СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕЦИЗИОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ С ГАРАНТИРОВАННОЙ СТЕПЕНЬЮ УСТОЙЧИВОСТИ
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕЦИЗИОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ... .
УДК 681.511
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕЦИЗИОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ С ГАРАНТИРОВАННОЙ СТЕПЕНЬЮ УСТОЙЧИВОСТИ
А.А. Абдуллина, В.Н. Дроздова, А.А. Плотицына
а Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, artur.abdullin@gmail.com
Рассматривается модернизированная процедура синтеза оптимальной в квадратичном смысле системы управления линейным объектом с упругими связями. Синтез стандартной оптимальной в квадратичном смысле системы управления предполагает выбор матриц штрафа квадратичного функционала. При этом показатели качества оптимальной системы сильно зависят от конкретного выбора этих матриц. Трудоемкая процедура подбора матриц штрафа заменяется выбором желаемой степени устойчивости оптимальной системы. В основе предлагаемого метода лежит идея, при которой в задаче синтеза оптимального управления вместо оригинальной матрицы состояния объекта управления используется новая матрица состояния. Собственные числа новой матрицы состояния расположены правее собственных чисел оригинальной матрицы на заданном расстоянии. Такая методика проектирования позволяет для матрицы состояния замкнутой системы получить собственные числа, сдвинутые влево от комплексной оси на заданное расстояние, другими словами, получить гарантированную степень устойчивости системы. Предложенный метод проектирования алгоритма управления продемонстрирован на примере синтеза оптимальной системы управления электропривода с двухмассовым механизмом. Параметры объекта управления вычислены по амплитудно-частотной характеристике, полученной в ходе эксперимента идентификации. При проектировании оптимальной системы управления для оценки неизмеряемых переменных состояний объекта управления использовался наблюдатель пониженной размерности. Ключевые слова: оптимальное управление, наблюдатель пониженной размерности, двухмассовый механизм, регулятор состояния, степень устойчивости.
OPTIMAL CONTROL SYSTEM FOR PRECISION ELECTRIC DRIVE WITH GUARANTEED DEGREE OF STABILITY
A.A. Abdullinа, V.N. Drozdovа, A.A. Plotitsynа
а ITMO University, Saint Petersburg, Russia, artur.abdullin@gmail.com
Improved design method of optimal control system for the linear object with elastic coupling is considered. Standard optimal control system design implies the selection of state and input penalty matrix for the quadratic functional. Moreover the system performance quality depends greatly on the specific penalty matrix. Instead of the state and input penalty matrix selection procedure the selection of desired stability degree is proposed. The proposed method of optimal control system design is based on the idea of new state matrix utilization. The new state matrix has its eigenvalues at the specified distance to the right from the eigenvalues of the original state matrix. Thereupon we can assign the closed loop state feedback system matrix eigenvalues at that specified distance to the left from imaginary axis of the complex plane, in the other words, we can achieve the desired stability degree of the system. The proposed method of control algorithm design is demonstrated for a control system of an electric drive with two-mass mechanism (object). Object characteristic was evaluated by amplitudefrequency response obtained during identification experiment. Unavailable or immeasurable variables of the control object state were estimated by reduced-order observer while optimal control system design. Keywords: optimal control system, reduced-order observer, two-mass mechanism, state regulator, stability degree.
Введение
Рассмотрим электромеханическую систему (ЭМС), которая состоит из управляемого преобразова-
теля напряжения, электродвигателя и механизма, представленного двухмассовой расчетной схемой. Такая система с высокой степенью точности описывает процессы управления положением как азимутальной, так и угломестной осей опорно-поворотного устройства наземного телескопа [1–5].
Модель состояния такой ЭМС без учета возмущающего воздействия имеет стандартный вид:
x Ax Bu .
(1)
Вектор состояния этой ЭМС x u1 i 1 δ 2 α1 T , где u1 – выходное напряжение управ-
ляемого преобразователя; i – эквивалентный ток статорной цепи вентильного двигателя; Ω1 – угловая
скорость первой массы; δ α1 α2 – угол скручивания соединительного элемента первой и второй
масс; Ω2 – угловая скорость второй массы; α1 – угол поворота первой массы, u сигнал управления на входе преобразователя напряжения.
