ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ОПТОТЕХНИКИ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ДВУМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОСВЕЩЕННОСТИ
УДК 535.317.1
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ОПТОТЕХНИКИ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ДВУМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОСВЕЩЕННОСТИ
© 2014 г. А. В. Гапеева, аспирант; В. А. Зверев, доктор техн. наук
НИУ ИТМО, Санкт-Петербург
Е-mail: post_vaz@rambler.ru
На основании основного закона геометрической оптики и понятия об эйконале дано определение прямой и обратной задачи расчета светового поля при формировании двумерного распределения освещенности. Показано, что при однозначном решении прямой задачи любое решение обратной задачи является частным решением, достигаемым путем последовательного подбора требуемой формы волнового фронта. Успех подбора на всех стадиях его осуществления легко проверяется путем решения прямой задачи.
Ключевые слова: поток энергии, эйконал, световой луч, световая трубка, геометрический фактор, оптический фактор, инвариант Штраубеля.
Коды OCIS: 220.0220, 220.4298.
Поступила в редакцию 31.10.2013.
Пусть W – полная энергия, заключенная внутри объема V. При этом в замкнутой системе в непроводящей среде, свободной от зарядов и токов, изменение энергии электромагнитного поля определяется выражением [1, 2]
dW dt
=
d dt
ò
V
(we
+ wm
)dV
=
=
d dt
ò
V
wdV
=-ò S
G
×
ndS,
где we - плотность энергии электрического поля; wm - плотность энергии магнитного поля; n – орт нормали к замкнутой поверхно-
сти S, ограничивающей объем V. Плотность по-
тока энергии электромагнитного поля опреде-
ляется вектором Умова–Пойнтинга
G
=
c 4π
E´H,
(1)
где с – скорость света в вакууме, Е – вектор напря-
женности электрического поля, Н – вектор напря-
женности магнитного поля, причем √eE = √mH. Однако известно, что w = we + wm = (c/(4p))E2 = = (c/(4p))H2. Тогда
G=
c 4π
E´H
=
c 4π
EHs
=
c 4π
ε µ
E2s
=
c 4π
H2s,
(2)
где s – орт направления вектора Умова–Пойнтинга.
Заметим, что впервые вектор плотности потока любой энергии был введен в 1874 году рус-
ским физиком Николаем Алексеевичем Умо-
вым. Направление вектора Умова–Пойнтинга
перпендикулярно векторам Е и Н и совпадает
с направлением распространения электромаг-
нитной энергии, а его величина равна энергии,
переносимой в единицу времени через единич-
ную площадку, перпендикулярную вектору G.
Практически важен усредненный во времени
вектор Умова–Пойнтинга, величина которого
служит мерой интенсивности света, а направ-
ление указывает направление его распростра-
нения.
Гармоническое электромагнитное поле в об-
щем случае можно определить уравнениями
вида:
EH((rr,,tt))==EH00((rr))eexxpp(-(-iωiωtt))üïþïýïïïï,
(3)
где векторы E0(r) и H0(r) определяются комплексными векторными функциями положе-
ния. Однородную плоскую волну, распростра-
няющуюся в среде с показателем преломления
n = εµ в направлении, определяемом единич-
ным вектором s, можно представить следую-
щими векторными функциями:
EH00((rr))==eh((rr))eexxpp((iikk00nnss××rr))ýïïïþïü,
(4)
где e(r) и h(r) – векторные функции положения, обязательно комплексные, если необходимо
8 “Оптический журнал”, 81, 3, 2014
учесть все возможные состояния поляризации
излучения; k0 = 2p/l0. Заметим, что уравнение s × r = const определяет плоскость, а произведение ns · r определяет оптический путь от
начала отсчета до плоскости, отсчитываемый
в направлении орта s. При этом комплексные векторные функции положения можно пред-
ставить в виде
HE00((rr))==eh((rr))eexxpp[[iikk00LL((rr))]]ïïüþýïï,
(5)
где L(r) - вещественная скалярная функция по-
ложения. В случае элементарной плоской волны
s · r ≈ r. Множество элементарных плоских волн
при L(r) = const образует поверхность, которую
называют геометрической волновой поверхно-
стью или геометрическим волновым фронтом.
Применив к выражениям (5) известные век-
торные тождества, при l0 → 0 получаем
(gradL)2 = n2
(6)
или
ççæçè
äL äx
÷öø÷÷2
+ ççæçè
äL äy
÷÷ö÷÷ø2
+ ççæçè
äL äz
÷öø÷÷2
= n2,
(7)
где n = εµ - показатель преломления. Функцию L(r) называют эйконалом, а уравнение в форме (6) или (7) – уравнением эйконала.
Средняя во времени величина вектора Умова–
Пойнтинга определяется выражением
G
= 2c εµ
we
grad L.
(8)
Средняя во времени плотность полной энергии – 〈w〉 = 〈we〉 + 〈wm〉 = 2〈we〉. При em = n2 отношение c/(em)1/2 = V, а отношение gradL/n
(в соответствии с уравнением (6) эйконала)
определяет некоторый единичный вектор s
s=
grad n
L
=
grad L grad L
.
