Например, Бобцов

ИЗОБРАЖАЮЩИЕ СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ ГОЛОГРАММ. I. ВЛИЯНИЕ ДИСКРЕТНОСТИ ГОЛОГРАММЫ НА ВОССТАНОВЛЕННОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

ГОЛОГРАФИЯ

УДК 535.417; 535.317; 778.38
ИЗОБРАЖАЮЩИЕ СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ ГОЛОГРАММ. I. ВЛИЯНИЕ ДИСКРЕТНОСТИ ГОЛОГРАММЫ НА ВОССТАНОВЛЕННОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

© 2014 г. С. Н. Корешев, доктор техн. наук; О. В. Никаноров, кандидат техн. наук; Д. С. Смородинов, аспирант
НИУ ИТМО, Санкт-Петербург
Е-mail: smorodinov.denis@gmail.com
Обсуждаются изображающие свойства синтезированных и цифровых голограмм. Особое внимание уделено влиянию дискретности их структуры на восстановленное изображение. Сформулированы условия пространственного разделения порядков дифракции голограммы. Даны и обоснованы рекомендации по выбору оптимального, с точки зрения допустимой ширины пространственно-частотного спектра восстановленного изображения, угла падения опорной волны при регистрации или синтезе голограммы.

Ключевые слова: синтезированная голограмма, цифровая голограмма, дискретность, изображающие свойства, частотный анализ, параметры синтеза и регистрации, пространственное разделение порядков.

Коды OCIS: 090.0090.

Поступила в редакцию 24.10.2013.

Введение
Развитие информационных технологий и вычислительной техники обуславливают постоянный рост интереса исследователей к синтезированным и цифровым голограммам. Отметим, что под синтезированными голограммами обычно понимаются рассчитанные с помощью компьютера и отображенные на носителе голограммы, предназначенные для непосредственного физического восстановления в когерентном излучении, а под цифровыми голограммами – голограммы, зарегистрированные в когерентном излучении с помощью ПЗС1матриц или каких либо иных электронных приборов и предназначенные для цифрового восстановления в виртуальном пространстве. Объединяет эти виды голограмм использование цифровых технологий в процессе формирования или регистрации голограммной структуры, обуславливающее сохранение информации о синтезируемом или регистрируемом голографическом поле в виде массива чисел. Следовательно, и цифровые, и синтезированные
1 ПЗС – прибор с зарядовой связью.

голограммы принципиально дискретны, что, как известно, приводит к существенным особенностям их изображающих свойств, по сравнению со свойствами обычных голограмм [1, 2]. Проанализируем эти особенности. Для этого воспользуемся пространственно-частотным анализом поля, восстанавливаемого с помощью дискретной голограммы.
Влияние дискретности голограммы на восстановленное с ее помощью
изображение
Анализ будем проводить применительно к случаю амплитудной дискретной голограммы, формируемой с помощью наклонно падающей плоской опорной волны и объектной волны, распространяющейся по нормали к плоскости регистрации или синтеза голограммы. Отметим, что выбор именно такого объекта исследования не приводит к потере общности получаемых результатов, поскольку амплитудный тип модуляции голограммы сказывается лишь на ее линейности и дифракционной эффективности, не внося существенных изменений в обусловленные дискретностью особенности

14 “Оптический журнал”, 81, 3, 2014

ее изображающих свойств. При этом с целью упрощения анализа ограничимся рассмотрением одномерного случая и будем исходить из того, что запись голограммы линейна и, следовательно, функция ее амплитудного пропускания t(x) имеет вид [3]:

t(x) = t0 - kI(x),

(1)

где I(x) – функция распределения интенсивности голографического поля в плоскости регистрации, t0 – начальный уровень пропускания, k – коэффициент пропорциональности.
Если бы запись голограммы осуществлялась в аналоговой форме, то в рассматриваемом нами случае наклонно падающей плоской опорной волны распределение интенсивности голографического поля имело бы вид:

I(x) = A(x) A* (x) + r2 + +A(x)r exp(-2πiξr x) + A* (x)r exp(2πiξr x),

(2)