Типичным режимом работы опорно-поворотного устройства является воспроизведение сигнала
целеуказания. Достаточно медленное изменение угловых координат объекта слежения позволяет аппрок-
симировать задающее воздействие кусочно-линейной функцией [6]. Эта задача решается с использованием изодромного (грубого) управления вынужденным движени-
ем. Подобные системы называют также системами с внутренней моделью [7]. Принципы построения ма-
тематической модели такой системы описываются в работах [8, 9]. Идея заключается в том, что в качест-
ве составной части регулятора используется модель внешнего воздействия, которая имеет вид
46
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов, А.А. Плотицын
z Gz L g y Gz Lε ,
где g – сигнал задания, ε g y – сигнал ошибки, а матрица L выбирается простейшего вида, но так,
чтобы пара матриц (G, L) была полностью управляемой. Эта часть регулятора вместе с объектом управ-
ления (ОУ) (1) образует объединенный ОУ с вектором состояния xn xT zT T [9], x n Anxn Bnu . Матрица состояния и матрица входа модели состояния этого объекта равны
An
A LC
0 G
,
Bn
B
0
.
В качестве алгоритма управления используется регулятор (2) с обратными связями по всем пере-
менным состояния, обеспечивающий устойчивость замкнутой системы и, при отсутствии возмущений,
нулевую установившуюся ошибку [7]:
u Kxn .
(2)
Одним из самых распространенных методов расчета матрицы обратных связей K является сведе-
ние характеристического полинома матрицы An BnK к полиному с заданными или желаемыми собст-
венными числами [10–12].
Синтез оптимального в квадратичном смысле управления
Существует метод, в рамках которого выбор собственных чисел замкнутой системы не представлен в явном виде. В этом случае матрица обратных связей K доставляет минимум квадратичному функционалу (3) [10, 12]:
J xTn Qxn uT Ru dt .
(3)
0
Метод поддерживается наличием мощных математических пакетов [13].
При любой положительно полуопределенной матрице Q и положительно определенной матрице R
оптимальное в квадратичном смысле управление обеспечивает значение радиуса запасов устойчивости
r 1 [14]. В этом случае запас устойчивости системы по фазе – не менее 60º, что гарантирует хорошую
демпфируемость системы. Однако быстродействие оптимальной системы сильно зависит от конкретного
выбора матриц штрафа. Метод подбора матриц весьма трудоемок. Во избежание указанной трудности
предлагается следующий прием.
Известно [15], что если квадратные матрицы связаны некоторым функциональным соотношением
M f N , то точно таким же соотношением связаны собственные числа этих матриц:
siM f siN , i 1,, n .
Учитывая сказанное, в задаче синтеза оптимального управления объектом (1) вместо матрицы со-
стояния объединенного ОУ An выберем матрицу
Ans An ηI ,
(4)
где I – единичная матрица; η – желаемая степень устойчивости для матрицы замкнутой системы
Fn An BnK . При произвольных определенно положительных матрицах штрафа Q и R, например, единичных,
решим уравнение Риккати (5),
PBnR1BTn P Q ATnsP PAns 0 , и вычислим матрицу обратных связей (6),
(5)
K
R
B1 T n
P
,
тогда матрица состояния
(6)
Fns Ans BnK
(7)
замкнутой системы гарантированно будет иметь все собственные числа слева от мнимой оси на плоско-
сти корней. Воспользовавшись (4), перепишем матрицу состояния (7) в виде
Fns An ηI BnK Fn ηI , откуда
(8)
Fn Fns ηI .
(9)
Собственные числа матрицы (8) лежат слева от мнимой оси, следовательно, собственные числа
матрицы (9) будут сдвинуты влево от мнимой оси на расстояние, не меньшее, чем η. В результате неопре-
деленная процедура выбора матриц штрафа в задаче оптимального управления заменена процедурой вы-
бора степени устойчивости, которая имеет прозрачный физический смысл. Она определяет быстродейст-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
47
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕЦИЗИОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ... .
вие оптимальной системы. При наличии неизмеряемых координат вектора состояния x ОУ (1), как обычно, используется на-
блюдатель пониженной размерности, и оптимальное управление (2) трансформируется соответствующим образом [9].
Эксперимент
Отработка предложенной методики синтеза оптимального в квадратичном смысле управления производилась на лабораторном стенде электропривода с двухмассовым механизмом. Общий вид и принципиальная схема электромеханической части лабораторного стенда представлены на рис. 1.
153 4
2
аб
Рис. 1. Общий вид электромеханической части лабораторного стенда (а); принципиальная схема электромеханической части лабораторного стенда (б): 1 – вал с трехфазным двигателем;
2 – соединительная муфта; 3 – вал с полезной нагрузкой; 4 – подшипниковые узлы; 5 – опоры
На рис. 1, б, показано, что в двух опорах 5 с помощью подшипниковых узлов 4 закреплены два вала. На первом валу 1 установлен трехфазный двигатель производства фирмы Рухсервомотор и инкрементный оптический датчик фирмы Renishaw. Макет полезной нагрузки, закрепленный на втором валу 3, выполнен в виде наборных колец, что позволяет менять его момент инерции.
