ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ЗАДАННОЙ ОСВЕЩЕННОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ÓÄÊ 535.31
ÃÐÀÄÈÅÍÒÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÐÀÑ×ÅÒÀ ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÝËÅÌÅÍÒΠÄËß ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÍÈß ÇÀÄÀÍÍÎÉ ÎÑÂÅÙÅÍÍÎÑÒÈ ÍÀ ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÎÉ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ
© 2008 ã.
À. À. Áåëîóñîâ; Ë. Ë. Äîñêîëîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê; Ñ. È. Õàðèòîíîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àýðîêîñìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, ã. Ñàìàðà Èíñòèòóò ñèñòåì îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé ÐÀÍ, ã. Ñàìàðà E-mail: adark@narod.ru
Ðàññìîòðåí ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòè ïðè êîìïàêòíîì èñòî÷íèêå ñâåòà. Ðàñ÷åò îñíîâàí íà ïðåäñòàâëåíèè ïîâåðõíîñòè ýëåìåíòà ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà ñâåòîâîãî ïîëÿ â ïðèëåãàþùåé ïëîñêîñòè. Ýéêîíàë îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà. Ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè îñíîâàí íà ãðàäèåíòíîé ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà îøèáêè, ïðåäñòàâëÿþùåãî ðàçëè÷èå ðàñ÷åòíîé è çàäàííîé îñâåùåííîñòåé ïîëåé. Äëÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà îøèáêè ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå. Ïðîâåäåí ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùèõ ýëåìåíòîâ äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà ïëîñêîé è öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòÿõ.
Êîäû OCIS: 080.2740.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 26.04.2007.
Ââåäåíèå
Ðàñ÷åò îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà çàäà÷, âêëþ÷àþùèõ ðàñ÷åò ëàçåðíûõ ñèñòåì ôîêóñèðîâêè, ñêàíèðîâàíèÿ è íàâèãàöèè, ñâåòîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ, ñèñòåì îñâåùåíèÿ è ò. ä.
Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùåãî ýëåìåíòà ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé çàäà÷åé è ñîñòîèò â ðàñ÷åòå ôîðìû ïîâåðõíîñòè èç óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè.  îáùåì ñëó÷àå çàäà÷à ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè ïðè òî÷å÷íîì (êîìïàêòíîì) èñòî÷íèêå ñâåòà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ òèïà óðàâíåíèÿ Ìîíæà–Àìïåðà è ÿâëÿåòñÿ êðàéíå ñëîæíîé.
Ðÿä ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ äàííîãî êëàññà â ïðèáëèæåíèè ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè ðàçðàáîòàí äëÿ äèôðàêöèîííûõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ [1–7].  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à ñòàâèòñÿ êàê çàäà÷à ðàñ÷åòà ýéêîíàëà ñâåòîâîãî ïîëÿ â ïëîñêîñòè èç óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîé èíòåíñèâíîñòè ïîëÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà. Çàäà÷à ðàñ÷åòà ýéêîíàëà â ïëîñêîñòè îòëè÷íà îò çàäà÷è ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè. Êðîìå òîãî, âîññòàíîâëåíèå ôîðìû ïîâåðõíîñòè ðåëüåôà äèôðàêöèîííîãî ýëåìåíòà ïî ôóíêöèè ýéêîíàëà îñíîâàíî íà èñïîëüçîâàíèè ïàðàêñèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ è ïðèáëèæåíèÿ òîíêîãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà. Òàêèå ïðèáëèæåíèÿ íåäîïóñòèìû ïðè ðàñ÷åòå ïðåëîìëÿþùèõ ïî-
âåðõíîñòåé, ôîðìèðóþùèõ îáëàñòè ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì óãëîâûì ðàçìåðîì (> 10°).
Ðÿä ìåòîäîâ ðàñ÷åòà îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ ðàçðàáîòàí â ñâåòîòåõíèêå [8–11]. Ìåòîäû ñâåòîòåõíèêè ïîçâîëÿþò ó÷åñòü ðàçìåðû è ôîðìó èñòî÷íèêà ñâåòà, îäíàêî àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ è ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðàñ÷åòà èçâåñòíû òîëüêî äëÿ çàäà÷ ñ ðàäèàëüíîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé ñèììåòðèåé.  ïîñëåäíèå ãîäû ïîÿâèëèñü ïóáëèêàöèè ïî ðàñ÷åòó îïòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè ïðè êîìïàêòíûõ èñòî÷íèêàõ ñâåòà [12, 13]. Óêàçàííûå ìåòîäû ïîçâîëÿþò ñôîðìèðîâàòü ñëîæíûå ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè, íàïðèìåð, â âèäå àëôàâèòíî-öèôðîâûõ ñèìâîëîâ, îäíàêî îáëàäàþò íèçêîé ýôôåêòèâíîñòüþ.
 ñòàòüå ðàññìîòðåí ãðàäèåíòíûé ìåòîä ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ äëÿ ôîêóñèðîâêè íà çàäàííóþ êðèâîëèíåéíóþ ïîâåðõíîñòü ïðè òî÷å÷íîì èñòî÷íèêå ñâåòà. Ìåòîä íå èñïîëüçóåò ïðèáëèæåííûõ ñîîòíîøåíèé òèïà ïðèáëèæåíèÿ òîíêîãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà è ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü ôîêóñèðîâêó ñ ôàêòè÷åñêè 100%-íîé ýôôåêòèâíîñòüþ â îáëàñòè, íå îáëàäàþùåé ðàäèàëüíîé ñèììåòðèåé. Ìåòîä îñíîâàí íà ïðåäñòàâëåíèè ïîâåðõíîñòè ýëåìåíòà ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà ñâåòîâîãî ïîëÿ â ïðèëåãàþùåé ïëîñêîñòè. Ýéêîíàë îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà. Ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùåãî ýëåìåíòà îñíîâàí íà ãðàäèåíòíîé ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà îøèáêè, ïðåäñòàâëÿþùåãî ðàçëè÷èå ðàñ÷åòíîé è çàäàííîé îñâåùåííîñòåé, ïî êîýôôèöèåíòàì ïîëèíîìà ýéêîíàëà, îïðåäåëÿþùåãî ýëåìåíò.
30 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ðàñ÷åòà îïòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè
Òðåáóåòñÿ ðàññ÷èòàòü ïðåëîìëÿþùóþ ïîâåðõíîñòü Ì èç óñëîâèÿ ôîêóñèðîâêè èçëó÷åíèÿ îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà O = (Ox, Oy, Oz) â îáëàñòü D, ðàñïîëîæåííóþ íà ïîâåðõíîñòè z = f (x), ãäå x = (x, y) – ëîêàëüíûå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (ðèñ. 1). Ïðè ýòîì â îáëàñòè D äîëæíî áûòü ñôîðìèðîâàíî çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè E(x), x ∈ D. Ïîâåðõíîñòü z = f (x) è îáëàñòü D áóäåì íàçûâàòü ïîâåðõíîñòüþ ôîêóñèðîâêè è îáëàñòüþ ôîêóñèðîâêè ñîîòâåòñòâåííî.
Ïîâåðõíîñòü M îïðåäåëèì ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà ñâåòîâîãî ïîëÿ ψ(u), u ∈G â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, ãäå u = (u, v) – äåêàðòîâû êîîðäèíàòû â ýòîé ïëîñêîñòè. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýéêîíàë çàäàí â ïëîñêîñòè z = 0 (ðèñ. 1). Ïðåäñòàâëåíèå ïîâåðõíîñòè ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà â ïëîñêîñòè àâòîðû ñ÷èòàþò óäîáíûì, ïîñêîëüêó îíî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü àíàëèòè÷åñêèå è èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðàñ÷åòà ýéêîíàëà, ðàçðàáîòàííûå äëÿ äèôðàêöèîííûõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ [1–7].
