ВЛИЯНИЕ НЕЭКВИДИСТАНТНОСТИ СПЕКТРА ТРЕХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ФОРМИРОВАНИЕ СТИМУЛИРОВАННОГО ФОТОННОГО ЭХА
УДК 535.2
ВЛИЯНИЕ НЕЭКВИДИСТАНТНОСТИ СПЕКТРА ТРЕХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ФОРМИРОВАНИЕ СТИМУЛИРОВАННОГО ФОТОННОГО ЭХА
© 2013 г. Л. А. Нефедьев, доктор физ.-мат. наук; Э. И. Низамова; А. Р. Сахбиева, аспирант
Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань
E-mail: enizamova@yandex.ru
Исследованы корреляция неоднородного уширения на различных частотных переходах в трехуровневых системах и ее влияние на интенсивность отклика стимулированного фотонного эха. Показано, что коэффициент корреляции неоднородного уширения на двух разных энергетических переходах и интенсивность отклика стимулированного фотонного эха зависят от параметра случайного взаимодействия оптического электрона с локальным полем m, который в свою очередь зависит от параметра неэквидистантности спектра системы.
Ключевые слова: стимулированное фотонное эхо, коэффициент корреляции, неоднородное уширение, неэквидистантность спектра.
Коды OCIS: 210.0210, 190.0190, 200.4560
Поступила в редакцию 20.05.2013
Введение
Резонансное взаимодействие лазерного излучения с веществом является одной из фундаментальных проблем современной физики. Когерентные переходные оптические явления типа фотонного эха предоставляют широкие возможности для обработки информации в оптическом диапазоне. Процессоры, основанные на фотонном эхе, могут использоваться в качестве быстродействующих запоминающих устройств с возможностью многократного считывания информации, в качестве накопителей (кумулятивный режим), а также осуществлять задержку сигналов с инверсией во времени и автосвертку сигналов в оптическом диапазоне [1– 4]. Особый интерес представляют запись и воспроизведение эхо-голограмм в многоуровневых системах, обусловленный возможными применениями различных эффектов, наблюдаемых при многочастотном возбуждении квантовых объектов. Среди них можно отметить цветную эхо-голографию [5], сжатие информации в трехуровневых средах [6], копирование квантовой информации [4] и многоуровневые квантовые гейты, выполняющие логические операции. Запись и воспроизведение эхо-голограмм в многоуровневых системах приводят к возможности
“Оптический журнал”, 80, 10, 2013
наряду с логическими операциями выполнять изменение шкалы реального времени и последовательности событий, информация о которых была заложена в пространственно-временную структуру объектного импульса. Формирование оптических переходных процессов в многоуровневых системах существенно зависит от степени корреляции неоднородного уширения резонансной линии на разных частотных переходах в связи с возможным разрушением обратимой фазовой памяти системы.
Неэквидистантность трехуровневой системы может приводить к дополнительным эффектам в формировании фотонного эха.
Механизмами неоднородного уширения в твердых телах являются: деформационное уширение (дислокации и точечные дефекты в решетке), уширение, обусловленное случайными электрическими полями и градиентами полей заряженных дефектов, нарушение порядка в структуре решетки. Таким образом, как энергии состояний, так и энергии (частоты) резонансных переходов можно рассматривать как функции многих параметров xi, число которых больше одного. Изменения этих параметров приводят к распределению оптических центров по частотам, описывающемуся многопараметрической функцией g[Δ(x1, ..., xn)]. При этом даже
9
монохроматическое возбуждение системы на уровень с энергией Ei(x1, ..., xn) может не привести к выделению оптических центров одинакового типа, так как фиксация значения функции многих переменных не сопровождается фиксированием значений аргументов (возможно наличие нескольких локальных экстремумов). Таким образом, может быть наложено лишь условие [7]
ΔEij(x1, ..., xn) = Ei(x1, ..., xn) – Ej(x1, ..., xn) = ћωij,
из которого следует, что при сравнении двух разных резонансных переходов, имеющих один общий уровень, оставшиеся нефиксированными параметры на одном переходе влияют на энергию (частоту) другого перехода. От степени такой фиксации зависит степень сохранения когерентности в многоуровневой системе при ее возбуждении на разных резонансных переходах. В свою очередь степень фиксации связана с частотами резонансных переходов, т. е. зависит от степени неэквидистантности энергетических уровней трехуровневой системы.