Оба вала соединены специальной муфтой 2, устройство которой позволяет менять крутильную жесткость (или податливость) этого соединения. Также следует отметить, что момент сухого трения в подшипниковых узлах в значительной степени неравномерно распределен по окружности вращения вала.
В силу того, что не все параметры исследуемого ОУ имеются в наличии, для синтеза регулятора будем использовать математическую модель ОУ, полученную в ходе анализа экспериментальной амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ОУ.
На рис. 2 кривая 1 представляет собой АЧХ объекта с выходным сигналом в виде скорости вращения первой массы Ω1.
35
Амплитуда, дБ
30 25 2
20
15 10 51
0
–5 101
102
Частота, рад/с
103
Рис. 2. АЧХ электропривода с двухмассовой нагрузкой: объекта (1) и модели (2)
Аппроксимируя АЧХ прямыми линиями с наклонами, кратными 20 дБ/дек, получаем модель ОУ в
виде передаточной функции (10):
W
s
1 s us
(T1s
k (2s2 2s 1)(T22s2 2T2s
1) 1)(T3 s
1)
.
(10)
Параметры этой передаточной функции, определенные по асимптотической логарифмической ха-
48
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов, А.А. Плотицын
рактеристике, следующие: k 22, 4 , τ 0, 014 c , ς 0, 078 , 0, 206 , T1 0, 038 c , T2 0, 004 c ,
T3 0, 004 c . Рассчитанная согласно (10) АЧХ модели представлена кривой 2 на рис. 2. АЧХ объекта и модели совпадают в достаточной степени, что говорит об адекватности аппроксимации эксперименталь-
ной характеристики.
Используя функцию (11) пакета прикладных программ MATLAB,
A B C ssW s ,
(11)
и дополнив вектор переменных состояния углом поворота первой массы, получим модель ОУ в векторноматричном виде:
x1
379
x2
512
x
x31
,
A
0 0
α1
0
182 0 256 0
51, 2
131 0 0 64
2, 26
47, 5 0 0 0
16, 6
0 64 0T
0
0
0
0 , B 0 , C 0 .
0
0
0
0 0 1
Собственные числа матрицы состояния данного ОУ равны
sA 0 26 49 238i 49 238i 254 .
Пара комплексно сопряженных собственных чисел, в рассматриваемом случае это –49±238i, определяет затухающие колебания, вызванные упругой связью между первой и второй массами. Демпфирование этих колебаний является одной из проблем управления объектами с упругими связями. Убедимся, что использование оптимального в квадратичном смысле управления обеспечивает быстрое затухание указанных колебаний.
Рассчитаем матрицу обратных связей регулятора состояния ОУ в виде (6), задавшись значением степени устойчивости системы η = 19 с–1. Процедура решения уравнения Риккати (5) в пакете прикладных программ MATLAB выглядит следующим образом:
K lqr Ans ,Bn,Q,R ,
где K – матрица коэффициентов обратной связи. Матрица состояния замкнутой системы (9) с рассчитанной матрицей обратных связей будет иметь
собственные числа, равные
sFn 38 45,7 8,8i 45,7 8,8i 91 2,6i 91 2,6i 267 .
Структура собственных чисел оптимальной замкнутой системы говорит о том, что степень устойчивости 38, т.е. не меньше заданной.
В рассматриваемом случае непосредственно измерялась лишь переменная состояния α1, помимо этого, регулятору доступна также переменная состояния z1 интегратора, введенного в канал ошибки [9]. Реализация оптимальной системы в этом случае возможна с использованием наблюдателя пониженной размерности, при этом закон управления (2) примет вид
u Kxn N1y N2w ,
здесь y α1 z1 T – вектор измеряемых переменных состояния; w w1 w2 w3 w4 T – вектор наблю-
даемых переменных состояния; N1 n11 n12 – вектор коэффициентов измеряемых переменных;
N2 n21 n22 n23 n24 – вектор коэффициентов наблюдаемых или оцениваемых переменных. Матрицы
N1, N2 находятся согласно выражению N1 N2 K CT MT T , где M есть решение уравнения Силь-
вестра MA AnM RnC . Матрицы An и Rn определяют динамику наблюдателя.