(9)
В результате получаем 〈G〉 = V〈w〉s.
(10)
Отсюда следует, что направление усреднен-
ного во времени вектора Умова–Пойнтинга со-
впадает с нормалью к геометрическому волно-
вому фронту, а его абсолютная величина равна
произведению средней плотности энергии на
скорость V = c/n. Полученные результаты по-
зволяют ввести понятие геометрических свето-
вых лучей.
Геометрические световые лучи можно опре-
делить как траектории перемещения световой
энергии, ортогональные геометрическим вол-
новым фронтам, при этом направление пере-
мещения в каждой точке траектории совпадает
с направлением усредненного вектора Умова–
Пойнтинга. Пусть P(x,h) - произвольная точка на неко-
торой излучающей поверхности S, отнесенная
к некоторой криволинейной системе координат
на этой поверхности. При этом световой поток
(усредненный во времени), излучаемый площадкой dS поверхности S в телесный угол dw в направлении, определяемом полярными
углами (a, b), равен [3, 4]
d2Φ = LdωdScos ε,
(11)
где L – фотометрическая яркость излучения площадки dS в точке (x,h) в направлении (a, b), т.е. в общем случае L = L(x, h, a, b); e - угол между направлением (a, b) и нормалью к элементу поверхности, как показано на рис. 1. Множитель cose в выражении (11) свидетельствует о том, что физический смысл имеет не сам элемент поверхности dS, а его проекция на плоскость, перпендикулярную к направлению (a, b).
(α,β)
dS ε
P(ξ,η)
Нормаль к dS
Рис. 1. Световой поток, излучаемый площадкой dS.
N Oε
dων Nν εν
Oν
dS dω R
Рис. 2. Формирование световой трубки.
dSν
“Оптический журнал”, 81, 3, 2014
9
Пусть сечение телесного угла dw наклонной плоскостью образует площадку dSn на некотором расстоянии R от площадки dS вдоль оси телесного угла dw, нормаль к которой образует угол en, как показано на рис. 2. При этом
d2Φ
=
L
dSν cos R2
εν
dS
cos
ε
=
Ldω
νdSν
cos
εν.
(12)
С другой стороны, световой поток, проходя-
щий через площадку dSn,
d2Φν = LνdωνdSν cos εν.
(13)
В общем случае d2Fn = td2F, где t - коэффициент пропускания среды, разделяющей площадки dS и dSn. Поскольку в рассматриваемом случае нас интересуют лишь соотношения геометрических величин, среду будем считать абсолютно прозрачной, что эквивалентно равенству t = 1. При этом из сопоставления выражений (12) и (13) следует, что L = Ln.
Совокупность геометрических лучей, заполняющих телесный угол dw, образует гомоцентрический пучок лучей, исходящих из точки излучающего элемента, опирающийся на освещаемый элемент. Совокупность геометрических лучей, проходящих через две произвольно расположенные площадки (диафрагмы), размеры которых значительно меньше расстояния между ними, образует совокупность геометрических пучков лучей, называемую физическим пучком, при этом поверхность, ограничивающую поперечные размеры физического пучка, принято называть световой трубкой.
Из сопоставления выражений (11) и (12) следует, что
dωdScos ε = dωνdSν cos εν.
(14)
Величину d2G = dwdScose называют геометрическим фактором пучка световых лучей. Инвариантность геометрического фактора d2G относительно площадок dS и dSn физического пучка, определяемая выражением (14), означает, что он является мерой множества геометрических лучей, составляющих физический пучок, не зависящий от того, какая из площадок является излучающей. Очевидно, что геометрический фактор элементарного физического пучка, ограниченного площадкой dS и площадкой dSn, образованной сечением телесного угла dw плоскостью, не зависит от выбора расстояния R между ними, а следовательно, не зависит от выбора расстояния R (при t = 1) и величина светового потока, проходящего через площадки
dS и dSn, контуры которых образуют контуры световой трубки. При этом яркость излучения
в каждом сечении телесного угла плоскостью остается неизменной. Поэтому яркость Ln = L можно считать яркостью элементарного физи-
ческого пучка.
В том случае, когда одна из площадок све-
товой трубки расположена на поверхности раз-
дела двух сред, взаимосвязь телесных углов до
и после преломления световой трубки на по-
верхности раздела двух сред определяется фор-
мулой
nν2 cos ενdων = nν¢2 cos εν¢ dων¢ .
(15)
Умножив обе части выражения (15) на вели-
чину dSn = dS¢n, получаем
nν2dωνdSν cos εν = nν¢2dων¢ dSν cos εν¢ .
(16)
Полученное выражение справедливо для любой из площадок преломляемой и преломленной световых трубок.
Величину n2d2G = n2dwdScose называют оптическим фактором. Оптический фактор удовлетворяет условию n2d2G=const при произвольном числе преломляющих поверхностей. Это условие определяет основной инвариант для световой трубки, называемый теоремой, или инвариантом, Штраубеля.
