ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБОЛОЧЕК 3D-ОБЪЕКТОВ
ÈÊÎÍÈÊÀ – ÍÀÓÊÀ ÎÁ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÈ
ÓÄÊ 612.8
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÎÁÎËÎ×ÅÊ 3D-ÎÁÚÅÊÒÎÂ
© 2008 ã.
Í. Í. Êðàñèëüíèêîâ, äîêòîð òåõí. íàóê; Î. È. Êðàñèëüíèêîâà, êàíä. òåõí. íàóê
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
E-mail: nnk_k23@aanet.ru
 ñòàòüå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê îáîëî÷åê, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ôîðìû òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ. Äàåòñÿ îïèñàíèå ðàçðàáîòàííûõ ìåòîäîâ èçìåðåíèé, èñïîëüçîâàííûõ â ýêñïåðèìåíòàõ.
Êîäû OCIS: 100.6890, 3000.30200.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 27.09.2007.
1. Ââåäåíèå
Êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â òåîðèè ñèãíàëîâ äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâÿçåé ìåæäó îòñ÷åòàìè ñèãíàëà e(t), ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè t, ñìåùåííûìè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà âðåìåííîé èíòåðâàë τ. Ïî àíàëîãèè ñ êîýôôèöèåíòîì àâòîêîððåëÿöèè îäíîìåðíûõ ñèãíàëîâ â òåîðèè îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé áûë ââåäåí è âïåðâûå èçìåðåí Êðå÷ìåðîì êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè àõðîìàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé [1].  îòëè÷èå îò îäíîìåðíîãî ñèãíàëà e(t) àõðîìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóìåðíóþ ôóíêöèþ çàâèñèìîñòè ÿðêîñòè L(x, y) îò êîîðäèíàò x è y. Ïî ýòîé ïðè÷èíå è êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè èçîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé äâóõ ïåðåìåííûõ: ñìåùåíèé ïî îñÿì x è y, êîòîðûå îáîçíà÷àþò ξ è η ñîîòâåòñòâåííî. Èñïîëüçîâàííàÿ (â äàííîì ñëó÷àå äåêàðòîâà) ñèñòåìà êîîðäèíàò íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíîé, íî îíà îêàçàëàñü óäîáíîé. Êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè õàðàêòåðèçóåò ñèëó ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâÿçåé ìåæäó ïèêñåëàìè èçîáðàæåíèÿ. Åãî èñïîëüçóþò ïðè ðàçðàáîòêå ðÿäà àëãîðèòìîâ îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé è, â ÷àñòíîñòè, ïðè ðàçðàáîòêå è îïòèìèçàöèè àëãîðèòìîâ ñæàòèÿ.
Ðàçðàáîòêè ìåòîäîâ ñæàòèÿ òðåõìåðíûõ èçîáðàæåíèé îáúåêòîâ è ñöåí ïðèâåëè ê íåîáõîäèìîñòè èññëåäîâàíèÿ êîððåëÿöèîííûõ õàðàêòåðèñòèê, îïèñûâàþùèõ èõ ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà.
Îñîáåííîñòüþ òðåõìåðíûõ èçîáðàæåíèé, îòëè÷àþùåé èõ îò äâóìåðíûõ èçîáðàæåíèé, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âñå ÷àñòè òðåõìåðíîãî èçîáðàæåíèÿ íåëüçÿ íàáëþäàòü îäíîâðåìåííî, ïîñêîëüêó îòäåëüíûå åãî ôðàãìåíòû çàêðûòû ñàìèì îáúåêòîì. Êðîìå òîãî, âèä íàáëþäàåìîãî îáúåêòà, ò. å. åãî ïðîåêöèè íà ñåò÷àòêè ãëàç, çàâèñèò îò ðàêóðñà íàáëþäåíèÿ.
Öåëü íàøåé ðàáîòû çàêëþ÷àëàñü â ýêñïåðèìåíòàëüíîì èññëåäîâàíèè çàâèñèìîñòåé êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê 3D-îáúåêòîâ îò âçàèìíîãî ñìåùåíèÿ èõ ðåàëèçàöèé.
Êàê èçâåñòíî, ïîä îáîëî÷êîé, îïðåäåëÿþùåé ôîðìó îáúåêòà, ïîíèìàåòñÿ ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ îòäåëÿåò òåëî îáúåêòà îò îêðóæàþùåãî åãî ïðîñòðàíñòâà. Îáîëî÷êà ìîæåò áûòü îïèñàíà ôóíêöèåé, âèä êîòîðîé çàâèñèò îò âûáðàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò [2]. Äëÿ îïèñàíèÿ îáîëî÷åê òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ óäîáíî èñïîëüçîâàòü öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Òàêîé âûáîð ñèñòåìû êîîðäèíàò ïðè ðàáîòå ñ òðåõìåðíûìè îáúåêòàìè ìîæåò áûòü ìîòèâèðîâàí òåì, ÷òî â ñâîåé æèçíè ìû, ïî ñóùåñòâó, èñïîëüçóåì èìåííî ýòó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ñïðàâà, ñëåâà, áëèæå, äàëüøå) ïîìåùàÿ ñåáÿ â åå íà÷àëî.  ýòîì ñëó÷àå îáîëî÷êà îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé
r = f (α, z),
(1)
ãäå r – äëèíà ðàäèóñà-âåêòîðà, α – óãîë ìåæäó ðàäèóñîì-âåêòîðîì è îñüþ êîîðäèíàò x, y – ñìåùåíèå âåêòîðà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò ïî îñè z. Ðèñóíîê 1 ïîÿñíÿåò ñêàçàííîå. Ïåðåõîä èç îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â äðóãóþ íå ñîçäàåò ïðîáëåì, ýòî ïðîñòî ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò.
Êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè õàðàêòåðèçóåò ñèëó ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâÿçåé ìåæäó ðàçëè÷íûìè òî÷êàìè îáîëî÷êè.  íàøåì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
k(θ, ζ) =
= ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎦⎤ ⎡⎣ f (α + θ, z + ζ) − f (α, z)⎦⎤ , (2) ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎦⎤2
ãäå ζ è θ – ñìåùåíèÿ âäîëü îñè z è ïîâîðîò âîêðóã íåå ðåàëèçàöèè îáîëî÷êè òðåõìåðíîãî îáúåêòà
46 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
z Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî
r
α x
y
Ðèñ. 1. Ê ïîÿñíåíèþ ïîíÿòèÿ îáîëî÷êè.
2 f1 f2 − f12 − f22 =
{ }2
= − ⎡⎣ f (α, z) − f (α, z)⎤⎦ − ⎡⎣ f (α + θ, z + ζ) − f (α, z)⎤⎦ =
= −Δ(θ, ζ)2
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíèé êâàäðàò ðàçíîñòåé ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ îáîëî÷êè ïðè àðãóìåíòàõ ζ è θ, à
f12
è
f
2 2
– ñðåäíèå êâàäðàòû ïåðåìåííîé ñîñòàâëÿ-
þùåé ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ, à òàêæå ó÷èòûâàÿ, ÷òî
f(α + θ, z + ζ) îòíîñèòåëüíî ðåàëèçàöèè ýòîé æå îáîëî÷êè f(α, z), f (α, z) – ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè (ðàäèóñà-âåêòîðà). Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî è â ñëó÷àå òðåõìåðíûõ èçîáðàæåíèé êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíîé ôóíêöèåé âçàèìíûõ ñìåùåíèé, ÷òî îáóñëîâëåíî äâóìåðíîñòüþ îáîëî÷åê.
2. Ìåòîäèêà èçìåðåíèÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè
2.1. Òåñòîâûå èçîáðàæåíèÿ
Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà ïîñðåäñòâîì ãðàôè÷åñêèõ ðåäàêòîðîâ 3ds max è Poser áûëè èçãîòîâëåíû òðåõìåðíûå èçîáðàæåíèÿ ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ñëîæíîñòè, îò ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðèìèòèâîâ äî ñêóëüïòóðíûõ èçîáðàæåíèé ãîëîâ ëþäåé. Ýòè èçîáðàæåíèÿ áûëè ëèøåíû òåêñòóðû è îêðàøåíû â áåëûé öâåò.
2.2. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ
Ñ ýòîé öåëüþ ïðèâåäåì âûðàæåíèå (2) ê áîëåå óäîáíîìó âèäó. Äëÿ ýòîãî ââåäåì íîâûå îáîçíà÷åíèÿ f1 =
= ⎡⎣ f (α, z) − f (α, z)⎦⎤ , f2 = ⎣⎡ f (α + θ, z + ζ) − f (α, z)⎦⎤ è ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê (2) â ñëåäóþùåì âèäå:
k(θ, ζ) = f1 f2 , f12
ãäå ÷åðòà îáîçíà÷àåò óñðåäíåíèå. Ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå ê âèäó
k (θ, ζ)
=
2 f1 f2
−
f12
−
f
2 2
2 f12
+
f12
+
f22
.
f12 = f22 è f12 = ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎤⎦2 ,
çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè â ñëåäóþùåì âèäå:
k(θ, ζ) = 1 −
Δ(θ, ζ)2
.