Ïîâåðõíîñòü M(u) = (x(u), y(u), z(u)) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà ψ(u), u ∈G. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîâåäåì ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ ýéêîíàëà ψ(u) (ðèñ. 1). Çàïèøåì óðàâíåíèå ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè â âèäå
M(u) = r(u) – p(u)l(u),
(1)
ãäå r(u) = (u, v, 0) – âåêòîð òî÷êè â ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà, p(u) – âåêòîð íàïðàâëåíèÿ ëó÷à, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ýéêîíàëîì ψ(u), l(u) – ðàññòîÿíèå îò òî÷êè r(u) äî ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè ïî íàïðàâëåíèþ p(u). Âåêòîð ëó÷à p(u) èìååò âèä [14]:
M(u)
v E0(u) u
O ψ(u)
y E(x) x
z
l(u) G z=0
D z = f (x, y)
Ðèñ. 1. Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà, ôîðìèðóþùåãî çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè íà êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòè.
( )p(u) = px (u), py (u), pz (u) =
= ⎛⎝⎜ ∇ψ(u), 1 − (∇ψ(u))2 ⎟⎠⎞,
(2)
ãäå ∇ψ(u) = (∂ψ(u)/∂u, ∂ψ(u)/∂v). Ôóíêöèÿ l(u) â (1) îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
ψ(u) = l(u) + n OM(u) ,
(3)
ãäå n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà, |OM(u)| = |r(u) – p(u)l(u) – O| – ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ äî òî÷êè ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè. Óðàâíåíèå (3) îïðåäåëÿåò óñëîâèå ðàâåíñòâà îïòè÷åñêèõ äëèí ëó÷åé, ïðîøåäøèõ ÷åðåç ïðåëîìëÿþùóþ ïîâåðõíîñòü, çàäàííîìó ýéêîíàëó ψ(u). Ðàñ÷åò ôóíêöèè l(u) èç (3) ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
( ) ( )n2 −1 l(u) + 2l(u) ψ(u) − n2(r(u) − O, p(u)) + (4) +n2 r(u) − O 2 − ψ2(u) = 0.
Ðàñ÷åò îñâåùåííîñòè íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè
Ðàññìîòðèì ðàñ÷åò îñâåùåííîñòè íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè z = f (x, y). Îáîçíà÷èì x(u) = = (x(u), y(u), z(u)) êîîðäèíàòû ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ñ ïîâåðõíîñòüþ ôîêóñèðîâêè. Ñîãëàñíî (2) ïîëó÷èì
x(u) = r(u) + p(u)h(u),
(5)
ãäå h(u) – äëèíà ïðåëîìëåííîãî ëó÷à îò îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà äî ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè. Ôóíêöèÿ h(u) â (5) îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ z(u) = f (x(u), y(u)), ïîëó÷àåìîãî ïðè ïîäñòàíîâêå x(u) â óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè.
Îñâåùåííîñòü íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ñâåòîâîãî ïîòîêà â âèäå
( )E(x) = E0 (u) 1+ (∇f (x))2 J (u) , (6)
ãäå E0(u) – îñâåùåííîñòü, ñîçäàííàÿ ïîâåðõíîñòüþ M(u) â ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà, ∇f(x) = (∂f(x)/∂x, ∂f (x)/∂y), à
J (u) = (∂x(u)/∂u)(∂y(u)/∂v) − − (∂y(u)/∂u)(∂x(u)/∂v)
(7)
– ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò (5). Îñâåùåííîñòü E0(u) òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ñâåòîâîãî ïîòîêà â âèäå
E0 (u) = I (u) N(u) cosα/ OM(u) 2,
(8)
ãäå I(u) – èíòåíñèâíîñòü òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ, N(u) = ∂M(u)/∂u×∂M(u)/∂v – âåêòîð íîðìàëè ê îïòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, cosα = (OM(u)/|OM(u)|,
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
31
N(u)/|N(u)|). Êîìïîíåíòû âåêòîðà íîðìàëè N(u) â (8) ìîãóò áûòü íàéäåíû èç (1) ïóòåì ïðÿìîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Ïðåäñòàâëåíèå îñâåùåííîñòè â âèäå ôîðìóëû (6) íåóäîáíî äëÿ ðàñ÷åòà, ïîñêîëüêó åãî íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü â îáëàñòè êàóñòèê è â ñëó÷àå, êîãäà íåñêîëüêî ëó÷åé èç ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà ïðèõîäÿò â îäíó òî÷êó îáëàñòè ôîêóñèðîâêè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ óäîáíîé ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû äëÿ îñâåùåííîñòè E(x) âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì ôîðìóëû (6)
∫∫E(x) =
1 1 + (∇f (x))2
δ(x − x(u))E0 (u)du,
G
(9)
ãäå δ(x) – äåëüòà-ôóíêöèÿ. Àïïðîêñèìèðóåì äåëüòà-
ôóíêöèþ â (9) íåêîòîðîé èãëîîáðàçíîé ôóíêöèåé
( )δσ(x)
lim
σ→0
δσ
(x)
=
δ(x)
è ïðåäñòàâèì ðàñïðåäåëåíèå
îñâåùåííîñòè â âèäå
∫∫E(x) =
1 1 + (∇f (x))2
δσ (x − x(u))E0 (u)du.
G
(10)
Âûðàæåíèå (10) îðèåíòèðîâàíî íà ðàñ÷åò îñâåùåííîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà òðàññèðîâêè ëó÷åé.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (10) äàåò óñðåäíåííîå çíà÷åíèå îñâåùåííîñòè â îêðåñòíîñòè, îïðåäåëÿåìîé “ýôôåêòèâíîé” øèðèíîé ôóíêöèè δσ(x). Âåëè÷èíà ýòîé îêðåñòíîñòè îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ øàãîì äèñêðåòèçàöèè â îáëàñòè íàáëþäåíèÿ.  êà÷åñòâå ôóíêöèè δσ(x) ìîæåò, íàïðèìåð, èñïîëüçîâàòüñÿ ãàóññîâà ôóíêöèÿ
( )δσ (x)
=
1 πσ2
exp
−x 2 /σ2
.
(11)
 ýòîì ñëó÷àå îñâåùåííîñòü (10) áóäåò óñðåäíåííûì çíà÷åíèåì îñâåùåííîñòè (9) ñ ãàóññîâûì âåñîì (11).
Ðàñ÷åò îïòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè äëÿ ôîêóñèðîâêè â çàäàííóþ îáëàñòü
Äëÿ ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè M(u), ôîðìèðóþùåé çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè, áûë èñïîëüçîâàí ãðàäèåíòíûé ìåòîä ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà îøèáêè ε(ψ), ïðåäñòàâëÿþùåãî ðàçëè÷èå ðàñ÷åòíîãî è òðåáóåìîãî ðàñïðåäåëåíèé îñâåùåííîñòè íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè.
Ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü ýëåìåíòà è ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè ñ÷èòàþòñÿ ïðåäñòàâëåííûìè ÷åðåç ýéêîíàë ïîëÿ â ïëîñêîñòè z = 0 ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1), (2), (4), (8)–(10). Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì. Èñïîëüçîâàíèå àíàëèòè÷åñêèõ è
÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ýéêîíàëà ïîëÿ, ðàçðàáîòàííûõ äëÿ ðàñ÷åòà äèôðàêöèîííûõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, ïîçâîëÿåò âûáðàòü íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ãðàäèåíòíîãî ìåòîäà.  êà÷åñòâå òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî, íàïðèìåð, èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà ýéêîíàëà äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ òàêîãî æå ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè.
Ðàññìîòðèì èñïîëüçîâàííûé ãðàäèåíòíûé ìåòîä. Îïðåäåëèì ýéêîíàë â âèäå ïîëèíîìà
∑ψ(u, v) = cijuiv j. ij
(12)
Ïîëèíîìèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ýéêîíàëà áûëî èñïîëüçîâàíî â ðàáîòàõ [15, 16] è ïîêàçàëî õîðîøèå ðåçóëüòàòû ïðè ðàñ÷åòå ýéêîíàëà èç óñëîâèÿ ôîêóñèðîâêè â çàäàííûå îáëàñòè.  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà îøèáêè ε(ψ) ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ îò êîýôôèöèåíòîâ ñij.  êà÷åñòâå ôóíêöèè íåâÿçêè áûëà èñïîëüçîâàíà êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ
ε(c) = ∫∫ ( E(x,c) − ED (x))2dxdy, D
(13)
ãäå âåêòîð c îáîçíà÷àåò íàáîð êîýôôèöèåíòîâ ïî-
ëèíîìà, à E(x, c), ED(x) – ðàñ÷åòíîå è òðåáóåìîå ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè â îáëàñòè ôîêóñèðîâêè.
