КВАЗИЛУЧЕВОЕ ОПИСАНИЕ МЕЖМОДОВОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ В КОРОТКИХ ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДАХ
ÏÈÑÜÌÀ Â ÐÅÄÀÊÖÈÞ
ÓÄÊ 532.2
ÊÂÀÇÈËÓ×ÅÂÎÅ ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÌÅÆÌÎÄÎÂÎÉ ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈÈ ÈÇËÓ×ÅÍÈß ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÈÕÐÅÉ Â ÊÎÐÎÒÊÈÕ ÂÎËÎÊÎÍÍÛÕ ÑÂÅÒÎÂÎÄÀÕ
© 2008 ã.
Ä. Â. Êèçåâåòòåð, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïîëèòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã E-mail: Kiesewetter@mailbox.alkor.ru
Ïðåäñòàâëåíà êâàçèëó÷åâàÿ ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü, ó÷èòûâàþùàÿ êðèâèçíó îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè ñåðäöåâèíû ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ëó÷à â âîëîêîííîì ñâåòîâîäå. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òàêîãî ïîäõîäà äëÿ îöåíêè ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç êîðîòêîãî ñâåòîâîäà. Îáúÿñíåí ýôôåêò âîçíèêíîâåíèÿ ñïèðàëåîáðàçíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíî, ÷òî êîñûå ëó÷è ñîçäàþò â âîëîêíàõ ïðåèìóùåñòâåííî îïòè÷åñêèå âèõðè ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà.
Êîäû OCIS: 060.0060.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 07.05.2007.
Èçâåñòíî, ÷òî â âîëîêîííûõ ñâåòîâîäàõ (ÂÑ) ìîãóò âîçíèêàòü îïòè÷åñêèå âèõðè [1, 2]. Ïðè èíòåðôåðåíöèè îïîðíîé ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ñ ðàñõîäÿùèìñÿ èçëó÷åíèåì îïòè÷åñêîãî âèõðÿ, âûõîäÿùåãî èç ÂÑ, îáðàçóåòñÿ ñïèðàëåîáðàçíàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà [3, 4], îáóñëîâëåííàÿ çàâèñèìîñòüþ ôàçû âèõðÿ îò àçèìóòàëüíîãî óãëà. Îäíàêî, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, ñïèðàëåîáðàçíàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ìîæåò òàêæå áûòü ðåçóëüòàòîì ìåæìîäîâîé èíòåðôåðåíöèè îïòè÷åñêèõ âèõðåé, ò. å. ôîðìèðîâàòüñÿ áåç îïîðíîé ïëîñêîé âîëíû. Îáû÷íî äëÿ îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ îïòè÷åñêèìè âèõðÿìè â ÂÑ, èñïîëüçóþò âîëíîâîå ïðåäñòàâëåíèå, òàê êàê êëàññè÷åñêàÿ ëó÷åâàÿ òåîðèÿ íå íåñåò èíôîðìàöèè î ôàçå. Îäíàêî ìàòåìàòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ïîëåé íåìåðèäèîíàëüíûõ ëó÷åé â ÂÑ ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ñâåòîâîäà ïðåäñòàâëÿåò ñåðüåçíóþ ñëîæíîñòü è ìîæåò áûòü âûïîëíåíî òîëüêî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè, ÷òî çàòðóäíÿåò àíàëèç ïîëó÷àåìûõ äàííûõ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ íå ñóùåñòâóåò òåîðèè, ïîçâîëÿþùåé îïèñàòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè (ÐÈ) èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç ìíîãîìîäîâîãî ÂÑ â âèäå àíàëèòè÷åñêèõ âûðàæåíèé, åñëè ôàçû ìîä íà âûõîäå ÂÑ ÿâëÿþòñÿ âçàèìîçàâèñèìûìè. Îäíàêî äëÿ êîðîòêèõ ñâåòîâîäîâ âîçìîæåí èíîé – êâàçèëó÷åâîé – ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷è, ðàññìîòðåííûé íèæå. Òàêîé ïîäõîä íå ðàññìàòðèâàåò âîëíîâîäíûå ñâîéñòâà ìîä, íî ñîïîñòàâëÿåò êàæäîìó âõîäÿùåìó ëó÷ó îïðåäåëåííîå ÐÈ âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ.