При абсолютной прозрачности сред, разделяемых преломляющими поверхностями, согласно закону сохранения энергии, световой поток, проходящий через световую трубку, претерпевающую какое угодно число преломлений, в соответствии с выражением (13) определяется как
d2Φ = L1dω1dS1 cos ε1 = = LνdωνdSν cos εν =
= = Lpdω pdSp cos ε p.
(17)
Разделив эти равенства почленно на инвариант Штраубеля, получаем L1/n12 = ... = = Ln/n2n = Lp/n2p = L0, где L0 – так называемая редуцированная (или приведенная к вакууму)
яркость.
Если dSi - освещаемая элементарная площадка, освещенность которой Ei = d2F / dSi, то из выражения (17) следует, что
d2Ô = EidSi = Ei+1dSi+1.
(18)
Пусть в собственной системе координат
площадка dSi = dx¢dh¢, а площадка dSi+1 = = dx¢pdy¢p. В этом случае второе равенство выражения (18) можно представить в виде [5]
E(x¢p,y¢p )dx¢pdy¢p = E(ξ¢,η¢) J dξ¢dη¢, (19)
10 “Оптический журнал”, 81, 3, 2014
dx¢p dx¢p
где
J=
dξ¢ dy¢p
dη¢ dy¢p
- абсолютная
величина
яко-
dξ¢ dη¢
биана. Поскольку
E(x¢p,y¢p ) =
ä2Ô äx¢päy¢p
,
а
E(ξ¢,η¢)
=
ä2Ô äξ¢äη¢
,
выражение (19) можно рассма-
тривать как частный случай дифференциального
уравнения Монжа–Ампера [6], определяющего
взаимосвязь освещенностей двух поверхностей.
Пусть E(x¢,h¢) - освещенность поверхно-
сти равного эйконала (волнового фронта),
а E(x¢p,y¢p) - освещенность освещаемой поверхности. Световой поток, проходящий через пло-
щадку dSi = dx¢dh¢, распространяется по нормали к волновой поверхности. Следовательно,
форма волновой поверхности однозначно опре-
деляет характер распределения светового по-
тока на освещаемой поверхности Si+1(x¢p,y¢p). Расчет распределения освещенности некоторой
поверхности при известной форме поверхности
равного эйконала называется решением пря-
мой задачи. Прямая задача решается однознач-
но. Примером решения прямой задачи может
служить определение освещенности в изобра-
жении точки в геометрическом приближении
(без учета явления дифракции) при сфериче-
ской форме волнового фронта, т.е. в случае без-
аберрационного изображения точки. Рассмо-
трим решение этой задачи.
Элементарный световой поток d2F, излуча-
емый элементом dS, расположенным на опти-
ческой оси перпендикулярно к ней, и прохо-
дящий через элементарную площадку dS вход-
ного зрачка оптической системы в пределах
телесного угла dw (см. рис. 3), определяется
выражением (11) как
d2Φ = LσdωdScosσ.
(20)
dΣ dω
dS –dσ
dS′ dϕ
–σ
P P′
σ′
A K A′
AP = R
Рис. 3. Элементарный световой поток, излучаемый осевым элементом поверхности предмета.
Здесь Ls – яркость излучающего элемента в направлении, образующем угол s с оптической осью; dw – элементарный телесный угол с вершиной в осевой точке площадки dS; s – угол между осью телесного угла dw и оптической осью. Обозначив отрезок AP = -R, в соответ-
ствии с рисунком получаем
dω
=
dΣ R2
=
R sinσdϕRdσ R2
= sinσdσdϕ.
(21)
При этом d2Φ = LσdSsinσcosσdσdϕ,
(22)
где dj – элементарный двугранный угол между двумя меридиональными (проходящими через оптическую ось) плоскостями, как показано на рис. 3, и составляющими боковые стенки телесного угла dw. Для определения светового потока dF, излучаемого элементарной площадкой dS и заполняющего весь входной зрачок оптической системы, проинтегрируем выражение (22) по всей площади входного зрачка, т.е. в пределах изменения переменных 0 ≤ j ≤ 2p и при круглой форме зрачка 0≤ s ≤ sк где sк – значение угла s, соответствующего краю входного зрачка, т.е. апертурный угол осевого пучка лучей в пространстве предметов. В результате получаем
σê 2π
dΦ = ò ò LσdSsinσcosσdσdϕ. 00
(23)
Задача определения потока dF существенно
упрощается, если предположить, что яркость Ls = L = const, т.е. является величиной постоянной во всех точках излучающего элемента dS и не зависит от угла излучения s (при этом говорят, что элемент dS излучает по закону
Ламберта). При этом условии выражение (23)
можно переписать в виде
σê 2π
dΦ = LdSò ò sinσcosσdσdϕ. 00
(24)
В результате интегрирования выражение (24)
принимает вид
dΦ = πLdSsin2 σ.