где A(x) – комплексная амплитуда объектной волны, A*(x) –амплитуда волны, комплексносопряженной объектной волне, r – амплитуда плоской опорной волны, ξr = sin(θ)/l – пространственная частота опорной волны, θ – угол падения опорной волны относительно нормали к плоскости голограммы, l – рабочая длина волны.
При восстановлении записанной таким образом голограммы опорной волной, использовавшейся при записи или синтезе голограммы, распределение комплексной амплитуды восстановленного излучения в плоскости голограммы (сразу за голограммой) можно было бы описать следующим выражением:

W(x) = R(x)t(x) = = t0r exp(2πξr x) - kI(x)r exp(2πξr x),

(3)

где R(x) = rexp(2πξrx) – комплексная амплитуда плоской восстанавливающей волны, равная
комплексной амплитуде опорной волны.
В случае дискретной голограммы отобра-
жаемое на носителе или вводимое в память ком-
пьютера распределение интенсивности голографического поля Id(x) будет отличаться от распределения, описываемого выражением (3),
и будет иметь следующий вид [2]:

åId

(x)

=

ççççèæI(x)n=N-N

δ(x

-

nd)÷÷÷÷÷öø

Ä

rect(

x a

),

(4)

где d – период дискретизации голограммы, a – диаметр пятна генератора изображений, создающего синтезированную голограмму, или размер пиксела ПЗС-матрицы в случае цифровой голограммы; 2N + 1 – число элементов дискретизации голограммы. Подставив (2) в (4) и полученный результат в (3), получим выражение, описывающее распределение амплитуды изображения, восстановленного с помощью дискретной синтезированной голограммы в плоскости самой голограммы:

Wd (x) = t0r exp(2πiξr x) - kr exp(2πiξr x)´

å´éêêëêççæçèçI(x)n=N-N

δ(x

-

nd)÷÷ø÷ö÷÷

Ä

rect(

x a

)úúúùû

=

= t0r exp(2πiξr x) -

({-kr exp(2πiξr x) ëêé A(x) A* (x) + r2 +

(5)

+A(x)r exp(-2πiξr x) +

} å+A* (x)r exp(2πiξr x)

N n=-N

δ(x

-

nd)÷÷÷÷öø÷

Ä

rect(

x a

)úûúúù.

Анализ структуры восстановленного поля проведем в частотном пространстве. Для этого запишем выражение, описывающее спектр восстановленного поля Ud(x):

Ud (ξ) = t0F{r exp(2πiξr x)} -kF{r exp(2πiξr x)} Ä
{(Ä ëêéF{ A(x) A* (x)} + F{r2} +

+F{ A(x)r exp(-2πiξr x)} +

å+F{

A*

(x)r

exp(2πiξr

x)}úûù

Ä

N n=-N

δ(ξ

-

ξn

)ø÷÷÷÷ö÷

Ä

Ä a sinπ(ξπaξa)ïþýïïïü.

(6)

Далее сделаем допущение, что число дискретных элементов на голограмме настолько велико, что сумму

åN δ(x -nd)
n=-N

можно считать равной сумме

å¥ δ(x -nd).
n=-¥

Фурье-образ этой бесконечной суммы дельтафункций, как известно, равен [4]

å¥ δ(ξ - ξn ).
n=-¥

“Оптический журнал”, 81, 3, 2014

15

Рассмотрим выражение (6), состоящее из двух слагаемых. Входящее в его состав первое слагаемое, обусловленное средним пропусканием голограммы, полностью аналогично первому слагаемому соответствующего выражения, описывающего спектр непрерывной голограммы. Имеющая место во втором слагаемом (6) свертка выражения, описывающего спектры трех основных порядков дифракции непрерывной голограммы, с суммой дельта-функций описывает обусловленное дискретной структурой голограммы периодическое повторение спектра поля, восстанавливаемого с помощью непрерывной голограммы. При этом период мультипликации спектра ξn = 1/dd, где dd – период дискретизации голограммы. Содержащееся во втором слагаемом выражения (6) произведение мультиплицированного спектра с функцией sin(πξa)/πξa свидетельствует о наличии зависящей от размера фокального пятна генератора изображения в случае синтезированной голограммы или “фил” фактора ПЗС-матрицы в случае цифровой голограммы модуляции спектра восстановленного поля. Отметим, что максимум этой модулирующей функции соответствует пространственной частоте восстанавливающей волны. На рис. 1 схематично представлен спектр амплитуды поля, восстанавливаемого с помощью дискретной голограммы, в случае объекта, характеризующегося полосой пространственных частот ±D/2. Отметим, что изображенные на нем пики, шириной 2D, соответствуют интермодуляционным помехам, более узкие пики шириной D – спектрам изображений, восстанавливаемых в ±1 порядках дифракции голограммы, а стрелки – дельта-функциям, описывающим обусловленное дискретизацией голограммы периодическое повторение спектра восстанавливающей волны.