На рис. 3 представлена структурная схема оптимальной системы управления с наблюдателем пониженной размерности (obsv).
–n11
g
1 z1 s
n12
u ОУ
obsv W N2
1
Рис. 3. Структурная схема системы управления
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
49
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕЦИЗИОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ... .
На рис. 4, а, приведен график переходного процесса ошибки слежения в системе с оптимальным регулятором состояния и редуцированным наблюдателем при воспроизведении входного воздействия, возрастающего линейно со скоростью 1 º/с, кривая 1 представляет собой переходной процесс в математической модели, кривая 2 – переходной процесс в системе с реальным ОУ. Более быстрый переходной процесс в системе с математической моделью можно объяснить тем, что ни одна модель не в состоянии отобразить все особенности физического объекта.
График ошибки в установившемся режиме при том же воздействии представлен на рис. 4, б. Максимальная ошибка составляет 3,2″, среднеквадратическая ошибка – 1,4″.
, ,
160 140 120 100 80 60 40 20
0 –200
2
1 0,1 0,2 0,3 0,4 t, c а
0,5 0,6
3 2 1 0 –1 –2 –3
15
20 25 t, c б
30
Рис. 4. Результаты эксперимента: график переходного процесса ошибки слежения (1 – математической модели, 2 – системы с реальным ОУ) (а); график ошибки в установившемся режиме (б)
Заключение
Модифицированная процедура синтеза оптимального управления обеспечивает в замкнутой системе получение степени устойчивости, не меньшей заданной. Она снимает проблему выбора матриц штрафа квадратичного функционала качества.
Экспериментальная проверка предлагаемой процедуры для построения системы управления физическим макетом объекта с упругими связями показала хорошие с практической точки зрения результаты.
Литература
1. Васильев В.Н., Томасов В.С., Шаргородский В.А., Садовников М.А. Состояние и перспективы развития прецизионных электроприводов комплексов высокоточных наблюдений // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51. № 6. С. 5–12.
2. Томасов В.С., Денисов К.М., Толмачев В.А. Следящие электроприводы систем наведения оптикомеханических комплексов нового поколения. Проблемы и достижения // Тр. V междунар. (XVI Всеросс.) конф. по автоматизированному электроприводу. СПб, 2007. С. 175–177.
3. Синицын В.А., Томасов В.С. Энергоподсистемы следящих электроприводов измерительных телескопов // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51. № 6. С. 12–17.
4. Толмачев В.А., Антипова И.В., Фомин С.Г. Математическая модель следящего электропривода оси опорно-поворотного устройства // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2007. № 10 (44). С. 142–146.
5. Толмачев В.А. Синтез следящего электропривода оси опорно-поворотного устройства // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51. № 6. С. 68–72.
6. Дроздов В.Н., Мирошник И.В., Скорубский В.И. Система автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989. 284 с.
7. Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983. 245 с.
8. Абдуллин А.А., Дроздов В.Н. . Анализ робастности неадаптивной системы управления электропривода c вариациями структуры и параметров // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 6 (82). С. 40–44.
9. Абдуллин А.А., Дроздов В.Н. Синтез алгоритма управления прецизионного следящего электропривода // Труды VII Международной (VIII Всероссийской) научно-технической конференции по автоматизированному электроприводу. Иваново, 2012. С. 208–212.
10. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с. 11. Fairman F. Linear Control Theory: The State Space Approach. John Wiley and Sons Ltd, 1998. 330 p. 12. Kwakernaak H., Sivan R. Linear Optimal Control Systems. John Wiley and Sons Inc, 1972. 575 p.
50
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов, А.А. Плотицын
13. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. М.: Солон-Пресс, 2002. 768 с.
14. Александров А.Г. Методы построения систем автоматического управления. ИПУ РАН, 2008. 260 c. 15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.