 ýòîì ñëó÷àå ãðàäèåíòíûé ðàñ÷åò ôóíêöèè ïðåëîì-
ëÿþùåé ïîâåðõíîñòè ñîñòîèò â èòåðàöèîííîé êîð-
ðåêöèè âåêòîðà êîýôôèöèåíòîâ c ïî ïðàâèëó
cn = cn−1 − t∇ε(cn−1),
(14)
ãäå ∇ε(c) – ãðàäèåíò ôóíêöèè íåâÿçêè, t – øàã ìåòîäà. Êîìïîíåíòû âåêòîðà ãðàäèåíòà â (14) íåñëîæíî ïîëó÷èòü â âèäå
∫∫∂ε(c)/∂cij = 2 ( E(x,c) − ED (x))Ψij (x)d 2x, (15) D
ãäå
Ψij (x) =
∫∫=
1 1 + (∇f (x))2
G
∂ ∂cij
( E0(u,c)δσ
(x
−
x(u,c)))d 2u,
ãäå E0(u, c) – îñâåùåííîñòü (8) â ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà, x(u, c) – êîîðäèíàòû ëó÷åé (5) íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè.
Ðàñ÷åò âåêòîðà ãðàäèåíòà òàêæå ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ÷èñëåííî ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçíîñòíûõ ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà ïðîèçâîäíûõ ∂ε/∂cij.  ðàáîòå äëÿ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè îøèáêè (13) è ðåàëèçàöèè ãðàäèåíòíîãî ìåòîäà (14) áûëè èñïîëüçîâàíû javaêëàññ Uncmin_f77 è java-èíòåðôåéñ Uncmin_methods èç ïàêåòà îïòèìèçàöèè “AN UNCONSTRAINED NONLINEAR OPTIMIZATION SOLVER”.
32 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà
Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè êà÷åñòâà ðåøåíèé, ïîëó÷àåìûõ â ðåçóëüòàòå ðàáîòû èòåðàöèîííîãî àëãîðèòìà, ââåäåì çíà÷åíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîé ýôôåêòèâíîñòè e è ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêè δ. Çíà÷åíèå
∫ ∫e = E(x)d 2x/ E0 (u)d 2u DG
(16)
õàðàêòåðèçóåò äîëþ ýíåðãèè, ôîêóñèðóåìóþ â òðå-
áóåìîé îáëàñòè D.
Çíà÷åíèå
δ = (1/ E) (1/ ||D||)∫ ( E(x,c) − ED (x))2d 2x, (17) D
ãäå ||D|| – ïëîùàäü îáëàñòè ôîêóñèðîâêè D, à E– – ñðåäíåå çíà÷åíèå, õàðàêòåðèçóåò îøèáêó ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè E(x).
3,68 ìì
3,71 ìì
Ðèñ. 2. Ïðåëîìëÿþùàÿ ïîâåðõíîñòü äëÿ ôîêóñèðîâêè â ïðÿìîóãîëüíóþ îáëàñòü ñ ðàçìåðàìè 70×50 ìì íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè z = 115 ìì.
×àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîé îñâåùåííîñòè â ïëîñêîñòè. Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà ïîâåðõíîñòü îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà (n = 1,5), ðàññ÷èòàííîãî ãðàäèåíòíûì ìåòîäîì (13)–(15) èç óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ ïîñòîÿííîé îñâåùåííîñòè â ïðÿìîóãîëüíèêå 70×50 ìì, ðàñïîëîæåííîì â ïëîñêîñòè z = 115 ìì.  äàííîì ñëó÷àå ýéêîíàë, ïðåäñòàâëÿþùèé ïîâåðõíîñòü, çàäàâàëñÿ â âèäå ñèììåòðè÷íîãî ïîëèíîìà 6-é ñòåïåíè â êðóãå ñ ðàäèóñîì 2,5 ìì. Èñòî÷íèê, èçëó÷àþùèé ïî çàêîíó Ëàìáåðòà, íàõîäèëñÿ â òî÷êå O = (0, 0, –5) ìì. Âåðøèíà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2) êàñàåòñÿ ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà z = 0 â òî÷êå (0, 0, 0). Ñèììåòðè÷íûé ïîëèíîì 6-é ñòåïåíè èìååò 9 êîýôôèöèåíòîâ äëÿ îïòèìèçàöèè. Âðåìÿ ðàñ÷åòà ýéêîíàëà ñ óêàçàííûì ÷èñëîì ïàðàìåòðîâ íà êîìïüþòåðå Pentium 4 ñîñòàâëÿåò ïîðÿäêà 15 ìèí. Äëÿ òàêîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2) ýíåðãåòè÷åñêàÿ ýôôåêòèâíîñòü ôîêóñèðîâêè ñîñòàâëÿåò ôàêòè÷åñêè 100% ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêå δ = 5,9%. Äëÿ ïðîâåðêè ïðàâèëüíîñòè ðàçðàáîòàííûõ àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì áûë ïðîâåäåí ðàñ÷åò îñâåùåííîñòè îò ðàññ÷èòàííîãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà ñðåäñòâàìè ñïåöèàëèçèðîâàííîé ïðîãðàììû ïî ñâåòîòåõíèêå TracePro [17]. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ïðè ÷èñëå ëó÷åé 100 000 ïðèâåäåíû íà ðèñ. 3. Ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè íà ðèñ. 3 ñîîòâåòñòâóåò òðåáóåìîìó ðàñïðåäåëåíèþ è ïîäòâåðæäàåò ïðàâèëüíîñòü ðàçðàáîòàííûõ ïðîãðàìì.
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíà ïðåëîìëÿþùàÿ ïîâåðõíîñòü (n = 1,5), ðàññ÷èòàííàÿ äëÿ ôîêóñèðîâêè â ïðÿ-
Ðèñ. 3. Ðàññ÷èòàííàÿ â TracePro îñâåùåííîñòü íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè z = 115 ìì, ôîðìèðóåìàÿ ïðåëîìëÿþùèì ýëåìåíòîì (ðèñ. 2).
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
33
4,35 ìì
4,05 ìì
Ðèñ. 4. Ïðåëîìëÿþùàÿ ïîâåðõíîñòü äëÿ ôîêóñèðîâêè â ïðÿìîóãîëüíóþ îáëàñòü íà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ðàäèóñîì 35 ìì íà ðàññòîÿíèè z = 100 ìì.
E(L, y) 1
0 –40
L
0
40
40
0y –40
Ðèñ. 5. Ðàññ÷èòàííàÿ îñâåùåííîñòü íà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ðàäèóñîì 35 ìì íà ðàññòîÿíèè z = 100 ìì îò ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 4).
ìîóãîëüíèê 55×40 ìì, ðàñïîëîæåííûé íà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ðàäèóñîì 35 ìì. Îñü öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñîâïàäàåò ñ îñüþ Oy è ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè z = 100 ìì.  äàííîì ïðèìåðå ýéêîíàë, ïðåäñòàâëÿþùèé ïîâåðõíîñòü, çàäàâàëñÿ â âèäå ñèììåòðè÷íîãî ïîëèíîìà 8-é ñòåïåíè â êðóãîâîé îáëàñòè ñ ðàäèóñîì 2,5 ìì. Ëàìáåðòîâñêèé èñòî÷íèê íàõîäèëñÿ â òî÷êå O = = (0, 0, –5) ìì. Âåðøèíà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 4) êàñàåòñÿ ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà â òî÷êå (0, 0, 0). Ïîëèíîì 8-é ñòåïåíè èìååò 14 êîýôôèöèåíòîâ äëÿ îïòèìèçàöèè. Âðåìÿ ðàñ÷åòà ýéêîíàëà ñ óêàçàííûì ÷èñëîì ïàðàìåòðîâ íà êîìïüþòåðå Pentium 4 ñîñòàâèëî ïîðÿäêà 40 ìèí. Äëÿ òàêîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 4) ýíåðãåòè÷åñêàÿ ýôôåêòèâíîñòü ôîêóñèðîâêè ñîñòàâëÿåò ôàêòè÷åñêè 100% ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêå δ = 10,2%.