1 dd
I ξr

f(1/мм)

-

1 a

+

ξr

0 2∆ ∆

1 a

+

ξr

Рис. 1. Спектр поля, восстановленного с помощью дискретной голограммы.

Представленный спектр свидетельствует

о возможности оптимизации параметров дис-

кретизации и структуры голограммы, обеспе-

чивающей, пространственное разделение ком-

понентов восстановленного поля при макси-

мально возможной ширине пространственного

спектра объекта и минимальном уровне помех.

Так, выполнение соотношения

a = dd,

(7)

т.е. выбор периода дискретизации голограммы,

равного диаметру фокального пятна генерато-

ра изображения или пиксела ПЗС-матрицы,

обеспечивает подавление обусловленной дис-

кретизацией голограммы мультипликации

спектра восстанавливающей волны путем со-

вмещения узлов огибающей с положениями

мультиплицированных спектров восстанавли-

вающей волны. При этом требование обеспече-

ния пространственного разделения компо-

нентов поля, восстанавливаемого с помощью

голограммы, обуславливает необходимость ог-

раничения ширины спектра регистрируемого

объекта, т.е. необходимость обеспечения выпол-

нения неравенства



£

1 4dd

,

(8)

а также выбор пространственной опорной волны, равной

ξr

= sin θ λ

= 1,5∆max,

частоты (9)

где Δmax = 1/4dd. Отсюда получим условие выбора угла паде-
ния опорной волны

sin

θ

=

1,5λ 4dd

.

(10)

Из (10) следует ограничение, накладываемое

на длину волны восстановления дискрет-

ной голограммы. Поскольку sin|θ| не может

превышать единицы, рабочая длина волны

восстановления синтезированной голограммы-

проектора не может быть более 2,7 периодов

дискретизации голограммы.

Выражение (8), описывающее связь шири-

ны спектра объекта с периодом дискретизации

голограммы, позволяет сформулировать огра-

ничения, накладываемые дискретностью голо-

граммы на максимальную пространственную

частоту объекта –

ξ0 max

=

∆max 2

=

1 8dd

.

(11)

16 “Оптический журнал”, 81, 3, 2014

Из (11) следует ограничение, накладываемое дискретной структурой голограммы на минимальный размер элемента структуры объекта –

at

³

2

1 ξo max

= 4dd.

(12)

Из (10) с учетом (12) следует, что минимальный размер элемента объекта, обеспечивающий пространственное разделение порядков дифракции голограммы, не может быть менее 1,5l при условии регистрации на голограмме лишь боковой полосы спектра объекта. Для голографической регистрации всего спектра объекта необходимо обеспечить регистрацию информации в полосе частот

ξmax £ 2∆max = 4 ξo max . (13)

Из (13), воспользовавшись условием формирования бегущей незатухающей волны [3], получим

4 ξo max λ £1,

(14)

ξo max

£

1 4λ

.

(15)

Таким образом, условием регистрации на

дискретной голограмме всего спектра объекта

при пространственном разделении порядков

дифракции голограммы будет выполнение не-

равенств

at ³ 2λ

и

dd

³

λ 2

.