Абдуллин Артур Александрович Дроздов Валентин Нилович Плотицын Андрей Андреевич
– аспирант, инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, artur.abdullin@gmail.com
– доктор технических наук, профессор, Университет ИТМО, СанктПетербург, Россия, drozdovuprint@rambler.com
– студент, инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, andreiploticin@gmail.com
Artur A.Abdullin Valentin N. Drozdov Andrei A. Plotitsyn
– engineer, ITMO University, Saint Petersburg, Russia,
artur.abdullin@gmail.com
– Professor, D.Sc., Professor, ITMO University, Saint Petersburg, Russia,
drozdovuprint@rambler.com
– engineer,
ITMO University, Saint Petersburg, Russia,
andreiploticin@gmail.com
Принято к печати 21.02.2014 Accepted 21.02.2014
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
51
УДК 681.511
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕЦИЗИОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ С ГАРАНТИРОВАННОЙ СТЕПЕНЬЮ УСТОЙЧИВОСТИ
А.А. Абдуллина, В.Н. Дроздова, А.А. Плотицына
а Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, artur.abdullin@gmail.com
Рассматривается модернизированная процедура синтеза оптимальной в квадратичном смысле системы управления линейным объектом с упругими связями. Синтез стандартной оптимальной в квадратичном смысле системы управления предполагает выбор матриц штрафа квадратичного функционала. При этом показатели качества оптимальной системы сильно зависят от конкретного выбора этих матриц. Трудоемкая процедура подбора матриц штрафа заменяется выбором желаемой степени устойчивости оптимальной системы. В основе предлагаемого метода лежит идея, при которой в задаче синтеза оптимального управления вместо оригинальной матрицы состояния объекта управления используется новая матрица состояния. Собственные числа новой матрицы состояния расположены правее собственных чисел оригинальной матрицы на заданном расстоянии. Такая методика проектирования позволяет для матрицы состояния замкнутой системы получить собственные числа, сдвинутые влево от комплексной оси на заданное расстояние, другими словами, получить гарантированную степень устойчивости системы. Предложенный метод проектирования алгоритма управления продемонстрирован на примере синтеза оптимальной системы управления электропривода с двухмассовым механизмом. Параметры объекта управления вычислены по амплитудно-частотной характеристике, полученной в ходе эксперимента идентификации. При проектировании оптимальной системы управления для оценки неизмеряемых переменных состояний объекта управления использовался наблюдатель пониженной размерности. Ключевые слова: оптимальное управление, наблюдатель пониженной размерности, двухмассовый механизм, регулятор состояния, степень устойчивости.
OPTIMAL CONTROL SYSTEM FOR PRECISION ELECTRIC DRIVE WITH GUARANTEED DEGREE OF STABILITY
A.A. Abdullinа, V.N. Drozdovа, A.A. Plotitsynа
а ITMO University, Saint Petersburg, Russia, artur.abdullin@gmail.com
Improved design method of optimal control system for the linear object with elastic coupling is considered. Standard optimal control system design implies the selection of state and input penalty matrix for the quadratic functional. Moreover the system performance quality depends greatly on the specific penalty matrix. Instead of the state and input penalty matrix selection procedure the selection of desired stability degree is proposed. The proposed method of optimal control system design is based on the idea of new state matrix utilization. The new state matrix has its eigenvalues at the specified distance to the right from the eigenvalues of the original state matrix. Thereupon we can assign the closed loop state feedback system matrix eigenvalues at that specified distance to the left from imaginary axis of the complex plane, in the other words, we can achieve the desired stability degree of the system. The proposed method of control algorithm design is demonstrated for a control system of an electric drive with two-mass mechanism (object). Object characteristic was evaluated by amplitudefrequency response obtained during identification experiment. Unavailable or immeasurable variables of the control object state were estimated by reduced-order observer while optimal control system design. Keywords: optimal control system, reduced-order observer, two-mass mechanism, state regulator, stability degree.
Введение
Рассмотрим электромеханическую систему (ЭМС), которая состоит из управляемого преобразова-
теля напряжения, электродвигателя и механизма, представленного двухмассовой расчетной схемой. Такая система с высокой степенью точности описывает процессы управления положением как азимутальной, так и угломестной осей опорно-поворотного устройства наземного телескопа [1–5].
Модель состояния такой ЭМС без учета возмущающего воздействия имеет стандартный вид:
x Ax Bu .
(1)
Вектор состояния этой ЭМС x u1 i 1 δ 2 α1 T , где u1 – выходное напряжение управ-
ляемого преобразователя; i – эквивалентный ток статорной цепи вентильного двигателя; Ω1 – угловая
скорость первой массы; δ α1 α2 – угол скручивания соединительного элемента первой и второй
масс; Ω2 – угловая скорость второй массы; α1 – угол поворота первой массы, u сигнал управления на входе преобразователя напряжения.