2⎡⎣ f (α, z) − f (α, z)⎤⎦2
(3)
2.3. Ïðèáëèæåííûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê
òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ
Ïîñêîëüêó èçìåðåíèå êîýôôèöèåíòîâ àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðóäîåìêóþ çàäà÷ó, íàìè áûë ïðèìåíåí ïðèáëèæåííûé ñïîñîá, ïîäðîáíî îïèñàííûé â [3], ïîýòîìó çäåñü ìû íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ íà åãî îïèñàíèè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ñïîñîáîì ïðè âû÷èñëåíèè êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî êâàäðàòà ðàçíîñòåé ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ
Δ(θ,ζ)2 è çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî êâàäðàòà ïåðåìåííîé
ñîñòàâëÿþùåé ðàäèóñà-âåêòîðà ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎤⎦2 èçìåðÿëèñü íå ïî âñåé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè, à òîëüêî íà êîíòóðàõ, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè åå ñå÷åíèè ïëîñêîñòÿìè, ïðîâåäåííûìè, íàïðèìåð, òàê, êàê íà ðèñ. 1 â [3]. Ñ ýòîé öåëüþ äëÿ îáîëî÷êè òðåõìåðíîãî îáúåêòà, à òàêæå äëÿ îáîëî÷êè ýòîãî æå îáúåêòà, íî ïîâåðíóòîé îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ íà óãîë θ, èçãîòàâëèâàëèñü ñåðèè ïàð êîíòóðîâ äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé êîîðäèíàòû z. Íà ðèñ. 2à, 2á è 2â ïîêàçàíà ïàðà òàêèõ êîíòóðîâ äëÿ îäíîãî ñå÷åíèÿ. Äàëåå îïðåäåëÿëèñü öåíòðû òÿæåñòè ýòèõ êîíòóðîâ (íà ðèñóíêå îíè ïîêàçàíû êðåñòèêàìè). Ïîñëå ýòîãî îïðåäåëÿëîñü ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàäèóñà-âåêòîðà f (α, z) ïî âñåé ñåðèè èçãîòîâëåííûõ êîíòóðîâ. Çàòåì äëÿ âñåé ñåðèè ïàð êîíòóðîâ âû÷èñëèñü ñðåä-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
47
f (α + θ, z) f (α, z)
(à) (á)
(â)
(ã)
Ðèñ. 2. Êîíòóðû, ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè ñå÷åíèè îáîëî÷åê ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè.
íèé êâàäðàò ðàçíîñòè ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ îáîëî÷êè
Δ(θ,ζ)2 è ñðåäíèé êâàäðàò ïåðåìåííîé ñîñòàâëÿþ-
ùåé ðàäèóñà-âåêòîðà ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎦⎤2 , êîòîðûå ïîäñòàâëÿëèñü â âûðàæåíèå (3).
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî òî÷íûì óæå ïðè èñïîëüçîâàíèè âñåãî øåñòè ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèëàñü çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷êè îáúåêòà k(ζ) îò âçàèìíîãî ñìåùåíèÿ äâóõ ðåàëèçàöèé îáîëî÷êè âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè ïðè îòñóòñòâèè âçàèìíîãî óãëîâîãî ñìåùåíèÿ ýòèõ ðåàëèçàöèé îáîëî÷êè, ò. å. ïðè θ = 0°. Åäèíñòâåííûì îòëè÷èåì ýòîé ñåðèè èçìåðåíèé îò ïðåäûäóùåé áûëî òî, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïîëîæåíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé âûáèðàëîñü òàêèì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.
3. Ìåòîäèêà èçìåðåíèÿ ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ
 ðàçðàáîòàííîé ìåòîäèêå èçìåðåíèÿ ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî ðàäèóñà-âåêòîðà, òàê æå êàê è ðàíåå, èçìåðÿëèñü íå ïî âñåé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè, à òîëüêî íà êîíòóðàõ, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè åå ñå÷åíèè ïëîñêîñòÿìè, ïðîâåäåííûìè òàê, êàê ýòî óæå áûëî îòìå÷åíî âûøå.
Ìåòîäèêà èçìåðåíèÿ ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ âêëþ÷àëà â ñåáÿ äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå èçìåðÿëàñü çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè p0 ñîáûòèÿ, çàêëþ÷àþùåãîñÿ â òîì, ÷òî ðàäèóñâåêòîð f (α, z) íå ïðåâûøàåò óñòàíîâëåííîãî ïîðîãà rn, ò. å. èçìåðÿëàñü çàâèñèìîñòü p0(rn). Èçìåðåíèÿ âûïîëíÿëèñü ïî âñåì ñå÷åíèÿì. Çàòåì íàõîäèëîñü óñ-
ðåäíåííîå çíà÷åíèå ýòîé çàâèñèìîñòè p0(rï ).
Íà âòîðîì ýòàïå âû÷èñëÿëàñü ñîáñòâåííî ãèñòî-
ãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå P (rï ) = p0 (rï1 ) − − p0 (rï2 ), ãäå rn1 è rn2 – çíà÷åíèÿ âåðõíåé è íèæíåé
ãðàíèö, îïðåäåëÿþùèõ øàã ãèñòîãðàììû. Ïðè èçìåðåíèè âåðîÿòíîñòè p0 íà èçîáðàæåíèå
êîíòóðà, îáðàçîâàííîãî ñå÷åíèåì ïëîñêîñòè ñ òðåõìåðíûì îáúåêòîì, íàêëàäûâàëîñü êîëüöî, îáðàçîâàííîå äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè ñ ðàäèóñàìè r è r + Δr. Ðèñ. 2ã ïîÿñíÿåò èçëîæåííîå. Îòíîøåíèå ïëîùàäè, êîòîðàÿ íå ïåðåêðûâàåòñÿ êîíòóðîì òðåõìåðíîãî îáúåêòà (íà ðèñ. 2ã çà÷åðíåííàÿ îáëàñòü), ê ïëîùàäè êîëüöà äàåò çíà÷åíèå p0.