(16)

Отметим, что минимальный размер элемента структуры изображения, традиционно определяемый в оптике из дифракционных ограничений, равен l. Следовательно, дискретность голограммы обуславливает, как минимум, полуторакратное, а то и двукратное увеличение размера минимального элемента восстановленного изображения.
Справедливость полученных выражений проиллюстрируем приведенными на рис. 2–5 результатами экспериментов, выполненных с помощью программного комплекса синтеза и восстановления голограмм-проекторов Френеля, описанного в работе [5]. На них представлены изображения тест-объекта, восстановленные в виртуальном пространстве с помощью синтезированных бинарных фазовых голограмм, полученных при различных значениях угла падения опорной волны и при различных размерах пикселов объекта и голограммы. Синтез этих голограмм осуществлялся для рабочей

“Оптический журнал”, 81, 3, 2014

Рис. 2. Изображение, восстановленное при угле падения опорной волны 14,7°.
Рис. 3. Изображение, восстановленное при угле падения опорной волны 10°.
Рис. 4. Прошедшее пороговую обработку изображение, восстановленное при угле падения опорной волны 14,7°.
Рис. 5. Не прошедшее пороговую обработку изображение тестового объекта, характеризующегося минимальным размером элемента структуры, равным 1,8 длины волны восстанавливающего излучения.
17

длины волны 13,5 нм при размере объекта 23×23 пиксела размером 80×80 нм2 (рис. 2–4) и 24×24 нм2 (рис. 5) при минимальной ширине элемента структуры объекта в 1 пиксел. Размер пиксела голограммы при этом составлял 20×20 нм2 (рис. 2–4) и 6×6 нм2 (рис. 5), а расстояние между объектом и голограммой выбиралось равным 20,3 мкм (рис. 2–4) и 0,67 мкм (рис. 5). На рис. 2 представлено изображение объекта, полученное при оптимальном, рассчитанном с помощью выражения (10), угле падения опорной волны, равном 14,7°, а на рис. 3 – изображение, полученное при угле падения опорной волны 10°. Изображение, представленное на рис. 3, отличается от изображения на рис. 2 бóльшим уровнем помех, обусловленных наложением нулевого порядка дифракции голограммы на восстановленное изображение объекта. Применение процедуры пороговой обработки к изображениям, представленным на рис. 2 и 3, позволяет заключить, что оптимизация угла падения опорной волны при синтезе или формировании голограммы приводит к получению идентичных объекту изображений (см. рис. 4) при уровнях порога, лежащих в пределах 32–86 градаций при 256-уровневой шкале градаций яркости [6]. Однако применение пороговой обработки к изображению, представленному на рис. 3, ни при каких уровнях порога не позволяет получить восстановленное изображение, тождественное исходному.
Рисунок 5 иллюстрирует справедливость соотношений (16). На нем представлено не прошедшее пороговую обработку изображение тестового объекта с минимальным размером элемента структуры 1,8l, которое было получено с помощью дискретной голограммы, синтезированной при размере пиксела голограммы, равном 0,5l. Пороговая обработка этого изображения позволяет получать изображение, идентичное исходному объекту при уровнях порога, лежащих в пределах 68 градаций серого. Справедливость неравенств (16) подтверждается также и экспериментально установленным фактом невозможности восстановления с помощью дискретной голограммы изображения объекта с минимальным размером элемента структуры, равным 1,3l.
Вернемся к выражению (12) и покажем, что условие пространственного разделения порядков дифракции голограммы может быть получено и исходя из несколько иных рассуждений. Рассмотрим наиболее удобный для

практической реализации случай внеосевой голограммы с наклонным параллельным опорным пучком и бинарным амплитудным объектным транспарантом, которое освещается параллельным нормально падающим пучком лучей и располагается параллельно голограмме так, что геометрический центр транспаранта совпадает с нормалью, восстановленной из центра голограммы. При этих условиях числовая апертура пучка, дифрагировавшего на минимальном по размеру элементе структуры фотошаблона, может быть описана с помощью следующего выражения:

A

=

n

sin

α

=

λ at

,

(17)

