Например, Бобцов

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ТРЁХЗЕРКАЛЬНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ БАЗОВОЙ ДВУХЗЕРКАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

УДК 535.317.1
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ТРЁХЗЕРКАЛЬНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ БАЗОВОЙ ДВУХЗЕРКАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
© 2013 г. Е. В. Ермолаева, канд. техн. наук; В. А. Зверев, доктор техн. наук; Ю. А. Подгорных; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: post_vaz@rambler.ru
Соотношения, определяющие конструктивные и габаритные параметры двухзеркальной системы, положены в основу разработки метода построения и расчёта (параметрического синтеза) оптических систем из трёх отражающих поверхностей. Рассмотрены возможные варианты построения принципиальных схем трёхзеркальных систем. Получено соотношение, определяющее действительное значение коэффициента центрального экранирования осевого пучка лучей. Показано, что его величина определяется светосилой главного зеркала и в предельном случае может достигать единицы.
Ключевые слова: отражающая поверхность, двухзеркальная оптическая система, трёхзеркальная оптическая система, коэффициент центрального экранирования.
Коды OCIS: 220.0220, 080.4035.
Поступила в редакцию 26.04.2013.

РазработаннаяпрофессоромГ.Г.Слюсаревым теория расчета оптических систем на основе введенного им понятия тонкого компонента [1] определила широкое применение теории первичных аберраций не только для расчета, но и для аберрационного анализа оптических систем и составляющих их элементов. Оптическая система из двух отражающих поверхностей сферической или несферической формы при нулевом расстоянии между ними практического смысла не имеет. Однако, дополнив отражающую поверхность плоской, при d = 0 формально получаем идеально тонкий компонент [2], обладающий аберрационными свойствами первой по ходу луча отражающей поверхности. Оптическая сила i-го тонкого зеркального компонента

φi = (–1)i 2/ri,

(1)

где ri – радиус кривизны первой по ходу луча отражающей поверхности компонента. При таком представлении оптической системы из

отражающих поверхностей для определения положения изображения относительно тонких компонентов применимы формулы параксиальной оптики и, в частности, например, известная формула отрезков. Оптическая сила системы из двух тонких зеркальных компонентов равна

φ = φ1 + φ2 – φ1φ2dэi,

(2)

где dэi = (-1)i⋅di, di – расстояние между отражающими поверхностями в исходной системе. При этом j1 = -2/r1, j2 = 2/r2, dэi = -di.
Расстояние от оптической оси системы до точки пересечения осевого виртуального луча со вторым компонентом равно h2 = h1(1 - j1dэi). Отношение kоэ = h2/h1 определяет параксиальный коэффициент экранирования осевого пучка лучей (зрачка) по диаметру. При этом

φ = φ1 + kоэj2, где kоэ = 1 – j1dэ1.

(3) (4)

36 “Оптический журнал”, 80, 11, 2013

Из формул (3) и (4) следует, что

φ1 = (1 – kоэ)dэ1,

(5)

φ2 = (φ – φ1)/kоэ.

(6)

Задний фокальный отрезок при a' = 1 определяется выражением

s'F' = h2 = h2h1/h1 = kоэf' = kоэ/φ .

(7)

Этот отрезок удобно выразить через расстояние между компонентами, положив s'F' = ksdэ1, где ks – коэффициент, значение которого выбирается из конструктивных соображений. При этом

dэ1 = kоэ/ks,

(8) ,

φ1 = ks(1 – kоэ)/kоэ,

(9)

φ2 = [1 – ks(1 – kоэ)/kоэ]/kоэ.

(10)

Кривизна поверхности изображения при

равном нулю астигматизме (нулевая кривизна)

j=k

определяется

коэффициентом

SIV

=


j=1

φi/ni.

В рассматриваемом случае SIV = -j1 - j2. Подставив в это выражение соотношения (9) и (10) и преобразовав его, получаем

( )kо2э – (2ks + 1)/(ks – SIV) kоэ + ks/(ks – SIV) = 0. (11)

При ks = 1 и SIV = 0 уравнение (11) принимает вид:

kо2э – 3ks + 1 = 0.