Ìîäåëèðîâàíèå ðàññ÷èòàííîé ïîâåðõíîñòè ñðåäñòâàìè ïðîãðàììû TracePro íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì, òàê êàê TracePro íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íåïîñðåäñòâåííî íà êðèâîëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòÿõ. Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåíî ðàñ÷åòíîå ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè íà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè â êîîðäèíàòàõ (L, y), ãäå L = αR, α – óãîë ìåæäó îñüþ Oz è òî÷êîé íà ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ñ êîîðäèíàòàìè (x, y), à R – ðàäèóñ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò ýôôåêòèâíîñòü ðàçðàáîòàííîãî ãðàäèåíòíîãî àëãîðèòìà ïðè ðàñ÷åòå ïðåëîìëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííûõ ðàñïðåäåëåíèé îñâåùåííîñòè.
Çàêëþ÷åíèå
Ðàññìîòðåííûé ãðàäèåíòíûé ìåòîä ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà, îñíîâàííûé íà ïðåäñòàâëåíèè ïîâåðõíîñòè ÷åðåç ýéêîíàë, äàåò âûñîêîå êà÷åñòâî ôîêóñèðîâêè. Äëÿ ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé, ôîðìèðóþùèõ ðàâíîìåðíûå ïðÿìîóãîëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà ïëîñêîñòè è öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, äîñòàòî÷íî ïðåäñòàâèòü ïîâåðõíîñòè ÷åðåç ýéêîíàëû â âèäå ïîëèíîìîâ øåñòîé è âîñüìîé ñòåïåíåé ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëó÷åííûå ïîëèíîìû îáåñïå÷èâàþò ñðåäíåêâàäðàòè÷íóþ îøèáêó 5–10% ïðè ôàêòè÷åñêè 100%-íîé ýíåðãåòè÷åñêîé ýôôåêòèâíîñòè. Ïðåäëîæåííûé ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà îòðàæàþùèõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ. Ïðè ðàñ÷åòå îòðàæàþùèõ ýëåìåíòîâ èçìåíèòñÿ òîëüêî óðàâíåíèå (4), îïèñûâàþùåå âîññòàíîâëåíèå ïîâåðõíîñòè ïî ýéêîíàëó â ïëîñêîñòè. Ìåòîä òàêæå ìîæåò áûòü ìîäèôèöèðîâàí íà ñëó÷àé ðàñ÷åòà îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ ïðè ðàçìåðíîì èñòî÷íèêå èçëó÷åíèÿ.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòîâ ÐÔÔÈ ¹ 07-07-97601-ð_îôè, 07-01-96602-ð_ïîâîëæüå_à, 07-07-91580-ÀÑÏ_à; ãðàíòà CRDF Project RUXO014-SA-06.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Âîëêîâ À.Â., Ãîëîâàøêèí Ä.Ë., Äîñêîëîâè÷ Ë.Ë., Êàçàíñêèé Í.Ë., Êîòëÿð Â.Â., Ïàâåëüåâ Â.Ñ., Ñêèäàíîâ Ð.Â., Ñîéôåð Â.À., Ñîëîâüåâ Â.Ñ., Óñïëåíüåâ Ã.Â., Õàðèòîíîâ Ñ.È., Õîíèíà Ñ.Í. Ìåòîäû êîìïüþòåðíîé
34 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
îïòèêè / Ïîä ðåä. Ñîéôåðà Â.À. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003. 688 ñ.
12. Soifer V.A., Doskolovich L.L., Golovashkin D.L., Kharitonov S.I., Khonina S.N., Kotlyar V.V., Paveliev V.S., Skidanov R.V., Soloviev V.S., Volkov A.V., Uspleniev G.V. Methods For Computer Design of Diffractive Optical Elements / Ed. by Soifer V.A. Wiley-Interscience Publication John Wiley & Sons, Inc., 2002. 765 p.
13. Äàíèëîâ Â.À., Ïîïîâ Â.Â., Ïðîõîðîâ À.Ì., Ñàãàòåëÿí Ä.Ì., Ñèñàêÿí Å.Â., Ñèñàêÿí È.Í., Ñîéôåð Â.À. Îïòè÷åñêèå ýëåìåíòû, ôîêóñèðóþùèå êîãåðåíòíîå èçëó÷åíèå â ïðîèçâîëüíóþ ôîêàëüíóþ ëèíèþ // Ïðåïðèíò ¹ 69 ÔÈÀÍ ÑÑÑÐ. Ì.: ÔÈÀÍ ÑÑÑÐ, 1983. 41 ñ.
14. Ãîí÷àðñêèé À.Â., Äàíèëîâ Â.À., Ïîïîâ Â.Â., Ïðîõîðîâ À.Ì., Ñèñàêÿí È.Í., Ñîéôåð Â.À., Ñòåïàíîâ Â.Â. Ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è ôîêóñèðîâêè ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ â ïðîèçâîëüíóþ êðèâóþ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1983. Ò. 273. ¹ 3. Ñ. 605–608.
15. Äàíèëîâ Â.À., Ïîïîâ Â.Â., Ïðîõîðîâ À.Ì., Ñàãàòåëÿí Ä.Ì., Ñèñàêÿí È.Í., Ñîéôåð Â.À. Ñèíòåç îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, ñîçäàþùèõ ôîêàëüíóþ ëèíèþ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû // Ïèñüìà â ÆÒÔ. 1982. Ò. 8. ¹ 13. Ñ. 810–815.
16. Ãîí÷àðñêèé À.Â., Ïîïîâ Â.Â., Ñòåïàíîâ Â.Â. Ââåäåíèå â êîìïüþòåðíóþ îïòèêó. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1991. 309 ñ.
17. Äàíèëîâ Â.À., Êèíáåð Á.Å., Øèëîâ À.Å. Òåîðèÿ êîãåðåíòíûõ ôîêóñàòîðîâ // Êîìïüþòåðíàÿ îïòèêà. Ì.: ÌÖÍÒÈ, 1987. Â. 1. Ñ. 40–52.
18. Elmer W.B. The Optical Design of Reflectors / 2nd Edition. New York: Wiley, 1985.
19. Feuermann D., Gordon J.M., Ries H. Nonimaging optical designs for maximum power density remote irradiation // Appl. Opt. 1998. V. 37. P. 1835–1844.
10. Feuermann D., Gordon J.M. Optical performance of axisymmetric edge-ray concentrators and illuminators // Appl. Opt. 1998. V. 37. P. 1905–1912.
11. Gordon J.M., Rabl A. Reflectors for uniform far-field irradiance: fundamental limits and example of an axisymmetric solution // Appl. Opt. 1998. V. 37. P. 44–47.
12. Ries H., Muschaweck J. Tailored freeform optical surfaces // JOSA. A. 2002. V. 19. P. 590–595.
13. Hicks R.À. Designing a mirror to realize a given projection // JOSA. A. 2005. V. 22. P. 323–330.
14. Áîðí Ì., Âîëüô Ý. Îñíîâû îïòèêè. Ì.: Íàóêà, 1970.
15. Áåëîóñîâ À.À., Äîñêîëîâè÷ Ë.Ë., Õàðèòîíîâ Ñ.È. Ãðàäèåíòíûé ìåòîä ðàñ÷åòà ýéêîíàëà äëÿ ôîêóñèðîâêè â çàäàííóþ îáëàñòü // Àâòîìåòðèÿ. 2007. V. 43. ¹ 3.
16. Dresel Th., Beyerlein M., Schwider J. Design of computergenerated beam-shapingholograms by iterative finiteelement mesh adaption // Appl. Opt. 1996. V. 35. P. 6865– 6874.