Ðèñ. 3. Ñå÷åíèå îáîëî÷åê ïëîñêîñòÿìè, ïîâåðíóòûìè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà.
48
4. Îáñóæäåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ
Èçìåðåíèÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê, êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, âûïîëíÿëèñü äëÿ òðåõìåðíûõ èçîáðàæåíèé îáúåêòîâ ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ñëîæíîñòè. Ïðè âûïîëíåíèè ýêñïåðèìåíòîâ áûëè èçìåðåíû çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè: îò âçàèìíîãî óãëîâîãî ñìåùåíèÿ äâóõ ðåàëèçàöèé îáîëî÷êè îáúåêòà θ ïðè îòñóòñòâèè èõ ñìåùåíèé âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè, ò. å. ïðè ζ = 0, à òàêæå îò âçàèìíûõ ñìåùåíèé âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè ζ ïðè îòñóòñòâèè âçàèìíûõ óãëîâûõ ñìåùåíèé, ò. å. ïðè θ = 0°.
Íà ðèñ. 4à ïðèâåäåíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷êè êóáà îò óãëà θ. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ýòà çàâèñèìîñòü íîñèò ïåðèîäè÷åñêèé õàðàêòåð, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿ ñòðóêòóðîé ñàìîé îáîëî÷êè. Àíàëîãè÷íàÿ çàâèñèìîñòü, íî äëÿ îáîëî÷êè ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà ïîêàçàíà íà ðèñ. 4á.
Èíòåðåñíîé îñîáåííîñòüþ ýòîé çàâèñèìîñòè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíà íàïîìèíàåò ñâîåé ôîðìîé äâà
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
k (à) 0,5
0 –0,5
–1 –120 –60 0 60 120 θ, ãðàä
k (á) 0,5
0 –0,5
–1 –120 –60 0 60 120 θ, ãðàä
k (â) 0,8
0,4
0 –120
–60
0
60 120 ζ
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê. à – îò óãëà θ äëÿ êóáà, á – îò óãëà θ äëÿ ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà, â – îò âçàèìíîãî ñìåùåíèÿ îáîëî÷åê âäîëü îñè z íà âåëè÷èíó ζ äëÿ ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà.
ïåðèîäà ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè. Îáùèì äëÿ îáîëî÷åê ñàìûõ ðàçëè÷íûõ òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îò óãëà θ äàëåêà îò ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Êðîìå òîãî, â ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè íå çàâèñèò îò ðàçìåðîâ îáúåêòà.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò ôîðìû îáúåêòà çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îò óãëà ìîæåò èìåòü ìíîãî ìàêñèìóìîâ, êàê, íàïðèìåð, ìû ìîæåì ýòî âèäåòü íà ðèñ. 4à.  ñëó÷àå òåë âðàùåíèÿ, êîãäà ëèíèÿ íàáëþäåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè âðàùåíèÿ, çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè íå çàâèñèò îò ýòîãî óãëà è ðàâíî.
Íà ðèñ. 4â ïðèâåäåíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè äëÿ îáîëî÷êè ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà îò âçàèìíîãî ñìåùåíèÿ åå ðåàëèçàöèé ζ. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ýòà çàâèñèìîñòü íîñèò ýêñïîíåíöèàëüíûé õàðàêòåð.
P
30
20
10
060 70 80 90 100 110 rn
Ðèñ. 5. Ãèñòîãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ äëÿ îáîëî÷åê ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è êóáà (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ).
Ãèñòîãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ, ïîëó÷åííàÿ îïèñàííûì âûøå ìåòîäîì, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 5 äëÿ îáîëî÷åê äâóõ òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ: äëÿ îáîëî÷êè ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è îáîëî÷êè êóáà (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ). Îñîáåííîñòüþ ïðèâåäåííûõ çàâèñèìîñòåé ÿâëÿåòñÿ, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, íóëåâàÿ âåðîÿòíîñòü íóëåâûõ çíà÷åíèé ðàäèóñà-âåêòîðà. Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî äëÿ öèëèíäðà ãèñòîãðàììà çàâèñèìîñòè P(rn) âûðîæäàåòñÿ â äåëüòà-ôóíêöèþ.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â ñèñòåìàõ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ñæàòèÿ öèôðîâûõ ïîòîêîâ ïðè ïåðåäà÷å 3D-ñöåí è, â ÷àñòíîñòè, â ñèñòåìàõ âèðòóàëüíîé ðåàëüíîñòè.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Kretzmer E.R. Statistics of Television Signals // BSTJ. 1952, July. V. 31. P. 751–763.
12. Ïîðååâ Â.Í. Êîìïüþòåðíàÿ ãðàôèêà. ÑÏá.: ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã, 2005. 428 ñ.
13. Êðàñèëüíèêîâ Í.Í., Ìèðîíåíêî Å.Ï. Èññëåäîâàíèå ïîãðåøíîñòåé âîñïðèÿòèÿ ôîðìû ïðè íàáëþäåíèè 3D-îáúåêòîâ // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 2006. Ò. 73. ¹ 5. Ñ. 18–23.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
49
ÓÄÊ 612.8
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÎÁÎËÎ×ÅÊ 3D-ÎÁÚÅÊÒÎÂ
© 2008 ã.