В данной работе рассматривается влияние неэквидистантности спектра трехуровневой системы на формирование откликов стимулированного фотонного эха.
Здесь A = P22ω + P33ωΓ – матрица перехода во вращающуюся систему координат, Γ = ω13/ω12 – параметр неэквидистантности системы, V – опе-
η
ратор взаимодействия с η-ым лазерным импульсом. Тогда
V~(η)
=
P12V
(η) 12
exp(–iωt)
+
P21V
(η) 21
exp(iωt)
+
+
P13V
(η) 13
exp(–iωΓt)
+
P31V
(η) 31
exp(iωΓt),
V (η) ij
=
–(1/2)dijε
(η) ij
exp(iωijt –
ikηr),
где r – радиус-вектор местоположения оптического центра, dij – дипольный момент перехода i–j, ε(iηj) – напряженность электрического поля фурье-компоненты η-го импульса, Pij – проективные матрицы (имеют элемент ij, равный
единице, а остальные равные нулю), kη – волновой вектор η-го импульса.
Решение уравнения (1) запишем в виде
~ρ(t –
t) η
=
exp[–(i/ħ)Bη(t –
t )] η
~ρ(tη)
×
×
exp[(i/ħ)Bη(t –
t )] η
,
(2)
где окаймляющие экспоненты вычисляются методами функций от матриц, изложенными в работе [8].
Основные уравнения
При описании взаимодействия квантовой системы с излучением ограничимся рассмотрением коротких лазерных импульсов длительностью Δt, гораздо меньшей времени необратимых релаксаций. Уравнение для одночастичной матрицы плотности во вращающейся системе координат ~ρ во время действия η-го импульса можно записать в виде
∂~ρ/∂t = –(i/ħ)[Bη, ~ρ],
где
B η
=
H~0
+
V~ – η
ħA,
H~0 = exp(iAt)H0exp(–iAt),
(1)
Н0 – гамильтониан атома, V~ = exp(iAt)V~ exp(–iAt).
ηη
Влияние неэквидистантности энергетического спектра системы на формирование стимулированного фотонного эха
Гамильтониан трехуровневого оптического центра в кристаллической матрице во вращающейся системе координат запишем как
H~0 = ħΔP22 + P33ħΓ[Δ + Δ'm(Γ, x1, ..., xn)], (3)
где Δ = E12(x1, …, xn) / ћ – ω12, параметр m(Γ, x1, …, xn) определяет неодинаковость взаимодействия оптического электрона с локальным кристаллическим полем в разных состояниях электрона оптического атома, причем, при Г→1 lim m(Г, x1,…, xn) = = 0, Δ' – дополнительный частотный сдвиг, связанный с частичной фиксацией энергии перехода 1–3 относительно энергии перехода 1–2.
Введем коэффициент корреляции неоднородного уширения на разных частотных переходах (см. [9], формула (12))
10 “Оптический журнал”, 80, 10, 2013
[ ]∞ ∞
Rij,
i'j'
=∫∫ –∞–∞
(fij –
zij)(fi'j
–
'
zi'j')
/(σijσ
i'j')g(Δ)g1(Δ')dΔdΔ',
(4)
[ ]f12 = Δ, f13 = Γ Δ + Δ'm(Γ, x1, ..., xn) , f23 = f13 – Δ,
∞∞
zij =–∞∫–∫∞fij g(Δ)g1(Δ')dΔdΔ',
∞∞
σi2j
=∫∫ –∞–∞
(fij –
zij)2g(Δ)g1(Δ')dΔdΔ',
а распределения оптических центров по частотам g(Δ) и g1(Δ') будем считать гауссовыми с дисперсиями σ2 и σ'2 соответственно. Таким образом, каждой изохромате неоднородно уширенной линии на одном переходе соответствует набор изохромат неоднородно уширенной линии на другом переходе из-за частичной фиксации энергии одного перехода относительно другого, что может приводить к потере фазовой памяти рассматриваемой системы. В свою очередь потеря фазовой памяти может оказывать существенное влияние на формирование оптических переходных процессов в многоуровневых системах.