Ïóñòü îñü äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OZ ñîîòâåòñòâóåò îñè ñâåòîâîäà, XOY – ïëîñêîñòü âõîäíîãî òîðöà ÂÑ, wb – ðàäèóñ ëàçåðíîãî ëó÷à, ïàäàþ-
80
ùåãî íà âõîäíîé òîðåö, r0 – ðàäèóñ ñåðäöåâèíû ÂÑ, öåíòð ëàçåðíîãî ëó÷à ñìåùåí íà âåëè÷èíó rs îòíîñèòåëüíî îñè ÂÑ â òî÷êó P0 ñ êîîðäèíàòàìè (rs, 0). Óãîë íàêëîíà ëó÷à γ0 èçìåíÿåòñÿ â ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé YOZ è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó P0, ñëåäîâàòåëüíî, â ñåðäöåâèíå ÂÑ ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n γ = γ0/n.  ÷àñòíîñòè, ïðè rs = 0 íå çàâèñèìî îò γ ëó÷ ÿâëÿåòñÿ ìåðèäèîíàëüíûì, ñîîòâåòñòâåííî àçèìóòàëüíàÿ êîîðäèíàòà ϕs öåíòðà ëó÷à ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïî ÂÑ èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî íà âåëè÷èíó π ïðè ïåðåñå÷åíèè îñè ÂÑ. Ïðè rs ≠ 0 è γ ≠ 0 òðàåêòîðèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëó÷à ñòàíîâèòñÿ âèíòîîáðàçíîé, ëó÷ íàçûâàþò êîñûì èëè íåìåðèäèîíàëüíûì [5, 6], à ϕs ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàòû z. Òàêóþ çàâèñèìîñòü ϕs(z) íåâîçìîæíî ñîçäàòü ñóììèðîâàíèåì ôóíêöèé cos(lϕ), sin(lϕ) ñ ðàçëè÷íûìè àçèìóòàëüíûìè èíäåêñàìè l è äåéñòâèòåëüíûìè âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè, íå çàâèñÿùèìè îò z, ò. å. óêàçàííûå ëó÷è ôîðìèðóþòñÿ îïòè÷åñêèìè âèõðÿìè âîëîêîííîãî ñâåòîâîäà [7]. Èçìåíåíèå êîîðäèíàò öåíòðà ëó÷à îïèñûâàåòñÿ ëó÷åâîé òåîðèåé [5, 6], ñîïîñòàâëÿþùåé êàæäîìó âõîäÿùåìó ëó÷ó ëó÷, âûõîäÿùèé èç ÂÑ. Îäíàêî äëÿ ðåàëüíûõ ñâåòîâîäîâ ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ I(x, y) âñåãäà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ðàñïðåäåëåíèÿ I(x, y) âõîäÿùåãî ëó÷à. Ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ëó÷åâàÿ ìîäåëü íå ó÷èòûâàåò êðèâèçíó îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè ñåðäöåâèíû è äèôðàêöèîííóþ ðàñõîäèìîñòü ëó÷à.  çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ âåëè÷èí λ/wb è wb/r0, ãäå λ – äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ, îäèí èç óêàçàííûõ ýôôåêòîâ ÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóþùèì. Òàê, äëÿ ñëó÷àÿ, ðàññìîòðåííîãî íèæå ÂÑ ñ r0 = 500 ìêì, wb = 370 ìêì è λ = 0,6328 ìêì
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 1, 2008
äîìèíèðóåò ðàñõîäèìîñòü, îáóñëîâëåííàÿ îòðà-
æåíèåì îò âîãíóòîé ïîâåðõíîñòè. Ïðè îäíîêðàò-
íîì îòðàæåíèè äèàïàçîí óãëîâ ïî àçèìóòó Δϕ ñî-
ñòàâëÿåò ± 2arcsin(wb/r0), ò. å. äëÿ óêàçàííûõ ïàðàìåòðîâ Δϕ > ± 90°. Åñëè â êîðîòêîì ÂÑ èìååò ìåñ-
òî òîëüêî îäíîêðàòíîå îòðàæåíèå ëó÷à, ÐÈ âûõîäÿ-
ùåãî èçëó÷åíèÿ â äàëüíåé çîíå äèôðàêöèè I(θ, ϕ),
ãäå θ – îñåâîé óãîë âûõîäà, ïðè γ = 0 èëè rs = 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óãëîâîé ôðàãìåíò îêðóæ-
íîñòè ñ àçèìóòàëüíîé øèðèíîé 2Δϕ è àêñèàëü-
íîé – λ/2wb. Ïðè rs ≠ 0 è γ ≠ 0 íàêëîí ëó÷à îòíîñèòåëüíî îñè ÂÑ ψ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
ψ = arctg(tgγ/(1 – (rs/r0)2)1/2), ôðàãìåíò îêðóæíîñòè áóäåò ñìåùåí íà óãîë γv = arcsin(rs/r0) îòíîñèòåëüíî îñè ÂÑ, ñîîòâåòñòâåííî, óãîë âûõîäà áóäåò çàâèñåòü
îò
àçèìóòàëüíîãî
óãëà
θ(ϕ)
=
n(ψ2
+
γ
2 v
–
– ψγvcosϕ)1/2. Ïðè ìíîãîêðàòíîì îòðàæåíèè ëó÷à â
ÂÑ ðàñïðåäåëåíèå I(θ, ϕ) ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì íà-
