ВЗАИМНОЕ НЕКОЛЛИНЕАРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ПРЕДМЕТОВ И ПРОСТРАНСТВА ВИДИМЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ÓÄÊ 535.317.1
ÂÇÀÈÌÍÎÅ ÍÅÊÎËËÈÍÅÀÐÍÎÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÏÐÅÄÌÅÒÎÂ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÂÈÄÈÌÛÕ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÉ
© 2008 ã. Ã. Ê. Ïîòàïîâà*; Ì. À. Ìîñêàëåíêî**, êàíä. òåõí. íàóê ** Öåíòðàëüíîå êîíñòðóêòîðñêîå áþðî “Àðñåíàë”, ã. Êèåâ, Óêðàèíà ** ÇÀÎ “Íàó÷íî-ïðîèçâîäñòâåííûé êîíöåðí “Íàóêà”, ã. Êèåâ, Óêðàèíà ** E-mail: nauka_consern@ukr.net
Ñîçäàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ïîçâîëÿþùàÿ ôîðìèðîâàòü â àâèàöèîííûõ òðåíàæåðàõ èçîáðàæåíèå, àäåêâàòíîå âèäèìîìó èçîáðàæåíèþ çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, íàáëþäàåìîìó ÷åðåç îñòåêëåíèå êàáèíû ïèëîòîâ. Ðàññìîòðåí ìåõàíèçì ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ îáúåêòîâ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ, íàáëþäàåìîãî ÷åëîâåêîì ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó. Îïèñàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âçàèìíîãî íåêîëëèíåàðíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé. Âûïîëíåí ðàñ÷åò ãåîìåòðèè âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, íàáëþäàåìîãî èç êàáèíû ïèëîòîâ øèðîêîôþçåëÿæíîãî òðàíñïîðòíîãî ñàìîëåòà ñ êîíè÷åñêèì îñòåêëåíèåì.
Êîäû OCIS: 330.4060, 330.5000.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 29.08.2007.
Ââåäåíèå
Èçâåñòíî, ÷òî äî 90% èíôîðìàöèè ÷åëîâåê ïîëó÷àåò ÷åðåç çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð. Ïîýòîìó âàæíîñòü àíàëèçà âèçóàëüíîãî âîñïðèÿòèÿ ÷åëîâåêîì îêðóæàþùåãî åãî ìèðà ïåðåîöåíèòü íåâîçìîæíî.  ïðîöåññå ïåðâîíà÷àëüíîãî “îáó÷åíèÿ” çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà àäàïòèðóåòñÿ ê âîñïðèÿòèþ îêðóæàþùåãî ìèðà – óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðàâèëà ôîðìèðîâàíèÿ ïî îïòè÷åñêèì èçîáðàæåíèÿì íà ñåò÷àòêàõ ãëàç íàáëþäàòåëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ î ôîðìå è ðàçìåðàõ, ïîëîæåíèè è îðèåíòàöèè, öâåòå è ÿðêîñòè îêðóæàþùèõ åãî ïðåäìåòîâ. Èìåííî ýòî ïðåäñòàâëåíèå ìû è íàçûâàåì “âèäèìûì èçîáðàæåíèåì”. Òàêèì îáðàçîì, âèäèìîå èçîáðàæåíèå – ýòî íå ñòîëüêî èçîáðàæåíèå, ñêîëüêî ïðîäóêò ðàáîòû çðèòåëüíîãî àíàëèçàòîðà ÷åëîâåêà, íåêèé îáðàç íàáëþäàåìîãî ïðîñòðàíñòâà. Âèäèìîå èçîáðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèøü íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå ôèçè÷åñêîé ðåàëüíîñòè è íå ÿâëÿåòñÿ ìàòåðèàëüíûì îáúåêòîì. Îòìåòèì, ÷òî çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà ïåðâîíà÷àëüíî àäàïòèðóåòñÿ ê âîñïðèÿòèþ îêðóæàþùåãî ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â óñëîâèÿõ íåïîñðåäñòâåííîãî åãî íàáëþäåíèÿ, ò. å. ïðè îòñóòñòâèè ìåæäó íèì è ýòèì ïðîñòðàíñòâîì êàêèõ áû òî íè áûëî óñòðîéñòâ, ïðåîáðàçóþùèõ îïòè÷åñêîå èçëó÷åíèå âèäèìîãî ñïåêòðàëüíîãî äèàïàçîíà, ñîñòîÿùèõ, íàïðèìåð, èç îòðàæàþùèõ è/èëè ïðåëîìëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé.
Ïðè íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè âèäèìîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ïðîñòðàíñòâåííî ñîâïàäàåò ñ åãî âèäèìîé ÷àñòüþ.  ýòîì ñëó÷àå âèäèìûå èçîá-
ðàæåíèÿ ïðåäìåòíûõ òî÷åê ñîâïàäàþò â ïðîñòðàíñòâå ñ ñàìèìè ïðåäìåòíûìè òî÷êàìè, à ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì ïðåäìåòîâ.
Ñèòóàöèÿ ìåíÿåòñÿ ïðè íàáëþäåíèè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ ÷åðåç ëþáóþ îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó. Ïðè íàáëþäåíèè îäíèì ãëàçîì ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó âèäèìîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ñîâïàäàåò ñ åãî îïòè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì, ñôîðìèðîâàííûì ýòîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ âûõîäíûì çðà÷êîì â ñîîòâåòñòâóþùåì çðà÷êå ãëàçà íàáëþäàòåëÿ. Ïðè íàáëþäåíèè æå ïðåäìåòà äâóìÿ ãëàçàìè ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó åãî âèäèìîå èçîáðàæåíèå, ïîñòðîåííîå çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì ñîãëàñíî ïðèîáðåòåííûì â ïðîöåññå “ïåðâîíà÷àëüíîãî îáó÷åíèÿ” ïðàâèëàì, â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàåò íè ñ ñàìèì ïðåäìåòîì, íè ñ îäíèì èç äâóõ îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, ñôîðìèðîâàííûõ ýòîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ âûõîäíûìè çðà÷êàìè â çðà÷êàõ ãëàç íàáëþäàòåëÿ.
Ïðè íàáëþäåíèè ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó àäàïòèðîâàâøèéñÿ â ïðîöåññå ïåðâîíà÷àëüíîãî “îáó÷åíèÿ” ê íåïîñðåäñòâåííîìó âîñïðèÿòèþ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà â òîé èëè èíîé ìåðå “îøèáàåòñÿ”. Ïðîèñõîäèò ýòî âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ õîäà ëó÷åé îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé, ÷åðåç êîòîðóþ âåäåòñÿ íàáëþäåíèå.  ýòîì ñëó÷àå èçîáðàæåíèÿ íà ñåò÷àòêàõ ãëàç íàáëþäàòåëÿ îòëè÷àþòñÿ îò òåõ, êîòîðûå ôîðìèðîâàëèñü áû ïðè íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè, à ïîñòðîåííîå çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì ïî ýòèì èçîáðàæåíèÿì âèäèìîå èçîáðàæåíèå óæå íå ñîâïàäàåò ñ ñàìèìè ïðåäìåòàìè. Ïðè ýòîì â âèäèìûõ èçîáðàæå-
36 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
íèÿõ èìåþò ìåñòî êàê ïåðñïåêòèâíî-äèñòîðñèîííûå èñêàæåíèÿ, ïðîÿâëÿþùèåñÿ â íåïîñòîÿíñòâå âèäèìîãî óâåëè÷åíèÿ ïî ïîëþ íàáëþäåíèÿ, òàê è èñêàæåíèÿ äàëüíîñòè íàáëþäåíèÿ, ïðîÿâëÿþùèåñÿ â èçìåíåíèè ðàññòîÿíèÿ êîíâåðãåíöèè öåíòðàëüíûõ ëó÷åé äëÿ ïðåäìåòíûõ òî÷åê è êðèâèçíå ïîëÿ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé. Íàëè÷èå òàêèõ èñêàæåíèé â âèäèìûõ èçîáðàæåíèÿõ ìîæåò ïðèâîäèòü ê íåïðàâèëüíîé îöåíêå íàáëþäàòåëåì ñâîåãî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, ôîðìû, ðàçìåðîâ, ïîëîæåíèÿ è îðèåíòàöèè îêðóæàþùèõ ïðåäìåòîâ.
Âåëè÷èíà ïåðñïåêòèâíî-äèñòîðñèîííûõ èñêàæåíèé â âèäèìûõ èçîáðàæåíèÿõ ìîæåò äîñòèãàòü äåñÿòêîâ óãëîâûõ ìèíóò, êàê, íàïðèìåð, ïðè íàáëþäåíèè ÷åðåç íåïëîñêîå ëîáîâîå ñòåêëî àâòîìîáèëÿ.  ïîâñåäíåâíîé æèçíè òàêèå èñêàæåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ ïðåïÿòñòâèåì äëÿ îðèåíòèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïî âèçóàëüíîé èíôîðìàöèè, îáðàáàòûâàåìîé çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð, â àâèàöèè ïðè ïîñàäêå ñàìîëåòà íà îãðàíè÷åííûå ïëîùàäêè òðåáóåòñÿ òî÷íîñòü âèçèðîâàíèÿ ïî íàçåìíûì îðèåíòèðàì ïðè âèçóàëüíîì íàáëþäåíèè èç êàáèíû ïèëîòîâ äî íåñêîëüêèõ óãëîâûõ ìèíóò. Òàêàÿ òî÷íîñòü óæå íå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà áåç ó÷åòà âíîñèìûõ îñòåêëåíèåì êàáèíû ïèëîòîâ ïåðñïåêòèâíîäèñòîðñèîííûõ èñêàæåíèé â âèäèìîì èçîáðàæåíèè íàáëþäàåìîãî çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà. Áîëåå òîãî, ïðè àñèììåòðè÷íîì ðàñïîëîæåíèè íàáëþäàòåëÿ îòíîñèòåëüíî íåïëîñêîãî îñòåêëåíèÿ êàáèíû ïèëîòîâ øèðîêîôþçåëÿæíûõ ñàìîëåòîâ ïåðñïåêòèâíî-äèñòîðñèîííûå èñêàæåíèÿ òàêîâû, ÷òî ãîðèçîíòàëüíûå ëèíèè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ âèäÿòñÿ íàáëþäàòåëþ íàêëîííûìè, ïðè÷åì íàïðàâëåíèÿ âèäèìîãî íàêëîíà ðàçëè÷íû äëÿ ëåâîãî è ïðàâîãî ïèëîòîâ [1]. Èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî óæå íåîäíîêðàòíî ïðèâîäèëî ê âîçíèêíîâåíèþ ïðåäïîñûëîê ê ëåòíûì ïðîèñøåñòâèÿì ïðè ïîñàäêå øèðîêîôþçåëÿæíûõ ñàìîëåòîâ.
 ñîâðåìåííûõ àâèàöèîííûõ òðåíàæåðàõ ñèñòåìà âèçóàëèçàöèè ôîðìèðóåò èçîáðàæåíèå ìîäåëèðóåìîãî çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå ïðåäúÿâëÿåòñÿ îáó÷àåìîìó. Åñëè âèäèìîå èçîáðàæåíèå, íàáëþäàåìîå â òðåíàæåðå, çàìåòíî îòëè÷àåòñÿ îò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ìîäåëèðóåìîãî çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå íàáëþäàëîñü áû èç êàáèíû ìîäåëèðóåìîãî ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà, ó îáó÷àåìîãî ìîãóò ôîðìèðîâàòüñÿ ëîæíûå íàâûêè ïèëîòèðîâàíèÿ [2]. Ýòî ìîæåò ïðèâåñòè â ïîñëåäóþùåì ê íåïðàâèëüíîé îöåíêå èì ïîëîæåíèÿ è îðèåíòàöèè ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà â ïðîñòðàíñòâå â ðåàëüíîì ïîëåòå, ÷òî íåáåçîïàñíî. Ïðåîäîëåíèå æå ëîæíûõ íàâûêîâ ïèëîòèðîâàíèÿ ïîòðåáóåò çíà÷èòåëüíûõ çàòðàò ëåòíîãî âðåìåíè ñî âñåìè âûòåêàþùèìè îòñþäà çàòðàòàìè ðåñóðñîâ.
Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû – ëèøü íåêîòîðàÿ ÷àñòü öåëîãî ðÿäà òåõíè÷åñêèõ çàäà÷, ðåøåíèå êîòîðûõ òðåáóåò àíàëèçà ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé. Öåëü ïðåäñòàâëåííîé ðàáîòû – ñîçäàíèå ìîäåëè ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì ÷åëîâåêà ïðè íàáëþäåíèè äâóìÿ ãëàçàìè ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, à òàêæå ðàçðàáîòêà ìåòîäèêè àíàëèçà ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîé ìîäåëè. Ìîäåëü ðåàëèçîâàíà â ïðîãðàììå ðàñ÷åòà ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé äëÿ ñëó÷àÿ íàáëþäåíèÿ ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ äâóìÿ ýêâèäèñòàíòíûìè ïðåëîìëÿþùèìè ïîâåðõíîñòÿìè. Ñ ïîìîùüþ ýòîé ïðîãðàììû âûïîëíåí àíàëèç ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, íàáëþäàåìûõ ÷åðåç îñòåêëåíèå êàáèíû ïèëîòîâ.
Ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé êàê îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ
Ââåäåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè. Ïîä âèäèìûì èçîáðàæåíèåì ïðåäìåòíîé òî÷êè p, íàáëþäàåìîé ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, áóäåì ïîíèìàòü òàêóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà pâèä, ïðè ïîìåùåíèè â êîòîðóþ ïðåäìåòíîé òî÷êè îíà âèäåëàñü áû òîìó æå íàáëþäàòåëþ ïðè íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè áåç îïòè÷åñêîé ñèñòåìû òàì æå, ãäå âèäèòñÿ åìó ïðåäìåòíàÿ òî÷êà p.
Ïðè íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè òî÷êè pâèä è p ñîâïàäàþò, ïîñêîëüêó çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ pâèä ïðåäìåòíîé òî÷êè p êàê òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé, èñõîäÿùèõ èç òî÷êè p è âõîäÿùèõ â öåíòðû çðà÷êîâ åãî ãëàç.
Ïðè íàáëþäåíèè ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà äåéñòâóåò ïî òîìó æå, âûðàáîòàííîìó â ïðîöåññå ïåðâîíà÷àëüíîãî îáó÷åíèÿ, àëãîðèòìó. Îäíàêî õîä ëó÷åé, èñõîäÿùèõ èç òî÷êè p è ïîïàäàþùèõ ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû â öåíòðû çðà÷êîâ (áóäåì íàçûâàòü èõ âûõîäÿùèìè öåíòðàëüíûìè ïðåäìåòíûìè ëó÷àìè), èñêàæàåòñÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé.  îáùåì ñëó÷àå ýòè ëó÷è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî ñêðåùèâàþùèìñÿ, à íå ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì. Èõ âåðãåíöèÿ, èëè âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå, îïðåäåëÿåòñÿ óãëàìè êîíâåðãåíöèè è äèâåðãåíöèè. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ pâèä ïðåäìåòíîé òî÷êè p â òî÷êå ñõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûõîäÿùèõ öåíòðàëüíûõ ïðåäìåòíûõ ëó÷åé. Ïîä òî÷êîé ñõîæäåíèÿ áóäåì ïîíèìàòü òî÷êó ìàêñèìàëüíîãî ñáëèæåíèÿ ïðÿìûõ, âäîëü êîòîðûõ ðàñïðîñò-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
37
ðàíÿþòñÿ óêàçàííûå ëó÷è, ò. å. òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ
íà ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè îò ýòèõ ïðÿìûõ è ñîâïàäàþùóþ ñ ñåðåäèíîé îòðåçêà èõ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà, ïåðåñåêàþùåãî îáå ïðÿìûå, çàêëþ÷åííî-
ãî ìåæäó íèìè. Äëÿ îïèñàíèÿ ìåõàíèçìà ôîðìèðîâàíèÿ ïðî-
ñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé âîñïîëüçóåìñÿ
èçâåñòíûì â òåîðèè ìíîæåñòâ àïïàðàòîì îòîáðàæåíèé [3]. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé P âèä åñòü íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå ϕ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ P, ò. å. ϕ: P → P âèä. Ïðåäìåòíóþ òî÷êó â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê íåêèé ýëåìåíò p ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ P. Òîãäà âèäèìîå èçîáðàæåíèå pâèä ýòîé òî÷êè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáðàç ϕ(p) ýëåìåíòà p, èëè pâèä = ϕ(p).
Îïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè p ∈ P â åå âèäèìîå èçîáðàæåíèå pâèä ∈ P âèä. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìåæäó íàáëþäàòåëåì è ïðîñòðàíñòâîì ïðåäìåòîâ îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, ò. å. ïðîèñõîäèò îòîáðàæåíèå
ω: P → P′, ïðè êîòîðîì ôîðìèðóåòñÿ îïòè÷åñêèé îáðàç ïðåäìåòíîé òî÷êè p′ = ω(p). Äëÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ñ äâîéíûì âûõîäíûì çðà÷êîì, ñîâïàäàþùèì
ïðè íàáëþäåíèè äâóìÿ ãëàçàìè ñî çðà÷êàìè ãëàç íàáëþäàòåëÿ, îïòè÷åñêèé îáðàç ïðåäìåòíîé òî÷êè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó åå îïòè÷å-
ñêèõ èçîáðàæåíèé. Êàæäîìó çðà÷êó (ëåâîìó è ïðàâîìó) ñîîòâåòñòâóåò ñâîå îïòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå (pë′åâ è pï′ ðàâ) ïðåäìåòíîé òî÷êè è â îáùåì ñëó÷àå îíè íå ñîâïàäàþò. Ïðè ýòîì ïðîñòðàíñòâî îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ïðîñòðàíñòâ îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé:
P′ = Pë′åâP′ïðàâ = {(pë′åâ, pï′ ðàâ)|pë′åâ ∈ Pë′åâΛp′ïðàâ ∈ P′ïðàâ}. Çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé â ïðîñòðàíñòâî
âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, ò. å. ïðîèñõîäèò îòîáðàæåíèå ξ: P′ → P âèä è ôîðìèðóåòñÿ îáðàç îïòè÷åñêîãî îáðàçà ïðåäìåòíîé òî÷êè pâèä = ξ(p′), ÿâëÿþùèéñÿ åå âèäèìûì èçîáðàæåíèåì.
Îòîáðàæåíèå ϕ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ äâóõ îòîáðàæåíèé – ϕ = ξω, òàê êàê pâèä = ϕ(p) = = ξ(p′) = ξ(ω(p)) – è ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, èëè áèåêòèâíûì, ò. å. êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ïðî-
ñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé è íàîáîðîò – êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà ïðåä-
ìåòîâ. Ïðàâèëî, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì, êàê ìû ïðåäïîëîæèëè, çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà âûïîëíÿåò îòîáðàæåíèå ϕ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, îïèñàíî âûøå.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ
Ðåàëüíûé àëãîðèòì ðàáîòû çðèòåëüíîãî àíàëèçàòîðà ÷åëîâåêà ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæåí, ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì ñïåöèàëüíîãî èçó÷åíèÿ è òàêæå ñëîæåí äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ. Îäíàêî äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ìåõàíèçìà ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ, êîòîðîå ïîçâîëèëî áû àíàëèçèðîâàòü ãåîìåòðèþ ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, ïðåäñòàâëÿåòñÿ âïîëíå äîïóñòèìûì ðàññìàòðèâàòü çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà êàê èäåàëüíûé îïòè÷åñêèé êîîðäèíàòîð. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð áåçîøèáî÷íî óñòàíàâëèâàåò ïðîñòðàíñòâåííîå ïîëîæåíèå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè, òî÷íî îïðåäåëÿÿ êîîðäèíàòû òî÷êè ñõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûõîäÿùèõ öåíòðàëüíûõ ïðåäìåòíûõ ëó÷åé.
Îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîâîäèòñÿ íàáëþäåíèå, áóäåì ïîëàãàòü ãåîìåòðè÷åñêè ñîâåðøåííîé â ñìûñëå âûïîëíåíèÿ â íåé òîëüêî ïåðâîãî èç òðåõ óñëîâèé Ìàêñâåëëà [4] – ñîõðàíåíèÿ ãîìîöåíòðè÷íîñòè ïó÷êà ëó÷åé. Âèäèìîå èçîáðàæåíèå ïðè ýòîì íå ÿâëÿåòñÿ êîëëèíåàðíûì, êàê â îáùåé òåîðèè èäåàëüíîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìû [5]. Âûõîäíûì çðà÷êîì îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ çðà÷êè ãëàç íàáëþäàòåëÿ.
Òîãäà çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ òî÷êè ñõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûõîäÿùèõ öåíòðàëüíûõ ïðåäìåòíûõ ëó÷åé.
Ñóùåñòâóþùèå ïðîãðàììû äëÿ îïòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ïðåêðàñíî ðåøàþò çàäà÷ó òðàññèðîâêè (ïðîñëåæèâàíèÿ õîäà) ëó÷åé â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Îäíàêî çàäà÷à òðàññèðîâêè ðåøàåòñÿ êàê çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ õîäà ëó÷à â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå, èñõîäÿùåãî èç çàäàííîé òî÷êè â çàäàííîì íàïðàâëåíèè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ æå ïîëîæåíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü õîä ëó÷åé, èñõîäÿùèõ èç çàäàííîé ïðåäìåòíîé òî÷êè (â íåèçâåñòíîì íàïðàâëåíèè) è ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äðóãèå çàäàííûå òî÷êè – öåíòðû çðà÷êîâ ãëàç íàáëþäàòåëÿ. Ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è ïóòåì ìèíèìèçàöèè ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðîâ çðà÷êîâ ãëàç íàáëþäàòåëÿ äî ñîîòâåòñòâóþùèõ îïòèìèçèðóåìûõ ëó÷åé òðåáóåò ìíîãîêðàòíîãî âûïîëíåíèÿ òðàññèðîâêè è áîëüøîãî îáúåìà ðàñ÷åòîâ.
Îïòèìàëüíûì àëãîðèòìîì äëÿ ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è ïðåäñòàâëÿåòñÿ àëãîðèòì, èñïîëüçóþùèé ïðèíöèï Ôåðìà – ïðèíöèï íàèìåíüøåãî âðåìåíè [6]. Ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà Ôåðìà äëÿ çàäà÷è ïîèñêà êàæäîãî èç äâóõ âûõîäÿùèõ öåíòðàëüíûõ ïðåäìåòíûõ ëó÷åé ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó òàêîãî õîäà ïðåäìåòíîãî ëó÷à ìåæäó çàäàííîé ïðåäìåòíîé òî÷êîé è
38 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
öåíòðîì ñîîòâåòñòâóþùåãî çðà÷êà, îïòè÷åñêàÿ äëèíà êîòîðîãî ìèíèìàëüíà. Òàêèì îáðàçîì, àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ õîäà öåíòðàëüíîãî ïðåäìåòíîãî ëó÷à ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè öåëåâîé ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùåé îïòè÷åñêóþ äëèíó õîäà ïðåäìåòíîãî ëó÷à ìåæäó äâóìÿ çàäàííûìè òî÷êàìè.
Äëÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé S1 è S2 (ðèñ. 1), êàæäàÿ èç äâóõ öåëåâûõ ôóíêöèé Fëåâ è Fïðàâ îïðåäåëÿåò îïòè÷åñêóþ äëèíó ëîìàíîé ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé ïîñëåäîâàòåëüíî ïðåäìåòíóþ òî÷êó p, òî÷êè âñòðå÷è ñ ïîâåðõíîñòÿìè S1 è S2 è öåíòð çðà÷êà ñîîòâåòñòâóþùåãî ãëàçà,
[ ]Fëåâ = n1 pM1ëåâ + [ ] [ ]+ n2 M1ëåâM 2ëåâ + n3 M 2ëåâCëåâ ,
(1)
Fïðàâ = n1 ⎡⎣ pM1ïðàâ ⎤⎦ + + n2 ⎣⎡M1ïðàâM 2ïðàâ ⎤⎦ + n3 ⎣⎡M 2ïðàâCïðàâ ⎤⎦ ,
(2)
ãäå n1, n2, n3 – ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ 1-é, 2-é, 3-é îïòè÷åñêèõ ñðåä (ïî õîäó ëó÷à îò ïðåäìåòíîé òî÷êè ê íàáëþäàòåëþ); Cëåâ, Cïðàâ – òî÷êè öåíòðîâ çðà÷êîâ ëåâîãî è ïðàâîãî ãëàç íàáëþäàòåëÿ; M1 ëåâ, M2 ëåâ, M1 ïðàâ, M2 ïðàâ – òî÷êè âñòðå÷è ëåâîãî è ïðàâîãî ëó÷åé ñ ïîâåðõíîñòÿìè S1, S2; [pM1 ëåâ] – ãåîìåòðè÷åñêàÿ äëèíà ó÷àñòêà ëó÷à ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè òî÷êàìè.
Îïòèìèçèðóåìûìè ïàðàìåòðàìè, îïðåäåëÿþùèìè çíà÷åíèÿ öåëåâûõ ôóíêöèé Fëåâ è Fïðàâ, ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòû òî÷åê âñòðå÷è M1 ëåâ, M2 ëåâ, M1 ïðàâ, M2 ïðàâ. Îãðàíè÷åíèåì äëÿ çíà÷åíèé îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ ÿâëÿåòñÿ ïðèíàäëåæíîñòü ýòèõ òî÷åê ñîîòâåòñòâóþùèì ïîâåðõíîñòÿì.  êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ âûáèðàþòñÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïîâåðõíîñòÿìè S1 è S2 îòðåçêîâ ïðÿìûõ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè öåíòðîâ çðà÷êîâ ñ ïðåäìåòíîé òî÷êîé.
ðâèä ð
M1ïðàâ
M2ïðàâ
r′ïðàâ Ñïðàâ
M1ëåâ
M2ëåâ
r′ëåâ
n1 n2 n3
Ñëåâ
S1 S2
Ðèñ. 1. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè.
Ïðè îïòèìèçàöèè ýòè ïàðàìåòðû èçìåíÿþòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà çàâèñÿùèå îò íèõ öåëåâûå ôóíêöèè Fëåâ è Fïðàâ íå ïðèìóò ìèíèìàëüíûå çíà÷åíèÿ. Íàéäåííûå â õîäå îïòèìèçàöèè êîîðäèíàòû òî÷åê âñòðå÷è ñ ïîâåðõíîñòüþ S2 ëåâîãî è ïðàâîãî ëó÷åé è îïðåäåëÿþò èñêîìûå âûõîäÿùèå öåíòðàëüíûå ïðåäìåòíûå ëó÷è rë′åâ è rï′ ðàâ.
Ïî ïîëó÷åííûì öåíòðàëüíûì ëó÷àì rëåâ è rï′ ðàâ îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòû âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ pâèä ïðåäìåòíîé òî÷êè p êàê êîîðäèíàòû òî÷êè ñõîæäåíèÿ ýòèõ ëó÷åé.
Ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëü îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé áûëà ðåàëèçîâàíà â ñïåöèàëèçèðîâàííîé ïðîãðàììå ðàñ÷åòà ãåîìåòðèè âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, íàáëþäàåìûõ ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó èç äâóõ ýêâèäèñòàíòíûõ ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà (íàïðèìåð, ÷åðåç îñòåêëåíèÿ ðàçëè÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû). Ïðîãðàììà áûëà ðàçðàáîòàíà â ñðåäå êîìïüþòåðíîé àëãåáðû Maple.
Ðåçóëüòàòîì âû÷èñëåíèé ïî ýòîé ïðîãðàììå ÿâëÿþòñÿ òðåõìåðíûå ìàññèâû êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâûõ òî÷åê ïðåäìåòíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè, ïðåäñòàâëÿþùåé ìîäåëü ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ, è èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, ñîñòàâëÿþùèõ ìîäåëü ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé.  êà÷åñòâå ìîäåëè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ èñïîëüçîâàëàñü óñå÷åííàÿ ïèðàìèäàëüíàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñåòêà ñ âåðøèíîé â ñðåäíåé òî÷êå áàçû ãëàç íàáëþäàòåëÿ è óãëàìè ïðè âåðøèíå, ñîîòâåòñòâóþùèìè ãîðèçîíòàëüíîìó è âåðòèêàëüíîìó óãëàì ïîëÿ îáçîðà.
Îïðåäåëåíèå ôóíêöèé âçàèìíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò
ïðåäìåòíûõ òî÷åê â êîîðäèíàòû èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé
Îïèñàííûé âûøå àëãîðèòì ïîçâîëÿåò ïî çàäàííîé ìîäåëè îáúåêòà ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèé ñ ïðèâëå÷åíèåì ïðîãðàììû îïòèìèçàöèè ìîäåëü âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ çàäàííîãî îáúåêòà, íàáëþäàåìîãî ÷åðåç çàäàííóþ îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð, äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ íàáëþäàåìîãî ÷åðåç îñòåêëåíèå ìîäåëèðóåìîãî ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ìîäåëèðóåìîãî çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà â ñèñòåìàõ âèçóàëèçàöèè àâèàöèîííûõ òðåíàæåðîâ îáúåì ðàñ÷åòîâ ïî ýòîìó àëãîðèòìó íåäîïóñòèìî âåëèê. Ýòî íå ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü âû÷èñëåíèÿ â òðåáóåìîì äëÿ ìîäåëèðóþùåé ñèñòåìû èëè ãåíåðàòîðà èçîáðàæåíèÿ ðåàëüíîì ìàñøòàáå âðåìåíè.
Àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè ïîçâîëÿåò ïî çàäàí-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
39
íîìó ìàññèâó êîîðäèíàò ïðåäìåòíûõ òî÷åê íàéòè ìàññèâ êîîðäèíàò èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé. Ñîïîñòàâëÿÿ ýòè ìàññèâû, ìîæíî íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé, èíòåðïîëèðóþùèõ çàâèñèìîñòè êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè îò êîîðäèíàò ñàìîé ïðåäìåòíîé òî÷êè è òåì ñàìûì îïèñàòü ïðàâèëî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé íåêîòîðûìè ôóíêöèÿìè, à íå ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ îïåðàöèé. Òàêîå ïðàâèëî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî òðåìÿ ôóíêöèÿìè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïèñûâàåò çàâèñèìîñòü îäíîé èç òðåõ êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè îò òðåõ êîîðäèíàò ïðåäìåòíîé òî÷êè.
Äëÿ âûïîëíåíèÿ âû÷èñëåíèé âûáðàíà ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ïðàâàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò Oxyz ñ íà÷àëîì â ñåðåäèíå îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû çðà÷êîâ ãëàç íàáëþäàòåëÿ. Ïðè ýòîì îñü Ox íàïðàâëåíà îò öåíòðà çðà÷êà ïðàâîãî ãëàçà ê öåíòðó çðà÷êà ëåâîãî ãëàçà, à îñü Oy ëåæèò â ïëîñêîñòè çðà÷êîâ è íàïðàâëåíà ââåðõ. Ïîëîæåíèå ïðåäìåòíûõ òî÷åê è èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé îïèñûâàåòñÿ êîîðäèíàòàìè α, β, z, ãäå α – óãîë ìåæäó ïðîåêöèåé íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü Oxz âåêòîðà íàïðàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè è îñüþ Oz, β – óãîë ìåæäó ïðîåêöèåé íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü Oyz òîãî æå âåêòîðà è îñüþ Oz. Ïîñêîëüêó â êà÷åñòâå ìîäåëè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ âûáðàíà ïèðàìèäàëüíàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñåòêà, ñîñòîÿùàÿ èç íåñêîëüêèõ ïëîñêèõ ôðîíòàëüíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ ñåòîê, òî îíà îïèñûâàåòñÿ òðåìÿ îðòîãîíàëüíûìè òðåõìåðíûìè ìàññèâàìè êîîðäèíàò óçëîâûõ òî÷åê {αijq}, {βijq}, {zijq}. Ïðè ýòîì i = 1, 2, …, I, j = 1, 2, …, J, q = = 1, 2, …, Q, ãäå I – êîëè÷åñòâî ãîðèçîíòàëüíûõ ëèíèé â êàæäîé ôðîíòàëüíîé ñåòêå, J – êîëè÷åñòâî âåðòèêàëüíûõ ëèíèé â êàæäîé ôðîíòàëüíîé ñåòêå, Q – êîëè÷åñòâî ôðîíòàëüíûõ ñåòîê.  ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèé ïî ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó ïîëó÷àþò òðè òðåõìåðíûõ ìàññèâà êîîðäèíàò âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâûõ òî÷åê çàäàííîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïèðàìèäû {αâijèqä}, {βâijèqä}, {zâijèqä}, êîòîðûå óæå íå ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè.
×òîáû îïðåäåëèòü ôóíêöèè, èíòåðïîëèðóþùèå èñêîìûå çàâèñèìîñòè êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè îò êîîðäèíàò ñàìîé ïðåäìåòíîé òî÷êè, ê èñõîäíûì îðòîãîíàëüíûì ìàññèâàì êîîðäèíàò ïðåäìåòíûõ òî÷åê ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà äëÿ êàæäîé (iq) ãîðèçîíòàëè ïðåäìåòíîé ñåòêè îòäåëüíî àïïðîêñèìèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû αâèä ïî α ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ äâóõ äðóãèõ êîîðäèíàò – β è z:
J
∑α(âièqä) (α) = Aj(iq)α j−1, j =1
(3)
ãäå Àj(iq) – ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû àïïðîêñèìàöèè êîîðäèíàòû αâèä äëÿ ðÿäà ïðåäìåòíûõ òî÷åê (iq) ãîðèçîíòàëè ïðåäìåòíîé ñåòêè ñ ôèêñèðîâàííûìè êîîðäèíàòàìè βi, zq.
Çàòåì äëÿ êàæäîé (jq) âåðòèêàëè ïðåäìåòíîé ñåòêè àïïðîêñèìèðóþò çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà A ïî β ïðè ðàçëè÷íûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ êîîðäèíàò α, z è ïîëó÷àþò äëÿ êàæäîé (q) ôðîíòàëüíîé ïðåäìåòíîé ñåòêè àïïðîêñèìàöèþ çíà÷åíèé êîîðäèíàòû αâèä ïî α è β ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè êîîðäèíàòû z:
JI
∑ ∑α
âèä (q)
(α,
β)
=
Bij(q)βi−1α j−1 ,
j=1 i=1
(4)
ãäå Bij(q) – ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû àïïðîêñèìàöèè êîîðäèíàòû αâèä äëÿ ðÿäà ïðåäìåòíûõ òî÷åê (q) ôðîíòàëüíîé ïðåäìåòíîé ñåòêè ñ ôèêñèðîâàííûìè êîîðäèíàòàìè zq.