Í. Í. Êðàñèëüíèêîâ, äîêòîð òåõí. íàóê; Î. È. Êðàñèëüíèêîâà, êàíä. òåõí. íàóê
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
E-mail: nnk_k23@aanet.ru
 ñòàòüå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê îáîëî÷åê, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ôîðìû òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ. Äàåòñÿ îïèñàíèå ðàçðàáîòàííûõ ìåòîäîâ èçìåðåíèé, èñïîëüçîâàííûõ â ýêñïåðèìåíòàõ.
Êîäû OCIS: 100.6890, 3000.30200.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 27.09.2007.
1. Ââåäåíèå
Êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â òåîðèè ñèãíàëîâ äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâÿçåé ìåæäó îòñ÷åòàìè ñèãíàëà e(t), ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè t, ñìåùåííûìè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà âðåìåííîé èíòåðâàë τ. Ïî àíàëîãèè ñ êîýôôèöèåíòîì àâòîêîððåëÿöèè îäíîìåðíûõ ñèãíàëîâ â òåîðèè îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé áûë ââåäåí è âïåðâûå èçìåðåí Êðå÷ìåðîì êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè àõðîìàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé [1].  îòëè÷èå îò îäíîìåðíîãî ñèãíàëà e(t) àõðîìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóìåðíóþ ôóíêöèþ çàâèñèìîñòè ÿðêîñòè L(x, y) îò êîîðäèíàò x è y. Ïî ýòîé ïðè÷èíå è êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè èçîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé äâóõ ïåðåìåííûõ: ñìåùåíèé ïî îñÿì x è y, êîòîðûå îáîçíà÷àþò ξ è η ñîîòâåòñòâåííî. Èñïîëüçîâàííàÿ (â äàííîì ñëó÷àå äåêàðòîâà) ñèñòåìà êîîðäèíàò íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíîé, íî îíà îêàçàëàñü óäîáíîé. Êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè õàðàêòåðèçóåò ñèëó ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâÿçåé ìåæäó ïèêñåëàìè èçîáðàæåíèÿ. Åãî èñïîëüçóþò ïðè ðàçðàáîòêå ðÿäà àëãîðèòìîâ îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé è, â ÷àñòíîñòè, ïðè ðàçðàáîòêå è îïòèìèçàöèè àëãîðèòìîâ ñæàòèÿ.
Ðàçðàáîòêè ìåòîäîâ ñæàòèÿ òðåõìåðíûõ èçîáðàæåíèé îáúåêòîâ è ñöåí ïðèâåëè ê íåîáõîäèìîñòè èññëåäîâàíèÿ êîððåëÿöèîííûõ õàðàêòåðèñòèê, îïèñûâàþùèõ èõ ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà.
Îñîáåííîñòüþ òðåõìåðíûõ èçîáðàæåíèé, îòëè÷àþùåé èõ îò äâóìåðíûõ èçîáðàæåíèé, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âñå ÷àñòè òðåõìåðíîãî èçîáðàæåíèÿ íåëüçÿ íàáëþäàòü îäíîâðåìåííî, ïîñêîëüêó îòäåëüíûå åãî ôðàãìåíòû çàêðûòû ñàìèì îáúåêòîì. Êðîìå òîãî, âèä íàáëþäàåìîãî îáúåêòà, ò. å. åãî ïðîåêöèè íà ñåò÷àòêè ãëàç, çàâèñèò îò ðàêóðñà íàáëþäåíèÿ.
Öåëü íàøåé ðàáîòû çàêëþ÷àëàñü â ýêñïåðèìåíòàëüíîì èññëåäîâàíèè çàâèñèìîñòåé êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê 3D-îáúåêòîâ îò âçàèìíîãî ñìåùåíèÿ èõ ðåàëèçàöèé.
Êàê èçâåñòíî, ïîä îáîëî÷êîé, îïðåäåëÿþùåé ôîðìó îáúåêòà, ïîíèìàåòñÿ ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ îòäåëÿåò òåëî îáúåêòà îò îêðóæàþùåãî åãî ïðîñòðàíñòâà. Îáîëî÷êà ìîæåò áûòü îïèñàíà ôóíêöèåé, âèä êîòîðîé çàâèñèò îò âûáðàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò [2]. Äëÿ îïèñàíèÿ îáîëî÷åê òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ óäîáíî èñïîëüçîâàòü öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Òàêîé âûáîð ñèñòåìû êîîðäèíàò ïðè ðàáîòå ñ òðåõìåðíûìè îáúåêòàìè ìîæåò áûòü ìîòèâèðîâàí òåì, ÷òî â ñâîåé æèçíè ìû, ïî ñóùåñòâó, èñïîëüçóåì èìåííî ýòó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ñïðàâà, ñëåâà, áëèæå, äàëüøå) ïîìåùàÿ ñåáÿ â åå íà÷àëî.  ýòîì ñëó÷àå îáîëî÷êà îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé
r = f (α, z),
(1)
ãäå r – äëèíà ðàäèóñà-âåêòîðà, α – óãîë ìåæäó ðàäèóñîì-âåêòîðîì è îñüþ êîîðäèíàò x, y – ñìåùåíèå âåêòîðà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò ïî îñè z. Ðèñóíîê 1 ïîÿñíÿåò ñêàçàííîå. Ïåðåõîä èç îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â äðóãóþ íå ñîçäàåò ïðîáëåì, ýòî ïðîñòî ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò.
Êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè õàðàêòåðèçóåò ñèëó ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâÿçåé ìåæäó ðàçëè÷íûìè òî÷êàìè îáîëî÷êè.  íàøåì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
k(θ, ζ) =
= ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎦⎤ ⎡⎣ f (α + θ, z + ζ) − f (α, z)⎦⎤ , (2) ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎦⎤2
ãäå ζ è θ – ñìåùåíèÿ âäîëü îñè z è ïîâîðîò âîêðóã íåå ðåàëèçàöèè îáîëî÷êè òðåõìåðíîãî îáúåêòà
46 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
z Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî
r
α x
y
Ðèñ. 1. Ê ïîÿñíåíèþ ïîíÿòèÿ îáîëî÷êè.
2 f1 f2 − f12 − f22 =
{ }2
= − ⎡⎣ f (α, z) − f (α, z)⎤⎦ − ⎡⎣ f (α + θ, z + ζ) − f (α, z)⎤⎦ =
= −Δ(θ, ζ)2
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíèé êâàäðàò ðàçíîñòåé ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ îáîëî÷êè ïðè àðãóìåíòàõ ζ è θ, à
f12
è
f
2 2
– ñðåäíèå êâàäðàòû ïåðåìåííîé ñîñòàâëÿ-
þùåé ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ, à òàêæå ó÷èòûâàÿ, ÷òî
f(α + θ, z + ζ) îòíîñèòåëüíî ðåàëèçàöèè ýòîé æå îáîëî÷êè f(α, z), f (α, z) – ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè (ðàäèóñà-âåêòîðà). Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî è â ñëó÷àå òðåõìåðíûõ èçîáðàæåíèé êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíîé ôóíêöèåé âçàèìíûõ ñìåùåíèé, ÷òî îáóñëîâëåíî äâóìåðíîñòüþ îáîëî÷åê.
2. Ìåòîäèêà èçìåðåíèÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè
2.1. Òåñòîâûå èçîáðàæåíèÿ
Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà ïîñðåäñòâîì ãðàôè÷åñêèõ ðåäàêòîðîâ 3ds max è Poser áûëè èçãîòîâëåíû òðåõìåðíûå èçîáðàæåíèÿ ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ñëîæíîñòè, îò ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðèìèòèâîâ äî ñêóëüïòóðíûõ èçîáðàæåíèé ãîëîâ ëþäåé. Ýòè èçîáðàæåíèÿ áûëè ëèøåíû òåêñòóðû è îêðàøåíû â áåëûé öâåò.
2.2. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ
Ñ ýòîé öåëüþ ïðèâåäåì âûðàæåíèå (2) ê áîëåå óäîáíîìó âèäó. Äëÿ ýòîãî ââåäåì íîâûå îáîçíà÷åíèÿ f1 =
= ⎡⎣ f (α, z) − f (α, z)⎦⎤ , f2 = ⎣⎡ f (α + θ, z + ζ) − f (α, z)⎦⎤ è ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê (2) â ñëåäóþùåì âèäå:
k(θ, ζ) = f1 f2 , f12
ãäå ÷åðòà îáîçíà÷àåò óñðåäíåíèå. Ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå ê âèäó
k (θ, ζ)
=
2 f1 f2
−
f12
−
f
2 2
2 f12
+
f12
+
f22
.
f12 = f22 è f12 = ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎤⎦2 ,
çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè â ñëåäóþùåì âèäå:
k(θ, ζ) = 1 −
Δ(θ, ζ)2
.