ëîæåíèÿ óãëîâûõ ôðàãìåíòîâ îêðóæíîñòåé, ñìåùåí-
íûõ íà γv è ϕv, ãäå ϕv – àçèìóòàëüíûé óãîë ìåæäó òî÷êàìè îòðàæåíèÿ. Åñëè ñâåòîâîä èçîãíóò â ïëîñ-
êîñòè XOZ ñ ïîñòîÿííûì ðàäèóñîì êðèâèçíû Rc, òî ïðè îòðàæåíèÿõ óãëû γv è ϕv íå èçìåíÿþòñÿ [5, 6]. Åñëè Rc ïî äëèíå ÂÑ óâåëè÷èâàåòñÿ îò Rc0 äî áåñêîíå÷íîñòè, òî â ñëó÷àå γ ≠ 0 ïðè êàæäîì îòðàæåíèè
îñåâîé óãîë áóäåò óìåíüøàòüñÿ (ïðè äîñòèæåíèè
γ = 0 – óâåëè÷èâàòüñÿ), ïðè÷åì èçìåíåíèå γ áóäåò
çàâèñåòü îò Rc, ñîîòâåòñòâåííî îò ôîðìû èçãèáà ÂÑ. Äëÿ êîñûõ ëó÷åé ðàçëè÷íûå òî÷êè îòðàæåííîãî ëó÷à
áóäóò ïîïàäàòü íà ïîâåðõíîñòü ñåðäöåâèíû ñ ðàç-
ëè÷íîé êðèâèçíîé, ñëåäîâàòåëüíî, îñåâîé óãîë îò-
ðàæåííîãî ëó÷à áóäåò çàâèñåòü îò ϕ, ò. å. I(θ, ϕ) áó-
äåò èìåòü ôîðìó ñïèðàëè. Ïîäáîðîì âåëè÷èí γ è rs ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû íàëîæåíèå íåñêîëüêèõ ôðàã-
ìåíòîâ ñïèðàëè ïðè ìíîãîêðàòíîì îòðàæåíèè ñî-
õðàíÿëî ñïèðàëåîáðàçíóþ ôîðìó. Òàêèì îáðàçîì,
ó÷åò êðèâèçíû îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè è äèôðàê-
öèîííîé ðàñõîäèìîñòè ïîçâîëÿåò, ïðåíåáðåãàÿ âîç-
íèêàþùåé ñïåêë-ñòðóêòóðîé (ÑÏÑ), èñïîëüçîâàòü
çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè äëÿ ðàñ÷åòà ðàñïðå-
äåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç
êîðîòêèõ âîëîêîííûõ ñâåòîâîäîâ.
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäèëèñü
íà ïîëèìåðíûõ ñâåòîâîäàõ äëèíîé L îò 0,025 äî
0,5 ì, à òàêæå ÂÑ òèïà êâàðö–ïîëèìåð äëèíîé 3 ì ñ
r0 = 500 ìêì. Öåíòð ëàçåðíîãî ëó÷à (wb = 370 ìêì) áûë ñìåùåí íà âåëè÷èíó rs = r0 – wb/2. Ïðèìåðû ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûõ ÐÈ äëÿ ÂÑ äëèíîé
0,025 ì ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå. Óñòàíîâëåíî, ÷òî
ïðàêòè÷åñêè äëÿ ëþáîãî óãëà γ ìîæíî áûëî ïîäî-
áðàòü çíà÷åíèå rs, ïðè êîòîðîì âîçíèêàåò ñïèðàëåîáðàçíîå ðàñïðåäåëåíèå I(θ, ϕ). Äëÿ ÂÑ áîëüøåé
äëèíû (0,5 ì è áîëåå) ñïèðàëåîáðàçíîå ÐÈ, êàê ïðà-
âèëî, íå íàáëþäàëîñü, ïðè ýòîì îñåâàÿ ïîëóøèðè-
íà I(θ, ϕ) áûëà ñóùåñòâåííî áîëüøå óãëîâîé ðàñõî-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 1, 2008
(à)
(á)
Ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç êîðîòêîãî âîëîêîííîãî ñâåòîâîäà, ïðè óãëàõ ââîäà èçëó÷åíèÿ. à – 5°, á – 10°.
äèìîñòè λ/2wb. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ òàêèõ ñëó÷àåâ ðàññìîòðåííûé âûøå êâàçèëó÷åâîé ïîäõîä áåç ó÷åòà ðàññåÿíèÿ íà äåôåêòàõ íåïðèìåíèì. Èñïîëüçóÿ êîððåëÿöèîííûé àíàëèç èçîáðàæåíèé [8], áûëè îïðåäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè âîçíèêàþùèõ ñïåêë-ñòðóêòóð. Ïîêàçàíî, ÷òî õàðàêòåðíûé îñåâîé ðàçìåð ñïåêë-ïÿòåí Δθs ñîîòâåòñòâîâàë êëàññè÷åñêîé îöåíêå λ/2r0, à àçèìóòàëüíûé Δϕs áûë â 1,5–2 ðàçà áîëüøå, ïðè÷åì îòíîøåíèå ε = Δϕs/Δθs âîçðàñòàëî îò 1 ïðè rs = 0 äî ε ≈ 2 ïðè rs ≈ r0 è γ ≈ γc, ãäå γc – àïåðòóðíûé óãîë ÂÑ. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ÑÏÑ âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ, âûïîëíåííîå ïî ìåòîäèêå [9], ïîêàçàëî, ÷òî îòíîøåíèå ε ≈ 2 õàðàêòåðíî äëÿ ÑÏÑ ìíîãîìîäîâûõ ÂÑ ñî ñòóïåí÷àòûì ïðîôèëåì ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ, ñôîðìèðîâàííûõ èçëó÷åíèåì îïòè÷åñêèõ âèõðåé ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà. Õîòÿ ñëó÷àé
81