Рассмотрим формирование стимулированного фотонного эха в системе трехуровневых оптических центров с неэквидистантными энергетическими уровнями ׀1›, ׀2›, ׀3› с энергиями ћΩ0, ћΩ1, ћΩ2 соответственно (рис. 1). Уровни 1, 2, 3 соответствуют уровням энергии ионов Pr3+ в матрице LaF3. Переход 1–2 соответ-
Рис. 1. Схема возбуждения стимулированного фотонного эха. Интервал времени между первым и вторым импульсами τ12
ВЛИЯНИЕ НЕЭКВИДИСТАНТНОСТИ СПЕКТРА ТРЕХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ФОРМИРОВАНИЕ СТИМУЛИРОВАННОГО ФОТОННОГО ЭХА
© 2013 г. Л. А. Нефедьев, доктор физ.-мат. наук; Э. И. Низамова; А. Р. Сахбиева, аспирант
Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань
E-mail: enizamova@yandex.ru
Исследованы корреляция неоднородного уширения на различных частотных переходах в трехуровневых системах и ее влияние на интенсивность отклика стимулированного фотонного эха. Показано, что коэффициент корреляции неоднородного уширения на двух разных энергетических переходах и интенсивность отклика стимулированного фотонного эха зависят от параметра случайного взаимодействия оптического электрона с локальным полем m, который в свою очередь зависит от параметра неэквидистантности спектра системы.
Ключевые слова: стимулированное фотонное эхо, коэффициент корреляции, неоднородное уширение, неэквидистантность спектра.
Коды OCIS: 210.0210, 190.0190, 200.4560
Поступила в редакцию 20.05.2013
Введение
Резонансное взаимодействие лазерного излучения с веществом является одной из фундаментальных проблем современной физики. Когерентные переходные оптические явления типа фотонного эха предоставляют широкие возможности для обработки информации в оптическом диапазоне. Процессоры, основанные на фотонном эхе, могут использоваться в качестве быстродействующих запоминающих устройств с возможностью многократного считывания информации, в качестве накопителей (кумулятивный режим), а также осуществлять задержку сигналов с инверсией во времени и автосвертку сигналов в оптическом диапазоне [1– 4]. Особый интерес представляют запись и воспроизведение эхо-голограмм в многоуровневых системах, обусловленный возможными применениями различных эффектов, наблюдаемых при многочастотном возбуждении квантовых объектов. Среди них можно отметить цветную эхо-голографию [5], сжатие информации в трехуровневых средах [6], копирование квантовой информации [4] и многоуровневые квантовые гейты, выполняющие логические операции. Запись и воспроизведение эхо-голограмм в многоуровневых системах приводят к возможности
“Оптический журнал”, 80, 10, 2013
наряду с логическими операциями выполнять изменение шкалы реального времени и последовательности событий, информация о которых была заложена в пространственно-временную структуру объектного импульса. Формирование оптических переходных процессов в многоуровневых системах существенно зависит от степени корреляции неоднородного уширения резонансной линии на разных частотных переходах в связи с возможным разрушением обратимой фазовой памяти системы.
Неэквидистантность трехуровневой системы может приводить к дополнительным эффектам в формировании фотонного эха.
Механизмами неоднородного уширения в твердых телах являются: деформационное уширение (дислокации и точечные дефекты в решетке), уширение, обусловленное случайными электрическими полями и градиентами полей заряженных дефектов, нарушение порядка в структуре решетки. Таким образом, как энергии состояний, так и энергии (частоты) резонансных переходов можно рассматривать как функции многих параметров xi, число которых больше одного. Изменения этих параметров приводят к распределению оптических центров по частотам, описывающемуся многопараметрической функцией g[Δ(x1, ..., xn)]. При этом даже
9
монохроматическое возбуждение системы на уровень с энергией Ei(x1, ..., xn) может не привести к выделению оптических центров одинакового типа, так как фиксация значения функции многих переменных не сопровождается фиксированием значений аргументов (возможно наличие нескольких локальных экстремумов). Таким образом, может быть наложено лишь условие [7]
ΔEij(x1, ..., xn) = Ei(x1, ..., xn) – Ej(x1, ..., xn) = ћωij,
из которого следует, что при сравнении двух разных резонансных переходов, имеющих один общий уровень, оставшиеся нефиксированными параметры на одном переходе влияют на энергию (частоту) другого перехода. От степени такой фиксации зависит степень сохранения когерентности в многоуровневой системе при ее возбуждении на разных резонансных переходах. В свою очередь степень фиксации связана с частотами резонансных переходов, т. е. зависит от степени неэквидистантности энергетических уровней трехуровневой системы.
В данной работе рассматривается влияние неэквидистантности спектра трехуровневой системы на формирование откликов стимулированного фотонного эха.