2⎡⎣ f (α, z) − f (α, z)⎤⎦2
(3)
2.3. Ïðèáëèæåííûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê
òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ
Ïîñêîëüêó èçìåðåíèå êîýôôèöèåíòîâ àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðóäîåìêóþ çàäà÷ó, íàìè áûë ïðèìåíåí ïðèáëèæåííûé ñïîñîá, ïîäðîáíî îïèñàííûé â [3], ïîýòîìó çäåñü ìû íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ íà åãî îïèñàíèè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ñïîñîáîì ïðè âû÷èñëåíèè êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî êâàäðàòà ðàçíîñòåé ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ
Δ(θ,ζ)2 è çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî êâàäðàòà ïåðåìåííîé
ñîñòàâëÿþùåé ðàäèóñà-âåêòîðà ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎤⎦2 èçìåðÿëèñü íå ïî âñåé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè, à òîëüêî íà êîíòóðàõ, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè åå ñå÷åíèè ïëîñêîñòÿìè, ïðîâåäåííûìè, íàïðèìåð, òàê, êàê íà ðèñ. 1 â [3]. Ñ ýòîé öåëüþ äëÿ îáîëî÷êè òðåõìåðíîãî îáúåêòà, à òàêæå äëÿ îáîëî÷êè ýòîãî æå îáúåêòà, íî ïîâåðíóòîé îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ íà óãîë θ, èçãîòàâëèâàëèñü ñåðèè ïàð êîíòóðîâ äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé êîîðäèíàòû z. Íà ðèñ. 2à, 2á è 2â ïîêàçàíà ïàðà òàêèõ êîíòóðîâ äëÿ îäíîãî ñå÷åíèÿ. Äàëåå îïðåäåëÿëèñü öåíòðû òÿæåñòè ýòèõ êîíòóðîâ (íà ðèñóíêå îíè ïîêàçàíû êðåñòèêàìè). Ïîñëå ýòîãî îïðåäåëÿëîñü ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàäèóñà-âåêòîðà f (α, z) ïî âñåé ñåðèè èçãîòîâëåííûõ êîíòóðîâ. Çàòåì äëÿ âñåé ñåðèè ïàð êîíòóðîâ âû÷èñëèñü ñðåä-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
47
f (α + θ, z) f (α, z)
(à) (á)
(â)
(ã)
Ðèñ. 2. Êîíòóðû, ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè ñå÷åíèè îáîëî÷åê ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè.
íèé êâàäðàò ðàçíîñòè ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ îáîëî÷êè
Δ(θ,ζ)2 è ñðåäíèé êâàäðàò ïåðåìåííîé ñîñòàâëÿþ-
ùåé ðàäèóñà-âåêòîðà ⎣⎡ f (α, z) − f (α, z)⎦⎤2 , êîòîðûå ïîäñòàâëÿëèñü â âûðàæåíèå (3).
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî òî÷íûì óæå ïðè èñïîëüçîâàíèè âñåãî øåñòè ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèëàñü çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷êè îáúåêòà k(ζ) îò âçàèìíîãî ñìåùåíèÿ äâóõ ðåàëèçàöèé îáîëî÷êè âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè ïðè îòñóòñòâèè âçàèìíîãî óãëîâîãî ñìåùåíèÿ ýòèõ ðåàëèçàöèé îáîëî÷êè, ò. å. ïðè θ = 0°. Åäèíñòâåííûì îòëè÷èåì ýòîé ñåðèè èçìåðåíèé îò ïðåäûäóùåé áûëî òî, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïîëîæåíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé âûáèðàëîñü òàêèì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.
3. Ìåòîäèêà èçìåðåíèÿ ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ
 ðàçðàáîòàííîé ìåòîäèêå èçìåðåíèÿ ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî ðàäèóñà-âåêòîðà, òàê æå êàê è ðàíåå, èçìåðÿëèñü íå ïî âñåé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè, à òîëüêî íà êîíòóðàõ, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè åå ñå÷åíèè ïëîñêîñòÿìè, ïðîâåäåííûìè òàê, êàê ýòî óæå áûëî îòìå÷åíî âûøå.
Ìåòîäèêà èçìåðåíèÿ ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ âêëþ÷àëà â ñåáÿ äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå èçìåðÿëàñü çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè p0 ñîáûòèÿ, çàêëþ÷àþùåãîñÿ â òîì, ÷òî ðàäèóñâåêòîð f (α, z) íå ïðåâûøàåò óñòàíîâëåííîãî ïîðîãà rn, ò. å. èçìåðÿëàñü çàâèñèìîñòü p0(rn). Èçìåðåíèÿ âûïîëíÿëèñü ïî âñåì ñå÷åíèÿì. Çàòåì íàõîäèëîñü óñ-
ðåäíåííîå çíà÷åíèå ýòîé çàâèñèìîñòè p0(rï ).
Íà âòîðîì ýòàïå âû÷èñëÿëàñü ñîáñòâåííî ãèñòî-
ãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå P (rï ) = p0 (rï1 ) − − p0 (rï2 ), ãäå rn1 è rn2 – çíà÷åíèÿ âåðõíåé è íèæíåé
ãðàíèö, îïðåäåëÿþùèõ øàã ãèñòîãðàììû. Ïðè èçìåðåíèè âåðîÿòíîñòè p0 íà èçîáðàæåíèå
êîíòóðà, îáðàçîâàííîãî ñå÷åíèåì ïëîñêîñòè ñ òðåõìåðíûì îáúåêòîì, íàêëàäûâàëîñü êîëüöî, îáðàçîâàííîå äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè ñ ðàäèóñàìè r è r + Δr. Ðèñ. 2ã ïîÿñíÿåò èçëîæåííîå. Îòíîøåíèå ïëîùàäè, êîòîðàÿ íå ïåðåêðûâàåòñÿ êîíòóðîì òðåõìåðíîãî îáúåêòà (íà ðèñ. 2ã çà÷åðíåííàÿ îáëàñòü), ê ïëîùàäè êîëüöà äàåò çíà÷åíèå p0.
Ðèñ. 3. Ñå÷åíèå îáîëî÷åê ïëîñêîñòÿìè, ïîâåðíóòûìè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà.