ε ≈ 2 âîçìîæåí òàêæå ïðè èíòåðôåðåíöèè èçëó÷åíèÿ îáû÷íûõ âîëíîâîäíûõ ìîä ñ ìàëûìè àçèìóòàëüíûìè èíäåêñàìè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàçëè÷èòü óêàçàííûå ñëó÷àè, èçëó÷åíèå, âûõîäÿùåå èç ÂÑ, äåëèëîñü ïîëóïðîçðà÷íûì çåðêàëîì, à âîçíèêàþùèå èçîáðàæåíèÿ ñ ïîìîùüþ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû áûëè ñîâìåùåíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïåðåêðûâàëèñü äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå ó÷àñòêè îäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè ÑÏÑ ñâåòîâîäà ôîðìèðóåòñÿ îïòè÷åñêèìè âèõðÿìè ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ, òî â îáëàñòè ïåðåêðûòèÿ ïîëåé èíòåðôåðèðóåò èçëó÷åíèå, èìåþùåå ïðîòèâîïîëîæíûå ïðîñòðàíñòâåííûå íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíîâûõ ôðîíòîâ, ÷òî ïðè ôîðìèðîâàíèè ñïåêë-ñòðóêòóðû ýêâèâàëåíòíî èíòåðôåðåíöèè èçëó÷åíèÿ îïòè÷åñêèõ âèõðåé ñ ðàçëè÷íûìè íàïðàâëåíèÿìè âðàùåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, â îáëàñòè ïåðåêðûòèÿ äëÿ îáû÷íûõ âîëíîâîäíûõ ìîä âåëè÷èíà ε íå èçìåíÿåòñÿ, à äëÿ îïòè÷åñêèõ âèõðåé èìååò ìåñòî ε ≈ 1. Ýêñïåðèìåíòàëüíî áûëî ïîëó÷åíî óìåíüøåíèå ε îò ε ≈ 2,0 äî ε ≈ 1,5 â óêàçàííîé îáëàñòè, ÷òî ñâèäåòåëüñòâîâàëî î äîìèíèðóþùåì âëèÿíèè îïòè÷åñêèõ âèõðåé ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ ïðè ôîðìèðîâàíèè ÑÏÑ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîäòâåðæäåíî, ÷òî êîñûå ëó÷è â âîëîêîííîì ñâåòîâîäå ñîçäàþò ïðåèìóùåñòâåííî îïòè÷åñêèå âèõðè ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà, ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèé èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç êîðîòêèõ ñâåòîâîäîâ, ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàçèëó÷åâîãî ïîäõîäà è ýêñïåðèìåíòàëüíî çàðåãèñò-
ðèðîâàíî ñïèðàëåîáðàçíîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Âîëÿð À.Â., Ôàäååâà Ò.À. Óãëîâîé ìîìåíò èìïóëüñà ïîëåé ìàëîìîäîâîãî âîëîêíà. I. Âîçìóùåííûé îïòè÷åñêèé âèõðü // Ïèñüìà â ÆÒÔ. 1997. Ò. 23. ¹ 21. Ñ. 75–81.
12. Àëåêñååâ Ê.Í., Âîëÿð À.Â., Ôàäååâà Ò.À. Ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå è ýâîëþöèÿ îïòè÷åñêèõ âèõðåé â âîçìóùåííûõ ñëàáî íàïðàâëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ âîëîêíàõ // Îïò. è ñïåêòð. 2002. Ò. 93. ¹ 4. Ñ. 639–649.
13. Áîðèñîâ Â.È., Ëåáåäåâ Â.È., Êóêàíîâ À.Í. Ñïèðàëüíàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ñâåòîâîãî ïó÷êà, ïðîøåäøåãî ìíîãîìîäîâîå îïòè÷åñêîå âîëîêíî // Ïèñüìà â ÆÒÔ. 1984. Ò. 10. ¹ 5. Ñ. 287–290.
14. Êîðîëåíêî Ï.Â. Îïòè÷åñêèå âèõðè // Ñîðîñîâñêèé îáðàçîâàòåëüíûé æóðíàë. 1998. ¹ 6. Ñ. 94–99
15. Ñíàéäåð À., Ëàâ Äæ. Òåîðèÿ îïòè÷åñêèõ âîëíîâîäîâ. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1987. 656 ñ.
16. Àäàìñ Ì. Ââåäåíèå â òåîðèþ îïòè÷åñêèõ âîëíîâîäîâ. Ì.: Ìèð, 1984. 512 ñ.
17. Alexeyev A.N., Fadeyeva T.A., Volyar A.V., Soskin M.S. Optical vortices and the flow of their angular momentum in a multimode fiber // Semiconductor Physics, Quantum Electronics and Optoelectronics. 1998. V. 1. ¹ 1. P. 82–89.
18. Kiesewetter D. Researches of the spatial anisotropy of speckles of radiation of multimode optical fibers // Proc. SPIE. 2006. V. 6251. P. 239–248.
19. Êèçåâåòòåð Ä.Â. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå èçëó÷åíèÿ ìíîãîìîäîâûõ âîëîêîííûõ ñâåòîâîäîâ // Èçâ. âóçîâ. Ðàäèîôèçèêà. 2005. Ò. 48. ¹ 8. Ñ. 692–701.