(12)

Легко убедиться, что при kоэ = 1/k~оэ уравнение (12) не изменяет своего вида. Решив это уравнение, получаем kоэ = (3 ± √5)/2. Используя соотношения (8), (9) и (10), при ks = 1 и при kоэ = (3 - √5)/2 = 0,382 находим, что j1 = -j2 = 1,618, dэ1 = 0,382. При этом схема объектива имеет вид, показанный на рис. 1а. На рис. 1б та же система представлена в виде двух зеркальных компонентов. Пусть расстояния между поверхностями в каждом компоненте равны нулю. При этом рассматриваемую систему можно представить в виде, показанном на рис. 1в, где оптическая сила каждого компонента определяется формулой (1). Используя те же соотношения, при kоэ = (3 + √5)/2 = 2,618 получаем: j1 = -j2 = 0,618, dэ1 = 2,618. При этих

“Оптический журнал”, 80, 11, 2013

Рис. 1. Оптическая система: а) из двух отражающих поверхностей, б) из двух зеркальных компонентов, в) из двух тонких компонентов, эквивалентная двухзеркальной системе.
значениях параметров схема объектива имеет вид, показанный на рис. 2. На этих рисунках буквами Э1 и Э2 обозначено положение компонентов в роли экранирующих элементов.
При 0 < ks < 1 изображение, образованное двухзеркальной системой, расположено в сходящихся пучках лучей в промежутке между зеркалами. Используя параметры оптической системы из двух тонких зеркальных компонентов, находим, что разность dp = dэ1 - s'F' = dэ1- ksdэ1 = (1 - ks)dэ1. При этом для осевого виртуального луча при h1 = 1 имеем: hp = h1 - a2dp = = 1 - (1 - ks)kоэj1/ks. Используя формулу (9), получаем hp = kоэ + ks(1 - kоэ).
Пусть Dp – диаметр сечения сходящегося осевого пучка лучей в плоскости расположения изображения. При этом приближенно справедливо следующее геометрическое соотношение: Dp/D = hp/h = hp, где D – диаметр входного зрачка. Отсюда следует, что Dp = Dhp = kоэD + (1 - kоэ)ksD. Диаметр изображения, образованного рассматриваемой оптической системой, равен 2y' - 2ftgw, где w – угол поля в пространстве предметов. При этом экранирование осевого пучка лучей
37

поверхностью изображения определим коэффициентом kwэ, равным

kwэ = 2y'/Dp = –((2tgw)/(koэ + ks(1 – koэ)))(f'/D) =

= –((2F⋅tgw)/koэ + ks(1 – koэ)),

(14)

где F – диафрагменное число. Вполне очевидно, что должно соблюдаться условие kwэ ≤ kоэ. При этом из выражения (14) следует, что

2tgw ≥ –kо2э[1 + ks(1 – kоэ)/kоэ]/F

(15)

При ks = 1: 2tgw = -kоэ/F. Таким образом, чем меньше диафрагменное число F (чем светосильнее система), тем угловое поле больше.
Кривую сечения несферической поверхности вращени∑я меридиональной плоскостью в декартовой системе координат определим уравнением вида

x2 +y2 = 2rz – (1 + b)z2 = 2rz + Az2, (16)

где r – радиус кривизны поверхности в осевой точке, b – эксцентриситет кривой второго порядка, образующей поверхность вращения.