È, íàêîíåö, äëÿ êàæäîé (ij) ëèíèè ïåðñïåêòèâû ïðåäìåòíîé ñåòêè àïïðîêñèìèðóþò çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ B ïî z ïðè ðàçëè÷íûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ êîîðäèíàò α, β è ïîëó÷àþò äëÿ âñåõ ïðåäìåòíûõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè àïïðîêñèìàöèþ çíà÷åíèé êîîðäèíàòû αâèä ïî α, β, z:
J IQ
∑ ∑ ∑αâèä (α, β, z) =
Cijq zq−1βi−1α j−1 =
j =1 i=1 q=1
=
F
âèä α
(α,
β,
z),
(5)
ãäå Ñijq – îêîí÷àòåëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû àïïðîêñèìàöèè êîîðäèíàòû α âèä ïî òðåì êîîðäèíàòàì α, β, z äëÿ âñåõ ïðåäìåòíûõ òî÷åê – óçëîâ ïðîñòðàíñòâåííîé ïðåäìåòíîé ñåòêè.
Îïðåäåëèâ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ôóíêöèè, èíòåðïîëèðóþùèå çàâèñèìîñòè äâóõ äðóãèõ êîîðäèíàò âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ïðåäìåòíûõ òî÷åê îò êîîðäèíàò ñàìèõ ïðåäìåòíûõ òî÷åê, ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò ïðåäìåòíîé òî÷êè â êîîðäèíàòû åå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðàâèëî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé:
ϕ:
=
⎧αâèä
⎪⎪ ⎨
βâèä
= =
F
âèä α
(α,
β,
F
âèä β
(α,
β,
z), z),
⎪ ⎪⎩
z âèä
=
F
âèä z
(α,
β,
z).
(6)
Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîá-
40 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
Áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå {P}
P(α, β, z) ↔ Pâèä(αâèä, βâèä, zâèä)
{Pâèä}
Ïðÿìîå îòîáðàæåíèå ϕ ϕ: P → Pâèä
(îáúåêò → îáðàç)
Pâèä= ϕ (P)
αâèä = Fαâèä(α, β, z) βâèä = Fβâèä(α, β, z) zâèä = Fzâèä(α, β, z)
Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ψ ψ: Pâèä → P
(îáðàç → ïðîîáðàç-îáúåêò)
P = ψ (Pâèä) α = Fα (αâèä, βâèä, zâèä) β = Fβ (αâèä, βâèä, zâèä) z = Fz (αâèä, βâèä, zâèä)
Ðèñ. 2. Ñõåìà âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé.
ðàæåíèé îáëàäàåò ñâîéñòâîì áèåêòèâíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü î âçàèìíîì îòîáðàæåíèè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé [7]. Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà ñõåìà, ïîÿñíÿþùàÿ âçàèìíîå îòîáðàæåíèå ýòèõ ïðîñòðàíñòâ. ×òîáû îïðåäåëèòü ïðàâèëî îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ (ïðàâèëî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé â ïðîñòðàíñòâî ïðåäìåòîâ), íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè â êîîðäèíàòû ñàìîé ïðåäìåòíîé òî÷êè.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ ïðàâèëà ïðÿìîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé äëÿ êîððåêòíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé àïïðîêñèìàöèè è èíòåðïîëÿöèè èñêîìûõ çàâèñèìîñòåé êîîðäèíàò ïðåäìåòíîé òî÷êè îò êîîðäèíàòû åå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü îðòîãîíàëüíûå òðåõìåðíûå ìàññèâû êîîðäèíàò âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ïðåäìåòíûõ òî÷åê è ñîîòâåòñòâóþùèå èì òðåõìåðíûå ìàññèâû êîîðäèíàò èõ ïðîîáðàçîâ – ïðåäìåòíûõ òî÷åê. Ïî çàäàííûì êîîðäèíàòàì âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ïðåäìåòíûõ òî÷åê ñîáñòâåííûå êîîðäèíàòû ïðåäìåòíûõ òî÷åê ìîæíî íàéòè êàê ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (6). Çàòåì îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèè, èíòåðïîëèðóþùèå çàâèñèìîñòè êîîðäèíàò ïðåäìåòíûõ òî÷åê îò êîîðäèíàò èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, êîòîðûå è îïèñûâàþò ïðàâèëî îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ ψ, ïîçâîëÿþùåå ïî âèäèìîìó èçîáðàæåíèþ íàéòè åãî ïðîîáðàç â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ:
( )⎧α
⎪
=
Fα
αâèä,βâèä, zâèä
,
( )ψ:
=
⎪ ⎨
β
=
Fβ
αâèä,βâèä, zâèä
,
( )⎪
⎩⎪ z = Fz
αâèä,βâèä, zâèä
.
(7)
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
Çàìåòèì, ÷òî èç (6) ëåãêî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå âèäèìûå èçîáðàæåíèÿ ïðÿìûõ ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ, íàïðèìåð, ãîðèçîíòàëåé (β = const), âåðòèêàëåé (α = const), ëèíèé ïåðñïåêòèâû (α = const, β = const). À èç (7) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîîáðàçû ïðÿìûõ ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, íàïðèìåð, âèäèìûõ ëèíèé ïåðñïåêòèâû (αâèä = const, βâèä = const), â òîì ÷èñëå ïðîîáðàç ëèíèè âèçèðîâàíèÿ.
Îïèñàííûé àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ïðàâèë âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé òàêæå áûë ðåàëèçîâàí â Maple-ïðîãðàììå. Ñ ïîìîùüþ ýòîé ïðîãðàììû áûëè âûïîëíåíû, íàïðèìåð, ðàñ÷åòû ãåîìåòðèè âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, íàáëþäàåìîãî èç êàáèíû øèðîêîôþçåëÿæíîãî òðàíñïîðòíîãî ñàìîëåòà ñ êîíè÷åñêèì îñòåêëåíèåì. Íà ðèñ. 3, 4, 5 ïðîèëëþñòðèðîâàíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ýòèõ ðàñ÷åòîâ.
Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíû ôðîíòàëüíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ïðåäìåòíàÿ ñåòêà è íàáëþäàåìîå ïðàâûì ïèëîòîì åå âèäèìîå èçîáðàæåíèå ñ çàìåòíûìè ïåðñïåêòèâíî-äèñòîðñèîííûìè èñêàæåíèÿìè. Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïèðàìèäàëüíàÿ ïðåäìåòíàÿ ñåòêà è åå âèäèìîå èçîáðàæåíèå. Õîðîøî âèäíû èñêàæåíèÿ äàëüíîñòè è êðèâèçíà ïîëÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ. Íà ðèñ. 5 ïðèâåäåí âèä ïðîîáðàçà íóëåâîé ëèíèè âèçèðîâàíèÿ. Âèäíî, ÷òî ïðîîáðàçîì ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ëèíèè âèçèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ êðèâàÿ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ, ÷òî íàáëþäàåòñÿ è â âèçèðíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ [8].
Ðèñ. 3. Âèäèìîå èçîáðàæåíèå ôðîíòàëüíîé ïðÿìîóãîëüíîé ïðåäìåòíîé ñåòêè, íàáëþäàåìîå ÷åðåç êîíè÷åñêîå îñòåêëåíèå êàáèíû øèðîêîôþçåëÿæíîãî ñàìîëåòà ïðàâûì ïèëîòîì.
41
3000
2000
10 000 20 000
0 –20 000 0
Ðèñ. 4. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïðåäìåòíàÿ ñåòêà è åå âèäèìîå èçîáðàæåíèå, íàáëþäàåìîå ÷åðåç êîíè÷åñêîå îñòåêëåíèå êàáèíû øèðîêîôþçåëÿæíîãî ñàìîëåòà ïðàâûì ïèëîòîì.
1200 800
400
0,04 0,1 0,16
0 –0,1
Ðèñ. 5. Íóëåâàÿ ëèíèÿ âèçèðîâàíèÿ â çàêàáèííîì ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ äëÿ ïðàâîãî ïèëîòà øèðîêîôþçåëÿæíîãî ñàìîëåòà ñ êîíè÷åñêèì îñòåêëåíèåì.
Ðåçóëüòàòû
Ñîçäàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ îáúåêòîâ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ, íàáëþäàåìîãî ÷åëîâåêîì ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó è âîñïðèíèìàåìîãî åãî çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì, ðàáîòàþùèì êàê èäåàëüíûé îïòè÷åñêèé êîîðäèíàòîð. Ïðåäëîæåí àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæå-
íèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè, èñïîëüçóþùèé äëÿ ïîèñêà õîäà ëó÷åé â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå ìåæäó ïðåäìåòíîé òî÷êîé è öåíòðàìè çðà÷êîâ ãëàç íàáëþäàòåëÿ ïðèíöèï Ôåðìà.
Ðàçðàáîòàíà ìîäåëü âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, ïîçâîëÿþùàÿ îïðåäåëèòü êàê ôóíêöèè ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò ïðåäìåòíîé òî÷êè â êîîðäèíàòû åå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ, òàê è ôóíêöèè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè â êîîðäèíàòû ñàìîé ïðåäìåòíîé òî÷êè, è òåì ñàìûì óñòàíîâèòü ïðàâèëà âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ óêàçàííûõ ïðîñòðàíñòâ â âèäå èíòåðïîëèðóþùèõ ñîîòâåòñòâóþùèå çàâèñèìîñòè ôóíêöèé.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé è âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ðåàëèçîâàíà â ñïåöèàëüíîé ïðîãðàììå, ðàçðàáîòàííîé äëÿ ñðåäû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû Maple. Ñ ïîìîùüþ ýòîé ïðîãðàììû âûïîëíåíû ðàñ÷åòû ãåîìåòðèè âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, íàáëþäàåìîãî èç êàáèíû ïèëîòîâ øèðîêîôþçåëÿæíîãî ñàìîëåòà ñ êîíè÷åñêèì îñòåêëåíèåì.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Ïîòàïîâà Ã.Ê., Ìîñêàëåíêî Ì.À. Î ïðîñòðàíñòâåííûõ èñêàæåíèÿõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé â àâèàöèè // Ìàòåðèàëû V Ìåæäóíàð. íàó÷íî-òåõí. êîíô. “ÀÂÈÀ-2003”. Êèåâ: ÍÀÓ, 2003. Ò. 1. Ñ. 14.151–14.154.
12. Ïîòàïîâà Ã.Ê. Îñíîâû òåîðèè ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé è åå ïðèëîæåíèÿ // Ñáîðíèê òð. VI Ìåæäóíàð. êîíô. “Ïðèêëàäíàÿ îïòèêà”. ÑÏá., 2004. Ò. 3. Ñ. 81–85.
13. Ïîòàïîâà Ã.Ê. Ê âîïðîñó î âèäèìûõ èçîáðàæåíèÿõ â àâèàöèè // Ìàòåðèàëû V Ìåæäóíàð. íàó÷íî-òåõí. êîíô. “ÀÂÈÀ2003”. Êèåâ: ÍÀÓ, 2003. Ò. 1. Ñ. 14.147–14.150.
14. Ïðîåêòèðîâàíèå îïòè÷åñêèõ ñèñòåì. Ïåð. ñ àíãë. / Ïîä ðåä. Øåííîíà Ð., Âàéàíòà Äæ. Ì.: Ìèð, 1983. Ñ. 188–189.
15. Âû÷èñëèòåëüíàÿ îïòèêà. Ñïðàâî÷íèê / Ïîä îáù. ðåä. Ðóñèíîâà Ì.Ì. Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1984. Ñ. 60.
16. Àïåíêî Ì.È., Äóáîâèê À.Ñ. Ïðèêëàäíàÿ îïòèêà. Ì.: Íàóêà, 1982. Ñ. 18–19.
17. Ïîòàïîâà Ã.Ê. Î ïðîîáðàçå ëèíèè âèçèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ // Òð. VII Ìåæäóíàð. êîíô. “Ïðèêëàäíàÿ îïòèêà-2006”. ÑÏá., 2006. Ò. 3. Ñ. 186–190.
18. Ðóñèíîâ Ì.Ì. Þñòèðîâêà îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ. Ì.: Íåäðà, 1969. Ñ. 39–46.