82 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 1, 2008
ÓÄÊ 532.2
ÊÂÀÇÈËÓ×ÅÂÎÅ ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÌÅÆÌÎÄÎÂÎÉ ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈÈ ÈÇËÓ×ÅÍÈß ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÈÕÐÅÉ Â ÊÎÐÎÒÊÈÕ ÂÎËÎÊÎÍÍÛÕ ÑÂÅÒÎÂÎÄÀÕ
© 2008 ã.
Ä. Â. Êèçåâåòòåð, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïîëèòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã E-mail: Kiesewetter@mailbox.alkor.ru
Ïðåäñòàâëåíà êâàçèëó÷åâàÿ ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü, ó÷èòûâàþùàÿ êðèâèçíó îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè ñåðäöåâèíû ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ëó÷à â âîëîêîííîì ñâåòîâîäå. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òàêîãî ïîäõîäà äëÿ îöåíêè ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç êîðîòêîãî ñâåòîâîäà. Îáúÿñíåí ýôôåêò âîçíèêíîâåíèÿ ñïèðàëåîáðàçíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíî, ÷òî êîñûå ëó÷è ñîçäàþò â âîëîêíàõ ïðåèìóùåñòâåííî îïòè÷åñêèå âèõðè ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà.
Êîäû OCIS: 060.0060.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 07.05.2007.
Èçâåñòíî, ÷òî â âîëîêîííûõ ñâåòîâîäàõ (ÂÑ) ìîãóò âîçíèêàòü îïòè÷åñêèå âèõðè [1, 2]. Ïðè èíòåðôåðåíöèè îïîðíîé ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ñ ðàñõîäÿùèìñÿ èçëó÷åíèåì îïòè÷åñêîãî âèõðÿ, âûõîäÿùåãî èç ÂÑ, îáðàçóåòñÿ ñïèðàëåîáðàçíàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà [3, 4], îáóñëîâëåííàÿ çàâèñèìîñòüþ ôàçû âèõðÿ îò àçèìóòàëüíîãî óãëà. Îäíàêî, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, ñïèðàëåîáðàçíàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ìîæåò òàêæå áûòü ðåçóëüòàòîì ìåæìîäîâîé èíòåðôåðåíöèè îïòè÷åñêèõ âèõðåé, ò. å. ôîðìèðîâàòüñÿ áåç îïîðíîé ïëîñêîé âîëíû. Îáû÷íî äëÿ îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ îïòè÷åñêèìè âèõðÿìè â ÂÑ, èñïîëüçóþò âîëíîâîå ïðåäñòàâëåíèå, òàê êàê êëàññè÷åñêàÿ ëó÷åâàÿ òåîðèÿ íå íåñåò èíôîðìàöèè î ôàçå. Îäíàêî ìàòåìàòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ïîëåé íåìåðèäèîíàëüíûõ ëó÷åé â ÂÑ ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ñâåòîâîäà ïðåäñòàâëÿåò ñåðüåçíóþ ñëîæíîñòü è ìîæåò áûòü âûïîëíåíî òîëüêî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè, ÷òî çàòðóäíÿåò àíàëèç ïîëó÷àåìûõ äàííûõ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ íå ñóùåñòâóåò òåîðèè, ïîçâîëÿþùåé îïèñàòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè (ÐÈ) èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç ìíîãîìîäîâîãî ÂÑ â âèäå àíàëèòè÷åñêèõ âûðàæåíèé, åñëè ôàçû ìîä íà âûõîäå ÂÑ ÿâëÿþòñÿ âçàèìîçàâèñèìûìè. Îäíàêî äëÿ êîðîòêèõ ñâåòîâîäîâ âîçìîæåí èíîé – êâàçèëó÷åâîé – ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷è, ðàññìîòðåííûé íèæå. Òàêîé ïîäõîä íå ðàññìàòðèâàåò âîëíîâîäíûå ñâîéñòâà ìîä, íî ñîïîñòàâëÿåò êàæäîìó âõîäÿùåìó ëó÷ó îïðåäåëåííîå ÐÈ âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ.