В оптической системе, образованной сочетанием двух отражающих поверхностей (в системе Кассегрена) первая поверхность имеет форму параболоида (b1 = –1), а вторая поверхность имеет форму гиперболоида вращения при b2 = -(1 + j1)2/ /(1 - j1)2. Отсюда следует, что b2  D - D3 где D – диаметр входного зрачка системы. В общем случае отрезки а3 и a'3 можно выразить через диаметр D соотношениями вида: a3 = -k1D/2, a'3 = k1D/ /2 - D/2 + k2D = [(k1 - 1)/2 + k2]D, где k1 > 1, k2 > 1. При этом, используя формулу отрезков, находим, что оптическая сила третьего компонента, приведенная к оптической силе всей системы (j  0,5 диаметр светового пятна на поверхности первого зеркала, образованного отраженным от поверхности второго зеркала излучением, меньше диаметра последнего, что позволяет совместить оптическую ось третьего компонента с оптической осью двухкомпонентной системы (т.е., позволяет исключить из схемы плоское зеркало), расположив поверхность конечного изображения в плоскости, проходящей через вершину поверхности второго зеркала (в реальной системе чуть дальше), как показано на рис. 4. При этом расстояние от третьего компонента до плоскости изображения равно: a3' = ksdэ1 - a3. В соответствии с формулой (7) при j = 1 произведение ksdэ1 = kоэ. Используя формулу отрезков, находим, что оптическая сила третьего компонента в масштабе оптической силы двухкомпонентной системы равна
φ3 = (a3 – a3' )/a3a3' = (2a3 – kоэ)/(a3(kоэ – a3)). (26)

В этом случае кривизна поверхности изображения определяется коэффициентом SIVS = -j1 – - j2 - j3 = SIV - j3, где коэффициент SIV в соответствии с выражением (11) равен

SIV = [ks(1 – kоэ)2 – kоэ]/k2оэ.

(27)

При SIVS = 0: SIV = j3. В соответствии с выражением (27) величина j3 > 0 при ks > kоэ/(1 - kоэ)2, при этом чем меньше величина kоэ и чем больше ks, тем больше величина j3. Выражение (26) можно преобразовать в уравнение вида:

a23 – (kоэ – 2/φ3)a3 – kоэ/φ3 = 0,

(28)

где j3 = SIV. Решив уравнение (28) относительно величины a3 и выбрав корень уравнения, удовлетворяющий конструктивному условию решаемой задачи (а3 < 0), получаем

a3 = kоэ /2 – (1/φ3)(1 + √1 + k2оэφ23/4). (29)

При этом

a3' = kоэ – a3 = kоэ/2 + (1 + √1 + k2оэφ23/4)/φ3. (30)

42

Важным параметром, определяющим светосилу двухкомпонентной системы, является поперечное увеличение изображения, образованного третьим компонентом, равное
V3 = a3'/a3 = [kоэφ3 + 2(1 + √1 + k2оэφ23/4)] / (31)
/ [kоэφ3 – 2(1 + √1 + k2оэφ23)].

Фокусное расстояние рассматриваемой оптической системы в целом равно

f' = V3f1'2

(32)

При этом оптические силы зеркальных компонентов системы, приведенные к оптической силе системы в целом, равны φ~i = V3φi, где i = 1, 2, 3.
Пусть, например, ks = 1 при kоэ = 0,2. Подставив эти величины последовательно в формулы (9), (10) и (27), при SIV = j3 получаем j =  4, j2 =  – 15, j3 =  11. При этом, используя формулы (29) и (30), находим, что а3 = –0,126, а а3' = 0,326. Следовательно, V3 = a3'/a3'  = –2,5673×. Тогда при f' = –1000 мм фокусное расстояние f1'2 = 386,5 мм. В результате имеем: r1 = -2f1'2/j1 = -193,25 мм; r2 = 2f1'2/ j2 = -51,52 мм; r3 = -2f1'2/j3 = -70,27 мм; d1 = = -dэ1f1'2 = -77,30 мм; a1 = aэ3f1'2 = -48,70 мм; a3' = = -aэ'3f1'2 = -126,00 мм; d2 = ksdэ1f1'2 -a3 = 77,30 + + 48,70 = 126 мм.
При равных нулю значениях первых трех первичных аберраций изображения коэффициенты деформации поверхностей b1 = -0,979, b2 = -1,893, b3 = 0,063. Выполнив оптимизацию этих коэффициентов при положении апертурной диафрагмы в плоскости, проходящей через вершину второй отражающей поверхности, получаем систему, конструктивные параметры которой приведены в табл. 3. Заметим, что диафрагменное число первого компонента приближается к предельному при D > 250мм. Таким образом, предельное диафрагменное число полученной системы не может быть меньше F ≈ 4.
Линейное поле изображения определяется экранируемой центральной зоной второй отражающей поверхности, световой диаметр которой Dp = kоэD. Приравняв диаметр экранируемой зоны поверхности диаметру изображения, имеем 2y' = kwDp, где kw – допустимая максимальная величина коэффициента экранирования по диаметру осевого пучка лучей. Тогда угловое поле системы определится очевидным выражением вида 2|tgw| = 2y'/|f'| = kоэkwD/|f'|.

