ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ “НЕИЗОБРАЖАЮЩЕЙ” ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОСВЕТИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА
РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 535.2
ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ “НЕИЗОБРАЖАЮЩЕЙ” ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОСВЕТИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА
© 2013
А. В. Гапеева; В. А. Зверев, доктор техн. наук; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
НИУ ИТМО, Санкт-Петербург
E-mail: post_vaz@rambler.ru
Показано, что если (подобно функции рассеяния точки в изображающей оптике) принять относительное распределение яркости в источнике излучения конечных размеров в качестве функции неизображаемого отображения, то реальное распределение освещенности поверхности определится интегралом свертки функции неизображаемого отображения с распределением освещенности поверхности точечным источником. Рассмотрено применение отражающей поверхности для выравнивания освещенности поверхности безотносительно к ее изображающим свойствам.
Ключевые слова: источник излучения, центральная проекция, освещённость, отражающая поверхность.
Коды OCIS: 220.0220, 220.4298, 220.2945.
Поступила в редакцию 11.07.2013.
Пусть точечный источник излучения S освещает отверстие произвольной формы в плоском экране, расположенном на расстоянии R0 от источника, как показано на рис.1. При этом конфигурация центральной проекции отверстия на плоской поверхности, расположенной на расстоянии R от центра проекции в точке S, будет подобна конфигурации отверстия в экране.
Световой поток, излучаемый площадкой dS в телесный угол dw в направлении, определяемом полярными углами (a, b), равен [1]
d2Φ = LdwdScose,
(1)
где L – фотометрическая яркость излучения площадки dS в точке (x, h) в направлении (a, b); в общем случае L = L (x, h; a, b); e – угол между направлением (a, b) и нормалью к элементу поверхности, как показано на рис. 2. Множитель
cos e в выражении (1) определяет тот факт, что физический смысл имеет не сам элемент поверхности dS, а его проекция на плоскость, пер-
пендикулярную к направлению (a, b).
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
Пусть сечение телесного угла dw наклонной плоскостью образует площадку dS на некото-
ν
ром расстоянии R от площадки dS вдоль оси
телесного угла dw, нормаль к которой образует угол eν, как показано на рис. 3 [2]. При этом
d2Φ = LdwdScose = L
dS
cos
ν
eν
R2
dScose =
=
LdwνdS
cos
ν
eν.
(2)
В то же время световой поток, проходящий через площадку dS , равен
ν
d2Φν
=
L
νdw
dS
ν
cos
ν
eν.
(3)
В общем случае d2Фν=td2Ф, где t – коэффициент пропускания среды, разде-
ляющей площадки dS и dS . ν Из сопоставления выражений следует, что
при
t
=
1
имеем
L
=
L. ν
Полученное
равенство
позволяет интерпретировать величину L не
только как яркость излучающей поверхности,
17
Рис. 1. Отображение отверстия в экране на освещаемой поверхности
но и как яркость излучения в плоском сечении светового пучка.
Совокупность геометрических лучей, проходящих через две произвольно расположенные площадки (диафрагмы), размеры которых значительно меньше расстояния между ними, называют физическим пучком, при этом поверхность, ограничивающую поперечные размеры физического пучка, принято называть световой трубкой.
Из формулы (2) следует, что освещенность площадки dS , на которую падает световой
ν
поток d2Φ, равна
E
=
d2Φ dS
=
L
dS R2
cos eνcos e.
ν
При e = eν = 0 и R = R0 получаем
E0 = LdS/R20.
(4)
При e = eν и R = R0/cose освещенность площадки dS равна
ν
E = L(dS/R20) cos4e.
(5)
Из сопоставления выражений (4) и (5) находим, что
E = E0cos4e.
(6)
При неравномерной яркости излучения элементарной площадки излучающей поверхности световой поток, излучаемый всей поверхностью, равен
δΦ = πsin2 σ ∫∫ L(ξ, η)dξdη,
ξη
(7)
где s – апертурный (плоский) угол телесного угла излучения; x, h – система декартовых координат в плоскости излучающей поверхности; dxdh = dS – элементарная площадка излучающей поверхности.
Пусть dΦ = p(sin2s)L0dS, где L0 – среднее значение яркости излучения поверхности dS. Тогда
При этом
L0dS = ∫∫ L(ξ, η)dξdη.
ξη
∫∫
ξη
L(ξ, η) L0dS
dξdη = 1.