Ïóñòü îñü äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OZ ñîîòâåòñòâóåò îñè ñâåòîâîäà, XOY – ïëîñêîñòü âõîäíîãî òîðöà ÂÑ, wb – ðàäèóñ ëàçåðíîãî ëó÷à, ïàäàþ-
80
ùåãî íà âõîäíîé òîðåö, r0 – ðàäèóñ ñåðäöåâèíû ÂÑ, öåíòð ëàçåðíîãî ëó÷à ñìåùåí íà âåëè÷èíó rs îòíîñèòåëüíî îñè ÂÑ â òî÷êó P0 ñ êîîðäèíàòàìè (rs, 0). Óãîë íàêëîíà ëó÷à γ0 èçìåíÿåòñÿ â ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé YOZ è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó P0, ñëåäîâàòåëüíî, â ñåðäöåâèíå ÂÑ ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n γ = γ0/n.  ÷àñòíîñòè, ïðè rs = 0 íå çàâèñèìî îò γ ëó÷ ÿâëÿåòñÿ ìåðèäèîíàëüíûì, ñîîòâåòñòâåííî àçèìóòàëüíàÿ êîîðäèíàòà ϕs öåíòðà ëó÷à ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïî ÂÑ èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî íà âåëè÷èíó π ïðè ïåðåñå÷åíèè îñè ÂÑ. Ïðè rs ≠ 0 è γ ≠ 0 òðàåêòîðèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëó÷à ñòàíîâèòñÿ âèíòîîáðàçíîé, ëó÷ íàçûâàþò êîñûì èëè íåìåðèäèîíàëüíûì [5, 6], à ϕs ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàòû z. Òàêóþ çàâèñèìîñòü ϕs(z) íåâîçìîæíî ñîçäàòü ñóììèðîâàíèåì ôóíêöèé cos(lϕ), sin(lϕ) ñ ðàçëè÷íûìè àçèìóòàëüíûìè èíäåêñàìè l è äåéñòâèòåëüíûìè âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè, íå çàâèñÿùèìè îò z, ò. å. óêàçàííûå ëó÷è ôîðìèðóþòñÿ îïòè÷åñêèìè âèõðÿìè âîëîêîííîãî ñâåòîâîäà [7]. Èçìåíåíèå êîîðäèíàò öåíòðà ëó÷à îïèñûâàåòñÿ ëó÷åâîé òåîðèåé [5, 6], ñîïîñòàâëÿþùåé êàæäîìó âõîäÿùåìó ëó÷ó ëó÷, âûõîäÿùèé èç ÂÑ. Îäíàêî äëÿ ðåàëüíûõ ñâåòîâîäîâ ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ I(x, y) âñåãäà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ðàñïðåäåëåíèÿ I(x, y) âõîäÿùåãî ëó÷à. Ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ëó÷åâàÿ ìîäåëü íå ó÷èòûâàåò êðèâèçíó îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè ñåðäöåâèíû è äèôðàêöèîííóþ ðàñõîäèìîñòü ëó÷à.  çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ âåëè÷èí λ/wb è wb/r0, ãäå λ – äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ, îäèí èç óêàçàííûõ ýôôåêòîâ ÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóþùèì. Òàê, äëÿ ñëó÷àÿ, ðàññìîòðåííîãî íèæå ÂÑ ñ r0 = 500 ìêì, wb = 370 ìêì è λ = 0,6328 ìêì
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 1, 2008
äîìèíèðóåò ðàñõîäèìîñòü, îáóñëîâëåííàÿ îòðà-
æåíèåì îò âîãíóòîé ïîâåðõíîñòè. Ïðè îäíîêðàò-
íîì îòðàæåíèè äèàïàçîí óãëîâ ïî àçèìóòó Δϕ ñî-
ñòàâëÿåò ± 2arcsin(wb/r0), ò. å. äëÿ óêàçàííûõ ïàðàìåòðîâ Δϕ > ± 90°. Åñëè â êîðîòêîì ÂÑ èìååò ìåñ-
òî òîëüêî îäíîêðàòíîå îòðàæåíèå ëó÷à, ÐÈ âûõîäÿ-
ùåãî èçëó÷åíèÿ â äàëüíåé çîíå äèôðàêöèè I(θ, ϕ),
ãäå θ – îñåâîé óãîë âûõîäà, ïðè γ = 0 èëè rs = 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óãëîâîé ôðàãìåíò îêðóæ-
íîñòè ñ àçèìóòàëüíîé øèðèíîé 2Δϕ è àêñèàëü-
íîé – λ/2wb. Ïðè rs ≠ 0 è γ ≠ 0 íàêëîí ëó÷à îòíîñèòåëüíî îñè ÂÑ ψ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
ψ = arctg(tgγ/(1 – (rs/r0)2)1/2), ôðàãìåíò îêðóæíîñòè áóäåò ñìåùåí íà óãîë γv = arcsin(rs/r0) îòíîñèòåëüíî îñè ÂÑ, ñîîòâåòñòâåííî, óãîë âûõîäà áóäåò çàâèñåòü
îò
àçèìóòàëüíîãî
óãëà
θ(ϕ)
=
n(ψ2
+
γ
2 v
–
– ψγvcosϕ)1/2. Ïðè ìíîãîêðàòíîì îòðàæåíèè ëó÷à â
ÂÑ ðàñïðåäåëåíèå I(θ, ϕ) ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì íà-
ëîæåíèÿ óãëîâûõ ôðàãìåíòîâ îêðóæíîñòåé, ñìåùåí-