“Оптический журнал”, 80, 11, 2013

Таблица 3. Конструктивные параметры

№ пов-ти
1 2 3

Радиусы

D

Марки стекол

Показат. преломл.

Световые диаметры

– 1,000

–193,250A*

–77,30



–1,000

256,14

–51,530A**

126,00



1,000

55,04

–70,230A***



–1,000

40,18

*A = –0,0213700808 **A = 1,54785355 ***A = –0,4247235619

Стрелки
–42,54 –6,68 –2,90

Таблица 4. Конструктивные параметры

№ пов-ти

Радиусы

D

Марки стекол

Показат. преломл.

Световые диаметры

1

–369,500A*

–138,56

2

–138,560A**

310,85

3 –221,700A***

– – – –

1,000 –1,000
1,000 –1,000

422,39 107,84 168,86

*A = –0,0703326808 **A = 2,22458851 ***A = –0,6204601131

Стрелки
–60,71 –9,73
–16,46

При kw = kоэ: 2|tgw| = kоэ2D/|f'|. В приведенном примере kоэ = 0,2. Положив kw = 0,3, получаем 2|tgw| = 0,012, т.е. 2w ≈ 42'.
Если при ks = 1 принять kоэ=0,25, то j1 = 3, j2 = = -8, j3 =5. При этом а3 = –0,31085, а3' = d2 = = 0,56085.
Выполнив оптимизацию коэффициентов b1, b2 и b3 деформации отражающих поверхностей при положении апертурной диафрагмы в плоскости, проходящей через вершину второй отражающей поверхности, получаем систему, конструктивные параметры которой представлены в табл. 4. Диафрагменное число полученной системы F = 2,5 , угловое поле 2w ≈ 1°45'. Заметим, что с увеличением коэффициента kоэ увеличивается и длина системы.
Итак, дополнение двухкомпонентной системы третьим компонентом приводит к уменьшению светосилы оптической системы в целом, что определяет требуемое увеличение светосилы двухкомпонентной системы. Однако с увеличением светосилы увеличивается величина центрального экранирования реального осевого пучка лучей в двухкомпонентной системе. Рассмотрим это явление на примере системы Кассегрена, схема которой представлена на рис. 5.
На рис. 5 показан ход луча, параллельного оптической оси системы и падающего в точку N1(Y, Z) первой отражающей поверхности. От-
“Оптический журнал”, 80, 11, 2013

раженный от первой поверхности луч падает в точку N2(y, z) второй поверхности, после отражения от которой пересекает оптическую ось в точке F'. Смысл обозначенных на рис. 5 буквами величин вполне очевиден. Линией W-W, проходящей через произвольную точку А0 на оптической оси системы перпендикулярно к ней, обозначен волновой фронт излучения, падающего на оптическую систему. В соответствии с принципом таутохронизма и принятыми обозначениями на рис. 5 имеем

n1AN1 + n2N1N2 + n3N2F' = = n1A0O1 + n2O1O2 + O2F'.

(33)

Рис. 5. Ход луча осевого пучка в двухзеркальной системе.
43

Но n1= -n2 = n3 = 1. Учитывая это, перепишем выражение (33) в виде

y = 4a tg(s 2) tg(s′ 2) (1+ tg(s 2) tg(s′ 2))(×tg(s 2) + tg(s′ (39)

(AN1 – N1N2 + N2F' = A0O1 –yO=14Oa2t+g(Os2F2').tg(s′ 2(3)4) 1 + tg(s 2) tg(s′ 2×)) (tg (s 2) + tg (s′ 2)) . Из рисунка следует, что угол 2i = s' - s. Тогда

В соответствии с рис. 5 AN1 - A0O1 = Z. Кроме того, учитывая, что O1O2 = -d, а O2F' = sF' ', выражение (34) можно представить в виде

с учетом этого из равенства первого соотношения третьему в выражении (37) находим, что

N1N2 = Z + N2F' – d – sF' '.

