Оптический журнал. 2005. Т. 72. № 4. С. 34–37.
7. Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Bernard S. Designing a mirror to form a line-shaped directivity diagram // J. of Mod. Opt. 2007. V. 54. № 4. P. 589–597.
8. Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Тренина М.А. Расчет зеркала для формирования диаграммы направленности в виде отрезка // Автометрия. 2006. Т. 42. № 4. С. 67–75.
9. Muschaweck J., Ries H. Tailored freeform optical surface // JOSA. A. 2002. V. 19. № 3. P. 590–595.
10. Muschaweck J., Ries H. Tailoring freeform lenses for illuminations // Proc. SPIE. 2001. V. 4442. P. 43–50.
11. Hicks R.A. Designing a mirror to realize a given projection // JOSA. A. 2005. V. 22. № 2. P. 323–330.
12. Doyle S., Corcoran D., Connell J. Automated mirror design using an evolution strategy // Opt. Engin. 2001. V. 38. № 2. P. 323–333.
13. Белоусов А.А., Досколович Л.Л. Градиентный метод решения задачи фокусировки в двумерную
“Оптический журнал”, 76, 7, 2009
75
область при протяженном источнике // Компьютерная оптика. 2007. Т. 31 № 3. С. 20–26.
14. Белоусов А.А., Досколович Л.Л., Харитонов С.И. Градиентный метод расчета оптических элементов для формирования заданной освещенности на криволинейной поверхности // Оптический журнал. 2008. Т. 75. № 3. С. 30–35.
15. Досколович Л.Л., Моисеев М.А. Расчет радиальносимметричных преломляющих поверхностей с учетом френелевских потерь // Компьютерная оптика. 2008. Т. 32. № 2. С. 201–203.
16. Elmer W.B. Optical design of reflectors // Appl. Opt. 1978. V. 17. № 7. P. 977–979.
76 “Оптический журнал”, 76, 7, 2009