íûõ íà γv è ϕv, ãäå ϕv – àçèìóòàëüíûé óãîë ìåæäó òî÷êàìè îòðàæåíèÿ. Åñëè ñâåòîâîä èçîãíóò â ïëîñ-
êîñòè XOZ ñ ïîñòîÿííûì ðàäèóñîì êðèâèçíû Rc, òî ïðè îòðàæåíèÿõ óãëû γv è ϕv íå èçìåíÿþòñÿ [5, 6]. Åñëè Rc ïî äëèíå ÂÑ óâåëè÷èâàåòñÿ îò Rc0 äî áåñêîíå÷íîñòè, òî â ñëó÷àå γ ≠ 0 ïðè êàæäîì îòðàæåíèè
îñåâîé óãîë áóäåò óìåíüøàòüñÿ (ïðè äîñòèæåíèè
γ = 0 – óâåëè÷èâàòüñÿ), ïðè÷åì èçìåíåíèå γ áóäåò
çàâèñåòü îò Rc, ñîîòâåòñòâåííî îò ôîðìû èçãèáà ÂÑ. Äëÿ êîñûõ ëó÷åé ðàçëè÷íûå òî÷êè îòðàæåííîãî ëó÷à
áóäóò ïîïàäàòü íà ïîâåðõíîñòü ñåðäöåâèíû ñ ðàç-
ëè÷íîé êðèâèçíîé, ñëåäîâàòåëüíî, îñåâîé óãîë îò-
ðàæåííîãî ëó÷à áóäåò çàâèñåòü îò ϕ, ò. å. I(θ, ϕ) áó-
äåò èìåòü ôîðìó ñïèðàëè. Ïîäáîðîì âåëè÷èí γ è rs ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû íàëîæåíèå íåñêîëüêèõ ôðàã-
ìåíòîâ ñïèðàëè ïðè ìíîãîêðàòíîì îòðàæåíèè ñî-
õðàíÿëî ñïèðàëåîáðàçíóþ ôîðìó. Òàêèì îáðàçîì,
ó÷åò êðèâèçíû îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè è äèôðàê-
öèîííîé ðàñõîäèìîñòè ïîçâîëÿåò, ïðåíåáðåãàÿ âîç-
íèêàþùåé ñïåêë-ñòðóêòóðîé (ÑÏÑ), èñïîëüçîâàòü
çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè äëÿ ðàñ÷åòà ðàñïðå-
äåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç
êîðîòêèõ âîëîêîííûõ ñâåòîâîäîâ.
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäèëèñü
íà ïîëèìåðíûõ ñâåòîâîäàõ äëèíîé L îò 0,025 äî
0,5 ì, à òàêæå ÂÑ òèïà êâàðö–ïîëèìåð äëèíîé 3 ì ñ
r0 = 500 ìêì. Öåíòð ëàçåðíîãî ëó÷à (wb = 370 ìêì) áûë ñìåùåí íà âåëè÷èíó rs = r0 – wb/2. Ïðèìåðû ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûõ ÐÈ äëÿ ÂÑ äëèíîé
0,025 ì ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå. Óñòàíîâëåíî, ÷òî
ïðàêòè÷åñêè äëÿ ëþáîãî óãëà γ ìîæíî áûëî ïîäî-
áðàòü çíà÷åíèå rs, ïðè êîòîðîì âîçíèêàåò ñïèðàëåîáðàçíîå ðàñïðåäåëåíèå I(θ, ϕ). Äëÿ ÂÑ áîëüøåé
äëèíû (0,5 ì è áîëåå) ñïèðàëåîáðàçíîå ÐÈ, êàê ïðà-
âèëî, íå íàáëþäàëîñü, ïðè ýòîì îñåâàÿ ïîëóøèðè-
íà I(θ, ϕ) áûëà ñóùåñòâåííî áîëüøå óãëîâîé ðàñõî-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 1, 2008
(à)
(á)
Ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç êîðîòêîãî âîëîêîííîãî ñâåòîâîäà, ïðè óãëàõ ââîäà èçëó÷åíèÿ. à – 5°, á – 10°.
äèìîñòè λ/2wb. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ òàêèõ ñëó÷àåâ ðàññìîòðåííûé âûøå êâàçèëó÷åâîé ïîäõîä áåç ó÷åòà ðàññåÿíèÿ íà äåôåêòàõ íåïðèìåíèì. Èñïîëüçóÿ êîððåëÿöèîííûé àíàëèç èçîáðàæåíèé [8], áûëè îïðåäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè âîçíèêàþùèõ ñïåêë-ñòðóêòóð. Ïîêàçàíî, ÷òî õàðàêòåðíûé îñåâîé ðàçìåð ñïåêë-ïÿòåí Δθs ñîîòâåòñòâîâàë êëàññè÷åñêîé îöåíêå λ/2r0, à àçèìóòàëüíûé Δϕs áûë â 1,5–2 ðàçà áîëüøå, ïðè÷åì îòíîøåíèå ε = Δϕs/Δθs âîçðàñòàëî îò 1 ïðè rs = 0 äî ε ≈ 2 ïðè rs ≈ r0 è γ ≈ γc, ãäå γc – àïåðòóðíûé óãîë ÂÑ. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ÑÏÑ âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ, âûïîëíåííîå ïî ìåòîäèêå [9], ïîêàçàëî, ÷òî îòíîøåíèå ε ≈ 2 õàðàêòåðíî äëÿ ÑÏÑ ìíîãîìîäîâûõ ÂÑ ñî ñòóïåí÷àòûì ïðîôèëåì ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ, ñôîðìèðîâàííûõ èçëó÷åíèåì îïòè÷åñêèõ âèõðåé ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà. Õîòÿ ñëó÷àé
81