Типичным режимом работы опорно-поворотного устройства является воспроизведение сигнала
целеуказания. Достаточно медленное изменение угловых координат объекта слежения позволяет аппрок-
симировать задающее воздействие кусочно-линейной функцией [6]. Эта задача решается с использованием изодромного (грубого) управления вынужденным движени-
ем. Подобные системы называют также системами с внутренней моделью [7]. Принципы построения ма-
тематической модели такой системы описываются в работах [8, 9]. Идея заключается в том, что в качест-
ве составной части регулятора используется модель внешнего воздействия, которая имеет вид
46
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов, А.А. Плотицын
z Gz L g y Gz Lε ,
где g – сигнал задания, ε g y – сигнал ошибки, а матрица L выбирается простейшего вида, но так,
чтобы пара матриц (G, L) была полностью управляемой. Эта часть регулятора вместе с объектом управ-
ления (ОУ) (1) образует объединенный ОУ с вектором состояния xn xT zT T [9], x n Anxn Bnu . Матрица состояния и матрица входа модели состояния этого объекта равны
An
A LC
0 G
,
Bn
B
0
.
В качестве алгоритма управления используется регулятор (2) с обратными связями по всем пере-
менным состояния, обеспечивающий устойчивость замкнутой системы и, при отсутствии возмущений,
нулевую установившуюся ошибку [7]:
u Kxn .
(2)
Одним из самых распространенных методов расчета матрицы обратных связей K является сведе-
ние характеристического полинома матрицы An BnK к полиному с заданными или желаемыми собст-
венными числами [10–12].
Синтез оптимального в квадратичном смысле управления
Существует метод, в рамках которого выбор собственных чисел замкнутой системы не представлен в явном виде. В этом случае матрица обратных связей K доставляет минимум квадратичному функционалу (3) [10, 12]:
J xTn Qxn uT Ru dt .
(3)
0
Метод поддерживается наличием мощных математических пакетов [13].
При любой положительно полуопределенной матрице Q и положительно определенной матрице R
оптимальное в квадратичном смысле управление обеспечивает значение радиуса запасов устойчивости
r 1 [14]. В этом случае запас устойчивости системы по фазе – не менее 60º, что гарантирует хорошую
демпфируемость системы. Однако быстродействие оптимальной системы сильно зависит от конкретного
выбора матриц штрафа. Метод подбора матриц весьма трудоемок. Во избежание указанной трудности
предлагается следующий прием.
Известно [15], что если квадратные матрицы связаны некоторым функциональным соотношением
M f N , то точно таким же соотношением связаны собственные числа этих матриц:
siM f siN , i 1,, n .
Учитывая сказанное, в задаче синтеза оптимального управления объектом (1) вместо матрицы со-
стояния объединенного ОУ An выберем матрицу
Ans An ηI ,
(4)
где I – единичная матрица; η – желаемая степень устойчивости для матрицы замкнутой системы
Fn An BnK . При произвольных определенно положительных матрицах штрафа Q и R, например, единичных,
решим уравнение Риккати (5),
PBnR1BTn P Q ATnsP PAns 0 , и вычислим матрицу обратных связей (6),
(5)
K
R
B1 T n
P
,
тогда матрица состояния
(6)
Fns Ans BnK
(7)
замкнутой системы гарантированно будет иметь все собственные числа слева от мнимой оси на плоско-
сти корней. Воспользовавшись (4), перепишем матрицу состояния (7) в виде
Fns An ηI BnK Fn ηI , откуда
(8)
Fn Fns ηI .
(9)
Собственные числа матрицы (8) лежат слева от мнимой оси, следовательно, собственные числа
матрицы (9) будут сдвинуты влево от мнимой оси на расстояние, не меньшее, чем η. В результате неопре-
деленная процедура выбора матриц штрафа в задаче оптимального управления заменена процедурой вы-
бора степени устойчивости, которая имеет прозрачный физический смысл. Она определяет быстродейст-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
47
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕЦИЗИОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ... .
вие оптимальной системы. При наличии неизмеряемых координат вектора состояния x ОУ (1), как обычно, используется на-
блюдатель пониженной размерности, и оптимальное управление (2) трансформируется соответствующим образом [9].
Эксперимент
Отработка предложенной методики синтеза оптимального в квадратичном смысле управления производилась на лабораторном стенде электропривода с двухмассовым механизмом. Общий вид и принципиальная схема электромеханической части лабораторного стенда представлены на рис. 1.
153 4
2
аб
Рис. 1. Общий вид электромеханической части лабораторного стенда (а); принципиальная схема электромеханической части лабораторного стенда (б): 1 – вал с трехфазным двигателем;
2 – соединительная муфта; 3 – вал с полезной нагрузкой; 4 – подшипниковые узлы; 5 – опоры
На рис. 1, б, показано, что в двух опорах 5 с помощью подшипниковых узлов 4 закреплены два вала. На первом валу 1 установлен трехфазный двигатель производства фирмы Рухсервомотор и инкрементный оптический датчик фирмы Renishaw. Макет полезной нагрузки, закрепленный на втором валу 3, выполнен в виде наборных колец, что позволяет менять его момент инерции.