Следовательно,величинаD(x,h)=L(x,h)/(L0dS) подобна функции рассеяния точки (ФРТ) в изображающей оптике и может быть названа функцией неизображающего отображения (ФНО) в неизображающей оптике.
Плоскость отверстия в экране и освещаемую поверхность естественно считать параллельными излучающей поверхности. При этом центральные проекции излучающей поверхности на освещаемую поверхность при произвольном
(a, b)
ε P(ξ, η)
dS
Нормаль к dS
Рис. 2. Световой поток, излучаемый площадкой dS.
18
N 0ε
dων
dS dω R
Nν
εν
0 ν
dS ν
Рис. 3. Геометрические соотношения в световой трубке.
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
Рис. 4. Отображение отверстия в экране на поверхности, освещаемой источником излуче-
ния конечных размеров.
Рис. 5. Форма отражающей поверхности для выравнивания освещенности освещаемой по-
верхности.
расположении центров проекции в пределах отверстия в экране, как показано на рис. 4, одинаковы и по форме, и по размерам, т.е. ФНО подобна ФРТ при соблюдении условия изопланатичности изображения.
Пусть расстояние от источника излучения до отверстия в экране равно R0, а расстояние до освещаемой поверхности – R0р. Освещенность отверстия определяется формулой (5), а освещаемой поверхности – формулой вида
Ep = E0pcos4e,
(8)
где E0p = L(xp,hp)dS/R20p; dS = ∫∫ dxdh.
В этом выражении cos4e = R40p/(R20p + xp2 + y2p)2. В рассматриваемом случае ФНО определяется выражением
D(xp,hp) = L(xp,hp)/(L0dSp).
(9)
При этом реальное распределение освещенности на освещаемой поверхности определяется интегралом свертки
E~p(xp, yp) = ∫∞∫D(xp,hp)Ep(xp – xp, yp – ηp)dxpdhp. (10)
В соответствии с теоремой свертки преобразование Фурье распределения освещенности, определяемого формулой (10), равно произведению преобразований Фурье ФНО D(xp, hp) и распределения освещенности Ep(xp, yp) –
e~p(Nx, Ny) = d(Nx, Ny)ep(Nx, Ny).
(11)
При L(x, h) = L0 = const справедливы следующие соотношения: E0p = L0(dS/Rp2); D(xp,hp)=1/dSp.
Пусть E~p при e = p/2
= –
EE~pp/=E00p..
Тогда при При этом
e = 0 имеем E~p = 1, возникает вполне
очевидная мысль, суть которой сводится к тому,
чтобы собрать световой поток, падающий на
освещаемую поверхность вне угла e = e к, и “положить” его на поверхность в пределах угла
0 ≤ e < e к. Для решения этой задачи применим отражающую поверхность несферической
формы, а в качестве исходной формы поверх-
ности рассмотрим отражающую поверхность
параболоида вращения, расположенную перед
источником излучения (источник расположен
в фокальной плоскости параболоида), как пока-
зано на рис. 5.
В системе координат y0z уравнение парабо-
лы имеет вид
y2 = 2 r z ,
(12)
где r – радиус кривизны параболы в осевой точке. При этом 0F = (1/2)r. Уравнение луча, исходящего из точки f под углом -sp к оси 0z, имеет вид
y = –(z – (1/2)r)tgσp.
(13)
Заменив величину y в уравнении (12) выражением (13) и выполнив преобразования, получаем уравнение относительно координаты z точки пересечения луча с параболой
z2 – (1 + 2/tg2σp)rz + (1/4)r2 = 0. Решая это уравнение, получаем
(14)
zp = 0,5((1 + cosσp)/(1 – cosσp))r = r/(2tg2(σp/2)). (15)
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
19
Отсюда следует, что при sp = 0 координата Вмzpыу =лб е∞ра,(в8а)птурргеиобsлуpе eм= = оpе /-2зs–нp,аzчнp еа=нх (ио1ед/и2вм)еrл,.иПччтоиолноEы~жp =Eи~вp c,oвнsфа4хоsроp--. дим косинус угла sp.
Угол g между касательной к параболе и осью Oz определяется выражением
tgγ = dy/dz = r/y.
(16)
Положив угол g = -sр, находим координату yк точки Рк касания прямой с параболой. При этом координата
zк = y2к/2r = r/(2tg2ωp).