17. http://www.lambdares.com/products/tracepro/index.phtml
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
35
ÃÐÀÄÈÅÍÒÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÐÀÑ×ÅÒÀ ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÝËÅÌÅÍÒΠÄËß ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÍÈß ÇÀÄÀÍÍÎÉ ÎÑÂÅÙÅÍÍÎÑÒÈ ÍÀ ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÎÉ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ
© 2008 ã.
À. À. Áåëîóñîâ; Ë. Ë. Äîñêîëîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê; Ñ. È. Õàðèòîíîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àýðîêîñìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, ã. Ñàìàðà Èíñòèòóò ñèñòåì îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé ÐÀÍ, ã. Ñàìàðà E-mail: adark@narod.ru
Ðàññìîòðåí ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòè ïðè êîìïàêòíîì èñòî÷íèêå ñâåòà. Ðàñ÷åò îñíîâàí íà ïðåäñòàâëåíèè ïîâåðõíîñòè ýëåìåíòà ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà ñâåòîâîãî ïîëÿ â ïðèëåãàþùåé ïëîñêîñòè. Ýéêîíàë îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà. Ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè îñíîâàí íà ãðàäèåíòíîé ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà îøèáêè, ïðåäñòàâëÿþùåãî ðàçëè÷èå ðàñ÷åòíîé è çàäàííîé îñâåùåííîñòåé ïîëåé. Äëÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà îøèáêè ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå. Ïðîâåäåí ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùèõ ýëåìåíòîâ äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà ïëîñêîé è öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòÿõ.
Êîäû OCIS: 080.2740.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 26.04.2007.
Ââåäåíèå
Ðàñ÷åò îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà çàäà÷, âêëþ÷àþùèõ ðàñ÷åò ëàçåðíûõ ñèñòåì ôîêóñèðîâêè, ñêàíèðîâàíèÿ è íàâèãàöèè, ñâåòîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ, ñèñòåì îñâåùåíèÿ è ò. ä.
Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùåãî ýëåìåíòà ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé çàäà÷åé è ñîñòîèò â ðàñ÷åòå ôîðìû ïîâåðõíîñòè èç óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè.  îáùåì ñëó÷àå çàäà÷à ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè ïðè òî÷å÷íîì (êîìïàêòíîì) èñòî÷íèêå ñâåòà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ òèïà óðàâíåíèÿ Ìîíæà–Àìïåðà è ÿâëÿåòñÿ êðàéíå ñëîæíîé.
Ðÿä ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ äàííîãî êëàññà â ïðèáëèæåíèè ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè ðàçðàáîòàí äëÿ äèôðàêöèîííûõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ [1–7].  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à ñòàâèòñÿ êàê çàäà÷à ðàñ÷åòà ýéêîíàëà ñâåòîâîãî ïîëÿ â ïëîñêîñòè èç óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîé èíòåíñèâíîñòè ïîëÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà. Çàäà÷à ðàñ÷åòà ýéêîíàëà â ïëîñêîñòè îòëè÷íà îò çàäà÷è ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè. Êðîìå òîãî, âîññòàíîâëåíèå ôîðìû ïîâåðõíîñòè ðåëüåôà äèôðàêöèîííîãî ýëåìåíòà ïî ôóíêöèè ýéêîíàëà îñíîâàíî íà èñïîëüçîâàíèè ïàðàêñèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ è ïðèáëèæåíèÿ òîíêîãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà. Òàêèå ïðèáëèæåíèÿ íåäîïóñòèìû ïðè ðàñ÷åòå ïðåëîìëÿþùèõ ïî-
âåðõíîñòåé, ôîðìèðóþùèõ îáëàñòè ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì óãëîâûì ðàçìåðîì (> 10°).
Ðÿä ìåòîäîâ ðàñ÷åòà îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ ðàçðàáîòàí â ñâåòîòåõíèêå [8–11]. Ìåòîäû ñâåòîòåõíèêè ïîçâîëÿþò ó÷åñòü ðàçìåðû è ôîðìó èñòî÷íèêà ñâåòà, îäíàêî àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ è ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðàñ÷åòà èçâåñòíû òîëüêî äëÿ çàäà÷ ñ ðàäèàëüíîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé ñèììåòðèåé.  ïîñëåäíèå ãîäû ïîÿâèëèñü ïóáëèêàöèè ïî ðàñ÷åòó îïòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè ïðè êîìïàêòíûõ èñòî÷íèêàõ ñâåòà [12, 13]. Óêàçàííûå ìåòîäû ïîçâîëÿþò ñôîðìèðîâàòü ñëîæíûå ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè, íàïðèìåð, â âèäå àëôàâèòíî-öèôðîâûõ ñèìâîëîâ, îäíàêî îáëàäàþò íèçêîé ýôôåêòèâíîñòüþ.
 ñòàòüå ðàññìîòðåí ãðàäèåíòíûé ìåòîä ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ äëÿ ôîêóñèðîâêè íà çàäàííóþ êðèâîëèíåéíóþ ïîâåðõíîñòü ïðè òî÷å÷íîì èñòî÷íèêå ñâåòà. Ìåòîä íå èñïîëüçóåò ïðèáëèæåííûõ ñîîòíîøåíèé òèïà ïðèáëèæåíèÿ òîíêîãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà è ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü ôîêóñèðîâêó ñ ôàêòè÷åñêè 100%-íîé ýôôåêòèâíîñòüþ â îáëàñòè, íå îáëàäàþùåé ðàäèàëüíîé ñèììåòðèåé. Ìåòîä îñíîâàí íà ïðåäñòàâëåíèè ïîâåðõíîñòè ýëåìåíòà ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà ñâåòîâîãî ïîëÿ â ïðèëåãàþùåé ïëîñêîñòè. Ýéêîíàë îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà. Ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùåãî ýëåìåíòà îñíîâàí íà ãðàäèåíòíîé ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà îøèáêè, ïðåäñòàâëÿþùåãî ðàçëè÷èå ðàñ÷åòíîé è çàäàííîé îñâåùåííîñòåé, ïî êîýôôèöèåíòàì ïîëèíîìà ýéêîíàëà, îïðåäåëÿþùåãî ýëåìåíò.
30 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ðàñ÷åòà îïòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè
Òðåáóåòñÿ ðàññ÷èòàòü ïðåëîìëÿþùóþ ïîâåðõíîñòü Ì èç óñëîâèÿ ôîêóñèðîâêè èçëó÷åíèÿ îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà O = (Ox, Oy, Oz) â îáëàñòü D, ðàñïîëîæåííóþ íà ïîâåðõíîñòè z = f (x), ãäå x = (x, y) – ëîêàëüíûå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (ðèñ. 1). Ïðè ýòîì â îáëàñòè D äîëæíî áûòü ñôîðìèðîâàíî çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè E(x), x ∈ D. Ïîâåðõíîñòü z = f (x) è îáëàñòü D áóäåì íàçûâàòü ïîâåðõíîñòüþ ôîêóñèðîâêè è îáëàñòüþ ôîêóñèðîâêè ñîîòâåòñòâåííî.
Ïîâåðõíîñòü M îïðåäåëèì ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà ñâåòîâîãî ïîëÿ ψ(u), u ∈G â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, ãäå u = (u, v) – äåêàðòîâû êîîðäèíàòû â ýòîé ïëîñêîñòè. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýéêîíàë çàäàí â ïëîñêîñòè z = 0 (ðèñ. 1). Ïðåäñòàâëåíèå ïîâåðõíîñòè ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà â ïëîñêîñòè àâòîðû ñ÷èòàþò óäîáíûì, ïîñêîëüêó îíî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü àíàëèòè÷åñêèå è èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðàñ÷åòà ýéêîíàëà, ðàçðàáîòàííûå äëÿ äèôðàêöèîííûõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ [1–7].