Оба вала соединены специальной муфтой 2, устройство которой позволяет менять крутильную жесткость (или податливость) этого соединения. Также следует отметить, что момент сухого трения в подшипниковых узлах в значительной степени неравномерно распределен по окружности вращения вала.
В силу того, что не все параметры исследуемого ОУ имеются в наличии, для синтеза регулятора будем использовать математическую модель ОУ, полученную в ходе анализа экспериментальной амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ОУ.
На рис. 2 кривая 1 представляет собой АЧХ объекта с выходным сигналом в виде скорости вращения первой массы Ω1.
35
Амплитуда, дБ
30 25 2
20
15 10 51
0
–5 101
102
Частота, рад/с
103
Рис. 2. АЧХ электропривода с двухмассовой нагрузкой: объекта (1) и модели (2)
Аппроксимируя АЧХ прямыми линиями с наклонами, кратными 20 дБ/дек, получаем модель ОУ в
виде передаточной функции (10):
W
s
1 s us
(T1s
k (2s2 2s 1)(T22s2 2T2s
1) 1)(T3 s
1)
.
(10)
Параметры этой передаточной функции, определенные по асимптотической логарифмической ха-
48
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов, А.А. Плотицын
рактеристике, следующие: k 22, 4 , τ 0, 014 c , ς 0, 078 , 0, 206 , T1 0, 038 c , T2 0, 004 c ,
T3 0, 004 c . Рассчитанная согласно (10) АЧХ модели представлена кривой 2 на рис. 2. АЧХ объекта и модели совпадают в достаточной степени, что говорит об адекватности аппроксимации эксперименталь-
ной характеристики.
Используя функцию (11) пакета прикладных программ MATLAB,
A B C ssW s ,
(11)
и дополнив вектор переменных состояния углом поворота первой массы, получим модель ОУ в векторноматричном виде:
x1
379
x2
512
x
x31
,
A
0 0
α1
0
182 0 256 0
51, 2
131 0 0 64
2, 26
47, 5 0 0 0
16, 6
0 64 0T
0
0
0
0 , B 0 , C 0 .
0
0
0
0 0 1
Собственные числа матрицы состояния данного ОУ равны
sA 0 26 49 238i 49 238i 254 .
Пара комплексно сопряженных собственных чисел, в рассматриваемом случае это –49±238i, определяет затухающие колебания, вызванные упругой связью между первой и второй массами. Демпфирование этих колебаний является одной из проблем управления объектами с упругими связями. Убедимся, что использование оптимального в квадратичном смысле управления обеспечивает быстрое затухание указанных колебаний.
Рассчитаем матрицу обратных связей регулятора состояния ОУ в виде (6), задавшись значением степени устойчивости системы η = 19 с–1. Процедура решения уравнения Риккати (5) в пакете прикладных программ MATLAB выглядит следующим образом:
K lqr Ans ,Bn,Q,R ,
где K – матрица коэффициентов обратной связи. Матрица состояния замкнутой системы (9) с рассчитанной матрицей обратных связей будет иметь
собственные числа, равные
sFn 38 45,7 8,8i 45,7 8,8i 91 2,6i 91 2,6i 267 .
Структура собственных чисел оптимальной замкнутой системы говорит о том, что степень устойчивости 38, т.е. не меньше заданной.
В рассматриваемом случае непосредственно измерялась лишь переменная состояния α1, помимо этого, регулятору доступна также переменная состояния z1 интегратора, введенного в канал ошибки [9]. Реализация оптимальной системы в этом случае возможна с использованием наблюдателя пониженной размерности, при этом закон управления (2) примет вид
u Kxn N1y N2w ,
здесь y α1 z1 T – вектор измеряемых переменных состояния; w w1 w2 w3 w4 T – вектор наблю-
даемых переменных состояния; N1 n11 n12 – вектор коэффициентов измеряемых переменных;
N2 n21 n22 n23 n24 – вектор коэффициентов наблюдаемых или оцениваемых переменных. Матрицы
N1, N2 находятся согласно выражению N1 N2 K CT MT T , где M есть решение уравнения Силь-
вестра MA AnM RnC . Матрицы An и Rn определяют динамику наблюдателя.
На рис. 3 представлена структурная схема оптимальной системы управления с наблюдателем пониженной размерности (obsv).