…(25)
Этот световой поток проходит через опти-
ческую систему и падает на элементарную площадку dS¢, которая становится изображением площадки dS, как показано на рис. 3. Очевидно, что световой поток dF¢, падающий
“Оптический журнал”, 81, 3, 2014
11
на площадку dS¢, определится аналогичным может состоять из произвольно расположен-
выражением:
ных элементарных площадок. Отсюда следу-
dΦ¢ = πL¢dS¢sin2 σ¢,
(26)
где s¢ – апертурный угол осевого пучка лучей в пространстве изображений (или задний апер-
ет, что нет однозначного соответствия между распределением освещенности на освещаемой поверхности и формой поверхности равного эйконала, а соответственно, нет и однозначного
турный угол оптической системы).
аналитического решения задачи определения
Если принять во внимание тот факт, что в реальной оптической системе неизбежны по-
формы поверхности равного эйконала. Определение формы поверхности равного
тери светового потока (поглощение, френеле- эйконала при заданном распределении осве-
во отражение на поверхностях раздела двух сред), учитываемые коэффициентом пропуска-
щенности некоторой поверхности называется решением обратной задачи. В общем случае
ния t(t < 1), то вместо светового потока dF из системы выходит поток dF¢ = tdF, который меньше потока dF, –
dΦ¢ = τπL¢dS¢sin2 σ¢,
(27)
где L¢ = (n¢/n)2L. При n¢ = n имеем L¢ = L. При
любая оптическая система должна формировать волновой фронт, близкий к требуемому. Проектирование любой оптической системы завершается оптимизацией ее параметров по критерию минимального отклонения формируемого волнового фронта от требуемой фор-
этом освещенность в каждой точке изображе- мы. В случае изображающей оптики решение
ния естественным образом определяется отно- обратной задачи очевидно и однозначно: фор-
шением элементарного светового потока к эле-
ментарной площадке, на которую он падает, т.е. E0 = dF¢/dS¢. Используя формулу (27), находим, что освещенность E0 в осевой точке изображения определяется выражением
ма волнового фронта, формируемого разрабатываемой оптической системой, должна быть близкой к сферической. В случае неизображающей оптики любое решение обратной задачи является частным решением, полученным ме-
E0 = τπL¢sin2 σ¢.
(28)
тодом последовательных приближений. При решении этой задачи немалое значение имеет
Предположим, что апертурная диафрагма также вид выбранной функции для аппрокси-
играет роль выходного зрачка оптической си- мации формы искомой поверхности [7]. Если
стемы. В этом случае освещенность в некото- требуемая форма поверхности равного эйкона-
рой точке, расположенной вне оптической оси ла определена, то проектирование оптической
в плоскости изображения, определяется выра- системы и оптимизацию ее параметров мож-
жением
но осуществлять по критерию минимизации
E = E0 cos4 w¢,
(29)
где w¢ - угол между главным лучом и оптической осью (полевой угол в пространстве изображений). Если зрачок глаза совместить с изо-
волновой аберрации, т.е. процесс проектирования оптической системы становится традиционным.
Важно отметить, что для определения участка поверхности оптического устройства, светя-
бражением точечного источника излучения, то щего по данному направлению, в конце XIX ве-
выходной зрачок оптической системы будет ви- ка видный русский ученый – электротехник
ден полностью освещенным. При вычислении В.Н. Чиколев – предложил метод элементар-
распределения освещенности в изображении ных отображений. Этот метод получил разви-
точки распределение освещенности в выходном тие в трудах отечественных ученых: Н.А. Ка-
зрачке принято считать равномерным. При по- рякина, В.В. Кузнецова и М.М. Елина,
перечном смещении глаза видимая освещен- В.В. Антонова-Романовского и В.Л. Пульве-
ность выходного зрачка исчезает.
ра, Е.И. Берсенева, И.И. Спивак, француза
В случае неизображающей оптики (nonimaging optics) освещенность в каждой точ-
С. Рибьера и американца Ф. Бенфорда. Наряду с этим метод элементарных отображений полу-
ке освещаемой поверхности определяется от- чил дальнейшее развитие, позволяющее при-
носительной величиной площади выходного зрачка, видимой освещенной из этой точки.
менять его для определения формы оптических устройств светильников, обеспечивающих за-
При этом видимая освещенной площадь зрачка данную кривую светораспределения [8].
* * * * *
12 “Оптический журнал”, 81, 3, 2014
ЛИТЕРАТУРА
1. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002. 218 с.
2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 856 с.
3. Зверев В.А., Точилина Т.В. Основы оптотехники. Учебное пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. 293 с.
4. Волосов Д.С., Цивкин М.В. Теория и расчет светооптических систем. М.: Искусство, 1960. 526 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: ГИТТЛ, 1957. 608 с.
6. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т. 3. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб.
7. Трофимук А.А. Применение кривых Безье при автоматизированном расчете неизображающих оптических систем // Оптический журнал. 2013. № 4. С. 75–79.
8. Трембач В.В. Световые приборы: Учеб. для вузов по спец. «Светотехника и источники света». М.: Высш. шк., 1990. 463 с.