Ïîâåðõíîñòü M(u) = (x(u), y(u), z(u)) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ýéêîíàëà ψ(u), u ∈G. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîâåäåì ðàñ÷åò ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ ýéêîíàëà ψ(u) (ðèñ. 1). Çàïèøåì óðàâíåíèå ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè â âèäå
M(u) = r(u) – p(u)l(u),
(1)
ãäå r(u) = (u, v, 0) – âåêòîð òî÷êè â ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà, p(u) – âåêòîð íàïðàâëåíèÿ ëó÷à, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ýéêîíàëîì ψ(u), l(u) – ðàññòîÿíèå îò òî÷êè r(u) äî ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè ïî íàïðàâëåíèþ p(u). Âåêòîð ëó÷à p(u) èìååò âèä [14]:
M(u)
v E0(u) u
O ψ(u)
y E(x) x
z
l(u) G z=0
D z = f (x, y)
Ðèñ. 1. Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà, ôîðìèðóþùåãî çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè íà êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòè.
( )p(u) = px (u), py (u), pz (u) =
= ⎛⎝⎜ ∇ψ(u), 1 − (∇ψ(u))2 ⎟⎠⎞,
(2)
ãäå ∇ψ(u) = (∂ψ(u)/∂u, ∂ψ(u)/∂v). Ôóíêöèÿ l(u) â (1) îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
ψ(u) = l(u) + n OM(u) ,
(3)
ãäå n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà, |OM(u)| = |r(u) – p(u)l(u) – O| – ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ äî òî÷êè ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè. Óðàâíåíèå (3) îïðåäåëÿåò óñëîâèå ðàâåíñòâà îïòè÷åñêèõ äëèí ëó÷åé, ïðîøåäøèõ ÷åðåç ïðåëîìëÿþùóþ ïîâåðõíîñòü, çàäàííîìó ýéêîíàëó ψ(u). Ðàñ÷åò ôóíêöèè l(u) èç (3) ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
( ) ( )n2 −1 l(u) + 2l(u) ψ(u) − n2(r(u) − O, p(u)) + (4) +n2 r(u) − O 2 − ψ2(u) = 0.
Ðàñ÷åò îñâåùåííîñòè íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè
Ðàññìîòðèì ðàñ÷åò îñâåùåííîñòè íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè z = f (x, y). Îáîçíà÷èì x(u) = = (x(u), y(u), z(u)) êîîðäèíàòû ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ñ ïîâåðõíîñòüþ ôîêóñèðîâêè. Ñîãëàñíî (2) ïîëó÷èì
x(u) = r(u) + p(u)h(u),
(5)
ãäå h(u) – äëèíà ïðåëîìëåííîãî ëó÷à îò îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà äî ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè. Ôóíêöèÿ h(u) â (5) îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ z(u) = f (x(u), y(u)), ïîëó÷àåìîãî ïðè ïîäñòàíîâêå x(u) â óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè.
Îñâåùåííîñòü íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ñâåòîâîãî ïîòîêà â âèäå
( )E(x) = E0 (u) 1+ (∇f (x))2 J (u) , (6)
ãäå E0(u) – îñâåùåííîñòü, ñîçäàííàÿ ïîâåðõíîñòüþ M(u) â ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà, ∇f(x) = (∂f(x)/∂x, ∂f (x)/∂y), à
J (u) = (∂x(u)/∂u)(∂y(u)/∂v) − − (∂y(u)/∂u)(∂x(u)/∂v)
(7)
– ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò (5). Îñâåùåííîñòü E0(u) òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ñâåòîâîãî ïîòîêà â âèäå
E0 (u) = I (u) N(u) cosα/ OM(u) 2,
(8)
ãäå I(u) – èíòåíñèâíîñòü òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ, N(u) = ∂M(u)/∂u×∂M(u)/∂v – âåêòîð íîðìàëè ê îïòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, cosα = (OM(u)/|OM(u)|,
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
31
N(u)/|N(u)|). Êîìïîíåíòû âåêòîðà íîðìàëè N(u) â (8) ìîãóò áûòü íàéäåíû èç (1) ïóòåì ïðÿìîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Ïðåäñòàâëåíèå îñâåùåííîñòè â âèäå ôîðìóëû (6) íåóäîáíî äëÿ ðàñ÷åòà, ïîñêîëüêó åãî íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü â îáëàñòè êàóñòèê è â ñëó÷àå, êîãäà íåñêîëüêî ëó÷åé èç ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà ïðèõîäÿò â îäíó òî÷êó îáëàñòè ôîêóñèðîâêè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ óäîáíîé ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû äëÿ îñâåùåííîñòè E(x) âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì ôîðìóëû (6)
∫∫E(x) =
1 1 + (∇f (x))2
δ(x − x(u))E0 (u)du,
G
(9)
ãäå δ(x) – äåëüòà-ôóíêöèÿ. Àïïðîêñèìèðóåì äåëüòà-
ôóíêöèþ â (9) íåêîòîðîé èãëîîáðàçíîé ôóíêöèåé
( )δσ(x)
lim
σ→0
δσ
(x)
=
δ(x)
è ïðåäñòàâèì ðàñïðåäåëåíèå
îñâåùåííîñòè â âèäå
∫∫E(x) =
1 1 + (∇f (x))2
δσ (x − x(u))E0 (u)du.
G
(10)
Âûðàæåíèå (10) îðèåíòèðîâàíî íà ðàñ÷åò îñâåùåííîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà òðàññèðîâêè ëó÷åé.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (10) äàåò óñðåäíåííîå çíà÷åíèå îñâåùåííîñòè â îêðåñòíîñòè, îïðåäåëÿåìîé “ýôôåêòèâíîé” øèðèíîé ôóíêöèè δσ(x). Âåëè÷èíà ýòîé îêðåñòíîñòè îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ øàãîì äèñêðåòèçàöèè â îáëàñòè íàáëþäåíèÿ.  êà÷åñòâå ôóíêöèè δσ(x) ìîæåò, íàïðèìåð, èñïîëüçîâàòüñÿ ãàóññîâà ôóíêöèÿ
( )δσ (x)
=
1 πσ2
exp
−x 2 /σ2
.
(11)
 ýòîì ñëó÷àå îñâåùåííîñòü (10) áóäåò óñðåäíåííûì çíà÷åíèåì îñâåùåííîñòè (9) ñ ãàóññîâûì âåñîì (11).
Ðàñ÷åò îïòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè äëÿ ôîêóñèðîâêè â çàäàííóþ îáëàñòü
Äëÿ ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè M(u), ôîðìèðóþùåé çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè, áûë èñïîëüçîâàí ãðàäèåíòíûé ìåòîä ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà îøèáêè ε(ψ), ïðåäñòàâëÿþùåãî ðàçëè÷èå ðàñ÷åòíîãî è òðåáóåìîãî ðàñïðåäåëåíèé îñâåùåííîñòè íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè.
Ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü ýëåìåíòà è ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè ñ÷èòàþòñÿ ïðåäñòàâëåííûìè ÷åðåç ýéêîíàë ïîëÿ â ïëîñêîñòè z = 0 ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1), (2), (4), (8)–(10). Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì. Èñïîëüçîâàíèå àíàëèòè÷åñêèõ è
÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ýéêîíàëà ïîëÿ, ðàçðàáîòàííûõ äëÿ ðàñ÷åòà äèôðàêöèîííûõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, ïîçâîëÿåò âûáðàòü íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ãðàäèåíòíîãî ìåòîäà.  êà÷åñòâå òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî, íàïðèìåð, èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà ýéêîíàëà äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ òàêîãî æå ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè.
Ðàññìîòðèì èñïîëüçîâàííûé ãðàäèåíòíûé ìåòîä. Îïðåäåëèì ýéêîíàë â âèäå ïîëèíîìà
∑ψ(u, v) = cijuiv j. ij
(12)
Ïîëèíîìèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ýéêîíàëà áûëî èñïîëüçîâàíî â ðàáîòàõ [15, 16] è ïîêàçàëî õîðîøèå ðåçóëüòàòû ïðè ðàñ÷åòå ýéêîíàëà èç óñëîâèÿ ôîêóñèðîâêè â çàäàííûå îáëàñòè.  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà îøèáêè ε(ψ) ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ îò êîýôôèöèåíòîâ ñij.  êà÷åñòâå ôóíêöèè íåâÿçêè áûëà èñïîëüçîâàíà êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ
ε(c) = ∫∫ ( E(x,c) − ED (x))2dxdy, D
(13)
ãäå âåêòîð c îáîçíà÷àåò íàáîð êîýôôèöèåíòîâ ïî-
ëèíîìà, à E(x, c), ED(x) – ðàñ÷åòíîå è òðåáóåìîå ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè â îáëàñòè ôîêóñèðîâêè.