N2F′ = -2csin s sin (s′ - s) .

(40)

Приравняв правые части выражений (38) и

Покажем, что с увеличением диаметра осе- (40), получаем

вого пучка лучей оптическая длина отрезка

N1N2 уменьшается, а, следовательно, увеличивается отношение kэ =y/Y, определяющее действительную величину центрального экрани-

sin (s - s′) = e(sin s + sin s′) .
Полученное выражение легко преобразовать

рования пучка лучей. Заметим, что в параксиальной области, т.е. при Y→0, величина kэ→kоэ. В случае сочетания двух декартовых отражающих поверхностей первая поверхность имеет

к виду: tg(s'/2) = [(1 - e)/(1 + e)]tg(s/2). Учитывая соотношение (36), имеем tg(s'/2) =
= -tg(s/2)/V2. Подставив это соотношение в выражение (39), получаем

форму параболоида (е2 = 1), а вторая поверх-

ность может иметь форму эллипсоида вращения (система Грегори) или, как в рассматрива-

y = 4a(V2/1 – V2)tg(σ/2)/(V2 – tg2(σ/2)). (41)

емом случае, форму гиперболоида вращения,

Определив параболоид уравнением y2 = 2rz,

когда e2 = (1 + j1)2/(1 - j1)2; при этом в соответствии с рис. 5 и свойствами гиперболы имеем:
F1F' = 2c, а N2F' - N2F1' = O2F' - O2F1 = 2a, где 2а – расстояние между вершинами ветвей гиперболы, 2с – расстояние между геометрическими

находим, что dz/dy = y/r. В рассматриваемом случае dz/dy = tgg = tg(s/2) = Y/r1. При этом выражение (41) можно преобразовать к виду: y = 4(c/e)(V2/(1 - V2)(r1Y/(V2r12 - Y2)). Отсюда следует, что действительная величина коэффи-

фокусами ветвей гиперболы, причем отношение циента центрального экранирования осевого

c/a = e - эксцентриситет гиперболы. Обозначим пучка лучей равна:

O2F' = s', O2F1' = -s. Тогда e = c/a =(s'-s)/(s' + s). Поперечное увеличение изображения, обра-
зованного второй отражающей поверхностью, равно V2 = n2s'/(n3s) = -s'/s. При этом

( )ký = y Y = 4 (c e)V2 (1 - V2 ) r1 V2r12 - Y 2  . (42)

e = –(1 + V2)/(1 – V2)

(35)

Отсюда следует, что V2 = –(1 + e)/(1 – e) (36) В соответствии с рис. 5 имеем

sin 2i 2c = sin s′ N2F1′= -sin s N2F′ . (37)
Из равенства второго соотношения третьему следует, что N2F1' = -N2F'sins'/sins. Тогда 2a = = N2F' - N2F1' =N2F'(1 + sins'/sins).
При этом

N2F′ = 2a sin s /(sin s + sin s′)  (38)

Учитывая, что эксцентриситет гиперболы е > 1 и оптическая сила первого компонента j1 > 1, выбираем значение

e = (1 + j1 )2 /(1 - j1 )2 = -(1 + j1 )/(1 - j1 ). (43)

Из выражений (35), (43) и (1) следует, что

при j=1

V2 = φ1 = –2/r1. В соответствии с рис. 5

(44)

2c = –r1/2 – ksd + d = d(1 – ks),  (45) где d = -dэ1. Соотношения (8), (9), (43), (44) и (45) позволяют выражение (42) преобразовать

к виду:

В соответствии с рисунком y=N2F'sins' = = 2asinssins'/(sins + sins').
Это выражение удобно преобразовать к виду:

kэ = kоэ/[1 – ks(1 – kоэ)/(4kоэ)Y2]

(46)

или kэ = kоэ/(1 – [(1/ks)kоэ/(1 – kоэ)]/tg2(σ/2)) (47)

44 “Оптический журнал”, 80, 11, 2013

Поскольку линейные величины в полученных выражениях представлены в масштабе фокусного расстояния системы, величина D = 1/F, где F – диафрагменное число системы. Тогда при Y = D/2 выражение (46) можно представить в виде:

1/k~э = 1 – ks(1 – kоэ)/(16kоэF2),

(48)

где что

k~k~ээ→= k1э/пkроиэ пkроиэ→11 -1×.
Следует обратить внимание на тот факт, что уравнение (51) имеет действительное решение при k2э(1 + ψ)2 - 4kэψ ≥ 0. Учитывая, что y > 0 и kэ > 0, справедливо условие:

kэ ≥ 4ψ/(1 + ψ)2 = 64ksF2/(ks + 16F2)2

(52)

При ks = 1 и F = 1: kэ ≥ 0,22. Подставив эти величины в уравнение (51), получаем kоэ ≥ 0,12. С другой стороны, при SIV = j3 = 0 выражение (27) принимает вид уравнения: k2оэ - (1 + 2ks)/ /kskоэ + 1 = 0. При ks = 1 величина коэффициента kоэ = 0,38. Таким образом, при ks = 1 и F = 1 задача разработки трехзеркального плананастигмата возможна при 0,12 < kоэ < 0,38.
Из формулы (27) следует, что чем больше величина коэффициента ks и чем меньше величина коэффициента kоэ, тем больше величина коэффициента SIV, равного оптической силе j3, тем меньше абсолютная величина отрезков, равных расстояниям от третьего компонента до плоскостей предмета и изображения. Пусть требуется вычислить параметры трехзеркальной системы при f' = -400 мм, F' = 1, kэ = 0,25, V3 = -0,4×. Пусть ks = 1. Подставив соответствующие величины в уравнение (51) и решив его, получаем kоэ = 0,178. Используя формулы (8), (9),

“Оптический журнал”, 80, 11, 2013

(10) и (27), находим, что dэ1 = 0,178, j1 = 4,618, j2 = -20,326, j3 = 15,708. Учитывая, что f1'2 = f'/ / V 3  =   1 0 0 0   м м ,   п о л у ч а е м   r 1  =   - 2 f '12/ j 1  = = -433,09 мм, r2 = -98,40 мм, r3 = -127,32 мм; d1 = -dэ1f1'2 = -178 мм. Используя формулу отрезков в виде (1/aэ'3) - (1/aэ3) = j3, находим, что при ν3 = -0,4× отрезок a3 = aэ3 f1'2 = -222,82 мм, a3' = 89,13. При этом d2 = 400,82 мм. Между второй и третьей отражающими поверхностями удобно поместить плоское зеркало. Определим отражающие поверхности уравнением вида: x2 + y2 = 2riz + b1iz2 + b2iz3 + … + bn-1izn. Выполнив оптимизацию коэффициентов, определяющих форму отражающих поверхностей, при апер-

турной диафрагме, совмещенной с плоским зеркалом, получаем систему, конструктивные параметры которой приведены в табл. 7. Схема полученной оптической системы показана на рис. 7. При этом плоское зеркало может быть расположено под углом к оптической оси двухкомпонентной системы. С увеличением коэффициента kэ и уменьшением коэффициента ks диаметр третьего зеркала растет, превосходя диаметр входного зрачка.
Предложенная методика позволяет не только рассчитать, но и выполнить анализ габаритных и аберрационных свойств трехзеркальных систем рассмотренных конструкций.

*****

ЛИТЕРАТУРА 1. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969, 672 с. 2. Зверев В.А., Шепелевич А. Н. Понятие тонкого компонента в системе отражающих поверхностей.//
Оптический журнал. 2006. Т.73 №12. С.21-26. 3. Зверев В. А. Основы геометрической оптики. СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2002, 218с. 4. Чуриловский В. Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. Л.: Машиностроение, 1968. 312с. 5. Зверев В. А. Оптическая система из двух зеркальных поверхностей. // ОМП, 1968, №10. С. 24–29. 6. Власов А. Г., Крупп Д. М. // Опт. и спектр. 1963. XV. Вып. 5, С.676. 7. Bartkowski Z. Pomiary, automat., kontrola, 1959. 5. № 11–12, P. 436.

“Оптический журнал”, 80, 11, 2013

47