(17)
Освещаемая зона поверхности формируется световым потоком, который излучаеется в пределах телесного угла, определяемого плоским углом 2sp. Для того чтобы этот поток, определяемый плоским углом от 2s = 2sp до 2s = p, непрерывно распределялся в пределах освещаемой зоны, касательная к кривой меридионального сечения отражающей поверхности в крайней точке должна располагаться под углом g = -sp к оси 0z. Для этого параболу необходимо заменить кривой, определяемой уравнением
y2 = 2rz + a1z2 + a2z3 + a3z4.
(18)
При этом тангенс угла g, образованного касательной к кривой с осью 0z, равен
2ytgγ = 2y(dy/dz) = 2r + 2a1z + 3a2z2 + 4a3z3. (19)
Это условие можно выполнить, если крайнюю точку меридионального сечения отражающей поверхности (точку Р) сместить вдоль луча вправо, т.е. при z > zp.
Заметим, что касательная в точке Рк параболоида пересекает продолжение линии КрРр на рис. 5 в точке Р на расстоянии КрР от оси 0z. Из рис. 5 находим, что КрР = yp + PрР, где PрР = yк + (zк - 0,5r)tgsp. В качестве исходного положения точки Q на луче можно принять точку, расположенную на расстоянии KQQ = КрР от оси 0z. Тогда, обозначив расстояние KQQ = yQ, получаем
yQ = yp + yк + (zк - 0,5r)tgsp.
(20)
При этом zQ = –yQ/tgsp + 0,5r.
(21)
Подставив выражение (15) в выражение
(13), получим
20
yp = –rsinsp/(1 – cossp).
(22)
Из выражения (16) при g = -sp находим, что координата
yк = –rtgsp. Применив формулу (17), получаем
(23)
(zк – 0,5r)tgsp = r/tgsp.
(24)
Полученные соотношения (22)–(24) позволяют преобразовать выражения (20) и (21) к виду:
yQ = –r(cos2 sp + (1 + cos2sp)2)/sin2sp, (25)
zQ = r(1 + (1 + cossp)2)/2sin2sp.
(26)
Кривую сечения отражающей поверхности определим уравнением (18). Для того чтобы кривая меридионального сечения отражающей поверхности содержала точку Q, а касательная к кривой в этой точке образовывала бы с осью 0z угол g = -sp, кривую достаточно определить уравнением вида
yQ2 = 2rzQ + a1zQ2 + a2zQ3 + a3zQ4,
(27)
Тогда при g = -sp имеем
–2ytgsp = 2r + 2a1zQ + 3a2zQ2 + 4a3zQ3. (28)
Радиус r при вершине поверхности считаем известным (например, выбранным из конструктивных соображений). Если исходная поверхность имеет форму параболоида вращения, то коэффициент a1 = 0. Однако, учитывая характер решаемой задачи, естественно отказаться от этого условия и ограничиться представлением кривой уравнением вида
yQ2 = 2rzQ + a1zQ2 + a2zQ3.
(29)
В этом случае 2ytgsp = 2r + 2a1zQ + 3a2zQ2. (30)
Координаты yQ и zQ в выражениях (29) и (30) определяются формулами (25) и (26).
Пусть, например, cos4sp = 0,5. Тогда cossp = = 0,8409. Подставив это значение косинуса угла в выражения (25) и (26), получаем такие координаты точки Q: yQ = 4,5002r, zQ = 7,4923r. При этом выражения (29) и (30) принимают вид системы уравнений
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
0,09383 = a1 + 7,4923a2r 0,25310 = a1 + 11,2384a2r
.
(31)
Решив эту систему уравнений, получаем a1 = –0,2247; ra2 = 0,04252. При этих значениях коэффициентов уравнение кривой сечения отражающей поверхности принимает вид
y2 = 2rz – 0,2247z2 + 0,04252z3/r.
Итак, при освещении поверхности источником излучения малых размеров (“точечным”
источником) освещенность поверхности изменяется пропорционально четвертой степени косинуса угла падения излучения на поверхность. Если (подобно функции рассеяния точки в изображающей оптике) относительное распределение яркости в источнике излучения конечных размеров принять в качестве функции неизображаемого отображения, то реальное распределение освещенности поверхности определится интегралом свертки функции неизображаемого отображения с распределением освещенности поверхности точечным источником.
*****
Литература 1. Иванов В.П., Батраков А.С. Трехмерная компьютерная графика / Под ред. Г.М. Полищука. М.: Радио и
связь, 1995. 224 с.
2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 856 с.
3. Зверев В.А., Точилина Т.В. Основы оптотехники. Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. 293 с.