42 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
ÂÇÀÈÌÍÎÅ ÍÅÊÎËËÈÍÅÀÐÍÎÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÏÐÅÄÌÅÒÎÂ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÂÈÄÈÌÛÕ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÉ
© 2008 ã. Ã. Ê. Ïîòàïîâà*; Ì. À. Ìîñêàëåíêî**, êàíä. òåõí. íàóê ** Öåíòðàëüíîå êîíñòðóêòîðñêîå áþðî “Àðñåíàë”, ã. Êèåâ, Óêðàèíà ** ÇÀÎ “Íàó÷íî-ïðîèçâîäñòâåííûé êîíöåðí “Íàóêà”, ã. Êèåâ, Óêðàèíà ** E-mail: nauka_consern@ukr.net
Ñîçäàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ïîçâîëÿþùàÿ ôîðìèðîâàòü â àâèàöèîííûõ òðåíàæåðàõ èçîáðàæåíèå, àäåêâàòíîå âèäèìîìó èçîáðàæåíèþ çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, íàáëþäàåìîìó ÷åðåç îñòåêëåíèå êàáèíû ïèëîòîâ. Ðàññìîòðåí ìåõàíèçì ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ îáúåêòîâ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ, íàáëþäàåìîãî ÷åëîâåêîì ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó. Îïèñàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âçàèìíîãî íåêîëëèíåàðíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé. Âûïîëíåí ðàñ÷åò ãåîìåòðèè âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, íàáëþäàåìîãî èç êàáèíû ïèëîòîâ øèðîêîôþçåëÿæíîãî òðàíñïîðòíîãî ñàìîëåòà ñ êîíè÷åñêèì îñòåêëåíèåì.
Êîäû OCIS: 330.4060, 330.5000.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 29.08.2007.
Ââåäåíèå
Èçâåñòíî, ÷òî äî 90% èíôîðìàöèè ÷åëîâåê ïîëó÷àåò ÷åðåç çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð. Ïîýòîìó âàæíîñòü àíàëèçà âèçóàëüíîãî âîñïðèÿòèÿ ÷åëîâåêîì îêðóæàþùåãî åãî ìèðà ïåðåîöåíèòü íåâîçìîæíî.  ïðîöåññå ïåðâîíà÷àëüíîãî “îáó÷åíèÿ” çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà àäàïòèðóåòñÿ ê âîñïðèÿòèþ îêðóæàþùåãî ìèðà – óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðàâèëà ôîðìèðîâàíèÿ ïî îïòè÷åñêèì èçîáðàæåíèÿì íà ñåò÷àòêàõ ãëàç íàáëþäàòåëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ î ôîðìå è ðàçìåðàõ, ïîëîæåíèè è îðèåíòàöèè, öâåòå è ÿðêîñòè îêðóæàþùèõ åãî ïðåäìåòîâ. Èìåííî ýòî ïðåäñòàâëåíèå ìû è íàçûâàåì “âèäèìûì èçîáðàæåíèåì”. Òàêèì îáðàçîì, âèäèìîå èçîáðàæåíèå – ýòî íå ñòîëüêî èçîáðàæåíèå, ñêîëüêî ïðîäóêò ðàáîòû çðèòåëüíîãî àíàëèçàòîðà ÷åëîâåêà, íåêèé îáðàç íàáëþäàåìîãî ïðîñòðàíñòâà. Âèäèìîå èçîáðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèøü íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå ôèçè÷åñêîé ðåàëüíîñòè è íå ÿâëÿåòñÿ ìàòåðèàëüíûì îáúåêòîì. Îòìåòèì, ÷òî çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà ïåðâîíà÷àëüíî àäàïòèðóåòñÿ ê âîñïðèÿòèþ îêðóæàþùåãî ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â óñëîâèÿõ íåïîñðåäñòâåííîãî åãî íàáëþäåíèÿ, ò. å. ïðè îòñóòñòâèè ìåæäó íèì è ýòèì ïðîñòðàíñòâîì êàêèõ áû òî íè áûëî óñòðîéñòâ, ïðåîáðàçóþùèõ îïòè÷åñêîå èçëó÷åíèå âèäèìîãî ñïåêòðàëüíîãî äèàïàçîíà, ñîñòîÿùèõ, íàïðèìåð, èç îòðàæàþùèõ è/èëè ïðåëîìëÿþùèõ îïòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé.
Ïðè íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè âèäèìîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ïðîñòðàíñòâåííî ñîâïàäàåò ñ åãî âèäèìîé ÷àñòüþ.  ýòîì ñëó÷àå âèäèìûå èçîá-
ðàæåíèÿ ïðåäìåòíûõ òî÷åê ñîâïàäàþò â ïðîñòðàíñòâå ñ ñàìèìè ïðåäìåòíûìè òî÷êàìè, à ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì ïðåäìåòîâ.
Ñèòóàöèÿ ìåíÿåòñÿ ïðè íàáëþäåíèè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ ÷åðåç ëþáóþ îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó. Ïðè íàáëþäåíèè îäíèì ãëàçîì ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó âèäèìîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ñîâïàäàåò ñ åãî îïòè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì, ñôîðìèðîâàííûì ýòîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ âûõîäíûì çðà÷êîì â ñîîòâåòñòâóþùåì çðà÷êå ãëàçà íàáëþäàòåëÿ. Ïðè íàáëþäåíèè æå ïðåäìåòà äâóìÿ ãëàçàìè ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó åãî âèäèìîå èçîáðàæåíèå, ïîñòðîåííîå çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì ñîãëàñíî ïðèîáðåòåííûì â ïðîöåññå “ïåðâîíà÷àëüíîãî îáó÷åíèÿ” ïðàâèëàì, â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàåò íè ñ ñàìèì ïðåäìåòîì, íè ñ îäíèì èç äâóõ îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, ñôîðìèðîâàííûõ ýòîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ âûõîäíûìè çðà÷êàìè â çðà÷êàõ ãëàç íàáëþäàòåëÿ.
Ïðè íàáëþäåíèè ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó àäàïòèðîâàâøèéñÿ â ïðîöåññå ïåðâîíà÷àëüíîãî “îáó÷åíèÿ” ê íåïîñðåäñòâåííîìó âîñïðèÿòèþ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà â òîé èëè èíîé ìåðå “îøèáàåòñÿ”. Ïðîèñõîäèò ýòî âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ õîäà ëó÷åé îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé, ÷åðåç êîòîðóþ âåäåòñÿ íàáëþäåíèå.  ýòîì ñëó÷àå èçîáðàæåíèÿ íà ñåò÷àòêàõ ãëàç íàáëþäàòåëÿ îòëè÷àþòñÿ îò òåõ, êîòîðûå ôîðìèðîâàëèñü áû ïðè íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè, à ïîñòðîåííîå çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì ïî ýòèì èçîáðàæåíèÿì âèäèìîå èçîáðàæåíèå óæå íå ñîâïàäàåò ñ ñàìèìè ïðåäìåòàìè. Ïðè ýòîì â âèäèìûõ èçîáðàæå-
36 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
íèÿõ èìåþò ìåñòî êàê ïåðñïåêòèâíî-äèñòîðñèîííûå èñêàæåíèÿ, ïðîÿâëÿþùèåñÿ â íåïîñòîÿíñòâå âèäèìîãî óâåëè÷åíèÿ ïî ïîëþ íàáëþäåíèÿ, òàê è èñêàæåíèÿ äàëüíîñòè íàáëþäåíèÿ, ïðîÿâëÿþùèåñÿ â èçìåíåíèè ðàññòîÿíèÿ êîíâåðãåíöèè öåíòðàëüíûõ ëó÷åé äëÿ ïðåäìåòíûõ òî÷åê è êðèâèçíå ïîëÿ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé. Íàëè÷èå òàêèõ èñêàæåíèé â âèäèìûõ èçîáðàæåíèÿõ ìîæåò ïðèâîäèòü ê íåïðàâèëüíîé îöåíêå íàáëþäàòåëåì ñâîåãî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, ôîðìû, ðàçìåðîâ, ïîëîæåíèÿ è îðèåíòàöèè îêðóæàþùèõ ïðåäìåòîâ.
Âåëè÷èíà ïåðñïåêòèâíî-äèñòîðñèîííûõ èñêàæåíèé â âèäèìûõ èçîáðàæåíèÿõ ìîæåò äîñòèãàòü äåñÿòêîâ óãëîâûõ ìèíóò, êàê, íàïðèìåð, ïðè íàáëþäåíèè ÷åðåç íåïëîñêîå ëîáîâîå ñòåêëî àâòîìîáèëÿ.  ïîâñåäíåâíîé æèçíè òàêèå èñêàæåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ ïðåïÿòñòâèåì äëÿ îðèåíòèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïî âèçóàëüíîé èíôîðìàöèè, îáðàáàòûâàåìîé çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð, â àâèàöèè ïðè ïîñàäêå ñàìîëåòà íà îãðàíè÷åííûå ïëîùàäêè òðåáóåòñÿ òî÷íîñòü âèçèðîâàíèÿ ïî íàçåìíûì îðèåíòèðàì ïðè âèçóàëüíîì íàáëþäåíèè èç êàáèíû ïèëîòîâ äî íåñêîëüêèõ óãëîâûõ ìèíóò. Òàêàÿ òî÷íîñòü óæå íå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà áåç ó÷åòà âíîñèìûõ îñòåêëåíèåì êàáèíû ïèëîòîâ ïåðñïåêòèâíîäèñòîðñèîííûõ èñêàæåíèé â âèäèìîì èçîáðàæåíèè íàáëþäàåìîãî çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà. Áîëåå òîãî, ïðè àñèììåòðè÷íîì ðàñïîëîæåíèè íàáëþäàòåëÿ îòíîñèòåëüíî íåïëîñêîãî îñòåêëåíèÿ êàáèíû ïèëîòîâ øèðîêîôþçåëÿæíûõ ñàìîëåòîâ ïåðñïåêòèâíî-äèñòîðñèîííûå èñêàæåíèÿ òàêîâû, ÷òî ãîðèçîíòàëüíûå ëèíèè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ âèäÿòñÿ íàáëþäàòåëþ íàêëîííûìè, ïðè÷åì íàïðàâëåíèÿ âèäèìîãî íàêëîíà ðàçëè÷íû äëÿ ëåâîãî è ïðàâîãî ïèëîòîâ [1]. Èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî óæå íåîäíîêðàòíî ïðèâîäèëî ê âîçíèêíîâåíèþ ïðåäïîñûëîê ê ëåòíûì ïðîèñøåñòâèÿì ïðè ïîñàäêå øèðîêîôþçåëÿæíûõ ñàìîëåòîâ.
 ñîâðåìåííûõ àâèàöèîííûõ òðåíàæåðàõ ñèñòåìà âèçóàëèçàöèè ôîðìèðóåò èçîáðàæåíèå ìîäåëèðóåìîãî çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå ïðåäúÿâëÿåòñÿ îáó÷àåìîìó. Åñëè âèäèìîå èçîáðàæåíèå, íàáëþäàåìîå â òðåíàæåðå, çàìåòíî îòëè÷àåòñÿ îò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ìîäåëèðóåìîãî çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå íàáëþäàëîñü áû èç êàáèíû ìîäåëèðóåìîãî ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà, ó îáó÷àåìîãî ìîãóò ôîðìèðîâàòüñÿ ëîæíûå íàâûêè ïèëîòèðîâàíèÿ [2]. Ýòî ìîæåò ïðèâåñòè â ïîñëåäóþùåì ê íåïðàâèëüíîé îöåíêå èì ïîëîæåíèÿ è îðèåíòàöèè ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà â ïðîñòðàíñòâå â ðåàëüíîì ïîëåòå, ÷òî íåáåçîïàñíî. Ïðåîäîëåíèå æå ëîæíûõ íàâûêîâ ïèëîòèðîâàíèÿ ïîòðåáóåò çíà÷èòåëüíûõ çàòðàò ëåòíîãî âðåìåíè ñî âñåìè âûòåêàþùèìè îòñþäà çàòðàòàìè ðåñóðñîâ.
Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû – ëèøü íåêîòîðàÿ ÷àñòü öåëîãî ðÿäà òåõíè÷åñêèõ çàäà÷, ðåøåíèå êîòîðûõ òðåáóåò àíàëèçà ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé. Öåëü ïðåäñòàâëåííîé ðàáîòû – ñîçäàíèå ìîäåëè ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì ÷åëîâåêà ïðè íàáëþäåíèè äâóìÿ ãëàçàìè ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, à òàêæå ðàçðàáîòêà ìåòîäèêè àíàëèçà ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîé ìîäåëè. Ìîäåëü ðåàëèçîâàíà â ïðîãðàììå ðàñ÷åòà ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé äëÿ ñëó÷àÿ íàáëþäåíèÿ ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ äâóìÿ ýêâèäèñòàíòíûìè ïðåëîìëÿþùèìè ïîâåðõíîñòÿìè. Ñ ïîìîùüþ ýòîé ïðîãðàììû âûïîëíåí àíàëèç ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, íàáëþäàåìûõ ÷åðåç îñòåêëåíèå êàáèíû ïèëîòîâ.
Ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé êàê îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ
Ââåäåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè. Ïîä âèäèìûì èçîáðàæåíèåì ïðåäìåòíîé òî÷êè p, íàáëþäàåìîé ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, áóäåì ïîíèìàòü òàêóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà pâèä, ïðè ïîìåùåíèè â êîòîðóþ ïðåäìåòíîé òî÷êè îíà âèäåëàñü áû òîìó æå íàáëþäàòåëþ ïðè íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè áåç îïòè÷åñêîé ñèñòåìû òàì æå, ãäå âèäèòñÿ åìó ïðåäìåòíàÿ òî÷êà p.
Ïðè íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè òî÷êè pâèä è p ñîâïàäàþò, ïîñêîëüêó çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ pâèä ïðåäìåòíîé òî÷êè p êàê òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé, èñõîäÿùèõ èç òî÷êè p è âõîäÿùèõ â öåíòðû çðà÷êîâ åãî ãëàç.
Ïðè íàáëþäåíèè ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà äåéñòâóåò ïî òîìó æå, âûðàáîòàííîìó â ïðîöåññå ïåðâîíà÷àëüíîãî îáó÷åíèÿ, àëãîðèòìó. Îäíàêî õîä ëó÷åé, èñõîäÿùèõ èç òî÷êè p è ïîïàäàþùèõ ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû â öåíòðû çðà÷êîâ (áóäåì íàçûâàòü èõ âûõîäÿùèìè öåíòðàëüíûìè ïðåäìåòíûìè ëó÷àìè), èñêàæàåòñÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé.  îáùåì ñëó÷àå ýòè ëó÷è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî ñêðåùèâàþùèìñÿ, à íå ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì. Èõ âåðãåíöèÿ, èëè âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå, îïðåäåëÿåòñÿ óãëàìè êîíâåðãåíöèè è äèâåðãåíöèè. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ pâèä ïðåäìåòíîé òî÷êè p â òî÷êå ñõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûõîäÿùèõ öåíòðàëüíûõ ïðåäìåòíûõ ëó÷åé. Ïîä òî÷êîé ñõîæäåíèÿ áóäåì ïîíèìàòü òî÷êó ìàêñèìàëüíîãî ñáëèæåíèÿ ïðÿìûõ, âäîëü êîòîðûõ ðàñïðîñò-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
37
ðàíÿþòñÿ óêàçàííûå ëó÷è, ò. å. òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ
íà ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè îò ýòèõ ïðÿìûõ è ñîâïàäàþùóþ ñ ñåðåäèíîé îòðåçêà èõ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà, ïåðåñåêàþùåãî îáå ïðÿìûå, çàêëþ÷åííî-
ãî ìåæäó íèìè. Äëÿ îïèñàíèÿ ìåõàíèçìà ôîðìèðîâàíèÿ ïðî-
ñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé âîñïîëüçóåìñÿ
èçâåñòíûì â òåîðèè ìíîæåñòâ àïïàðàòîì îòîáðàæåíèé [3]. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé P âèä åñòü íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå ϕ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ P, ò. å. ϕ: P → P âèä. Ïðåäìåòíóþ òî÷êó â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê íåêèé ýëåìåíò p ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ P. Òîãäà âèäèìîå èçîáðàæåíèå pâèä ýòîé òî÷êè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáðàç ϕ(p) ýëåìåíòà p, èëè pâèä = ϕ(p).
Îïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè p ∈ P â åå âèäèìîå èçîáðàæåíèå pâèä ∈ P âèä. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìåæäó íàáëþäàòåëåì è ïðîñòðàíñòâîì ïðåäìåòîâ îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, ò. å. ïðîèñõîäèò îòîáðàæåíèå
ω: P → P′, ïðè êîòîðîì ôîðìèðóåòñÿ îïòè÷åñêèé îáðàç ïðåäìåòíîé òî÷êè p′ = ω(p). Äëÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ñ äâîéíûì âûõîäíûì çðà÷êîì, ñîâïàäàþùèì
ïðè íàáëþäåíèè äâóìÿ ãëàçàìè ñî çðà÷êàìè ãëàç íàáëþäàòåëÿ, îïòè÷åñêèé îáðàç ïðåäìåòíîé òî÷êè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó åå îïòè÷å-
ñêèõ èçîáðàæåíèé. Êàæäîìó çðà÷êó (ëåâîìó è ïðàâîìó) ñîîòâåòñòâóåò ñâîå îïòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå (pë′åâ è pï′ ðàâ) ïðåäìåòíîé òî÷êè è â îáùåì ñëó÷àå îíè íå ñîâïàäàþò. Ïðè ýòîì ïðîñòðàíñòâî îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ïðîñòðàíñòâ îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé:
P′ = Pë′åâP′ïðàâ = {(pë′åâ, pï′ ðàâ)|pë′åâ ∈ Pë′åâΛp′ïðàâ ∈ P′ïðàâ}. Çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé â ïðîñòðàíñòâî
âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, ò. å. ïðîèñõîäèò îòîáðàæåíèå ξ: P′ → P âèä è ôîðìèðóåòñÿ îáðàç îïòè÷åñêîãî îáðàçà ïðåäìåòíîé òî÷êè pâèä = ξ(p′), ÿâëÿþùèéñÿ åå âèäèìûì èçîáðàæåíèåì.
Îòîáðàæåíèå ϕ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ äâóõ îòîáðàæåíèé – ϕ = ξω, òàê êàê pâèä = ϕ(p) = = ξ(p′) = ξ(ω(p)) – è ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, èëè áèåêòèâíûì, ò. å. êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ïðî-
ñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé è íàîáîðîò – êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà ïðåä-
ìåòîâ. Ïðàâèëî, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì, êàê ìû ïðåäïîëîæèëè, çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà âûïîëíÿåò îòîáðàæåíèå ϕ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, îïèñàíî âûøå.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ
Ðåàëüíûé àëãîðèòì ðàáîòû çðèòåëüíîãî àíàëèçàòîðà ÷åëîâåêà ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæåí, ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì ñïåöèàëüíîãî èçó÷åíèÿ è òàêæå ñëîæåí äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ. Îäíàêî äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ìåõàíèçìà ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ, êîòîðîå ïîçâîëèëî áû àíàëèçèðîâàòü ãåîìåòðèþ ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, ïðåäñòàâëÿåòñÿ âïîëíå äîïóñòèìûì ðàññìàòðèâàòü çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð ÷åëîâåêà êàê èäåàëüíûé îïòè÷åñêèé êîîðäèíàòîð. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çðèòåëüíûé àíàëèçàòîð áåçîøèáî÷íî óñòàíàâëèâàåò ïðîñòðàíñòâåííîå ïîëîæåíèå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè, òî÷íî îïðåäåëÿÿ êîîðäèíàòû òî÷êè ñõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûõîäÿùèõ öåíòðàëüíûõ ïðåäìåòíûõ ëó÷åé.
Îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîâîäèòñÿ íàáëþäåíèå, áóäåì ïîëàãàòü ãåîìåòðè÷åñêè ñîâåðøåííîé â ñìûñëå âûïîëíåíèÿ â íåé òîëüêî ïåðâîãî èç òðåõ óñëîâèé Ìàêñâåëëà [4] – ñîõðàíåíèÿ ãîìîöåíòðè÷íîñòè ïó÷êà ëó÷åé. Âèäèìîå èçîáðàæåíèå ïðè ýòîì íå ÿâëÿåòñÿ êîëëèíåàðíûì, êàê â îáùåé òåîðèè èäåàëüíîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìû [5]. Âûõîäíûì çðà÷êîì îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ çðà÷êè ãëàç íàáëþäàòåëÿ.
Òîãäà çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ òî÷êè ñõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûõîäÿùèõ öåíòðàëüíûõ ïðåäìåòíûõ ëó÷åé.
Ñóùåñòâóþùèå ïðîãðàììû äëÿ îïòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ïðåêðàñíî ðåøàþò çàäà÷ó òðàññèðîâêè (ïðîñëåæèâàíèÿ õîäà) ëó÷åé â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Îäíàêî çàäà÷à òðàññèðîâêè ðåøàåòñÿ êàê çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ õîäà ëó÷à â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå, èñõîäÿùåãî èç çàäàííîé òî÷êè â çàäàííîì íàïðàâëåíèè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ æå ïîëîæåíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü õîä ëó÷åé, èñõîäÿùèõ èç çàäàííîé ïðåäìåòíîé òî÷êè (â íåèçâåñòíîì íàïðàâëåíèè) è ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äðóãèå çàäàííûå òî÷êè – öåíòðû çðà÷êîâ ãëàç íàáëþäàòåëÿ. Ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è ïóòåì ìèíèìèçàöèè ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðîâ çðà÷êîâ ãëàç íàáëþäàòåëÿ äî ñîîòâåòñòâóþùèõ îïòèìèçèðóåìûõ ëó÷åé òðåáóåò ìíîãîêðàòíîãî âûïîëíåíèÿ òðàññèðîâêè è áîëüøîãî îáúåìà ðàñ÷åòîâ.
Îïòèìàëüíûì àëãîðèòìîì äëÿ ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è ïðåäñòàâëÿåòñÿ àëãîðèòì, èñïîëüçóþùèé ïðèíöèï Ôåðìà – ïðèíöèï íàèìåíüøåãî âðåìåíè [6]. Ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà Ôåðìà äëÿ çàäà÷è ïîèñêà êàæäîãî èç äâóõ âûõîäÿùèõ öåíòðàëüíûõ ïðåäìåòíûõ ëó÷åé ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó òàêîãî õîäà ïðåäìåòíîãî ëó÷à ìåæäó çàäàííîé ïðåäìåòíîé òî÷êîé è
38 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
öåíòðîì ñîîòâåòñòâóþùåãî çðà÷êà, îïòè÷åñêàÿ äëèíà êîòîðîãî ìèíèìàëüíà. Òàêèì îáðàçîì, àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ õîäà öåíòðàëüíîãî ïðåäìåòíîãî ëó÷à ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè öåëåâîé ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùåé îïòè÷åñêóþ äëèíó õîäà ïðåäìåòíîãî ëó÷à ìåæäó äâóìÿ çàäàííûìè òî÷êàìè.
Äëÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé S1 è S2 (ðèñ. 1), êàæäàÿ èç äâóõ öåëåâûõ ôóíêöèé Fëåâ è Fïðàâ îïðåäåëÿåò îïòè÷åñêóþ äëèíó ëîìàíîé ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé ïîñëåäîâàòåëüíî ïðåäìåòíóþ òî÷êó p, òî÷êè âñòðå÷è ñ ïîâåðõíîñòÿìè S1 è S2 è öåíòð çðà÷êà ñîîòâåòñòâóþùåãî ãëàçà,
[ ]Fëåâ = n1 pM1ëåâ + [ ] [ ]+ n2 M1ëåâM 2ëåâ + n3 M 2ëåâCëåâ ,
(1)
Fïðàâ = n1 ⎡⎣ pM1ïðàâ ⎤⎦ + + n2 ⎣⎡M1ïðàâM 2ïðàâ ⎤⎦ + n3 ⎣⎡M 2ïðàâCïðàâ ⎤⎦ ,
(2)
ãäå n1, n2, n3 – ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ 1-é, 2-é, 3-é îïòè÷åñêèõ ñðåä (ïî õîäó ëó÷à îò ïðåäìåòíîé òî÷êè ê íàáëþäàòåëþ); Cëåâ, Cïðàâ – òî÷êè öåíòðîâ çðà÷êîâ ëåâîãî è ïðàâîãî ãëàç íàáëþäàòåëÿ; M1 ëåâ, M2 ëåâ, M1 ïðàâ, M2 ïðàâ – òî÷êè âñòðå÷è ëåâîãî è ïðàâîãî ëó÷åé ñ ïîâåðõíîñòÿìè S1, S2; [pM1 ëåâ] – ãåîìåòðè÷åñêàÿ äëèíà ó÷àñòêà ëó÷à ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè òî÷êàìè.
Îïòèìèçèðóåìûìè ïàðàìåòðàìè, îïðåäåëÿþùèìè çíà÷åíèÿ öåëåâûõ ôóíêöèé Fëåâ è Fïðàâ, ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòû òî÷åê âñòðå÷è M1 ëåâ, M2 ëåâ, M1 ïðàâ, M2 ïðàâ. Îãðàíè÷åíèåì äëÿ çíà÷åíèé îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ ÿâëÿåòñÿ ïðèíàäëåæíîñòü ýòèõ òî÷åê ñîîòâåòñòâóþùèì ïîâåðõíîñòÿì.  êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ âûáèðàþòñÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïîâåðõíîñòÿìè S1 è S2 îòðåçêîâ ïðÿìûõ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè öåíòðîâ çðà÷êîâ ñ ïðåäìåòíîé òî÷êîé.
ðâèä ð
M1ïðàâ
M2ïðàâ
r′ïðàâ Ñïðàâ
M1ëåâ
M2ëåâ
r′ëåâ
n1 n2 n3
Ñëåâ
S1 S2
Ðèñ. 1. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè.
Ïðè îïòèìèçàöèè ýòè ïàðàìåòðû èçìåíÿþòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà çàâèñÿùèå îò íèõ öåëåâûå ôóíêöèè Fëåâ è Fïðàâ íå ïðèìóò ìèíèìàëüíûå çíà÷åíèÿ. Íàéäåííûå â õîäå îïòèìèçàöèè êîîðäèíàòû òî÷åê âñòðå÷è ñ ïîâåðõíîñòüþ S2 ëåâîãî è ïðàâîãî ëó÷åé è îïðåäåëÿþò èñêîìûå âûõîäÿùèå öåíòðàëüíûå ïðåäìåòíûå ëó÷è rë′åâ è rï′ ðàâ.
Ïî ïîëó÷åííûì öåíòðàëüíûì ëó÷àì rëåâ è rï′ ðàâ îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòû âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ pâèä ïðåäìåòíîé òî÷êè p êàê êîîðäèíàòû òî÷êè ñõîæäåíèÿ ýòèõ ëó÷åé.
Ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëü îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé áûëà ðåàëèçîâàíà â ñïåöèàëèçèðîâàííîé ïðîãðàììå ðàñ÷åòà ãåîìåòðèè âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, íàáëþäàåìûõ ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó èç äâóõ ýêâèäèñòàíòíûõ ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà (íàïðèìåð, ÷åðåç îñòåêëåíèÿ ðàçëè÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû). Ïðîãðàììà áûëà ðàçðàáîòàíà â ñðåäå êîìïüþòåðíîé àëãåáðû Maple.
Ðåçóëüòàòîì âû÷èñëåíèé ïî ýòîé ïðîãðàììå ÿâëÿþòñÿ òðåõìåðíûå ìàññèâû êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâûõ òî÷åê ïðåäìåòíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè, ïðåäñòàâëÿþùåé ìîäåëü ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ, è èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, ñîñòàâëÿþùèõ ìîäåëü ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé.  êà÷åñòâå ìîäåëè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ èñïîëüçîâàëàñü óñå÷åííàÿ ïèðàìèäàëüíàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñåòêà ñ âåðøèíîé â ñðåäíåé òî÷êå áàçû ãëàç íàáëþäàòåëÿ è óãëàìè ïðè âåðøèíå, ñîîòâåòñòâóþùèìè ãîðèçîíòàëüíîìó è âåðòèêàëüíîìó óãëàì ïîëÿ îáçîðà.
Îïðåäåëåíèå ôóíêöèé âçàèìíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò
ïðåäìåòíûõ òî÷åê â êîîðäèíàòû èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé
Îïèñàííûé âûøå àëãîðèòì ïîçâîëÿåò ïî çàäàííîé ìîäåëè îáúåêòà ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèé ñ ïðèâëå÷åíèåì ïðîãðàììû îïòèìèçàöèè ìîäåëü âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ çàäàííîãî îáúåêòà, íàáëþäàåìîãî ÷åðåç çàäàííóþ îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð, äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ íàáëþäàåìîãî ÷åðåç îñòåêëåíèå ìîäåëèðóåìîãî ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ìîäåëèðóåìîãî çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà â ñèñòåìàõ âèçóàëèçàöèè àâèàöèîííûõ òðåíàæåðîâ îáúåì ðàñ÷åòîâ ïî ýòîìó àëãîðèòìó íåäîïóñòèìî âåëèê. Ýòî íå ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü âû÷èñëåíèÿ â òðåáóåìîì äëÿ ìîäåëèðóþùåé ñèñòåìû èëè ãåíåðàòîðà èçîáðàæåíèÿ ðåàëüíîì ìàñøòàáå âðåìåíè.
Àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè ïîçâîëÿåò ïî çàäàí-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
39
íîìó ìàññèâó êîîðäèíàò ïðåäìåòíûõ òî÷åê íàéòè ìàññèâ êîîðäèíàò èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé. Ñîïîñòàâëÿÿ ýòè ìàññèâû, ìîæíî íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé, èíòåðïîëèðóþùèõ çàâèñèìîñòè êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè îò êîîðäèíàò ñàìîé ïðåäìåòíîé òî÷êè è òåì ñàìûì îïèñàòü ïðàâèëî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé íåêîòîðûìè ôóíêöèÿìè, à íå ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ îïåðàöèé. Òàêîå ïðàâèëî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî òðåìÿ ôóíêöèÿìè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïèñûâàåò çàâèñèìîñòü îäíîé èç òðåõ êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè îò òðåõ êîîðäèíàò ïðåäìåòíîé òî÷êè.
Äëÿ âûïîëíåíèÿ âû÷èñëåíèé âûáðàíà ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ïðàâàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò Oxyz ñ íà÷àëîì â ñåðåäèíå îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû çðà÷êîâ ãëàç íàáëþäàòåëÿ. Ïðè ýòîì îñü Ox íàïðàâëåíà îò öåíòðà çðà÷êà ïðàâîãî ãëàçà ê öåíòðó çðà÷êà ëåâîãî ãëàçà, à îñü Oy ëåæèò â ïëîñêîñòè çðà÷êîâ è íàïðàâëåíà ââåðõ. Ïîëîæåíèå ïðåäìåòíûõ òî÷åê è èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé îïèñûâàåòñÿ êîîðäèíàòàìè α, β, z, ãäå α – óãîë ìåæäó ïðîåêöèåé íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü Oxz âåêòîðà íàïðàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè è îñüþ Oz, β – óãîë ìåæäó ïðîåêöèåé íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü Oyz òîãî æå âåêòîðà è îñüþ Oz. Ïîñêîëüêó â êà÷åñòâå ìîäåëè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ âûáðàíà ïèðàìèäàëüíàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñåòêà, ñîñòîÿùàÿ èç íåñêîëüêèõ ïëîñêèõ ôðîíòàëüíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ ñåòîê, òî îíà îïèñûâàåòñÿ òðåìÿ îðòîãîíàëüíûìè òðåõìåðíûìè ìàññèâàìè êîîðäèíàò óçëîâûõ òî÷åê {αijq}, {βijq}, {zijq}. Ïðè ýòîì i = 1, 2, …, I, j = 1, 2, …, J, q = = 1, 2, …, Q, ãäå I – êîëè÷åñòâî ãîðèçîíòàëüíûõ ëèíèé â êàæäîé ôðîíòàëüíîé ñåòêå, J – êîëè÷åñòâî âåðòèêàëüíûõ ëèíèé â êàæäîé ôðîíòàëüíîé ñåòêå, Q – êîëè÷åñòâî ôðîíòàëüíûõ ñåòîê.  ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèé ïî ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó ïîëó÷àþò òðè òðåõìåðíûõ ìàññèâà êîîðäèíàò âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâûõ òî÷åê çàäàííîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïèðàìèäû {αâijèqä}, {βâijèqä}, {zâijèqä}, êîòîðûå óæå íå ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè.
×òîáû îïðåäåëèòü ôóíêöèè, èíòåðïîëèðóþùèå èñêîìûå çàâèñèìîñòè êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè îò êîîðäèíàò ñàìîé ïðåäìåòíîé òî÷êè, ê èñõîäíûì îðòîãîíàëüíûì ìàññèâàì êîîðäèíàò ïðåäìåòíûõ òî÷åê ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà äëÿ êàæäîé (iq) ãîðèçîíòàëè ïðåäìåòíîé ñåòêè îòäåëüíî àïïðîêñèìèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû αâèä ïî α ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ äâóõ äðóãèõ êîîðäèíàò – β è z:
J
∑α(âièqä) (α) = Aj(iq)α j−1, j =1
(3)
ãäå Àj(iq) – ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû àïïðîêñèìàöèè êîîðäèíàòû αâèä äëÿ ðÿäà ïðåäìåòíûõ òî÷åê (iq) ãîðèçîíòàëè ïðåäìåòíîé ñåòêè ñ ôèêñèðîâàííûìè êîîðäèíàòàìè βi, zq.
Çàòåì äëÿ êàæäîé (jq) âåðòèêàëè ïðåäìåòíîé ñåòêè àïïðîêñèìèðóþò çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà A ïî β ïðè ðàçëè÷íûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ êîîðäèíàò α, z è ïîëó÷àþò äëÿ êàæäîé (q) ôðîíòàëüíîé ïðåäìåòíîé ñåòêè àïïðîêñèìàöèþ çíà÷åíèé êîîðäèíàòû αâèä ïî α è β ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè êîîðäèíàòû z:
JI
∑ ∑α
âèä (q)
(α,
β)
=
Bij(q)βi−1α j−1 ,
j=1 i=1
(4)
ãäå Bij(q) – ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû àïïðîêñèìàöèè êîîðäèíàòû αâèä äëÿ ðÿäà ïðåäìåòíûõ òî÷åê (q) ôðîíòàëüíîé ïðåäìåòíîé ñåòêè ñ ôèêñèðîâàííûìè êîîðäèíàòàìè zq.
È, íàêîíåö, äëÿ êàæäîé (ij) ëèíèè ïåðñïåêòèâû ïðåäìåòíîé ñåòêè àïïðîêñèìèðóþò çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ B ïî z ïðè ðàçëè÷íûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ êîîðäèíàò α, β è ïîëó÷àþò äëÿ âñåõ ïðåäìåòíûõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè àïïðîêñèìàöèþ çíà÷åíèé êîîðäèíàòû αâèä ïî α, β, z:
J IQ
∑ ∑ ∑αâèä (α, β, z) =
Cijq zq−1βi−1α j−1 =
j =1 i=1 q=1
=
F
âèä α
(α,
β,
z),
(5)
ãäå Ñijq – îêîí÷àòåëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû àïïðîêñèìàöèè êîîðäèíàòû α âèä ïî òðåì êîîðäèíàòàì α, β, z äëÿ âñåõ ïðåäìåòíûõ òî÷åê – óçëîâ ïðîñòðàíñòâåííîé ïðåäìåòíîé ñåòêè.