где А – числовая апертура пучка, n – показатель преломления среды между объектом и голограммой (в нашем случае n = 1), a – апертурный угол дифрагировавшего излучения, l – рабочая длина волны, at – характеристический размер объекта, т.е. минимальный размер элемента его структуры.
Для голографической регистрации рассматриваемого пучка лучей, одновременно с ним на плоскость регистрации голограммы должен быть направлен параллельный опорный пучок лучей. При этом необходимость пространственного разделения опорного и объектного пучков обуславливает соответствующий выбор минимально допустимого угла падения опорного параллельного пучка лучей на плоскость регистрации голограммы. Из геометрических представлений следует, что для случая точечного объекта угол падения опорного пучка на плоскость регистрации голограммы – θ должен выбираться из условия θ ≥ a. При этом минимальное значение пространственного периода регистрируемой голограммной структуры Tmin может быть определено с помощью следующего выражения:

Tmin

£

λ 2sin α

.

(18)

Из (13) и (14) с учетом теоремы Котельнико-

ва (теоремы отсчетов) можно получить выра-

жение, описывающее зависимость требуемого

периода дискретизации голограммы dd от характеристического размера фотошаблона at, –

dd

£

1 2

Tmin

£

at 4

.

(19)

Из (19) следует, что период дискретиза-

ции голограммы, а значит, и диаметр рабочего

18 “Оптический журнал”, 81, 3, 2014

фокального пятна генератора изображения или размер пикселя ПЗС-матрицы должен быть,

тра ξn = 1/dd, где dd – период дискретизации голограммы. Содержащееся во втором слагаемом

как минимум, в 4 раза меньше характеристи- выражения (6) произведение мультиплициро-

ческого размера объекта. Отметим, что связь
между параметрами at и dd, описываемая выражением (19), полностью идентична зависимо-

ванного спектра с функцией sin(πξa)/πξa свидетельствует о наличии зависящей от размера фокального пятна генератора изображений или,

сти (12), полученной в ходе частотного анали- в случае цифровой голограммы, фил-фактора

за изображения, восстановленного с помощью ПЗС-матрицы, модуляции спектра восстанов-

дискретной голограммы.

ленного поля. Исходя из требования простран-

ственного разделения порядков дифракции го-

Заключение

лограммы, установлены предельно допустимые полосы частот объектной волны и голограммы в

Таким образом, в ходе проведенного иссле- целом. Сформулировано условие пространствен-

дования выявлен характер зависимости изобра- ного разделения порядков дискретной голограм-

жающих свойств цифровых и синтезированных мы, сводящееся к необходимости обеспечения

голограмм от параметров их дискретизации. Установлено, что дискретная структура голограммы обуславливает, в отличие от случая не-

размера пиксела голограммы, составляющего
не более 1/4 от минимального размера элемента структуры объекта. Установлена принципиаль-

прерывной голограммы, непрерывное периоди- ная невозможность регистрации и восстановле-

ческое повторение спектра поля, восстанавли- ния дискретных голограмм объектов, характе-

ваемого с помощью непрерывной голограммы. ризующихся минимальным размером элемен-

При этом период мультипликации этого спек- тов их структуры менее 1,5l.

*   *   *   *   *

ЛИТЕРАТУРА
1. Голография. Методы и аппаратура. Под ред. Гинзбург В.М. и Степанова Б.М.. М.: Сов. радио, 1974. 376 с.
2. Корешев С.Н., Семенов Г.Б. Дифракционная эффективность и некоторые особенности спектров дискретных амплитудных бинарных голограмм// Оптика и спектроскопия. 1976. Т. 41. № 2. С. 310–313.
3. Кольер Р., Беркхард К., Лин Л. Оптическая голография. М.: Мир, 1973. 686 с.
4. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир, 1970. 364 с.
5. Корешев С.Н., Никаноров О.В., Громов А.Д. Метод синтеза голограмм-проекторов, основанный на разбиении структуры объекта на типовые элементы, и программный комплекс для его реализации // Оптический журнал. 2012. Т. 79. № 12. С. 30–37.
6. Корешев С.Н., Никаноров О.В., Иванов Ю.А., Козулин И.А. Программный комплекс для синтеза и цифрового восстановления голограмм-проекторов: влияние параметров синтеза на качество восстановленного изображения// Оптический журнал. 2010. Т. 77. № 1. С. 42–48.

“Оптический журнал”, 81, 3, 2014

19