ε ≈ 2 âîçìîæåí òàêæå ïðè èíòåðôåðåíöèè èçëó÷åíèÿ îáû÷íûõ âîëíîâîäíûõ ìîä ñ ìàëûìè àçèìóòàëüíûìè èíäåêñàìè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàçëè÷èòü óêàçàííûå ñëó÷àè, èçëó÷åíèå, âûõîäÿùåå èç ÂÑ, äåëèëîñü ïîëóïðîçðà÷íûì çåðêàëîì, à âîçíèêàþùèå èçîáðàæåíèÿ ñ ïîìîùüþ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû áûëè ñîâìåùåíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïåðåêðûâàëèñü äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå ó÷àñòêè îäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè ÑÏÑ ñâåòîâîäà ôîðìèðóåòñÿ îïòè÷åñêèìè âèõðÿìè ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ, òî â îáëàñòè ïåðåêðûòèÿ ïîëåé èíòåðôåðèðóåò èçëó÷åíèå, èìåþùåå ïðîòèâîïîëîæíûå ïðîñòðàíñòâåííûå íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíîâûõ ôðîíòîâ, ÷òî ïðè ôîðìèðîâàíèè ñïåêë-ñòðóêòóðû ýêâèâàëåíòíî èíòåðôåðåíöèè èçëó÷åíèÿ îïòè÷åñêèõ âèõðåé ñ ðàçëè÷íûìè íàïðàâëåíèÿìè âðàùåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, â îáëàñòè ïåðåêðûòèÿ äëÿ îáû÷íûõ âîëíîâîäíûõ ìîä âåëè÷èíà ε íå èçìåíÿåòñÿ, à äëÿ îïòè÷åñêèõ âèõðåé èìååò ìåñòî ε ≈ 1. Ýêñïåðèìåíòàëüíî áûëî ïîëó÷åíî óìåíüøåíèå ε îò ε ≈ 2,0 äî ε ≈ 1,5 â óêàçàííîé îáëàñòè, ÷òî ñâèäåòåëüñòâîâàëî î äîìèíèðóþùåì âëèÿíèè îïòè÷åñêèõ âèõðåé ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ ïðè ôîðìèðîâàíèè ÑÏÑ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîäòâåðæäåíî, ÷òî êîñûå ëó÷è â âîëîêîííîì ñâåòîâîäå ñîçäàþò ïðåèìóùåñòâåííî îïòè÷åñêèå âèõðè ñ îäíèì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà, ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèé èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî èç êîðîòêèõ ñâåòîâîäîâ, ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàçèëó÷åâîãî ïîäõîäà è ýêñïåðèìåíòàëüíî çàðåãèñò-
ðèðîâàíî ñïèðàëåîáðàçíîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Âîëÿð À.Â., Ôàäååâà Ò.À. Óãëîâîé ìîìåíò èìïóëüñà ïîëåé ìàëîìîäîâîãî âîëîêíà. I. Âîçìóùåííûé îïòè÷åñêèé âèõðü // Ïèñüìà â ÆÒÔ. 1997. Ò. 23. ¹ 21. Ñ. 75–81.
12. Àëåêñååâ Ê.Í., Âîëÿð À.Â., Ôàäååâà Ò.À. Ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå è ýâîëþöèÿ îïòè÷åñêèõ âèõðåé â âîçìóùåííûõ ñëàáî íàïðàâëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ âîëîêíàõ // Îïò. è ñïåêòð. 2002. Ò. 93. ¹ 4. Ñ. 639–649.
13. Áîðèñîâ Â.È., Ëåáåäåâ Â.È., Êóêàíîâ À.Í. Ñïèðàëüíàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ñâåòîâîãî ïó÷êà, ïðîøåäøåãî ìíîãîìîäîâîå îïòè÷åñêîå âîëîêíî // Ïèñüìà â ÆÒÔ. 1984. Ò. 10. ¹ 5. Ñ. 287–290.
14. Êîðîëåíêî Ï.Â. Îïòè÷åñêèå âèõðè // Ñîðîñîâñêèé îáðàçîâàòåëüíûé æóðíàë. 1998. ¹ 6. Ñ. 94–99
15. Ñíàéäåð À., Ëàâ Äæ. Òåîðèÿ îïòè÷åñêèõ âîëíîâîäîâ. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1987. 656 ñ.
16. Àäàìñ Ì. Ââåäåíèå â òåîðèþ îïòè÷åñêèõ âîëíîâîäîâ. Ì.: Ìèð, 1984. 512 ñ.
17. Alexeyev A.N., Fadeyeva T.A., Volyar A.V., Soskin M.S. Optical vortices and the flow of their angular momentum in a multimode fiber // Semiconductor Physics, Quantum Electronics and Optoelectronics. 1998. V. 1. ¹ 1. P. 82–89.
18. Kiesewetter D. Researches of the spatial anisotropy of speckles of radiation of multimode optical fibers // Proc. SPIE. 2006. V. 6251. P. 239–248.
19. Êèçåâåòòåð Ä.Â. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå èçëó÷åíèÿ ìíîãîìîäîâûõ âîëîêîííûõ ñâåòîâîäîâ // Èçâ. âóçîâ. Ðàäèîôèçèêà. 2005. Ò. 48. ¹ 8. Ñ. 692–701.
82 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 1, 2008