–n11
g
1 z1 s
n12
u ОУ
obsv W N2
1
Рис. 3. Структурная схема системы управления
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
49
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕЦИЗИОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ... .
На рис. 4, а, приведен график переходного процесса ошибки слежения в системе с оптимальным регулятором состояния и редуцированным наблюдателем при воспроизведении входного воздействия, возрастающего линейно со скоростью 1 º/с, кривая 1 представляет собой переходной процесс в математической модели, кривая 2 – переходной процесс в системе с реальным ОУ. Более быстрый переходной процесс в системе с математической моделью можно объяснить тем, что ни одна модель не в состоянии отобразить все особенности физического объекта.
График ошибки в установившемся режиме при том же воздействии представлен на рис. 4, б. Максимальная ошибка составляет 3,2″, среднеквадратическая ошибка – 1,4″.
, ,
160 140 120 100 80 60 40 20
0 –200
2
1 0,1 0,2 0,3 0,4 t, c а
0,5 0,6
3 2 1 0 –1 –2 –3
15
20 25 t, c б
30
Рис. 4. Результаты эксперимента: график переходного процесса ошибки слежения (1 – математической модели, 2 – системы с реальным ОУ) (а); график ошибки в установившемся режиме (б)
Заключение
Модифицированная процедура синтеза оптимального управления обеспечивает в замкнутой системе получение степени устойчивости, не меньшей заданной. Она снимает проблему выбора матриц штрафа квадратичного функционала качества.
Экспериментальная проверка предлагаемой процедуры для построения системы управления физическим макетом объекта с упругими связями показала хорошие с практической точки зрения результаты.
Литература
1. Васильев В.Н., Томасов В.С., Шаргородский В.А., Садовников М.А. Состояние и перспективы развития прецизионных электроприводов комплексов высокоточных наблюдений // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51. № 6. С. 5–12.
2. Томасов В.С., Денисов К.М., Толмачев В.А. Следящие электроприводы систем наведения оптикомеханических комплексов нового поколения. Проблемы и достижения // Тр. V междунар. (XVI Всеросс.) конф. по автоматизированному электроприводу. СПб, 2007. С. 175–177.
3. Синицын В.А., Томасов В.С. Энергоподсистемы следящих электроприводов измерительных телескопов // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51. № 6. С. 12–17.
4. Толмачев В.А., Антипова И.В., Фомин С.Г. Математическая модель следящего электропривода оси опорно-поворотного устройства // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2007. № 10 (44). С. 142–146.
5. Толмачев В.А. Синтез следящего электропривода оси опорно-поворотного устройства // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51. № 6. С. 68–72.
6. Дроздов В.Н., Мирошник И.В., Скорубский В.И. Система автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989. 284 с.
7. Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983. 245 с.
8. Абдуллин А.А., Дроздов В.Н. . Анализ робастности неадаптивной системы управления электропривода c вариациями структуры и параметров // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 6 (82). С. 40–44.
9. Абдуллин А.А., Дроздов В.Н. Синтез алгоритма управления прецизионного следящего электропривода // Труды VII Международной (VIII Всероссийской) научно-технической конференции по автоматизированному электроприводу. Иваново, 2012. С. 208–212.
10. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с. 11. Fairman F. Linear Control Theory: The State Space Approach. John Wiley and Sons Ltd, 1998. 330 p. 12. Kwakernaak H., Sivan R. Linear Optimal Control Systems. John Wiley and Sons Inc, 1972. 575 p.
50
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов, А.А. Плотицын
13. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. М.: Солон-Пресс, 2002. 768 с.
14. Александров А.Г. Методы построения систем автоматического управления. ИПУ РАН, 2008. 260 c. 15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.
Абдуллин Артур Александрович Дроздов Валентин Нилович Плотицын Андрей Андреевич
– аспирант, инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, artur.abdullin@gmail.com
– доктор технических наук, профессор, Университет ИТМО, СанктПетербург, Россия, drozdovuprint@rambler.com
– студент, инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, andreiploticin@gmail.com
Artur A.Abdullin Valentin N. Drozdov Andrei A. Plotitsyn
– engineer, ITMO University, Saint Petersburg, Russia,
artur.abdullin@gmail.com
– Professor, D.Sc., Professor, ITMO University, Saint Petersburg, Russia,
drozdovuprint@rambler.com
– engineer,
ITMO University, Saint Petersburg, Russia,
andreiploticin@gmail.com
Принято к печати 21.02.2014 Accepted 21.02.2014
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
51