 ýòîì ñëó÷àå ãðàäèåíòíûé ðàñ÷åò ôóíêöèè ïðåëîì-
ëÿþùåé ïîâåðõíîñòè ñîñòîèò â èòåðàöèîííîé êîð-
ðåêöèè âåêòîðà êîýôôèöèåíòîâ c ïî ïðàâèëó
cn = cn−1 − t∇ε(cn−1),
(14)
ãäå ∇ε(c) – ãðàäèåíò ôóíêöèè íåâÿçêè, t – øàã ìåòîäà. Êîìïîíåíòû âåêòîðà ãðàäèåíòà â (14) íåñëîæíî ïîëó÷èòü â âèäå
∫∫∂ε(c)/∂cij = 2 ( E(x,c) − ED (x))Ψij (x)d 2x, (15) D
ãäå
Ψij (x) =
∫∫=
1 1 + (∇f (x))2
G
∂ ∂cij
( E0(u,c)δσ
(x
−
x(u,c)))d 2u,
ãäå E0(u, c) – îñâåùåííîñòü (8) â ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà, x(u, c) – êîîðäèíàòû ëó÷åé (5) íà ïîâåðõíîñòè ôîêóñèðîâêè.
Ðàñ÷åò âåêòîðà ãðàäèåíòà òàêæå ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ÷èñëåííî ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçíîñòíûõ ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà ïðîèçâîäíûõ ∂ε/∂cij.  ðàáîòå äëÿ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè îøèáêè (13) è ðåàëèçàöèè ãðàäèåíòíîãî ìåòîäà (14) áûëè èñïîëüçîâàíû javaêëàññ Uncmin_f77 è java-èíòåðôåéñ Uncmin_methods èç ïàêåòà îïòèìèçàöèè “AN UNCONSTRAINED NONLINEAR OPTIMIZATION SOLVER”.
32 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà
Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè êà÷åñòâà ðåøåíèé, ïîëó÷àåìûõ â ðåçóëüòàòå ðàáîòû èòåðàöèîííîãî àëãîðèòìà, ââåäåì çíà÷åíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîé ýôôåêòèâíîñòè e è ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêè δ. Çíà÷åíèå
∫ ∫e = E(x)d 2x/ E0 (u)d 2u DG
(16)
õàðàêòåðèçóåò äîëþ ýíåðãèè, ôîêóñèðóåìóþ â òðå-
áóåìîé îáëàñòè D.
Çíà÷åíèå
δ = (1/ E) (1/ ||D||)∫ ( E(x,c) − ED (x))2d 2x, (17) D
ãäå ||D|| – ïëîùàäü îáëàñòè ôîêóñèðîâêè D, à E– – ñðåäíåå çíà÷åíèå, õàðàêòåðèçóåò îøèáêó ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè E(x).
3,68 ìì
3,71 ìì
Ðèñ. 2. Ïðåëîìëÿþùàÿ ïîâåðõíîñòü äëÿ ôîêóñèðîâêè â ïðÿìîóãîëüíóþ îáëàñòü ñ ðàçìåðàìè 70×50 ìì íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè z = 115 ìì.
×àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííîé îñâåùåííîñòè â ïëîñêîñòè. Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà ïîâåðõíîñòü îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà (n = 1,5), ðàññ÷èòàííîãî ãðàäèåíòíûì ìåòîäîì (13)–(15) èç óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ ïîñòîÿííîé îñâåùåííîñòè â ïðÿìîóãîëüíèêå 70×50 ìì, ðàñïîëîæåííîì â ïëîñêîñòè z = 115 ìì.  äàííîì ñëó÷àå ýéêîíàë, ïðåäñòàâëÿþùèé ïîâåðõíîñòü, çàäàâàëñÿ â âèäå ñèììåòðè÷íîãî ïîëèíîìà 6-é ñòåïåíè â êðóãå ñ ðàäèóñîì 2,5 ìì. Èñòî÷íèê, èçëó÷àþùèé ïî çàêîíó Ëàìáåðòà, íàõîäèëñÿ â òî÷êå O = (0, 0, –5) ìì. Âåðøèíà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2) êàñàåòñÿ ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà z = 0 â òî÷êå (0, 0, 0). Ñèììåòðè÷íûé ïîëèíîì 6-é ñòåïåíè èìååò 9 êîýôôèöèåíòîâ äëÿ îïòèìèçàöèè. Âðåìÿ ðàñ÷åòà ýéêîíàëà ñ óêàçàííûì ÷èñëîì ïàðàìåòðîâ íà êîìïüþòåðå Pentium 4 ñîñòàâëÿåò ïîðÿäêà 15 ìèí. Äëÿ òàêîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2) ýíåðãåòè÷åñêàÿ ýôôåêòèâíîñòü ôîêóñèðîâêè ñîñòàâëÿåò ôàêòè÷åñêè 100% ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêå δ = 5,9%. Äëÿ ïðîâåðêè ïðàâèëüíîñòè ðàçðàáîòàííûõ àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì áûë ïðîâåäåí ðàñ÷åò îñâåùåííîñòè îò ðàññ÷èòàííîãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà ñðåäñòâàìè ñïåöèàëèçèðîâàííîé ïðîãðàììû ïî ñâåòîòåõíèêå TracePro [17]. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ïðè ÷èñëå ëó÷åé 100 000 ïðèâåäåíû íà ðèñ. 3. Ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè íà ðèñ. 3 ñîîòâåòñòâóåò òðåáóåìîìó ðàñïðåäåëåíèþ è ïîäòâåðæäàåò ïðàâèëüíîñòü ðàçðàáîòàííûõ ïðîãðàìì.
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíà ïðåëîìëÿþùàÿ ïîâåðõíîñòü (n = 1,5), ðàññ÷èòàííàÿ äëÿ ôîêóñèðîâêè â ïðÿ-
Ðèñ. 3. Ðàññ÷èòàííàÿ â TracePro îñâåùåííîñòü íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè z = 115 ìì, ôîðìèðóåìàÿ ïðåëîìëÿþùèì ýëåìåíòîì (ðèñ. 2).
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
33
4,35 ìì
4,05 ìì
Ðèñ. 4. Ïðåëîìëÿþùàÿ ïîâåðõíîñòü äëÿ ôîêóñèðîâêè â ïðÿìîóãîëüíóþ îáëàñòü íà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ðàäèóñîì 35 ìì íà ðàññòîÿíèè z = 100 ìì.
E(L, y) 1
0 –40
L
0
40
40
0y –40
Ðèñ. 5. Ðàññ÷èòàííàÿ îñâåùåííîñòü íà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ðàäèóñîì 35 ìì íà ðàññòîÿíèè z = 100 ìì îò ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 4).
ìîóãîëüíèê 55×40 ìì, ðàñïîëîæåííûé íà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ðàäèóñîì 35 ìì. Îñü öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñîâïàäàåò ñ îñüþ Oy è ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè z = 100 ìì.  äàííîì ïðèìåðå ýéêîíàë, ïðåäñòàâëÿþùèé ïîâåðõíîñòü, çàäàâàëñÿ â âèäå ñèììåòðè÷íîãî ïîëèíîìà 8-é ñòåïåíè â êðóãîâîé îáëàñòè ñ ðàäèóñîì 2,5 ìì. Ëàìáåðòîâñêèé èñòî÷íèê íàõîäèëñÿ â òî÷êå O = = (0, 0, –5) ìì. Âåðøèíà ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 4) êàñàåòñÿ ïëîñêîñòè çàäàíèÿ ýéêîíàëà â òî÷êå (0, 0, 0). Ïîëèíîì 8-é ñòåïåíè èìååò 14 êîýôôèöèåíòîâ äëÿ îïòèìèçàöèè. Âðåìÿ ðàñ÷åòà ýéêîíàëà ñ óêàçàííûì ÷èñëîì ïàðàìåòðîâ íà êîìïüþòåðå Pentium 4 ñîñòàâèëî ïîðÿäêà 40 ìèí. Äëÿ òàêîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 4) ýíåðãåòè÷åñêàÿ ýôôåêòèâíîñòü ôîêóñèðîâêè ñîñòàâëÿåò ôàêòè÷åñêè 100% ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêå δ = 10,2%.