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
21
УДК 535.2
ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ “НЕИЗОБРАЖАЮЩЕЙ” ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОСВЕТИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА
© 2013
А. В. Гапеева; В. А. Зверев, доктор техн. наук; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
НИУ ИТМО, Санкт-Петербург
E-mail: post_vaz@rambler.ru
Показано, что если (подобно функции рассеяния точки в изображающей оптике) принять относительное распределение яркости в источнике излучения конечных размеров в качестве функции неизображаемого отображения, то реальное распределение освещенности поверхности определится интегралом свертки функции неизображаемого отображения с распределением освещенности поверхности точечным источником. Рассмотрено применение отражающей поверхности для выравнивания освещенности поверхности безотносительно к ее изображающим свойствам.
Ключевые слова: источник излучения, центральная проекция, освещённость, отражающая поверхность.
Коды OCIS: 220.0220, 220.4298, 220.2945.
Поступила в редакцию 11.07.2013.
Пусть точечный источник излучения S освещает отверстие произвольной формы в плоском экране, расположенном на расстоянии R0 от источника, как показано на рис.1. При этом конфигурация центральной проекции отверстия на плоской поверхности, расположенной на расстоянии R от центра проекции в точке S, будет подобна конфигурации отверстия в экране.
Световой поток, излучаемый площадкой dS в телесный угол dw в направлении, определяемом полярными углами (a, b), равен [1]
d2Φ = LdwdScose,
(1)
где L – фотометрическая яркость излучения площадки dS в точке (x, h) в направлении (a, b); в общем случае L = L (x, h; a, b); e – угол между направлением (a, b) и нормалью к элементу поверхности, как показано на рис. 2. Множитель
cos e в выражении (1) определяет тот факт, что физический смысл имеет не сам элемент поверхности dS, а его проекция на плоскость, пер-
пендикулярную к направлению (a, b).
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
Пусть сечение телесного угла dw наклонной плоскостью образует площадку dS на некото-
ν
ром расстоянии R от площадки dS вдоль оси
телесного угла dw, нормаль к которой образует угол eν, как показано на рис. 3 [2]. При этом
d2Φ = LdwdScose = L
dS
cos
ν
eν
R2
dScose =
=
LdwνdS
cos
ν
eν.
(2)
В то же время световой поток, проходящий через площадку dS , равен
ν
d2Φν
=
L
νdw
dS
ν
cos
ν
eν.
(3)
В общем случае d2Фν=td2Ф, где t – коэффициент пропускания среды, разде-
ляющей площадки dS и dS . ν Из сопоставления выражений следует, что
при
t
=
1
имеем
L
=
L. ν
Полученное
равенство
позволяет интерпретировать величину L не
только как яркость излучающей поверхности,
17
Рис. 1. Отображение отверстия в экране на освещаемой поверхности
но и как яркость излучения в плоском сечении светового пучка.
Совокупность геометрических лучей, проходящих через две произвольно расположенные площадки (диафрагмы), размеры которых значительно меньше расстояния между ними, называют физическим пучком, при этом поверхность, ограничивающую поперечные размеры физического пучка, принято называть световой трубкой.
Из формулы (2) следует, что освещенность площадки dS , на которую падает световой
ν
поток d2Φ, равна
E
=
d2Φ dS
=
L
dS R2
cos eνcos e.
ν
При e = eν = 0 и R = R0 получаем
E0 = LdS/R20.
(4)
При e = eν и R = R0/cose освещенность площадки dS равна
ν
E = L(dS/R20) cos4e.
(5)
Из сопоставления выражений (4) и (5) находим, что
E = E0cos4e.
(6)
При неравномерной яркости излучения элементарной площадки излучающей поверхности световой поток, излучаемый всей поверхностью, равен
δΦ = πsin2 σ ∫∫ L(ξ, η)dξdη,
ξη
(7)
где s – апертурный (плоский) угол телесного угла излучения; x, h – система декартовых координат в плоскости излучающей поверхности; dxdh = dS – элементарная площадка излучающей поверхности.
Пусть dΦ = p(sin2s)L0dS, где L0 – среднее значение яркости излучения поверхности dS. Тогда
При этом
L0dS = ∫∫ L(ξ, η)dξdη.
ξη
∫∫
ξη
L(ξ, η) L0dS
dξdη = 1.
Следовательно,величинаD(x,h)=L(x,h)/(L0dS) подобна функции рассеяния точки (ФРТ) в изображающей оптике и может быть названа функцией неизображающего отображения (ФНО) в неизображающей оптике.