“Оптический журнал”, 81, 3, 2014
13
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ОПТОТЕХНИКИ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ДВУМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОСВЕЩЕННОСТИ
© 2014 г. А. В. Гапеева, аспирант; В. А. Зверев, доктор техн. наук
НИУ ИТМО, Санкт-Петербург
Е-mail: post_vaz@rambler.ru
На основании основного закона геометрической оптики и понятия об эйконале дано определение прямой и обратной задачи расчета светового поля при формировании двумерного распределения освещенности. Показано, что при однозначном решении прямой задачи любое решение обратной задачи является частным решением, достигаемым путем последовательного подбора требуемой формы волнового фронта. Успех подбора на всех стадиях его осуществления легко проверяется путем решения прямой задачи.
Ключевые слова: поток энергии, эйконал, световой луч, световая трубка, геометрический фактор, оптический фактор, инвариант Штраубеля.
Коды OCIS: 220.0220, 220.4298.
Поступила в редакцию 31.10.2013.
Пусть W – полная энергия, заключенная внутри объема V. При этом в замкнутой системе в непроводящей среде, свободной от зарядов и токов, изменение энергии электромагнитного поля определяется выражением [1, 2]
dW dt
=
d dt
ò
V
(we
+ wm
)dV
=
=
d dt
ò
V
wdV
=-ò S
G
×
ndS,
где we - плотность энергии электрического поля; wm - плотность энергии магнитного поля; n – орт нормали к замкнутой поверхно-
сти S, ограничивающей объем V. Плотность по-
тока энергии электромагнитного поля опреде-
ляется вектором Умова–Пойнтинга
G
=
c 4π
E´H,
(1)
где с – скорость света в вакууме, Е – вектор напря-
женности электрического поля, Н – вектор напря-
женности магнитного поля, причем √eE = √mH. Однако известно, что w = we + wm = (c/(4p))E2 = = (c/(4p))H2. Тогда
G=
c 4π
E´H
=
c 4π
EHs
=
c 4π
ε µ
E2s
=
c 4π
H2s,
(2)
где s – орт направления вектора Умова–Пойнтинга.
Заметим, что впервые вектор плотности потока любой энергии был введен в 1874 году рус-
ским физиком Николаем Алексеевичем Умо-
вым. Направление вектора Умова–Пойнтинга
перпендикулярно векторам Е и Н и совпадает
с направлением распространения электромаг-
нитной энергии, а его величина равна энергии,
переносимой в единицу времени через единич-
ную площадку, перпендикулярную вектору G.
Практически важен усредненный во времени
вектор Умова–Пойнтинга, величина которого
служит мерой интенсивности света, а направ-
ление указывает направление его распростра-
нения.
Гармоническое электромагнитное поле в об-
щем случае можно определить уравнениями
вида:
EH((rr,,tt))==EH00((rr))eexxpp(-(-iωiωtt))üïþïýïïïï,
(3)
где векторы E0(r) и H0(r) определяются комплексными векторными функциями положе-
ния. Однородную плоскую волну, распростра-
няющуюся в среде с показателем преломления
n = εµ в направлении, определяемом единич-
ным вектором s, можно представить следую-
щими векторными функциями:
EH00((rr))==eh((rr))eexxpp((iikk00nnss××rr))ýïïïþïü,
(4)
где e(r) и h(r) – векторные функции положения, обязательно комплексные, если необходимо
8 “Оптический журнал”, 81, 3, 2014
учесть все возможные состояния поляризации
излучения; k0 = 2p/l0. Заметим, что уравнение s × r = const определяет плоскость, а произведение ns · r определяет оптический путь от
начала отсчета до плоскости, отсчитываемый
в направлении орта s. При этом комплексные векторные функции положения можно пред-
ставить в виде
HE00((rr))==eh((rr))eexxpp[[iikk00LL((rr))]]ïïüþýïï,
(5)
где L(r) - вещественная скалярная функция по-
ложения. В случае элементарной плоской волны
s · r ≈ r. Множество элементарных плоских волн
при L(r) = const образует поверхность, которую
называют геометрической волновой поверхно-
стью или геометрическим волновым фронтом.
Применив к выражениям (5) известные век-
торные тождества, при l0 → 0 получаем
(gradL)2 = n2
(6)
или
ççæçè
äL äx
÷öø÷÷2
+ ççæçè
äL äy
÷÷ö÷÷ø2
+ ççæçè
äL äz
÷öø÷÷2
= n2,
(7)
где n = εµ - показатель преломления. Функцию L(r) называют эйконалом, а уравнение в форме (6) или (7) – уравнением эйконала.
Средняя во времени величина вектора Умова–
Пойнтинга определяется выражением
G
= 2c εµ
we
grad L.
(8)
Средняя во времени плотность полной энергии – 〈w〉 = 〈we〉 + 〈wm〉 = 2〈we〉. При em = n2 отношение c/(em)1/2 = V, а отношение gradL/n
(в соответствии с уравнением (6) эйконала)
определяет некоторый единичный вектор s
s=
grad n
L
=
grad L grad L
.