Здесь A = P22ω + P33ωΓ – матрица перехода во вращающуюся систему координат, Γ = ω13/ω12 – параметр неэквидистантности системы, V – опе-
η
ратор взаимодействия с η-ым лазерным импульсом. Тогда
V~(η)
=
P12V
(η) 12
exp(–iωt)
+
P21V
(η) 21
exp(iωt)
+
+
P13V
(η) 13
exp(–iωΓt)
+
P31V
(η) 31
exp(iωΓt),
V (η) ij
=
–(1/2)dijε
(η) ij
exp(iωijt –
ikηr),
где r – радиус-вектор местоположения оптического центра, dij – дипольный момент перехода i–j, ε(iηj) – напряженность электрического поля фурье-компоненты η-го импульса, Pij – проективные матрицы (имеют элемент ij, равный
единице, а остальные равные нулю), kη – волновой вектор η-го импульса.
Решение уравнения (1) запишем в виде
~ρ(t –
t) η
=
exp[–(i/ħ)Bη(t –
t )] η
~ρ(tη)
×
×
exp[(i/ħ)Bη(t –
t )] η
,
(2)
где окаймляющие экспоненты вычисляются методами функций от матриц, изложенными в работе [8].
Основные уравнения
При описании взаимодействия квантовой системы с излучением ограничимся рассмотрением коротких лазерных импульсов длительностью Δt, гораздо меньшей времени необратимых релаксаций. Уравнение для одночастичной матрицы плотности во вращающейся системе координат ~ρ во время действия η-го импульса можно записать в виде
∂~ρ/∂t = –(i/ħ)[Bη, ~ρ],
где
B η
=
H~0
+
V~ – η
ħA,
H~0 = exp(iAt)H0exp(–iAt),
(1)
Н0 – гамильтониан атома, V~ = exp(iAt)V~ exp(–iAt).
ηη
Влияние неэквидистантности энергетического спектра системы на формирование стимулированного фотонного эха
Гамильтониан трехуровневого оптического центра в кристаллической матрице во вращающейся системе координат запишем как
H~0 = ħΔP22 + P33ħΓ[Δ + Δ'm(Γ, x1, ..., xn)], (3)
где Δ = E12(x1, …, xn) / ћ – ω12, параметр m(Γ, x1, …, xn) определяет неодинаковость взаимодействия оптического электрона с локальным кристаллическим полем в разных состояниях электрона оптического атома, причем, при Г→1 lim m(Г, x1,…, xn) = = 0, Δ' – дополнительный частотный сдвиг, связанный с частичной фиксацией энергии перехода 1–3 относительно энергии перехода 1–2.
Введем коэффициент корреляции неоднородного уширения на разных частотных переходах (см. [9], формула (12))
10 “Оптический журнал”, 80, 10, 2013
[ ]∞ ∞
Rij,
i'j'
=∫∫ –∞–∞
(fij –
zij)(fi'j
–
'
zi'j')
/(σijσ
i'j')g(Δ)g1(Δ')dΔdΔ',
(4)
[ ]f12 = Δ, f13 = Γ Δ + Δ'm(Γ, x1, ..., xn) , f23 = f13 – Δ,
∞∞
zij =–∞∫–∫∞fij g(Δ)g1(Δ')dΔdΔ',
∞∞
σi2j
=∫∫ –∞–∞
(fij –
zij)2g(Δ)g1(Δ')dΔdΔ',
а распределения оптических центров по частотам g(Δ) и g1(Δ') будем считать гауссовыми с дисперсиями σ2 и σ'2 соответственно. Таким образом, каждой изохромате неоднородно уширенной линии на одном переходе соответствует набор изохромат неоднородно уширенной линии на другом переходе из-за частичной фиксации энергии одного перехода относительно другого, что может приводить к потере фазовой памяти рассматриваемой системы. В свою очередь потеря фазовой памяти может оказывать существенное влияние на формирование оптических переходных процессов в многоуровневых системах.
Рассмотрим формирование стимулированного фотонного эха в системе трехуровневых оптических центров с неэквидистантными энергетическими уровнями ׀1›, ׀2›, ׀3› с энергиями ћΩ0, ћΩ1, ћΩ2 соответственно (рис. 1). Уровни 1, 2, 3 соответствуют уровням энергии ионов Pr3+ в матрице LaF3. Переход 1–2 соответ-
Рис. 1. Схема возбуждения стимулированного фотонного эха. Интервал времени между первым и вторым импульсами τ12