Ìîäåëèðîâàíèå ðàññ÷èòàííîé ïîâåðõíîñòè ñðåäñòâàìè ïðîãðàììû TracePro íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì, òàê êàê TracePro íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íåïîñðåäñòâåííî íà êðèâîëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòÿõ. Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåíî ðàñ÷åòíîå ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè íà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè â êîîðäèíàòàõ (L, y), ãäå L = αR, α – óãîë ìåæäó îñüþ Oz è òî÷êîé íà ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ñ êîîðäèíàòàìè (x, y), à R – ðàäèóñ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò ýôôåêòèâíîñòü ðàçðàáîòàííîãî ãðàäèåíòíîãî àëãîðèòìà ïðè ðàñ÷åòå ïðåëîìëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ çàäàííûõ ðàñïðåäåëåíèé îñâåùåííîñòè.
Çàêëþ÷åíèå
Ðàññìîòðåííûé ãðàäèåíòíûé ìåòîä ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùåãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà, îñíîâàííûé íà ïðåäñòàâëåíèè ïîâåðõíîñòè ÷åðåç ýéêîíàë, äàåò âûñîêîå êà÷åñòâî ôîêóñèðîâêè. Äëÿ ðàñ÷åòà ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé, ôîðìèðóþùèõ ðàâíîìåðíûå ïðÿìîóãîëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè íà ïëîñêîñòè è öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, äîñòàòî÷íî ïðåäñòàâèòü ïîâåðõíîñòè ÷åðåç ýéêîíàëû â âèäå ïîëèíîìîâ øåñòîé è âîñüìîé ñòåïåíåé ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëó÷åííûå ïîëèíîìû îáåñïå÷èâàþò ñðåäíåêâàäðàòè÷íóþ îøèáêó 5–10% ïðè ôàêòè÷åñêè 100%-íîé ýíåðãåòè÷åñêîé ýôôåêòèâíîñòè. Ïðåäëîæåííûé ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà îòðàæàþùèõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ. Ïðè ðàñ÷åòå îòðàæàþùèõ ýëåìåíòîâ èçìåíèòñÿ òîëüêî óðàâíåíèå (4), îïèñûâàþùåå âîññòàíîâëåíèå ïîâåðõíîñòè ïî ýéêîíàëó â ïëîñêîñòè. Ìåòîä òàêæå ìîæåò áûòü ìîäèôèöèðîâàí íà ñëó÷àé ðàñ÷åòà îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ ïðè ðàçìåðíîì èñòî÷íèêå èçëó÷åíèÿ.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòîâ ÐÔÔÈ ¹ 07-07-97601-ð_îôè, 07-01-96602-ð_ïîâîëæüå_à, 07-07-91580-ÀÑÏ_à; ãðàíòà CRDF Project RUXO014-SA-06.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Âîëêîâ À.Â., Ãîëîâàøêèí Ä.Ë., Äîñêîëîâè÷ Ë.Ë., Êàçàíñêèé Í.Ë., Êîòëÿð Â.Â., Ïàâåëüåâ Â.Ñ., Ñêèäàíîâ Ð.Â., Ñîéôåð Â.À., Ñîëîâüåâ Â.Ñ., Óñïëåíüåâ Ã.Â., Õàðèòîíîâ Ñ.È., Õîíèíà Ñ.Í. Ìåòîäû êîìïüþòåðíîé
34 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
îïòèêè / Ïîä ðåä. Ñîéôåðà Â.À. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003. 688 ñ.
12. Soifer V.A., Doskolovich L.L., Golovashkin D.L., Kharitonov S.I., Khonina S.N., Kotlyar V.V., Paveliev V.S., Skidanov R.V., Soloviev V.S., Volkov A.V., Uspleniev G.V. Methods For Computer Design of Diffractive Optical Elements / Ed. by Soifer V.A. Wiley-Interscience Publication John Wiley & Sons, Inc., 2002. 765 p.
13. Äàíèëîâ Â.À., Ïîïîâ Â.Â., Ïðîõîðîâ À.Ì., Ñàãàòåëÿí Ä.Ì., Ñèñàêÿí Å.Â., Ñèñàêÿí È.Í., Ñîéôåð Â.À. Îïòè÷åñêèå ýëåìåíòû, ôîêóñèðóþùèå êîãåðåíòíîå èçëó÷åíèå â ïðîèçâîëüíóþ ôîêàëüíóþ ëèíèþ // Ïðåïðèíò ¹ 69 ÔÈÀÍ ÑÑÑÐ. Ì.: ÔÈÀÍ ÑÑÑÐ, 1983. 41 ñ.
14. Ãîí÷àðñêèé À.Â., Äàíèëîâ Â.À., Ïîïîâ Â.Â., Ïðîõîðîâ À.Ì., Ñèñàêÿí È.Í., Ñîéôåð Â.À., Ñòåïàíîâ Â.Â. Ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è ôîêóñèðîâêè ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ â ïðîèçâîëüíóþ êðèâóþ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1983. Ò. 273. ¹ 3. Ñ. 605–608.
15. Äàíèëîâ Â.À., Ïîïîâ Â.Â., Ïðîõîðîâ À.Ì., Ñàãàòåëÿí Ä.Ì., Ñèñàêÿí È.Í., Ñîéôåð Â.À. Ñèíòåç îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, ñîçäàþùèõ ôîêàëüíóþ ëèíèþ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû // Ïèñüìà â ÆÒÔ. 1982. Ò. 8. ¹ 13. Ñ. 810–815.
16. Ãîí÷àðñêèé À.Â., Ïîïîâ Â.Â., Ñòåïàíîâ Â.Â. Ââåäåíèå â êîìïüþòåðíóþ îïòèêó. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1991. 309 ñ.
17. Äàíèëîâ Â.À., Êèíáåð Á.Å., Øèëîâ À.Å. Òåîðèÿ êîãåðåíòíûõ ôîêóñàòîðîâ // Êîìïüþòåðíàÿ îïòèêà. Ì.: ÌÖÍÒÈ, 1987. Â. 1. Ñ. 40–52.
18. Elmer W.B. The Optical Design of Reflectors / 2nd Edition. New York: Wiley, 1985.
19. Feuermann D., Gordon J.M., Ries H. Nonimaging optical designs for maximum power density remote irradiation // Appl. Opt. 1998. V. 37. P. 1835–1844.
10. Feuermann D., Gordon J.M. Optical performance of axisymmetric edge-ray concentrators and illuminators // Appl. Opt. 1998. V. 37. P. 1905–1912.
11. Gordon J.M., Rabl A. Reflectors for uniform far-field irradiance: fundamental limits and example of an axisymmetric solution // Appl. Opt. 1998. V. 37. P. 44–47.
12. Ries H., Muschaweck J. Tailored freeform optical surfaces // JOSA. A. 2002. V. 19. P. 590–595.
13. Hicks R.À. Designing a mirror to realize a given projection // JOSA. A. 2005. V. 22. P. 323–330.
14. Áîðí Ì., Âîëüô Ý. Îñíîâû îïòèêè. Ì.: Íàóêà, 1970.
15. Áåëîóñîâ À.À., Äîñêîëîâè÷ Ë.Ë., Õàðèòîíîâ Ñ.È. Ãðàäèåíòíûé ìåòîä ðàñ÷åòà ýéêîíàëà äëÿ ôîêóñèðîâêè â çàäàííóþ îáëàñòü // Àâòîìåòðèÿ. 2007. V. 43. ¹ 3.
16. Dresel Th., Beyerlein M., Schwider J. Design of computergenerated beam-shapingholograms by iterative finiteelement mesh adaption // Appl. Opt. 1996. V. 35. P. 6865– 6874.
17. http://www.lambdares.com/products/tracepro/index.phtml
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
35