(9)
В результате получаем 〈G〉 = V〈w〉s.
(10)
Отсюда следует, что направление усреднен-
ного во времени вектора Умова–Пойнтинга со-
впадает с нормалью к геометрическому волно-
вому фронту, а его абсолютная величина равна
произведению средней плотности энергии на
скорость V = c/n. Полученные результаты по-
зволяют ввести понятие геометрических свето-
вых лучей.
Геометрические световые лучи можно опре-
делить как траектории перемещения световой
энергии, ортогональные геометрическим вол-
новым фронтам, при этом направление пере-
мещения в каждой точке траектории совпадает
с направлением усредненного вектора Умова–
Пойнтинга. Пусть P(x,h) - произвольная точка на неко-
торой излучающей поверхности S, отнесенная
к некоторой криволинейной системе координат
на этой поверхности. При этом световой поток
(усредненный во времени), излучаемый площадкой dS поверхности S в телесный угол dw в направлении, определяемом полярными
углами (a, b), равен [3, 4]
d2Φ = LdωdScos ε,
(11)
где L – фотометрическая яркость излучения площадки dS в точке (x,h) в направлении (a, b), т.е. в общем случае L = L(x, h, a, b); e - угол между направлением (a, b) и нормалью к элементу поверхности, как показано на рис. 1. Множитель cose в выражении (11) свидетельствует о том, что физический смысл имеет не сам элемент поверхности dS, а его проекция на плоскость, перпендикулярную к направлению (a, b).
(α,β)
dS ε
P(ξ,η)
Нормаль к dS
Рис. 1. Световой поток, излучаемый площадкой dS.
N Oε
dων Nν εν
Oν
dS dω R
Рис. 2. Формирование световой трубки.
dSν
“Оптический журнал”, 81, 3, 2014
9
Пусть сечение телесного угла dw наклонной плоскостью образует площадку dSn на некотором расстоянии R от площадки dS вдоль оси телесного угла dw, нормаль к которой образует угол en, как показано на рис. 2. При этом
d2Φ
=
L
dSν cos R2
εν
dS
cos
ε
=
Ldω
νdSν
cos
εν.
(12)
С другой стороны, световой поток, проходя-
щий через площадку dSn,
d2Φν = LνdωνdSν cos εν.
(13)
В общем случае d2Fn = td2F, где t - коэффициент пропускания среды, разделяющей площадки dS и dSn. Поскольку в рассматриваемом случае нас интересуют лишь соотношения геометрических величин, среду будем считать абсолютно прозрачной, что эквивалентно равенству t = 1. При этом из сопоставления выражений (12) и (13) следует, что L = Ln.
Совокупность геометрических лучей, заполняющих телесный угол dw, образует гомоцентрический пучок лучей, исходящих из точки излучающего элемента, опирающийся на освещаемый элемент. Совокупность геометрических лучей, проходящих через две произвольно расположенные площадки (диафрагмы), размеры которых значительно меньше расстояния между ними, образует совокупность геометрических пучков лучей, называемую физическим пучком, при этом поверхность, ограничивающую поперечные размеры физического пучка, принято называть световой трубкой.
Из сопоставления выражений (11) и (12) следует, что
dωdScos ε = dωνdSν cos εν.
(14)
Величину d2G = dwdScose называют геометрическим фактором пучка световых лучей. Инвариантность геометрического фактора d2G относительно площадок dS и dSn физического пучка, определяемая выражением (14), означает, что он является мерой множества геометрических лучей, составляющих физический пучок, не зависящий от того, какая из площадок является излучающей. Очевидно, что геометрический фактор элементарного физического пучка, ограниченного площадкой dS и площадкой dSn, образованной сечением телесного угла dw плоскостью, не зависит от выбора расстояния R между ними, а следовательно, не зависит от выбора расстояния R (при t = 1) и величина светового потока, проходящего через площадки
dS и dSn, контуры которых образуют контуры световой трубки. При этом яркость излучения
в каждом сечении телесного угла плоскостью остается неизменной. Поэтому яркость Ln = L можно считать яркостью элементарного физи-
ческого пучка.
В том случае, когда одна из площадок све-
товой трубки расположена на поверхности раз-
дела двух сред, взаимосвязь телесных углов до
и после преломления световой трубки на по-
верхности раздела двух сред определяется фор-
мулой
nν2 cos ενdων = nν¢2 cos εν¢ dων¢ .
(15)
Умножив обе части выражения (15) на вели-
чину dSn = dS¢n, получаем
nν2dωνdSν cos εν = nν¢2dων¢ dSν cos εν¢ .
(16)
Полученное выражение справедливо для любой из площадок преломляемой и преломленной световых трубок.
Величину n2d2G = n2dwdScose называют оптическим фактором. Оптический фактор удовлетворяет условию n2d2G=const при произвольном числе преломляющих поверхностей. Это условие определяет основной инвариант для световой трубки, называемый теоремой, или инвариантом, Штраубеля.