Плоскость отверстия в экране и освещаемую поверхность естественно считать параллельными излучающей поверхности. При этом центральные проекции излучающей поверхности на освещаемую поверхность при произвольном
(a, b)
ε P(ξ, η)
dS
Нормаль к dS
Рис. 2. Световой поток, излучаемый площадкой dS.
18
N 0ε
dων
dS dω R
Nν
εν
0 ν
dS ν
Рис. 3. Геометрические соотношения в световой трубке.
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
Рис. 4. Отображение отверстия в экране на поверхности, освещаемой источником излуче-
ния конечных размеров.
Рис. 5. Форма отражающей поверхности для выравнивания освещенности освещаемой по-
верхности.
расположении центров проекции в пределах отверстия в экране, как показано на рис. 4, одинаковы и по форме, и по размерам, т.е. ФНО подобна ФРТ при соблюдении условия изопланатичности изображения.
Пусть расстояние от источника излучения до отверстия в экране равно R0, а расстояние до освещаемой поверхности – R0р. Освещенность отверстия определяется формулой (5), а освещаемой поверхности – формулой вида
Ep = E0pcos4e,
(8)
где E0p = L(xp,hp)dS/R20p; dS = ∫∫ dxdh.
В этом выражении cos4e = R40p/(R20p + xp2 + y2p)2. В рассматриваемом случае ФНО определяется выражением
D(xp,hp) = L(xp,hp)/(L0dSp).
(9)
При этом реальное распределение освещенности на освещаемой поверхности определяется интегралом свертки
E~p(xp, yp) = ∫∞∫D(xp,hp)Ep(xp – xp, yp – ηp)dxpdhp. (10)
В соответствии с теоремой свертки преобразование Фурье распределения освещенности, определяемого формулой (10), равно произведению преобразований Фурье ФНО D(xp, hp) и распределения освещенности Ep(xp, yp) –
e~p(Nx, Ny) = d(Nx, Ny)ep(Nx, Ny).
(11)
При L(x, h) = L0 = const справедливы следующие соотношения: E0p = L0(dS/Rp2); D(xp,hp)=1/dSp.
Пусть E~p при e = p/2
= –
EE~pp/=E00p..
Тогда при При этом
e = 0 имеем E~p = 1, возникает вполне
очевидная мысль, суть которой сводится к тому,
чтобы собрать световой поток, падающий на
освещаемую поверхность вне угла e = e к, и “положить” его на поверхность в пределах угла
0 ≤ e < e к. Для решения этой задачи применим отражающую поверхность несферической
формы, а в качестве исходной формы поверх-
ности рассмотрим отражающую поверхность
параболоида вращения, расположенную перед
источником излучения (источник расположен
в фокальной плоскости параболоида), как пока-
зано на рис. 5.
В системе координат y0z уравнение парабо-
лы имеет вид
y2 = 2 r z ,
(12)
где r – радиус кривизны параболы в осевой точке. При этом 0F = (1/2)r. Уравнение луча, исходящего из точки f под углом -sp к оси 0z, имеет вид
y = –(z – (1/2)r)tgσp.
(13)
Заменив величину y в уравнении (12) выражением (13) и выполнив преобразования, получаем уравнение относительно координаты z точки пересечения луча с параболой
z2 – (1 + 2/tg2σp)rz + (1/4)r2 = 0. Решая это уравнение, получаем
(14)
zp = 0,5((1 + cosσp)/(1 – cosσp))r = r/(2tg2(σp/2)). (15)
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
19
Отсюда следует, что при sp = 0 координата Вмzpыу =лб е∞ра,(в8а)птурргеиобsлуpе eм= = оpе /-2зs–нp,аzчнp еа=нх (ио1ед/и2вм)еrл,.иПччтоиолноEы~жp =Eи~вp c,oвнsфа4хоsроp--. дим косинус угла sp.
Угол g между касательной к параболе и осью Oz определяется выражением
tgγ = dy/dz = r/y.
(16)
Положив угол g = -sр, находим координату yк точки Рк касания прямой с параболой. При этом координата
zк = y2к/2r = r/(2tg2ωp).