48
4. Îáñóæäåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ
Èçìåðåíèÿ êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê, êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, âûïîëíÿëèñü äëÿ òðåõìåðíûõ èçîáðàæåíèé îáúåêòîâ ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ñëîæíîñòè. Ïðè âûïîëíåíèè ýêñïåðèìåíòîâ áûëè èçìåðåíû çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè: îò âçàèìíîãî óãëîâîãî ñìåùåíèÿ äâóõ ðåàëèçàöèé îáîëî÷êè îáúåêòà θ ïðè îòñóòñòâèè èõ ñìåùåíèé âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè, ò. å. ïðè ζ = 0, à òàêæå îò âçàèìíûõ ñìåùåíèé âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè ζ ïðè îòñóòñòâèè âçàèìíûõ óãëîâûõ ñìåùåíèé, ò. å. ïðè θ = 0°.
Íà ðèñ. 4à ïðèâåäåíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷êè êóáà îò óãëà θ. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ýòà çàâèñèìîñòü íîñèò ïåðèîäè÷åñêèé õàðàêòåð, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿ ñòðóêòóðîé ñàìîé îáîëî÷êè. Àíàëîãè÷íàÿ çàâèñèìîñòü, íî äëÿ îáîëî÷êè ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà ïîêàçàíà íà ðèñ. 4á.
Èíòåðåñíîé îñîáåííîñòüþ ýòîé çàâèñèìîñòè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíà íàïîìèíàåò ñâîåé ôîðìîé äâà
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
k (à) 0,5
0 –0,5
–1 –120 –60 0 60 120 θ, ãðàä
k (á) 0,5
0 –0,5
–1 –120 –60 0 60 120 θ, ãðàä
k (â) 0,8
0,4
0 –120
–60
0
60 120 ζ
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îáîëî÷åê. à – îò óãëà θ äëÿ êóáà, á – îò óãëà θ äëÿ ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà, â – îò âçàèìíîãî ñìåùåíèÿ îáîëî÷åê âäîëü îñè z íà âåëè÷èíó ζ äëÿ ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà.
ïåðèîäà ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè. Îáùèì äëÿ îáîëî÷åê ñàìûõ ðàçëè÷íûõ òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îò óãëà θ äàëåêà îò ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Êðîìå òîãî, â ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè íå çàâèñèò îò ðàçìåðîâ îáúåêòà.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò ôîðìû îáúåêòà çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè îò óãëà ìîæåò èìåòü ìíîãî ìàêñèìóìîâ, êàê, íàïðèìåð, ìû ìîæåì ýòî âèäåòü íà ðèñ. 4à.  ñëó÷àå òåë âðàùåíèÿ, êîãäà ëèíèÿ íàáëþäåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè âðàùåíèÿ, çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè íå çàâèñèò îò ýòîãî óãëà è ðàâíî.
Íà ðèñ. 4â ïðèâåäåíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè äëÿ îáîëî÷êè ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà îò âçàèìíîãî ñìåùåíèÿ åå ðåàëèçàöèé ζ. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ýòà çàâèñèìîñòü íîñèò ýêñïîíåíöèàëüíûé õàðàêòåð.
P
30
20
10
060 70 80 90 100 110 rn
Ðèñ. 5. Ãèñòîãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ äëÿ îáîëî÷åê ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è êóáà (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ).
Ãèñòîãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ, ïîëó÷åííàÿ îïèñàííûì âûøå ìåòîäîì, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 5 äëÿ îáîëî÷åê äâóõ òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ: äëÿ îáîëî÷êè ñêóëüïòóðíîãî èçîáðàæåíèÿ ãîëîâû ÷åëîâåêà (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è îáîëî÷êè êóáà (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ). Îñîáåííîñòüþ ïðèâåäåííûõ çàâèñèìîñòåé ÿâëÿåòñÿ, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, íóëåâàÿ âåðîÿòíîñòü íóëåâûõ çíà÷åíèé ðàäèóñà-âåêòîðà. Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî äëÿ öèëèíäðà ãèñòîãðàììà çàâèñèìîñòè P(rn) âûðîæäàåòñÿ â äåëüòà-ôóíêöèþ.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â ñèñòåìàõ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ñæàòèÿ öèôðîâûõ ïîòîêîâ ïðè ïåðåäà÷å 3D-ñöåí è, â ÷àñòíîñòè, â ñèñòåìàõ âèðòóàëüíîé ðåàëüíîñòè.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Kretzmer E.R. Statistics of Television Signals // BSTJ. 1952, July. V. 31. P. 751–763.
12. Ïîðååâ Â.Í. Êîìïüþòåðíàÿ ãðàôèêà. ÑÏá.: ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã, 2005. 428 ñ.
13. Êðàñèëüíèêîâ Í.Í., Ìèðîíåíêî Å.Ï. Èññëåäîâàíèå ïîãðåøíîñòåé âîñïðèÿòèÿ ôîðìû ïðè íàáëþäåíèè 3D-îáúåêòîâ // Îïòè÷åñêèé æóðíàë. 2006. Ò. 73. ¹ 5. Ñ. 18–23.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 3, 2008
49