При абсолютной прозрачности сред, разделяемых преломляющими поверхностями, согласно закону сохранения энергии, световой поток, проходящий через световую трубку, претерпевающую какое угодно число преломлений, в соответствии с выражением (13) определяется как
d2Φ = L1dω1dS1 cos ε1 = = LνdωνdSν cos εν =
= = Lpdω pdSp cos ε p.
(17)
Разделив эти равенства почленно на инвариант Штраубеля, получаем L1/n12 = ... = = Ln/n2n = Lp/n2p = L0, где L0 – так называемая редуцированная (или приведенная к вакууму)
яркость.
Если dSi - освещаемая элементарная площадка, освещенность которой Ei = d2F / dSi, то из выражения (17) следует, что
d2Ô = EidSi = Ei+1dSi+1.
(18)
Пусть в собственной системе координат
площадка dSi = dx¢dh¢, а площадка dSi+1 = = dx¢pdy¢p. В этом случае второе равенство выражения (18) можно представить в виде [5]
E(x¢p,y¢p )dx¢pdy¢p = E(ξ¢,η¢) J dξ¢dη¢, (19)
10 “Оптический журнал”, 81, 3, 2014
dx¢p dx¢p
где
J=
dξ¢ dy¢p
dη¢ dy¢p
- абсолютная
величина
яко-
dξ¢ dη¢
биана. Поскольку
E(x¢p,y¢p ) =
ä2Ô äx¢päy¢p
,
а
E(ξ¢,η¢)
=
ä2Ô äξ¢äη¢
,
выражение (19) можно рассма-
тривать как частный случай дифференциального
уравнения Монжа–Ампера [6], определяющего
взаимосвязь освещенностей двух поверхностей.
Пусть E(x¢,h¢) - освещенность поверхно-
сти равного эйконала (волнового фронта),
а E(x¢p,y¢p) - освещенность освещаемой поверхности. Световой поток, проходящий через пло-
щадку dSi = dx¢dh¢, распространяется по нормали к волновой поверхности. Следовательно,
форма волновой поверхности однозначно опре-
деляет характер распределения светового по-
тока на освещаемой поверхности Si+1(x¢p,y¢p). Расчет распределения освещенности некоторой
поверхности при известной форме поверхности
равного эйконала называется решением пря-
мой задачи. Прямая задача решается однознач-
но. Примером решения прямой задачи может
служить определение освещенности в изобра-
жении точки в геометрическом приближении
(без учета явления дифракции) при сфериче-
ской форме волнового фронта, т.е. в случае без-
аберрационного изображения точки. Рассмо-
трим решение этой задачи.
Элементарный световой поток d2F, излуча-
емый элементом dS, расположенным на опти-
ческой оси перпендикулярно к ней, и прохо-
дящий через элементарную площадку dS вход-
ного зрачка оптической системы в пределах
телесного угла dw (см. рис. 3), определяется
выражением (11) как
d2Φ = LσdωdScosσ.
(20)
dΣ dω
dS –dσ
dS′ dϕ
–σ
P P′
σ′
A K A′
AP = R
Рис. 3. Элементарный световой поток, излучаемый осевым элементом поверхности предмета.
Здесь Ls – яркость излучающего элемента в направлении, образующем угол s с оптической осью; dw – элементарный телесный угол с вершиной в осевой точке площадки dS; s – угол между осью телесного угла dw и оптической осью. Обозначив отрезок AP = -R, в соответ-
ствии с рисунком получаем
dω
=
dΣ R2
=
R sinσdϕRdσ R2
= sinσdσdϕ.
(21)
При этом d2Φ = LσdSsinσcosσdσdϕ,
(22)
где dj – элементарный двугранный угол между двумя меридиональными (проходящими через оптическую ось) плоскостями, как показано на рис. 3, и составляющими боковые стенки телесного угла dw. Для определения светового потока dF, излучаемого элементарной площадкой dS и заполняющего весь входной зрачок оптической системы, проинтегрируем выражение (22) по всей площади входного зрачка, т.е. в пределах изменения переменных 0 ≤ j ≤ 2p и при круглой форме зрачка 0≤ s ≤ sк где sк – значение угла s, соответствующего краю входного зрачка, т.е. апертурный угол осевого пучка лучей в пространстве предметов. В результате получаем
σê 2π
dΦ = ò ò LσdSsinσcosσdσdϕ. 00
(23)
Задача определения потока dF существенно
упрощается, если предположить, что яркость Ls = L = const, т.е. является величиной постоянной во всех точках излучающего элемента dS и не зависит от угла излучения s (при этом говорят, что элемент dS излучает по закону
Ламберта). При этом условии выражение (23)
можно переписать в виде
σê 2π
dΦ = LdSò ò sinσcosσdσdϕ. 00
(24)
В результате интегрирования выражение (24)
принимает вид
dΦ = πLdSsin2 σ.