(17)
Освещаемая зона поверхности формируется световым потоком, который излучаеется в пределах телесного угла, определяемого плоским углом 2sp. Для того чтобы этот поток, определяемый плоским углом от 2s = 2sp до 2s = p, непрерывно распределялся в пределах освещаемой зоны, касательная к кривой меридионального сечения отражающей поверхности в крайней точке должна располагаться под углом g = -sp к оси 0z. Для этого параболу необходимо заменить кривой, определяемой уравнением
y2 = 2rz + a1z2 + a2z3 + a3z4.
(18)
При этом тангенс угла g, образованного касательной к кривой с осью 0z, равен
2ytgγ = 2y(dy/dz) = 2r + 2a1z + 3a2z2 + 4a3z3. (19)
Это условие можно выполнить, если крайнюю точку меридионального сечения отражающей поверхности (точку Р) сместить вдоль луча вправо, т.е. при z > zp.
Заметим, что касательная в точке Рк параболоида пересекает продолжение линии КрРр на рис. 5 в точке Р на расстоянии КрР от оси 0z. Из рис. 5 находим, что КрР = yp + PрР, где PрР = yк + (zк - 0,5r)tgsp. В качестве исходного положения точки Q на луче можно принять точку, расположенную на расстоянии KQQ = КрР от оси 0z. Тогда, обозначив расстояние KQQ = yQ, получаем
yQ = yp + yк + (zк - 0,5r)tgsp.
(20)
При этом zQ = –yQ/tgsp + 0,5r.
(21)
Подставив выражение (15) в выражение
(13), получим
20
yp = –rsinsp/(1 – cossp).
(22)
Из выражения (16) при g = -sp находим, что координата
yк = –rtgsp. Применив формулу (17), получаем
(23)
(zк – 0,5r)tgsp = r/tgsp.
(24)
Полученные соотношения (22)–(24) позволяют преобразовать выражения (20) и (21) к виду:
yQ = –r(cos2 sp + (1 + cos2sp)2)/sin2sp, (25)
zQ = r(1 + (1 + cossp)2)/2sin2sp.
(26)
Кривую сечения отражающей поверхности определим уравнением (18). Для того чтобы кривая меридионального сечения отражающей поверхности содержала точку Q, а касательная к кривой в этой точке образовывала бы с осью 0z угол g = -sp, кривую достаточно определить уравнением вида
yQ2 = 2rzQ + a1zQ2 + a2zQ3 + a3zQ4,
(27)
Тогда при g = -sp имеем
–2ytgsp = 2r + 2a1zQ + 3a2zQ2 + 4a3zQ3. (28)
Радиус r при вершине поверхности считаем известным (например, выбранным из конструктивных соображений). Если исходная поверхность имеет форму параболоида вращения, то коэффициент a1 = 0. Однако, учитывая характер решаемой задачи, естественно отказаться от этого условия и ограничиться представлением кривой уравнением вида
yQ2 = 2rzQ + a1zQ2 + a2zQ3.
(29)
В этом случае 2ytgsp = 2r + 2a1zQ + 3a2zQ2. (30)
Координаты yQ и zQ в выражениях (29) и (30) определяются формулами (25) и (26).
Пусть, например, cos4sp = 0,5. Тогда cossp = = 0,8409. Подставив это значение косинуса угла в выражения (25) и (26), получаем такие координаты точки Q: yQ = 4,5002r, zQ = 7,4923r. При этом выражения (29) и (30) принимают вид системы уравнений
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
0,09383 = a1 + 7,4923a2r 0,25310 = a1 + 11,2384a2r
.
(31)
Решив эту систему уравнений, получаем a1 = –0,2247; ra2 = 0,04252. При этих значениях коэффициентов уравнение кривой сечения отражающей поверхности принимает вид
y2 = 2rz – 0,2247z2 + 0,04252z3/r.
Итак, при освещении поверхности источником излучения малых размеров (“точечным”
источником) освещенность поверхности изменяется пропорционально четвертой степени косинуса угла падения излучения на поверхность. Если (подобно функции рассеяния точки в изображающей оптике) относительное распределение яркости в источнике излучения конечных размеров принять в качестве функции неизображаемого отображения, то реальное распределение освещенности поверхности определится интегралом свертки функции неизображаемого отображения с распределением освещенности поверхности точечным источником.
*****
Литература 1. Иванов В.П., Батраков А.С. Трехмерная компьютерная графика / Под ред. Г.М. Полищука. М.: Радио и
связь, 1995. 224 с.
2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 856 с.
3. Зверев В.А., Точилина Т.В. Основы оптотехники. Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. 293 с.
“Оптический журнал”, 80, 12, 2013
21