Îïðåäåëèâ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ôóíêöèè, èíòåðïîëèðóþùèå çàâèñèìîñòè äâóõ äðóãèõ êîîðäèíàò âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ïðåäìåòíûõ òî÷åê îò êîîðäèíàò ñàìèõ ïðåäìåòíûõ òî÷åê, ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò ïðåäìåòíîé òî÷êè â êîîðäèíàòû åå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðàâèëî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé:
ϕ:
=
⎧αâèä
⎪⎪ ⎨
βâèä
= =
F
âèä α
(α,
β,
F
âèä β
(α,
β,
z), z),
⎪ ⎪⎩
z âèä
=
F
âèä z
(α,
β,
z).
(6)
Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîá-
40 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
Áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå {P}
P(α, β, z) ↔ Pâèä(αâèä, βâèä, zâèä)
{Pâèä}
Ïðÿìîå îòîáðàæåíèå ϕ ϕ: P → Pâèä
(îáúåêò → îáðàç)
Pâèä= ϕ (P)
αâèä = Fαâèä(α, β, z) βâèä = Fβâèä(α, β, z) zâèä = Fzâèä(α, β, z)
Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ψ ψ: Pâèä → P
(îáðàç → ïðîîáðàç-îáúåêò)
P = ψ (Pâèä) α = Fα (αâèä, βâèä, zâèä) β = Fβ (αâèä, βâèä, zâèä) z = Fz (αâèä, βâèä, zâèä)
Ðèñ. 2. Ñõåìà âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé.
ðàæåíèé îáëàäàåò ñâîéñòâîì áèåêòèâíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü î âçàèìíîì îòîáðàæåíèè ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé [7]. Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà ñõåìà, ïîÿñíÿþùàÿ âçàèìíîå îòîáðàæåíèå ýòèõ ïðîñòðàíñòâ. ×òîáû îïðåäåëèòü ïðàâèëî îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ (ïðàâèëî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé â ïðîñòðàíñòâî ïðåäìåòîâ), íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè â êîîðäèíàòû ñàìîé ïðåäìåòíîé òî÷êè.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ ïðàâèëà ïðÿìîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ â ïðîñòðàíñòâî âèäèìûõ èçîáðàæåíèé äëÿ êîððåêòíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé àïïðîêñèìàöèè è èíòåðïîëÿöèè èñêîìûõ çàâèñèìîñòåé êîîðäèíàò ïðåäìåòíîé òî÷êè îò êîîðäèíàòû åå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü îðòîãîíàëüíûå òðåõìåðíûå ìàññèâû êîîðäèíàò âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ïðåäìåòíûõ òî÷åê è ñîîòâåòñòâóþùèå èì òðåõìåðíûå ìàññèâû êîîðäèíàò èõ ïðîîáðàçîâ – ïðåäìåòíûõ òî÷åê. Ïî çàäàííûì êîîðäèíàòàì âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ïðåäìåòíûõ òî÷åê ñîáñòâåííûå êîîðäèíàòû ïðåäìåòíûõ òî÷åê ìîæíî íàéòè êàê ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (6). Çàòåì îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèè, èíòåðïîëèðóþùèå çàâèñèìîñòè êîîðäèíàò ïðåäìåòíûõ òî÷åê îò êîîðäèíàò èõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, êîòîðûå è îïèñûâàþò ïðàâèëî îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ ψ, ïîçâîëÿþùåå ïî âèäèìîìó èçîáðàæåíèþ íàéòè åãî ïðîîáðàç â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ:
( )⎧α
⎪
=
Fα
αâèä,βâèä, zâèä
,
( )ψ:
=
⎪ ⎨
β
=
Fβ
αâèä,βâèä, zâèä
,
( )⎪
⎩⎪ z = Fz
αâèä,βâèä, zâèä
.
(7)
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
Çàìåòèì, ÷òî èç (6) ëåãêî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå âèäèìûå èçîáðàæåíèÿ ïðÿìûõ ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ, íàïðèìåð, ãîðèçîíòàëåé (β = const), âåðòèêàëåé (α = const), ëèíèé ïåðñïåêòèâû (α = const, β = const). À èç (7) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîîáðàçû ïðÿìûõ ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, íàïðèìåð, âèäèìûõ ëèíèé ïåðñïåêòèâû (αâèä = const, βâèä = const), â òîì ÷èñëå ïðîîáðàç ëèíèè âèçèðîâàíèÿ.
Îïèñàííûé àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ïðàâèë âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé òàêæå áûë ðåàëèçîâàí â Maple-ïðîãðàììå. Ñ ïîìîùüþ ýòîé ïðîãðàììû áûëè âûïîëíåíû, íàïðèìåð, ðàñ÷åòû ãåîìåòðèè âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, íàáëþäàåìîãî èç êàáèíû øèðîêîôþçåëÿæíîãî òðàíñïîðòíîãî ñàìîëåòà ñ êîíè÷åñêèì îñòåêëåíèåì. Íà ðèñ. 3, 4, 5 ïðîèëëþñòðèðîâàíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ýòèõ ðàñ÷åòîâ.
Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíû ôðîíòàëüíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ïðåäìåòíàÿ ñåòêà è íàáëþäàåìîå ïðàâûì ïèëîòîì åå âèäèìîå èçîáðàæåíèå ñ çàìåòíûìè ïåðñïåêòèâíî-äèñòîðñèîííûìè èñêàæåíèÿìè. Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïèðàìèäàëüíàÿ ïðåäìåòíàÿ ñåòêà è åå âèäèìîå èçîáðàæåíèå. Õîðîøî âèäíû èñêàæåíèÿ äàëüíîñòè è êðèâèçíà ïîëÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ. Íà ðèñ. 5 ïðèâåäåí âèä ïðîîáðàçà íóëåâîé ëèíèè âèçèðîâàíèÿ. Âèäíî, ÷òî ïðîîáðàçîì ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ëèíèè âèçèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ êðèâàÿ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ, ÷òî íàáëþäàåòñÿ è â âèçèðíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ [8].
Ðèñ. 3. Âèäèìîå èçîáðàæåíèå ôðîíòàëüíîé ïðÿìîóãîëüíîé ïðåäìåòíîé ñåòêè, íàáëþäàåìîå ÷åðåç êîíè÷åñêîå îñòåêëåíèå êàáèíû øèðîêîôþçåëÿæíîãî ñàìîëåòà ïðàâûì ïèëîòîì.
41
3000
2000
10 000 20 000
0 –20 000 0
Ðèñ. 4. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïðåäìåòíàÿ ñåòêà è åå âèäèìîå èçîáðàæåíèå, íàáëþäàåìîå ÷åðåç êîíè÷åñêîå îñòåêëåíèå êàáèíû øèðîêîôþçåëÿæíîãî ñàìîëåòà ïðàâûì ïèëîòîì.
1200 800
400
0,04 0,1 0,16
0 –0,1
Ðèñ. 5. Íóëåâàÿ ëèíèÿ âèçèðîâàíèÿ â çàêàáèííîì ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ äëÿ ïðàâîãî ïèëîòà øèðîêîôþçåëÿæíîãî ñàìîëåòà ñ êîíè÷åñêèì îñòåêëåíèåì.
Ðåçóëüòàòû
Ñîçäàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ îáúåêòîâ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ, íàáëþäàåìîãî ÷åëîâåêîì ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó è âîñïðèíèìàåìîãî åãî çðèòåëüíûì àíàëèçàòîðîì, ðàáîòàþùèì êàê èäåàëüíûé îïòè÷åñêèé êîîðäèíàòîð. Ïðåäëîæåí àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ âèäèìîãî èçîáðàæå-
íèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè, èñïîëüçóþùèé äëÿ ïîèñêà õîäà ëó÷åé â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå ìåæäó ïðåäìåòíîé òî÷êîé è öåíòðàìè çðà÷êîâ ãëàç íàáëþäàòåëÿ ïðèíöèï Ôåðìà.
Ðàçðàáîòàíà ìîäåëü âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé, ïîçâîëÿþùàÿ îïðåäåëèòü êàê ôóíêöèè ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò ïðåäìåòíîé òî÷êè â êîîðäèíàòû åå âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ, òàê è ôóíêöèè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòíîé òî÷êè â êîîðäèíàòû ñàìîé ïðåäìåòíîé òî÷êè, è òåì ñàìûì óñòàíîâèòü ïðàâèëà âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ óêàçàííûõ ïðîñòðàíñòâ â âèäå èíòåðïîëèðóþùèõ ñîîòâåòñòâóþùèå çàâèñèìîñòè ôóíêöèé.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ôîðìèðîâàíèÿ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé è âçàèìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäìåòîâ è ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé ðåàëèçîâàíà â ñïåöèàëüíîé ïðîãðàììå, ðàçðàáîòàííîé äëÿ ñðåäû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû Maple. Ñ ïîìîùüþ ýòîé ïðîãðàììû âûïîëíåíû ðàñ÷åòû ãåîìåòðèè âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ çàêàáèííîãî ïðîñòðàíñòâà, íàáëþäàåìîãî èç êàáèíû ïèëîòîâ øèðîêîôþçåëÿæíîãî ñàìîëåòà ñ êîíè÷åñêèì îñòåêëåíèåì.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Ïîòàïîâà Ã.Ê., Ìîñêàëåíêî Ì.À. Î ïðîñòðàíñòâåííûõ èñêàæåíèÿõ âèäèìûõ èçîáðàæåíèé â àâèàöèè // Ìàòåðèàëû V Ìåæäóíàð. íàó÷íî-òåõí. êîíô. “ÀÂÈÀ-2003”. Êèåâ: ÍÀÓ, 2003. Ò. 1. Ñ. 14.151–14.154.
12. Ïîòàïîâà Ã.Ê. Îñíîâû òåîðèè ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âèäèìûõ èçîáðàæåíèé è åå ïðèëîæåíèÿ // Ñáîðíèê òð. VI Ìåæäóíàð. êîíô. “Ïðèêëàäíàÿ îïòèêà”. ÑÏá., 2004. Ò. 3. Ñ. 81–85.
13. Ïîòàïîâà Ã.Ê. Ê âîïðîñó î âèäèìûõ èçîáðàæåíèÿõ â àâèàöèè // Ìàòåðèàëû V Ìåæäóíàð. íàó÷íî-òåõí. êîíô. “ÀÂÈÀ2003”. Êèåâ: ÍÀÓ, 2003. Ò. 1. Ñ. 14.147–14.150.
14. Ïðîåêòèðîâàíèå îïòè÷åñêèõ ñèñòåì. Ïåð. ñ àíãë. / Ïîä ðåä. Øåííîíà Ð., Âàéàíòà Äæ. Ì.: Ìèð, 1983. Ñ. 188–189.
15. Âû÷èñëèòåëüíàÿ îïòèêà. Ñïðàâî÷íèê / Ïîä îáù. ðåä. Ðóñèíîâà Ì.Ì. Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1984. Ñ. 60.
16. Àïåíêî Ì.È., Äóáîâèê À.Ñ. Ïðèêëàäíàÿ îïòèêà. Ì.: Íàóêà, 1982. Ñ. 18–19.
17. Ïîòàïîâà Ã.Ê. Î ïðîîáðàçå ëèíèè âèçèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ // Òð. VII Ìåæäóíàð. êîíô. “Ïðèêëàäíàÿ îïòèêà-2006”. ÑÏá., 2006. Ò. 3. Ñ. 186–190.
18. Ðóñèíîâ Ì.Ì. Þñòèðîâêà îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ. Ì.: Íåäðà, 1969. Ñ. 39–46.
42 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008