…(25)
Этот световой поток проходит через опти-
ческую систему и падает на элементарную площадку dS¢, которая становится изображением площадки dS, как показано на рис. 3. Очевидно, что световой поток dF¢, падающий
“Оптический журнал”, 81, 3, 2014
11
на площадку dS¢, определится аналогичным может состоять из произвольно расположен-
выражением:
ных элементарных площадок. Отсюда следу-
dΦ¢ = πL¢dS¢sin2 σ¢,
(26)
где s¢ – апертурный угол осевого пучка лучей в пространстве изображений (или задний апер-
ет, что нет однозначного соответствия между распределением освещенности на освещаемой поверхности и формой поверхности равного эйконала, а соответственно, нет и однозначного
турный угол оптической системы).
аналитического решения задачи определения
Если принять во внимание тот факт, что в реальной оптической системе неизбежны по-
формы поверхности равного эйконала. Определение формы поверхности равного
тери светового потока (поглощение, френеле- эйконала при заданном распределении осве-
во отражение на поверхностях раздела двух сред), учитываемые коэффициентом пропуска-
щенности некоторой поверхности называется решением обратной задачи. В общем случае
ния t(t < 1), то вместо светового потока dF из системы выходит поток dF¢ = tdF, который меньше потока dF, –
dΦ¢ = τπL¢dS¢sin2 σ¢,
(27)
где L¢ = (n¢/n)2L. При n¢ = n имеем L¢ = L. При
любая оптическая система должна формировать волновой фронт, близкий к требуемому. Проектирование любой оптической системы завершается оптимизацией ее параметров по критерию минимального отклонения формируемого волнового фронта от требуемой фор-
этом освещенность в каждой точке изображе- мы. В случае изображающей оптики решение
ния естественным образом определяется отно- обратной задачи очевидно и однозначно: фор-
шением элементарного светового потока к эле-
ментарной площадке, на которую он падает, т.е. E0 = dF¢/dS¢. Используя формулу (27), находим, что освещенность E0 в осевой точке изображения определяется выражением
ма волнового фронта, формируемого разрабатываемой оптической системой, должна быть близкой к сферической. В случае неизображающей оптики любое решение обратной задачи является частным решением, полученным ме-
E0 = τπL¢sin2 σ¢.
(28)
тодом последовательных приближений. При решении этой задачи немалое значение имеет
Предположим, что апертурная диафрагма также вид выбранной функции для аппрокси-
играет роль выходного зрачка оптической си- мации формы искомой поверхности [7]. Если
стемы. В этом случае освещенность в некото- требуемая форма поверхности равного эйкона-
рой точке, расположенной вне оптической оси ла определена, то проектирование оптической
в плоскости изображения, определяется выра- системы и оптимизацию ее параметров мож-
жением
но осуществлять по критерию минимизации
E = E0 cos4 w¢,
(29)
где w¢ - угол между главным лучом и оптической осью (полевой угол в пространстве изображений). Если зрачок глаза совместить с изо-
волновой аберрации, т.е. процесс проектирования оптической системы становится традиционным.
Важно отметить, что для определения участка поверхности оптического устройства, светя-
бражением точечного источника излучения, то щего по данному направлению, в конце XIX ве-
выходной зрачок оптической системы будет ви- ка видный русский ученый – электротехник
ден полностью освещенным. При вычислении В.Н. Чиколев – предложил метод элементар-
распределения освещенности в изображении ных отображений. Этот метод получил разви-
точки распределение освещенности в выходном тие в трудах отечественных ученых: Н.А. Ка-
зрачке принято считать равномерным. При по- рякина, В.В. Кузнецова и М.М. Елина,
перечном смещении глаза видимая освещен- В.В. Антонова-Романовского и В.Л. Пульве-
ность выходного зрачка исчезает.
ра, Е.И. Берсенева, И.И. Спивак, француза
В случае неизображающей оптики (nonimaging optics) освещенность в каждой точ-
С. Рибьера и американца Ф. Бенфорда. Наряду с этим метод элементарных отображений полу-
ке освещаемой поверхности определяется от- чил дальнейшее развитие, позволяющее при-
носительной величиной площади выходного зрачка, видимой освещенной из этой точки.
менять его для определения формы оптических устройств светильников, обеспечивающих за-
При этом видимая освещенной площадь зрачка данную кривую светораспределения [8].
* * * * *
12 “Оптический журнал”, 81, 3, 2014
ЛИТЕРАТУРА
1. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002. 218 с.
2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 856 с.
3. Зверев В.А., Точилина Т.В. Основы оптотехники. Учебное пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. 293 с.
4. Волосов Д.С., Цивкин М.В. Теория и расчет светооптических систем. М.: Искусство, 1960. 526 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: ГИТТЛ, 1957. 608 с.
6. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т. 3. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб.
7. Трофимук А.А. Применение кривых Безье при автоматизированном расчете неизображающих оптических систем // Оптический журнал. 2013. № 4. С. 75–79.
8. Трембач В.В. Световые приборы: Учеб. для вузов по спец. «Светотехника и источники света». М.: Высш. шк., 1990. 463 с.
“Оптический журнал”, 81, 3, 2014
13